新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之

新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系学

案新人教B版必修第一册

(教师独具内容)

课程标准：1.理解函数零点的概念.2.会求函数的零点.3.能结合学过的函数图像，了解函数的零点与方程解的关系．

教学重点：1.函数零点的概念.2.函数的零点与其对应方程解的关系．

教学难点：1.求函数的零点.2.函数的零点与其对应不等式解集之间的关系.

【情境导学】(教师独具内容)

在二次函数y＝x2－2x－3中令y＝0得x2－2x－3＝0，这是一个一元二次方程，那么这个一元二次方程的根与前面二次函数的图像有什么关系呢？

【知识导学】

知识点一函数零点的概念

01函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即□02f(α)＝0，则称α

(1)一般地，如果□

为函数y＝f(x)的零点．

(2)α是函数f(x)零点的充分必要条件是□03(α，0)是函数图像与x轴的公共点．

知识点二二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点

(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有□01两个元素□02x1，x2，且□03x1，x2是f(x)的□04两个零点，f(x)的图像与x轴有□05两个公共点□06(x1,0)，(x2,0)．

(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中□07只有一个元素□08x0，且□09x0是f(x)□10唯一的零点，f(x)的图像与x轴有□11一个公共点．

(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0□12没有实数根，此时f(x)□13无零点，f(x)的图像与x轴□14没有公共点．

【新知拓展】

1．函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的根，是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．

2．方程的根与函数零点的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )

(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )

(3)不论实数a 取什么值，不等式ax 2

＋bx ＋c ≥0的解集一定与函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c 的零点有关．( )

答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做

(1)下列各图像表示的函数中没有零点的是( )

(2)函数f (x )＝x 2

－5x 的零点是________． 答案 (1)D (2)0和5

题型一 求函数的零点 例1 求下列函数的零点． (1)f (x )＝x 2

＋7x ＋6；

(2)f (x )＝x 2＋4x －12

x －2

.

[解] (1)解方程x 2

＋7x ＋6＝0，

得x ＝－1或x ＝－6，所以函数的零点是－1，－6.

(2)解方程x 2＋4x －12

x －2

＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.

金版点睛

求函数零点的方法

函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种方法： (1)令f (x )＝0，方程f (x )＝0的根就是函数的零点；

(2)画出函数f (x )的图像，图像与x 轴交点的横坐标就是函数的零点．

[跟踪训练1] (1)若函数f (x )＝x 2＋x －a 的一个零点是－3，求实数a 的值，并求函数

f (x )其余的零点；

(2)求下列函数的零点： ①y ＝－x 2

－x ＋20； ②y ＝(x 2

－2)(x 2

－3x ＋2)； ③y ＝x 3－7x ＋6； ④f (x )＝x 4－1.

解 (1)由题意，知f (－3)＝0， 即(－3)2

－3－a ＝0，a ＝6， ∴f (x )＝x 2＋x －6.

解方程x 2＋x －6＝0，得x ＝－3或2. ∴函数f (x )其余的零点是2. (2)①令y ＝0，即－x 2

－x ＋20＝0，

解得x 1＝－5，x 2＝4，所以所求函数的零点为－5,4.

②令y ＝0，即(x 2

－2)(x 2－3x ＋2)＝0，(x ＋2)(x －2)·(x －1)(x －2)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝1，x 4＝2，所以所求函数的零点为－2，2，1,2. ③因为x 3

－7x ＋6＝(x 3

－x )－(6x －6)

＝x (x 2

－1)－6(x －1)＝x (x ＋1)(x －1)－6(x －1)

＝(x －1)(x 2

＋x －6)＝(x －1)(x －2)(x ＋3)，所以由x 3

－7x ＋6＝0，得x 1＝－3，x 2＝1，

x 3＝2，所以所求函数的零点为－3,1,2.

④由于f (x )＝x 4

－1＝(x 2

＋1)(x ＋1)(x －1)， 所以方程x 4

－1＝0的实数根是x 1＝－1，x 2＝1. 故函数的零点是－1,1.

题型二 函数零点的个数问题

例2 函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋2，x <0，

x 2

－1，x >0的零点个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[解析] 解法一：方程x ＋2＝0(x <0)的根为x ＝－2，方程x 2

－1＝0(x >0)的根为x ＝1，所以函数f (x )有2个零点：－2与1.