高中数学 考点57 直线和圆的方程的应用庖丁解题 新人教A版必修2
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的方程的应用》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学一、解决与圆相关的实际问题运用圆的相关知识可以解决实际生活中的有关问题，解决此类问题的基本步骤：(1)阅读理解，认真审题;(2)引进数学符号或圆的方程，建立数学模型;(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果;(4)转译成具体问题作出解答.方法点拨 应用直线与圆的方程解决实际问题时，要注意建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决，一般情况下需要建立适当的直角坐标系，应用方程的思想来处理.二、坐标法用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何意义，得出几何问题的结论.这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点提示 应用几何法，即坐标法解决平面几何问题时，先建系，把相应的几何元素用坐标或方程来表示，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算解决，最终得到几何问题的结论，要注意这一方法的三个步骤.问题·探究问题 1 怎样判断直线与圆的位置关系较好？在直线与圆相离的情况下，如何求圆上的点到直线距离的最大值或最小值？探究:在判断直线与圆的位置关系时，虽代数法可用，但不如用几何法简单、直观，即研究圆心到直线距离与半径大小关系.在直线与圆相离的情况下，圆心距ｄ＞ｒ，根据图形分析可知：圆上点到直线距离的最小值是d-r ，最大值是d+r.问题2 有人说，研究两圆位置关系就是将两圆方程联立，整理成关于x 的方程，来判断其方程解的个数，若方程有一解，则两圆相切，这种说法正确吗？试举例说明.探究:这种说法不正确.如圆C 1:x 2+y 2=4，圆C 2:(x-2)2+y 2=4.将两圆方程联立，消去y ，整理成关于x 的方程为x=1，此方程只有一解x=1，但由图分析：两圆相交，有两个公共点，所以说，在判断两圆位置关系时，最好不要用方程求解，而是利用圆心距与两圆关系来判断. 典题·热题例1 已知直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点A 、B 关于直线y=x 对称，求交点A 、B 的坐标及｜AB ｜长.思路解析：由题意，可以先利用题中的对称关系，求出k 值，然后再求交点坐标，代入两点间距离公式求出弦长｜AB ｜.解：因为直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点A 、B 关于直线y=x 对称，即点(x 1,y 1)与点(y 1,x 1)均在直线和圆上，所以k=-1符合圆的条件.解方程组⎩⎨⎧=++=0,4-y -x -y x 1,-x y 22得曲线的两个交点A(2，-1)，B(-1,2). 所以|AB|=23)21()12(22=--++.辨析比较 本题若不求k 值，由方程组联合求解交点A 、B ，在A 、B 的坐标表示中含有k ，再反过来由对称关系确定k 值，也可以求出，但计算较繁,不如上法简捷.例2 如图4-2-3，一座圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？图4-2-3 图4-2-4思路解析：本题考查应用坐标法研究平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当坐标系，利用圆的方程来解决.解：以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立直角坐标系，设所在圆的圆心为C ，水面所在弦的端点为A 、B ，则A(6，-2).设圆的方程为x 2+(y+r)2=r 2，将A(6，-2)代入方程得r=10，∴圆的方程为x 2+(y+10)2=100，当水面下降1米后，可设点A′(x 0，-3)(x 0>0).如图4-2-4，将A′(x 0，-3)代入圆方程，求得x 0=51.∴水面下降1米，水面宽为2x 0=512≈14.28(米).方法归纳 此为一道数学的实际应用问题，一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，尽可能地减少未知数的个数.把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解.例3 已知直线l ：y=k(22+x )与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△ABO 的面积为S.(1)试将S 表示成k 的函数S(k)，并求其定义域；(2)求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.思路解析：(1)求△ABO 的面积可用S=21×底×高，底为｜AB ｜，高为圆心到直线距离；(2)可利用△ABO 的几何性质解决.解：(1)由y=k(22+x )得kx-y+k 22=0，圆心到l 距离d=21||22k k +， |AB|=22222114184242k k k k d +-⨯=+-=-， ∴S △ABO =21|AB|·d=11||2422+-∙k k k ，又d ＜2，即21||222<+kk 且k≠0，得k ∈(-1,0)∪(0,1)，∴S(k)=2221)1(24k k k +-,k ∈(-1,0)∪(0,1). (2)S=21|OA|·|OB|·sin ∠AOB=2sin ∠AOB, 所以当∠AOB=90°时,S max =2.此时圆心到直线的距离d=2，21||222=+k k ，解之,可得k=±33. 误区警示 本题要注意在做第(2)问时，如果直接应用第(1)问的结果，求此函数的最大值，则运算会非常复杂.。
人教新课标A版高一数学《必修2》4.2.3 直线与圆的方程的应用
由点斜式方程知，直线CP过定点(0，－r)．
题后反思
利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程、圆的方程， 直线与圆、圆与圆的位置关系等有关性质．建立适当的平面直角坐标 系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得 结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到 几何问题中，对几何问题作出合理解释．
探究点2
用坐标法解决平面解析几何问题的注意事项
问题3：用坐标方法解决平面几何问题应注意什么？ 【提示】用坐标法解决几何问题时应注意以下几点 1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适 当的直角坐标系； 2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时 要注意范围； 3．最后要把代数结果转化成几何结论．
实际问题也可采用这种方法转化.
谢谢大家！
典例精讲：题型二：定点定值问题 证明：以线段 AB所在直线为 x轴，以 AB 中点为原点，
建立平面直角坐标系，如图所示，
设圆的方程为 x2 ＋ y2 ＝ r2(r 为常数， r>0) ，直径AB位
于x轴上，动直径为CD.令C(x0，y0)，
则D(－x0，－y0)，∴P(－x0，－y0－2r)，
∴直线CP的方程为y－y0＝(x－x0)，
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题 例3:
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题 解:
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题
规律方法 利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数
表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，把问题转化为求此几
【文库精品】高中数学 考点57 直线和圆的方程的应用庖丁解题 新人教A版必修2
考点57 直线和圆的方程的应用直线与圆的方程在生产、生活实践中有着广泛的应用，其具体解题思路是：从实际问题出发，构建数学模型，转化为数学问题中点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及性质探究的问题求解．解题步骤是：（1）建模；（2）建系；（3）引进直线与圆的方程；（4）利用直线与圆的位置关系，借助几何性质求解．【例】如果实数x ，y 满足等式2223x y -+=()，那么yx的最大值是（ ） A ．12B C D 【答案】D2，构造直角三角形，求出相切时的倾斜角60°，可得斜率的最大值．1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半径为3.6 m 的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷蓬顶距地面的高度不得超过（ ） A ．1.4 m B ．3.5 m C ．3.6 m D ．2.0 m【答案】C【解析】设圆的方程为2223.6x y +=，将0.8y (，)代入方程的 3.5y ≈．【规律方法】直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识的用坐标法解决几何问题．用坐标法解决平面几何问题的思维过程：2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为（ ）A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h【答案】B【解题技巧】用坐标方法解决几何问题的步骤是：（1）建系，用坐标和方程表示问题中几何元素，将平面问题转化为代数问题； （2）通过代数运算解决代数问题； （3）将代数结构翻译成几何结论．3．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )A ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π【答案】D【解析】数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14．4．已知M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r>0)}，且M ∩N ＝N ，则r 的取值范围是( ) A ．(0，2－1) B ．(0,1] C ．(0,2－2] D ．(0,2]【答案】C【解析】因为M ∩N ＝N ，所以两个圆内含或内切，则2－r≥2，得r ∈(0,2－2]，故选C ． 5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的直径为________．【答案】13米6．一束光线l 自A （–3，3）发出，射到x 轴反射到224470C x y x y +--+=：上．（1）求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； （2）求在x 轴上，反射点M 的范围． 【解析】C ：22221x y -+-=()()．（1）C 关于x 轴的对称点C ' （2，–2），过A 、C '的直线方程：0x y +=为光线l 的方程． （2）A 关于x 轴的对称点A '（–3，–3）．设过A '的直线为33y k x ++=()，当该直线与C 相切时，413k =⇒=或34k =．∴过A '，C 的两条切线为4333y x ++=()，3334y x ++=()令0y =，得123,14x x =-=．∴反射点M 在x 轴上的活动范围是3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．1．点P (4,－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)4＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【答案】A2．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1,则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2【答案】A【解析】由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a2＝1,解之得a ＝－43． 3．一条光线从点(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34【答案】D【解析】圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(–3,2),半径r ＝1．(–2,–3)关于y 轴的对称点为(2,–3)．如图所示,反射光线一定过点(2,–3)且斜率k 存在,∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x –2),即kx –y –2k －3＝0．∵反射光线与已知圆相切, ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1,整理得12k 2＋25k ＋12＝0,解得k ＝－34或k ＝－43．4．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h ．问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)石拱桥石拱桥，用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，这种拱桥有悠久的历史，桥梁又多有附属小品建筑，如桥头常立牌坊，著名者如北京北海琼华岛前的石拱桥，两端就各有一座规模甚大而美丽的牌坊．华表、经幢和小石塔也常用于桥梁，如苏州宝带桥、泉州五里桥和洛阳桥等．世界上最著名的割圆拱桥首推中国赵州桥．。
高中数学人教A版必修2第四章——直线与圆方程的应用
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题Ⅱ:已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直，求证：圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半.
思考1:许多平面几何问题常利用 “坐标法”来解决，首先要做的工 作是建立适当的直角坐标系，在本 题中应如何选取坐标系？
y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
4.2.3 直线与圆的方程的应用
直线与圆的方程在生产、 生活 实践以及数学中有着广泛的应用, 本节课我们将通过几个例子说明 直线与圆的方程在实际生活以及 平面几何中的应用
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
（1）建立适当的直角坐标系，用坐标，方程表 示问题中的量；
（2）通过代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”成实际问题或几何 结论。
作业：
P132练习:1，2，3，4. P133习题4.2B组:2.4.
1.成为世界上经济增长速度最快的国 家，创 造了世 界经济 增长史 上的新 奇迹。 1.否定商 品经济 的存在 ，否定 市场及 价值规 律对经 济的调 节作用 。 35、生命是以时间为单位的，浪费别 人的时 间等于 谋财害 命;浪费 自己的 时间， 等于慢 性自杀 。—— 鲁迅 36、社会上崇敬名人,于是以为名人的 话就是 名言, 却忘记 了他之 所以得 名是那 一种学 问或事 业--鲁迅 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。 39、事先写出自己所要提出的每点意 见，以 合乎逻 辑的顺 序表达 出来： 言简意 骇，抓 住重点 。 2、人生的成功，不在于拿到一幅好 牌，而 是怎样 将坏牌 打好。 3、人生的路每一个人都要走一趟， 同样是 一条路 每一个 人走起 来却有 着不同 的感受 ，是好 是坏那 就要靠 几分的 机缘与 自己的 抉择。 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 :解决这个问题的本质是什么？
《直线与圆的方程的应用》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.2.3课时)
中点公式求D, kDG kMN 1 kMN ( yM yN ) /(xM xN )
C
N
DG
O
x
M
新知探究
求圆 C : x2 y2 x 2 y 0 关于直线 l : x y 1 0 对称的圆的方程。
C : (x 1)2 ( y 1)2 5
的方程如何？ M
y A
o
x
B
x0x+y0y=r2
新知探究
解:设两个切点为A,B以OP为直径的圆过A,B两点,设圆上任一点C (x ,y ),必有OC⊥PC,根据此条
件必有 y • y y0 1, x x x0
故得此圆的方程为
x(x-x0)+y(y-y0)=0.过A,B两点的圆的方程为 x(x-x0)+y(y-y0)+λ(x2+y2-r2)=0.
人教版高中数学必修二
第4章 圆与方程
4.2.3直线与圆的方程的应用
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
新知探究
问题：这个圆的圆拱跨AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱
A2P2的高度（精确到0.01m）
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高度TH COUNSELING PPT
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P2 P
A
A1
A2 O A3
A4
B
新知探究
圆心(0,b)
y P2 P (0,4)
-2 x
A
A1 A2 A3 A4 B (10,0)
新知探究
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用 问题:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长 的一半.
高一数学人教版A版必修二课件：4.2.3直线与圆的方程的应用
类型三 直线与圆位置关系的应用 例3 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台 风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形 区域(如图).已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变 航线，那么它是否会受到台风的影响？
反思与感悟
解析答案
车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( B )
A.1.4 m
B.3.5 m
C.3.6 m
D.2.0 m
解析 如图，
圆半径|OA|＝3.6，卡车宽1.6，
所以|AB|＝0.8， 所以弦心距|OB|＝ 3.62－0.82≈3.5(m).
解析答案
1 23 4
2.据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以 每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区 将受其影响.从现在起经过约________h，台风将影响A城，持续时间约 为________h(结果精确到0.1 h).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离 水面2 m，水面宽12 m，当水面降落1 m后，水面宽为________米.
解析答案
类型二 坐标法证明几何问题 例2 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切 于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
知识点 坐标法解决几何问题的步骤
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过 代数运算 ，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
精品2019高中数学考点58直线系方程与圆系方程庖丁解题新人教A版必修2
考点58 直线系方程与圆系方程1．与直线l :A x +B y +C=0平行的直线系方程为A x +B y +m =0；2．与直线l :A x +B y +C=0平行的直线系方程为B x –A y +m =0；3．过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B yy （A,B 不同时为0）；4．过直线n ：1110A xB yC （11,A B 不同时为0）与m ：2220A xB yC （22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A xB yC A xB yC （R ，为参数）；5．过直线A x +B y +C=0与圆x2 + y2+D x + E y +F= 0 的交点的圆系方程x 2+ y 2+D x + E y +F+λ（A x +B y +C ）=0；6．过和交点的圆系方程为．【例】求过两圆x2+ y2－4x + 2y = 0 和x2+ y2－2y －4 = 0 的交点，且圆心在直线 2x + 4y = 1上的圆方程_____________，此时圆心到x 轴的距离_____________．【答案】x2+ y2－3x + y －1 = 0，12【解题技巧】在遇到过圆与圆交点的圆有关问题时，灵活应用圆系方程，可简化繁杂的解题过程．要点阐述典型例题1．已知点00,y x P 是直线0:C By Axl 外一点，则方程000C By Ax C By Ax 表示（）A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线【答案】D 【解析】2．求经过点)03(，B ，且与直线052y x垂直的直线的方程_____________．【答案】32y x ．【解析】设与直线052y x 垂直的直线系方程为02ny x ，因为经过点)03(，B ，所以3n ，故所求直线方程为032yx．【解题技巧】对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算．3．不论k 为何实数，直线（2k ﹣1）x ﹣（k +3）y ﹣（k ﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是_____________．【答案】)3,2(【解析】4．设直线l 经过2x –3y +2=0和3x –4y –2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l 的方程_____________．【答案】x –y –4=0,或x +y –24=0．【解析】设所求的直线方程为(2x –3y +2)+λ(3x –4y –2)=0,整理得(2+3λ)x –(4λ+3)y –2λ+2=0,由题意,得2334=±1,解得λ=–1,或λ=–57．小试牛刀所以所求的直线方程为x –y –4=0,或x +y –24=0．【易错易混】对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:00()()0A xx B yy ，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．5．求经过两直线1240l xy：和220l xy：的交点P ，且与直线33450l xy：垂直的直线l 的方程_____________．【答案】4360xy1．已知直线53)2(:1y x a l 与直线62)1(:2yx a l 平行，则直线1l 在x 轴上的截距为（）A ．1B ．95C ．1D ．2【答案】B 【解析】由已知得2(2)3(1)a a ，得7a，则直线1l 在x 轴上的截距为59,故选B ．2．平行于直线012y x且与圆522yx 相切的直线的方程是（）A ．052y x 或052y xB ．052y x 或052y x C ．052y x 或052y x D ．052y x或052y x【答案】D考题速递【解析】依题可设所求切线方程为20x y c ，则有2200521c ，解得5c ，所以所求切线的直线方程为250x y 或250x y ，故选D ．3．过直线 2x + y + 4 = 0 和圆x2+ y2+ 2x －4y + 1 = 0的交点，面积最小的圆方程_____________，圆的面积为_____________．【答案】5x2 + 5y2+ 26x －12y + 37 = 04．已知平行四边形两边所在直线的方程为x +y +2=0和3x –y +3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程．【解析】由20330x y xy 得一顶点为53(,)44．因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为2935(,)44．设与x +y +2=0平行的对边所在直线方程为x +y +m =0,因为该直线过2935(,)44,所以m =–16．设与3x –y +3=0平行的对边所在直线方程为3x –y +n=0,同理可知过点2935(,)44,得n=–13．故所求直线的方程为x +y –16=0和3x –y –13=0．数学文化平行直线系两条平行的直线永远不会有交集。
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考点57 直线和圆的方程的应用
直线与圆的方程在生产、生活实践中有着广泛的应用，其具体解题思路是：从实际问题出发，构建数学模型，转化为数学问题中点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及性质探究的问题求解．解题步骤是：（1）建模；（2）建系；（
3）引进直线与圆的方程；（4）利用直线与圆的位置关系，借助几何性质求解．
【例】如果实数x ，
y 满足等式2223x y -+=()，那么y
x
的最大值是（ ） A ．1
2
B C D 【答案】D
2，构造直角三角形，求出相切时的倾斜角60°，可得斜率的最大值．
1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半径为3.6 m 的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷蓬顶距地面的高度不得
超过（ ） A ．1.4 m B ．3.5 m C ．3.6 m D ．2.0 m
【答案】C
【解析】设圆的方程为2223.6x y +=，将0.8y (，)代入方程的 3.5y ≈．
【规律方法】直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识的用坐标法解决几何问题．用坐标法解决平面几何问题的思维过程：
2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A
地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为（ ）
A ．0.5 h
B ．1 h
C ．1.5 h
D ．2 h
【答案】B
【解题技巧】用坐标方法解决几何问题的步骤是：
（1）建系，用坐标和方程表示问题中几何元素，将平面问题转化为代数问题； （2）通过代数运算解决代数问题； （3）将代数结构翻译成几何结论．
3．y ＝|x |的图象和圆x 2
＋y 2
＝4所围成的较小的面积是( )
A ．π4
B ．3π4
C ．3π2
D ．π
【答案】D
【解析】数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2
＝4面积的14
．
4．已知M ＝{(x ，y )|x 2
＋y 2
≤4}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2
＋(y －1)2
≤r 2
(r>0)}，且M ∩N ＝N ，则r 的取值范围
是( ) A ．(0，2－1) B ．(0,1] C ．(0,2－2] D ．(0,2]
【答案】C
【解析】因为M ∩N ＝N ，所以两个圆内含或内切，则2－r≥2，得r ∈(0,2－2]，故选C ． 5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的直径为________．
【答案】13米
6．一束光线l 自A （–3，3）发出，射到x 轴反射到224470C x y x y +--+=：上．
（1）求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； （2）求在x 轴上，反射点M 的范围． 【解析】C ：22221x y -+-=()()．
（1）C 关于x 轴的对称点C ' （2，–2），过A 、C '的直线方程：0x y +=为光线l 的方程． （2）A 关于x 轴的对称点A '（–3，–3）．设过A '的直线为33y k x ++=()，当该直线与C 相切时，
413k =⇒=
或34k =．∴过A '，C 的两条切线为4333y x ++=()，3
334
y x ++=()令0y =，得123,14x x =-=．∴反射点M 在x 轴上的活动范围是3,14⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
．
1．点P (4,－2)与圆x 2
＋y 2
＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A ．(x －2)2
＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2
＝4 C ．(x ＋4)4
＋(y －2)2
＝4 D ．(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝1
【答案】A
2．圆x 2
＋y 2
－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1,则a ＝( )
A ．－43
B ．－3
4
C ． 3
D ．2
【答案】A
【解析】由圆的方程x 2
＋y 2
－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a
2
＝1,解之得a ＝－4
3． 3．一条光线从点(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1相切,则反射光线所在直线的斜率
为( ) A ．－53或－3
5
B ．－32或－23
C ．－54或－45
D ．－43或－34
【答案】D
【解析】圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1的圆心为(–3,2),半径r ＝1．(–2,–3)关于y 轴的对称点为(2,–3)．如图所示,反射光线一定过点(2,–3)且斜率k 存在,∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝
k (x –2),即kx –y –2k －3＝0．
∵反射光线与已知圆相切, ∴
|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2
＝1,整理得12k 2
＋25k ＋12＝0,解得k ＝－34或k ＝－43．
4
．如图，已知一艘海监船O
上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h ．
问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
石拱桥
石拱桥，用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，这种拱桥有悠久的历史，桥梁又多有附属小品建筑，如桥头常立牌坊，著名者如北京北海琼华岛前的石拱桥，两端就各有一座规模甚大而美丽的牌坊．华表、经幢和小石塔也常用于桥梁，如苏州宝带桥、泉州五里桥和洛阳桥等．世界上最著名的割圆拱桥首推中国赵州桥．。