基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式

.基本不等式

①公式： -_b

ab (a 0,b 0)，常用 a b 2. ab

2

2 ■ 2

2

②升级版: a b a b

ab a,b R

2 2

选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版

二•考试题型

【题型1】 基本不等式求最值

求最值使用原则：一正 二定三相等

一正： 指的是注意a,b 范围为正数。

二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时 a b 典型例题：

1

例1•求

y

x £；（x

0）的值域

分

x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处

1

解：y (x ) Q x 0

2x

2x

1 x

2x

得到y ( , &]

1

分析：sinx 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当 y 取到最小值时，sinx 的值是.2，但「2不 在范围内

解：令 t sinx , t (0,1)

是对钩函数，禾U 用图像可知:

2

在(0,1)上是单减函数，所以t 3,(注：3是将t 1代入得到)

y (3,)

注意：使用基本不等式时，注意

y 取到最值，x 有没有在范围内，

如果不在，就不能用基本不等式 ，要借助对钩函数图像来求 值域。

例2 •求y

2x (x 3)的值域

解：y 2x

(“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值 )

2(x 3)

22

即 y 2.2 6,

例3•求 y sin x

2 sin x

(0 x )的值域

y t f （p 为常数）型函数，要注意t 的取值范围;

【失误与防范】

1.使用基本不等式求最值，其失误的真正原因 是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.

要利

用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可. 2 •在运用重要不等式时，

要特别注意“拆” “拼” “凑” “正” “定” “等”的条件.

3.连续使用公式时取 等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.

【题型2】条件是a b 或ab 为定值，求最值（值域）（简）

x 2 2x 1

例 4.求

y (x

2）的值域

分析：先换元，令t x 2 ,t 0,其中x

解：y

(t 2)2 2(t 2) 1

t 2 6t 1 t

Qt 0

[8,

总之：形如y

2

CX ax b

dx f (a 0,c 0）的函数，一般可通过换元法等价变形化为

等技巧，使其满足重要不等式中

例5.

0, y 0且x y 18，则xy 的最大值是

解析: 由于 x 0,y

0,则x y 2 xy ，所以2 xy 18，则xy 的最大值为81

例6. 已知 x,y 为正实数，且满足 4x 3y 12，则xy 的最大值为

1

解析: Q 4x 3y 2 4x 3y ••• 4、跖12，xy 3 当且仅当4x 3y

即

4x 3y 12

3

2 时，xy

2

取得最大值3.

例7.已知m 0,n 0，且mn 81,则m n的最小值为

解析：Q m 0,n 0，m n 2、. mn 18，当且仅当m n 9时，等号成立.

总结：此种题型：和定积最大，积定和最小

1 1

【题型3】条件是a b或--为定值，求最值（范围）（难）

a b

方法：将1整体代入

例8.已知x 0,y -的最小值是 ___________________

y

解析：Q x y 1

1111

——(x y)(--)

x y x y

例9.已知a0,b0, a b2，则y14的最

小

值是

a b

解析:

Q a b2

a b

1

2

则丄4(14)(a b)1 b 2a25b2a5 2 b2a9

a b a b

2

)22a b22a b2■ 2a b2

例10.已知x 0,y 0,且1

- 1,求x 2y的最小值是________________ x y

解析：Q 1-1,

x y

则x 2y (丄

x -

)(x 2y) 1

y

2y 2x

x y

所以最小值是4

9

所以最小值是9

2

5 2 9

从而最小值为9

【题型4】 已知a b 与ab 关系式，求取值范围

例11.若正数a,b 满足ab a b 3，求ab 及a b 的取值范围.

解析：把ab 与a b 看成两个未知数，先要用基本不等式消元

解：⑴求ab 的范围 （需要消去a b :①孤立条件的a b ②a b 2 ab ③将a b 替换）

①

Q ab a b 3 a b ab 3, ②

a b 2 ab

令 t a b （t 0）

2

则有 t 3 -

, 4t 12 t 2, t 2 4t 12 0,得到 t 6 或 t 2 （舍去）

2

得到a b 6

ab 3 厶 Ob （消 a

b 结束，下面把ab 看成整体，换元，求

ab 范围）

令 t 、、ab （t

0），则 ab 3 2 ab 变成 t 2

3 2t 解得t 3或t 1 （舍去），从而ab 9

⑵求a b 的范围

a b

（需要消去

ab

:①孤立条件的

ab ②

ab

（〒）2

③将ab 替换）

Q ab a b 3 ,ab

（消 ab 结束,

F 面把a b 看成整体，换元，求

a b 范围）