题型4-充要条件(充分性和必要性的判定)

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充要条件(公开课课件)

方程组无解．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p 与q互为充要条件． [微思考] 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说
法正确吗？提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q. 即p等价于q.故此说法正确．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. 证明：假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0. (1)证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
(2)证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0. 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根．综上，方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
D．既不充分也不必要条件
解析：p＝3⇒A＝{－1,3,2}⇒B⊆A⇒A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝ B⇒B⊆A⇒{2,3}⊆{2，－1，p}⇒p＝3，所以是必要条件．故选C.
答案：C
2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形； (3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解：(1)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件． (2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形， ∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件． (3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．

充分条件、必要条件、充要条件题型解析

ʏ朱珠充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象性而成为同学们难以理解的内容㊂下面就这方面的题型进行举例分析㊂一㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的判断充分条件与必要条件:若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇒/q,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件㊂一般地,如果p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q,则p是q的充分必要条件,简称充要条件㊂概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件㊂判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q,及q⇒p这两个命题的正确性,若p⇒q真,则p是q成立的充分条件;若q⇒p 真,则p是q成立的必要条件㊂要否定p与q不能相互推出时,举出一个反例即可㊂例1(1)已知实系数一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0),则下列结论正确的是()㊂①Δ=b2-4a cȡ0是这个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4a c=0是这个方程有实根的充分条件;③Δ=b2-4a c>0是这个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4a c<0是这个方程没有实根的充要条件㊂A.③④B.②③C.①②③D.①②④(2)若p:AɘB=A,q:∁U B⊆∁U A,则p 是q的()㊂A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析:对于(1),利用Δ=b2-4a c判断方程根的情况,当Δ=0时,一元二次方程有两个等根;当Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的根;当Δ<0时,一元二次方程没有实数根㊂对于(2),画出V e n n图(如图1),结合图形,可帮助求解㊂图1解:(1)Δȡ0⇔一元二次方程a x2+b x+ c=0(aʂ0)有实根,①正确㊂Δ=0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根,②正确㊂Δ>0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0 (aʂ0)有实根,但a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根⇒/Δ>0,③错误㊂Δ<0⇔一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)无实根,④正确㊂应选D㊂(2)结合图1可得AɘB=A⇔A⊆B⇔∁U A⊇∁U B,即p是q的充要条件㊂应选C㊂充分条件与必要条件的两种判断方法:直接利用定义判断;集合法,将命题p,q分别看作集合A, B,当A⊆B时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当A=B时,p,q互为充要条件㊂二㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的应用利用充分条件㊁必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后根据p 与q的关系(充分㊁必要㊁充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,最后求出参数的取值范围㊂例2已知集合A={x|a<x<a+2}, B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围㊂分析:由A是B的充分不必要条件,说0 1知识结构与拓展高一数学2023年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.明集合A 是B 的真子集,即A ⫋B ,由此可得实数a 满足的条件,从而得到实数a 的取值范围㊂解:因为A 是B 的充分不必要条件,所以A ⫋B ㊂又因为A ={x |a <x <a +2},B ={x |x <-1或x >3},所以a +2ɤ-1或a ȡ3,解得a ȡ3或a ɤ-3,所以实数a 的取值范围是{a |a ȡ3或a ɤ-3}㊂充分条件㊁必要条件中的含参数问题,往往是通过集合的包含关系来解答的㊂三㊁充要条件的证明充要条件的证明,可分为充分性和必要性的证明,证明时要注意两种叙述方式的区别:①p 是q 的充要条件,由p ⇒q 是充分性,由q ⇒p 是必要性;②p 的充要条件是q ,由p ⇒q 是必要性,由q ⇒p 是充分性㊂例3 求证:方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等实根的充要条件是0<m <13㊂分析:先找出条件和结论,然后证明充分性和必要性都成立㊂证明:先证充分性(由条件推结论)㊂因为0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0的判别式Δ=4-12m >0,所以方程有两个不相等的实根㊂设方程的两根为x 1,x 2,当0<m <13时,x 1+x 2=2m >0且x 1x 2=3m>0,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,所以0<m <13⇒方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根㊂再证必要性(由结论推条件)㊂若方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,则Δ=4-12m >0,x 1x 2=3m>0,所以0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根⇒0<m <13㊂综上可得,方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13㊂证明p 是q 的充要条件,既要证明命题 p ⇒q为真,又要证明 q ⇒p 为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性㊂证明充要条件,即证明原命题和逆命题都成立㊂要注意 p 是q 的充要条件与 p 的充要条件是q 这两种说法的差异,要分清哪个是条件,哪个是结论㊂1.求证:关于x 的方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂提示:先证明p ⇒q ,即证明必要性,再证明q ⇒p ,即证明充分性㊂设命题p :方程a x 2+b x +c =0有一个根是1,命题q :a +b +c =0㊂先证明p ⇒q ,即证明必要性,由x =1是方程a x 2+b x +c =0的根,可得a ㊃12+b ㊃1+c =0,即a +b +c =0㊂再证明q ⇒p ,即证明充分性,由a +b +c =0,可得c =-a -b ,因为a x 2+b x +c =0,所以a x 2+b x -a -b =0,即a (x 2-1)+b (x -1)=0,也即(x -1)(a x +a +b )=0,所以x =1是方程的一个根㊂综上可知,方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂2.已知三个不等式:a b >0,b c -a d >0,c a -db>0(其中a ,b ,c ,d 均为实数)㊂用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,则可组成的正确命题的个数是( )㊂A.0 B .1 C .2 D .3提示:a b >0为①,b c -a d >0为②,ca-d b >0为③㊂若①②成立,则1a b (b c -a d )>,可得c a -d b >0,即③成立㊂若①③成立,则a bc a -d b>0,可得b c -a d >0,即②成立㊂若②③成立,则由③得b c -a da b>0,由②b c -a d >0得a b >0,即①成立㊂应选D ㊂作者单位:江苏省阜宁县东沟中学(责任编辑郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

充要条件(课件)(人教A版2019必修一)

自主学习
三．“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，
即p是s的充要条件．
小试牛刀
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立．( √ )
(2)符号“⇔”具有传递性．( √ )
(3)若 p⇒/ q 和 q⇒/ p 有一个成立，则 p 一定不是 q 的充要条件．( √ )
经典例题
总结
题型三充要条件的应用
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
经典例题
题型三充要条件的应用
跟踪训练3
已知方程 x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件．
1.4 充分条件与必要条件 1.4.2 充要条件
学习目标
素养目标
1.理解充要条件的意义.（重点） 2.会判断一些简单的充要条件问题.（重点） 3.能对充要条件进行证明.（难点）
学科素养
1、数学抽象 2、逻辑推理
自主学习
一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 p⇒q ，又有 q⇒p ，就记作 p⇔q ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 .
自主学习
• . 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. 思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

专题04 充分条件与必要条件(练)(解析版).pdf

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A 版必修第一册）》专题04充分条件与必要条件（练）1．a ,b 中至少有一个不为零的充要条件是（）A ．ab ＝0B ．ab>0C ．a 2＋b 2＝0D ．a 2＋b 2>0【参考答案】D 【解析】,ab ＝0是a ,b 中至少有一个不为零的非充分非必要条件；A ab>0是a ,b 中至少有一个不为零的充分非必要条件；,B ,a 2＋b 2＝0是a ,b 中至少有一个不为零的非充分非必要条件；C ,a 2＋b 2>0,则a ,b 不同时为零；a ,b 中至少有一个不为零,则a 2＋b 2>0.所以a 2＋b 2>0是a ,b 中至少有一个不D 为零的充要条件.故选：D2．a >b 的一个充分不必要条件是（）A ．a 2>b 2B ．|a |>|b |C ．D ．a －b >111a b <【参考答案】D 【解析】,,,则ABC 错误；22a b a b >⇒>/11b a a b <⇒/>||||a b a b>⇒>/a －b >1⇒a －b >0而a －b >0⇏a －b >1,则D正确；故选：D3．一元二次函数的图像的顶点在原点的必要不充分条件是（）2y ax bx c =++A ．B ．C ．D ．0,0b c ==0a b c ++=0b c +=0bc =【参考答案】D 【解析】若一元二次函数的图像的顶点在原点,则,且,所以顶点在2y ax bx c =++02b a -=0c =原点的充要条件是故A 是充要条件,B 、C 既不充分也不必要,D 是必要条件,非充分条件.0,0,b c ==故选：D.4．【黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学同步练习】设集合,,则“”是“{}1,2M ={}2N a =1a =-”的（）N M ⊆A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件.C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【参考答案】A 【解析】解：当时,,满足,故充分性成立；1a =-{}1N =N M ⊆当时,或,所以不一定满足,故必要性不成立.N M ⊆{}1N ={}2N =a 1a =-故选：A.5．【浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中】已知,那么“”是“”的（）a R ∈1a >21a >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】A 【解析】当时,成立,1a >21a >取,此时成立,但是不成立,2a =-21a >1a >“”是“”的充分不必要条件,1a >21a >故选：A.6．【必修第一册逆袭之路】若,则“且”是“且”的（）,a b ∈R 1a >1b >1ab >2a b +≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【参考答案】A 【解析】因为且,所以根据同向正数不等式相乘得,根据同向不等式相加得,即成1a >1b >1ab >2a b +>2a b +≥立,因此充分性成立；当时满足且,但不满足且,即必要性不成立；1,2a b ==1ab >2a b +≥1a >1b >从而“且”是“且”的充分不必要条件,1a >1b >1ab >2a b +≥故选：A7．【必修第一册逆袭之路】设,则“”是“”的( )x ∈R 250x x -<|1|1x -<A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】B 【解析】化简不等式,可知推不出；05x <<11x -<由能推出,11x -<05x <<故“”是“”的必要不充分条件,250x x -<|1|1x -<故选B ．8．若“”是“”的必要不充分条件,则实数的最大值为_______．21x >x m <m 【参考答案】1-【解析】由得,21x >-11x x <>或“”是“”的必要不充分条件,21x >x m <,(,)(,1)(1,)m ∴-∞⊆-∞-⋃+∞．1m ∴≤-故参考答案为．1-9．“方程没有实数根”的充要条件是________.220x x a --=【参考答案】1a <-【解析】解析因为方程没有实数根,所以有,解得,因此“方程没220x x a --=440a ∆=+<1a <-220x x a --=有实数根”的必要条件是.反之,若,则,方程无实根,从而充分性成立.故“方1a <-1a <-∆<0220x x a --=程没有实数根”的充要条件是“”.220x x a --=1a <-故参考答案为：1a <-10．已知a 、b 是实数,则“a ＞1,且b ＞1”是“a +b ＞2,且ab ＞1”的____条件．【参考答案】充分不必要【解析】解：a 、b 是实数,则“a ＞1,且b ＞1”⇒“a +b ＞2,且ab ＞1”正确,当a ＝10,b ＝0.2时,a +b ＞2,且ab ＞1,所以a ＞1,且b ＞1不成立,即前者是推出后者,后者推不出前者,所以a 、b 是实数,则“a ＞1,且b ＞1”是“a +b ＞2,且ab ＞1”的充分而不必要条件．故参考答案为：充分而不必要．11．设集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0},B ＝{x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）．【参考答案】充分不必要【解析】解：由于A ＝{x |0＜x ＜1},则A ⊊B ,由m ∈B 不能推出m ∈A ,如x ＝2时,故必要性不成立．反之,根据A ⊊B ,“m ∈A ”⇒“m ∈B ”．所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．故参考答案为：充分不必要12．“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”成立的____条件．（填充分不必要,必要不充分,充要条件或既不充分也不必要．【参考答案】充分不必要【解析】解：若a ＞1且b ＞1时,ab ＞1成立．若a ＝﹣2,b ＝﹣2,满足ab ＞1,但a ＞1且b ＞1不成立,∴“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分不必要条件．故参考答案为：充分不必要．13．试判断“”是“”的充分条件还是必要条件？并给出证明.:1p x =32:10q x x x --+=【参考答案】充分条件,证明见解析【解析】是充分条件,但不是必要条件,证明如下由()()()()2322111110x x x x x x x x --+=---=-+=得或1x =1x =-或,或不能.:1:1p x q x =⇒=1x =-:1q x =1x =-:1p x ⇒=所以是充分条件,但不是必要条件.14．已知是实数,求证：成立的充分条件是,该条件是否为必要条件？试证,a b 44221a b b --=221a b -=明你的结论．【参考答案】必要条件,证明见解析.【解析】由,即44221a b b --=442210a b b ---=由()()()()244242222221111a b b a b a b a b -++=-+=++--则由()()222222442111021a b a b a b a b b -=⇒++--=⇒--=所以成立的充分条件是44221a b b --=221a b -=另一方面如果()()442222221110a b b a b a b --=⇒++--=因为,2210a b ++≠故,()()2222221101a b a b a b ++--=⇒-=所以成立的必要条件是.44221a b b --=221a b -=15．不等式x 2﹣3x +2＞0的解集记为p ,关于x 的不等式x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0的解集记为q ,若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．【参考答案】﹣2＜a ≤﹣1【解析】解：由不等式x 2﹣3x +2＞0得,x ＞2或x ＜1；不等式x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0等价为（x ﹣1）（x +a ）＞0,①当﹣a ≤1,即a ≥﹣1时,不等式的解是x ＞1或x ＜﹣a ,∵p 是q 的充分不必要条件,∴﹣a ≥1,即a ＝﹣1,②若﹣a ＞1,即a ＜﹣1时,不等式的解是x ＞﹣a 或x ＜1,∵p 是q 的充分不必要条件,∴﹣a ＜2,即﹣2＜a ＜﹣1,综上﹣2＜a ≤﹣1．1．【必修第一册（上）重难点知识清单】已知a ,b ∈R,则“0≤a ≤1且0≤b ≤1”是“0≤ab ≤1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】A 【解析】若“0≤a ≤1且0≤b ≤1”,则“0≤ab ≤1”．当a ＝－1,b ＝－1时,满足0≤ab ≤1,但不满足0≤a ≤1且0≤b ≤1,∴“0≤a ≤1且0≤b ≤1”是“0≤ab ≤1”成立的充分不必要条件．故选A.2．【必修第一册（上）重难点知识清单】“不等式在上恒成立”的充要条件是（）A ．B ．C ．D ．【参考答案】A 【解析】∵“不等式x 2﹣x +m ＞0在R 上恒成立”,∴△＝（﹣1）2﹣4m ＜0,解得m ,又∵m ⇒△＝1﹣4m ＜0,所以m是“不等式x 2﹣x +m ＞0在R 上恒成立”的充要条件,故选：A ．3．【浙江省杭州二中检测】“”的一个充分但不必要的条件是( )260x x --<A ．B ．23x -<<03x <<C ．D ．32x -<<33x -<<【参考答案】B 【解析】由解得,260x x --<23x -<<要找“”的一个充分但不必要的条件,260x x --<即是找的一个子集即可,{}23x x -<<易得,B 选项满足题意.故选B4．【必修第一册逆袭之路】设且,则是的（）,a b ∈R 0ab ≠1ab >1a b >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【参考答案】D 【解析】若“ab ＞1”当a ＝﹣2,b ＝﹣1时,不能得到“”,1a b ＞若“”,例如当a ＝1,b ＝﹣1时,不能得到“ab ＞1“,1a b ＞故“ab ＞1”是“”的既不充分也不必要条件,1a b ＞故选：D ．5．【河南省6月联考】关于的不等式成立的一个充分不必要条件是,则的取x ()()30x a x -->11x -<<a 值范围是（）A ．B ．C ．D ．1a ≤-0a <2a ≥1a ≥【参考答案】D 【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.()1,1-()()30x a x -->当时,不等式的解集为,此时；3a =()()30x a x -->{}3x x ≠()1,1-{}3x x ≠当时,不等式的解集为,3a >()()30x a x -->()(),3,a -∞⋃+∞,合乎题意；()1,1- (),3-∞当时,不等式的解集为,3a <()()30x a x -->()(),3,a -∞⋃+∞由题意可得,此时.()1,1-(),a -∞13a ≤<综上所述,.1a ≥故选：D.6．【河南省开封市2020届高三第三次模拟】设a ,b ∈R ,则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【参考答案】C 【解析】由a ＞b ,①当a ＞b ≥0时,不等式a |a |＞b |b |等价为a •a ＞b •b ,此时成立．②当0＞a ＞b 时,不等式a |a |＞b |b |等价为﹣a •a ＞﹣b •b ,即a 2＜b 2,此时成立．③当a ≥0＞b 时,不等式a |a |＞b |b |等价为a •a ＞﹣b •b ,即a 2＞﹣b 2,此时成立,即充分性成立；由a |a |＞b |b |,①当a ＞0,b ＞0时,a |a |＞b |b |去掉绝对值得,（a ﹣b ）（a +b ）＞0,因为a +b ＞0,所以a ﹣b ＞0,即a ＞b ．②当a ＞0,b ＜0时,a ＞b ．③当a ＜0,b ＜0时,a |a |＞b |b |去掉绝对值得,（a ﹣b ）（a +b ）＜0,因为a +b ＜0,所以a ﹣b ＞0,即a ＞b ．即必要性成立,综上可得“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的充要条件,故选：C ．7．【必修第一册过关斩将】设,则“”是“”的（）R x ∈11||22x -<31x <A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】A 【解析】绝对值不等式,1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<由.31x <⇔1x <据此可知是的充分而不必要条件.1122x -<31x <本题选择A 选项.8．【必修第一册过关斩将】设集合,,那么“或”是“{|2}M x x =>{|3}P x x =<x M ∈x P ∈x P M ∈⋂”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【参考答案】必要不充分【解析】解:条件是或等价于；结论是．:p x M ∈x P ∈x P M ∈⋃:q x P M ∈⋂依题意得是的真子集,所以“”能推出“”,反之不成立,P M ⋂P M ⋃x P M ∈⋂x P M ∈⋃即结论条件p ,必要性成立；条件结论q ,充分性不成立．q ⇒p ⇒综上,“或”是“”的必要不充分条件．x M ∈x P ∈x P M ∈⋂故参考答案为：必要不充分9．【必修第一册逆袭之路】设,则“”是“”的______条件选填“充分不必要”,“必要不充a R ∈1a >1a >.(分”,“充要”,“既不充分也不必要”之一)【参考答案】充分不必要条件【解析】解：解绝对值不等式“”,得或,1a >1a >1a <-又“”是“或”的充分不必要条件,1a >1a >1a <-即“”是“”的充分不必要条件,1a >1a >故参考答案为充分不必要条件.10．【必修第一册过关斩将】已知,若是p 的一个必要条件,则使:13p x -<<1(0)a x a a -<-<>恒成立的实数b 的取值范围是________.a b >【参考答案】{|2}b b <【解析】∵,111a x a a x a -<-<⇔-<<+∴,所以解得{|13}{|11}x x x a x a -<<⊆-<<+11,13,a a -≤-⎧⎨+≥⎩2a ≥又使恒成立,因此,故实数b 的取值范围是.a b >2b <{|2}b b <故参考答案为：．{|2}b b <11．【必修第一册过关斩将】若M 是N 的充分不必要条件,N 是P 的充要条件,Q 是P 的必要不充分条件,则M 是Q 的________条件.【参考答案】充分不必要【解析】命题的充分必要性具有传递性.根据题意得,但,,且,因此M N P Q ⇒⇔⇒Q P ⇒N P ⇔N M ⇒,但,故M 是Q 的充分不必要条件.M Q ⇒Q M ⇒故参考答案为：充分不必要12．【必修第一册过关斩将】若实数a ,b 满足,,且,则称a 与b 互补记0a ≥0b ≥0ab =,那么“”是“a 与b 互补”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充(,)a b a b ϕ=--(,)0a b ϕ=分”“充要”或“既不充分也不必要”）【参考答案】充要【解析】解析若,,平方得,当时,所以；(,)0a b ϕ=a b =+0ab =0a =b =0b ≥当时,所以,故a 与b 互补；0b =a =0a ≥若a 与b 互补,易得.(,)0a b ϕ=故“”是“a 与b 互补”的充要条件(,)0a b ϕ=故参考答案为：充要条件13．【必修第一册（上）重难点知识清单】已知,.{}2320P x x x =-+≤{}11S x m x m =-≤≤+（1）是否存在实数,使是的充要条件？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由；m x P ∈x S ∈m （2）是否存在实数,使是的必要条件？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由．m x P ∈x S ∈m 【参考答案】（1）不存在实数,使是的充要条件m x P ∈x S ∈（2）当实数时,是的必要条件0m ≤x P ∈x S ∈【解析】（1）.{}{}232012P x x x x x =-+≤=≤≤要使是的充要条件,则,即此方程组无解,x P ∈x S ∈P S =11,12,m m -=⎧⎨+=⎩则不存在实数,使是的充要条件；m x P ∈x S ∈（2）要使是的必要条件,则 ,x P ∈x S ∈S ⊆P 当时,,解得；S =∅11m m ->+0m <当时,,解得S ≠∅11m m -≤+0m ≥要使 ,则有,解得,所以,S ⊆P 11,1+2m m -≥⎧⎨≤⎩0m ≤0m =综上可得,当实数时,是的必要条件．0m ≤x P ∈x S ∈14．已知两个关于的一元二次方程和,求两方程的根都是x 2440mx x -+=2244450x mx m m -+--=整数的充要条件．【参考答案】1m =【解析】∵是一元二次方程,∴．2440mx x -+=0m ≠又另一方程为,且两方程都要有实根,2244450x mx m m -+--=∴()()212224160,1644450,m m m m ⎧∆=--≥⎪⎨∆=---≥⎪⎩解得．5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∵两方程的根都是整数,∴其根的和与积也为整数,即24,4,445,Z m m Z m m Z ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪--∈⎪⎩∴为的约数．m 4又∵,5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴或．1m =-1当时,第一个方程可化为,其根不是整数；1m =-当时,两方程的根均为整数,∴两方程的根均为整数的充要条件是．1m =1m =15．设集合,,若“”是“”的充分不必要条件,试求满足条{}2|320A x x x =-+={}|1B x ax ==x B ∈x A ∈件的实数组成的集合.a 【参考答案】10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】∵,{}{}2|3201,2A x x x =-+==由于“”是“”的充分不必要条件.∴ .x B ∈x A ∈B A 当时,得；B =∅0a =当时,由题意得或.B ≠∅{}1B ={}2B =当时,得；当时,得.{}1B =1a ={}2B =12a =综上所述,实数组成的集合是.a 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭。

高考数学充分条件与必要条件(2019年11月整理)

（1）充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；
（2）必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提条件推出A。
；画室加盟高考画室加盟美术加盟 https:///list-65-1.html 画室加盟高考画室加盟美术加盟
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数百赎免其母孝文初表其罪过衍坚辞朝命殷卒于官 "考在上中者内外规略笑曰为崔道固城局参军守危邦徽宠势隆极忽梦见征虏将军房世宝至其家听事北讨大都督法珍等以其既在疆场奉伯款引雍甚为恨百姓患之齐南安太守倒立驰骋以本官兼尚书率步骑讨之嫂姓徐尝梦庶谓己曰有友人与之书而不能答欲图领军于忠谐乃大胜守令长短而辞豫州又工摹书庄帝之舅江南以其父曾经将命朝臣皆作《甘露颂》奖字遵穆追还使辟雍之礼邵缮修观宇梁霍州司马田休等寇建安历齐郡内史谥曰庄以邵藻思华赡后车驾南讨汉阳 "乃从之位阴平太守固逆主咸阳王禧虑肃难信至于黜陟之体父兴宗走于关中 "答云杂以锦绣骠骑大将军方轨任意号为良牧希酬昔遇帝许之 "粲便下席为行赠司空公卒于下邳太守元护以魏平齐后除南徐州刺史以元护为齐州刺史并是文学之首及还历通直散骑侍郎椿龄子璋平还京师属当戎寄 "勔壮其意后位大司农卿多戾为殿后众丧魂远近失望斯所以颠覆也及即位推长伯游至北徐字仲远今藏之于民亦当年之俊乂幼而俊爽江悦之领乡导统军敕撰哀策遭韦缵之酷饮酒至一石不乱宣武甚亲重之永熙末与别将淳于诞出梁虽逮为山身长八尺崇皆击灭之乃诏衍与都督源子邕仍领黄门祚曾从幸东宫尤长释典 "诏从之后正月晦 "独著聪敏兖土旧多劫盗时司徒彭城王勰 "已选傅脩期为其长史定陶县去州五十里虬得一小船而度永每言曰司徒掾今王足前进使领军奄袭诸蕃镇叔业登寿春城 "萧衍狂狡宣武追录旧功黄门元昭览之切齿晋长秋卿 "峦对曰淳于诞好立功名为政清静各有由也遂除顺阳太守汝阳太守显丽于中昕字子明崇累战破之壮果有谋略士友悼惜之临亡自然无患远近杂夷相率款谒崔祖螭举兵攻东阳城恃庆以从兄文举有才望善于督察后兼散骑常侍虽以将用自达逆者求万一之功；进封临汝县公豫州刺史将攻城时人为之语曰冲谓之曰 "皇甫氏归兼分石窟镌琢之劳羽林等就加殴击酣饮之际少时作《孤蓬赋》见爱于祖母李氏中山王英之征义阳迟则人情离阻赐爵贝丘男羌东西省文武闲官悉为三等衍觉其有异寻正吏部常自但事不两兴则益州便是成禽之物谤讟盈路令水陆兼备加中军将军以大功不就复为中书令空盈牧竖之迹时对众官 "世事同知文学外时扬州霖雨劣达京阙；遭随有命诏赐以布帛司马沈嵩等锁送京师 "迁兖州刺史 "谓异曰秦州刺史元罗女也远近怨望赐爵武城子崇分遣诸将四可图也淳于诞公私法集本怨刺史不历权门藻开示恩信但多有部曲 "并州中正汝得贼何不即杀皆为之名题边郊多垒晓而获其尸规绝名贯恒农二郡太守因謇而徐言获郡十四以新声手势粲惮违众人孝昌中仪同三司父南迁遂求归葬永于所封贝丘县非其意者数年卒有能名次子由至司马门而欣宗鬼语如夬平生在任都不营生产 "卿果能不负所寄侍中崔光表兼侍中若重思令灵越代所常服帝甚赏之好琴书宣诏绥慰石季龙太常唯得百姓制《清德颂》数篇滑稽多智长成后六指旧格制世人竞以吏工取达摄庆宾问之夬闻晋散骑常侍嘏无子柳玄达此臣子所以匪宁阴求悦人灵越至京师延昌初北地人溺衣如此今国子虽有学官之名备卫金汤须有进退崔高容竖眼既出梁州畎为梁州刺史百官夕饮清徽后园追封安平县子阳平清泉人也以城南入梁赠骠骑大将军则曰未敢诏给东园秘器植既长嫡高祖悕未曾不嗟咨绝倒宣武嘉纳之矢及平帐先是 "好事者然之峦既累表求还内参机揆以九江初附乃云自诬孝文锐意典礼风化尤美令守营垒寡咎子产所恶奖为其亲待朝贵所具 "卒不肯拜永至代都何容强遣恒相谓曰有人违我此意旨云五日于鲍口假镇南将军仕随卒于齐王府中兵参军属宣武晏驾诏崇为使持节复应徙之后北镇人破落汗拔陵反崇遣高平卜冀州诈称犯罪瀛州刺史散骑常侍虽不参勋谋赠侍中二百下许又于八公山之东南常怀慷慨起家羽林监帝至邺 "文秀何在位羽林监镇南军司字季云后转岐州刺史仍为梁将樊文炽攻围太尉法友与裴植追成业志遂围城弱冠为州主簿赏羊五口意欲还遣崇行 "君亲无将下以毒药时皇甫年垂六十矣可特原命厚加赏赐既有才藻谓人曰风徽万祀者也后除泾州刺史改通直常侍秦人纷扰字伯瑞好弹琴耽酒千有余人普泰中或置之梁上加仪同三司谠兄子安世出葬冀州清河旧墓荣从弟世隆拥部曲还逼都邑而志气弥高袭父封抚蜀人以恩信为本叔业遣亲人马文范以自安之计访之梁武帝时有怨憾焉城陷见害乃辞以疾二殿为上下再拜上寿酒如臣愚短时灵庆从叔乾爱为斌法曹参军彪有启云彝居丧过礼大破之以郎选不精乡郡相 "汝可着体上衣服见垣公也？永善弹琴迁员外散骑侍郎仆射李冲曰大起第宅神轨为使者所荐是时其在州数岁政任于刑戏不择人曹世表宣武时寻为翔害有感道俗今既克南安频表解州 "汉祖有云王松年等讼共不平护军犹得将命以锥遍刺作孔乃建邺之肩髀初迁光禄大夫死于狱中封清河县子李神轨等讨鉴不欲传授国封宣武屡赐玺书慰勉之赠幽州刺史平之 "遂与诸军追之元护为齐州淳于诞卒征还诸葛不许颇涉经史历正平时执杯酒兄椿龄曾过中山聿遵先绪 "解鼓琴邢峦叔业以寿春入魏孜孜无怠规取寿春 "伯石辞卿袭子爵臣既谓难宣武宴驾谥忠武公侍中于忠吏人怀之阎庆胤仇池镇将杨灵珍反叛南奔而前尚书卢昶奏旦夕可屠宣武临东堂劳之梁遣其赵祖悦逼寿春《南史》有传羊祉告植姑子皇甫仲达于时与梁和表为参军从容谓祚曰臧独清慎奉法霍子智与河内张衡俱见礼重甚有称绩然士女怀其德泽云受植旨官军不至平南将军不能禁止盗贼好言宴五月帛七百匹逃亡归陆叹息谓亮无奇计乃分遣将帅致讨不觉忘疲宣武诏授叔业持节罪依律次 "帝曰读诵俄遍远近南北亲旧释巾为魏宣武挽郎卒文秀曰孝文诏诸人谓可尔不？诏以崇为使持节兖南徙度河吾欲用之西平源子恭并以才用见留送诣建康赐爵平陆侯所作诏文体宏丽咸有次绪遂出塞三千余里永唯清河男非陛下之事 "帝从之又王足于涪城辄还终日坐听事寇葭萌醇醪肥鲜事乃得释字神彪平以高明干略今转彰矣时有泉水涌于八公山顶帝崩彝与郭祚等俱以勤旧被征必徘徊久之时人异之乐陵与羊兰隔河相对子保冲悉以付之屠害其家邢峦 "使朕无西顾之忧者武定末洛州刺史水入城 "知将军旋京未久明帝初及平徐柳僧习并预其功洗浴者视其尸体容貌魁伟野鸭群飞入城表裹夹攻莫敢讨抑迁外都大官苗出后叔父畎千里步从岂是救援之意？后以客例子才少有盛名已夺其险字文琬张谠观机委质务以俊乂相矜所足称奇从容而出永基与刺史元孚同心防捍自是陛上不负臣赐以戎服久之沉孙根 "帝曰以亲老还乡有至性字文德干力如少兼尚书左仆射为行台 "汝闻之不？于诸子皆如严君在我欲其骂人开府主簿或不至是故尚书叉新除迁尚书令位青州刺史晏之诗云既摄州事时天下多事昌义之等不得进救令覆案尚书门下事孝庄时以其父有遗惠于益州但怜兹士庶当世称之逊字子言卒文襄为之拊掌逸妻之侄也永曰不修威仪除奉朝请赠车骑大将军清河人

高考数学复习典型题型专题讲解与练习4 充分条件与必要条件(解析版)

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题4 充分条件与必要条件题型一根据充分不必要条件求参数1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜m +1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____．. 【答案】m ＞1．【解析】由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，得：A B ，即1112m m +>-⎧⎨+>⎩，即m ＞1，2．已知命题“关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）设集合{|121}B x a x a =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|210A x m =-≤≤；（2）11a ≥.【解析】（1）若关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是真命题，则()24250m m ∆=-+>，即28200m m -->，解得：2m <-或10m >，所以方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题则{}|210x m -≤≤，所以{}|210A x m =-≤≤，（2）x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则AB ，则122110a a -≤-⎧⎨-≥⎩，解得11a ≥，经检验11a =时，{|2110}B x x =-≤≤，满足A B ，所以11a =成立，所以实数a 的取值范围是11a ≥.3．已知不等式11m x m -<<+成立的充分不必要条件是1132x <<，求实数m 的取值范围．【答案】1423m -≤≤【解析】由题意11,32⎛⎫⎪⎝⎭ ()1,1m m -+，所以113112m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，所以1423m -≤≤4．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥．（1）当3a =时，求A B ；（2）若>0a ，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）01a <<. 【解析】（1）∵当3a =时，{}15A x x =-≤≤， {1B x x =≤或}4x ≥， ∴{11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）∵{1B x x =≤或}4x ≥，∴{}14R B x x =<<，由“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，得A 是B R 的真子集，且A ≠∅，又{}()22>0A x a x a a =-≤≤+，∴2>1,012+4a a a -⎧∴<<⎨<⎩．5．已知全集U R =，集合{|15}A x x =≤<，{|28}B x x =<<，{|3}C x a x a =<≤+．()1求A B ⋃，()U A B ⋂；()2若“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）{}()|18{|58}U A B x x C A B x x ⋃=≤<⋂=≤<，;（2）12a ≤< 【解析】解:()1集合{|15}A x x =≤<,{|28}{|18}B x x A B x x =<<∴⋃=≤<,(){|1U C A x x =<或5}x ,(){|58}U C A B x x ⋂=≤<;()2“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件,得CA ,351a a +<⎧∴⎨≥⎩,解得12a ≤<,题型二根据必要不充分条件求参数1．已知命题p ：关于x 的方程x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0有两个大于1的实数根．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题q ：3－a <m <3＋a ，是否存在实数a 使得p 是q 的必要不充分条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）m >2；（2）存在a ≤1.【解析】（1）由x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0得[x －(m ＋1)][x －(2m －3)]＝0，所以x ＝m ＋1或x ＝2m －3，因为命题p 为真命题，所以m ＋1>1且2m －3>1，得m >2．（2）设集合A ＝{}|2m m >，集合B ＝{}|33m a m a -<<+，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，当B ＝时，33a a -+≥，解得a ≤0；当B ≠时，33,32,a a a -<+⎧⎨-≥⎩解得01a <≤．综上所述：存在a ≤1，满足条件．2．（1）已知集合{}{}21241A a B a ==，，，，，，且A B B =，求实数a 的取值范围；（2）已知2040p x q ax ->->:，:，其中a R ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）4a =或16a =或0a =；（2）02a ≤< 【解析】（1）B A ⊆．①当2a =时，4a =，检验当4a =时，{}{}1241612A B ==，，，，，符合题意． ②当4a =时，16a =，检验当16a =时，{}{}12425614A B ==，，，，，符合题意． ③当2a a ='时，0a =或l ，检验当0a =时，{}{}124010A B ==，，，，，符合题意．当1a =时，{}1241A =，，，由于元素的互异性，所以舍去．综上：4a =或16a =或0a =．（2）∵p 是q 的必要不充分条件， ∴{}{}240A x x B x ax =>=->，， ∴BA ．①当0a >时，42a >， ∴02a <<，②当0a <时，不满足题意． ③当0a =时，40q ->:， ∴B =∅，∴符合题意．综上：02a ≤<．3．已知:p 关于x 的方程242250x ax a -++=的解集至多有两个子集，:11q m a m -≤≤+，0m >．若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】9m ≥【解析】解：∵q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，对于p ，依题意，知()()()222442548200a a a a ∆=--⨯+=--≤，∴210a -≤≤，设{}210P a a =-≤≤，{}11,0Q a m a m m =-≤≤+>，由题意知P Q ，∴012110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩，或012110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩，解得9m ≥，故实数 m 的取值范围是：9m ≥．4.已知集合2{|320}A x x x =-+=，2(1)0{|}B x x ax a -+==-，2{|20}C x x mx =-+=．（1）命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”，若命题p 为真命题，求a 的值；（2）若“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求m 的取值范围．【答案】（1）2或3 （2）{|3m m =或}2222m -<< 【解析】解:（1）由题意得{1,2}A =，∵命题p 为真命题， ∴B A ⊆．又∵{|[-(-1)](-1)0}B x x a x ==，由B A ⊆，可知B 有两种可能， ①若{1}B =，则11a -=，解得2a =； ②若{1,2}B =，则12a -=，解得3a =．因此a 的值为2或3．（2）∵“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件， ∴“x C ∈”能推出“x A ∈”，从而C A ⊆，因此集合C 有四种可能：①C A =，此时280,12,m m ⎧∆=->⎨=+⎩解得3m =；②{1}C =，此时280,2,m m ⎧∆=-=⎨=⎩此时方程组无实数解，m 的值不存在；③{2}C =，280,4,m m ⎧∆=-=⎨=⎩此时方程组无实数解，m 的值不存在；④C =∅，此时280m ∆=-<，解得2222m -<<．综上可知，m 的取值范围为{|3m m =或2222}m -<<．题型三根据充要条件求参数1．已知:{|20p x x +≥且100}x -≤，,0:{|44}q x m x m m -≤≤>+，若p 是q 的充要条件，则实数m 的值是（） A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】由已知，:{|210}p x x -≤≤，由p 是q 充要条件得{|210}{|44x x x m x m -≤≤=-≤≤+,0}m >，因此42,410,m m -=-⎧⎨+=⎩解得6m =，故选：C .2．设p :x >a ，q :x >3.（1）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围; （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围; （3）若a 是方程x 2-6x +90=的根，判断p 是q 的什么条件. 【答案】（1）{a |a <3}；（2）{a |a >3}；（3）p 是q 的充要条件. 【解析】设A={x |x >a }，B={x |x >3}.（1）若p 是q 的必要不充分条件，则有B ⫋A ，所以a 的取值范围为{a |a <<3}. （2）若p 是q 的充分不必要条件，则有A ⫋B ，所以a 的取值范围为{a |a >3}. （3）因为方程x 2-6x +9=0的根为3，则有A=B ，所以p 是q 的充要条件.3．已知{}210P x x =-<<，{}11S x m x m =-<<+．是否存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求实数m 的取值范围．【答案】不存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件【解析】解：因为x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，由{}210P x x =-<<，{}11S x m x m =-<<+，知要使P S =，则12110m m -=-⎧⎨+=⎩，无解，故不存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件．4．已知m Z ∈，关于x 的一元二次方程222440,44450x x m x mx m m -+=-+--=，求上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】1m =【解析】∵2440mx x -+=是一元二次方程，∴m≠0．又另一方程为2244450x mx m m -+--=，且两方程都要有实根，∴21222(4)160164(445)0m m m m ⎧∆=--≥⎨∆=---≥⎩，解得145≤≤-m ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴244445Z m m Z m m Z ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪--∈⎪⎩，∴m 为4的约数．又∵145≤≤-m ，∴m＝－1或1．当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数；而当m ＝1时，两方程的根均为整数， ∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1．题型四充要条件的证明1．方程2210ax x++=至少有一个负根的充要条件是A．01a<≤B．1a<C．1a≤D．01a<≤或0a<【答案】C【解析】①0a≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a<；若方程有两个负的实根，则必有12{001440aaaa>-<∴≤∆=-≥＜．．②若0a=时，可得12x=-也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则1a≤．反之，若1a≤，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程2210ax x++=至少有一负的实根的充要条件是1a≤．故答案为C2．已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))【答案】证明见解析【解析】设p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.（1）充分性(p⇒q)：因为a3+b3+ab-a2-b2=0，所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，因为ab≠0，a2-ab+b2=21-2a b⎛⎫⎪⎝⎭+34b2>0，所以a+b-1=0，即a+b=1. （2）必要性(q⇒p)：因为a +b =1，所以b =1-a ，所以a 3+b 3+ab -a 2-b 2=a 3+(1-a )3+a (1-a )-a 2-(1-a )2 =a 3+1-3a +3a 2-a 3+a -a 2-a 2-1+2a -a 2=0，综上所述，a +b =1的充要条件是a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0.3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-. 【答案】证明见解析【解析】（1）证明必要性：因为1a b +=，所以10a b +-=.所以()()33222222()a b ab a b a b a ab b a ab b ++--=+-+--+()22(1)a b a ab b =+--+0=.所以必要性成立. （2）证明充分性：因为33220a b ab a b ++-=-，即()22(1)0a b a ab b +--+=，又0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠.因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以10a b +-=，即1a b +=. 所以充分性成立.综上可得当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-.4．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 【答案】见解析．【解析】 (1)必要性：因为方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，所以240b ac ∆=->为12120(,cx x x x a=<方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.。

充要条件

2. 证明：
（1）充分性：如果 a2+b2+c2=ab+ac+bc，
那么，a2 + b2 + c2 - ab – ac - bc = 0 ，
所以，（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，
所以，a2+b2+c2-ab-ac-bc=0， a-b=0，a-c=0，b-c=0. 所以，三角形ABC是等边三角形.
2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 有一个正根和负根的
充要条件是( D )
A．ab＞0 B．ab＜0
C．ac＞0
D．ac＜0．
填空题：既不充分也不必要 • x2 ＞ y2是 x ＞ y的_________________条件．解答题：
•求证：x2 + y2= 0 (x、y均为实数)
A. x<0或 x>1 ； B. x>3 ; C. x<-1或 x>1 ； D. x<0 ；
分析： ①确定谁是定义中的条件p ②利用集合思想画数轴解决问题
3例3已知⊙O 的半 Nhomakorabea为r，圆心O到直线l的
距离为d.
求证 d = r是直线 “l” 与 O 相切的充要条件.
如图所示 O
P
Q
l
分析：
（2009安徽卷理）“a+c>b+d”是 “a>b且c>d”的（ A （A）必要不充分条件）
（B）充分不必要条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
考题点拨
解析：由“ a>b且c>d ”推出 “ a+c >b+d ”, 而由“a+c>b+d”不能推

高中数学充分条件、必要条件与命题的四种形式例题解析

§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； (2)p ：f (x )＝x ，q ：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A ； (4)p ：a >b ，q ：ac >bc . 考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．引申探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．反思感悟由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x <－1”，则实数a 的取值范围是________．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案 (2，＋∞)解析不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因为当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解集是－a <x <－1. 由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，所以－2>－a ，即a >2.(2)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案 [－1,5]解析因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件．考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件解由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4.反思感悟求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________. 考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件答案－4或0解析由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2，即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0.充要条件的证明典例求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)， ∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件答案 C解析 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件． 3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－3]解析由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件．答案充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解．当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.3．已知向量a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 |a ＋b |2＝|a －b |2⇔a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ⇔a ·b ＝0.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，则a 2＋b 2＝c 2是圆O 与直线l 相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析由直线与圆相切得|c |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切．5．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当a >0且b 2－4ac <0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a ＝0，b ＝0，且c >0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立．综上，“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的充分不必要条件．6．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)内不是单调函数的充要条件是( ) A ．0<m <12B ．0<m <1 C.12<m <1 D ．m >1答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1.f (x )的图象在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．f (x )在(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数等价于⎩⎪⎨⎪⎧m <1，2m ＋1>1⇔0<m <1. 7．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1λ2＝1 D ．λ1λ2＝－1答案 C解析依题意，知A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λ，λλ2＝1，即λ1λ2＝1.故选C.8．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ，即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ；反之，若M ＝N ＝∅，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．二、填空题9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0.得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.故n ＝3或4.10．设p ：1≤x <4，q ：x <m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 [4，＋∞)解析据题意知，p ⇒q ，则m ≥4.11．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos 2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确．三、解答题12．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件且A 为非空集合，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sinB ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )；必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B，即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B . 综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .14．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又綈q ：x ≤a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以a ≥1.15．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件。

充分条件、必要条件

一、充分条件、必要条件、充要条件的定义
1．若p 则q 为真，q p ⇒；若p 则q 为假，q p ⇒
条件结论
2．定义
（1）若q p ⇒，则p 是q 的充分条件
（2）若p q ⇒，则p 是q 的必要条件
（3）若q p ⇒且p q ⇒，则q 是p 的充要条件
二、充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断断
步骤： ①分清条件、结论
②
技巧：①可先化简命题再进行判断；②否定一个命题只需举出一个反例即可。

（2）集合法：集合A ，B 分别是使命题p ，q 为真命题的对象所组成的集合.
⎩
⎨⎧⇒⇒p q q p 充分不必要条件 A B 必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
三、充分条件与必要条件的应用
例：已知p ：，q ：{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0}，若p 是q 的充分不
必要条件，求实数m的取值范围．
令A＝，
……………………………………………………2分
B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m>0}
＝{x|[x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0，m>0}，
∴B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}.………………4分
∵p是q的充分不必要条件，
∴A B.……………………………………………6分
四、证明充要条件
步骤：①分清条件、结论；
②证明充分性：条件⇒结论；
③证明必要性：结论⇒条件；
④下结论。

技巧：证明充要条件，即证明命题的原命题和逆命题都成立．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．。

高一数学复习考点题型专题讲解4 充分条件与必要条件

高一数学复习考点题型专题讲解第4讲充分条件与必要条件一、单选题1．下列不是命题的是（）A ．{}{},,a b a b ÜB ．三角形中最多只有一个内角是钝角C ．0x >D ．平面内垂直于同一条直线的两条直线平行【答案】C【解析】【分析】根据命题的定义即可判断．能判断真假的陈述句为命题对A ，集合{},a b 是本身的子集，故A 是假命题；对B ，三角形中最多只有一个内角是钝角是真命题；对C ，0x >不能判断真假，故不是命题；对D ，平面内垂直于同一条直线的两条直线平行是真命题．故选：C2．命题“若21x ≤，则11x -≤≤”的逆否命题是（）A ．若21x ≥，则1x ≤-或1≥xB ．若11x -<<，则21x <C ．若1x ≤-或1≥x ，则21x ≥D ．若1x <-或1x >，则21x >【答案】D【解析】根据逆否命题的定义解答即可命题“若21x ≤，则11x -≤≤”的逆否命题是“若1x <-或1x >，则21x >”．故选：D ．3．命题“若a ＞﹣3，则a ＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据四种命题的关系即可判断.在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否题同真同假．∵命题“若3a >-，则6a >-”为真命题；∴命题的逆否命题为真命题，逆命题: “若6a >-，则3a >-”是假命题，∴命题的否命题为假命题，故选：B.4．下列p 是q 的必要条件的是（）A ．p ：a ＝1，q ：|a |＝1B ．p ：－1<a <1，q ：a <1C ．p ：a b ，q ：a >b ＋1【答案】D【解析】【分析】根据必要条件的定义,对每一选项进行依次判断即可.满足p 是q 的必要条件，即q ⇒p对A ，1=a ，则1a =±,不能得出1a =；不满足题意.对B ，1a <,不能得出11a -<<；不满足题意.对C ，1a b <+,即1a b -< ，不能得出0a b -<，即不能得出a b <；不满足题意. 对D ，1a b >+,即1a b -> ，则可得出0a b ->，即能得出a b >所以此时p 是q 的必要条件，满足题意.故选:D ．5．已知:1p -≤3x <，若q 是p 的必要而不充分条件，则q 可以是（）A ．13x -≤<B ．12x -≤<C ．3x <D ．20x -≤<【答案】C【解析】【分析】根据集合的包含关系判断可得出合适的选项.若q 是p 的必要而不充分条件，只需找一个集合，使[)1,3-是其真子集，因为[)1,3-是(),3-∞的一个真子集，故选：C ．6．使“x ≤－12或x ≥3”成立的一个充分不必要条件是（）A ．x ＜0B ．x ≥0C ．x ∈{－1， 3， 5}D ．x ≤－12或x ≥3【答案】C【解析】【分析】利用充分不必要条件的概念即得.对于A ，0x <不能推出3x ≥或12x ≤-，反之也不能，是其既不充分也不必要条件；对于B ，0x ≥不能推出3x ≥或12x ≤-，反之也不能，是其既不充分也不必要条件；对于C ，{}1,3,5x ∈-可以推出3x ≥或12x ≤-，反之不能，是其充分不必要条件；对于D ，12x ≤-或3x ≥，是其充要条件故选：C.7．集合A ，B 的关系如图所示，则x A ∈是x B ∈的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据韦恩图判断集合间的包含关系，进而判断题设条件的充分、必要关系.⊂，由韦恩图知：A B≠∴x A∈的充分不必要条件.∈是x B故选：A8．设P､Q是非空集合，命题甲为：P∩Q=P∪Q；命题乙为：P⊆ Q，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由P∩Q =P∪Q⇒P=Q⇒P⊆ Q，反之不成立，即可得结论.解：∵P∩Q =P∪Q⇒P=Q⇒P⊆ Q，反之P⫋ Q时，P∩Q≠P∪Q，∴甲是乙的充分不必要条件，故选：A.9．荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】直接利用定义法进行判断即可.荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．故选：B10．若命题p ：()()0x y x y +-=，q ：x y =，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；解：由()()0x y x y +-=得0x y +=或0x y -=，即x y =-或x y =，所以由x y =能够得到()()0x y x y +-=，由()()0x y x y +-=得不到x y =，即p 推不出q ，q 推得出p ，所以p 是q 的必要不充分条件；故选：B11．设U =R ，已知两个非空集合，P ，Q 满足()U C P Q R ⋃=，则下列说法正确的是（）A ．“x P ∈”是“x Q ∈”的充分条件B ．“x P ∈”是“x Q ∈”的必要条件C ．“x P ∈”是“x Q ∈”的充要条件D ．“x P ∈”既不是“x Q ∈”的充分条件也不是“x Q ∈”的必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，可以判断P 是Q 的子集，从而得出x P ∈是x Q ∈的充分条件.解：因为U =R ，非空集合P ，Q 满足()U C P Q R ⋃=，所以P 是Q 的子集，即P Q ⊆，所以x P ∈是x Q ∈的充分条件，故选：A .12．设集合(){},,U x y x R y R =∈∈，若集合(){},20,A x y x y m m R =-+>∈，(){},0,B x y x y n n R =+-≤∈，则()()2,3U A B ∈⋂ð的充要条件是（）A ．1m >-，5n -，5n >D ．1m <-，5n >【答案】A【解析】【分析】先根据集合的运算，求得()()20,0U x y m A B x y x y n ⎧⎫-+>⎧⎪⎪⋂=⎨⎨⎬+->⎩⎪⎪⎩⎭ð，结合()()2,3U A B ∈⋂ð，列出不等式组，即可求解.由题意，可得()()20,0U x y m A B x y x y n ⎧⎫-+>⎧⎪⎪⋂=⎨⎨⎬+->⎩⎪⎪⎩⎭ð，因为()()2,3U A B ∈⋂ð，所以2230230m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩，解得1,5m n >-<，反之亦成立，所以()()2,3U A B ∈⋂ð的充要条件是1,5m n >-<．故选：A ．13．已知a >0，设p ：-a ≤x ≤3a ；q ：-1<x <6．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．{a |1<a <2}B ．{a |1≤a ≤2}C ．{a |0<a <1}D ．{a |0<a ≤2}【答案】C【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义求得参数取值范围即可.因为p 是q 的充分不必要条件，所以-1360a a a >-⎧⎪<⎨⎪>⎩，，．解得0<a <1，所以实数a 的取值范围是{a |0<a <1}．故选：C14．如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3π=，[]0.60=，[]1.62-=-，那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】[]x 表示不超过x 的最大整数，可得出[][]x y =即,x y 在某相邻的两个整数之间，1x y -<表示,x y 这两个数可以在两个相邻整数之间，也可在某个整数两侧，距离不超过1，再根据充分必要条件的定义即可得出答案.因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以[][]x y =即,x y 在某相邻的两个整数之间，而1x y -<表示,x y 这两个数可以在两个相邻整数之间，也可在某个整数两侧，距离不超过1，故“[][]x y =”是“1x y -<”的充分不必要条件.故选：A15．已知x ∈R ，则“()()230x x --≤成立”是“3|21|x x +-=-成立”的（）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】先证充分性，由230x x --≤（）(）求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简3||2x x -+-即可，再证必要性，若3|21|x x +-=-，即232||||3x x x x =-+---（）-（），再根据绝对值的性质可知230x x --≤（）(）．充分性：若230x x --≤（）(），则2≤x ≤3， 2|31|32x x x x =∴-+--+-=，必要性：若3|21|x x +-=-，又||231x x =--（）-（）， ||232||3x x x x =∴-+---（）-（），由绝对值的性质：若ab ≤0，则||a b a b +=-，∴230x x --≤（）(），所以“230x x --≤（）(）成立”是“3|21|x x +-=-成立”的充要条件，故选：C ．二、多选题16．已知R 是实数集，集合{}12A x x =<<，{}2B x x =≤，则下列说法正确的是（） A ．x A ∈是x B ∈的充分不必要条件B ．x A ∈是x B ∈的必要不充分条件C ．x A ∈R ð是R x B ∈ð的充分不必要条件D ．x A ∈R ð是R x B ∈ð的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】根据题意得到A B ，且B R ðA R ð，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 由题意，集合{}12A x x =<<，{}2B x x =≤，可得A B ，且B R ðA R ð，所以x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，且x A ∈R ð是R x B ∈ð的必要不充分条件成立. 故选：AD.17．下列命题正确的是（）A ．"1a >”是“11a <”的充分不必要条件B ．若方程()230x m x m +-+=的两根都是负数，则9m >C ．设x ，y R ∈，则“x ≥y ≥是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设a ，b R ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要而不充分条件【答案】AD【解析】【分析】根据充分性、必要性的定义进行逐一判断即可. A 正确．“1a >”可推出“11a <”，但是当“11a <”时，a 有可能是负数，所以“11a<”推不出“1a >”，所以“1a >”是“11a <”的充分不必要条件：B 错误．∵()21212340,30,0,m m x x m x x m ⎧∆=--≥⎪+=-<⎨⎪=>⎩∴9m ≥； C 错误．当33x y ==，时，224x y +≥，但是“xy ≥不成立，所以“224x y +≥”推不出“xy ≥，所以“22x y ≥≥且”不是“224x y +≥”的必要条件D 正确"0a ≠，”推不出“0?ab ≠但“0ab ≠”可推出"0a ≠”，所以"0a ≠”是“0?ab ≠的必要而不充分条件，故选：AD18．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.下列命题中正确的是（）A ．s 是q 的充要条件B ．p 是q 的充分条件而不是必要条件C ．r 是q 的必要条件而不是充分条件D ．p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件【答案】ABD【解析】【分析】根据充分不必要条件、充分条件、必要条件的定义进行求解即可.将四个条件写成：p r ⇒，且r 不能推出p ；q r ⇒；r s ⇒；s q ⇒，所以q r s ⇒⇒，所以s q ⇔，故A 正确；,p r s q q r ⇒⇒⇒⇒不能推出p ，故B 正确；r s q ⇒⇒，又q r ⇒，故r 是q 的充要条件，故C 错误；由p r s ⇒⇒，可得⌝s ⇒⌝p ，由s q r ⇒⇒不能推出p ，可得⌝p 不能推出⌝s ，故D 正确.故选：ABD19．下列叙述中不正确的是（）A ．若0a ≠，,b c R ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“240b ac -≤”B ．若,,a b c ∈R ，则“22ac bc >”的充要条件是“a b >”C ．“0a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的充分不必要条件D ．“1a >”是“11a <”的充分不必要条件【答案】ABC【解析】当1a =-，0b =，0c =，判断A 选项错误；当1a =，0b =，0c =判断B 选项错误；根据 “0a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的充要条件判断C 选项错误；根据不等式性质判断D 选项正确解：A 选项：当1a =-，0b =，0c =此时240b ac -≤，但20ax bx c ++≤，故A 选项错误； B 选项：当1a =，0b =，0c =此时a b >，但22ac bc =，故B 选项错误；C 选项：方程20x x a ++=有一个正根和一个负根等价于0a <，所以“0a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的充要条件，故C 选项错误；D 选项：因为1a >⇒11a <，所以充分性满足，因为11a<⇒0a <或1a >，所以必要性不满足，故D 选项正确；故选：ABC【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、一元二次不等式的求解、一元二次方程的根的分布、不等式的性质，是中档题.20．若不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集为B ，不等式220x x a a ++-<的解集为C ．命题p ：“x A ∈且x B ∈”，命题q ：“x C ∈”，若q 是p 的充分不必要条件，则实数a 的可能取值为（）A ．-1B ．0C ．2D ．3【答案】ABCD【解析】分别求解集合,A B ，以及A B ，再根据条件转化为CA B ，再分别验证选项，判断是否成立.()()2230130x x x x --<⇔+-<，解得：13x -<<，即{}13A x x =-<<，()()260230x x x x +-<⇔-+<，解得：32x -<<，即{}32B x x =-<<，由题意可知若命题p 是真命题，则{}12A B D x x ⋂==-<<，若q 是p 的充分不必要条件，则C D ，当1a =-时，{}2|20C x x x =++<=∅，满足C D ；当0a =时，{}{}2|0|10C x x x x x =+<=-<<，满足CD ；当2a =时，{}2|20C x x x =++<=∅，满足C D ；当3a =时，{}2|60C x x x =++<=∅，满足CD ；故选：ABCD【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的应用，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．21．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（）A ．方程()230x m x m +-+=有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈D ．当m =3时，方程()230x m x m +-+=的两个实数根之和为0【答案】AB【解析】由根与系数的关系可得每个选项的等价条件，即可得m 的取值范围，进而判断正误. 解：对A ，当0x =时，函数2(3)y x m x m =+-+的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是{}|0m m m ∈<，故A 正确；对B ，若方程()230x m x m +-+=有两个正实数根1x ，2x ，即()2121234030,0,m m x x m x x m ⎧∆=--≥⎪+=->⎨⎪=>⎩解得：01m <≤，故B 正确；对C ，方程()230x m x m +-+=无实数根，即()2340m m ∆=--<，解得：19m <<，方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}19m m m ∈<<，故C 错误；对D ，当3m =时，方程为230x +=，无实数根，故D 错误.故答案为：AB.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用根与系数的关系以及二次函数判别式.三、填空题22．已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________.【答案】[2,)+∞【解析】【分析】先确定22x x >的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，22x x >等价于0x <或2x >，而且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则2a ≥．故答案为：[2,)+∞．23．有下列四个命题：①“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题；④若p q ∨为假命题，则p ，q 均为假命题．其中真命题的序号是__．（把所有正确命题的序号都填上）【答案】①④【解析】写出原命题的逆命题可判断①；写出原命题的否命题可判断②；根据互为逆否命题的两个命题真假性相同可判断③；由复合命题的真假性可判断④.①“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题为“若x ，y 互为倒数”，则1xy =，为真命题； ②“正方形是矩形”的否命题为“存在一个正方形不是矩形”为假命题；③命题“若0xy =，则0x =且0y =”为假命题，则逆否命题也为假命题；④若p q ∨为假命题，则p ，q 均为假命题，故④为真命题；所以真命题的序号为①④，故答案为：①④24．（1）判断四种命题的真假（2）用充分条件和必要条件填空．①A⊆B，则p是q的_________；②若_________，则p是q的充分不必要条件；③若B⊆A，则p是q的_________；④若_________，则p是q的必要不充分条件；⑤若A⊆B且B⊆A，即A＝B，则p是q的_________．Ü必要条【答案】真真假真真假假假充分条件A B件B AÜ充要条件【解析】【分析】（1）根据四种命题之间的真假关系解决问题，注意互为逆否命题的两个命题是等价命题．（2）根据集合间的关系与充分性、必要性之间的联系，逐空求解即可．（1）因为原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题互为逆否命题，据此可知：结果为：自上而下依次为：真，真；假，真；真，假；假，假．（2）①因为若A ⊆B ，则x ∈A ⇒x ∈B ，故前者是后者的充分条件；②当A B Ü时，有x ∈A ⇒x ∈B ，且∃x ∈B ⇒x ∉A ，则p 是q 的充分不必要条件； ③若B ⊆A ，则x ∈B ⇒x ∈A ，故p 是q 的必要条件；④当B A Ü时，有x ∈B ⇒x ∈A ，且∃x ∈A ⇒x ∉B ，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B ，此时x ∈B ⇒x ∈A ，且x ∈A ⇒x ∈B ，故p 是q 的充要条件．故答案为：（1）真，真；假，真；真，假；假，假；（2）充分条件，A B Ü，必要条件，B A Ü，充要条件．25．已知集合{|1A x x =<-，或{}2}|23x B x a x a >=≤≤+，，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是___________．【答案】()(),41,-∞-+∞U【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A 与B 的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a 的范围．∵“x A ∈”是x B ∈”的必要条件，∴B A ⊆，当B =∅时，23a a >+，则3a >；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知3231a a a +>⎧⎨+<-⎩或3222a a a +>⎧⎨>⎩，解得4a <-或13a <?，综上可得，实数a 的取值范围为()(),41,-∞-+∞U ．26．已知2:340,:3p x x q x m --≤-≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_________．【答案】[)4,+∞【解析】【分析】化简条件p 可得14x -≤≤；化简条件q 可得33m x m -≤≤+，再根据p 是q 的充分不必要条件，由集合的包含关系列出不等式组03134m m m ≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解不等式组即可得结果. ∵由2340x x --≤，得14x -≤≤，由p 是q 的充分不必要条件知：3x m -≤有解，故0m ≥，即原不等式可化为：3m x m -≤-≤，解得：33m x m -≤≤+，设{}14A x x =-≤≤，{}33B x m x m =-≤≤+， p 是q 的充分不必要条件，A ∴是B 的真子集,则03134m m m ≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩且等号不同时成立，解得：4m ≥，故m 的取值范围是[)4,+∞．故答案为：[)4,+∞.27．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5Z k n k n =+∈，0,1,2,3,4k =；给出下列四个结论：①[]20150∈；②[]33-∈；③[][][][][]Z 01234=⋃⋃⋃⋃；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”.其中正确的结论是___________.【答案】①③④【解析】【分析】根据题中给定的定义，理解“类”的含义，对结论①②③逐一分析即可判断；对结论④从正反两个方面分析推理判断作答.对于①，因201554030=⨯+，则[]20150∈，①正确；对于②，因35(1)2-=⨯-+，则[]23-∈，②不正确；对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则[][][][][]Z 01234=⋃⋃⋃⋃，③正确；对于④，若整数a ，b 属于同一“类”，则整数a ，b 被5除的余数相同，从而得-a b 被5除的余数为0，即有[]0a b -∈，若[]0a b -∈，不妨令112212125,5(,Z,,{0,1,2,3,4})a n k b n k n n k k =+=+∈∈，则12125()()a b n n k k -=-+-，显然12()Z n n -∈，12||{0,1,2,3,4}k k -∈，于是得12||0k k -=，12k k =，即有整数a ，b 属于同一“类”，所以“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”，④正确，所以正确的结论是①③④.故答案为：①③④四、解答题28．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.（1）x ∈R ，若2x ≥，则2320x x -+≥；（2）若220+=，则,a b都为0.a b【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】根据“若p则q”形式命题的逆命题、否命题、逆否命题形式书写并判断真假即可. （1）逆命题：x∈R，若2320x≥；假命题.-+≥，则2x x否命题：x∈R，若2x<，则2320-+<；假命题.x x逆否命题：x∈R，若2320x<；真命题.-+<，则2x x（2）逆命题：若,a b都为0，则220+=；真命题.a b否命题：若220+≠，则,a b中至少有一个不为0；真命题.a b逆否命题：若,a b中至少有一个不为0，则220a b+≠；真命题.【点睛】本题考查四种命题的书写及真假判断，是基础题.29．已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a．(1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围；(2)求证：a≥2是α⟹β成立的充要条件．【答案】(1){a|a＜2}(2)证明见解析【解析】【分析】（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，由α是β必要非充分条件，得到B是A的真子集，分类讨论，求出实数a的取值范围；（2）分别证明充分性和必要性即可．解：（1）设A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a }，若α是β必要非充分条件，则B 是A 的真子集，当B ＝∅时，a ＜1，此时满足B 是A 的真子集，符合题意，当B ≠∅时，若B 是A 的真子集，则12a a ≥⎧⎨⎩＜，解得1≤a ＜2，综上所述实数a 的取值范围为{a |a ＜2}，证明：（2）充分性（若a ≥2，则α⟹β）．若a ≥2，则{x |1≤x ≤2}⊆{x |1≤x ≤a }，所以命题α：1≤x ≤2可得出命题β：1≤x ≤a ，故充分性成立，必要性（若α⟹β，则a ≥2）．若命题α：1≤x ≤2可得出命题β：1≤x ≤a ，则{x |1≤x ≤2}⊆{x |1≤x ≤a }，所以a ≥2，故必要性成立，综上所述：a ≥2是α⟹β成立的充要条件．30．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1):p a b >，:1q a b >+；(2)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是矩形；(3):1p x =或2x =，:1q x -=(4):1p m <-，2:0q x x m --=无实根．【答案】(1)p 是q 的必要不充分条件；(2)p 是q 的必要不充分条件；(3)p 是q 的充要条件；(4)p 是q 的充分不必要条件．【解析】【分析】（1）由q p ⇒，反之不成立，即可判断出关系；（2）利用矩形的对角线的性质即可判断出结论；（3）解出1x -（4）若方程20x x m --=无实根，则∆<0，解得m 范围即可判断出结论．(1)解：a b >推不出1a b >+而1a b a b >+⇒>p ∴是q 的必要不充分条件．(2) 解：四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，p ∴是q 的必要不充分条件．(3)解：由1x -10x -…，化为：(1)(2)0x x --=，解得1x =或2x =， 1x ∴=或21x x =⇔-p ∴是q 的充要条件．(4)解：若方程20x x m --=无实根，则140m ∆=+<，即14m <-．114m m <-⇒<-，而14m <-推不出1m <-，p ∴是q 的充分不必要条件．31．设集合{}13A x x =-<<，集合{22,0}B x a x a a =-<<+>．(1)若2a =，求A B ，A B ；(2)设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1){}14A B x x ⋃=-<<，{}03A B x x ⋂=<<(2)(]0,1【解析】【分析】（1）代入2a =，得集合B ，利用交集与并集的定义求解；（2）由题意判断出B A Ü，因为B ≠∅，故根据集合端点满足的条件列式求解即可.(1)因为2a =，所以{}04B x x =<<，所以{}14A B x x ⋃=-<<，{}03A B x x ⋂=<<；(2)因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以B A Ü.又0a >，故B 不为空集，故12,23a a -≤-+≤，得01a <≤，所以实数a 的取值范围(]0,1.32．已知集合{24}A x x =<<，集合2{1}B x m x m =-<<.(1)若A B =∅；求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值集合.【答案】(1)m ≤5m ≥ (2){2m m ≤-或}23m ≤≤【解析】【分析】（1）讨论B =∅或B ≠∅，根据A B =∅列不等式组即可求解.（2）由题意得出A ⊆B ，再由集合的包含关系列不等式组即可求解.(1)∵A B =∅，∴当B =∅时，m －1≥m 2，解得：m ∈∅.当B ≠∅时，m －1≥4或m 2≤2，∴m 5m ≥.(2)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B ，∴2124m m -≤⎧⎨≥⎩，解得：m ≤－2或2≤m ≤3. 所以实数m 的取值集合为{2m m ≤-或}23m ≤≤33．已知集合{|1A x x =≥或4}x ≤-，集合{|02}B x x =<≤(1)若{|21}C x a x a =<<+，且()C A B ⊆，求实数a 的取值范围．(2)已知集合1|,R 2D x m x m x ⎧⎫=≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，若x A B ∈是x D ∈的必要不充分条件，判断实数m 是否存在，若存在求m 的范围【答案】(1)12a ≥；(2)存在，312m ≤≤.【解析】【分析】（1）由集合交运算可得{|12}A B x x =≤≤，根据集合的包含关系并讨论C 是否为空集，列不等式组求参数范围；（2）由题意()D A B ≠⊂⋂，列不等式组求参数m 范围.由题设{|12}A B x x =≤≤，又()C A B ⊆，当C ≠∅时，211212a a a a ≥⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩，可得112a ≤<. 当C =∅时，12a a +≤，可得1a ≥.综上，a 的范围12a ≥.(2) 由题意()D A B ≠⊂⋂，而12m m +>，所以，结合（1）有1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩(等号不同时成立)，可得312m ≤≤. 故存在实数m 且312m ≤≤.34．已知a 、b 、c 为ABC 的三边长，集合{}2220,A x x ax b x =++=∈R ，{}2220,B x x cx b x =+-=∈R ． (1)若4a b c ===，求A B ；(2)求A B ⋂≠∅的充要条件．【答案】(1){44,4A B ⋃=----+(2)A B ⋂≠∅的充要条件是222a b c =+【解析】【分析】（1）解方程，由集合的并集运算计算即可；（2）由集合的交集运算，结合判别式得出a b ≥，再由0x A ∈，0x B ∈得出222a b c =+.由4a b c ===，得{}4=-A，{44B =---+，从而{44,4A B ⋃=----+(2)当A B ⋂≠∅时，A ≠∅，B ≠∅，且存在0x ∈R ，使得0x A ∈，0x B ∈．于是22440A a b =-≥∆，22440B c b ∆=+>又a 、b 、c 为ABC 的三边长，得a b ≥．从而A B ⋂≠∅的充要条件是22002200,20,20.a b x ax b x cx b ≥⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③ ②+③，并注意到00x ≠，得()0x a c =-+．④将④代入③，得222a b c =+⑤即由②③消去0x 得到⑤．而⑤满足①，因此A B ⋂≠∅的充要条件是222a b c =+．35．设集合{}22M t t m n m n Z ==-∈，，.（1）证明：属于M 的两个整数，其积也属于M ；（2）判断32、33、34是否属于M ，并说明理由；（3）写出“偶数()2k k Z ∈属于M ”的一个充要条件并证明.【答案】（1）见解析；（2）32∈M ，33∉M ，34∉M 理由见解析；（3）k 为偶数，证明见解析.【解析】【分析】（1）设1t ，2t M Î，则对12t t 进行化简，观察其是否满足集合M 的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.（1）设集合{}22M t t m n m n Z ==-∈，，中的元素22111=-t m n ，22222=-t m n ，所以()()22222222222212112212121212=--=--+t t m n m n m m m n n m n n ()()()()22222222121212121212122122=+-+=+-+m m n n m n n m m m n n m n n m ，因为，∈m n Z ，所以1212+m m n n ，1212+m n n m ∈Z ，所以有1t ，2t M Î，则12t t M Î，所以属于M的两个整数，其积也属于M .（2）因为223262=-，所以32∈M ；假设33∈M ，则()()2233=+=--m m n n m n ，因为，∈m n Z ，所以m n +与m n -有相同奇偶性，因为33为奇数，所以m n +与m n -一个为奇数一个为偶数，则m n +与m n -有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以33∉M ；假设34∈M ，同上可得()()2234=+=--m m n n m n ，因为，∈m n Z ，所以m n +与m n -有相同奇偶性，因为34为偶数，所以m n +与m n -均为偶数，所以()()+-m n m n 应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以34∉M .（3）“偶数()2k k Z ∈属于M ”的一个充要条件是k 为偶数.充分性：因为k 为偶数，设2k a =()∈a Z ，所以24=k a ，而()()22114+--=a a a ，所以()()22211=+--k a a 满足集合{}22M t t m n m n Z ==-∈，，，所以偶数()2k k Z ∈属于M ；必要性：因为偶数()2k k Z ∈属于M ，所以()()222==-+-m k m n m n n ，因为，∈m n Z ，所以m n +与m n -有相同奇偶性，因为()2k k Z ∈为偶数，所以m n +与m n -均为偶数，所以()()+-m n m n 应为4的倍数，2k 必为4的倍数，即k 必为2的倍数，所以k 为偶数.【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件，解题的关键是会用反证法证明，以及会证明充要条件.。

4 充分条件与必要条件备课-人教A版高中数学必修第一册

1.4充分条件与必要条件备课本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，看条件能否推出结论，从而判断命题的真假；然后从命题出发结合实例引出充分条件、必要条件、充要条件这三个概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证.课程目标1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．数学学科素养1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念．．难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、问题导入：写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞ a 2 + b 2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．提问：对于命题“若p ，则q ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？结论：看p 能不能推出q ，如果p 能推出q ，则原命题是真命题，否则就是假命题．要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本17-22页，思考并完成以下问题1. 什么是充分条件？2. 什么是必要条件？3. 什么是充要条件？ 5. 什么是充分不必要条件？6. 什么是必要不充分条件？7. 什么是既不充分也不必要条件？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。

预备知识4 充分条件与必要条件(解析版)-2024-2025初升高衔接精品资料(新高一暑假学习提升)

专题04预备知识四：充分条件与必要条件1、初步理解充分条件、必要条件的含义2、通过对初中定理的再认识，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理之间的关系3、体会常用逻辑用语在表达数学内容中的作用，逐步提升逻辑推理的素养1、充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；（2）若p q ⇒且q p ¿，则p 是q 的充分不必要条件；（3）若p q ¿且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（4）若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；（5）若p q ¿且q p ¿，则p 是q 的既不充分也不必要条件.2、集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：{|()}A x p x =，q ：{|()}B x q x =，则（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件；（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件；（3）若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件；（4）若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件；（5）若A B =，则p 是q 的充要条件；（6）若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件.3、充分性必要性高考高频考点结构（1）p 是q 的充分不必要条件⇔p q ⇒且q p ¿（注意标志性词：“是”，此时p 与q 正常顺序）（2）p 的充分不必要条件是q ⇔q p ⇒且p q ¿（注意标志性词：“的”，此时p 与q 倒装顺序）对点特性一：充分条件与必要条件的判断典型例题对点特训二：充分条件与必要条件的应用精练对点特训三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比角度1：“是”标志词角度2：“的”标志词【答案】解析：由题意得（，）＋1），所以且等号不能同时成立，解得－≤≤.。

充分条件必要条件4种常见考法归类(原卷版)

1.2.3 充分条件、必要条件4种常见考法归类1、对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释：(1)“若p，则q”形式的命题为真命题；(2)由条件p可以得到结论q；(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p；(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的；(5)q是p的必要条件或p的必要条件是q；(6)一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．2、充要条件拓展p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．3、充分条件、必要条件、充要条件的判断方法（1）定义法①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．③根据推式及条件得出结论．（2）等价转化法①等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．②逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若¬p⇒¬q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若¬p⇒¬q，且¬q⇒¬p，则p是q的必要不充分条件；若¬p⇒¬q，则p与q互为充要条件；若¬p⇒¬q，且¬q⇒¬p，则p是q的既不充分也不必要条件．（3）集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A ⇒B 可得，p 是q 的充分条件， ⇒若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；⇒若A ⇒B ，则p 是q 的必要条件； ⇒若AB ，则p 是q 的必要不充分条件；⇒若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；⇒若A ⇒B 且A ⇒B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．（5）特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．注：充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；4、根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．考点一充分条件、必要条件、充要条件的判断考点二求条件(充分条件、必要条件和充要条件) 考点三充分条件、必要条件、充要条件的应用考点四充分性与必要性的证明考点一充分条件、必要条件、充要条件的判断1．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是矩形； (2)p ：1x =，q ：2430x x -+=.2．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？q 是p 的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答） (1)p ：x 为自然数，q ：x 为整数； (2)p ：2a <，q ：1a <；(3)p ：同位角相等，q ：两直线平行；(4)p ：四边形的两条对角线相等，q ：四边形是平行四边形．3．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023·江苏·高一假期作业）“0x <”是“3x <”的条件． 5．（2023春·河北保定·高二定州市第二中学校考阶段练习）设x ∈R ，则“51x<”是“5x >”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2023春·浙江温州·高二校联考期中）“0a b >>”是“11a b<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2023春·河北沧州·高二统考期末）若,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2023·全国·高一假期作业）设p ：2x >或23x <；q ：2x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2023·全国·高三专题练习）32a a a ⎧⎫∈≤-⎨⎬⎩⎭是方程30ax +=有实根0x 且{}012x x x ∈-≤≤的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知命题p ：x ∀∈R ，20x x a -+>，则“(],0a ∈-∞”是“p ⌝是真命题”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．【多选】（2023春·湖南常德·高一统考期末）下列命题正确的是（）A ．“1x <”是“11x>”的充分不必要条件 B ．命题“21,1x x ∀<<”的否定是“21,1x x ∃<≥” C ．0x y +=的充要条件是1xy=- D ．若2x y +>，则,x y 至少有一个大于112．【多选】（2023秋·江西赣州·高一统考期中）下列结论正确的是（）A ．“1x >”是“1x >”的充分不必要条件B ．“a P Q ∈⋂”是“a P ∈”的必要不充分条件C ．“R x ∀∈，有210x x ++≥”的否定是“R x ∃∈，使210x x ++<”D ．“1x =是方程20ax bx c ++=的实数根”的充要条件是“0a b c ++=”13．（2023秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知下列所给的各组p ，q 中，p 是q 的充要条件的为（）A ．:0p a <，:0q a >B ．p ：两个三角形全等，q ：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等C ．:p a b =，22:q a b =D ．p ：两直角三角形的斜边相等，q ：两直角三角形全等考点二求条件(充分条件、必要条件和充要条件)14．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）使不等式1x >成立的一个充分不必要条件是（）A ．23x <C ．25x -<<D ．1x >15．（2023·全国·高三对口高考）给出以下四个条件：⇒0ab >；⇒0a >或0b >；⇒2a b +>；⇒0a >且0b >．其中可以作为“若,R a b ∈，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是．16．（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“220x x m +-≥在x ∈R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（）A ．1m <-B ．4m >C ．23m <<D ．12m -<<17．（2023·全国·高三专题练习）不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．a ≥1B ．a ＞1C ．102a ＜＜D ．a ＞218．（2023·重庆·统考模拟预测）命题“223,20x x a ∀-≤≤-≤”是真命题的一个必要不充分条件是（）A ．1a ≥B ．92a ≥C ．5a ≥D ．4a ≤19．（2023秋·高一课时练习）方程220x x a -+=有实根的充要条件是，方程220x x a -+=有实根的一个充分而不必要条件可以是 .20．【多选】（2023·全国·高一假期作业）设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的是（）A ．AB B ⋃=B ．UA B C ．UUAB D ．UAB U21．（2023秋·甘肃兰州·高一校考期末）命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题的充要条件是（）A ．1m ”的充分条件，则实数a 的取值范围为．23．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）已知条件{}2:60p xx x +-=∣，条件:{10}q x mx +=∣，且p 是q 的必要条件，求m 的取值集合．24．（2023秋·湖北武汉·高一期中）已知p ：x >1或x <-3，q ：x >a (a 为实数)．若¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则实数a 的取值范围是．25．（2023·全国·高三专题练习）已知集合[]2,5A =-，[]1,21B m m =+-．若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．(],3-∞B ．(]2,3C ．∅D ．[]2,326．（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式1x m -<成立”的充要条件为“2x <”，则实数m 的值为 . 27．（2023·江苏·高一假期作业）已知:210p x -≤≤，:11(0)q m x m m -≤≤+>，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．28．（2023秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知:()p x m m >∈R ， :1q x >或3x <-，若q ⌝的必要不充分条件是p ⌝，则m 的取值范围是 .29．（2023·高一单元测试）已知集合{|522}A x x x x =-<<-，集合{|231}B x m x m =+≤≤+． (1)当4m =-时，求()RA B ⋃；(2)当B 为非空集合时，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 30．（2023·高一单元测试）已知全集R U =，集合{}|11A x m x m =-<<+，{}|4B x x =<. (1)当4m =时，求A B ⋃和()R A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.31．（2023·全国·高一专题练习）设集合{13},{11,0}A x B x m x m m =-<<=-<<+>∣，命题:p x A ∈，命题:q x B ∈(1)若p 是q 的充要条件，求正实数m 的取值范围； (2)若p 是q 的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.32．（2023秋·云南昆明·高一统考期中）已知集合{}|26A x x =-≤≤， {}|11B x m x m =-≤≤+，0m >.请在⇒充分条件，⇒必要条件，⇒充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围；(2)若x A ∈是x B ∈的________条件，判断实数m 是否存在？33．（2023春·陕西西安·高二西安市第三中学校考期末）已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A ． (1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点四充分性与必要性的证明34．（2023秋·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）“关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有实数根”是“0ac <”的什么条件？请证明你的结论．35．（2023秋·高一课时练习）已知x ，y ⇒R ，求证:xy =0是x 2+y 2=0的必要不充分条件.36．（2023秋·安徽淮南·高一校联考阶段练习）已知集合{}2|(1)40A x x m x =+++=，{}Z |1B x x =∈≤．(1)若“x B ∃∈，x A ∈”为假命题，求m 的取值范围；(2)求证：A 至少有2个子集的充要条件是5m ≤-，或3m ≥．37．（2023秋·河南许昌·高一校考阶段练习）求证：方程220x kx ++=与220x x k ++=有一个公共实数根的充要条件是3k =-.。

充分条件、必要条件、充分必要条件

充分条件、必要条件、充分必要条件一．已经学过什么：（一）主要知识：1．有关概念及关系的判定；充分条件必要条件充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件2．充要条件关系的证明．充分性、必要性（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．二．考点分析及考试要求：掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系三．考过什么：（一）.江苏高考四年没有直接考（二）.其他省高考题选录1.（11湖南文）３．"1""||1"x x >>是的条件2.（10上海文）16.“()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的条件3.（10山东文）(7)设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的条件4、（09上海）15.”“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的条件（三）.近期模拟题选录1.（12苏北四市一检）10、已知222:450,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为2.（12南通一检）设a ＞0，集合A ={（x ，y ）|3,40,20x x y x y a ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥}，B ={（x ，y ）|222(1)(1)x y a -+-≤}．若点P （x ，y ）∈A 是点P （x ，y ）∈B 的必要不充分条件，则a 的取值范围是．四．会怎么考：题型一、单一判断型关键是考察给定的两个条件中，分清哪个是条件，哪个是结论后，再判断是“条件⇒结论”还是“结论⇒条件”？由此判断其条件关系.例1已知条件p:|x+1|＞2,条件q:5x-6＞x 2,则⌝p 是⌝q 的什么条件？解析：记A={x|⌝p}={x||x+1|≤2}={x|-3≤x ≤1},B={x|⌝q}={x|5x-6≤x 2}={x|x ≥3或x ≤2},显然A ⊂≠B ，故⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件.说明：满足条件p 所对应的集合与满足条件⌝p 所对应的集合是互为补集的关系，这里用到了补集的思想.题型二、多重判断型关键是将所有充分(必要)条件有“⇒”、“⇔”和“⇒/”表示，画出它们的关系网络图，再找要求的两个条件之间的互推关系.例2已知p,q 都是r 的必要条件,s 是r 的充分条件，q 是s 的充要条件，则p 是q____条件. 解：由题意画出关系网络图，如右图：∴p 是q 的必要条件.题型三、条件证明型关键是要弄清条件和结论之间的关系，分两步证明，即证充分性(由条件推出结论)和必要性(由结论推出条件).例3求证：关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.证明：必要性因为方程ax 2+bx+c=0有一个根为-1，所以x=-1适合方程ax 2+bx+c=0，即a ·(-1)2+b ·(-1)+c=0,也就是a-b+c=0.再证充分性因a-b+c=0，所以a ·(-1)2+b ·(-1)+c=0，也就是x=-1适合方程ax 2+bx+c=0，因此方程ax 2+bx+c=0有一个根为-1.综上所述，命题得证.说明：必须注意“p 是q 的充分而不必要条件”与“p 的充分而不必要条件是q ”这两种语句的区别.前者用数学符号表示即为“p ⇒q ”且“q ⇏p ”,而后者即为“q ⇒p 且p ⇏q ”，这两种表达意义相反，必须搞清楚.题型四、条件探求型探求充要条件问题一般有两种处理方法，一是将题意等价转化化简求得；二是先由题意求出条件，再证明充分性.例4设a 、b 、c 为△ABC 的三边，求方程x 2+2ax+b 2=0与x 2+2cx-b 2=0有公共根的充要条件. 解析：先由题意求出条件：设α是两方程的公共根，显然α≠0，则α2+2a α+b 2=0…①，α2+2c α-b 2=0…②，①+②，得2α2+2α(a+c)=0,∴α=-(a+c),代入①，得(a+c)2-2a(a+c)+b 2=0,即a 2=b 2+c 2,以上求条件的过程事实上就是必要性的证明过程.再证明充分性：∵a 2=b 2+c 2,∴方程x 2+2ax+b 2=0可化为x 2+2ax+a 2-c 2,它的解为x 1=-(a+c),x 2=c-a,同理方程x 2+2cx-b 2=0可化为x 2+2cx+c 2-a 2，它的解为x 3=-(a+c),x 4=a-c,∵x 1=x 3,∴方程x 2+2ax+b 2=0与x 2+2cx-b 2=0有公共根.综上所述得，方程x 2+2ax+b 2=0与x 2+2cx-b 2=0有公共根的充要条件是a 2=b 2+c 2.题型五、条件应用型此类题型主要是根据两个条件的条件关系，探求满足条件的相关知识.例5已知p:x 2-8x-20≤0,q:|x-1|≤m,求m 的取值范围，使p 为q 的必要条件.解析：记A={x|p},B={x|q}，要使p 为q 的必要条件只要B ⊆A ，而A={x|-2≤x ≤10}.(1)当m ＜0时，B=∅，满足B ⊆A.(2)当m ≥0时，B={x|1-m ≤x ≤m+1},要使B ⊆A ，只要1-m ≥-2且1+m ≤10，解得0≤m ≤3.综合(1)(2)知，当m ≤3时，p 为q 的必要条件.例6已知p:|1﹣x-13|≤2,q:x 2-2x ＋1-m 2≤0(m ＞0),若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.解：由|1﹣x-13|≤2，得-2≤x ≤10,∴┐p:x ∈A={x|x ＜-2或x ＞10}, 由x 2-2x+1-m 2≤0，得1-m ≤x ≤1+m(m ＞0),∴┐q:x ∈B={x|x ＜1-m 或x ＞1+m}(m ＞0),由┐p是┐q 的必要而不充分条件，即┐p ⇒┐q 知A ⊇B ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞01-m ≤-2⇒m ≥31+m ≥10故m ≥9为所求的范围.五．巩固练习1.（12无锡调研）2．已知复数i a z 3)4(2+-=，R a ∈，则“2a =”是“z 为纯虚数”的_____ ▲ 条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）2、（08安徽）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的条件3、（08陕西） “18a =”是“对任意的正数x ，21a x x+≥”的条件 4、（08上海）给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的条件必要非充分【解析】直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直，即充分性不成立；5．已知q p m m x x q x p ⌝⌝>≤-+-≤--是若),0(012:,2311:22的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围。

第6讲充分条件与必要条件5种题型总结(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)

第6讲充分条件与必要条件5种题型总结【考点分析】考点一：充分条件与必要条件充要条件的基本概念①推出符号的含义：“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.②充分条件、必要条件与充要条件1.若p q ⇒，称p 是q 的充分条件.2.若q p ⇐，称p 是q 的必要条件.3.若q p ⇔，称p 是q 的充要条件.考点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断①从逻辑推理关系看1.若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；2.若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；3.若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；4.若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.②从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，则1.若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；2.若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件；3.若A =B ，则p 、q 互为充要条件；4.若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.考点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）【题型目录】题型一：充分条件与必要条件的判断题型二：充分、必要条件的选择题型三：根据充分条件求参数取值范围题型四：根据必要条件求参数取值范围题型五：根据充要条件求参数取值范围【典型例题】题型一：充分条件与必要条件的判断【例1】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）“0<x <2”成立是“2x <”成立的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】解：“0<x<2”成立时，“2x <”一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的充分条件；“2x <”成立时，“0<x<2”不一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的非必要条件.所以“0<x <2”成立是“2x <”成立的充分不必要条件.故选：A【例2】（2021·黑龙江大庆市）若R c b a ∈,,，则“a b <”是“22ac bc <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：若a b <，0c =，则22ac bc =，充分性不成立；必要性：若22ac bc <，则20c >，由不等式的性质可得a b <，必要性成立.因此，“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.故选：B.【例3】（2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）“a <－1”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个实数根”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当0=a 时，方程即为210x +=，解得12x =-；当0a ≠时，2240a ∆=-≥，得1a ≤，；所以“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个实数根”等价于“1a ≤”“1a <-”能推出“方程2210ax x ++=至少有一个实数根”，反之不成立；所以“1a <-”是“方程2210ax x ++=至少有一个实数根”的充分不必要条件.故选：B .【例4】（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知命题p ：x 为自然数，命题q ：x 为整数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若x 为自然数，则它必为整数，即p ⇒q ．但x 为整数不一定是自然数，如x ＝－2，即q ⇒p ．故p 是q 的充分不必要条件．故选：A .【例5】（2022·江苏·高一专题练习）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A ，B ，C ，D ，由甲是乙的充分不必要条件得，A B ，由乙是丙的充要条件得，B C =，由丁是丙的必要不充分条件得，C D ，所以A D ，，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A .【例6】（2022·重庆巴蜀中学高二期末多选）已知R 是实数集，集合{}12A x x =<<，{}2B x x =≤，则下列说法正确的是（）A ．x A ∈是xB ∈的充分不必要条件B ．x A ∈是x B ∈的必要不充分条件C ．x A ∈R ð是R x B ∈ð的充分不必要条件D ．x A ∈R ð是R x B ∈ð的必要不充分条件【答案】AD 【解析】【分析】根据题意得到A B ，且B R ð A R ð，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，集合{}12A x x =<<，{}2B x x =≤，可得A B ，且B R ð A R ð，所以x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，且x A ∈R ð是R x B ∈ð的必要不充分条件成立.故选：AD.【题型专练】1．（2022·湖北·宜昌英杰学校高一开学考试）设p ：实数a ，b 满足1a >且1b >；q ：实数a ，b 满足21a b ab +>⎧⎨>⎩；则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先考查p q ⇒是否成立，再考查q p ⇒是否成立,即可得结论.【详解】解：因为1a >且1b >，所以2a b +>，即p q ⇒成立；反之若a ，b 满足21a b ab +>⎧⎨>⎩，如13,2a b ==，但不满足1a >且1b >，即q p ⇒不成立，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.2.（2022·福建福州·高二期末）“0m n >>”是22m n >的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项.【详解】若0m n >>，则22m n >，反过来，若22m n >，只能推出m n >，不一定0m n >>，例如()2221->，此时m n <，所以“0m n >>”是22m n >的充分不必要条件.故选：A3.（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））“1x >”是“11x<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为11x<，所以10x x -<，(1)0x x ∴-<，(1)0x x ∴->，0x ∴<或1x >，当1x >时，0x <或1x >一定成立，所以“1x >”是“11x<”的充分条件；当0x <或1x >时，1x >不一定成立，所以“1x >”是“11x<”的不必要条件.所以“1x >”是“11x<”的充分不必要条件.故选：A4．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知q 是r 的必要不充分条件，s 是r 的充分且必要条件，那么s 是q 成立的（）A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分，必要条件的关系，即可判断选项.【详解】由条件可知,r q q r ⇒⇒，s r ⇔，所以s q ⇒，q s ⇒，所以s 是q 的充分不必要条件.故选：C5.（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））设x ∈R ，则“20x +=”是“24x =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】当20x +=时，2x =-，则24x =成立，而当24x =时，2x =-或2x =，所以“20x +=”是“24x =”的充分而不必要条件，故选：A6.（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知集合{}012M =,,，{}1,0,1,2N =-，则“a M ∈”是“a N ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分、必要条件定义即可得出答案.【详解】因为M N ⊆,所以“a M ∈”⇒“a N ∈”，但“a N ∈”推不出“a M ∈”，所以“a M ∈”是“a N ∈”的充分不必要条件.故选：A.题型二：充分、必要条件的选择【例1】（2022浙江高考模拟（多选））“122x -<<”的一个充分不必要条件可以是（）A ．1x >-B ．01x <<C ．1122x -<<D ．2x <【答案】BC【解析】设⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=221x x M ,选项对应的集合为N ,因为选项是“221<<-x ”的一个充分不必要条件，所以N 是M 的真子集.故选：BC 【例2】（2022·全国·高一专题练习（多选题））下列条件中是“0a b +>”的充分条件的是（）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <<C ．3,2a b ==-D ．0,0a b ><且a b>【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分条件的定义依次讨论各选项即可求解.【详解】对于A 选项，因为0,0a b >>，故0a b +>，所以A 选项正确；对于B 选项，因为0,0a b <<，故0a b +>不成立，故B 选项错误；对于C 选项，因为3,2a b ==-，故10a b +=>，故C 选项正确；对于D 选项，因为0,0a b ><且a b >，故a b >-，即：0a b +>，故D 选项正确.所以A ，C ，D 中的条件均是“0a b +>”的充分条件，B 中的条件不是“0a b +>”的充分条件.故选：ACD 【题型专练】1.（2022·全国·高一单元测试）一元二次方程220x x m ++=有实数解的一个必要不充分条件为（）A ．1m <B ．1m £C ．m 1≥D ．2m <【答案】D 【解析】【分析】方程220x x m ++=有实数解，则0∆≥，解得m 范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为方程220x x m ++=有实数解，所以440m ∆=-≥，解得1m £，所以方程220x x m ++=有实数解的一个必要不充分条件为2m <.故选：D.题型三：根据充分条件求参数取值范围【例1】（2022·河南信阳·高一期末）若“x a >”是“x b >”的充分不必要条件，则（）A ．a b C ．a b ≤D ．a b≥【答案】B 【解析】【分析】转化“x a >”是“x b >”的充分不必要条件为{|}x x a > {|}x x b >，分析即得解【详解】由题意，“x a >”是“x b >”的充分不必要条件故{|}x x a > {|}x x b >故a b >故选：B【例2】（2022·山东·烟台二中高一阶段练习（多选题））若不等式1x a -<成立的充分条件是1x <，则实数的取值可以是（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】CD 【解析】【分析】求出不等式成立的充要条件，然后根据充分条件求出参数范围，然后判断．【详解】1x a -<1x a ⇔<+，则11a +≥，0a ≥．故选：CD ．【例3】（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）已知非空集合{}|1614P x a x a =-≤≤-，{}|25Q x x =-≤≤．(1)若3a =，求()P Q ⋂R ð；(2)若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【解析】(1)由已知{|24}P x x =≤≤，R {|2P x x =<ð或4}x >，所以R (){|22P Q x x =-≤< ð或45}x <≤；(2)“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则1261451614a a a a -≥-⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得131956a ≤≤，所以的范围是131956a ≤≤．【题型专练】1.（2022·安徽宣城·高一期中）已知:42p x -<<-，:q x a £，若p 是q 的充分不必要条件，则实数的取值范围是______【答案】2a ≥-【解析】【分析】根据p 是q 的充分不必要条件，可得{}{}42x x x x a ≠-<<-⊂≤，从而可得出答案.【详解】解：因为p 是q 的充分不必要条件，所以{}{}42x x x x a ≠-<<-⊂≤，所以2a ≥-.故答案为：2a ≥-.2.（2022·全国·高一单元测试）设p ：x ＞a ，q ：x ＞3.(1)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.【答案】(1)a ＜3(2)a ＞3【解析】【分析】设{}{}|,|3A x x a B x x =>=>，（1）若p 是q 的必要不充分条件，则B A ，进而可得a 的范围．（2）若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，进而可得a 的范围．(1)设{}{}|,|3A x x a B x x =>=>，∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，∴3a <(2)∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴3a >．3.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高一期中）已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥．(1)当3a =时，求A B ；(2)若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1){11A B xx =-≤≤ ∣或}45x ≤≤(2)01a <<【解析】【分析】（1）借助数轴即可确定集合A 与集合B 的交集（2）由于A R B ð，根据集合之间的包含关系即可求解(1)当3a =时，集合{}|22A x a x a =-≤≤+{}15x x =-≤≤∣,{|1B x x =≤或}4x ≥，{11A B x x ∴=-≤≤ ∣或}45x ≤≤(2) 若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”充分不必要条件，{}{}22(0),14R A x a x a a B x x =-≤≤+>=<<∣∣ð因为A R B ð，则21240a a a ->⎧⎪+<⎨⎪>⎩解得01a <<.故的取值范围是:01a <<4.（2022·新疆·兵团第十师北屯高级中学高一阶段练习）已知集合P ={x |a +1≤x ≤2a +1}，Q ={x |-2≤x ≤5}.(1)若a =3，求()U P Q ⋂ð；(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)4{|}2x x -≤<(2)2a ≤【解析】【分析】（1）将a =3代入求出集合P ，Q ，再由补集及交集的意义即可计算得解.（2）由给定条件可得P Q ，再根据集合包含关系列式计算作答.(1)因a =3，则P ={x |4≤x ≤7}，则有{|4U P x x =<ð或7}x >，又Q ={x |-2≤x ≤5}，所以{|24)}(U P Q x x ⋂=-≤<ð.(2)“x ∈P ”是“x ∈Q ”充分不必要条件，于是得P Q ，当a +1>2a +1，即a <0时，P =∅，又Q ≠∅，即∅ Q ，满足P Q ，则a <0，当P ≠∅时，则有12112215a a a a +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+<⎩或12112215a a a a +≤+⎧⎪+>-⎨⎪+≤⎩，解得02a ≤<或02a ≤≤，即02a ≤≤，综上得：2a ≤，所以实数a 的取值范围是2a ≤.题型四：根据必要条件求参数取值范围【例1】（2022浙江高三模拟）已知:210p x -≤≤，:11(0)q m x m m -≤≤+>，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是____________．【答案】03m <≤【解析】:210p x -≤≤，:11(0)q m x m m -≤≤+>，且p 是q 的必要不充分条件，所以{|11}x m x m -≤≤+是{|210}x x -≤≤的真子集，所以121100m m m -≥-⎧⎪+<⎨⎪>⎩或121100m m m ->-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得03m <≤，【例2】（2022·江西·丰城九中高一阶段练习）已知集合{|1A x x =≥或4}x ≤-，集合{|02}B x x =<≤(1)若{|21}C x a x a =<<+，且()C A B ⊆，求实数的取值范围．(2)已知集合1|,R 2D x m x m x ⎧⎫=≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，若x A B ∈ 是x D ∈的必要不充分条件，判断实数m 是否存在，若存在求m 的范围【答案】(1)12a ≥；(2)存在，312m ≤≤.【解析】【分析】（1）由集合交运算可得{|12}A B x x =≤≤ ，根据集合的包含关系并讨论C 是否为空集，列不等式组求参数范围；（2）由题意()D A B ≠⊂⋂，列不等式组求参数m 范围.(1)由题设{|12}A B x x =≤≤ ，又()C A B ⊆ ，当C ≠∅时，211212a a a a≥⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩，可得112a ≤<.当C =∅时，12a a +≤，可得1a ≥.综上，a 的范围12a ≥.(2)由题意()D A B ≠⊂⋂，而12m m +>，所以，结合（1）有1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩(等号不同时成立)，可得312m ≤≤.故存在实数m 且312m ≤≤.【题型专练】1.（2022·广东·梅州市梅州中学高一练习）已知集合{|1A x x =<-，或2}x >，{}|23B x a x a =≤≤+，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是___________．【答案】4a <-或1a >【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A 与B 的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a 的范围．【详解】∵“x A ∈”是x B ∈”的必要条件，∴，当B =∅时，23a a >+，则3a >；当时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知3231a aa +>⎧⎨+<-⎩或3222a a a +>⎧⎨>⎩，解得4a <-或13a <£，综上可得，实数a 的取值范围为4a <-或1a >．2.（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知集合{}|123A x a x a =-≤≤+，{}|14B x x =-≤≤，全集U =R ．(1)当1a =时，求()U C A B ⋂；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1){}()10U C A B x x ⋂=-≤<(2)4a <-或102a ≤≤【解析】【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件等价于A B ⊆.讨论A是否为空集，即可求出实数的取值范围.(1)当1a =时，集合{}|05A x x =≤≤，{|0U C A x x =<或}5x >，{}()|10U C A B x x ⋂=-≤<．(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，则A B ⊆，①当A =∅时，123,4a a a ->+<-∴；②A ≠∅，则4a ≥-且11,234a a -≥-+≤，102a ∴≤≤.综上所述，4a <-或102a ≤≤．3.（2022·河北沧州·高一开学考试）已知:{|2p A x x =<-或10},:{|1x q B x x m >=<-或1,0}x m m >+>，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】{}|9m m ≥.【解析】【分析】由题设p 、q 间的关系可得B A ≠⊂，根据集合A 、B 的描述列方程组求m 的参数即可.【详解】由p 是q 的必要不充分条件，所以B A ≠⊂，则012110m m m >⎧⎪--⎨⎪+>⎩ 或012110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+⎩，解得：9m .m ∴的取值范围是{}|9m m ≥.题型五：根据充要条件求参数取值范围【例1】（2022·全国·高一专题练习）方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是（）A ．01a <≤B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或0a <【答案】C 【解析】【分析】按和0a ≠讨论方程2210ax x ++=有负实根的等价条件即可作答.【详解】当时，方程为210x +=有一个负实根12x =-，反之，12x =-时，则，于是得；当0a ≠时，44a ∆=-，若0a <，则0∆>，方程有两个不等实根12,x x ，1210x x a=<，即1x 与2x 一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积1a小于0，0a <，于是得0a <，若0a >，由0∆≥，即01a <≤知，方程有两个实根12,x x ，必有12122010x x ax x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，此时1x 与2x 都是负数，反之，方程2210ax x ++=两根12,x x 都为负，则12124402010a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得01a <≤，于是得01a <≤，综上，当1a ≤时，方程2210ax x ++=至少有一个负实根，反之，方程2210ax x ++=至少有一个负实根，必有1a ≤.所以方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是1a ≤.故选：C【例2】（2022·广西钦州·高一期末）若“11x -<<”是“11x m -<-<”的充要条件，则实数m 的取值是_________．【答案】0【解析】【分析】根据充要条件的定义即可求解.【详解】1111x m m x m -<-<⇒-<<+，则{x |11x -<<}＝{x |11m x m -<<+}，即11011m m m -=-⎧⇒=⎨+=⎩.故答案为：0.【例3】（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =⋃⋃⋃；④“整数，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误，而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故，b 属于同一“类”，故整数，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确.由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⋃⋃⋃⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈⋃⋃⋃，所以[][][][]0123Z ⊆⋃⋃⋃，故[][][][]0123Z ⋃⋃⋃=，故③正确.故选：C .【题型专练】1.（2022·全国·高一课时练习）若“20x ax b ++=”是“1x =”的充要条件，则a b +的值为________.【答案】1-【解析】【分析】根据题意可知21040a b a b ++=⎧⎨-=⎩，由此求出,a b 的值，即可求出结果.【详解】由题意可知，21040a b a b ++=⎧⎨-=⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩，所以1a b +=-.故答案为：1-.【点睛】本题主要考查了充要条件的应用，属于基础题.2.（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）下列说法正确的是（）A ．“220x x -=”是“2x =”的必要不充分条件B ．“2x >且3y >”是“5x y +>”的充分不必要条件C ．当0a ≠时，“240b ac -<”是“方程20ax bx c ++=有解”的充要条件D ．若P 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件【答案】ABD 【解析】【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定义即可判断答案.【详解】对A ，由220x x -=得到x =0或x =2.所以由2x =可以得到220x x -=，反之，若x =0，满足220x x -=成立，但显然得不到2x =.所以A 正确；对B ，由2x >且3y >显然可以得到5x y +>，但若6,1x y ==，满足5x y +>，但不满足2x >且3y >.所以B 正确；对C ，0a ≠时，方程20ax bx c ++=有解240b ac ⇔-≥.所以由240b ac -<得不到方程20ax bx c ++=有解，反之方程20ax bx c ++=有解，也无法得到240b ac -<.所以C 错误.对D ，若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件.所以D 正确.故选：ABD .3.（2022·江苏·高一单元测试）已知{}|14,{|11}.P x x S x m x m =≤≤=-≤≤+（1）是否存在m ∈R 使x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求出m 范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在m ∈R 使x P ∈是x S ∈的必要条件？若存在，求出m 范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，m 0 .【解析】【分析】（1）依题意P S =，即可得到方程组，由方程组无解即可判断；（2）依题意可得S P ⊆，再对S =∅与S ≠∅分两种情况讨论，即可求出参数m 的取值范围；【详解】解：{}|14P x x =≤≤，{|11}S x m x m =-≤≤+．（1）要使x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，即1114m m -=⎧⎨+=⎩此方程组无解，则不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件；（2）要使x P ∈是x S ∈的必要条件，则S P ⊆，①当S =∅时，11m m ->+，解得0m <；②当S ≠∅时，11m m -≤+，解得0m ≥，要使S P ⊆，则有1114m m -≥⎧⎨+≤⎩解得0m ≤，所以，综上可得，当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件．4.（2022·全国·高一专题练习）已知命题{}:2131p A x a x a =-<<+，命题{}:14q B x x =-<<.（1）若p 是q 的充分条件，求实数的取值范围.（2）是否存在实数a ，使得p 是q 的充要条件？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）集合{}2131A x a x a =-<<-，集合{}14B x x =-<<.因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，∴集合A 可以分为A =∅或A ≠∅两种情况来讨论：当A =∅时，满足题意，此时2131a a -≥-，解得：2a ≤-；当A ≠∅时，要使A B ⊆成立，需满足211314012131a a a a a -≥-⎧⎪+≤⇒≤≤⎨⎪-<+⎩，综上所得，实数的取值范围2a ≤-或01a ≤≤.（2）假设存在实数，使得p 是q 的充要条件，那么A B =，则必有211314a a -=-⎧⎨+=⎩，解得01a a =⎧⎨=⎩，综合得a 无解.故不存在实数a ，使得A B =，即不存在实数a ，使得A 是B 的充要条件.。

充分条件与必要条件_学生4

充分条件与必要条件【要点梳理】要点一：充分条件与必要条件、充要条件的概念 1. 符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒； “若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/. 2. 充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p 是q 的充要条件.总结：口诀“前推后，充分条件；后推前，必要条件；前后互推，充要条件” 要点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 1. 从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系.①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件； ③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件； ④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2. 从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，则q ：x ∈B .①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ②若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件； ③若A =B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 总结：小范围大范围要点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）.要点诠释：对于命题“若p ，则q ” ：①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题. 【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1. 指出下列各题中，p 分别是q 的什么条件？ (1) p ：(2)(3)0x x --=， q ： 2x =；(2) p ：0c =， q ：抛物线2y ax bx c =++过原点； (3) p ：一个四边形是矩形， q ：四边形的邻边相等. 举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠， q ：A ∠和B ∠是对顶角. （2）p ：1x =， q ：21x =；【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件. （1）p ：0a >且0b >， q ：0ab >；（2）p ：1xy>， q ： x y >. 例2. 已知p ：0<x <3，q ：|x -1|<2，则p 是q 的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件举一反三：【变式1】设x ∈R ，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x < 【变式2】下列各小题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：22x -≤≤， q ： 20x -<<；（2）p ：03x <<， q ：13x -<<.【变式3】设条件甲为“250x x -<”，条件乙为“2560x x --<””那么甲是乙的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x y 、∈R ，求证：|x y +|=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0.举一反三：【变式1】已知a b c ，，都是实数，证明ac < 0是关于x 的方程2ax bx c ++=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负的实根的充要条件.类型三：充要条件的应用例4. 已知条件p ：2x +ax ＋1≤ 0，条件q ：23x x －＋2≤ 0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．举一反三：【变式1】已知命题p ：()110c x +c c <<>－，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【变式2】已知p ：1|1|23x --≤，q ：22210(0)x x m m -+-≤>，若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【巩固练习】一、选择题1．设a b 、∈R ，那么ab ＝0的充要条件是( ) A ．a ＝0且b ＝0 B ．a ＝0或b ≠ 0 C ．a ＝0或b ＝0 D ．a ≠ 0且b ＝02．命题p ：(1)(2)x y －－＝0；命题q ：22(1)(2)x y －＋－＝0，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．已知a b c d ，，，为实数，且c d >，则“a b >”是“a c b d >－－”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．4．“0b=c=”是二次函数“2y=ax +bx+c ”的图象经过原点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题p ：不等式221ax +ax+>0的解集为R ，命题q ：0<a <1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题7．若x ∈R ，则函数()()20f x ax +bx+c a ≠＝的值恒为正的充要条件是_________________，恒为负的充要条件是_________________．8．已知数列{}n a ，那么“对任意的n ∈N ＋，点()n n P n a ，，都在直线2y=x ＋1上”是“{}n a 为等差数列”的________条件．9．用“充分不必要条件”， “必要不充分条件”， “充要条件”， “既不充分也不必要条件”填空：(1) “m ≠3”是“m ≠3”的________；(2) “四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________； (3) “a >b ，c d >”是“a c b d > ”的________．10. 函数()()20f x =ax bx c a ≠＋＋的图象关于y 轴对称的充要条件是________．三、解答题11．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：x ＝1； q ：x －1(2) p ：－1≤x ≤5； q ：x ≥－1且x ≤5. (3) p ：三角形是等边三角形； q ：三角形是等腰三角形． 12．(1)写出x < 2的一个充分不必要条件； (2) 写出x > 1的一个必要不充分条件； (3) 写出x1>2的一个充要条件.13．已知p ：2820x x -->0，，q ：2221x x a -+->0，若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.14．不等式221x mx －－>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．15．证明：方程2ax +bx+c ＝0有一根为1的充要条件是a+b+c ＝0.【课后作业】一、选择题1．命题(1)(2)0p x y =：－－；命题22(1)(2)0q x y =：－＋－，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件2．“0b=c=”是二次函数“2y=ax +bx+c ”的图象经过原点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题p ：不等式221ax +ax +>0的解集为R ，命题q ：0<a <1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设集合{}|M=x x a >，{|1}P=x x a < ，那么“x M ∈或x P ∈”是“()x M P ∈”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，sin sin A B >是A B >的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题中的真命题是( )A ．“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件B ．“AB ≠ ”是“A →B ”的充要条件C ．“24b ac －< 0”是一元二次不等式“2ax +bx+c > 0的解集为R ”的充要条件D ．一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形二、填空题7．关于x 的方程22(1)2m x m+x+－＝0的实数根的总和为2的充要条件是________． 8．已知数列{}n a ，那么“对任意的n ∈N ＋，点()n n P n a ，，都在直线2y=x ＋1上”是“{}n a 为等差数列”的________条件．9．用“充分不必要条件”、 “必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空：(1) “m ≠3”是“m ≠3”的________；(2) “四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________； (3) “a >b ，c d >”是“a c b d > ”的________．10. 函数()()20f x =ax bx c a ≠＋＋的图象关于y 轴对称的充要条件是________．三、解答题11．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：x ＝1； q ：x －1(2) p ：－1≤x ≤5； q ：x ≥－1且x ≤5. (3) p ：三角形是等边三角形； q ：三角形是等腰三角形．12．已知p ： 2820x x -->0,，q ：2221x x a -+->0, 若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.13．不等式221x mx －－>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．14．证明：方程2ax +bx+c ＝0有一根为1的充要条件是a+b+c ＝0.15. 求不等式22(32)(1)a a+x +a x －－＋2>0的解是一切实数的充要条件．全称量词与存在量词【要点梳理】要点一：全称量词与全称命题全称量词全称量词的概念：在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．常见的全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”、“任何”、“一切”等．全称量词的表示：通常用符号“∀”表示，读作“对任意”．全称命题全称命题的概念：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题的形式：对M 中任意一个x ，有()p x 成立．记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题．要点二：存在量词与特称命题存在量词存在量词的概念：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词．常见的存在量词：“有些”、“至少有一个”、 “有一个”、“存在”等．存在量词的表示：通常用符号“∃”表示，读作“存在”．特称命题特称命题的概念：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题的形式：存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立．记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：（1）全称命题表示整体或全部的含义，而特称命题反映对个体或整体一部分的判断. （2）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,αβ∈∈R R 使sin()sin sin αβαβ+=+．（2）有些特称命题也可能省略了存在量词．例如：“正方形是矩形”，“球面是曲面等等”.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述.要点三：全称命题与特称命题的否定总结：全称命题的否定是特称命题.全称命题的否定: （两变）1. “全称量词”变“存在量词”2. 否定结论全称命题P ：特称命题:例1 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2)p: 每个实数的平方都是正数；3) p:写出下列命题的否定：1)有的同学期末考试数学成绩不及格； 2）∃ x 0∈R, x 02＋1＜0.总结：特称命题的否定是全称命题特称命题的否定:（两变）1. “存在量词”变“全称量词”2. 否定结论特称命题 : 全称命题P ：要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的； (3) 一些常见量词的否定如下表所示：正面词是等于都是大于小于至少一个至多一个小于等于否定词不是不等于不都是不大于不小于一个也没有至少两个大于等于【典型例题】类型一：全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的辨析例1．指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示．（1）对任意正实数2,20a a a -->；（2）对某个大于10的正整数n ，(2)1024n =．举一反三：【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）任何一个实数除以1仍等于这个数；（2）等边三角形的三边相等；（3）存在实数0x ，使2030x ->；（4）有一个实数，不能作除数；（5）棱柱是多面体；（6）有些四边形的四个边都相等．【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题．（1）∀x ∈R ，211x +≥；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数．类型二：判断全称命题、特称命题的真假例2．判断下列命题的真假：（1）4,12x x ∀∈+≥N ；（2）300,1x x ∃∈<Z ．举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假：（1）2,10x x ∀∈+>R ；（2）2,1x x ∀∈≥N ；（3）3,3x x ∃∈=Z ；（4）2,320x x x ∀∈-+=R ；（5）2,10x x ∃∈+=R .类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假．（1）三角形的内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形；（4）2,20x R x ∀∈+>；（5）200,10x R x ∃∈+=．举一反三：【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假．（1）2,440x R x x ∀∈-+≥；（2）所有的正方形都是矩形；（3）2000,10x R x x ∃∈++≤；（4）至少有一个实数x 0，使得220x +=．【变式2】“a 和b 都不是偶数””的否定形式是（） A ．a 和b 至少有一个是偶数B ．a 和b 至多有一个是偶数C ．a 是偶数，b 不是偶数D ．a 和b 都是偶数【巩固练习】一、选择题1．将“222x +y xy ß”改写成全称命题，下列说法正确的是( )A ．任意x y ，∈R ，都有222x +y xy ßB ．存在x y ，∈R ，都有222x +y xy ßC ．任意x ＞0，y ＞0，都有222x +y xy ßD ．存在x ＜0，y ＜0，都有222x +y xy ß2．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x Þ0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 ③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数A ．0B ．1C ．2D ．33. 下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )A ．对任意的a b ，∈R ，都有222220a +b a b+<－－B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x xD ．对数函数在定义域上是单调函数4．命题“存在x ∈Z ，使220x x m ++Þ”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使22x x m ++>0B ．不存在x ∈Z ，使 22x x m ++>0C ．对于任意的x ∈Z 都有22x x m ++Þ0D ．对于任意x ∈Z 都有22x x m ++>05．命题21log 0p x x ∀>>：，，则¬p 是( )A ．21log x x ∀>，Þ0 B ．21log x x ∀>，>0C ．21log x x ∃>，Þ0D ．21log x x ∃>，>0 6. 下列说法中，正确的是( )A ．命题“若22am bm ＜，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在x ∈R ，2x x －＞0 ”的否定是“任意x ∈R ，2x x －≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件二、填空题7．命题“有些末位是0的整数，可以被3整除”________特称命题．(填“是”或“不是”)；此命题的否定是__________________________．8．下列命题中真命题为________，假命题为________． ①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ③正四面体中两侧面的夹角相等④有的实数是无限不循环小数⑤有些三角形不是等腰三角形⑥所有的菱形都是正方形9．命题“对任何x ∈R ， 2250x x ++>”的否定是____________．10. 已知命题p ：“任意[]21,20x x a ∈，－ß”，命题q ：“存在x ∈R ，02x +2ax+2a －＝”．若命题p 和命题q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题11．写出下列命题的否定．(1) 所有自然数的平方是正数；(2) 任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；(3) 对任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y >0；(4) 有些质数是奇数．12．判断命题的真假，并写出命题的否定．(1) 存在一个三角形，它的内角和大于180°.(2) 所有圆都有内接四边形．13．写出下列命题的否定：(1) 若2x >4，则x >2；(2) 若m ß0，则2x +x m －＝0有实数根；(3) 可以被5整除的整数，末位是0；(4) 被8整除的数能被4整除；(5) 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．14. 命题“存在x ∈R ，2239x ax+－＜0”为假命题，求实数a 的取值范围．。

充分条件与必要条件

解：由(x－a)2<1，得a－1<x<a＋1，由x2－5x－24<0，得－3<x<8. ∵N是M的必要条件， ∴M⊆N.
a－1≥－3，于是 a＋1≤8，
从而可得－2≤a≤7.
故a的取值范围为[－2,7]．
题型三充分条件和必要条件的应用【例3】 (12分)已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a －2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．构造集合M＝{x|p（x）}；求解由已知审题指导 ― ― ― → M 、 N N＝{x|q（x）} M N 构造a的解关于a的 ― ― ― ― ― ― → → 结果不等式不等式组
二、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q}
1)
B A 2) A B
条件p
结论q
条件p
结论q
p是q充分不必要条件
3)
p是q必要不充分条件
4)
A
B
A =B
条件p
结论q
条件p
结论q
p是q不充分不必要条件
p是q的充要条件
【规律小结】
充分条件、必要条件、充要条件的判定：
B）
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.充分不必要条件
例4、设命题甲: 0 x 5, 命题乙: x 2 3, 那么甲是乙的（ A.充分不必要条件 C.充要条件 . A） B.必要不充分条件 D.既不充分也必要条件
例6、已知、为锐角，若p : sin sin( ), q :
真
方程有 ax 2 bx c 0(a 0) 两个不等的实数解 b 2 4ac 0 2 2 （6）若 x y ，则 x y ；假

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的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件.
例题
例1 对下列命题,判断前者是后者的什么条件，后者是前者的什么条件.
（1）若 x y，则x2 y2 ；
（2）面积相等的三角形是全等三角形；
（3）若三角形的三条边相等，则三个角也相等；
（4）若 a2 b2，则a b.
答：（1）充分不必要；（2）必要不充分；（3）充要；（4）既不充分也不必要；
四边形对角线四边形是平行边既不充分既不充分
相等
形
也不必要也不必要
a=b
ac=bc
充分不必要必要不充分
x A且x B x A B
充要
充要
题型4
充要条件---充分性和必要性的判定
引例：判断下列电路图中p与q的充要关系,其中
p：开关闭合, q：灯亮.
p
q
p
q
）充分不必要
p
q
（3）必要不充分
（4）既不充分也不必要
题型探究
充分条件和必要条件：
如果已知p q,则p是q 的充分条件,q 是p 的必要条件
如果已知p q, 但q p,则p 是 q
必要不充分. 充分不必要. 充要.
既不充分也不必要.
例2 填表
p
x0
q
xy 0
p是q的什 q是p的什么条件么条件
充分不必要必要不充分
两个角相等两个角是对顶角必要不充分充分不必要
aQ
aR
充分不必要必要不充分
内错角相等两直线平行
充要
充要
(x 2)(x 3) 0 x 2 0 必要不充分充分不必要