数学类1005-20106211846-董庆云(例)

鲁东大学 2011－2012学年第一学期
《 数学史 》课程论文 课程号：2191010
勾股定理的证明与推广
勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史，它是数学中第一个重要的定理.几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究.
1. 勾股定理的证明
希腊著名数学家毕达哥拉斯（公元前572年- 公元前497年）曾对本定理有所研究，故西方国家均称此定理为毕达哥拉斯定理.据说毕达哥拉斯十分喜爱这个定理，当他在公元前550前年左右发现这个定理时，宰杀了百头牛羊以谢神的默示.但是通过二十世纪对于在美索不达米亚出土的泥板书进行的研究,人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年,古巴比伦人就已经知道这个定理[1].毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传.著名的希腊数学家欧几里得（公元前330年-公元前275年）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明 （如图1）：分别以直角三角形的直角边AB ，AC 及斜边BC 向外作正方形，ABFH ，AGKC 及BCED ，连FC ，
BK ，作DE AL ⊥ E.则欧几里得通过BCF ∆及BCK ∆为媒介.证明了正方形ABFH 与
矩形BDLM 及正方形AGKC 与 矩形MLEC 等积，于是推得222BC AC AB =+
图1 欧几里得证明勾股定理
在我国，这个定理的叙述最早见于《周髀算经 》（大约成书于公元前一世纪前的西汉时期），书中有一段商高（约公元前1120年）答周公问的话“勾广三 ，股修
四，经隅五”，意即直角三角形的两条直角边是3及4、则斜边是5.书中还记载了陈子（约公元前716年）答荣方问:“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之、得邪至日”，古汉语中邪作斜解，因此这一句话明确陈述了勾股定理的内容.三国的赵爽（约公元3世纪）， 在他的数学文献《勾股圆方图》中（作为《周髀算经》的注文，而被保留于该书之中）.运用弦图， 巧妙的证明了勾股定理，如图2.他把三角形涂成红色，其面积叫“朱实”，中间正方形涂成黄色叫 做“中黄实”，也叫“差实”.他写道：“按弦图，又可勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差相乘为中黄实，加差实，亦称弦实”[2]
.若用现在的符号，分别用a 、b 、c 记勾、股、弦之长，赵爽所述即
22
2c a b ab =-+）（
化简之得2
2
2
c b a =+
.
图2弦图
12世纪印度的婆什迦罗（1114-1185）的书中也有一个类似的图，但没有其它说明，只在旁边写着“请看！” 二字.
由于勾股定理的简单明白而且重要，从而二千 多年来引起了中外许多人士的兴趣，可称为世上证法最多的定理.……
2．勾股定理的推广
已知：四面体ABC O -中OA 、OB 、OC 两两之间相互垂直，OA =a ，OB =b ，
OC =c .记OAB ∆、OBC ∆、OAC ∆、ABC ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 和S .
求证：2S =2
3
2221S S S ++.
图3 勾股定理推广
证明：如图，建立空间直角坐标系，则)0,0,(a A ，)0,,0(b B ，),0,0(c C ，)0,0,0(O .作OD ⊥AB 于D ，连结CD .设)0,,(y x D ，则有AB OD ⋅=0，即 0=+-by ax ① 又因为A ，B ，D 三点共线，故有
y
b x
y a x --=- ② 由①②可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222
2
22
b a b
a y
b a ab x ，即)0,,(22222
2b a b a b a ab D ++ 由题易知AB CD ⊥，所以
S =AB CD 21=21
2
2b a +22
2222222c b a b a b a ab +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ = 2
12
2b
a +()()()2
2
2
22b
a ca bc a
b +++
=
2
1()()()2
22ca bc ab ++=232
2
21S S S ++ 即2S =2
3
2221S S S ++
方法二：过O 作OD ⊥AB 于D ，连结CD ，则有AB CD ⊥ 在OAB Rt ∆中有 22b a +=2AB ③ 在OCD Rt ∆中我们有22OD c +=2CD ④ 将③④两式两边分别相乘，得
22c a +22c b +()
222b a OD +=22CD AB ⋅
即 423S +42
2S +421S =42S
故 2S =23
2221S S S ++得证 参考文献
[1]H ·伊夫斯.数学史上的里程碑[M]．北京：北京科学技术出版社，1990：24. [2]李迪.中国数学史简编[M]．沈阳：辽宁人民出版社，1984：87.
[3]代钦，李春兰.中国数学史研究进展70年之回顾与反思[J].数学教育学报,2007,(16)3:6-12.。