高考中不等式问题分类解析
高考数学热点不等式
不等式不等式是中学数学的主要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，融合于集合问题、方程（组）的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中直线与圆锥曲线位置关系的讨论等内容，这些知识块无一不与不等式有着紧密的联系，所涉及内容的深度与广度是其它章节无法相比的。
因此，不等式将是永不衰退的历届高考热点，所以必须加强对不等式的复习与研究。
按《考试说明》的规定，不等式这一章包括五个知识点，五条考试要求，概括起来有四个方面：不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法以及不等式的应用.我们先来分析一下不等式高考的命题趋势：（1）题型稳定：近几年来高考平面向量试题一直稳定在1-2个小题和其他与高中各知识块相联系的大题上，分值约为30分左右，占总分值的20%左右。
（2）由于近年高考命题强调能力立意, 考查基础知识不再是考查对知识的复制，而是考查对基础知识的深刻理解，考查各个基础知识点的联系和交汇.从近三年高考数学试题看,不等式这一章内容的考查不再是单一型了,它往往与其它章节知识结合在一起构成了复合型试题,不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合等基本数学思想，其主要题型大致分为:解不等式、证明不等式和不等式的应用.①解不等式：不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.②证明不等式：复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，掌握较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．③不等式的应用：应用题中有一类是以不等式为数学模型的，当不等式模型建立后即可转化为解不等式来解决问题，这是高考中常见题型，希望同学们多加关注。
三类含绝对值不等式的解法
解题宝典含绝对值不等式问题是高考的必考内容，此类型问题常与函数、方程、数列等知识点相结合，题型多样，具有一定的难度，需要灵活运用化归、分类讨论、数形结合等数学思想进行解答.本文对三类常见的含绝对值不等式题型及其解法进行了归纳，以帮助同学们提升解答此类问题的效率.一、||f （x ）<a ，||f （x ）>a ，()a ∈R 型不等式的解法对于该类型不等式，我们需要考虑a =0,a >0，a <0这三种情形.1.当a >0时，ìíî||f (x )<a ⇔-a <f (x )<a ,||f (x )>a ⇔f (x )>a 或f (x )<-a .2.当a =0时，ìíî||f (x )<a ⇔无解,||f (x )>a ⇔f (x )≠0的解集.3.当a <0时，ìíî||f (x )<a ⇔无解,||f (x )>a ⇔使y =f (x )成立的x 解集为R.因此，在处理||f (x )<a ，||f (x )>a ，()a ∈R 型不等式时，我们首先要对参数a 进行分类讨论，以便去掉绝对值符号，将绝对值不等式问题转化为常规不等式问题进行求解.例1.若不等式||3x -b <4解集中x 的正整数解有且仅有1,2,3，求b 的取值范围.解:∵||3x -b <4解集中x 的正整数解有且仅有1,2,3，∴||3x -b <4,解得b -43<x <b +43，∴0≤b -43<1,且3<b +43≤4，解得5<b <7.由于题目中给出了||3x -b <4解集，所以我们需要根据其正整数解1，2，3，列出新的不等式0≤b -43<1,且3<b +43≤4，从而求得b 的取值范围.二、||f （x ）<||g (x )型不等式的解法在解该类型不等式时，我们首先要考虑在不等式的两边同时取平方，以便去除绝对值符号，再解不含绝对值的不等式，即：||f （x ）<||g (x )⇔||f （x ）2<||g (x )2⇔||f （x ）2-||g (x )2<0,亦或者将之转化为[]f （x ）+g （x ）[]f （x ）-g （x ）<0.这样可以避免对绝对值内部式子进行分类讨论，能有效简化解题的过程，提升解题的效率.例2.求不等式||x +1-||x -3≥0的解集.分析：首先需将不等式移项，然后在不等式两边同取平方，将其化简成二次不等式进行求解.解：将不等式平方得||x +12≥||x -32,化简得x 2+2x +1≥x 2-6x +9，解得x ≥1.除了上述思路，同学们还可以利用绝对值的几何意义解答本题，即把||x +1-||x -3看作数轴上的点x 到点-1与到点3的距离之差，利用数轴得出x 的取值范围.三、|x -a |＋|x -b |≥c ，|x -a |＋|x -b |≤c (c ＞0)型不等式的解法该类型不等式较为复杂，常规的解题方法是零点区域法.根据绝对值的定义取零点，将定义域将分为几个区间段，去掉绝对值符号，最后把所得的解集进行汇总便可得出不等式的解集.第二种方法是利用绝对值不等式的几何意义求解；第三种是构造函数，利用函数的图象求解.例3.解不等式||x +1>||2x -3-2.解：令x +1=0，则x =-1；令2x -3=0，则x =32，①当x ≤-1时,-()x +1>-（2x -3）-2,得x >2,不符合题意舍去，②当-1<x ≤32时,x +1>-(2x -3)-2,得0<x ≤32，③当x >32时,x +1>2x -3-2,得32<x <6.综合①②③得不等式的解集为{x |0<x <}6.这里采用的是零点区域法，首先取零点，并将定义域分为三段x ≤-1、-1<x ≤32、x >32，然后再分段进行求解，最后将结果进行汇总.通过上述分析，同学们可以发现，求解含绝对值不等式问题的关键在于去掉绝对值符号，将含绝对值不等式转为普通的不等式进行求解.因此同学们在解题时，要善于结合不等式的特点，采用分类讨论、取平方、利用绝对值不等式的几何意义、构造函数等方法来简化问题.（作者单位：湖北省汉川市第一高级中学）祁海成36。
常见不等式的解法--高考数学【解析版】
专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一 简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二 含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三 函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<， 所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】 集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭， 则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】 由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =， 不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6）， 则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞， 【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或 故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤， 由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =， 当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5， 当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜， 综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥， 则()1215f a a -=--， 因为()13f a -<，所以2153a --<， 即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-． 综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ， 由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+． （2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ． （3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。
基本不等式专题分类解析
基本不等式专题分类解析1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+ 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112+2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题型二：利用不等式求函数最值、值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y方法一、凑项1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；方法二、凑系数1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
高考数学中的方程不等式解法总结
高考数学中的方程不等式解法总结高考数学往往是让许多中学生感到头疼的难题，其难点之一便是方程和不等式。
方程和不等式是数学中最基本的概念，也是数学中最常用的两种方法之一。
因为它们在数学中的应用非常广泛，所以高考数学中方程和不等式的考查也非常重要。
本文将对高考数学中的方程不等式解法进行总结。
一、方程解法1. 分离变量法分离变量法是一种较为基础的方程求解方法，该方法只适用于对于有一些特殊形式的方程.例题：求解方程 $y'= \frac{2x}{y}$解析：将方程变形为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x}$ ，两边同时乘以 $dx$ ，得到 $ydy = \frac{1}{2}xdx$，进行积分，得到$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{4}x^2 + C$ 。
再带入初始条件即可求出常数 $C$ .2. 思维转换法这种方法适用于使用较为复杂的方程，通过将难解的方程变为可以求解的形式.例题：求解方程 $\sin x = x^2-2x$解析：利用思维转换法，左右两边同时加上 $1-x$，化简为$\sin x + 1 - x = x^2-x+1$，然后再将左右两边取平方，得到 $(\sin x+1-x)^2 = (x^2-x+1)^2 $。
经过化简，我们可以得到一个较为容易求解的二次方程。
3. 因式分解法针对某些特定形式的方程，我们可以使用因式分解的方法解决.例题：求解方程 $x^2+(a+b)x+ab=0$，其中 $a,b \in \rm{R.}$解析：将该二次方程进行因式分解，得到 $(x+a)(x+b)=0$，解得 $x=-a$ 或 $x=-b$.二、不等式解法1. 分类讨论法分类讨论法是不等式解题的基本方法，通过对不等式的不同情况进行分类，以及比较大小情况，来得出不等式的解.例题：已知 $x,y \in \rm{R}$ ，求 $x^2+y^2 \leq 1$ 的解.解析：首先，将 $x^2+y^2 \leq 1$ 转化为标准形式，得到$x^2+y^2 - 1 \leq 0$。
高中数学不等式恒成立问题归纳分类
不等式恒成立问题初步一、图象法【例1】若关于x的不等式mx2－x－1＜0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围.【练】若关于x的不等式mx2－mx＋2≥0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围.【变1】若关于x的不等式（a2－4）x2＋（a＋2）x－1≥0的解集为空集，求实数a的取值范围.【变2】已知函数f （x ）＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R ，求实数m 的取值范围.【例2】当x ∈[﹣2，2]时，不等式p 2＋px ＋1＞2p ＋x 恒成立，求实数p 的取值范围.【练】对任意[ 1 1]a ∈-，，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围.二、最值法【例3】若不等式x2－mx＋1＞0对x∈[0，2]恒成立，求实数m的取值范围.【练】若不等式x2＋ax＋1≥0对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围.【变】若8x4＋8（a－2）x2－a＋5＞0对于任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围.【练】若不等式的x2＋ax－2＜0对x∈（－1，3）恒成立，求实数a的取值范围.【例5】若不等式mx2－2mx－1＜0对x∈(1，2]恒成立，求实数m的取值范围.三、分离法【例6】若2ax2－x≤0对x∈[1，2]恒成立，求a的取值范围.【练】若不等式ax2＋2x＋1＞0对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【例7】若不等式x2－mx＋1＞对x∈[0，2]恒成立，求实数m的取值范围.【练】若不等式x2＋ax＋1≥0对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围.【变】已知x2＋（a－3）x＋a＞0，对x∈（－1，2）恒成立，求实数a的取值范围.【家庭作业】1、对一切实数x，不等式ax2＋（a－6）x＋2＞0恒成立，求实数a的取值范围.2、若对任意实数p∈[﹣1，1]，不等式px2+（p﹣3）x﹣3＞0成立，求实数x的取值范围.3、不等式x2－3＜ax－a对一切3≤x≤4恒成立，求实数a的取值范围.4、对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围.5、若不等式mx2－x＋1＞0对x∈（1，3）恒成立，求实数a的取值范围.6、设对任意实数x∈[－1，1]，不等式x2＋ax－3a＜0恒成立，求实数a的取值范围.。
高考数学重点难点讲解之解不等式
难点19 解不等式不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式. ●难点磁场(★★★★)解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1).●案例探究［例1］已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m+n ≠0时n m n f m f ++)()(＞0.(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式：f(x+21)＜f(11-x )；(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围. 命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x+21∈［－1，1］，11-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方.技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔.(1)证明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=2121)()(x x x f x f --+·(x1－x2)∵－1≤x1＜x2≤1，∴x1+(－x2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数. (2)解：∵f(x)在［－1，1］上为增函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x|－23≤x ＜－1，x ∈R} (3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at ≥0，记g(a)=t2－2at ，对a ∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t ≤－2或t=0或t ≥2.∴t 的取值范围是：{t|t ≤－2或t=0或t ≥2}.［例2］设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值 范围.命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目. 知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.错解分析：M=∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错.技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.解：M ⊆［1，4］有n 种情况：其一是M=∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围.设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a －2)(1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M=∅［1，4］ (2)当Δ=0时，a=－1或2.当a=－1时M={－1}1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］.(3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么M=［x1，x2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x1＜x2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-210071803a a a a a 或，解得：2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718).●锦囊妙计解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题： (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法. (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)设函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x x x x x x ，已知f(a)＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞)B.(－21，21)C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)二、填空题2.(★★★★★)已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(22a ，2b)，则f(x)·g(x)＞0的解集是__________.3.(★★★★★)已知关于x 的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a 的取值范围是__________. 三、解答题4.(★★★★★)已知适合不等式|x2－4x+p|+|x －3|≤5的x 的最大值为3. (1)求p 的值；(2)若f(x)=11+-xx p p ，解关于x 的不等式f-－1(x)＞k xp +1log (k ∈R+) 5.(★★★★★)设f(x)=ax2+bx+c ，若f(1)=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式：x2+21≤f(x)≤2x2+2x+23对一切实数x 都成立，证明你的结论.6.(★★★★★)已知函数f(x)=x2+px+q ，对于任意θ∈R ，有f(sin θ)≤0，且f(sin θ+2)≥2.(1)求p 、q 之间的关系式； (2)求p 的取值范围；(3)如果f(sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f(sin θ)的最小值.7.(★★★★)解不等式loga(x －x 1)＞18.(★★★★★)设函数f(x)=ax 满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f(3mx －1)＞f(1+mx －x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m 的取值范围. 参考答案难点磁场解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x+(2－a)］(x －2)＞0.当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解.若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞).当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a=0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.歼灭难点训练一、1.解析：由f(x)及f(a)＞1可得：⎩⎨⎧>+-≤1)1(12a a ① 或⎩⎨⎧>+<<-12211a a ② 或⎪⎩⎪⎨⎧>-≥1111a a ③解①得a ＜－2，解②得－21＜a ＜1，解③得x ∈∅ ∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－21，1）答案：C 二、2.解析：由已知b ＞a2∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(x)＜0的解集是(－b ，－a2)，g(x)＜0的解集是(－2,22a b -).由f(x)·g(x)＞0可得：⎪⎩⎪⎨⎧-<<--<<-⎪⎩⎪⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>2222,0)(0)(0)(0)(2222a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a2，2b )∪(－2b，－a2) 答案：(a2，2b )∪(－2b，－a2)3.解析：原方程可化为cos2x －2cosx －a －1=0，令t=cosx ，得t2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t2－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f(t)=t2－2t －a －1，对称轴t=1，画图象分析可得⎩⎨⎧≤≥-0)1(0)1(f f 解得a ∈［－2，2］.答案：［－2，2］ 三、4.解：(1)∵适合不等式|x2－4x+p|+|x －3|≤5的x 的最大值为3， ∴x －3≤0，∴|x －3|=3－x.若|x2－4x+p|=－x2+4x －p ，则原不等式为x2－3x+p+2≥0，其解集不可能为{x|x ≤3}的子集，∴|x2－4x+p|=x2－4x+p.∴原不等式为x2－4x+p+3－x ≤0，即x2－5x+p －2≤0，令x2－5x+p －2=(x －3)(x －m)，可得m=2，p=8.(2)f(x)=1818+-xx ，∴f-－1(x)=log8x x-+11 (－1＜x ＜1)，∴有log8x x -+11＞log8k x+1，∴log8(1－x)＜log8k ，∴1－x ＜k ，∴x ＞1－k.∵－1＜x ＜1，k ∈R+，∴当0＜k ＜2时，原不等式解集为{x|1－k ＜x ＜1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x ＜1}.5.解：由f(1)=27得a+b+c=27，令x2+21=2x2+2x+23x ⇒=－1，由f(x)≤2x2+2x+23推得 f(－1)≤23.由f(x)≥x2+21推得f(－1)≥23，∴f(－1)=23，∴a －b+c=23，故 2(a+c)=5，a+c=25且b=1，∴f(x)=ax2+x+(25－a). 依题意：ax2+x+(25－a)≥x2+21对一切x ∈R 成立，∴a ≠1且Δ=1－4(a －1)(2－a)≤0，得(2a －3)2≤0，∴f(x)=23x2+x+1易验证：23x2+x+1≤2x2+2x+23对x ∈R 都成立.∴存在实数a=23，b=1，c=1，使得不等式：x2+21≤f(x)≤2x2+2x+23对一切x ∈R 都成立.6.解：(1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f(x)≤0，当x ∈［1，3］时，f(x)≥0，∴当x=1时f(x)=0.∴1+p+q=0，∴q=－(1+p) (2)f(x)=x2+px －(1+p)，当sin θ=－1时f(－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0(3)注意到f(x)在［1，3］上递增，∴x=3时f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p －1－p=14，∴p=3.此时，f(x)=x2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f(x)的最小值.又f(x)=(x+23)2－425，显然此函数在［－1，1］上递增.∴当x=－1时f(x)有最小值f(－1)=1－3－4=－6.7.解：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a x x 11011由此得1－a ＞x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a -11＜x ＜0.① ②(2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a x x 11011由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11.综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x|a -11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x|1＜x ＜a -11}.8.解：由已知得0＜a ＜1，由f(3mx －1)＞f(1+mx －x2)＞f(m+2)，x ∈(0，1]恒成立.⎪⎩⎪⎨⎧+<-+-+<-⇔2111322m x mx x mx mx 在x ∈(0，1]恒成立.整理，当x ∈(0，1)时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xx 恒成立，即当x ∈(0，1]时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立，且x=1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m x mx 恒成立，∵2121212-=-x xx 在x ∈(0，1]上为减函数，∴x x 212-＜－1， ∴m ＜x x 212-恒成立⇔m ＜0.又∵2112)1(112+-+-=-+x x x x ，在x ∈(0，1]∴112-+x x ＜－1.∴m ＞112-+x x 恒成立⇔m ＞－1当x ∈(0，1)时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m x x m 恒成立⇔m ∈(－1，0)①当x=1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222xxmxmx，即是⎩⎨⎧<<1m∴m＜0 ②∴①、②两式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1]时，f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，m的取值范围是(－1，0)。
高考数学复习考点题型专题讲解31 不等式
高考数学复习考点题型专题讲解专题31 不等式高考定位 1.对不等式的性质及不等式的解法的考查一般不单独命题，常与集合、函数图象与性质相结合，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中；2.基本不等式主要渗透在其他知识中求最值；3.题型多以选择题、填空题的形式呈现，中等难度.1.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝( )A.{x|－1<x<2}B.{x|－1≤x≤2}C.{x|x<－1}∪{x|x>2}D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案 B解析法一因为A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.所以∁R法二因为A＝{x|x2－x－2>0}，A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.所以∁R2.(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则( )A.ln(a－b)>0B.3a<3bC.a3－b3>0D.|a|>|b|答案 C解析由函数y＝ln x的图像(图略)知，当0<a－b<1时，ln(a－b)<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确.3.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则() A.x ＋y ≤1 B.x ＋y ≥－2C.x 2＋y 2≤2D.x 2＋y 2≥1答案 BC解析 因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )，由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为⎝⎛⎭⎪⎫x －y 22＋34y 2＝1， 设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ， 所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ， 因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13＝43＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2， 所以当x ＝33，y ＝－33时满足等式， 但是x 2＋y 2≥1不成立，所以D 错误.4.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________.答案 45解析 法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2， 所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45， 当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号. 所以x 2＋y 2的最小值为45. 法二 设x 2＋y 2＝t ＞0，则x 2＝t －y 2.因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t－y2)y2＋y4＝1，所以4y4－5ty2＋1＝0. 由Δ＝25t2－16≥0，解得t≥45⎝⎛⎭⎪⎫t≤－45舍去.故x2＋y2的最小值为4 5 .热点一不等式的性质及应用不等式的常用性质(1)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(2)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd＞0.(3)a＞b＞0⇒a n＞b n，na＞nb(n∈N，n≥2).(4)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b.例1 (1)(多选)(2022·苏州模拟)若a＞b＞0＞c，则( )A.ca＞cbB.b－ca－c＞baC.a c＞b cD.a－c＞2－bc(2)(2022·长沙模拟)已知a，b，c满足a＞b＞c，且ac＞0，则下列选项中一定能成立的是( )A.ab＞acB.c(b－a)＞0C.ab(a－c)＞0D.cb2＞ca2答案(1)ABD (2)C解析(1)由于a＞b＞0＞c，对于A：ca－cb＝c⎝⎛⎭⎪⎫1a－1b＝c⎝⎛⎭⎪⎫b－aab>0，故ca－cb＞0，∴ca＞cb，故A正确；对于B：由于a＞b＞0，所以b－ca－c＞ba，故B正确；对于C：当a＞b＞1时，a c<b c，故C错误；对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c＞2b（－c）＝2－bc，故D正确. (2)取a＝－1，b＝－2，c＝－3，则ab＝2＜ac＝3，cb2＝－12＜ca2＝－3，排除A，D；取a＝3，b＝2，c＝1，则c(b－a)＝－1＜0，排除B；因为a＞b＞c，且ac＞0，所以a，b，c同号，且a＞c，所以ab(a－c)＞0.规律方法判断关于不等式命题真假的常用方法(1)作差法、作商法.(2)利用不等式的性质推理判断.(3)利用函数的单调性.(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题.训练1 (1)(多选)(2022·广州模拟)设a，b，c为实数且a＞b，则下列不等式一定成立的是( )A.1a ＞1bB.2 023a －b ＞1C.ln a ＞ln bD.a (c 2＋1)＞b (c 2＋1)(2)设12＜a ＜1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (1－a )，p ＝log a 12a，则m ，n ，p 的大小关系是( )A.n ＞m ＞pB.m ＞p ＞nC.p ＞n ＞mD.n ＞p ＞m答案 (1)BD (2)D解析 (1)对于A ，若a ＞b ＞0，则1a ＜1b，所以A 错误； 对于B ，因为a －b ＞0，所以2 023a －b ＞1，所以B 正确；对于C ，函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误； 对于D ，因为c 2＋1＞0，所以a (c 2＋1)＞b (c 2＋1)，所以D 正确.故选BD.(2)因为12＜a ＜1， 所以a 2＋1－12a ＝2a 3＋2a －12a ＞0， 12a －(1－a )＝1－2a ＋2a 22a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋122a＞0，y ＝log a x 为减函数， 所以m ＜p ，p ＜n .可得n ＞p ＞m .热点二 不等式的解法不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )＞a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min ＞a ，x ∈I ；f (x )＜a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max ＜a ，x ∈I .(2)f (x )＞g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方.(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.例2 (1)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b ＜0的解集是( )A.(－∞，－3)∪(2，＋∞)B.(－3，2)C.(－∞，－2)∪(3，＋∞)D.(－2，3)(2)若不等式x 2－ax ≥16－3x －4a 对任意a ∈[－2，4]都成立，则x 的取值范围为() A.(－∞，－8]∪[3，＋∞)B.(－∞，0)∪[1，＋∞)C.[－8，6]D.(0，3]答案 (1)A (2)A解析 (1)由关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，得b ＝2a 且a ＜0，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b ＜0可化为x 2＋x －6＞0，即(x ＋3)(x －2)＞0，解得x ＜－3或x ＞2，所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞).(2)由题意得不等式(x －4)a －x 2－3x ＋16≤0对任意a ∈[－2，4]都成立，则⎩⎨⎧（x －4）×（－2）－x 2－3x ＋16≤0，（x －4）×4－x 2－3x ＋16≤0，即⎩⎨⎧－x 2－5x ＋24≤0，－x 2＋x ≤0，解得x≥3或x≤－8.故选A.易错提醒求解含参不等式ax2＋bx＋c＜0恒成立问题的易错点(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况.(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.(3)不考虑a的符号.训练2 (1)已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)≥f(－3－x2)对任意x∈(0，3]恒成立，则a的取值范围为( )A.[－1，＋∞)B.(3，＋∞)C.[0，＋∞)D.[1，＋∞)(2)若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞)D.(－∞，－6)答案(1)D (2)A解析(1)由题意得，不等式－4x＋a≥－3－x2对任意x∈(0，3]恒成立，所以a≥－x2＋4x－3对任意x∈(0，3]恒成立，令g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，当x∈(0，3]时，g(x)∈(－3，1]，所以a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞).故选D.(2)不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，x∈(1，4). 令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所以g(x)＜g(4)＝－2，所以a＜－2.热点三基本不等式及其应用基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值.(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值.(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋Ag（x）＋Bg(x)(AB＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.例3 (1)(多选)(2022·青岛模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )A.log2a＋log2b≥－2 B.ab＋1ab≥174C.2a＋1b≤3＋22D.2a－b＞12(2)(2022·湖北九师联盟质检)已知a>0，b≠0，且a＋|b|＝3，则9a＋b＋3|b|的最小值为________.答案(1)BD (2)3＋2 3解析(1)log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝－2，A错误；因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以ab ≤a ＋b 2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)， 所以0<ab ≤14， 因为函数y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减， 所以ab ＋1ab ≥14＋4＝174，B 正确； 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22(当且仅当2b a ＝a b 时取等号)， 所以2a ＋1b≥3＋22，C 错误； 易知0<a <1，0<b <1，所以－1<a －b <1，所以2a －b >2－1＝12，D 正确.选BD. (2)9a ＋b ＋3|b |＝9a ＋3|b |＋b |b |， 当b >0时，b |b |＝1， 当b <0时，b|b |＝－1. 9a ＋3|b |＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫9a ＋3|b |(a ＋|b |)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋9|b |a ＋3a |b |≥13(12＋63) ＝4＋23，当且仅当9|b |a ＝3a |b |，3＋13＋1所以当a ＝333＋1，b ＝－33＋1时， 9a ＋b ＋3|b |取得最小值，且最小值为3＋2 3.易错提醒 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件： (1)一正二定三相等，三者缺一不可；(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.训练3 (1)(2022·湖州质检)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2yy －1的最小值为( ) A.3 B.52＋ 6C.3＋6D.3＋2 2(2)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2B.2 2 C.4 D.92答案 (1)D (2)B 解析 (1)∵x ＋y ＝xy ， ∴(x －1)(y －1)＝1， ∴x x －1＋2y y －1＝（x －1）＋1x －1＋2（y －1）＋2y －1＝3＋1x －1＋2y －1≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22，x －1y －1(2)∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)， 都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n＋2nm≥2m n ·2nm＝22， 当且仅当m n＝2nm即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.一、基本技能练1.若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列说法正确的是( ) A.ac 2＜bc 2B.1a ＜1bC.b a ＞a bD.a 2＞ab ＞b 2 答案 D解析 当c ＝0时，A 不成立； 1a －1b ＝b －a ab ＞0，即1a >1b，B 错误；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab ＜0，C 错误； 由a ＜b ＜0，得a 2＞ab ＞b 2，D 正确.2.不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A.(－∞，0]∪(2，4]B.[0，2)∪[4，＋∞) C.[2，4)D.(－∞，2)∪(4，＋∞) 答案 B解析 当x －2＞0，即x ＞2时，(x －2)2≥4， 即x －2≥2，则x ≥4，当x －2＜0，即x ＜2时，(x －2)2≤4， 即－2≤x －2＜0，∴0≤x ＜2， 综上，0≤x ＜2或x ≥4.3.(2022·泰安质检)若不等式ax 2－x －c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12，则函数y ＝cx 2－x －a的图象可以为( )答案 C解析由题意可得－1和12是方程ax 2－x －c ＝0的两个根，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12＝1a ，－1×12＝－ca ，解得a ＝－2，c ＝－1，则y ＝cx 2－x －a ＝－x 2－x ＋2＝－(x ＋2)(x －1)，其图象开口向下，与x 轴交于 (－2，0)，(1，0).故选C.4.已知关于x 的不等式x 2－ax －6a 2＞0(a ＜0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，且x 2－x 1＝52，则a 等于( ) A.－5B.－32C.－2D.－52答案 C解析 x 2－ax －6a 2＝(x －3a )(x ＋2a )＞0， ∵a ＜0，∴x ＞－2a 或x ＜3a ， ∴x 2＝－2a ，x 1＝3a ，∴x 2－x 1＝－5a ＝52，∴a ＝－ 2.5.已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x ＜1)，下列结论正确的是( )A.f (x )有最大值114B.f (x )有最大值－114 C.f (x )有最小值132D.f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝ －⎝⎛⎭⎪⎫1－x4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x ＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立. 6.原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是( )A.第一种方案更划算B.第二种方案更划算C.两种方案一样D.无法确定 答案 B解析 设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升，则 方案一：两次加油平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y2≥xy ，方案二：两次加油平均价格为400200x ＋200y＝2xyx ＋y ≤xy ，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算. 7.设x ＞y ＞z ，n ∈N *，且1x －y ＋1y －z ≥n x －z恒成立，则n 的最大值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 C解析 因为x ＞y ＞z ，n ∈N *， 所以x －y ＞0，y －z ＞0，x －z ＞0，由1x －y ＋1y －z ≥n x －z， 可得n ≤(x －z )⎝⎛⎭⎪⎫1x －y ＋1y －z ＝[(x －y )＋(y －z )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y ＋1y －z ＝1＋1＋y －z x －y ＋x －yy －z≥2＋2y －z x －y ·x －yy －z＝4， 当且仅当x －y ＝y －z 时，上式取得等号， 由题意可得n ≤4，即n 的最大值为4.8.已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a <0在(0，2]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，33 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，47 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫47，＋∞答案 A解析x ∈(0，2]时， 不等式可化为ax ＋3a x<2；当a ＝0时，不等式为0<2，满足题意； 当a >0时，不等式化为x ＋3x <2a，则2a>2x ·3x＝23，当且仅当x ＝3时取等号， 所以a <33，即0<a <33；当a <0时，x ＋3x >2a恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，33.选A.9.(多选)(2022·泰州模拟)下列函数中最小值为6的是( ) A.y ＝ln x ＋9ln x B.y ＝6|sin x |＋32|sin x |C.y ＝3x ＋32－xD.y ＝x 2＋25x 2＋16答案 BC解析 对于A 选项，当x ∈(0，1)时，ln x <0， 此时ln x ＋9ln x<0，故A 不正确.对于B 选项，y ＝6|sin x |＋32|sin x |≥29＝6，当且仅当6|sin x |＝32|sin x |，即|sin x |＝12时取“＝”，故B 正确.对于C 选项，y ＝3x ＋32－x ≥232＝6， 当且仅当3x ＝32－x ，即x ＝1时取“＝”，故C 正确.对于D 选项，y ＝x 2＋16＋9x 2＋16＝x 2＋16＋9x 2＋16≥29＝6， 当且仅当x 2＋16＝9x 2＋16，即x 2＝－7无解，故D 不正确.故选BC.10.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( ) A.a 2＋b 2≥12B.2a －b ＞12C.log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤ 2 答案 ABD解析 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B ，2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a ＞0，所以22a ＞1，即2a －b ＞12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2，得a ＋b ≤2，故D 正确. 综上可知，正确的选项为ABD.11.函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________. 答案 3解析 依题意得，一元二次不等式－x 2＋2x ＋c ＞0， 即x 2－2x －c ＜0的解集为(m ，m ＋4)， 所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧m ＋m ＋4＝2，m （m ＋4）＝－c ，解得⎩⎨⎧m ＝－1，c ＝3.12.若命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋m ＜0”为真命题，则实数m 的取值范围为________. 答案 (－∞，1)解析由题意可知，不等式x2－2x＋m＜0有解，∴Δ＝4－4m＞0，m＜1，∴实数m的取值范围为(－∞，1).二、创新拓展练13.(多选)(2022·苏锡常镇调研)已知正实数a，b满足a＋2b＝ab，则以下不等式正确的是( )A.2a＋1b≥2 B.a＋2b≥8C.log2a＋log2b<3 D.2a＋b≥9答案BD解析对于A，因为正实数a，b满足a＋2b＝ab，所以a＋2bab＝1，即2a＋1b＝1，所以A错误，对于B，因为a>0，b>0，a＋2b＝ab，所以a＋2b≥22ab＝22（a＋2b），当且仅当a＝2b时取等号，所以(a＋2b)2≥8(a＋2b)，因为a＋2b>0，所以a＋2b≥8，当且仅当a＝2b时取等号，所以B正确，对于C，若log2a＋log2b<3，则log2a＋log2b＝log2(ab)<3＝log28，所以ab <8，所以a ＋2b <8，而由选项B 可知a ＋2b ≥8， 所以log 2a ＋log 2b <3不成立，所以C 错误， 对于D ，因为正实数a ，b 满足a ＋2b ＝ab ， 由选项A 知，2a ＋1b＝1，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋22ab·2ba＝9，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b ＝3时取等号， 所以D 正确，故选BD.14.(多选)(2022·镇海中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）e x ，x <0，（x ＋1）2e x，x ≥0，下列选项正确的是( )A.函数f (x )在(－2，1)上单调递增B.函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e 2，＋∞C.若关于x 的方程[f (x )]2－a |f (x )|＝0有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，4e D.不等式f (x )－ax －a >0在(－1，＋∞)恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3e 2，2e答案 ACD解析函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）e x ，x <0，（x ＋1）2e x，x ≥0，所以函数f ′(x )＝⎩⎨⎧（x ＋2）e x （x <0），－（x ＋1）（x －1）e x （x ≥0）， 故函数f (x )的大致图象如图1所示，故A 正确，B 错误；对于D ，不等式f (x )>a (x ＋1)，在(－1，＋∞)上恰有两个整数解，必为x ＝0，x ＝1， 故⎩⎨⎧f （1）>a （1＋1），f （2）≤a （2＋1），解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3e 2，2e ，故D 正确；对于C ，如图2，函数y ＝|f (x )|的图象，原方程可化为|f (x )|＝0或|f (x )|＝a ，由于方程[f (x )]2－a |f (x )|＝0有3个不相等的实数根，所以只需|f (x )|＝a 有两个不等实根，所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，4e ，C 正确，故选ACD. 15.(多选)(2022·全国名校大联考)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＋1＝1，m ＝x ＋y ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －1，则( )A.x ＜0且y ＜－1B.m 的最大值为－3C.n 的最小值为7D.n ·2m ＜2答案 ABD解析 由2x ＋2y ＋1＝1，得2y ＋1＝1－2x ＞0，2x ＝1－2y ＋1＞0，所以x ＜0且y ＜－1，故A 正确；由2x ＋2y ＋1＝1≥22x ·2y ＋1＝22x ＋y ＋1，得m ＝x ＋y ≤－3，当且仅当x ＝y ＋1＝－1，即x ＝－1，y ＝－2时，等号成立，所以m 的最大值为－3，故B 正确；n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －1(2x ＋2y ＋1) ＝5＋2×2y 2x ＋2×2x2y ≥5＋22×2y 2x ·2×2x 2y ＝9， 当且仅当2×2y 2x ＝2×2x2y ，即x ＝y ＝－log 23时，等号成立， 所以n 的最小值为9，故C 错误；n ·2m＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －1·2x ＋y ＝2y ＋2x ＋1＝2－3×2y ＜2，故D 正确.故选ABD. 16.(2022·湖南三湘名校联考)若两个正实数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，且不等式x ＋2y ≥m 2－7m 恒成立，则实数m 的取值范围为________.答案 [－1，8]解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1， 所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋x y ＋4y x ≥8，当且仅当x ＝4，y ＝2时等号成立， 所以m 2－7m ≤8，解得－1≤m ≤8.17.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3＜x ＜4}，则c 2＋5a ＋b 的取值范围为________.答案 [45，＋∞)解析 关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3＜x ＜4}， 所以a ＜0，且3和4是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两实数根，由根与系数的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧3＋4＝－b a ，3×4＝c a ，解得⎩⎨⎧b ＝－7a ，c ＝12a (a ＜0). 所以c 2＋5a ＋b ＝144a 2＋5a －7a ＝－24a －56a≥ 2（－24a ）·5－6a ＝45(当且仅当－24a ＝－56a ，即a ＝－512时等号成立)， 所以c 2＋5a ＋b的取值范围是[45，＋∞). 18.(2022·温州测试)已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋b ，若存在实数b ，使得对任意的|x |≤1都有|f (x )|≤109，则实数a 的最大值是________. 答案 13解析 由题可得，因为存在实数b 对任意的|x |≤1都有|x 2＋|x －a |＋b |≤109， 所以－109≤x 2＋|x －a |＋b ≤109， 即存在实数b 对任意的|x |≤1都有－x 2－109－b ≤|x －a |≤109－x 2－b ， 由对称性可知，当实数a 取得最大值时，a ≥0，令g (x )＝－x 2－109－b ，h (x )＝－x 2＋109－b ，则g ′(x )＝h ′(x )＝－2x .因为y ＝－x ＋a 的斜率为－1，所以－2x ＝－1，解得x ＝12， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14－109－b ＝－4936－b . 又因为h (－1)＝－1＋109－b ＝19－b ， 即当a ≥12时，切线斜率k ＝h （－1）－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－12＝－5354>－1，不能满足条件； 故当0≤a <12时，g (x )的零点为a ，此时a 最大，满足⎩⎪⎨⎪⎧g （a ）＝－a 2－109－b ＝0，k ＝－1＋109－b －1－a ＝－1，即⎝⎛⎭⎪⎫a －23⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13＝0， 由0≤a <12可得a ＝13.。
基本不等式20种题型
基本不等式20种题型一、基本不等式简介基本不等式是高中数学中的一个重要内容，它是指两个正数的平均数不小于它们的几何平均数，两个数的算术平均数不大于它们的几何平均数。
基本不等式在解决一些最值问题时非常有用，包括求和、积、方差的最值，求三角形的边长问题等。
二、20种题型1. 证明型题型：通过基本不等式证明一些不等式，例如，用基本不等式证明一个数的平方大于另一个数的平方。
2. 求最值题型：用基本不等式求和、积、方差的最值，求三角形的边长问题等。
3. 构造型题型：通过构造一个等式，利用基本不等式构造另一个等式，进而解决问题。
4. 拆分型题型：将一个数拆分成两个数的和或差，利用基本不等式进行求解。
5. 参数型题型：在基本不等式中引入参数，利用基本不等式求解参数的取值范围或最值问题。
6. 反证型题型：通过反证法，利用基本不等式证明一些不等式的正确性。
7. 优化型题型：利用基本不等式优化一些算法或求解过程。
8. 覆盖型题型：用基本不等式覆盖一些其他类型的题目，如解三角形问题等。
9. 扩展型题型：将基本不等式进行扩展，利用扩展后的不等式解决问题。
10. 分段型题型：对于一些分段函数，利用基本不等式分段求解。
三、解题步骤1. 确定使用基本不等式的条件：在应用基本不等式之前，需要保证所使用的不等式是成立的。
如果不能保证，需要先证明不等式的正确性。
2. 确定正数的个数：在应用基本不等式时，需要保证所使用的正数不超过两个。
如果不能保证，需要重新考虑问题的解法。
3. 确定平均数和几何平均数：根据题目中的数据，确定使用哪个平均数和几何平均数。
4. 计算并比较大小：根据题目中的数据，利用基本不等式计算出结果的大小，并与题目中的要求进行比较。
5. 验证结果的正确性：在得到结果后，需要验证结果的正确性，确保结果的合理性。
四、例题解析【例1】求函数f(x) = x(10-x)的最小值。
解：根据题意，可以知道f(x)是一个积的形式，可以使用基本不等式求解最小值。
2024年高考数学总复习第七章不等式真题分类27一元二次不等式及其解法
答案：（－5，0）∪（5，＋∞） 由于 f(x)为 R 上的奇函数，所以当 x＝0
时，f(0)＝0；当 x<0 时，－x>0，所以 f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，即 f(x)＝－x2－4x，
x2－4x，x>0， 所以 f(x)＝0，x＝0，
－x2－4x，x<0.
由 f(x)>x，可得x2－4x>x， x>0
或－ 5 或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞).
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真题分类27 一元二次不等式及其解法
高考·数学
02. 解不等式需要注意下面几个问题
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法． (2)掌握用数轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方 法． (3)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化 为易解的不等式． (4)对于含字母的不等式，要按照正确的分类标准，进行分类讨论．
C3.一元二次不等式的解法
高考·数学
命题者说：掌握二次不等式的解题要领，能讨论含参不等式的解法及高次不等式的解法．
第1题 第2题 第3题 第4题
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真题分类27 一元二次不等式及其解法
高考·数学
Ⅰ.不含参数的一元二次不等式的解法 1．(2013·广东，9，5 分)不等式 x2＋x－2<0 的解集为________.
真题分类27 一元二次不等式及其解法
高考·数学
第七章 不等式
§7.1 不等式及其解法 真题分类27 一元二次不等式及其解法
C3.一元二次不等式的解法 C4.一元二次不等式的恒成立问题 C5.一元二次方程的根的分布问题 C6.一元二次不等式与函数的综合问题
高考不等式专题-讲解
解：
的解集是{x| -7<x 3}
变式3：解不等式
解：
注：如果知道分母的正负，则可以去分母，化分式不等式为整式不等式。
（五）．解高次不等式（可分解的）
1.解高次不等式的步骤：
（1）因式分解
（2）未知数系数化正
（3）穿根（从右上角开始，奇穿偶回）
2.穿根法使用步骤：
①将不等式化为 形式，并将各因式x的系数化“+”；
化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 的形式
将分式不等式进行形如以下四类的等价变形：
（1）
（2）
（3）
（4）
3.例题讲解：解不等式： .
解法1：化为两个不等式组来解：
∵ x∈φ或 ，
∴原不等式的解集是 .
解法2：化为二次不等式来解：
∵ ，∴原不等式的解集是
点评：提倡用解法2，避免分类讨论，提高解题速率。
（答： ）；
（2）已知 ，且 则 的取值范围是______
（答： ）
（二）解一元一次不等式（组）
1．一元一次不等式
1.1定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．
注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+b<O(a≠O，步骤
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．
2. 2一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．
与基本不等式及其变式相关的高考问题分类解析
ｌ ｌ ｏ ｇ ２ Ｉ 的图像从左至右相交于点 Ａ， Ｂ， ｌ ｚ 与函数 一 ｛ ｌ ｏ ｇ 。 Ｘｌ 的图像从左至右相交
第３ ２ 卷第 ３期
２ ０ １ ３ 年３ 月
数学教学研究
于点 Ｃ ， Ｄ ． 记线段 Ａ Ｃ和 Ｂ Ｄ 在 Ｘ轴上 的投 影长度分别为 口 ， ６ ， 当 ｍ 变化时， ｂ ￣ｌ／ Ｊ 、 值
同理 ｚ 口Ｄ 一１ ，
所 以 如 ：一 １， 勘 一 ， 且魏 ， Ｅ（ Ｏ ， １ ） ，
ｌ ｏ ｇ ｚ （ Ｘ Ａ Ｘｃ ） ＝Ｉ ｏ ｇ ｚ ＸＡ ＋Ｉ ｏ ｇ ￣ｚ ｃ
一 一 仇 一
口 ・ ６ ≥一Ｉ 口 Ｉ ・ Ｉ ６ Ｉ ， ４ 口 。 ＋６ 。 ≥４ ｌ 口 ｌ ・Ｉ ６ Ｉ ≥ －４ ａ・ ｂ ，
≥ 警 ＋ ２ √ ・ 熹 ＝ ５ ，
当 且仅当 ｚ 一１ 且３ ， ＝告时， ３ ｘ ＋４ ｙ取得最
小值 ５ ， 故选 Ｃ
考题还有 ２ ０ １ ］ 年陕西卷文第 ３ 题， 重庆卷理 第 ７题 ， 湖南 卷理第 １ Ｏ题 ， 上海卷理第 １ ５ 题， 浙江卷文第 ｌ ６ 题 以及 ２ ０ １ ２ 年福建卷理
一
评 注通 过 使 用 公 式口 ６ ≤ （ ） 。 ， 得
到了关 于 ２ ｚ ＋ 这一整体的一元二次不等 式， 再通 过解 不等式 求得最 值． 直接考查基本不等式及变式 的， 近两年
（ ＋ ） （ ３ ｚ ＋ ４ ）
一
警 ５ ＋ 。 （ ＋ ５ 。 鸶 ５ ） ，
解 ①由 ａ ｂ ＞ｃ 。 ， 因此
‘ ‘
的最小值是 ８ ， 选择 Ｂ ．
基本 不 等式及 其变 式与 函数 结合 的近两
不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】(解析版)
一元二次不等式恒成立和有解问题一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式20ax bx c >＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨>⎩a b c 或0Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式20ax bx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨<⎩a b c 或0Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若()0>f x 在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式()0>f x 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数()f x 的值域为[,]m n ，则()≥f x a 恒成立⇒min ()≥f x a ，即≥m a ；()≤f x a 恒成立⇒max ()≤f x a ，即≤n a .三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的[,]∈x m n ，()>a f x 恒成立⇒max ()>a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()>a f x 有解⇒min ()>a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()>a f x 无解⇒min ()≤a f x .2、对任意的[,]∈x m n ，()<a f x 恒成立⇒min ()<a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()<a f x 有解⇒max ()<a f x ； 若对任意[,]∈x m n ，()<a f x 无解⇒max ()≥a f x .题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题【例1】若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】当0=a 时，不等式成立；当0≠a 时，不等式2220--<ax ax 恒成立，等价于()()20,2420,<⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩a a a 20∴-<<a ． 综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．【变式1-1】“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14>m B ．14<m C ．1<mD ．1>m 【答案】A【解析】∵不等式20-+>x x m 在R 上恒成立，∴2(1)40∆--<＝m ，解得14>m ， 又∵14>m ，∴140∆=-<m ，则不等式20-+>x x m 在R 上恒成立， ∴“14>m ”是“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件，故选：A.【变式1-2】已知关于x 的不等式2680-++>kx kx k 对任意∈x R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．01k ≤≤B ．01k ≤< C ．0k <或1k > D ．0k ≤或1k > 【答案】B【解析】当0=k 时，80>恒成立，符合题意；当0≠k 时，由题意有()()2Δ6480>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩k k k k ，解得01<<k ， 综上，01≤<k .故选：B.【变式1-3】已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（ ）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110ax a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B【变式1-4】关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞ 【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x ≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤； 综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞.故选：B.题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例2】若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(,4]-∞.【解析】对于任意的14x <≤，不等式()22241(1)25x a x a x a x x -++≥--⇔-≤-+，即2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--， 因此，对于任意的14x <≤，2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--恒成立， 当14x <≤时，013x <-≤，44(1)(1)411x x x x -+≥-⋅=--， 当且仅当411x x -=-，即3x =时取“=”，即当3x =时，4(1)1x x -+-取得最小值4，则4a ≤， 所以实数a 的取值范围是(,4]-∞.【变式2-1】已知2(2)420+-+-x a x a对[)2,∀∈+∞x 恒成立，则实数a 的取值范围________. 【答案】(],3-∞【解析】因为2(2)420x a x a +-+-对[)2,x ∀∈+∞恒成立，即4222x a x ++-≥+在[)2,x ∀∈+∞时恒成立，令2,4x t t +=≥， 则4222x x ++-+代换为42t t +-，令4()2g t t t=+-， 由对勾函数可知，()g t 在[)4,t ∈+∞上单增，所以min ()(4)3g t g ==， 所以(],3a ∈-∞.故答案为：(],3-∞【变式2-2】已知二次函数222y x ax =++.若15x ≤≤时，不等式3y ax >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】22<a .【解析】不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[]1,5x ∈时，可变形为：222x a x x x+<=+，即min 2()a x x <+. 又2222x x x x+≥+= 当且仅当2x x=，即[]21,5x =时，等号成立，min 2()22x x∴+=22a <故实数a 的取值范围是：22a <【变式2-3】若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a 的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．222-D ．5- 【答案】D【解析】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-，要使不等式()2110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则：12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2122()1024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩ 解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-，即5a ≥-.故选：D【变式2-4】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ， 解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥，故选：A.题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题【例3】当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求的取值范围．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意不等式210ax x a -+-≤对[]2,3a ∈恒成立，可设2()(1)(1)f a x a x =-+-+，[]2,3a ∈，则()f a 是关于a 的一次函数，要使题意成立只需(2)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即22210320x x x x ⎧--≤⎨--≤⎩，解2210x x --≤，即()()2110x x +-≤得112x -≤≤，解2320x x --≤，即()()3210x x +-≤得213x -≤≤，所以原不等式的解集为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【变式3-1】若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦.故选：C【变式3-2】已知[]1,1∈-a ，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．()()3,,2∞-∞+ B ．()()2,,1∞-∞+ C ．()()3,,1∞-∞+D ．()1,3 【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．∴x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【变式3-3】已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】()24420x a x a +-+->恒成立，即()22440x a x x -+-+>，对任意得[]1,1a ∈-恒成立， 令()()2244f a x a x x =-+-+，[]1,1a ∈-，当2x =时，()0f a =，不符题意，故2x ≠， 当2x >时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递增，则()()2min 12440f a f x x x =-=-++-+>，解得3x >或2x <（舍去），当2x <时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递减，则()()2min 12440f a f x x x ==-+-+>，解得1x <或2x >（舍去），综上所述，实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.故选：D.【变式3-3】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ， 或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x = 综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥.故选：A.题型四 一元二次不等式在实数集上的有解问题【例4】已知不等式20kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】当0k =时，0x -<，符合题意当0k >时，令2y kx x k =-+，由不等式20kx x k -+<有解，即2140k ∆=->，得102k <<当0k <时， 2y kx x k =-+开口向下，满足20kx x k -+<有解，符合题意综上，实数k 的取值范围为1,2k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭【变式4-1】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____． 【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下， 所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意； 当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解， 则需满足440∆=->a ，可得1a <，所以01a <<， 综上所述：a 的取值范围是(),1-∞.【变式4-2】x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，则m 的取值范围是___________.【答案】11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()22111313612f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()min 1112f x =，因为x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立， 所以1112m >， 则m 的取值范围是11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【变式4-3】若关于x 的不等式29(2)04ax a x -++<有解，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】当0a =时，不等式为9204x -+<有解，故0a =，满足题意；当0a >时，若不等式29(2)04ax a x -++<有解， 则满足29(2)404a a ∆=+-⋅>，解得1a <或4a >；当0a <时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式29(2)04ax a x -++<总是有解，所以0a <，综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(4,)-∞+∞.题型五 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例5】已知关于x 的不等式2630mx x m -+<在(]02，上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-∞，B ．127⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．()3+∞， D ．127⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【解析】由题意得，2630mx x m -+<，(]02x ∈，，即263xm x <+ ， 故问题转化为263xm x <+在(]02，上有解， 设26()3x g x x =+，则266()33x g x x x x==++，(]02x ∈，， 对于323x x+≥，当且仅当3(0,2]x =时取等号， 则max ()323g x ==3m <，故选：A【变式5-1】已知命题p ：“15∃≤≤x ，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a <B ．4aC ．4a >D ．4a >-【答案】A 【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集 若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题， 需满足25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥． 因此p 命题成立时a 的范围时4a <，故选：A ．【变式5-2】若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（ ）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．[0,1] D ．(0,1) 【答案】B【解析】令22()(1)f x x m x m =-+-，其对称轴为202m x =≥， 关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解， 当(1,1)x ∈-时，有()(1)f x f <-，(1)0f ∴->，即20m m +>，可得0m >或1m <-．故选：B ．【变式5-3】已知当12x ≤≤时，存在x 使不等式()()14m x m x -++<成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m <<【答案】C【解析】由()()14m x m x -++<可得224m m x x +<-+，由题意可得()22max 4m m x x +<-+，且12x ≤≤，令()24f x x x =-+对称轴为12x =，开口向上，所以()24f x x x =-+在[]1,2上单调递增， 所以2x =时，()()2max 22246f x f ==-+=，所以26m m +<，解得：32m -<<， 所以实数m 的取值范围为{}32m m -<<，故选：C.【变式5-4】关于x 的不等式2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，则a 的取值范围为________．【答案】[]2,6-【解析】2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，()22max 44a a x x ∴-≤-，其中[]1,6x ∈；设()2416y x x x =-≤≤， 则当6x =时，max 362412y =-=， 2412a a ∴-≤，解得：26a -≤≤，a ∴的取值范围为[]2,6-.。
高中数学各类不等式的解法
不等式的中档题主要是各类不等式的解法。
从涉及题目的类型来看，有整式不等式，分式不等式，含有绝对值符号的不等式，对数不等式等等。
从解题方法看，主要有因式分解法、换元法等等。
从数学思想来看，主要是转化思想和分类讨论的思想。
例如：对数不等式的解法，就是利用转化的数学思想，结合对数函数的单调性，把它转化为我们所熟悉的代数不等式，只要我们充分注意转化过程中的等价性，完全可以掌握这类问题的解法。
分类讨论的思想在不等式的解法中频频出现。
比如对数式的底数中字母的取值就影响到函数的增减性，需要分类讨论；含有绝对值符号的不等式在去掉绝对值符号时，需要对绝对值符号内的解析式的取值进行讨论。
有一些应用问题中间也涉及到一些不等式的解法，在依据题意建立了数学模型之后，主要的任务就是解一个不等式，关于这个不等式的解，除去上面提到的注意事项之外，特别要注意实际问题对未知数取值的限制，把这种限制与不等式的解集取交集得到的才是问题的正确解答。
例1、解不等式。
解析：令，则或（1）当或时，原不等式化为∴∴（2）当时，原不等式化为∴或∴综合（1）、（2）知，原不等式的解集为例2、解关于的不等式：（）解析：原不等式等价于：（1）若，或，不等式的解集为空集（2）若，即时，不等式解集为（3）若，即或时，不等式的解集为综上知：或时，解集为空集；时，解集为｛｝；或时，解集为｛｝。
例3、解关于的不等式：解析：原不等式变形为：∴∴等价于（1）若，∴（2）若，原不等式化为（3）若，原不等式化为∴或综上，时，时，；时，或例4、已知关于的不等式的解集为M；（1）当时，求集合M；（2）若，求实数的取值范围。
解析：（1）当时，原不等式可化为：即∴ M为（2）由于即∴或∴的取值范围是例5、解关于的不等式：。
解析：原不等式变形为：（1）时，（2）时，不等式变形为当时，或当时，当时，，当时，综上，时，时，或时，时，时，例6、解关于的不等式：解析：原不等式化为即当时，此时不等式的解集为当时，不等式无解当时，，此时不等式的解集为综上，时，时，无解；时，例7、已知函数（1）试判断函数的奇偶性；（2）解不等式：。
含绝对值不等式问题分类解析
2＜2+，2-＜2}. 解析：法1:分别令4x -=0，3x +=0得，x =3-或x =4，原不等式可化为：（Ⅰ）3433x x x <-ìí-+++>î或（Ⅱ）43433x x x >³-ìí-+-->î或(Ⅲ)4433x x x ³ìí--->î, 解不等式组（Ⅰ）得，x ＜3-；解不等式组（Ⅱ）得，3-≤x ＜1-；解不等式组(Ⅲ)得，无解，得，无解，综上所述，原不等式的解集为{x |x ＜1-}. 法2：原不等式左边的几何意义是数轴上x 点到4与3-的距离之差，的距离之差，当x 位于3-的左边（包括3-）时，由图可知，x 点到4与3-的距离之差恒为7＞3，满足不等式；，满足不等式；当x 位于3-与4之间时，如图2所示，当x =1-时，x 点到4与3-的距离之差等于3，只有x 位于1-的左边时，x 点到4与3-的距离之差才大于3，才满足不等式；，才满足不等式；当x 位于4的右侧（包括4）时，如图3所示，x 点到4与3-的距离之差恒为7-，不满足不等式，，不满足不等式， ∴原不等式的解集为{x |x ＜1-}. 点评：对|()f x |±|()g x |＞c （＜c ）型不等式，常用零点分析法，即令各个绝对值内部分分别为0，求出对应的根，将这些根从小到大排成一排，将整个实数分成若干个区间，整个实数分成若干个区间，在每个区间上利用绝对值的意义，在每个区间上利用绝对值的意义，在每个区间上利用绝对值的意义，去掉绝对值，去掉绝对值，化为若干个不等式组求解，注意分类时，要做到不重不漏.对|x a -|±|x b -|＞c (或＜c ）的不等式,还可以利用绝对值的几何意义结合数轴求解. 四、a ＜|()f x |＜b 型 例4解不等式1＜|21x -|＜3. 分析：实质上是含绝对值不等式组，用公式法解,或通过对()f x 的正负分类讨论求解. 解析:法1:原不等式等价于：|21|3(1)|21|1(2)x x -<ìí->î， 不等式（1）的解集为{x |1-＜x ＜2}, 不等式（2）的解集为{x |x ＜0或x ＞1}, ∴原不等式解集为{x |1-＜x ＜0或1＜x ＜2}. 法2：原不等式等价于：(Ⅰ)2101213x x -³ìí<-<î或(Ⅱ)2101(21)3x x -<ìí<--<î, 不等式组(Ⅰ)的解集为{x |1＜x ＜2｝, 不等式组(Ⅱ)的解集为{x |1-＜x ＜0｝, ∴原不等式解集为{x |1-＜x ＜0或1＜x ＜2}. 点评：对a ＜|()f x |＜b 型含绝对值不等式，实质上是含绝对值不等式组|()||()|f x a f x b >ìí<î，用公式法解；或者通过对()f x 正负的讨论，转化为解不等式组()0()f x a f x b ³ìí<<î或()0()f x a f x b <ìí<-<î问题. 五、含参数的绝对值不等式五、含参数的绝对值不等式例5解关于x 的不等式|2|1ax a +<-（a ∈R ）. 分析：本题是含参数的绝对值不等式，通过分类讨论化为一般绝对值不等式用公式法求解. 解析：当a ＜1时，原不等式无解；时，原不等式无解；当a =1时，原不等式化为2＜0，故无解; 当a ＞1时，原不等式可化为1a -＜2ax +＜1a -，解得，1a a+-＜x ＜3a a-，综上所述，当a ≤0时，原不等式无解，时，原不等式无解， 当a ＞0时，原不等式解集为{x |1a a+-＜x ＜3a a-}. 点评：对含参数的绝对值不等式问题，常通过分类讨论化为一般不等式（组）求解，要做到不重不漏.对含绝对值不等式恒成立问题，注意用数形结合法求解. 对含绝对值不等式问题，关键在于去绝对值，取绝对值有两种方法，一是用公式，二是利用绝对值的意义，通过分类讨论去掉绝对值. 跟踪练习跟踪练习 1. 解不等式解不等式 |23|x -≤1； 2.解不等式|43|x -＞5； 3.解不等式2|22|x x --＞6； 4.解不等式|2||5|x x ++-≤11； 5.解不等式5≤|34|x -＜11； 6.解不等式|23|x -＞1x -； 7.解关于x 不等式|3|ax -＞a答案：答案：1.原不等式可化为：1-≤23x -≤1，解得1≤x ≤2， ∴原不等式的解集为{|12}x R x Σ£. 2.原不等式可化为：43x -＜5-或43x -＞5，解得，x ＜13-或x ＞3，∴原不等式的解集为{x ∈R |x ＜13-或x ＞3}. 3.原不等式可化为：222x x --＜6-或222x x --＞6， 解得x ＜2-或x ＞4. 4.原不等式等价于22511x x x <-ìí---+£î或252511x x x -£<ìí+-+£î或52511x x x ³ìí++-£î， 解得4-≤x ≤7. 5. 原不等式等价于|34|5|34|11x x -³ìí-<î，解得，2-＜x ≤12-或2≤x ＜72. 6. 原不等式等价于230231x x x -³ìí->+î或230321x x x-<ìí->+î，解得，x ＜23或x ＞4. 7. 当a ＜0时，原不等式解集为R ；当a =0时，原不等式化为3＞0，解集为R ；当a ＞0时，原不等式可化为2ax -＜a -或2ax -＞a ，解得，x ＜2a a-或x ＞2a a+，综上所述，当a ≤0时，原不等式解集为R ； 当a ＞0时，原不等式解集为{x |x ＜2a a-或x ＞2a a+}. 。
关于不等式的取值范围的题型
关于不等式的取值范围的题型不等式是数学中重要的内容之一，其许多形式和性质均为前人所研究并发展。
其中，关于不等式的取值范围的题型是运用不等式性质求解的一类问题。
下面，笔者将其按照形式进行分类并进行解析。
一元二次不等式一元二次不等式的形式为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，其中a、b、c均为实数，a≠0。
对于初学者而言，解这类不等式较难，但只要掌握了基本思路，其实解法并不复杂。
首先，将其转换为一元二次方程，找出其解的根，并根据方程的根在直线上的位置确定曲线的图像。
可以画出二次函数的图像，结合上下凸性和对称性，用解释性量词描述出其图像所代表的不等式条件。
二次函数的图像是一条抛物线，因此，对于ax²+bx+c>0，若其函数图像在x轴上的根为x₁和x₂，则对于x < x₁和 x > x₂时不等式成立；对于ax²+bx+c<0，若其函数图像在x轴上的根为x₁和x₂，则对于x₁< x < x₂不等式成立。
在此基础上可根据实数系的有序性确定该二次函数的取值范围。
绝对值不等式绝对值不等式在解析几何、数学分析、代数几何和统计学等领域有重要应用。
其常见形式是|ax + b| > c或|ax + b| < c，其中a、b、c均为实数，a≠0。
解这种不等式的难点在于它在不同区间内的符号不同，通常需要分开讨论。
对于|ax + b| > c，考虑ax + b在x < -b/a，-b/a < x < -b/a + c/a和x > -b/a + c/a三个区间内的取值情况。
若ax + b > 0，则不等式成立，否则不成立；对于|ax + b| < c，不等式成立的条件是-c < ax + b < c，求解不等式后可得到ax > -c - b和ax < c - b，对于同一个区间，判断其符号后选择其中的最大最小值，即可确定不等式的取值范围。
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◇北京徐德前王芝平
不等式是每年高考必考的热点内容，考题灵活多变，思想方法丰富．从近几年的高考试题来看，多为考查不等式的性质和运算以及应用均值不等式求最值等．试题一般具有以下几个特点：不等式性质的考查一般与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查结合起来，常以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性知识结合起来．不等式的应用题大都是以函数的形式出现，以最优化的性质展现，在解题过程中涉及不等式求值、取值范围等．
下面对不等式重点、热点题型分类解析，希望对读者的复习有所帮助．１基本不等式的应用
—ｒ＿弋，’
１ｒ‘
名例１已知ｚ，Ｙ，ｚＥＲ＋，ｘ－－２ｙ＋３ｚ＝０，则上的
最小值——．
Ｑ
对于多元问题首先应该想到消元策略，尽可
／解析能的减少待求式中的变量个数．由ｚ－－２ｙ＋
３ｚ＝０得ｙ＝半，则
兰：ｘ２＋９．ｚ２＋６ｘｚ一＞６ｘｚ．＋６ｘｚ一３，
ｚｚ
４Ｘｚ
‘４ｘｚ
当且仅当ｘ＝３ｚ时取“＝”．
鸟彝耋蒙爹妻主柔萋支淼莩萋雾柔
件．合理“分拆”或“配凑”是常用的技巧，而“拆”与“凑”的目的在于使“和”或“积”为定值．
：二例２函数ｙ＝－ｌｏｇ．（ｚ＋３）一１（口＞ｏ，口≠１）的图象恒过定点Ａ，若点Ａ在直线ｒｎｘ＋ｎｙ＋１－＝０上，其中ｍｎ＞Ｏ，
－２十号的最小值为——．ｍ，ｚ——
Ｑ
函数ｙ－－－－－ｌｏｇ。
（ｘ＋３）－－ｌ（ａ＞０，口≠１）的图象
／解析过定点Ａ（～２，－－１），所以
（一２）ｍ十（一１）行十１—０，２ｍ十７ｚ＝１，ｍ，ｒｌ＞０，
所以Ａ＋Ａ：（土＋呈）．（２仇＋竹）一
４＋ｎ＋》４＋２４ｎ・４ｍｍ以一８，
以
当且仅当ｍ＝１，ｎ＝２时取“＝”．
澎彝妻詈，誉差鼍鼍篙曩謇萎麓主委萋
值时有２种基本方法：一是带入消元，二是整体使用条件，利用均值不等式求最值．
２利用函数的性质解不等式问题■”矿
：二例３设ａ＝ｌｇｅ，６＝（１９ｅ）２，ｃ＝ｌｇｆ苫则（
）．
Ａ口＞６＞ｆ；
Ｂ
ｎ＞ｆ＞６；Ｃ
ｃ＞ａ＞６；Ｄ
ｃ＞ｂ＞ａ
肆析
由０＜１９ｅ＜１，知口＞６，又ｆ一虿１
ｌｇ
ｅ，作商比
较知ｃ＞ｂ，答案选Ｂ
鸢舞尝茎￡篡般麓差萎躲知
■ｒ’，．
１
ｏ二例４设口，ｂ，ｃ均为正数，且２４＝ｌｏｇ专ａ，（÷）６＝
ｌ。
ｇ吾¨丢）哇ｌ。
ｇｚｆ，则（
）．
Ａａ＜ｂ＜ｃ；
Ｂ
ｃ＜ｂ＜ａ；Ｃ
ｃ＜ｎ＜６；Ｄ
６＜ｎ＜ｃ
Ｑ
考虑到函数与方程
／解析的关系，不难得到口是函数Ｙ一２１与Ｙ—ｌｏｇ｛ｚ交点的横坐标，ｂ是函数Ｙ一
１
（去）。
与Ｙ—ｌｏｇ吉ｚ交点的横
１
坐标，ｃ是函数Ｙ一（去）２与
ｙ＝ｌｏｇｚｚ交点的横坐标，在同一个坐标系下分别做出４
ｙ一
繇
＼．
／。
Ｄ
口上６
Ａｃ；
２／＼
图１
个函数的图象（如图１），结合图象不难得到ａ＜ｂ＜ｃ．
鸢舞柔麓曼釜翟鬻瀚淼甍高譬
转化为函数的交点问题，突出函数与方程的思想．３以线性规划为载体考查不等式问题
刑
ｆ３ｘ—Ｙ一６≤”
！二例５设ｚ，Ｙ满足约束条ｆ制ｚ—ｙ＋２≥ｏ，
ｋ≥Ｏ，Ｙ≥Ｏ，
１９４９年１１月１日，中国科学院成立．
斟品化
若目标函数ｇ－－一＂ａＸ＋ｂｙ（口＞ｏ，６＞Ｏ）的值是最大值为１２，则导＋旱的最小值为
口０
Ｑ结合不等式表示的平面区域可知当直线２一／解析口ｚ＋ｂ（ｎ＞ｏ，６＞ｏ）过直线ｘ－－ｙ＋２＝Ｏ与直线３ｘ－－ｙ－－６＝０的交点（４，６）时，目标函数ｚ—ａａｃ＋ｂｙ（口＞Ｏ，６＞０）取得最大值１２，即２ａ＋３ｂ＝６，而
一２
３（２＋３）ａｏａ半＝Ｏ
・１。
３＋（口ｂ＋口ａ）＞１。
３＋２２。
５．彭彝喜竺量凳篡署翟慧蠹端柔等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值？对于形如已知２ａ＋３ｂ一６（ａ＞Ｏ，６＞ｏ），求詈＋詈的最小值常用基本不等式解答．
４不等式在解决函数含参问题中的应用
谚，例６厂（ｚ）＝ａｘ３－－３ｚ＋１对于ｚ６Ｅ一１，１Ｊ总有，（ｚ）≥Ｏ成立，则口＝——．
ｐ本小题考查函数单调性的综合运用．
／解析若ｚ—ｏ，不论口取何值，，（ｚ）≥ｏ显然成立；
当ｘ＞Ｏ即ｘＥ（Ｏ，１７时，厂（ｚ）＝ａｘ３—３ｘ＋１≥Ｏ
可化为口≥耋一≯１．
设ｇ（ｚ）＝≯３一了１，则９７（ｚ）一学，所以ｇ（ｚ）在区间（ｏ，告］上单调递增，在区ｆｉｚｌ…１ｒ，１－］１－单调
递减，因此ｇ一（ｚ）一ｇ（去）一４，从而ｎ≥４．
当ｘ＜Ｏ即ｚ∈Ｅ－１，ｏ）时，，（ｚ）＝ａｘ３－－３ｘ＋ｌ≥ｏ可化为口≤吾一了１，９７（ｚ）＝掣＞ｏ，ｇ（ｚ）在区间［一１，ｏ）上单调递增，因此ｇ血（ｚ）一ｇ（一１）一４，从而口≤４，综上ａ＝４．
鸯彝言霍曩姜蒿羹麓慧耋望署萎釜碧寡羹讨论，善于使用导数求最值．化归与转化思想在不等式中占有重要地位，如等式与不等式的转化，不等式与不等式之间的转化、函数与不等式的转化等．
５不等式在解决实际问题中的应用
■，１，
彩例７如图２，要设计一张矩形广告，该广告含有
大小相等的左右２个矩形栏目（即图中阴影部分），这舭化２栏的面积之和为１８０００ｃｍ２，
四周空白的宽度为１０ｃｍ，２栏
之间的中缝空白的宽度为５
ｃｍ，怎样确定广告的高与宽的
尺寸（单位：ｃｍ），能使矩形广告
面积最小？
解法１设矩形栏目的高图２
为口，宽为ｂ，则
ａｂ＝９０００ｃｍ２．①设广告的高为口＋２０，宽为２６＋２５，其中ｎ＞０，ｂ＞Ｏ．广告的面积
Ｓ一（口＋２０）（２ｂ＋２５）＝２ａｂ＋４０ｂ＋２５ａ＋５００＝
１８５００＋２５ａ＋４０ｂ＞少１８
５００＋２∥甄丽＝２４５００．当且仅当２５ａ＝４０ｂ时等号成立，此时６＝ｉｏ口，代人①式得口＝１２０，６—７５即当ｎ一１２０，ｂ＝７５，Ｓ取得最小值２４５００．故广告的高为１４０ｃｍ，宽为１７５ａｍ时，可使广告的面积最小．
解法２设广告的高、宽分别为上，Ｙ，则每栏的高和宽分别为ｚ一２０，出９，其中ｚ＞２０，ｙ＞２５．２栏面
积和为２（ｚ一２０）￡笋＝１８ｏｏｏ，由此得Ｙ＝警箸＋
２５，广告的面积’‘ｓ—ｚｙ刊鬻＋２５）一等＋２５ｚ，整理得Ｓ＿－－萼竺箬＋２５（Ｘ－－２０）＋１８５００．
因为ｚ＞２０，所以
ｓ≥２√篱×２５（ｚ－２０）＋１８５００＿２４５００．
当且仅当萼竺桨一２５（Ｘ－－２０）时等号成立，此时有（ｚ一２０）２＝１４４００（ｚ＞２０），解得ｚ一１４０，代人ｙ＝塑黑一－［－－２５＝１７５，即广告的高为１４０ｃｍ，宽为１７５ｃｍ时，可使广告的面积最小．
鸯彝主篡嚣黧毓裟茎鑫霎篥莩景、领悟数学实质，再进行抽象、归纳其中的数量关系，建立数学模型，最后根据所建立的模型的知识系统，解出模型的数学结果，给出实际问题的答案．
（作者单位：北京宏志中学）
１９２８年１１月１日，中央银行成立．
高考中不等式问题分类解析
作者：徐德前， 王芝平
作者单位：北京宏志中学
刊名：
高中数理化
英文刊名：GAOZHONG SHU-LI-HUA
年，卷(期)：2009，""(11)
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