第1章有限元法简介

Fix uix k ii 0 F v iy iy 0 0 K ＝ ＝ F jx u jx k ji 0 F jy v jy 0 0
k ij 0 uix 1 v 0 0 iy EA 0 l 1 k jj 0 u jx 0 0 0 v jy
钱学森
钱伟长
胡海昌
杨桂通
徐芝伦
软件名称
简介
MSC/Nastran
LS-Dyna MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS FLUENT ABAQUS
著名结构分析程序，最初由NASA研制。
动力学分析程序（大多为显式算法） 非线性分析软件 通用结构分析软件（耦合场分析） 流场分析软件 非线性分析软件（非协调单元，非线性 直接解算方法）
令杆件两端节点分别产生单位位移，可以计算产生这样的单 位位移所需要的力，而力的大小就是刚度系数。 EA 首先取 ui 1，u j 0, 此 时 需 要 压 力 ui。 按 照 局 部 坐 标 系 l EA EA 和力的规定， Fi ui，F j ui， 则 l l EA EA ui l k , k
单元2 3
F3 10N
x
考虑y方向的单元刚度矩阵
Fi k ii k ij ui EA 1 1 ui ＝ u l F u k k 1 1 jj j j ji j
若考虑y方向，则有：
——宏观假设
弹性力学的基本假定
2、线弹性(Linear elastic)
物体的变形与外力作用的关系是线性的， 除去外力，物体可回复原状 ，而且这个关系和 时间无关，也和变形历史无关，称为完全线弹 性材料
好处：应力应变之间的函数简化为线性函数， 且材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变
弹性力学的基本假定
弹性力学基本假设
• 工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分 主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难， 将使得问题无法求解。
• 根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出 一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。 • 基本假设是学科的研究基础。 • 超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。
弹性力学的基本假定
五个基本假定： 1、连续性(Continuity) 2、线弹性(Linear elastic) 3、均匀性(Homogeneity) 4、各向同性(Isotropy) 5、小变形假定(Small deformation)
弹性力学的基本假定
1、连续性(Continuity)
整个物体的体积都被组成这个物体的介质所 填满, 不留任何空隙.即，各个质点之间不存在任 何空隙 好处：物体内的物理量,例如应力形变和应变, 才可能是连续的, 才可以用连续函数来表示;
0 1 0 uix 0 0 0 0 0 1 0 u jx 0 0 0 0 [K] 0 1 0 uix v 0 0 0 iy 0 1 0 u jx 0 0 0 v jy
1.2.1 有限元法基本步骤
1、结构的离散化 ——把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。
注意： （1）离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连结起来。 （2）单元的类型及形状的选择。 （3）网格的大小及疏密的合理布置。 （4）用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划 分单元数目非常多而又合理，则所获得的计算结果就越逼近 实际情况。
FLAC 3D…… 岩土，焊接，金属成形，海洋，爆炸， 电磁场，热场，耦合场等等
前处理 几何建模 材料属性和 单元定义 求解 选择求解方法 施加边界载荷 后处理 求解设置 网格划分
通用后处理
时间历程后处理
设计分析„„
1.1.2 有限元法的基本思想
“化整为零，集零为整”。 也就是将一个原来连续的物体假想地分割成由有限个单 元所组成的集合体，简称“离散化”。然后对每个单元进行 力学特征分析，即建立单元节点力和节点位移之间的关系。 最后，把所有单元的这种关系式集合起来，形成整个结构的 力学特性关系，即得到一组以节点位移为未知量的代数方程 组。处理后即可求解，求得结点的位移，进一步求出应变和 应力。
网格划分中的每一个小部分称为单元。
网格间相互联结点称为节点。
网格与网格的交界线称为边界。 显然，图中的节点数是有限的，单元数目也是有限的，这就是 “有限元”一词的由来。
1.1.3 有限元法基本求解方法
解题思路
载荷
已知量
平衡方程
位 移
几何方程
基本 未知量
应 变
物理方程
应 力
1.2 有限元法的步骤
e
2. 单元分析
——找出单元节点力和节点位移的关系式。
（1）选择位移模式 选用一种函数，来近似地表示单元内任意点的位移随坐 标变量变化的函数，这种函数称为位移模式 。 （2）建立单元刚度方程
k ee F e
式中 角标e—单元编号； e —单元的节点位移向量； F e —单元的节点力向量； k e —单元刚度矩阵。
像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异 性材料。
弹性力学的基本假定
5、小变形假定(Small deformation):
物体的位移和形变是微小的. 即物体的位 移远小于物体原来的尺寸, 而且应变和转角都 远小于1
好处：变形与结构原尺寸相比属高阶小量，可 略去因变形引起的结构尺寸变化
弹性力学中的位移
注意：ui=1和uj=0，kii表示第i节点产生单位位移，而 其它点固定时，需要在第i节点所施加的力。 kji表示第i节点产生单位位移，而其它点固定 时，需要在第j节点所施加的力。 刚度系数的物理意义：产生单位节点位移所需要的节点力。
杆单元
E1 , A1 , l1
u1
1 单元1 2
u2
E2 , A2 , l2
E1 , A1 , l1
u1
1 单元1 2u2源自E2 , A2 , l2单元2 3
F3 10N
x
杆件结构
（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。
杆单元
考虑一个2节点一维等截面杆单元：
L— 杆长 A— 截面积 E— 弹性模量
杆单元
杆单元
杆单元
杆单元伸长量：
f i ：节点力，沿X轴正向为正，沿X轴负向为负 Fi ：杆件轴力，拉正压负
有限元方法与分析应用
主讲教师：吕言新
机电工程学院
课程参考书
• 曾攀.有限元分析及应用.清华大学出版社; • 王勖成，绍敏.有限单元法基本原理和数值方法.清华大学出
版社;
• 陈惠发.弹性与塑性力学.
• 王新荣.ANSYS有限元基础教程.电子工业出版社;
• 徐芝纶.弹性力学.高等教育出版社； • Rao S S. The Finite Element Method in Engineering. Oxford: pergamon Press.
人类认识客观世界，获取复杂对象各类信息的三类科学研究方法：
理论分析
实验研究
获取复杂结构各
种信息；
对工程设计进行
科学计算
有限元分析（FEA）
评判；
对工程事故进行
技术分析
有限元方法（FEM）应用与实施包括的三方面内容：
计算原理、计算机软件、计算机硬件 。
虚拟试验
第 1章
有限元法简介
第 1章
有限元法简介
1.1 有限元法的产生
传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效 分析。为了正确、合理地确定最佳设计方案，需要寻求一 种简单而又精确的数值计算方法。有限元法正是适应这种 要求而产生和发展起来的。 有限元法是结构分析的一种数值计算方法。它在20世 纪50年代初期随着计算机的发展应运而生。 理论基础牢靠， 物理概念清晰， 解题效率高，适应 性强，目前已成为工程、结构或构件进行动、静、热特性 分析的重要手段，它的程序包是计算机辅助设计方法库中 不可缺少的内容之一。
（3）计算等效节点力
3. 整体分析 有限元法的分析过程是先分后合。即先进行单元分析， 在建立了单元刚度方程以后，再进行整体分析，把这些方程 集成起来，形成求解区域的刚度方程，称为有限元位移法基 本方程。 Kδ F 式中
K ——整体结构的刚度矩阵；
——整体节点位移向量；
F
——整体载荷向量。
弹簧单元及弹簧系统
EA fj F u j ui L EA fi F u j ui L
l l 同理，取ui=0, uj=1，则 EA EA k ij , k jj l l k ii k ij EA 1 1 K l k k 1 1 jj ji
Fix uix k ii 0 0 0 0 0 ＝ K ＝ k ji 0 F jx u jx 0 0 0 0
k ij 0 uix 1 0 0 0 EA 0 l 1 k jj 0 u jx 0 0 0 0
ii ji
u i 设节点位移和节点力矢量形式： δ ＝ u j
设节点位移和节点力之间关系：
Fi F F j
kij ui kjj u j

F K
Fi kii ＝ Fj kji
3、均匀性(Homogeneity)
物体是均匀的, 整个物体由同一材料组成 好处：各部分物理性质相同，不因位置改变而改 变。可以截取任意部分为研究对象。 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均 匀材料。
弹性力学的基本假定
4、各向同性(Isotropy)
物体的弹性性质在所有各个方向都相同 好处：物体材料常数不随坐标方向改变而改变
1.3 有限元法的应用
1.3.1 有限元法的应用领域
应用范围极为广泛。已由杆件结构问题扩展到弹性力学问 题；由平面问题扩展到空间问题；由静力学问题扩展到动 力学问题；由固体力学问题扩展到流体力学、热力学、电 磁学问题。
1.3.2 有限元法在工程中的应用
2.有限元法在鸟巢建设中的应用 支撑塔架的卸载，对整个钢结构本身来说其实是加 载，如何卸载，需要进行非常详细的数值分析，以确定 出最佳的卸载方案。2006年9月17日成功地完成了整体 钢结构施工的最后卸载。
1.3.3 有限元法在工程中的应用
在现代产品开发过程中， CAD/CAE/CAM 已成为基 本工具，作为CAE工具重要组成之一的有限元法，更是成 为产品开发必不可少的工具。CAD工具用于产品结构设计， 形成产品的数字化模型。有限元法则用于产品性能的分析 与仿真，帮助设计人员了解产品的物理性能和破坏的可能 原因，分析结构参数对产品性能的影响，对产品性能进行 全面预测和优化，帮助工艺人员对产品的制造工艺及试验 方案进行分析设计。
弹簧单元及弹簧系统
弹簧单元及弹簧系统
弹簧单元及弹簧系统
弹簧单元及弹簧系统
弹簧单元及弹簧系统
弹簧单元及弹簧系统
弹簧单元及弹簧系统
弹簧单元及弹簧系统
弹簧单元及弹簧系统
杆件系统的有限元分析方法
杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采 用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆 单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。 如图所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力， 相关参数如图。具体求解过程如下：
位移：在载荷作用下，物体内各点之间的距离改变称为位移。 物体内某一点的位移记为：
u T u w w
称为位移列阵或位移向量
弹性力学中的力
内力——外界因素作用下，物体内部各个部 分之间的相互作用力。