2011-2012高数B(下)A卷试题
11-12(下)高数B参考答案及评分标准
高数期末试题B 参考答案及评分标准一、判断题二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（6） 2 （7）x z y 522=+（8） －1 （9）9122≤+<y x （10）2ln 162（11） 6 （12）yPx Q ∂∂=∂∂ （13） 右手 （14）⎰20)2sin(21πdt t （15） 偶（16）求曲面42222=++z y x 在点(1,1,1)处的切平面方程，并求过原点与该切平面垂直的直线方程。
()())2(112)3(042111)2()2,2,4(|),,(11142),,()1,1,1(222分直的直线方程为：通过原点与该切平面垂分点处的切平面方程为，，曲面在分点处的法向量，，则曲面在解：记 zy x z y x F F F z y x z y x F z y x ===-++∴==-++=（17）设函数),(y x z z =由方程23222320x z y z x y +-+=所确定，求全微分dz 。
)1(43344322)3(4334)3(43222),,(222222223222222223322232分分分则解：记 dy zy z x y yz dx z y z x x xz dz zy z x y yz F F y z zy z x xxz F F x z y x z y z x z y x F z y z x ++-+--=∴++-=-=∂∂+--=-=∂∂+-+=（18）计算Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由0,1z z ==和222x y x +=围成的区域。
)1(9163238cos 38cos 34)1(21)2(21)1(21)2()1)1(D (203223cos 202222221222212222分分分分分：其中解： =⋅=====+=+=≤+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ωπππθππθθθθρρθθρρd d d d d d dxdy y x zdz dxdy y x y x dz y x z dxdy dv y x z DDDD（19）计算,)536()24(L⎰+++-+dy y x dx y x 其中L 为三角形(3,0)，(3,2),(0,0)的正向边界。
2011高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是 （ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是（ ）（今年不作要求）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿．（今年不作要求） ２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域． ６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz. ７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D 是由y y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．（今年不作要求）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z =（今年不作要求）参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y =-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分） 2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分） ２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2zx y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xy z z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分）243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010n n ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z z z z F F z z y x F e y F e ∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分） 故1(2)1zz z dz dx dy dx ydy x y e ∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =及y x =围成的区域． 解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分） 212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分） ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定． 解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）120d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分） 而111()00a xdydz ydzdx zdxdy azdxdy dxdy ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。
2011-12高数三(下)期末试题参考答案
2011-2012学年第二学期全校经管类等专业《高等数学三（下）》期末试卷一、基本题（共6个小题，每小题6分，共36分） 1. 设 0lim =∞→n n a ，求级数∑∞=+-11)(n n na a的部分和n S 、和S .12n n S u u u =+++= 12231n n a a a a a a +=-+-++- 11n a a +=-111lim lim n n n n S S a a a +→∞→∞==-=2. 设 10055++=x y x x ，求差分x y ∆、x y 2∆.=-=∆+x x x y y y 1155(1)100(55100)435x x x x x ++++-++=⨯+=∆∆=∆)(x x y y 21455(455)165x x x +⨯+-⨯+=⨯3. 判断正项级数∑∞=-⋅⋅1!)12(531n n n 的敛散性. 正项级数比值审敛法，121limlim 211n n n nu n u n ρ+→∞→∞+===>+，所以发散4. 改变二次积分⎰⎰210),(xdy y x f dx 的积分次序.D 是X 型区域且012x x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ Y 型区域表示为12D D +，1D ：010y x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 2D 1201y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩120(,)xdx f x y dy =⎰⎰100(,)ydy f x y dx ⎰⎰+2110(,)dy f x y dx ⎰⎰ 5. 求微分方程232y xdx dy =满足条件1)0(=y 的特解. 分离变量得到232y dy xdx = 两端积分得 32y x C =+ 这就是原方程的通解由条件1)0(=y 得到 1C =，故321y x =+是满足条件的特解6. 求差分方程9101=-+x x y y 的通解.原方程对应的齐次方程 1100x x y y +-= 齐次方程的通解为10xY C =因为101a =-≠-，所以设特解ya = ，代入 原方程 对比系数可以得到1a =- 因此 原方程的通解为101xy Y yC =+=-二、（共4个小题，每小题9分，共36分）1. 求过点)1,2,1(-M 且与直线 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+012012z y x z y x 垂直的平面方程.最主要是求出平面的法向量n ，即直线的方向向量s，常用方法：直线通过两个已知平面，方向向量s，12,n s n s ⊥⊥，所以取12112{3,1,1}121i j ks n n =⨯=-=--所以平面方程为3(1)(2)(1)0x y z +--+-= 整理得340x y z -++=2. 设函数 ),(y x e e xy f z +=，其中f 具有连续一阶偏导数，求x z ∂∂，yz ∂∂，与dz . 12x z yf e f x ∂''=+∂，12y zxf e f y∂''=+∂， 则z zdz dx dy x y∂∂=+=∂∂12()x yf e f dx ''++12()y xf e f dy ''+ 3. 设 )sin(22y x z +=，求x z ∂∂，y z ∂∂，与y x z∂∂∂2. x z ∂∂222cos()x x y =+ yz∂∂222cos()y x y =+ yx z∂∂∂2()zx y∂∂∂=∂224sin()xy x y =-+ 4. 设有A 和B 两种商品，其单价分别为10元和50元 ，某消费者消费x 单位A 商品和y 单位B 商品所获得的效用为 )ln ln (21),(y x y x u +=，求该消费者在这两种商品的预算消费支出为2000元时所获得的最大效用，以及各商品的消费数量.已知条件 10502000x y +=，即105020000x y +-= 目标函数：)ln ln (21),(y x y x u +=求目标函数在已知条件下的最大值问题，利用拉格朗日乘数法： 设(,,)ln ln (10502000)F x y x y x y λλ=+++-求解方程组11001500105020000x y F x F y F x y λλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎨⎪⎪=+-=⎪⎩求解得到5100,x y == 即当100,20x y ==时，总效用达到最大。
山西忻州市2011-2012学年第二学期高一联考试题数学B类
学校 姓名 准考证号忻州市2011－2012学年第二学期高中联考试题高一数学（B 类）注意事项:1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色中性笔，将学校名称、姓名、班级、准考证号填写在试题和答题卡上。
2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．tan300°的值为A ．3B ．33 C ．－33 D ．－3 2．三个正数a 、b 、c 成等比数列，则lga 、 lgb 、 lgc 是A ．等比数列B ．既是等差又是等比数列C ．等差数列D ．既不是等差又不是等比数列3．已知函数⎩⎨⎧>≤-=1,ln 1,1)(x x x e x f x ，那么)2(ln f 的值是A ．0B ．1C ．)2ln(lnD ．24．在四边形ABCD 中，若AB →·CD →＝－|AB →|·|CD →|，且BC →·AD →＝|AD →|·|BC →|，则该四边形一定是A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形5．某校500名学生中，O 型血有200人，A 型血有125人，B 型血有125人，AB 型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．按照分层抽样方法抽取样本，则从O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人中分别抽（ ）人A ．2,5,5,8B ．2,4,5,8C ．8,5,5,2D ．4,5,5,26．已知a ，b ∈R ，下列不等式不．成立的是 A ．a ＋b ≥2ab B ．a 2＋b 2≥2abC ．ab ≤(a ＋b 2)2D ．|a |＋|b |≥2|ab |7．执行如图所示的程序框图，其输出的结果是A ．1B ．21-C ．45-D ．813-8．已知|a →|＝5，a →与b →的夹角为60º，a →在b →方向上的投影是A ．25B ．3C ．－25D ．－3 (7题图) 9．将函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A ．4B ．6C ．8D ．1210．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2, 2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，则数列{a n }的前5项和等于 A ．25 B ．20 C ．15 D ．1011．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d = 若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = A ．4 B ．2 C ．6 D ．812．设向量a →＝(cos 55°，sin 55°)，b →＝(cos 25°，sin 25°)，若t 是实数，则|a →－t b →|的最小值为A ． 2B ．1C ．22 D ． 12二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上) 13．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且30,45,2A B a ===，则b = ．14．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，那么数列{a n }的前6项和S 6＝________．15．函数f (x )＝)32(221--⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 的单调递增区间是__________．16．函数f (x )＝cos x ＋2|cos x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝m 有且仅有2个交点，则实数m 的取值范围__________．三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17．(本题满分10分)一个盒子中有2个红球和1个白球，每次取一个，每次取出后放回，连续取两次， 记A=“取出两球都是红球”，B=“第一次取出红球，第二次取出白球”，求概率P(A)，P(B)．18．(本题满分12分)已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋4x －5＜0的解集为B ． (1)求A B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A B ，求ax 2＋x ＋b ≥0的解集．19．(本题满分12分)是否存在实数a [)0,1-∈，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为 [－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2 2xsin (π4＋x )cos (π4＋x )(1)求f (－512π)的值；(2)当x ∈ [0，π4） （π4，π2]时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．21．(本题满分12分)已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c , 它的周长为2＋1， 且a ＋b ＝2c ． (1)求边c 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求cos C 的值．22．(本题满分12分)在等差数列}{n a 中，21=a ，12321=++a a a ． (1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 令n n n a b 3⋅=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．忻州市2011−2012学年第二学期高中联考 高一数学(B 类)参考答案及评分标准一．选择题(每小题5分，共60分) DCBAC ACABC AD二．填空题(每小题5分，共20分)13．22 14．63 15．(－∞，1) 16．m ＝0或1<m ≤3三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．解：取出后放回，连续取两次，两个红球分别记为红1和红2，列树状图如下：红1⎪⎩⎪⎨⎧21红红白 红2⎪⎩⎪⎨⎧21红红白白⎪⎩⎪⎨⎧21红红白 即共有9种，其中“取出两球都是红球”有4种，“第一次取出红球，第二次取出白球”有2种， 所以P （A ）=94． ………………5分 P （B ）=92． ………………10分18．解：(1)解不等式x 2－2x －3＜0，得A ＝{x |－1＜x ＜3}． ………………2分 解不等式x 2＋4x －5＜0，得B ＝{x |－5＜x ＜1}， ………………4分∴A ∪B ＝{x |－5＜x ＜3}． ………………6分 (2)由x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－5,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 25－5a ＋b ＝0 9＋3a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－15． ……………9分 ∴2x 2＋x －15≥0，求得解集为{x |x ≥52或x ≤－3}． ……12分19．解：f (x )＝(x －a )2＋a －a 2 . ………………4分－1≤a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (1)＝1－a ＝2 ………………8分a ＝－1． ………………12分20．解：(1)f (x )＝cos 2 2xsin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 2 2xsin (π2＋2x )＝2cos 2 2x cos 2x ＝2cos 2x ． .………………4分 f (－5π12)＝2cos (－5π6)＝2cos 5π6＝－2cos π6＝－3． .………………6分(2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin (2x ＋π4)，………………8分x ∈[0，π4）∪（π4，π2]⇒2x ＋π4∈[π4，5π4]且2x ＋π4≠3π4， ………………10分∴x ＝π8时，g (x )max ＝2；x ＝π2时，g (x )min ＝－1． . ………………12分21.解：(1)a+b+c ＝2＋1，a+b ＝2c ，两式相减，得c ＝1． ………………5分 (2)由△ABC 的面积12a ·b ·sin C ＝16sin C ，得a ·b ＝13， ………………8分由余弦定理得cos C ＝b 2＋a 2－c 22b ·a ………………10分＝(b ＋a)2－2b ·a －c 22b ·a ＝12． ………………12分22.解：(1)设数列}{n a 的公差为d ∵,12321=++a a a ∴3122=a ∴42=a ∴d=221=-a a …………4分； ∴n a n 2=．……6分 (2)∴n n n b 32⋅=∴n n n S 3236343232⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=……①∴132323)1(234323+⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n n n S ……② ………8分 ①－②得：13232323232322+⋅-⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-n n n n S =n n n 322)13(32⋅--⋅…………10分∴233)12(1+⋅-=+n n n S ． ………………12分说明：各题如有其它解法可参照给分．高一数学(B类)双向细目表。
2012级高数(下)试题及答案解析
南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰ _____.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰= _________.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为_______.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为________.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为__________.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是（ ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ ）（A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（ ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
5.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的三个线性无关的解，则0y py qy '''++=的通解为 （ ）（A ）1122C y C y +； （B ）1223C y C y +；（C ）1122C y C y +33C y +；（D ）1122C y C y +123()C C y -+.三、计算题(共24分，每小题8分)1、设arctan x yz x y +=-，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.2、判断级数1313n n n ∞=-∑的敛散性.3、求微分方程71212y y y x '''-+=的通解 四、解答题（一）(共24分，每小题8分) 1、设方程(,)0f xz yz =可确定z 是,x y 的函数，且(,)f u v 具有连续偏导数，求dz .2、计算曲线积分22(sin 2)()L x y dx x y dy --+⎰，其中L 为由点(0,2)A 到(0,0)O 的左半圆周222x y y +=.3、求级数12nn n x n ∞=⋅∑的收敛域与和函数.五、解答题（二）(共16分，每小题8分)1、求椭球面2222349x y z ++=上点（1，1，1 ） 处的切平面方程和法线方程.2、利用高斯公式计算曲面积分()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为平面0,0,0,1,1,1x y z x y z ====== 所围成的立体的表面的外侧.六、证明题(本题满分6分)设数列{}n a 单调减少，0n a >（1,2,n =）且1(1)nn n a ∞=-∑发散，证明11()1nn n a ∞=+∑收敛.南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰8.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰=()402,dx f x y dy ⎰⎰.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为8.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为()10666n n n x x ∞+=-<<∑.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是（ C ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ B ） （A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（A ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ C ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
2011年高等数学BⅡ考题
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第二学期 考试科目： 高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3 分，共15分）1. 设向量(3,2,1)=a ,向量4(2,,)3k =b ，若⊥a b ,则k = ；若//a b ,则k = .22.(1,2)d _____________z x y z ==函数在点处的全微分是 ．3.已知D 是长方形区域{(,)|,01}x y a x b y ≤≤≤≤，又已知()d d 1Dyf x x y =⎰⎰，则()d baf x x =⎰____ ．4. 幂级数()()0+121nn x n ∞=+∑的收敛域为 ．5. 微分方程+=0xy y '满足初始条件(1)=2y 的特解为 ．二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.直线11211x yz -+==-与平面1x y z -+=的位置关系是（ ）． （A ）垂直 （B ） 平行 （C ） 夹角为π4 （D ） 夹角为π4- 2. 000000(,),(,)(,)x y f x y f x y x y 偏导数存在是函数在点处可微的( )．(A) 充分条件 （B ） 必要条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件3. 将极坐标系下的二次积分：π2sin 00d (cos ,sin )d I rf r r r θθθθ=⎰⎰化为直角坐标系下的二次积分，则I =( )．（A ） 1111d (,)d I y f x y x -=⎰⎰（B ） 2d (,)d I x f x y y =⎰（C ）11d (,)d I y f x y x -=⎰ （D ）1111d (,)d I x f x y y -=⎰⎰4．交错级数1111(1)3n n n ∞--=-∑ （ ）． (A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)敛散性无法确定5．差分方程t t t t y y 2221⋅=-+的特解形式为（ ）.(A)t t kt y 22⋅= (B) ()22tt y at bt c =++⋅(C) ()322tt y at bt ct =++⋅ (D) 以上都不对三、计算题（本题六个小题，每小题7分，满分42分）1. 2232(,)e 0,,zz zz f x y x y xyz x y ∂∂=++-=∂∂设是由所确定的隐函数求．2．设,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z zx y x y ∂∂+∂∂ ．3. 判别级数 n 12!n n n n∞=∑的敛散性．4. 计算二重积分2Dxdxdy y⎰⎰，其中D 为1,xy y x ==及2y =所围成的闭区域．5．求伯努利方程 42323y y x y x'+= 的通解．21(),32f x x x x =++6.用间接展开法把展开成的幂级数并写出其收敛区间．四、（本题两个小题，任意选做一题，多选不多得分，满分8分）1. 求微分方程()3y y y ''''=+满足初始条件()()00,01y y '==的特解． 2. 求微分方程323e -'''++=x y y y x 的通解．五、应用题（本题三个小题，任意选做二题，多选不多得分，满分16分）1．设有连结点O(0,0）和(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围成图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程． 2 . 某公司生产产品A （x 件），产品B （y 件）的收益函数和成本函数分别为: ()22(,)109,(,)400230.0133R x y x y C x y x y x xy y =+=+++++， 试求获得最大利润的产量水平及最大利润．3．求由球面zz六、证明题（本题满分4分）211:,n n n n u u ∞∞==∑∑证明如果正项级数收敛则也收敛．。
11-12-2高等数学下(通信电子本科)A卷及答案
2011－2012学年第二学期期末考试《高等数学（下）》试卷(A)答卷说明：1、本试卷共6页，四个大题，满分100分，120分钟完卷。
2、闭卷考试。
3、适用班级：11级通信系、电子系本科各班.评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分）。
【A 】设有直线L :12121x y z --==-及平面π:21x y +=,则直线L (A)平行于π (B)在π内 (C)垂直于π (D)与π斜交【D 】2.锥面z =与柱面22z x =所围立体在xoy 面的投影为(A)22(1)1x y -+= (B)22(1)1x y -+≤ (C)220,(1)1z x y =-+= (D)220,(1)1z x y =-+≤ 【C】3.设函数),(y x z z =由方程ze e xyz =+确定,则)1,0,1(yz ∂∂的值为(A)1e -- (B)e (C)1e - (D)1【A 】4.函数),(y x f z =,则函数在该点(A)必连续 （B)偏导数必存在且连续 (C)必有极值 (D)偏导数不一定存在__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………【C 】5.将二次积分11(,)xdx f x y dy ⎰⎰转化成先对x ,后对y 的二次积分为(A)⎰⎰110),(ydx y x f dy (B)⎰⎰xdx y x f dy 010),((C)⎰⎰y dx y x f dy 010),( (D)⎰⎰110),(dx y x f dy【D 】6.设L 为圆周221x y +=(逆时针方向),则()(32)Lx y dx y x dy ++-=⎰(A)3π (B)2π (C)4π (D)3π- 【D 】7.下列级数中,收敛的级数是(A)n ∞= (B)1(3)2n n n ∞=-∑ (C)2111n nn ∞=++∑ (D)1(1)1n n n ∞=-+∑ 【B 】8.幂级数1(1)3nnn x n ∞=-∑的收敛域为 (A)(2,4)- (B)[2,4)- (C)[2,4]- (D)(2,4]- 【C 】9.微分方程0y y '-=满足初始条件0|2x y ==的特解为(A)1xy e =+ (B)2x y e =+ (C)2x y e = (D)xy e =【B 】10.具有特解xx xey e y --==21,的二阶常系数齐次线性微分方程是(A)02=+'-''y y y (B)02=+'+''y y y (C)02=-'+''y y y (D)02=+'-''y y y二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分）1.设两点(1,2,1)A 及)3,1,2(B ,则=||||6AB =向量与z 轴的夹角为γ,则方向余弦=γcos_______.cos γ=2.设xz y =,则dz =_1ln xx dz y ydx xy dy -=+.3.函数22(,)f x y x y y =-在点(1,1)P 处方向导数的最大值为4.设L 是连接(1,0)及(0,1)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰___________.5.函数13x +展开成x 的幂级数为____10(1),333n n n n x x ∞+=--<<∑三、计算题(共7小题,每小题6分,共42分)1.已知曲面222z x y =+-上一点(2,1,3)M ,(1)求曲面在M 点处的一个法向量;(2)求曲面在M 点处的切平面及法线方程.2.求函数22(,)2()f x y x y x y =---的极值.3.平面薄片的面密度为22(,)1x y x y μ=++,所占的闭区域D 为圆周221x y +=及坐标轴所围成的第一象限部分,求该平面薄片的质量.4.利用高斯公式计算曲面积分232(3)(2)(3)z x dydz y xz dxdz x z dxdy ∑+-+⎰⎰,其中∑为上半球面z =0z =所围立体的整个边界曲面的外侧.5.设曲线通过原点,且曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率等于x y -,求该曲线的方程.6.求微分方程xe y y y =+'-''23的通解.7.判断级数113(1)4n nn n∞-=-∑是否收敛？如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛？四、综合应用题(共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分).1.(6分)要用钢板造一个体积为4(3m ) 长方体无盖容器,应如何选择容器的尺寸,使得用料最省?2.(7分)设在xoy 平面有一变力→→→-++=j xy i y x y x F )82()(),(2构成力场,(1)证明质点在此力场中移动时,场力所作的功与路径无关;(2)计算质点从点)0,1(A 移动到点)1,2(B 时场力所作的功.一.选择题(每小题3分,共30分).二.填空题(每小题3分,共15分).(1)||6AB =;cos 3γ=(2)1ln x x dz y ydx xy dy -=+ (3)(5)10(1),333n nn n x x ∞+=--<<∑三.计算题(每小题6分,共42分).1.(6分)(1)由222z x y =+-得,2,2x y z x z y ==, 曲面在点(2,1,3)M 处的一个法向量为(n →=-(或(4,2,1)n →=--) ………………………………………………………………（2分）(2)在点(2,1,3)M 的切平面方程为4(2)2(1)(3)0x y z -+---= 即4270x y z +--= ……………………………………………………………………………（2分） 法线方程为213421x y z ---==- …………………………………………………………………（2分） 2.(6分)22,22x y f x f y=-=--,令0,0,x y f f =⎧⎪⎨=⎪⎩,得驻点(1,- …………………………………（2分） 2,0,2xx xy yy f f f =-==-,有(1,1)2,(1,1)0,(1,1)2,xx xy yy A f B f C f =-=-=-==-=-则240,0AC B A -=><, ……………………………………………………………………………（2分） 所以(1-为极大值点,极大值为(1,1)2f -= ……………………………………………………（2分）3.(6分)平面薄片的质量22(,)(1)DDM x y dxdy x y dxdy μ==++⎰⎰⎰⎰ ……………………（2分）1220(1)d d πθρρρ=+⎰⎰ ……………………………………（2分）4210113[]2428πρρπ=+= …………………………………（2分） 4.(6分)所围空间区域{(,,)|0x y z z Ω=≤≤由高斯公式,有原式⎰⎰⎰Ω∂∂+∂∂+∂∂=dv zRy Q x P )(222(333)z y x dv Ω=++⎰⎰⎰ …………………………（2分）222203sin ad d r r dr ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰ ……………………（2分）552001632[cos ][]55a r a ππϕπ=⋅⋅-⋅= ……………………（2分）5.(6分)设所求曲线为)(x y y =,由题意得,y x y '=-,0)0(=y , 该方程为一阶线性微分方程y y x'+=,其中()1,P x Q x x== ………………………………（2分） 故通解为()()[()][]P x dx P x dx dx dx y e e Q x dx C e xe dx C --⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰[]()1x x x x x x e xe dx C e xe e C Ce x ---=+=-+=+-⎰ …………………………（2分） 由)0(=y ,得1C =,从而所求曲线为1xy e x -=+- ……………………………………（2分）6.(6分)对应的齐次方程023=+'-''y y y 的特征方程为0232=+-r r , 得特征根11=r ,22=r则对应的齐次方程的通解为x x e C e C y 221+= ……………………………………………………（2分）对于非齐次方程xe y y y =+'-''23,1=λ为0232=+-r r 的单根,1)(=x P ,设其特解为xe x Q y )(*=,其中ax x Q =)(,a 为待定系数，)(x Q 满足)()()2()(x P x Q p x Q ='++''λ,即1))(312(0=-⋅+a ,所以1-=a , …………………………（2分）从而x x Q -=)(,特解xxe y -=*, 故原方程的通解为x x x xe e C e C y -+=221. ………………………………………………………（2分）7.(6分) 由于11133(1)44n n n n n n n ∞∞-==-=∑∑， 而111lim lim 44n n n nu n u n +→∞→∞+==，则113(1)4n nn n∞-=-∑收敛，………………………………………………（3分） 从而113(1)4n n n n∞-=-∑也收敛，且为绝对收敛. ……………………………………………………（3分）四、综合应用题(共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分).1.(6分)设该容器的长,宽,高为z y x ,,,由题意知4xyz =,则4z xy=,容器的表面积488222()A xy yz xz xy x y xy xy x y=++=++=++,0,0>>y x ……………（3分）令228080x y A y x A x y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩, 解得驻点2x y == ……………………………………………………（2分）因实际问题存在最小值,且驻点唯一,所以当2()x y m ==,1()z m =时,容器的表面积最小,从而用料最省. ……………………………………………………………………………………………（1分）2.(7分)证明: (1)2),(y x y x P +=,82),(-=xy y x Q , 由于在xoy 面内,x Q y y P ∂∂==∂∂2恒成立,且,P Q y x∂∂∂∂连续, 故质点在该力场中移动时场力所作的功与路径无关. ………………………………………………（4分）(2)质点从点)0,1(A 移动到点)1,2(B 时场力所作的功(与路径无关) ,路径L 可取折线段B C C A →→,,其中点)0,2(C ,从而(2,1)(2,1)(1,0)(1,0)W F dr Pdx Qdy =⋅=+⎰⎰⎰-++=)0,2()0,1(2)82()(dyxy dx y x +⎰-++)1,2()0,2(2)82()(dy xy dx y x29)84(1021-=-+=⎰⎰dy y xdx …………………………………（3分）。
高数B(二)期末卷(2011)--A卷
高数B(二)期末卷(2011)--A卷上海海洋大学试卷姓名： 学号： 专业班名： 任课教师:____________一 .用图解法解下列线性规划问题（要求：画图时，必要的点要标清，否则不给分）：1212121212min 2..0,2,33,,0.x x s t x x x x x x x x +-≥+≤+≥≥二. 试通过求基本可行解来确定下列线性规划问题的最优解.12123124min 25..216,212,0,1,2,,4.j x x s t x x x x x x x j +++=++=≥=L三. 用单纯形法解下列线性规划问题：12312312123min 3..22,24,246,0,1,2,3.j x x x s t x x x x x x x x x j -++-+≤-+≤-++≤≥=四. 分别用两步法、大M 法求解下列线性规划问题：1231231212min3..28,2,210,0,1,2,3.j x x x s t x x x x x x x x j -+-+=+≥+≤≥=五. 写出下列线性规划的对偶规划：12312312313(1)min 435..3215,273,1,0,1,2,3.j x x x s t x x x x x x x x x j -+++≤-+-≥+=≥=1234123412341234124(2)min 457..21,2633,4325,,,0.x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x ---+++-≥-++≤-+++=-≥六. 给定下列线性规划问题：1231323min 4618..33,25,0,1,2,3.j x x x s t x x x x x j +++≥+≥≥=（1）用对偶单纯形法求解；（2）若右端向量35b ⎛⎫= ⎪⎝⎭改为24b ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，原来的最优基是否还为最优基？利用原来的最优表求新问题的最优解.七. 利用最小元素法求下面运输问题的一个基本可行解（直接填在表内即可）： A ．必要而非充分条件 B ．充分而非必要条件 C．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 2．柱面 20x z +=的母线平行于（ ）A ．y 轴B ．x 轴C ．z 轴D ．xoz 面3． 方程y x ''=经过点(0,1)且在此点与直线112y x =+相切的积分曲线为（ ）A ．3116y x x =++ B ．31216y x c x c =++C ．311162y x x =++ D ．212y c xc x=+4．下列命题正确的是 ( ) A ．若lim 0nn u→∞=，则级数1n n u ∞=∑收敛 B ．若lim 0nn u→∞≠，则级数1n n u ∞=∑发散C ．若级数1n n u ∞=∑发散，则lim 0nn u→∞≠ D ．若级数1n n u ∞=∑发散，则必有lim nn u→∞=∞5．已知微分方程2xy y y e '''+-=的一个特解为*xy xe =，则它的通解是（ ）A ．212xc x c xxe ++ B ．212xx xc ec e xe -++C ．212xc x c xe ++ D ．12x x xc ec e xe -++二、填空题（5153'=⨯'）： 1．过点(2,4,0)且与直线210320x z y z +-=⎧⎨--=⎩ 垂直的平面方程为____________________。
2011-2012高等数学期末考试1B(B卷)
2011-2012学年第一学期期末试卷-B 卷高等数学1B课程号： 11020014B 课序号： 01——16 开课院系： 数学与数量经济学院一、单项选择题（本题10分，每小题2分，请将正确答案的字母填在括号里）1．在区间（-1，1）内，关于函数21)(x x f -=不正确．．．的叙述为（ ）． （A ） 连续 (B) 可导 (C) 有界 (D) 既有最大值，又有最小值2．极限nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→111lim =（ ）． （A ） 0 (B) 1 (C)e1(D) e3.函数)(x f y =在点0x 处可导，且2)(0='x f ，则当0→∆x 时，0x x dy=是（ ）．（A ）与x ∆等价的无穷小 （B ）与x ∆同阶但非等价的无穷小（C ）比x ∆低阶的无穷小（D ）比x ∆高阶的无穷小 4.设某种商品的需求函数为p Q25-=，其中Q 表示需求量，p 表示单价，那么在p =4的水平上，若价格下降1%，需求量将（ ）.（A ）不变 (B) 减少2% (C) 增加2% (D) 无法判定5．设函数)(x f 在闭区间],[b a 内的图形如右图所示，则下列说法中，正确的有（ ）个． ①a x =是函数)(x f y =在],[b a 上的最小值点 ②1x x =是函数)(x f y =的极大值点 ③2x x =是函数)(x f y =的极小值点 ④3x x =不是函数)(x f y =的驻点 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0二、填空题（本题10分，每小题2分，请将正确答案写在横线上）1．函数22)(2---=x x x x f 的可去间断点为 .2.曲线12+-=x x y 的所有渐近线共有 条.3．已知C xdx x x f +='⎰21)(ln ，且1)0(=f ，则=)(x f ． 4．曲线32x y =在点)0,0(处的切线方程为 ．5.设)(2x f y =,其中)(x f 有二阶导数，则22dxyd = .三、计算题（本题56分，每小题7分）1．求极限()()()32tan 11212cos 1lim2x ex x x x ⋅--+⋅-→2．求极限 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→20)1ln(1lim x x x x３. 求极限ex e x e x -→⎪⎭⎫ ⎝⎛1sin sin lim2011-2012学年第一学期期末试卷-B 卷４.设函数⎩⎨⎧<<--+≤<-+=10,1101),1ln()(x x x x x x f ，求)(x f '的表达式．５. 设函数3232x y f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且2()arcsin f x x '=，求0x dy dx =６.已知由方程e xy e y=+确定了y 是x 的函数，求=x dxdy及022=x dx y d７．求不定积分()dx xx⎰+311８．求不定积分dx x x x ⎰3sin cos四、（本题8分）已知函数21x y +=，计算后填写下表：2011-2012学年第一学期期末试卷-B 卷五、（本题8分）某工厂生产一种产品的总成本函数为Q Q C 21200)(+=，价格与需求量之间的函数关系为QP 100=，其中Q 为产量，P 为价格，求（１）边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数；（２）生产该产品的产量为多少时能获得最大利润，最大利润是多少？六、证明题（本题8分）1．证明：当0>x 时，3!31sin x x x ->2．设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ．求证:至少存在一点)1,0(∈ξ, 使得 3'()()0f f ξξξ+=。
2012年高数(下学期)试卷及参考答案(已更正20140622)(1)
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设有向量(1,2,2)a =- ，(2,1,2)b =- ，则数量积()()a b a b -⋅+。
2.曲面22z x xy y =++在点(1,1,3)M 处的切平面方程是 。
3．设u =(1,1,1)u =grad 。
4．幂级数0()3n n x∞=∑的收敛半径R = 。
5．微分方程430y y y '''-+=的通解是 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．已知(1,1,1)A ，(2,2,1)B ，(2,1,2)C ，则AB 与AC的夹角θ是（B ）A ．4π B ．3π C ．6π D ．2π 2．函数2z xy =在点(1,2)处的全微分是 （ D ）A ．8B ．4dx dy +C ．22y dx xydy +D ．4()dx dy +3．设L 为圆周222x y a +=，取逆时针方向，则2222()Lx ydx x xy dy ++=⎰ （ B ）A ．2a πB ．42a π C ．2πD ．04．下列级数中收敛的是 （ C ）A．1n ∞= B．1n ∞= C ．114n n ∞=∑ D ．114n n∞=∑5．微分方程12x y e-'=的通解是 （ C ）A ．12x y eC -=+ B ．12x y e C =+ C ．122x y e C -=-+ D ．12x y Ce-=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.设2,,xs f x xyz y⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f 具有一阶连续偏导数，求s x ∂∂，s y ∂∂，s z∂∂. 2. 设由方程22240x y z z +++=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
2011-2012学年第二学期高等数学IB期末考试 试卷A
2011-2012学年第二学期高等数学IB 期末考试 试卷A参考答案 试卷号：A20120625一、单项选择题（每题3分，共15分）1、微分方程20=-'+''y y y 的通解是（ ） （A ）212+xxy C e C e -=； （B ）212+x xy C e C e -=；（C ）212+x x y C e C e -=； (D) x xe C eC y 221+=-．2、改变10(,)dy f x y dx ⎰⎰的积分次序，则下列结果正确的是（ ）（A ）110(,)dx f x y dy -⎰⎰ ； （B ）10(,)dx f x y dy ⎰⎰；（C ）11(,)dx f x y dy -⎰⎰； （D ）10(,)dx f x y dy ⎰⎰．3、函数),(y x f 在点),(y x P 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 的全部一阶偏导数存在； （B ）),(y x f 连续； （C ）),(y x f 的全部一阶偏导数连续； （D ）),(y x f 连续且yf x f ∂∂∂∂,均存在． 4、设L 是从(1,2)A -到(1,0)B 的直线段，则曲线积分()Lx y ds +=⎰（ ）(A)； (B) (C) 2； (D) 0．5、若级数∑∞=1n na收敛，∑∞=1n nb发散，则级数（ ）(A)∑∞=1)(n nn ba 收敛； (B)∑∞=1)(n nn b a 发散 ；(C)∑∞=+1)(n n nb a收敛； (D)∑∞=+1)(n n nb a发散．二、填空题（每题3分，共15分）１、设∑是球面2222a z y x =++的外侧，则曲面积分⎰⎰∑zdxdy =_______．2、已知级数∑∞=1n nu的前n 项和1+=n ns n ，则该级数的通项n u =__________.3、比较积分的大小：⎰⎰+Dd y x σ)ln(_____⎰⎰+Dd y x σ2)][ln((填>、=或<)，其中区域D 是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1,),(2,0).4、定积分2()f x dx =⎰_________, 其中,01()2,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩．5、 函数(,,)zf x y z xy y=+的全微分(,,)df x y z = ________________，梯度 (2,1,1)(,,)|grad f x y z =u u u u u v___________． 三、解答题（每题6分，共30分）1、计算定积分1cos x xdx ⋅⎰．2、求微分方程'''0xy y +=的通解．3、计算二重积分3()Dx y yd σ+⎰⎰，其中{(,)|11,01}D x y x y =-≤≤≤≤. 4、求幂级数231(1)23n n x x x x n--+++-+L L 的收敛半径及收敛域． 5、计算曲面积分2y dS ∑⎰⎰，其中{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥． 四、（本题满分8分） 计算三重积分22()I x y dv Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω由抛物面22z x y =+与平面1z =围成闭区域． 五、（本题满分10分）已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周222x y x +=到点(2,0)，再沿圆周224x y +=到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233(2)LI x ydx x x y dy =++-⎰．（利用格林公式计算） 六、（本题满分8分）设(,)f u v 具有连续的偏导数, (,)w f xy yz =，证明： w w wxz y x z y∂∂∂+=∂∂∂．七、（本题满分14分）（1）已知三个正数之和为a，试问这三个正数分别为何值时，它们的倒数之积最小．（2）判断级数13nn n∞=∑的敛散性，若收敛，求级数的和．。
华农-11-12年第二学期高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设有向量(1,2,2)a =-，(2,1,2)b =-，则数量积()()a b a b -⋅+ 。
2.曲面22z x xy y =++在点(1,1,3)M 处的切平面方程是 。
3．设u =，则(1,1,1)u =grad 。
4．幂级数0()3n n x∞=∑的收敛半径R = 。
35．（此题新大纲不做要求，已删除）二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．已知(1,1,1)A ，(2,2,1)B ，(2,1,2)C ，则AB 与AC 的夹角θ是（B ）A ．4π B ．3π C ．6π D ．2π2．函数2z xy =在点(1,2)处的全微分是 （ D ）A ．8B ．4dx dy +C ．22y dx xydy +D ．4()dx dy + 3．设L 为圆周222x y a +=，取逆时针方向，则2222()Lx ydx x xy dy ++=⎰（ B ）A ．2a πB ．42a π C ．2πD ．04．下列级数中收敛的是 （ C ）A．n ∞= B．1n ∞= C ．114n n ∞=∑ D ．114n n∞=∑5．微分方程12x y e-'=的通解是 （ C ）A ．12x y eC -=+ B ．12x y e C =+C ．122x y e C -=-+ D ．12x y Ce -=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.设2,,xs f x xyz y⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f 具有一阶连续偏导数，求s x ∂∂，s y ∂∂，s z∂∂. 2. 设由方程22240x y z z +++=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
11-12高数文C2A卷参考答案
高等数学C2A 卷参考答案及评分标准2011~2012第二学期二、填空题（每空3分，共15分）11、4122<+<y x 。
12、41。
13、zy x zy x 322++--。
14、)3,2,1(--。
15、 ln2 。
三、解答题（共6题，每小题9分，总分54分）16、(1))3cos()3sin(y x x y x x z -+-=∂∂ , )3cos(3y x x yz --=∂∂； dy y x x dx y x x dx y x dz )3cos(3)3cos()3sin(---+-=（……5分）（2）)3sin(922y x x y z --=∂∂，)3sin(3)3cos(32y x x y x yx z -+--=∂∂∂（……4分）17、(1)方程为：12'-=y y ，满足初始条件：10==x y （……4分） （2）通解为：212+=xCe y ，特解为21212+=x e y （……5分） 18、解：令x t =，原式⎰=22dt te t（……3分）22222220+=-=⎰e dt e te t t （……6分）19、解：(1) 2=a 时，n n a a 111<+，而级数∑∞=01n n a 收敛，故级数∑∞=+-01)1(n n na 绝对收敛（……6分） (2) 5.0=a 时，0111lim ≠=++∞→n n a ，故此时级数∑∞=+-01)1(n n na 发散（……3分）20、解：(1) 2222)12()12(lim x x n x n n n n =-+-+∞→,当12<x 时，级数绝对收敛； 而当1±=x 时，级数均为∑∞=+1)12(n n 发散。
故收敛半径为1，收敛域为)1,1(-（……4分）(2))'1()'()'()12(2311211212x x xxxn n n n n n n-===+∑∑∑∞=+∞=+∞=故)1,1(,)1(3)12(224212-∈--=+∑∞=x x x x x n n n（……5分）21．解：⎰⎰+y ydx x y dy 110=⎰⎰+x x dy x y dx 2110（……3分）=241)(211032=-⎰dx x x （……6分）四、证明题（共2题，总分11分）22. 本题满分6分 证：)('222y x xf x z +=∂∂，)('222y x yf yz+=∂∂（……4分） 则0'2'2=-=∂∂-∂∂xyf xyf yzx x z y，得证（……2分） 23. 本题满分5分证：对左边，令2x t =，则⎰⎰⎰==22023)(21)(21)(a a a dx x xf dt t tf dx x f x （……5分）。
东北财经大学 高等数学2A 期末试卷 11-12学年 A卷
2011-2012学年第一学期期末试卷-A 卷高等数学A2一、填空题（共8道题，每题3分，共24分）1． 函数(),arcsin f x y y = 2． 2020ln(1)lim sin x x t dt x x →+=⎰3．积分1+∞⎰的敛散性为： 4． 22121(1)n n n n ∞=+=+∑ 5． 交换累次积分的次序：100(,)x dx f x y dy =⎰⎰6．函数ln(1)y x x =+在0x =处的Maclaurin 级数为7．微分方程0y y '-=的通解为8．已知函数2z x y =，则(1,1)|dz =二、 单项选择题（共8道题，每题2分，共16分。
）1．设函数()f x 在闭区间[0,2]上连续，若令变量2t x =，则定积分10(2)f x dx ⎰化为2112000011) () ) () ) 2() ) 2()22A f t dt B f t dt C f t dt D f t dt ⎰⎰⎰⎰ 2．设函数()f x 在(,)-∞+∞内为奇函数且可导，则下列函数中为奇函数的为A ） sin '()f xB ）0(sin )()x x f t dt ⎰ C ） 0sin ()x f t dt ⎰ D) 0(())x t f t dt +⎰ 3．对函数2(,)2f x y y xy =+，点M(0,0)A ） 不是驻点B ）是驻点却不是极值点C ） 是极大值点 D) 是极小值点4．函数(,)z f x y =在00(,)M x y 点偏导数存在，则在该点处A ） 二重极限存在B ）连续C ） 可微 D) 以上都不成立5．若级数1n n a∞=∑收敛，1n n b ∞=∑发散，则1n n n a b ∞=∑ A ） 收敛 B ）发散 C ） 条件收敛 D) 敛散性不定6．幂级数11n n x n∞=∑的收敛域为 ) (1,1) ) [1,1] ) [1,1) ) (1,1]A B C D ----7．微分方程20xdy ydx +=的通解是A ） y cx =B ）2y cx =C ） c y x = D) 2c y x= 8．微分方程0y y '+=满足初值条件0|3x y ==的特解为A ） 3x y e -=B ）3x y e =C ） 3x y e -=+ D) 3x y e =+三、 计算题：（共8道题，每题5分，共40分）1） 计算：120ln(1)x dx +⎰2） 已知函数()2,ln(),y f x y x x=+求(,)df x y3） 设(,)z f xy y =，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂2011-2012学年第一学期期末试卷-A 卷.4） 计算：2sin Dy I d y σ=⎰⎰，其中D由20,y x y x ==所围成的封闭区域5）计算：D I σ=，其中：22:{(,)|14}D x y x y ≤+≤6）判断级数1(1)ln(1n n ∞=-∑的敛散性 ，若收敛，问是绝对收敛还是条件收敛7） 求幂级数21121n n x n -∞=-∑的和函数，并求级数11(21)2n n n ∞=-∑的和8） 设可微函数()f x ,满足：2()22()x xf x x f t dt =++⎰，求()f x四、 概念题（每题6分，共6分） 已知函数()22222222ln(), 0,40, 0x y x y x y f x y x y ⎧+++≠⎪=⎨⎪+=⎩求2(,)(0,0)(,)x y f x y x y =∂∂∂2011-2012学年第一学期期末试卷-A 卷五、 应用题：（每题10分，共10分） 某企业生产某产品的产量3144(,)80Q x y x y =，其中x 为劳动力人数，y 为设备台数，该企业投入40万元生产该产品，设招聘一个劳动力需要600元，购买一台设备需要2000元，试求该企业最佳资金投入分配方案。
2012级郑州大学高等数学(下)(A)卷及其参考答案
2012~2013年第二学期《微积分》期末考试试卷（A 卷）及其参考答案（985）一、解答题（每题5分，共 301.设xyez arctan=，求dz2.求曲面22y x z +=在点()5,2,1处的切平面方程.3.设金属板上电压分布为22450y x V --=，问在点()2,1-处（1）沿哪个方向电压升高最快？速率是多少？（2）沿哪个方向电压降低最快？速率是多少？（3）沿哪个方向电压变化率为零？ 4.求二重积分dxdy xxD⎰⎰sin ，其中D 是由直线x y =和抛物线2x y =所围成的区域. 5.有某物质分布在圆锥螺线()π20,sin ,cos ≤≤===t t z t t y t t x 上，其分布密度为()z z y x =,,μ，求这种物质的总质量. .6.计算⎰Γ++xdz zdy ydx ，其中Γ为曲线()π20,sin ,cos ≤≤===t bt z t a y t a x上按t 1.()()ny mx y x nm++≈++1112.设 (),y x F ()1,0的某邻域内是否都存在唯一的函数()x y y =)00y =.3.求三重积分Ω由球面4222=++z y x 的上半球面与抛物面z y x 322=+围成的区域. 4.计算曲面积分()d S z y x⎰⎰∑++222，其中∑是球面z z y x 2222=++围成的区域5.计算()dydz x S⎰⎰+12，其中S 是由xoy 平面上的曲线x y =()10≤≤x 绕x 轴一周所得曲面的外侧.三、解答题（每题7分，共21分）1．已知制造商的生产函数（生产量）是()4143100,y x y x f =，其中x 表示劳动力数量，y 为资本数量（y 个单位资本）.每个劳动力与每单位资本的成本分别为150元及250元.该制造商的总预算是50000元.问他该如何分配这笔钱雇佣劳力与资本，以使生产量最大？ 2．积分⎰+-Ly x xdy ydx 22是否在任何区域内都与积分路径无关？求⎰+-=L yx xdyydx I 22，其中L 沿曲线x y cos =上从点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πA 到点⎪⎭⎫⎝⎛-0,2πB 的曲线段.3．（1）将()ππ≤≤-x x x 0632展成余弦级数； （2）求下面级数之和：()...1 (31)2112122+-+-+--n n（3四、（每题满分9分）设()t x u ,22222xu a t u ∂∂=∂∂（1）作代换，证明弦振动方程22222x u a t u ∂∂=∂∂可以化为 （2来.五、（每题满分10分）设V 为空间中的有界闭区域，其边界曲面S 为光滑曲面，{}γβαcos ,cos ,cos =为S 的单位外法线向量，()z y x u u ,,=在V 内有二阶连续偏导数，在V 上连续，并且满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u ① （1；（2）证明 dV z u y u x u dS n V S ⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂222； （3）若()z y x u u ,,=在S 上恒为零，证明()z y x u u ,,=在V 内也恒为零.答案 一1、解：xyxye y x y x y x y exz arctan 2222arctan 11+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂ xyxye y x x x x y e yz arctan 222arctan 111+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂所以 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=.22arctan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∂∂y x ydx xdy e x z xy2、【解】令()22,,y x z z y x F --=.则{}(){}(){}1,4,21,2,2,,||5,2,1`5,2,1--=--='''=y x F F F z y x .(.2--x ，即 0542=++--z y x3、【解】（1}y x 8,2-，(){}16,2|2,1-=-gradV ，所以沿{}16,2-=()26016222=+-；（2）沿=()26016222=-+；（3）沿与()|2,1-gradV 垂直的方向，即沿{}2,16±方向的电压变化率为零.4、解dy x x dx dxdy x x x x D⎰⎰⎰⎰=103sin sin ()⎰-=102sin dx x x x x ⎰=10sin xdx ⎰-10sin xdx x 1sin 1-=5、解：()()()1,cos sin ,sin cos ='+='-='t z t t t t y t t t t x ()()()dt t dt t z t y t x ds 22222+='+'+'=所以()()220220222212,,t d t dt t t ds z y x M ++=+==⎰⎰⎰Γππμ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=22423123123220232|ππt6、解：()()()[]dt b t a t a bt t a t a xdz zdy ydx ⎰⎰++-=++Γπ20.cos cos .sin .sin .2πa -=二、1、【证明】令()()()nmy x y x f ++=11,. 则()()()nm x y x m y x f ++='-11,1；()()()111,-++='n m y y x n y x f()y x f x ,'及()y x f y ,'在点()0,0处都是y x ,的二元连续函数，故()y x f ,在点()0,0处可微分，于是，当x 和y 都很小时，有()()()()y f x f f y x f y x 0,00,00,00,0'+'≈-++，即()()ny mx y x n m ++≈++111.2、【解】因为()x y x F x 2,='，()y y x F y 2,='是连续的，且在点()1,0处()0,≠'y x F y .所以在点()1,0的邻域内存在唯一的()x y y =，使得 ()()0,≡x y x F ，且()10=y ，表达式为y 邻域内不存在唯一的()x y y =，使得()()0,≡x y x F 3、z 得 Ω向xoy 面上的投影区域为 3:22≤+y x D xy .所以 ⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I 【柱面坐标】⎰⎰⎰-=2243203r r zdz dr r d πθ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-3432|32212r r z r π⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=304294dr r r r .41354423|0642ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=r r r【解法二】⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I 【切片法】()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≤++=222222242113z y x zy x dxdy zdzdxdy zdz().4134243||21421121322πππππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=⎰⎰z z z dz z z dz z 4、解】记22111:y x z --+=∑（上半球面），22211:y x z ---=∑（下半球面）.1∑和2∑向xoy 坐标面上的投影区域都是1:22≤+y x D xy .并且对1∑和2∑都有d x d yyx d x d y z z dS y x 2222111--='+'+=. 于是(x⎰⎰∑2==+=.8π5、.记S 与1S 1⎰⎰⎰Ω=dxdydz 2【切片法】⎰⎰⎰=xD dydz dx 21()ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰1022dx x .所以 ()()d y d z x d y d zx S S⎰⎰⎰⎰+-=+11212π. 又1:1=x S （前侧）向yoz 坐标面上的投影区域为1:22≤+z y D yz ，故()dydz x S ⎰⎰+112()π41121=+=⎰⎰dydz yz D .所以，().3412πππ-=-=+⎰⎰dydz x S【解法二】旋转曲面的方程为22:z y x S +=，其向yoz 坐标面上的投影区域为1:22≤+z y D yz .()()⎰⎰⎰⎰++-=+yzD Sdydz z ydydz x 221212dz dy yzD ⎰⎰-=2()dz dy z y yzD ⎰⎰+-222⎰⎰-=--=ππθπ2012222r d r r d 三、1、【解法一】这是一个条件极值问题.41y 与函数()y x y x f ln 41ln 4310ln 2,ln ++=()y x f ,ln 在条件050000250150=-+y x 下的极值.令 ()ln 1ln 310ln 2,,+++=y x y x L λ则由((⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=''',,L y x L y x L yxλ .50,250==y x 个，其余的钱用于资本，可使生产量最大.此时，(1671950,250≈f .【解法二】问题等价为求函数()y x f ,4在条件100053=+y x ①下的极值.()()[]y x x x y x y x f5 (105)110,8384⨯==【均值不等式】4845.1051⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⨯≤y x x x 48453.1051⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯=y x 【由①】 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=4841000.1051.10451204⨯⨯ 因此有()1617910451,54≈⨯⨯≤y x f . ② 由均值不等式中等号成立的条件知，②中等号成立的条件是 y x 5=. ③将③代入①解得 .50,250==y x所以，当50,250==y x 时，生产量最大，即应该雇佣劳动力250个，其余的钱用于资本，可使生产量最大.此时，()1671950,250=f . 2、【解】（一）显然2222y x y y yx xx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂()0,0O 外处成立.因此当区域D 不通过也不包围原点D 内与路径无关；而当区域D 通过或包围原点()0,0O . （二）因为含在某个不通过也不包围原点()0,0O 的区域D 内，故⎰改选取沿上半圆周2222:⎪⎭⎫ ⎝⎛=+'πy x L ()0≥y .⎰+Ly x 22⎰'+-=L y x x d y x 22⎰'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=L x d yy d x 22π ⎰'-=L x d y y d x 24π.又L '的参数方程为πππ~0:,s i n 2,c o s 2:t t y t x L ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=='.所以dt t t t t y x xdy ydx L⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-ππππππ222cos 2.cos 2sin 2.sin 24ππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰dt 02244. 3、【解】（1）对()()ππ≤≤-=x x x x f 0632进行偶延拓及周期延拓.,...)2,1(0==n b n ；()()()2023204326322|πππππππππ-=-=-==⎰⎰x x dx x x dx x f a ；()()⎰⎰-==πππππ02cos 632cos 2nxdx x x nxdx x f a n()()⎰-=πππ02sin 632nx d x x n ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎰πππππ002sin 66|sin 632nxdx x nx x x n ()()⎰-=πππ02cos 12nx d x n ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰ππππ002cos cos 12|nxdx nx x n212n=,...)2,1(=n所以，()ππ≤≤-x x x 0632的余弦级数为nx3，()π≤≤x 0. ① （2 )π- 即∑∞=-=-122112n nnπ()∑∞=---=121112n n n所以有()...1 (31)2112122+-+-+--n n ().1212121π=-=∑∞=-n n n （2）（3）从②式可见，第二问的结果可以用来求π的近似值.四【解】（1）因为ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u x u x u x u 1.1...；()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ηξηξηηξξu u a a ua u t u t u t u ..... 故有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂x u x u x u x u u u x u xx ηηξξηηηξξξηξ....22222222 222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=uu u . ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂t t u u a t uηξ22⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=t u t u a ηηξξξ..222 ()⎢⎣⎡ ⎝⎛∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂∂+∂∂=a u a u a u a ...2222ξηηξξ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂-∂∂=2222222ηηξξu u u a . ③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂2222222ηηξξu u u a . ④ ⑤（2 02=∂∂∂ηξu故得到()⎰⎰==∂∂∂=∂∂ξϕηηηξξd d uu 02. ⑥其中()ξϕ为任意函数。
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一、填空题（每小题3分，共15分）1、向量(4,3,4)a=-在向量(2,2,1)b=上的投影为________.2、函数xyz e=在点(2,1)处的全微分为________.3、若积分区域D为{}22(,)|14x y x y≤+≤，则二重积分(,)Df x y dσ⎰⎰化为极坐标形式的二次积分为。
4、设积分曲线L为圆周122=+yx，则曲线积分2(+)Lx x ds=⎰________.5、若级数1n∞=收敛，则p的取值范围是________.二、选择题（每小题3分，共15分）1、在曲线23,,x t y t z t==-=的所有切线中，与平面x+24y z+=平行的切线（）)A只有两条)B只有一条)C至少有3条)D不存在2、二次积分100(,)xdx f x y dy⎰⎰交换积分次序后为（）)A100(,)ydy f x y dx⎰⎰)B11(,)ydy f x y dx⎰⎰)C101(,)ydy f x y dx⎰⎰)D1100(,)dy f x y dx⎰⎰3、已知(32)(4)x ay dx x y dy+++为某一函数的全微分，则a=（）)A3)B1)C2)D44、设)(xf为周期为2π的函数，它在区间[)ππ-，上定义为,0()0,0x xf xxππ-≤<⎧=⎨≤<⎩，则)(xf的傅立叶级数在xπ=处收敛（）)A 0 )B32π )C 2π )D 2π- 5、方程///2322y y y x -+=的一个特解应具有形式（ ）)A 2ax ； )B 2ax bx c ++； )C )(2c bx ax x ++； )D )(22c bx ax x ++.三、（共21分）1、（7分）设()22,z f xy x y =，f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。
2、（7分）计算二重积分22()Dx y x dxdy +-⎰⎰，其中D 是由直线2,y y x ==及2y x =所围成的闭区域3、（7分）利用高斯公式计算曲面积分222xz dydz yx dzdx zy dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是柱体{}22=(,,)|4,03x y z x y z Ω+≤≤≤的整个边界曲面的外侧。
四、（共21分）1、（7分）利用格林公式计算()()x yLI e y dx e x dy =+-+⎰，其中L是在圆周y = 上由点(2,0)-到点(2,0)的上半圆弧。
2、（7分）求微分方程()0ln ln =-+dx x y xdy x 的通解。
3、（7分）设函数232u xy z xyz =+-，求 （1）u 在点(1,1,2)A 处的梯度；（2）u 在点(1,1,2)A 处沿着从点(1,1,2)A 到点(2,2,3)B 的方向的方向导数。
五、（共16分）1、（8分）求幂级数2121nn x n ∞=+∑的收敛域及和函数。
2、（8分）设曲面22z x y =+在点A 处的切平面平行于平面240x y z +-=，求该曲面在点A 处的切平面及法线的方程。
六、（共12分） 1、（6分）设常数0,λ> 若级数21n n a ∞=∑收敛，证明级数11nn ∞=∑（-收敛。
2、（6分）设函数2()ny z x f x =，f 可导.证明2.z zx y nz x y∂∂+=∂∂（答案要注明各个要点的评分标准）一、 填空题：（每小题3分，共15分）1. 2；2. 222e dx e dy +；3. 221(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰ ；4.π； 5. 43p > 。
二、选择题：（每小题3分，共15分）1).A 2).B 3).C 4).D 5).B三、（共21分）1、解22121222zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ -------------------------------------------2分 ()()221122222z yf y f xf xy f x y y y∂∂∂''''=+++∂∂∂∂ -----------------------------------4分()()222111122212222222yf y f xy f x xf xy f xy f x ''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅32231112221225222xy f x y f x yf yf xf ''''''''=++++。
-------------------------------7分2、解：222222()=()yy Dx y x dxdy dy x y x dx +-+-⎰⎰⎰⎰ -----------------------------------4分232193()248y y dy =-⎰13.6=- ---------------------------------------7分3．解：由高斯公式得222xz dydz yx dzdx zy dxdy ∑++⎰⎰=222()z x y dv Ω++⎰⎰⎰ 223220()d d z dz πθρρρ=+⎰⎰⎰ …………………………………4分2202(39)60d πρρρπ=+=⎰ …………………………………7分四、（共21分）1、解 设沿x 轴从(-2,0)到(2,0)的直线段为L 1，则L 1：y =0，x 从-2到2。
记L 与1L 所围成区域为D ,则由Green 公式知1()()(11)-x y L L De y dx e x dy dxdy π-++-+=--=⎰⎰⎰, --------------------------4分又122221()()x yx L e y dx e x dy e dx e e -+-+==-⎰⎰， -------------------------5分 故221+I e eπ=-。
-------------------------7分 2、解 原方程可化为xy x x y 1ln 1=+'------------------------------------2分 这是一阶非齐次线性微分方程,可用公式法。
设()()xx Q x x x P 1,ln 1== 原方程通解为()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P ---------------------------------4分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x e dx x x dx x x ln 1ln 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x 2ln 21ln 1- -----------------------------------7分 3、解（1）22(,,)(2,22,32)u u ugradu y yz xy xz z xy x y z∂∂∂==---∂∂∂ ----------------2分 (1,1,2)(3,2,10)gradu =--- ---------------- 3分（2） (1,1,1)l AB ==,cos cos cos 3αβγ===--------------------------5分(1,1,2)|3210u l ∂=--=-∂ -------------------------7分 五、（共16分）1、解：级数的收敛域为(1,1)-； 显然(0)0,s =对(1,0)(0,1),x ∀∈-⋃212011111()21x n n n n s x x x dx x n x ∞∞+====+∑∑⎰ ………………………………………3分2011x nn x dx x ∞==∑⎰ ………………………………………5分 220111(ln )1121x x x dx x x x x+==---⎰ ………………………………………8分2、解、解: 设22(,,)F x y z x y z =+- -------------------------------1分则2,2,1F F Fx y x y z∂∂∂===-∂∂∂ ------------------------------4分 则曲面在点000,,)A x y z （处切平面法向量为00(2,2,1)n x y =- -----------------------------6分因240x y z +-=的法向量为 (2,4,1)- ， 故0000022,24,1, 2.x y x y ====即此时z =5。
切平面方程为：2(1)4(2)(5)0x y z -+---=整理得 2450x y z +--= -----------------------------7分法线方程为125241x y z ---==- ------------------------------8分 六、（共12分）1、证明：证明：设11nn U ∞==∑（-则22211(),2nn a U a n n=<≤+ --------------------2分 由级数21n n a ∞=∑收敛且211n n ∞=∑收敛，知原级数绝对收敛，故原级数收敛。
--------------------5分（ 2、证明：'+'=∂∂2122yf xf x z ，'+'-=∂∂2122xf yf yz ----------2分 "+"+"+'=∂∂222211121224842f y xyf f x f xz --------------------3分 "+"-"+'-=∂∂222121121224842f x xyf f y f yz --------------------4分所以，"-"+"+"+=∂∂+∂∂1221221122222288))(44(xyf xyf f f y x yz x z -------5分因为函数f 二阶偏导连续，故"="1221f f 又已知条件02211="+"f f ，所以02222=∂∂+∂∂yzx z ，结论得证。
--------------6分。