第一章5节

则称A1，A2， An两两相互独立.
定义 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件， 若对于任意k(2≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< · < i k≤n · ·
有 P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik )
则称A1，A2， An相互独立.
B C
能否正常工作是相互独立的,
试求: 1) 整个电路正常工作的概率。 2) 若整个电路正常工作, 分别求 A,B 正常工作的概率。 解: 设用事件A，B，C表示部件工A,B,C 正常工作, 则相互独立 D = “电路正常工作”,则得：
例2:设A,B,C为三事件,A,B相互独立,则
例4:设A,B,C为三事件,A,B为相互独立,则下列不 正确的是 .
( A)若P(C ) 1, 则AC与BC独立； ( B)若P(C ) 1, 则A C与B独立; (C )若P(C ) 1, 则A C与A独立; ( D)若C B, 则A与C独立。
串联系统的可靠性
• 由n 个元件串联而成的系统,只要有一个 元件失效,该系统就失效.因此串联系统的 可靠性为: p串=P(A1A2 …An ) = P(A1) P( A2 ) … P( An ) = p1 p2 ... pn
元件1 元件2 元件n
并联系统的可靠性
• 由n 个元件并联而成的系统, 只要有一个元件正常工作,则 该系统就不会失效.因此并联 系统的可靠性为: • 示意图
1 又由题意知 P ( AB ) P ( BC ) P ( AC ) , 4
故有
1 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 4 , 1 P ( BC ) P ( B ) P (C ) , 4 P ( AC ) P ( A) P (C ) 1 , 4
例6.将一枚硬币独立地掷两 次，引进事件： A1 {掷第一次出现正面 } ， A2 {掷第二次出现正面 } ， A3 {正、反面各出现一次 } ， A4 {正面出现两次 } ， 则事件（ ）
( A) A1 , A2 , A3相互独立； ) A2 , A3 , A4相互独立 (B ; (C ) A1 , A2 , A3两两独立； ) A2 , A3 , A4两两独立 (D .
2º 独立与不相容的关系 这是两个不同的概念.
独立是事 不相容是 件间的概 事件间本 率属性 身的关系
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 二者之间没 有必然联系 两事件不相容 AB 例如
B
AB A
1
1
1 1 若 P ( A) , P ( B ) , 2 2
2. 三事件相互独立的概念
定义
设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式
P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
=1- p1 … pn
例8．一种零件的加工由两道工序组成. 第一道工序的废 品率为p1，第二道工序的废品率为p2，则该零件加工的 成品率为（ ）.
( A)1 p1 p2 ; ( B )1 p1 p2 ; (C )1 p1 p2 p1 p2 ; ( D )(1 p1 ) (1 p2 ).
则 P ( AB) P ( A) P ( B ).
由此可见两事件相互独立但两事件不是不相容. 两事件相互独立 两事件不相容.
又如：
1 1 若 P ( A) , P ( B ) (如图) 2 2
则 P ( AB) 0,
1 P ( A) P ( B ) , 4
B A
故 P ( AB) P ( A) P ( B )
一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色, 例5、 第二面染成白色 , 第三面染成黑色, 而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A , B, C 分别 记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色朝下的事件, 问 A,B,C是否相互独立? 解 由于在四面体中红, 白, 黑分别出现两面, 因此
1 P ( A) P ( B ) P ( C ) , 2
则 C A B. 依题设, P ( A) 0.6, P ( B) 0.5
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ) 0.6 0.5 P ( A) P ( B ) 0.8
例3．一个教室里有4名一年级男生，6名一年 级女生，6名二年级男生，若干名二年级女生， 为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年 级是相互独立的，教室里的二年级女生应为多 少名？
2. 定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB) P ( A) P ( B )
则称事件 A, B 相互独立, 简称 A, B 独立.
注. 1º若 P ( A) 0, 则
P ( B A) P ( B )
说明
P ( AB) P ( A) P ( B)
事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
元件1
p并 p( A1 A2 An )
元件2
p并 1 p( A1 A2 An )
p并 1 p( A1 )P( A2 )P( An )
p并 1 (1 p1 )(1 p2 )(1 pn )
元件n
例9：某电路如图所示, 已知 正常工作的概率为 假定 A
证 ① P ( AB ) P ( A) P ( AB)
P ( A) P ( A) P ( B)
P ( A)[1 P ( B)]
P ( A) P ( B )
③ A B A B (对偶律)
P ( A B ) P ( A B)
1 P ( A B) 1 [ P ( A) P ( B) P ( AB)] 1 [ P ( A) P ( B) P ( A) P ( B)]
P( A1 A2 An ) 1 P ( A1 A2 )
1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
A1 , A2 ,„, An
也相互独立
即
n个独立事件至少有一个发生的概率等于
1减去各自对立事件概率的乘积.
若设n个独立事件 A1 , A2 ,„, An 发生的概率 分别为 p1 ,, pn , 则“ A1 , A2 ,„, An 至少有一个发生”的概率为 P(A1…An) =1- (1-p1 ) …(1-pn )
类似可以得出： “ A1 , A2 ,„, An 至少有一个不发生”的概率为
P ( A1 A2 „ An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
例7 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分 别为1/5，1/3，1/4，问密码被译出的概率是多少？
解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} 则得
i=1,2,3
P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
结论的应用
n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1 , A2 , „, An相互独立,则
由此可见两事件不相容但不独立.
两事件不相容
两事件相互独立.
例1
(1)设A、B为不相容事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0 2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
(2)设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0 2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
[1 P ( A)] P ( B)[1 P ( A)] [1 P ( A)] [1 P ( B)]
P ( A ) P ( B ).
例2 甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中
敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为 0.5, 求敌机被击中的概率.
解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 } C={敌机被击中 }
注.
A1 , A2 ,, An相互独立 A1 , A2 ,, An两两相互独立
两个结论
若事件 A1 , A2 , , An ( n 2) 相互独立 , 则 1. 其中任意 k ( 2 k n)个事件也是相互独立 .
2. 若 n 个 事 件 A1 , A2 , , An ( n 2)相 互 独 立 , 则 将 A1 , A2 , , An 中 任 意 多 个 事 件 换 成 们 的 对 它 立 事 件 所 得 的n 个 事 件 仍 相 互 独 立 独 立 性 关 于 , .( 逆运算封闭 )
事件的独立性在可靠性理论中的应用： 一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率.
一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常 工作的概率.
(三)
系统的可靠性
• 独立性的作用在系统的可靠性分析中体现 得最为完美.假设某系统由若干个元件联结 而成,而每个元件可能正常工作,也可能失 效.我们称元件能正常工作的概率为该元件 的可靠性,而系统的可靠性是该系统能正常 工作的概率.在下面我们假设各元件是否能 正常工作是相互独立的.记Ai={第i个元件 正常工作}, P(Ai)=pi,i=1,2,…,n. 由假设A1 , A2 ,…, An 相互独立.
(二) 多个事件的独立性
1. 三事件两两相互独立的概念 定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式