2010年学而思杯初一数学A卷试题及答案

2010年“学而思杯中学生理科能力展示大赛”初一数学 （A 卷）姓名 区 学校 准考证号Ⅰ卷一、选择题：（本题共15小题，每小题4分，共60分）1. 已知a 是正数，且21a a-=，则224a a -等于_________.2. 已知223,2x xy xy y +=+=-,则2223x xy y --= .3. 观察按下列规则排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，……在上式中，从左起第个数记为()G m ，当2()2010G m =时,则m 的值为________,这m 个数的积为___________. 4. 若n 满足22(2004)(2005)1n n -+-=，则(2004)(2005)n n --等于_____________.5. 设x 、y 、z 均为正实数，且满足222222z x yx y zy x zx y y z z x++++++<<+++，则x y z 、、三个数的大小关系是_________.6. 将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不一定按此）.则此五边形的面积为__________.7. 水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，则共应付钱____________.8. 已知,p q 均为质数，且满足27379p q +=，则p = ，q =_________.9. 若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客 人.10. 方程2311x y x y --+++=的整数解的个数是 .11. 如图，矩形ABCD 中，点,,,E F G H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点P 在矩形ABCD 内．若4cm AB =，6cm BC =，3cm AE CG ==，4cm BF DH ==，四边形AEPH 的面积为25cm ，则四边形PFCG 的面积为_________2cm ．12. 设22211148()34441004A =⨯++--- ，则A 的整数部分是__________.13. 已知2226,12a b c a b c ++=++=，则201020102010a b c -+=_____________.14. 已知：m 为非零实数，且1122x x m -+=，则21x x+=__________.15. 对于一个自然数n ，如果能找到自然数(0)a a ＞和(0)b b ＞，使1n a b ab -=++,则称n 为一个“十字相乘数”，例如:411111-=++⨯，则4是一个“十字相乘数”，在1～20这20个自然数中，“十字相乘数”共有_________个.Ⅱ卷二、解答题（每题10分，共40分）16. 观察：2123415⋅⋅⋅+=，22345111⋅⋅⋅+=，23456119⋅⋅⋅+=，………… (1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明．(2)根据(1)，计算20002001200220031⋅⋅⋅+的结果(用一个最简式子表示)．17. 若x y m n +=+，且2222x y m n +=+．求证：2010201020102010x y m n +=+．18. 设1232010,,,,x x x x 是整数，且满足下列条件：① 12n x -≤≤，1,2,3,,2010n = ； ②1232010200x x x x ++++= ；③222212320102010x x x x ++++= ．求 33331232010x x x x ++++ 的最小值和最大值．19. 小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是多少？三、附加题（10分）20.10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．2010年“学而思杯中学生理科能力展示大赛”初一数学 （A 卷答案）Ⅰ卷一、选择题：（本题共15小题，每小题4分，共60分） 1. 3.提示：224222()()a a a a aaaa-=+-=+2222()()8189a a a a+=-+=+=故23a a+=，2243a a-=.2. 12.提示：2222232()3()233(2)12x xy y x xy xy y --=+-+=⨯-⨯-=.3. 2021057;12021057.提示：分子分母和为2的数有1个,和为3的数有2,和为4的数有3,依次类推,和为2011的数有2010个,故前面一共有12010123..20102010201110052+++++=⨯=⨯个数,再加上12011,前面一共有 2021056个数,故22010是第2021057个数, 2021057m =,这些数的乘积为121201120102021057⨯=. 4. 0.提示：222(2004)(2005)1(20042005)n n n n -+-==-+-22(2004)(2005)2(2004)(2005)n n n n =-+-+-- 从而可知, (2004)(2005)0n n --=. 5. z x y <<.提示：由222222z x y x y z y x z x y y z z x ++++++<<+++可知，222z x yx y y z z x+<+<++++ 从而可知，z x y x y y z z x <<+++，x y y z z xz x y+++>>，111x y y z z x z x y ++++>+>+，即x y z y z x z x yz x y++++++>>. 故z x y <<.6. 745. 提示：画图可知，符合题意的情况如下：故此五边形的面积为131251257452⨯-⨯⨯=.7. 8.提示：设甲、乙、丙的价格分别为,,x y z ，则2464224x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩可设425(24)(422)x y z A x y z B x y z ++=+++++，则有 24412214252A B A A B B A B +=⎧=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎪+=⎩⎩，故425628x y z ++=+=.也可采用消元法，减少一个未知数，不再给出. 8. 2p =，17q =．提示：由奇偶性可知，,p q 中必有一个偶数2，若2p =，则17q =，符合题意； 若2q =，则p 不是整数，不合题意. 9. 961.提示：设汽车有x 辆，则有301(1)x k x +=-，其中40k ≤， 故 301313011x k x x +==+-- 故131x -=或11x -=时满足题意，此时32x =或2x =但2x =时，经检验可知，不合题意，故32x =，游客有30321961⨯+=人. 10. 2组提示：由题意可知，23110x y x y --=⎧⎨++=⎩，23110x y x y --=-⎧⎨++=⎩，23011x y x y --=⎧⎨++=⎩，23011x y x y --=⎧⎨++=-⎩解得整数解为01x y =⎧⎨=-⎩，11x y =⎧⎨=-⎩，故有2组.11. 8.提示：连结EF 、FG 、GH 、HE .易证AEH CGF ∆∆≌,DGH BEF ∆∆≌,四边形EFGH 是 平行四边形.易得平行四边形EFGH 的面积为14，PEH ∆的面积为2，故PFG ∆的面积为5.所以四边形PFCG 的面积为8. 12. 24提示：22211148()34441004A =⨯++--- 11148...(32)(32)(42)(42)(1002)(1002)⎡⎤=⨯+++⎢⎥+-+-+-⎣⎦111111148(...)43232424210021002=⨯⨯-+-++--+-+-+111111112(1...)5263798102=⨯-+-+-++- 111111112(1.........)2398567102=⨯++++----111111112(1)23499100101102=⨯+++---- 111111111264312()2512()9910010110299100101102=+++-⨯+++=-⨯+++ ∵41111401212()1211029910010110299<⨯<⨯+++<⨯< ∴2425A <<.故其整数部分为24. 13. 20102.提示：由6a b c ++=可知，2()36a b c ++=，即22222236a b c ab bc ca +++++= 又22212a b c ++=，故22224ab bc ca ++= 2222()(222)122240a b c ab bc ca ++-++=⨯-= 即222()()()0a b b c c a -+-+-=，故2a b c === 20102010201020102a b c -+=.14. 22m -. 提示：111222222212111()2()22x x x x x m x xx -+=+=+-=+-=-15. 7.提示：由1n a b ab -=++可知，1(1)(1)n a b ab a b =+++=++ 当a b =时，“十字相乘数”可取4，9，16这3个数； 当a b ≠时，不妨设a b ＞，则若2b =时，则2a ＞，且2017215333a a +⇒=≤≤，故3,4,5a =，此时“十字相乘数”为12,15,18；若3b =时，则3a ＞，且20144a a +⇒≤≤，故4a =，此时“十字相乘数”为20；若3b ＞，不合题意. 故符合题意的“十字相乘数”一共有7个. 二、解答题（每题10分，共40分）16. (1)结论：对于自然数n ，有22(1)(2)(3)1(31)n n n n n n ++++=++…………2分证明：22(1)(2)(3)1(3)(32)1n n n n n n n n ++++=++++ ………………4分 222(3)2(3)1n n n n =++++ ……………………6分22(31)n n =++ ………………………………………8分∴22(1)(2)(3)1(31)n n n n n n ++++=++(2)由(1)得2200020012002200314006001⨯⨯⨯+= …………………………10分17. 由x y m n +=+可得, 222222x y xy m n mn ++=++ …………………………2分又2222x y m n +=+,故22xy mn = ……………………………………………4分 从而222222x y xy m n mn +-=+-,即22()()x y m n -=-…………………………6分 故x y m n -=-或n m - …………………………………………………………8分 再结合x y m n +=+可知, x m y n =⎧⎨=⎩或x ny m =⎧⎨=⎩…………………………………10分于是2010201020102010x y m n +=+成立.18. 设1232010,,,,x x x x 中有r 个1-、s 个1、t 个2，则2200,42010.r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩……………………………………………2分 两式相加，得31105s t +=，故0368t ≤≤． ………………………………4分∵ 333123x x x +++…320108x r s t +=-++6200t =+． ……………………………………………5分∴ 3333123201020063682002408x x x x ++++⨯+= ≤≤． ……………………6分当0,1105,905t s r ===时，33331232010x x x x ++++ 取最小值200， …………8分 当368,1,537t s r ===时，33331232010x x x x ++++ 取最大值2408． …………10分 19. 设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为28a bcdef ．根据题意，有8128abcdef a bcdef ⨯= ……………………………………2分 记43210101010x b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+………………………………………4分 于是5568110812081010a x a x ⨯⨯+=⨯+⨯+解得1250(20871)x a =⨯-． ………………………………………6分因为5010x ≤＜，所以501250(20871)10a ⨯-≤＜，故1282087171a ＜≤． ……8分 因为a 为整数，所以2a =．于是1250(208712)82500x =⨯-⨯=． ……10分 所以，小明家原来的电话号码为282500． 三、附加题（10分）20. 记2n ≥张卡片至多经过n a 次操作后，能将它们按从小到大顺序排列，则232431091;2;3;............9.a a a a a a a ==+=+=+所以10123.....945a =++++=.。