充要条件的探求与判定

[解析] 由 2 x (a 1) (a 1)
2
2
(a 1) 2 x (a 1) (a 1)
2 2
2
2a x a 1
2
由x 4( a 1) x 3( 4a 1) 0
2
( x 3)[ x ( 4a 1)] 0 设集合A { x | 2a x a 1},
即 x|xa|+b= x|x+a| b成立.
比较等式两边函数式结 构可得： a a 2 2 , 即a b 0, 即a b 0. b b
[考点搜索]
1. 根据已知，探求使一个命题成立 的充分不必要条件，必要不充分条件， 充要条件等.
2. 探求充要条件常用三种思维方法: ① 先求必要条件，再验证充分性； ② 先求充分条件，再验必要性； ③ 将命题作条件转化后再作探求， 化难为易.
1, a n 1 2a n 1 an ( n N *), 设bn an p an
( p 0为常数), 求数列{bn }为等比数列的 充要条件.
[解]
bn
an p an
, a n
p bn 1
,
又a n 1 从而
2a n 1 an p
,
[解析] 命题p为真命题 对任意实数
a 0 a 2 2 x都有ax x 0成立 a 16 0 1 4 a 2.
命题q为真命题 当x 0时不等式 2 x 1 1 ax恒成立, 即a 2x 1 1 x
恒成立 当x 0时, a 恒成立. 当x 0时 2 x 1 1, 2 x 1 1 2, 从而0 2 2x 1 1 1.
2 2x 1 1
命题q为真命题.
设A ( 2,), B [1,), 则“ p或q”为真命题 , 且“ p且q”为假命题 a A B且 a A B a [1,2]. 故“ p或q”为真命题且“p且q” 为假命题的充要条件是 a 2. 1
充要条件的探求与证明
第一课时：
充要条件的探求
[基础导引]
1. 若a，b，c∈R，则b2－4ac<0是 ax2+bx+c>0恒成立的 条件
答案：既不充分也不必要
2. 函数 f (x) = x|x+a|＋b是奇函数的 充要条件是 （用a,b表示）
[解] f (x)为奇函数 对任意实数x都有 f(x) = f (x)成立. 即 x|x+a|+b = (x|x+a|+b)成立,

8

4
) a 1, 若a 1
则f ( x ) cos 2 x f ( 即f (
2 sin( 2 x

4
)

8
)
2 sin(

2
) 2,

8
)是函数y f ( x )的最小值,
y f ( x )的图象关于直线 x 对称的充要条件是 1. a
2 2
a b .
2 2
a a
(2) i 、j 是不共线的单位向量 , 5i 3 j , b 3i 5 j , 则a b , 则 b 的充要条件是_________ .
(2) i 、j 是不共线的单位向量 , a 5i 3 j , b 3i 5 j , 则a b , 则 a b 的充要条件是_________ . [解析] a b a b 0, 即(5i 3 j ) (3i 5 j ) 0, 2 2 即 j 16i j 15 j 0, i j 1, 15 16i j 0, 即i j 0, i j .
Q正确 ( 2a 3) 4 0,
2
即a
5 2
或a
1 2
.
设集合P ( 0,1), Q ( , 则P Q ( ,1) ( 5 2
1 2
)(
5 2
,), 1 2
,), P Q ( 0,
).
P与Q有且只有一个正确 a P Q . 又a 0, a 1 a [ 1 2 ,1) ( 5 2 ,)为所求的充要条件 .
[解析] 设函数 f(x)=asinx+bcosx+c, x∈R, 据题意, f(x)>0恒成立,∴f(x)min >0.
f ( x) a b sin( x ) c
2 2 2 2
f ( x )min a b c , 由 a b c 0得 : c
1 2
,b
1 2
,则
2. 已知a>0, a≠1, 设P: 函数y=loga(x+1)
在区间(0,+∞)内单调递减; Q: 曲线y=x2+(2a 1)x+1与x轴交于不同的两点, 求P与Q有且 只有一个正确的充要条件.
2. 已知a>0, a≠1, 设P: 函数y=loga(x+1)
在区间(0,+∞)内单调递减; Q: 曲线y=x2+(2a 1)x+1与x轴交于不同的两点, 求P与Q有且 只有一个正确的充要条件. [解] P正确 0 a 1,
[解析] 取 30, 60, 则
sin sin( ), 但 p q. 若0

2
,

2
,
则 sin sin( ), q p. 故p是q的必要不充分条件 .
[例2] 给出下列四个命题：
(1) 设l为直线, 、为平面, 且l , 则 的充要条件是l ; ( 2) 复数z为纯虚数的充要条件是z 0；
[例5] 已知数列 a n }满足 : a1 0且a1 {
1, a n 1 2a n 1 an ( n N *), 设bn an p an
( p 0为常数), 求数列{bn }为等比数列的 充要条件.
[例5] 已知数列 a n }满足 : a1 0且a1 {
2. 设p : 4 x 3 1, q : x ( 2a 1) x
2
a (a 1) 0, 若p是q的必要而不充 分条件, 则实数a的取值范围是 ______ .
1 [解] 由 4 x 3 1得： x 1. 2 2 由x ( 2a 1) x a (a 1) 0得： a x a 1. p: 1 2 x 1, q : a x a 1
请听题：
下面五个图案 分别代表哪五个 成语？
第二课时：
充要条件的判定
x 1 x 1
[基础导引]
1. 设集合A { x | 0}, B { x |
x b a }, 若“a 1 ”是“A B ” 的充分条件, 则b的取值范围可以是
(1). 2 b 0 (3). 3 b 1
(2). 0 b 2 (4). 1 b 2
[解]
据题意, 当a 1时, 有A B ,
而当a 1时, A ( 1,1), B (b 1, b 1).
A B 1 b 1 b, 1 1, 即 2 b 2. b的取值范围是集合( 2,2)的子集, 选项( 2)( 4)符合要求.
[解] 作函数 y=f(x)的图象, 由图知, 方程
f(x)＝0有3个不同实根, 方程f(x)＝a (a>0)
有4不同实根.
若使关于x的方程f 2(x)＋bf(x)+c=0 有7个不同的实根，则当且仅当关于t的
方程 t2+bt+c=0有一个零根和一个正根.
∴c=0, 且b<0.
[例2] （1）设a、b、c为常数，对任意 x∈R，不等式asinx+bcosx＋c>0恒成立的 充要条件是________.
1 a n 1
1 2
1 an 2a n

1 2a n

1 2
,
bn 1 1
bn 1 2p
( p 0),
2( bn 1 1) bn 1 p 即2bn 1 bn p 1, 且b1 a1 p a1 ,
故数列{bn }为等比数列的充要条件从
结论成立证明条件也成立. 2.为了证明充要条件的方便，可把 命题的条件或结论价等价转化，目的是
化生为熟，便于证明.
[链接高考]
[例1]
已知、 均为锐角, 若p :
sin sin( ), q : p是q的 ______条件

2
,则
[在线探究]
1. 设a, b∈R, 则使|a|+|b|>1成立 的一个充分不必要条件是
(1). a b 1 (3). b 1 (2). a 1 2 (4). a 1 且b 1 2
[解] 取a＝1, b＝0, 则|a|+|b|＝1,从而
排除（1）（4）. 取a
a b 1, 从而排除( 2)
2
(3) 设a、b R, 则 a b a b 成立的 必要条件是ab 2.
(2) 其中正确命题的序号是 ______ .
[例3] 设p : 2 x (a 1) (a 1)
2 2
2
( a 1), q : x 4( a 1) x 3( 4a 1) 0, 若p是q的充分非必要条件 求实数a的 , 取值范围.