抽象代数课本讲义第二章第四节
抽象代数高等数学教材
抽象代数高等数学教材抽象代数，作为数学的一个重要分支，研究的是代数结构的抽象概念及其性质。
它是现代数学的基石之一，也是高等数学中的一门重要课程。
本教材旨在全面而系统地介绍抽象代数的基本概念、理论和方法，帮助读者建立起对抽象代数的深入理解和应用能力。
第一章：群论1.1 群的定义与性质1.2 群的子群与商群1.3 幺半群与半群1.4 群同态与同构1.5 群的作用与置换群第二章：环论2.1 环的定义与性质2.2 整环与域2.3 环的同态与同构2.4 素理想与极大理想2.5 多项式环与唯一因子分解整环第三章：域论3.1 域的定义与性质3.2 代数扩域与超越扩域3.3 有限域与伽罗华理论3.4 不可约多项式与域的扩张第四章：线性代数4.1 线性空间的定义与性质4.2 线性变换与矩阵4.3 特征值与特征向量4.4 正交矩阵与对角化4.5 线性空间的直和与内积空间第五章：模论5.1 模的定义与性质5.2 子模与商模5.3 生成元与基本定理5.4 非交换环上的模5.5 自由模与有限生成模第六章：域扩张与代数闭包6.1 域扩张的概念与性质6.2 代数元与超越元6.3 代数闭包与代数簇6.4 代数闭域与代数不变量6.5 有理函数与分式域的构造第七章：范畴论与同调代数7.1 范畴的基本概念与性质7.2 范畴的构造与自然变换7.3 函子与函子范畴7.4 外代数与同调代数基础7.5 奇异同调与同调算子第八章：群表示论8.1 群表示的基本概念与性质8.2 单群与群同态8.3 群表示与欣格尔引理8.4 卷积公式与算术引理8.5 特殊群的表示与表示的构造结语：本教材通过系统而严谨的讲解，涵盖了抽象代数的核心内容，旨在培养读者对抽象代数的兴趣和学习动力，提升读者对数学的抽象思维能力和证明能力。
在学习的过程中，读者还可结合习题和实例进行巩固和应用，从而更好地掌握抽象代数的理论与方法。
希望本教材能成为读者学习抽象代数的重要参考资料，为他们在数学领域的探索和研究奠定坚实基础。
抽象代数第二章
阿贝尔
加罗华
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(2)Hamilton四元数的发现 (2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法， 长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发 现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i 现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按 (a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进 a,b) c,d)=(a c,b± a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd) 行代数运算，二元数具有直观的几何意义； 行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一 一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。 一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论 产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索， 产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索， 力图寻求三元数的努力失败了。 力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家 W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数 W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数。四 年成功地发现了四元数。 元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算， 元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但 与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。 与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这 点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高 了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点， 了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点， 它是近世代数的另一个重要理论来源。 它是近世代数的另一个重要理论来源。
抽象代数教学大纲
《抽象代数》课程教学大纲课程编号：总学时： 54 总学分： 3 开课学期：第5学期适用专业小学教育（理）一、课程性质、目的与任务本课程是小学教育（理）专业选修课，课程主要内容为集合与映射、群论初步、环与域。
整环的因子分解理论和域的扩张二、课程教学的基本要求通过对本课程的学习，使学生掌握《近世代数》的一系列基本概念与基本理论，掌握现代数学的基本方法，培养学生正确运用现代数学的知识和方法来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程及相关课程打好基础。
三、课程的主要内容、重点和难点第一章基本概念(一)、教学内容集合：子集与真子集，并集、交集。
映射：映射的定义，以及象与逆象的概念。
代数运算：代数运算的定义及表示法，二元运算的概念。
结合律：结合律的定义。
交换律：交换律的定义。
分配律：分配律的定义。
一一映射：满射、单射、一一映射；变换、单射变换、满射变换及一一变换。
同态：同态映射、同态满射。
同构、自同构：同构映射、自同构。
等价关系与集合：关系、等价关系，分类、全体代表团、剩余类。
重点：一一映射、同态、同构、自同构、分类。
难点：建立映射关系与同构关系，等价关系与分类之间的相互转换。
(二)教学基本要求1、理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系，以及集合之间的运算。
2、理解映射的概念，能在集合之间建立映射关系，并能判断两个映射是否相同。
3、掌握代数运算与映射的关系，能建立有限集合之间的运算表。
4、掌握将结合律、交换律、第一、第二分配律推广到n元的定理，并能判断给定的运算能否满足结合律、交换律以及两种分配律。
5、掌握一一映射的定义，并能建立两个集合之间的满射、单射、一一映射，能判定给定的映射是否是一一映射。
6、掌握同态映射的概念，理解同态与同态满射的关系，并能判定映射是否是同态满射，掌握具有同态满射的集合之间的联系。
7、掌握同构映射和自同构的概念，能区分同态与同构的差别，理解两个具有同构关系的集合之间的关系，并能判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。
抽象代数教案
抽象代数教案一、引言抽象代数是数学的一个重要分支，它研究代数结构及其性质，并通过一种抽象的方式对代数对象进行分类和理解。
本教案旨在介绍抽象代数的基本概念和主要内容，帮助学生初步掌握抽象代数的思想和方法。
二、基本概念1. 代数系统代数系统是指具有一组运算和一些运算规则的集合。
常见的代数系统包括群、环和域等。
2. 群群是一种代数结构，它包括一个集合和一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。
群可以分为交换群和非交换群。
3. 环环是一种代数结构，它包括一个集合和两个二元运算，满足加法和乘法封闭性、结合律、分配律等性质。
环可以分为交换环和非交换环。
4. 域域是一种代数结构，它包括一个集合和两个二元运算，满足加法和乘法封闭性、结合律、分配律以及存在加法单位元和乘法单位元等性质。
三、主要内容1. 群论1.1 群的定义和基本性质1.2 子群和陪集1.3 同态和同构1.4 群的分类2. 环论2.1 环的定义和基本性质2.2 理想和商环2.3 同态和同构2.4 环的分类3. 域论3.1 域的定义和基本性质3.2 子域和扩域3.3 代数元和超越元3.4 域的分类四、教学方法1. 理论讲授通过清晰的讲解和示例，介绍抽象代数的基本概念和主要内容，帮助学生建立起关于代数结构的抽象思维。
2. 经典案例分析选取一些经典的代数问题或定理，进行详细分析和讨论，帮助学生深入理解抽象代数的思想和方法。
3. 计算实践设计一些计算练习，让学生通过实际计算来巩固和应用所学的代数知识，培养解决问题的能力。
4. 小组讨论组织学生进行小组讨论，鼓励他们互相交流和思考，分享各自的见解和思路，提高彼此的学习效果。
五、教学评价1. 课堂表现评价评估学生在课堂上的参与度、提问能力和问题解决能力，对学生的表现给予及时反馈和指导。
2. 作业评价布置适量的作业，注重学生对代数概念和性质的运用，评价学生对所学内容的理解和掌握程度。
3. 平时成绩评价综合考虑学生的课堂表现、作业完成情况以及小组讨论等因素，给予综合评价和成绩打分。
《抽象代数》课程大纲(草稿-细节待完善)
《抽象代数》课程大纲（草稿－细节待完善）一、课程简介课程名称：抽象代数学时/学分：68/4先修课程：线性代数（E）面向对象：致远学院本科生（计算机班）教学目标：本课程是为致远学院（计算机班）开设的系列代数课程的第二部分。
通过整个课程的学习使学生掌握近世代数学（又叫抽象代数）的基本理论、思想与方法，使学生的计算能力和抽象思维能力得到系统的训练和提高，为将来进一步学习其它专业课程和将来的应用奠定坚实的代数基础。
在教学过程中特别强调结合具体的例子来理解近世代数学的数学思想和思维方法，注意介绍最新的科研成果以开阔同学的视野。
主要内容：群（子群、群同态及基本定理、 Sylow定理、群作用及其应用），环（环同态、理想、商环、 多项式环与矩阵环），域（素子域，域的扩张， 可裂域与有限域）二、教学内容第一章 预备知识主要内容：等价关系、等价类、商集合与满映射; 数论中的整除与同余：Euler定理与Fermat小定理重点与难点：商集合与满映射的一一对应性第二章群与对称性主要内容：群的定义以及重要例子（循环群、二面体群与其他旋转群）；子群与旁集（Coset）: Lagrange定理，计数公式（1）；正规子群与商群；群同态基本定理重点与难点：群同态基本定理；商群第三章群作用主要内容：群作用与群方程；各种具体的群作用（共轭作用；Cayley定理；抽象群作用）；Burnside引理及其应用；Sylow定理及其应用重点与难点：群作用；轨道个数的计数公式（即群方程）第四章环主要内容：子环与理想、商环；多项式环及其商环；模n的剩余类环；PID与欧氏整环；整环中的素元与不可约元；UFD重点与难点：理想与商环；环的特征；分解问题第五章域主要内容：素域与域扩张; 单扩域；代数扩域：定义及例子;分裂域、正规扩域; 有限域：重点是分裂域和有限域重点与难点：域扩张；分裂域三、教学进度安排第一章．预备知识(6课时)1.1．等价关系、等价类、商集合与满映射（4学时）1.2．初等数论中的整除与同余：Euler定理与Fermat小定理（2学时）习题课（2学时）第二章. 群与对称性（20学时）2.1．群的定义以及重要例子（循环群、二面体群与其他旋转群；置换群） （4学时）2.2．子群与旁集（Coset）: Lagrange定理，计数公式（1）；由子集生成的子群；群的表达式（generators and relations）（6学时）2.3．正规子群与商群： 定义；重要例子；Cauchy引理（作为商群的应用）（4学时）2.4. 群同态基本定理以及第一第二同构定理; （2学时）2.5. 自同构与内自同构（2学时）2.6. 群的内、外直积（2学时）习题课（2学时）第三章. 群作用（共10学时）3.1抽象群作用： 轨道； 稳定化子； 计数公式(2)（2学时）3.2 群方程；各种具体的群作用（共轭作用；Cayley定理；抽象群作用）（3学时）3.3 Burnside引理及其应用（2学时）3.4 Sylow定理及其应用（3学时）习题课（2学时）第四章．环(16学时)4.1 定义（均有单位元且为结合环）以及重要例子（矩阵环，多项式环，形式幂级数环， 整数剩余类环） (2学时)4.2子环与理想： 重点是理想； 理想的生成问题；（2学时）4.3商环与环同态：同态基本定理及其应用（4学时）4.4 素理想与整环；最大理想与域 （2学时）4.5 多项式环及其商环的表达（与多项式带余除法的联系）（2学时）4.6. PID与欧氏环（2学时）4.7. 整环中的不可约元与素元；UFD理论介绍（2学时）习题课（2学时）第五章. 域（共12学时）5.1素域与域扩张： 强调与线性代数的联系（2学时）5.2单扩域；代数扩域： 强调与多项式环商环构造的联系（4学时）5.3 分裂域与正规扩域（2学时）5.4有限域（4）习题课（2学时）第六章. 偏序集、格与Bool代数（共4学时）6.1 偏序集与格 （2学时）6.2 Bool代数（2学时）习题课－总复习（2学时）四、课程考核及说明（1） 20%为平时成绩20%为大作业（小论文）60%为考试成绩（2）总课时（68学时）之外安排大约12学时习题课，由助教唱主角；另有若干次答疑（一般放在第8周后的周六或者周日进行）。
【抽象代数】02-代数与群
【抽象代数】02-代数与群1. 代数系统1.1 运算律 我们已经知道函数的概念，它表⽰集合间的⼀种映射关系。
多数场景⾥，像和原像往往是同⼀个集合，这⾥就讨论这样的函数。
⼀元函数f:A↦A也被称为集合A上的变换，其中双射的变换也称为置换。
⼀般如下式的多元函数，也被称为集合A上的n元运算。
集合S以及其上的⼀些运算f1,f2,⋯,f m组成的系统叫代数系统（algebraic system），在不混淆的情况下也可⽤S表⽰这个代数系统。
代数系统可以让我们抛开具体运算对象，⽽只关注于它们共有的结构和性质。
f:A×A×⋯×A↦A ⼆元运算是最常见的运算，⽐如各种对象（数、向量、多项式等）上的加减乘运算，以及变换的复合运算。
这⾥就主要研究⼆元运算下的代数系统，参照的例⼦主要是来⾃数论和置换变换。
下⾯的讨论，在思想分析上会⽐较啰嗦⼀点，但这些正是抽象代数的根基，某些证明过程和结果反⽽不那么重要。
希望你可以在学习时，经常合上书本，⾃⼰重新构建这些理论，体验抽象代数的思维。
我们先把问题简单化，研究只有⼀个⼆元运算的代数系统，那么如何研究？对于这个运算本⾝需要研究它形式上的特点，⽽对于整个代数系统还需要分析其结构特点。
我们⽤特定的符号a∘b来表⽰要研究的⼆元运算f(a,b)，有时也简写为ab，并且说成是“乘法”，这个代数系统简单记为⟨S,∘⟩。
如果还有另⼀个系统⟨G,⋆⟩，它们之间有⼀⼀映射f:S↦G，并且满⾜下式，则这两个系统称为同构的（isomorphic），记作S≅G。
显然同构是个等价概念，同构的代数系统可以看作是完全⼀样的，本质上可以不加区分。
f(a∘b)=f(a)⋆f(b) 从运算的形式上看，有两种⽐较重要的性质是需要研究的，⼀个就是运算的复合，另⼀个就是变量的位置互换。
运算的复合是指变量本⾝⼜是另⼀个运算的结果，⽐如(a∘b)∘(c∘d)。
我们⼤部分研究对象的运算都满⾜下式的特点，它称为运算的结合律。
简单的抽象代数基本知识2
2，环的又一定义 代数系统[R;+,*],其中+和*为定义在R上的二元 运算,满足下述条件, (1) [R;+]为Abel群 (2) [R;*]为半群 (3) +，*满足分配律: a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (b+c)*a=(b*a)+(c*a) 则称[R;+,*]为环。
域f上的所有多项式在多项式加法和乘法下作成一个有幺元的交换环记为fx称为域f多项式运算department这个域称为二元域应用在电话电报电视传真计算机中数据传输打印机vcd机cd机纠错码上以及卫星图片的传输等
编 码 理 论 基 础
哈尔滨工程大学理学院 信息与计算科学系 林 锰
Department of Mathematics, College of Sciences
第一章 简介抽象代数基本知识
1 2 3 授课预计 (6学时) 群的相关概念 环的相关概念 域及域上多项式
§2.2 环 的 相 关 概 念 一, 环的定义及相关内容 1，定义：设R是一个非空集合，其中有“+” “·” 两种二元代数运算，R叫做一个环，如果 1) a+b=b+a， 2) a+（b+c）=（a+b）+c， 3) G中有一个元素0，适合a+0=a， 4) 对于G中任意a,有-a,适合a+（-a）=0， 5) a·（b·c）=（a·b）·c， 6) a·（b+c）=a·b+a·c，（a+b) ·c=a·c+b·c。
则集合：
(a + I ) ⊗ (b + I ) = a ⋅ b + I
《抽象代数》课程教学大纲
《抽象代数》课程教学大纲Abstract Algebra课程代码：课程性质：专业基础理论课/必修适用专业：开课学期：4总学时数：56总学分数：3.5编写年月：2004年7月修订年月：2007年7月执笔：陈建新一、课程的性质和目的抽象代数是信息安全方向的重要基础课程之一，主要介绍群，环，域（以及模）的基本概念和基本理论。
通过以上知识的学习和习题的训练，培养学生的抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，使学生们将受到良好的代数训练，并为进一步学习数学得到一个扎实的代数基础。
二、课程教学内容及学时分配1. 基本概念（12学时）了解变换的概念,区分变换与映射的不同。
理解代数运算的概念,会判断给定的运算是否代数运算。
对于给定的代数运算，会验证是否满足结合律，交换律以及左右分配律。
给定两个不同的代数系统，会判断二者是否同态或者同构。
最后，在这一部分还要求理解等价关系和集合分类之间的关系，对给定的等价关系，如何确定一个集合的分类，反之，给定一个集合的分类又掌握确定怎样的一个等价关系的方法。
2.群（12学时）理解群和交换群的定义，群的一些简单的性质以及逆元和单位元在群中的作用。
了解同群有密切关系但比群更广泛的代数系统半群。
掌握群中元素的阶的概念和表示方法。
会求一些简单群中的指定元素的阶。
理解子群的概念，和群的分类：平凡子群及真子群。
知道给定群的子群的单位元和逆元与该群的关系。
掌握非空子集做成子群的充要条件。
知道中心元素的概念，会找一些简单群的中心。
理解循环群的生成，循环群的子群和循环群的关系。
会判断n阶循环群中的一个元素是否可以生成这个循环群。
了解变换群的概念，理解抽象群和变化群之间的联系。
理解置换群，循环和对换的定义，会用循环和循环的乘积来表示置换。
了解奇置换和偶置换的概念和它们之间的关系。
掌握置换的简单运算：置换间的相乘，置换逆的求法和置换的阶。
理解陪集，指数的定义和Lagrange定理的内容。
了解Lagrange定理所给出的陪集和指数与群的阶之间的关系。
《抽象代数基础》教案
《抽象代数基础》教案第一章：引言1.1 课程简介介绍抽象代数的基础知识和重要地位解释抽象代数与其他数学分支的关系1.2 抽象代数的基本概念定义集合、元素和运算举例说明一些基本的抽象代数结构1.3 抽象代数的历史发展回顾代数的发展历程介绍抽象代数的起源和发展趋势第二章：群论基础2.1 群的定义与性质引入群的定义和表示方法探讨群的性质，如封闭性、结合律等2.2 子群与陪集定义子群和陪集的概念研究子群与原群的关系以及陪集的性质2.3 群的同态与同构引入群同态和同构的概念探讨同态和同构的性质和条件第三章：环与域3.1 环的定义与性质引入环的定义和表示方法探讨环的性质，如加法封闭性、乘法结合律等3.2 素环与最大素环定义素环和最大素环的概念探讨素环和最大素环的性质和判定条件3.3 域的概念与性质引入域的概念和表示方法探讨域的性质，如乘法封闭性和零因子性等第四章：域扩张与伽罗瓦理论4.1 域扩张的定义与性质引入域扩张的概念和表示方法探讨域扩张的性质和条件4.2 伽罗瓦理论的基本概念引入伽罗瓦理论的基本概念，如伽罗瓦群、伽罗瓦扩展等探讨伽罗瓦理论的应用和意义4.3 域扩张的判定定理介绍判定域扩张的一些重要定理，如伽罗瓦定理等举例说明这些定理的应用和证明过程第五章：线性代数基础5.1 线性空间与线性映射引入线性空间和线性映射的概念探讨线性空间和线性映射的性质和运算5.2 矩阵与行列式引入矩阵和行列式的概念探讨矩阵和行列式的性质和运算规则5.3 特征值与特征向量引入特征值和特征向量的概念探讨特征值和特征向量的性质和应用第六章：向量空间与线性变换6.1 向量空间的概念与性质定义向量空间和子空间探讨向量空间的性质，如基的概念和维数6.2 线性变换与线性映射引入线性变换和线性映射的概念探讨线性变换的性质和运算规则6.3 特征值与特征向量进一步探讨特征值和特征向量的性质应用特征值和特征向量解决线性变换的问题第七章：特征值问题的应用7.1 特征值问题的解法介绍特征值问题的解法，如幂法和特征值算法探讨解法的有效性和适用条件7.2 特征值在实际问题中的应用举例说明特征值在物理学、工程学和经济学等领域中的应用分析特征值问题在实际问题中的解法和效果7.3 特征值问题的进一步研究介绍特征值问题的进一步研究方向，如谱理论和解的存在性等探讨特征值问题在科学研究中的重要性和挑战性第八章：向量空间的同构与对偶性8.1 向量空间的同构定义向量空间的同构和等价探讨同构的性质和判定条件8.2 向量空间的对偶性引入向量空间的对偶性和对偶空间探讨对偶性的性质和应用8.3 对偶性与共轭性探讨对偶性与共轭性的关系和联系应用对偶性和共轭性解决向量空间的问题第九章：张量分析基础9.1 张量的定义与运算引入张量的概念和表示方法探讨张量的运算规则和性质9.2 张量空间与张量映射定义张量空间和张量映射探讨张量空间和张量映射的性质和运算9.3 张量分析的应用举例说明张量分析在物理学、工程学和计算机科学等领域中的应用分析张量分析在实际问题中的解法和效果回顾本课程的主要概念、定理和方法10.2 抽象代数的进一步研究介绍抽象代数进一步研究的主要方向和热点问题探讨抽象代数在科学研究和应用中的前景和挑战10.3 课程学习评价与反思分析学生在本课程学习中的表现和收获提出学生应如何继续学习和提高自己在抽象代数方面的能力重点和难点解析重点环节1：群的定义与性质群的定义和表示方法是理解抽象代数结构的基础，需要重点掌握。
拔尖班抽象代数讲义
第十一讲 环的整性与模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 整性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 模的概念 第十二讲 线性代数模拟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 模的基本知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 同态基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14 模的直和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15 自由模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第十三讲 主理想整环上有限生成模的结构定理的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 定理证明的唯一性部分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17 定理的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第十四讲 一些代数常识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18 代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19 范畴语言简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 域扩张理论 第十五讲 分裂域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 域扩张基本常识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 分裂域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 何时|Gal(E/F )| = [E : F ]? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定理补证
研究生抽象代数课件
抽象代数第一章 集合与映射1.1逻辑命题：能判断正误的一句话。
逻辑：研究命题之间的关系。
1.2 集合集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。
集合中元素的特性：（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的。
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序。
集合的表述方法：列举法，描述法。
元素与集合的关系（1）属于： 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作 要注意“∈”的方向，不能把a∈A 颠倒过来写。
集合与集合的关系：包含与不包含。
包含：如果集合B 的元素都是A 的元素,就称B 为A 的子集,或A 包含B,记为B ⊂A 。
例如，偶数全体包含于自然数全体。
集族：以集合为元素的集合。
以I 为指标集的一个集族，可以记作：{}是集合，i iA AI i ∈∀。
例如：},,,{321 A A A 是以自然数集为指标集的集族。
直积或笛卡尔积：设A 、B 是非空集合，定义A 、B 的直积或笛卡尔积},|),{(B b A a b a B A ∈∀∈∀=⨯。
问题：如何定义无限的集族的笛卡尔积？1.3 映射一、映射的相关定义映射：设A 、B 是非空集合，:f A B → 的对应关系。
如果B y A x ∈∃∈∀1, 使得 ()f x y =,则称f 是从集合A 到集合B 的映射。
判断映射的数学法则：原像相同则像也相同，即A x x ∈∀21,，如果 21x x =，那么 )()(21x f x f =。
单射：若映射满足原像不同则像也不同，即A x x ∈∀21,，如果 21x x ≠，那么)()(21x f x f ≠。
等价判断：如果)()(21x f x f =，那么21x x =。
满射：设:f A B → 的映射，如果对于B 中任意的元素都存在原像，那么称f 为满射；即A B y ∈∃∈∀x ，使得y )(=x f 。
抽象代数电子教案
《抽象代数》课程教案第一章 基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。
集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。
理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。
教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。
教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。
教学措施：黑板板书与口授教学法。
教学时数：12学时。
教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。
集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。
定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。
（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。
（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。
若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,。
表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。
2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。
近世代数抽象代数ppt课件
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
s
ns
a ai , b as j .
i 1
j 1
n
所以 a b ai . i 1
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§1 代数运算
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
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§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
(1)若对于任意的 a, b, c A 总有 (ab)c a(bc) ,
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§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
抽象代数
一、课程目的与教学基本要求本课程是在学生已学习大学一年级“几何与代数”必修课的基础上，进一步学习群、环、域三个基本的抽象的代数结构。
要求学生牢固掌握关于这三种抽象的代数结构的基本事实、结果、例子。
对这三种代数结构在别的相关学科，如数论、物理学等的应用有一般了解。
二、课程内容第1章准备知识（Things Familiar and Less Familiar）10课时复习集合论、集合间映射及数学归纳法知识，通过学习集合间映射为继续学习群论打基础。
1、几个注记(A Few Preliminary Remarks)2、集论(Set Theory)3、映射(Mappings)4、A（S）(The Set of 1-1 Mappings of S onto Itself)5、整数(The Integers)6、数学归纳法(Mathematical Induction)7、复数(Complex Numbers)第2章群(Groups) 22课时建立关于群、子群、商群及直积的基本概念及基本性质；通过实例帮助建立抽象概念，掌握群同态定理及其应用；了解有限阿贝尔群的结构。
1、群的定义和例子(Definitions and Examples of Groups)2、一些简单注记(Some Simple Remarks)3、子群(Subgroups)4、拉格朗日定理(Lagrange’s Theorem)5、同态与正规子群(Homomorphisms and Normal Subgroups)6、商群(Factor Groups)7、同态定理(The Homomorphism Theorems)8、柯西定理(Cauchy’s Theorem)9、直积(Direct Products)10、有限阿贝尔群(Finite Abelian Groups) （选讲）11、共轭与西罗定理(Conjugacy and Sylow’s Theorem)(选讲)第3章对称群(The Symmetric Group) 8课时掌握对称群的结构定理，了解单群的概念及例子。
抽象代数知识点总结
抽象代数知识点总结一、群的基本概念与性质1、集合及其基本概念集合是研究对象的所有对象的总体，且每个对象都是它的一个成员。
集合的基本概念有空集、全集等。
2、二元运算及其基本性质设M是一个非空的集合，如果对于M中的每一对元素（a，b），都有一个元素：c与之对应，那么就称c在二元运算下，是a和b的像，记作：c=a*b or c=ab 或c=a×b。
3、群的基本概念设G是一个非空集合，*是G上的一个二元运算，如果满足下列4条性质：1）封闭性：对于G中的任意两个元素a、b，有a*b＝c，则c也是G中的一个元素。
2）结合律：对于G中的任意三个元素a、b、c，有(a*b)*c＝a*(b*c)。
3）存在单位元：存在G中的一个元素e，对于G中的任意一个元素a，都有e*a＝a*e＝a。
4）存在逆元：对于G中的任意一个元素a，存在G中的一个元素b，使得a*b＝b*a＝e。
则称（G,*）为一个群，*e*为群的单位元，b为a的逆元。
4、群的基本性质群具有唯一性、反号的相等性、等式的一般性质以及二次方向等性质。
5、群的记号与群的表示法群记号一般由两部分组成，它们的含义可以简单分别叫做群名和运算名，前者表示群的所有元素的种类，后者表示群的元素相互之间的运算。
这是群的基本概念与性质的介绍，群是代数结构中的一种基本结构，具有很强的普适性，因此在很多数学分支中都有广泛的应用。
二、群的子群与陪集1、子群的定义设（G，*）是一个群，对于G的一个非空子集H来说，如果在G的运算*下，H构成一个群，则称H是G的一个子群。
2、子群的判定定理判定定理是指定群的一个非空子集是否为子群的方法，使得许多确定子群是否存在的问题可以迅速得到解决。
3、陪集的基本概念给定群G，a是G的一个元素，在G中a的左陪集和右陪集分别定义。
4、陪集的划分与陪集的等价关系陪集的划分是一个重要概念，若H是G的一个子群，a是G的一个元素，G可被H分成无穷个不相交的子集（陪集）：aH={(ah|h∈H)}及Ha={(ha|h∈H)}三、同态与同态定理1、同态的定义设（G，*）和（G’，*’）是两个群，如果G、G’之间的映射f满足一定条件，即对于任意的a.b∈G，有f(a*b)=f(a)*’f(b)，则称映射f为从（G，*）到（G’，*’）的同态映射。
简单的抽象代数基本知识1
二.群的定义与性质
1、群的定义
设G是一个带有运算“o ”的非空集合，且其中的运 算满足以下四个条件，则称(G ,o)是一个群
(1) 封闭律: ∀a,b ∈ G 有 ao b ∈G
(2) 结合律: ∀a,b, c ∈ G 有
(a o b) o c = a o (b o c)
(3) 幺元律: 存在 e ∈ G，使 ∀a ∈ G ，有
检例验如一A=个{1系,2,统3,4是,5否}，构f成(a代,b)数=lc系m统(a，,b)最(最重小要公的倍一数) 就点不就构是成看代运数算系对统集。合因是为否，封f 闭(3,，5)即=1运5不算在的集结合果A是中否， f 还对在A不集封合闭A中。。
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(1) 如果G的一个子群H不等于G，即H ⊂ G，
则（H，*）叫做（G，*）的真子群。 (2) G的子群H的运算必须与G的运算一样，
在群中成立的性质在子群仍成立。
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4，子群的例 例3. （mZ,+）是整数加法群（Z，+） 的一个子群 例4. 行列式等于1的所有n阶矩阵作成所有n阶非奇
则称∗ 在A上是可结合的。
(3) 若对于任意的 a,b,c∈A, 有
ao(b∗c) = (aob)∗(aoc) (b∗c)oa = (boa)∗(coa)
则称运算 o对运算 ∗是可分配的。
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3，与二元运算相关的一些特殊的元素 （1）单位元
如果 ∃el ∈ A, 对于∀x ∈ A都有el o x = x ，则称 el 为运算 o 的左单位元，同理可以定义右单位元 er ，
抽象代数课程教学大纲
定义；名词与简单性质； （交换环，无零因子环，整环，除环，域） 举例（数环、剩余类环、矩阵环、加群的自同态环、群环、四元数体） 2.2 环同态基本定理（2 学时）
理想的构造；主理想整环（PID） ；举例：除环上的全矩阵环是单环； 商环的构造；环同态基本定理的意义（强调与群论的平行和区别） 2.3 同态基本定理的应用（1 学时）
无零因子环的特征；整环的商域 2.4 2.5 中国剩余定理在“秘密共享”中的应用（1 学时, 对应代码 A1, A3） 极大理想与素理想（1 学时）
定义及关系；意义：构造域及整环 PID 中的极大理想和素理想
Zorn 引理；极大理想和素理想的存在性 2.5 唯一因子分解整环（UFD） （2 学时）
Abstract Algebra (also called Modern Algebra) is an important basis of modern mathematics, and is widely used, such as in computer science, information and communication, physics, and chemistry. The course Abstract Algebra is one of the main required courses for undergraduates in mathematics. It studies the fundamental algebraic structures of groups, rings, and fields (for the limited time, as a course for undergraduates, it will not deal with the representation theory of groups and rings. In fact, Representation