近世代数课件--第二章群论§2元素的阶
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近世代数课件--第二章群论§2元素的阶
(ak )n1 akn1 ank1 (an )k1 e
设 (ak )mห้องสมุดไป่ตู้ e ，则
akm e n | km n1 | k1m n1 | m
ak
n1
n. (n, k)
2020/2/8
两个推论：
推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a s | t
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(2)a
1 0
0 1
,
b
0 1
1 1
Q
ab
0 1
1 1
,
ba
1 1
0 1
,
| a | 4,| b | 3,| ab |
2020/2/8
思考题： 设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
定理1
有限群 G 中每个元素的阶均有限.
证明：设 G n
a G ，在 a,a2, ,an ,an1 G
中必有相等的. 设
as at ,1 t s n 1,
则 a st e ，从而阶有限.
2020/2/8
注： 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，
甚至可能都有限.
(am )n amn
，其中 m, n 为任意整数.
2020/2/8
定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
设 (ak )mห้องสมุดไป่ตู้ e ，则
akm e n | km n1 | k1m n1 | m
ak
n1
n. (n, k)
2020/2/8
两个推论：
推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a s | t
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(2)a
1 0
0 1
,
b
0 1
1 1
Q
ab
0 1
1 1
,
ba
1 1
0 1
,
| a | 4,| b | 3,| ab |
2020/2/8
思考题： 设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
定理1
有限群 G 中每个元素的阶均有限.
证明：设 G n
a G ，在 a,a2, ,an ,an1 G
中必有相等的. 设
as at ,1 t s n 1,
则 a st e ，从而阶有限.
2020/2/8
注： 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，
甚至可能都有限.
(am )n amn
，其中 m, n 为任意整数.
2020/2/8
定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
《近世代数》PPT课件
– 剩余类的加法和乘法运算
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
编辑ppt
18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
编辑ppt
28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
编辑ppt
6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
编辑ppt
联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
编辑ppt
8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
近世代数课件-2-2_群的定义
（2）运算 o适合结合律；（3）运算 o适合消去律.
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G 构成有限群的条件 : (1)存在G上的一个代数运算•; (2)运算 • 适合结合律; (3)运算 • 适合消去律.
2020/4/27五. 来自限群的特殊性2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
本节教学目的与要求： 记住群的定义，掌握群的基本性质和有限群的特殊性质，并
能熟练判定一个给定的代数系是否是群.
一. 群的定义及常见的群 二. 群的4个等价定义 三. 一些特殊群的例子 四. 群的消去率性质 五. 有限群的特殊性 六. 特殊的群—Klein（克莱因）四元群
2020/4/27
一. 群的定义及常见的群
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
从本节开始，学习群的有关性质。
2020/4/27
2.2 群的定义
注：
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
注：
2020/4/27
二. 群的四个等价定义
2020/4/27
三. 几个特殊群的例子
2020/4/27
四. 群的消去率性质
注：
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G构成有限群的条件: 1存在G上的一个代数运算o;
2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G 构成有限群的条件 : (1)存在G上的一个代数运算•; (2)运算 • 适合结合律; (3)运算 • 适合消去律.
2020/4/27五. 来自限群的特殊性2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
本节教学目的与要求： 记住群的定义，掌握群的基本性质和有限群的特殊性质，并
能熟练判定一个给定的代数系是否是群.
一. 群的定义及常见的群 二. 群的4个等价定义 三. 一些特殊群的例子 四. 群的消去率性质 五. 有限群的特殊性 六. 特殊的群—Klein（克莱因）四元群
2020/4/27
一. 群的定义及常见的群
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
从本节开始，学习群的有关性质。
2020/4/27
2.2 群的定义
注：
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
注：
2020/4/27
二. 群的四个等价定义
2020/4/27
三. 几个特殊群的例子
2020/4/27
四. 群的消去率性质
注：
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G构成有限群的条件: 1存在G上的一个代数运算o;
2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数课件-2-3_元素的阶
注：这个定理的的逆命题不成立，因为存在每个元素的阶都是 有限的无限群。例如： 关于数的乘法做成一个无限交换群，而其中每一个元素ຫໍສະໝຸດ 都存在一个2020/4/27
四、循环群的定义
2020/4/27
五、循环群的性质
2020/4/27
五、循环群的性质
2020/4/27
生成元为：
练习：求出模15的剩余类加群Z15的每个元素的阶与所有
素的阶的特殊性质.
一. 元素的阶的定义 二. 元素的阶的性质 三. 有限群的阶的性质 四. 循环群的定义 五. 循环群的性质
2020/4/27
一、元素的阶的定义
2020/4/27
一、元素的阶的定义
练习：在模8剩余类加群Z8中，各个元素的阶分别是多少？
2020/4/27
二、元素的阶的性质——有限阶元素的性质
生成元。
2020/4/27
五、循环群的性质 作业：P38,第4,9题。
2020/4/27
2020/4/27
二、元素的阶的性质——有限阶元素的性质
推论 在群中，若 | a | m ,则
(1) r Z,| ar | m (m, r) 1;
(2) 若m st, s,t N, 则| as | t.
2020/4/27
二、元素的阶的性质——无限阶元素的性质
2020/4/27
三、有限群的元素的阶的性质
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
2020/4/27
四、循环群的定义
2020/4/27
五、循环群的性质
2020/4/27
五、循环群的性质
2020/4/27
生成元为：
练习：求出模15的剩余类加群Z15的每个元素的阶与所有
素的阶的特殊性质.
一. 元素的阶的定义 二. 元素的阶的性质 三. 有限群的阶的性质 四. 循环群的定义 五. 循环群的性质
2020/4/27
一、元素的阶的定义
2020/4/27
一、元素的阶的定义
练习：在模8剩余类加群Z8中，各个元素的阶分别是多少？
2020/4/27
二、元素的阶的性质——有限阶元素的性质
生成元。
2020/4/27
五、循环群的性质 作业：P38,第4,9题。
2020/4/27
2020/4/27
二、元素的阶的性质——有限阶元素的性质
推论 在群中，若 | a | m ,则
(1) r Z,| ar | m (m, r) 1;
(2) 若m st, s,t N, 则| as | t.
2020/4/27
二、元素的阶的性质——无限阶元素的性质
2020/4/27
三、有限群的元素的阶的性质
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
2020/4/27
大学数学《近世代数》课件
3.推移律：
a bb a
a a,不管a是A的哪一个元。
a b, b c a c
定义：若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而 且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。
定理1：集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系。
定理2：集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类。
III.
，方程 和
在G中都有解。
例1 G＝{g}，乘法规定gg=g， 则G是一个群。
例2 G＝{全体整数}；G中运算为普通加法，则G是一个群。
例3 G＝{所有非整数}，G对于普通乘法不作成一个群。
定义1 同态：S , 与 T , 为两个代数系
统, ：S T 为同态映射，若对 a ，b S
有:a b＝ab
S , 定义2 同态满射： 与 为两个代数系统 ，
该映射为同态满射， ，
：S T
T , 为同态映射，且为满射，则 同态
S , T ,
定理1 假定，对于代数运算 和 来说， S与T 同态则：
二元代数运算“
”适合结合律和交换律
则 ai S,i 1,2,n, n个元素
a , a ,, a 1 2
n 的乘积仅与这n个元素
有关而与它们的次序无关。
例 仅满足结合律而不满足交换律：
1）矩阵乘法 2）映射的复合运算 3）字符串的复合运算 同时满足结合律与交换律：
1）普通乘法 2）集合的并、交 3）逻辑与、逻辑或 两者均不满足：
[本章主要内容]
1）群、子群及相关性质； 2）置换群、循环群； 3）子群的陪集、正规子群； 4）群的同态；
2.1半群与群的概念
定义1 设“
”时非空集合S上的一个二元
近世代数简介ppt
若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1． a、b I， a－b I。 2． a I、r R， a r = r a I， 则I是R的理想子环，简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
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若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
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《近世代数》PPT课件
定理1.5.1 假设一个集合A的代数运算 同时适合结合
律与交换律,那么在 a1a2 an中，元素的次序 可以调换.
例 判定下列有理数集Q上的代数运算 是否适合结合律，
交换律？
(1) a b a b ab (适合结合律和交换律 )
(2) ab(ab)2 (适合交换律，但不适合结合律)
(3) aba (适合结合律，但不适合交换律 )
定义1.9.2 设 是集合 A的代数运算. 若 是 A到 A的 一个同构映射(同态映射)，则称 是 A的一个自 同构 (自同态).
小结
同态是把代数运算考虑在内的映射，即是用来
比较两个代数结构的工具.
返回
在代数学中,两个同构的代数结构一般认为是相同的. 22
§1.10 等价关系与集合的分类
定义1.10.1 A设 是集合，D对，.错 一个 AA 到 D 的映射
注: 变换 是 A到A自身的一个映射.
小结
为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一
一映射和变换的概念.
返回
19
§1.8 同态
定义1.8.1 设 , 分别是集合的代数运算， : A A 是一个映
射,若 a,bA，有 (ab ) (a ) (b ),
则称 是 A到 A 的一个同态.
例1 A=Z (整数集)， 是普通加法； A ={1,-1}， 是普通乘法.
定义1.2.2 设 1 , 2是A到B的两个映射，若对 aA，
有 1(a)2(a), 则称 1 与 2 是相等的,记作 1 2.
注: 映射相等 构成映射的三要素（值域、定义域、对
应法则）全相同．
例5 设 AB 为正整数集 ．
定义 1 : ; a1 1 ( a ) ， a ,
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(am )n amn
，其中 m, n 为任意整数.
2020/5/29
定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
为无限. 显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶
都大于1， a a1 .
2020/5/29
同理 m | s ， (m,n) 1 mn | s ，于是 | ab | mn.
2020/5/29
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(1)a
1 0
0 1
,
b
1 0
0
1
Q
ab
ba
1 0
0 1
,
| a || b || ab | 2
例1
G {1,1,i,i} 关于数的普通乘法做成
4次单位根群.
1 1, 1 2, i i 4
2020/5/29
例2 正有理数乘群 Q 单位元的阶是1， 其他元的阶均为无限.
例3 非零有理数乘群 Q 1的阶是1， -1的阶是2， 其余元的阶均为无限.
2020/5/29
定理1
有限群 G 中每个元素的阶均有限.
近世代数 第二章 群论 §2元素的阶
2020/5/29
元素的指数
在群 G 中，由于结合律成立， a1a2 an
有意义，据此, 可定义群的元素的指数: 设
n 为正整数, 则规定:
6 7n8
6 4 7n 4 8
a0 e, an aaL a , an a1a1L a1
显然有， aman amn
证明：设 G n
a G ，在 a,a2, ,an ,an1 G
中必有相等的. 设
as at ,1 t s n 1,
则 a st e ，从而阶有限.
2020/5/29
注： 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，
甚至可能都有限.
例4 U Ui ，其中 U i 是 i 次单位根群
i 1
(1)an e, （2）若 am e n | m.
2020/5/29
定理3
若群中 | a | n ，则 ak n
(n, k )
，其中 k 为任意的整数.
证明： (n, k) d
n dn1, k dk1, (n1, k1 ) 1
(ak )n1 akn1 ank1 (an )k1 e
(| a |,| b |) 1
2020/5/29
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(2)a
1 0
0 1
,
b
0 1
1 1
Q
ab
0 1
1 1
,
ba
1 1
0 1
,
| a | 4,| b | 3,| ab |
2020/5/29
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定理4
在群中，若| a | m ，| b | n ，则当
ab ba 且 (m,n) 1 时，| ab | mn.
证明： | a | m ，| b | n ， ab ba
(ab)mn (am )n (bn )m e 若 (ab)s e
(ab)sm (am )s bsm bsm e n | sm n | s
思考题： 设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
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，则 U 关于普通乘法作成无限交换群，
其中每个元素的阶都有限.
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定理2
若群 G 中 | a | n ，则 am e n | m .
证明： 令 m nq r ， 0 r n ，则 am anqr (an )q ar ar e
r 0
m nq n| m
证明 G 中 | a | n ，只需证
设 (ak )m e ，则
akm e n | km n1 | k1m n1 | m
ak
n1
n. (n, k)
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两个推论：
推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a s | t
，其中s，t 均为正整数.
推论2 在群中，若 | a | n ，则
| ak | n (k,n) 1.