各地2018年中考数学试卷分类汇编 方案设计(含解析)

方案设计1. （2018•福建A 卷•10 分）如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，其中 A D≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x 后与20 进行大小比较即可得到AD 的长；（2）设AD=xm，利用矩形面积得到S=12x（100﹣x），配方得到S=﹣12（x﹣50）2+1250，讨论：当a≥50 时，根据二次函数的性质得S 的最大值为1250；当0＜a＜50 时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S 的最大值为50a﹣12a2．【解答】解：（1）设 AB=xm，则 BC=（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，当x=5 时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45 时，100﹣2x=10，答：AD 的长为10m；（2）设AD=xm，∴S=12x（100﹣x）=﹣12（x﹣50）2+1250，当a≥50 时，则x=50 时，S 的最大值为1250；当0＜a＜50 时，则当0＜x≤a时，S 随x 的增大而增大，当x=a 时，S 的最大值为50a﹣12a2，综上所述，当a≥50时，S 的最大值为1250；当0＜a＜50 时，S 的最大值为50a﹣12a2．【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围．2.（2018•福建 B 卷•10 分）空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩 形菜园 ABCD ，已知木栏总长为 100 米．（1）已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏，且围成的矩形菜园面积为 450 平方米．如图 1，求所利用旧墙 AD 的长； （2）已知 0＜α ＜50，且空地足够大，如图 2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使 得所围成的矩形菜园 ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．图1 图2【分析】（1）按题意设出 AD ，表示 AB 构成方程；（2）根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数量关 系．【解答】解：（1）设 AD=x 米，则 AB=1002x -米 依题意得，(100)4502x x -=解得 x 1=10，x 2=90∵a=20，且 x ≤a∴x=90 舍去∴利用旧墙 AD 的长为 10 米．（2）设 AD=x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得：S=2(100)1(50)125022x x x -=--+，0＜x ＜a ∵0＜α ＜50∴x＜a ＜50 时，S 随 x 的增大而增大当 x=a 时，S 最大=50a ﹣213a②如按图 2 方案围成矩形菜园，依题意得 S=22(1002)[(25)](25)244x a x a a x +-=---++，a ≤x＜50+2a 当 a ＜25+4a ＜50 时，即 0＜a ＜1003时， 则 x=25+4a 时， S 最大=（25+4a ）2=21000020016a a ++ 当 25+4a ≤a，即100503a ≤时，S 随 x 的增大而减小∴x=a 时，S 最大=(1002)2a a a +-=21502a a - 综合①②，当 0＜a ＜1003时， 21000020016a a ++﹣（21502a a -）=2(3100)016a -21000020016a a ++＞21502a a -，此时，按图 2 方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为21000020016a a ++平方米 当100503a ≤时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴ 当 0 ＜ a ＜1003 时 ，围成长 和宽均为 （ 25+4a ）米的 矩形菜园 面积最 大，最 大面积 为 21000020016a a ++平方米； 当100503a ≤时，围成长为 a 米，宽为（50﹣2a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（21502a a -）平方米． 【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类 讨论变量大小关系．3.（2018·湖南怀化·10 分）某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购 进 A ，B 两种树苗，共 21 棵，已知 A 种树苗每棵 90 元，B 种树苗每棵 70 元．设购买 A 种树苗 x棵，购买两种树苗所需费用为y 元．（1）求y 与x 的函数表达式，其中0≤x≤21；（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【分析】（1）根据购买两种树苗所需费用=A 种树苗费用+B 种树苗费用，即可解答；（2）根据购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，列出不等式，确定x 的取值范围，再根据（1）得出的y 与x 之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案．【解答】解：（1）根据题意，得：y=90x+70（21﹣x）=20x+1470，所以函数解析式为：y=20x+1470；（2）∵购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，∴21﹣x＜x，解得：x＞10.5，又∵y=20x+1470，且x 取整数，∴当x=11 时，y 有最小值=1690，∴使费用最省的方案是购买B 种树苗10 棵，A 种树苗11 棵，所需费用为1690 元．【点评】本题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．4.（2018 年湖南省娄底市）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A.B 两种型号的垃圾处理设备共10 台．已知每台A 型设备日处理能力为12 吨；每台B 型设备日处理能力为15 吨；购回的设备日处理能力不低于140 吨．（1）请你为该景区设计购买A.B 两种设备的方案；（2）已知每台A 型设备价格为3 万元，每台B 型设备价格为4.4 万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40 万元时，则按9 折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？【分析】（1）设购买A 种设备x 台，则购买B 种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140 吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x 为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．【解答】解：（1）设购买A 种设备x 台，则购买B 种设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，解得x≤313，∵x为正整数，∴x=1，2，3．初中、高中、教案、习题、试卷∴该景区有三种设计方案：方案一：购买A 种设备1 台，B 种设备9 台；方案二：购买A 种设备2 台，B 种设备8 台；方案三：购买A 种设备3 台，B 种设备7 台；（2）各方案购买费用分别为：方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；∵37.08＜38.04＜39.8，∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．5.（2018 湖南湘西州12.00 分）某商店销售A 型和B 型两种电脑，其中A 型电脑每台的利润为400 元，B 型电脑每台的利润为 500 元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100 台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2 倍，设购进A 型电脑x 台，这100 台电脑的销售总利润为y 元．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A 型电脑 60 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案．【分析】（1）根据“总利润=A 型电脑每台利润×A电脑数量+B 型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；（2）根据“B型电脑的进货量不超过A 型电脑的2 倍且电脑数量为整数”求得x 的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100 时，y 随x 的增大而减小，②a=100 时，y=50000，③当100＜m＜200 时，a﹣100＞0，y 随x 的增大而增大，分别进行求解．【解答】解：（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；（2）∵100﹣x≤2x，∴x≥1003，∵y=﹣100x+50000 中k=﹣100＜0，。