柯西不等式(原始版)题型分类

柯西不等式（原始版）的习题分类

柯西不等式已经成为高考当中的新贵，去年全国卷II 的选修4-5不等式选讲，已经出现了柯西不等式命题，因此对柯西不等式几种典型习题加以分类，有助于知识的掌握。

一、柯西不等式（原始版）

1、()()()2

22112

22

12

22

1b a b a b b a a +≥++，当且仅当向量()21,a a a = ，()21,b b b = 同向时候成立，如果0,21≠b b 时，那么当且仅当2

211b a b a =时成立。 2、()()

()2332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++，当且仅当321321::::b b b a a a =时等号成立。 3、211212⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥⋅∑∑∑===n k k k n k k n k k b a b a ，当且仅当n n b b b b a a a a :...::::...:::321321=时等号成立。

由以上柯西不等式（原始版）来看，柯西不等式是齐次，不等式左右两边的式子的次数相等，因此做题的时候可以抓住这个关键进行应用。

二、常见题型

1、()常数次次≥-⨯11。

例1、已知1=+b a ，且0,>b a ，求b

a 11+的最小值。 解析：这道题的方法非常多，利用二元的均值定理可以求解，但是应用柯西不等式更加方便。考虑最后求解的形式一定是k b

a ≥+11，k 为某个常数，那么不等式左边1-次，右边为0次，并不相等，所以左边要乘以

b a +，这样左边变成了()⎪⎭⎫ ⎝

⎛++b a b a 11，次数就成为了0，就可以应用柯西不等式。 ()41111112=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅+⋅≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b b a a b a b a b a ，当且仅当21==b a 时等号成立，所以b a 11+的最小值为4。 显然以上对例1的求解，柯西不等式比均值定理更为简单，有些优势，而且柯西不等式的应用范围更加广泛。 例2、若0,,>c b a ，求证()9111≥++⎪⎭⎫ ⎝

⎛++c b a c b a 。 解析：可以直接应用柯西不等式 ()91111112=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅≥++⎪⎭⎫ ⎝⎛++c c b b a a c b a c b a ，当且仅当1===c b a 时等号成立。 练习：

1、已知0,,>c b a ，证明：

c b a c b a ++≥++9111。 2、已知0,,>c b a ，证明：()

c b a a c c b b a ++≥+++++29111。 提示：()()()()a c c b b a c b a +++++=++2。

3、已知0,,>c b a ，并且1=++c b a ，求

a

c b c b a b a c +++++的最小值。 提示：b a b a c +=++11；c b c b a +=++11；a

c a c b +=++11。 4：已知c b a >>，证明c a c b b a -≥-+-411。 提示：设b a x -=，c b y -=，则y x c a +=-，且0,>y x 。

2、次常数次12≥⨯

例3、已知14

22

=+y x ，求y x +的取值范围。 解析：这道题可以用椭圆求切线的方法，也可以利用参数方程，但是利用柯西不等式会更简单。 这类问题是转化形如()()221224y x k k y x +≥+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+（21,k k 为某两个常数）的柯西不等式进行求解，关键是常数21,k k 的确定。观察柯西不等式()()()22211222

1222

1b a b a b b a a +≥++，有()222i i i i b a b a =，2,1=i ，相应的2124

x k x =⋅，222y k y =⋅，易得1,421==k k 。 所以()()222144y x y x +≥+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+，即()251y x +≥⨯，所以55≤+≤-y x 。 例4、已知1222=++z y x ，求z y x 32++的取值范围。

分析：需要转化为形如()()()2

32122232z y x k k k z y x ++≥++++的柯西不等式， 有212x k x =⋅，2224y k y =⋅，2329z k z =⋅，解得9,4,1321===k k k 。

解：()

()()222232941z y x z y x ++≥++++，即()13322≤++z y x ，所以133213≤++≤-z y x 。 例5、已知1=++z y x ，求2222z y x ++的最小值。

解析：()()222221211z y x z y x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛

++≤++，即()

2222251z y x ++≤，所以522222≥++z y x ， 当且仅当1

2

121z y x ==，即51,52===y z x ，或时等号成立，所以2222z y x ++的最小值为52。 例6、求函数x x y 241-++=

的最大值。 解析：设x b x a -=+=2,1，则322=+b a （一定要是其平方和为常数），则b a y 2+=，由柯西不等式，()()()222221b a b a +≥++，即233y ≥⨯，所以3≤y ，当且仅当2

1b a =，即0=x 时等号成立。

练习：

1、已知22=++z y x ，求22223z y x ++的最小值。

2、如果1=++z y x ，则3

1222≥++z y x 。 3、求函数34212++-=x x y 的最大值。