实际问题与一元二次方程(所有分类)

分析： 第一次
a
aX10% 第二次 a（1+10%）X10% 第三次
a+aX10%= a（1+10%）
a(1+10%)+ a(1+10%) X10% = a（1+10%）2
例1：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年 的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的 百分率．（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为 a）
• 某地因1人患了甲型H1N1流感没有 及时隔离治疗，经过两天的传染后 共有9人患了甲型H1N1流感，每天 平均一个人传染了几人？如果按照 这个传染速度，再经过5天的传染 后，这个地区一共将会有多少人患 甲型H1N1流感？
• 二、增长率问题：
课前热身1：二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升， 第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%， 第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
答:平均每年增长的百分率为10% ．
练习1：某药品经两次降价，零售价降为原来 的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次 降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位， 每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 1 x 2 1
解这个方程，得
2
2 但x 1 >1不合题意，舍去 2 2 x 1 29.3%. 答：每次降价的百分率为29.3%. 2
求截去的正方形的边长
• 分析 • 设截去的正方形的边长为xcm之后，关键在于列 出底面（图中阴影部分）长和宽的代数式．结合 图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数 式．
28-2x 20cm ２８cm 20-2x
求截去的正方形边长
• 解：设截去的正方形的边长为xcm，根据题意，得
(28-2x)(20-2x)=180 x2-24x+95=0 解这个方程，得：x1=5,x2=19 经检验：x2＝19不合题意，舍去． 所以截去的正方形边长为５cm.
• 五、球赛问题：(握手、签合同、打电话、 送礼) • 要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式 （每两个队只赛一场）。计划安排15场比 赛，应邀请多少个球队参加比赛？ • 参加一次聚会的每两个人都握了一次手， 所有人共握手36次，有多少人参加聚会？
• 六、数字问题： • 1．一个两位数，十位数字与个位数字之和 为5，把这个数的十位数字与个位数字对调 后，所得的新两位数与原两位数乘积为736， 求原两位数。
答:这个长方形框的框边宽为5cm
列一元二次方程解应题
6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多 放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层 ?
解:要放x层,则每一 层放(1+x) 支铅笔. 得 x (1+x) =190×2 2 X＋ X －380＝0 解得X1＝19，
X2＝ － 20(不合题意)
答:要放19层.
20 32
• 3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸 板的四周各剪去一个同样大小的正方形， 再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要 求长方体的底面面积为81平方厘米，那么 剪去的正方形边长为多少?
4、学校课外生物（小组的试验园地是一块长35米、 宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵 三条等宽的小路（如图），要使种植面积为600平方米， 求小道的宽。（精确到0.1米）
2 2 x1 1 , x2 1 2 2
练习 2: 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的 百分率（精确到0.1%） 解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为 ， 根据题意，得 2
x
a(1 x) 1.2a
解这个方程，得
30 x 1 5 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 x 1 30 不合题意，舍去
• 2、有一个两位数，它的个位上的数字与十 位上的数字之和是6，如果把它的个位数字 与十位数字调换位置，所得的两位数乘以 原来的两位数所得的积等于1008，求调换 位置后得到的两位数。
分析：设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则
2001年 2002年
a
a（1+x)
2003年
a(1+x) 2
a
增长21%
a+21%a
a(1+x) 2 =a+21%a
解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则 a(1+x) 2 =a+21%a a (1+x) 2 =1.21 a (1+x) 2 =1.21 1+x =1.1 x =0.1
三、面积问题：
常见的图形有下列几种：
例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积 为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.
22 解：设这个矩形的长为xcm，则宽为 x（cm）. 2 22 根据题意，得 x( x ) 30
整理后，得x2-11x+30=0
2
解这个方程，得x1=5,x2=6 22 由x1=5得 x 6 (与题设不符，舍去) 2 22 由x2=6，得 x5 2 答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。
例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上， 修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部 分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路 的宽应为多少？
20m
32m
分析：此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等 于540米2。 解法一、
x米
20m 32m
如图，设道路的宽为x米， 2 则横向的路面面积为 32x 米 纵向的路面面积为 20x 米2 。
列一元二次方程解应题
补充练习： （98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
18米
2米
• 四、利润问题：总利润=单件利润*销量 • 1、爱家超市将进货单价为40元的商品， 按50元销售时，能卖出500个，已知该商 品每涨1元钱就少卖10个。为了赚8000 元的利润，应涨多少元钱？
例4:建造一个池底为正方形,深度为2.5m
的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是 120元/m2,建造池底的单价是240元/m2,总 造价是8640元,求池底的边长. 分析:池底的造价+池壁的造价=总造价 解:设池底的边长是xm. 2 根据题意得: 240x 120 2.5x 4 8640
• 一、传播问题： • 有一人患了流感,经过两轮传染 后共有121人患了流感,每轮传 染中平均一个人传染了几个人?
• 某种电脑病毒传播非常快，如果一 台电脑被感染，经过两轮感染后就 会有81台电脑被感染，求每轮感染 中平均一台电脑能感染几台？若病 毒得不到有效控制，三轮感染后， 被感染的电脑会不会超过700台？
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折 成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一 个面积为32厘米的矩形？说明理由。 2：在一块长80米，宽60米的运动场外 围修筑了一条宽度相等的跑道，这条 跑道的面积是1500平方米，求这条跑 道的宽度。
3. 如图，在长为40米，宽为22米的矩 形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直 的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的 面积为760平方米，道路的宽应为多少？
5
30 x 1 9.5% 5
答：每次升价的百分率为9.5%.
练习 4. 市第四中学初三年级初一开学时就参 加课程改革试验，重视学生能力培养 .初一阶 段就有 48人在市级以上各项活动中得奖，之 后逐年增加，到三年级结束共有 183 人次在 市级以上得奖 .求这两年中得奖人次的平均年 增长率.
• 2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每 天可售出20件，每件盈利40元，为了 扩大销售，经量减少库存，商场决定 适当的降低售价，经调查发现，如果 每件衬衫降价1元，商场平均每天可多 售出2件，若商场平均每天销售这种衬 衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫 应降价多少元？
• 3、某商户以2元/千克的价格，购进一批小 西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出 200千克，为了促销，该商户决定降价出售， 经调查发现，这种小西瓜每降价0.1元/千克， 每天可多售出40千克，另外每天的房租等 固定成本共24元，该商户要想每天盈利200 元，应该将每千克的小西瓜的售价降低多 少元？
xm
如图，设路宽为x米， 20m 横向路面为 32x 米2 ， 纵向路面面积为 20x 米2 。
32m
xm
耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米 ， 耕地矩形的宽（纵向）为 (20-x) 米 。 相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2 即 32 x20 x 540.
2 x 化简得： 52x 100 0, x1 50, x2 2
40米
22米
4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地 上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向， 一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地 分成大小相等的六块试验地，要使试验地面 积为570m² ，问道路的宽为多少？
例3、求截去的正方形的边长
• 用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片， 要在它的四角截去四个相等的小正方形， 折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面 积为180cm２，为了有效地利用材料，求截 去的小正方形的边长是多少cm？
x
700--x 3
新方案
700-x+2x x
原方案
x+2x
2 3
• 课堂练习:列方程解下列应用题 • 1、学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽 分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶嵌上 一圈等宽的彩纸。经试验，彩纸面积为相片面积 的2/3时较美观，求镶上彩纸条的宽。（精确到 0.1厘米） • 2、在宽20米，长32米的矩形地面上修筑同样宽 的四条互相垂直的“井”字形道路（如图），余 下的部分做绿地，要使绿地面积为448平方 米， 路宽为多少？
解方程得: x1 9, x2 4 ∵池底的边长不能为负数,∴取x=4 答:池底的边长是4m.
练习、建造成一个长方体形的水池，原计划水 池深3米，水池周围为1400米，经过研讨，修 改原方案，要把长与宽两边都增加原方案中的 宽的2倍，于是新方案的水池容积为270万米3， 求原来方案的水池的长与宽各是多少米？
，
所列的方程是不是 32 20 (32x 20x) 540 ？
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2 图中的道路面积不是 32x 20x 米2，
解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面 积大小不会改变”的道理，把纵、横两 条路移动一下，使列方程容易些（目的 是求出路面的宽，至于实际施工，仍可 按原图的位置修路）
5、 在长方形钢片Leabharlann Baidu冲去一个
X
X
30cm
长方形，制成一个四周宽相等的 长方形框。已知长方形钢片的长 为30cm，宽为20cm,要使制成的 2 长方形框的面积为400cm ，求这 个长方形框的框边宽。
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得 30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25+100=0 得 x1=20, x2=5 当=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10