修形渐开线直齿轮的啮合冲击研究

修形渐开线直齿轮的啮合冲击研究
姚文席
(北京机械工业学院 机械工程系 , 北京 100085)
摘 要 :由于存在修形原理误差 、齿轮加工误差以及载荷工况的变化 ,渐开 线修形齿轮在使用中仍会有啮合冲击现象 。运用解析的方法求得啮入冲击和啮出冲 击作用的时间以及在这一时间内啮入齿对和啮出齿对的啮合力 ,啮合冲量就是啮合 力在这一作用时间内的积分 。啮合冲量是上述诸因素的函数 。
t2′cos ( t2′- θ2′- φ4) ] -
( rb1 + rb2) tan α0
(6)
齿廓 ①, ②的刚度 K 是啮合点位置的函数[7 ,8 ] , 也可以表为时间 T 的函数[9 ] 。在啮合力
Pn 的作用下 ,齿廓 ①, ②的压缩变形 (规定为正值) S 1 ( T)
=
Pn K1 ( T)
, S2 ( T)
=
Pn 。它们
K2 ( T)
有使角 φ1 变小 ,φ3 变大以及 φ2 ,φ4 都变大的趋势 。
齿轮的加工误差也可以影响角 φ3 ,φ4 的值 。设基节偏差为 ±f pb , 齿形公差为 f f , 则经概
率合成 ,基节差的实际计算值为δtj
=
±[
f
2 pb
+
1 4
f
2 f
]1/
2
由于 B 点为公共点 ,所以有
x
③ 2
=
x
④ 2
y
③ 2
=
y2④
(8)
将式 (8) 两端平方并相加 ,可解出
t
2 1
=
1 r2b1
{
rb2′2 (1
+
t22′) -
r2b1
+
( rb1
+
rb2) 2sec2α0 -
2(
rb1 + rb2) cos α0
rb2′[ co s
( t2′-
θ2′- φ4 +α0) + t2′sin ( t2′- θ2′- φ4 +α0) ]}
时间为
TZ =
2π Z1ω1
,
则当把时间
t 的起点定在齿廓 ③, ④
的理论啮入时刻时 , T0 < T Z ,Δ T = T Z - T0 。
图 2 中 O1 X2 Y2 , O2 X4 Y4 为静坐标系 , O1 X1 Y1
为随同齿轮 1 回转的动坐标系 , O2 X3 Y3 为随同齿轮 2
回转的动坐标系 。齿廓 ③的未修形部分在动坐标系
图 2 啮入初始状态简图
O1 X1
Y1 中的方程为
x
③ 1
=
y1③ =
rb1 (cos t1 + t1sin rb1 ( sin t1 - t1cos
t1) t1)
(3)
在静坐标系 O1 X2 Y 2 中 ,其方程为
x
③ 2
=
rb1 [cos
( t1
-
φ3)
+
t 1 si n
( t1 -
φ3)
, 而齿廓
③的刚度为
K1 (
T3
Δφ + ω1 -
T Z) 。此处忽略了齿廓修形对齿廓刚度的
影响 。
设齿廓 ①, ②之间的啮合力在超过 P 3 之后又增加了Δ P , 而齿廓 ①, ②在Δ P 的作用下 ,
变形量为Δ1 ,Δ2 。则Δ P = K1 ( T 3 )Δ1 = K2 ( T 3 )Δ2 。设在公法线 M - M 方向上 , 齿廓 ③, ④ 的变形量为 Δ3 ,Δ4 , 啮合力为 PM , 则 PM 在啮合线 N - N 方向的分量定义为啮入力 PnI = PM co s Δφ。
可求得 。
在啮合线 N - N 方向上 ,齿廓 ①的刚度为 K1 ( T 3 ) , 齿廓 ②的刚度为 K2 ( T 3 ) 。在法线
Q - Q 方向上 , 齿廓 ④的刚度为 K2 ( T 3 + T Z) 。在法线 M - M 方向上 , 齿廓 ④的刚度为
K2 ( T 3 + T Z) co s Δγ
啮入力 PnI在时间间隔Δ T 内的积分 。
设想在时刻 T 3 , 0 < T Z - T 3 <Δ T ,
齿对 ③, ④之间开始接触但尚未产生啮入
力时 ,齿对 ①, ②之间的啮合力为 P 3 。但
是齿轮的实际载荷为 Pn , 因此在Δ P = Pn
- P 3 之下 , 齿对 ③, ④之间产生了啮入力
关 键 词 :渐开线直齿轮 ;齿廓修形 ;啮合冲击 中图分类号 : TH 132. 413 ; TH 113. 1 文献标识码 :A
渐开线直齿轮的啮合冲击是影响其使用性能的重要因素 。文献[ 1 ,2 ]已给出了非修形渐 开线直齿轮啮合冲量及啮合冲击响应的计算方法 。减小齿轮啮合冲击的有效措施是齿廓修 形 。但这并不能完全消除啮合冲击 ,特别是在欠载运行时 ,还会出现脱啮现象[3 ] 。产生这一 问题的原因是 :1) 修形齿廓曲线有原理误差 ;2) 齿轮有各种制造误差 ;3) 载荷工况的变化 。对 于某一对啮合齿副来说 ,可能产生如下几种啮合状态 :1) 产生啮入冲击和啮出冲击 ;2) 啮入啮 出的瞬时重合度变小但仍大于 1 ;3) 虽然一般情况下重合度大于 1 ,但啮入啮出的瞬时重合度 小于 1 ,产生脱啮冲击 。本文将对上述问题进行定量的描述 ,这对正确的使用修形齿轮以及探 寻新的对策可以提供参考 。
O2 X′3 过修形渐开线的起始点 。修形渐开线的齿廓方程为
收稿日期 :1999 - 12 - 21 作者简介 :姚文席 (1946 - ) ,男 ,山东济南人 ,北京机械工业学院机械工程系教授 ,博士 ,主要从事机械传动和振动的研究 。
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]
y2③ = rb1 [ sin ( t1 - φ3) - t1cos ( t1 - φ3) ]
(4)
齿廓 ④的修形部分在动坐标系 O2 X3 Y3 中的方程为
x
④ 3
=
rb2′[ co s
( t2′- θ2′) +
t 2′si n
(
t2′- θ2′) ]
y
④ 3
=
rb2′[ sin
( t2′- θ2′) -
由力的平衡和变形谐调条件可得如下方程组 :
K1 ( T 3 )Δ1 = K2 ( T 3 )Δ2
K1 (
T3
Δφ + ω1 -
T Z)Δ3 =
K2
( T3 + T co s Δγ
Z)Δ4
Δ1 +Δ2 = (Δ3 +Δ4) cosΔφ
(10)
K1 (
T3
Δφ + ω1 -
T Z)Δ3cosΔφ+ K1 ( T 3 )Δ1 = Pn -
压缩变形之和 ,则修形渐开线分度圆上的压力角为 ,
α0 m =α0 +
(
Δ Kn
, 修形渐开线
r2a - r2b - r2i - r2b) tan α0
的基圆半径为
rb′=
cos α0 m cos α0
rb 。其中
ra ,
rb 为原渐开
图 1 长修形渐开线齿廓
线齿轮的外圆半径和基圆半径 ,α0 为原齿轮的分度圆上的压力角 。在坐标系 O2 X′3 Y′3 中 ,
TZ
PnId t
T0
参考文献 :
-1
(11)
(12)
[ 1 ] 姚文席 ,魏任之. 渐开线直齿轮的啮合冲击研究[J ] . 振动与冲击 ,1990 , (4) :57～61.
的啮出段 ,其情况与啮入段相反 。
2 渐开线修形齿轮的啮入 (或啮出) 冲击
当齿轮过载运行或齿轮的加工精度较低时 , 都会产生啮入冲击和啮出冲击 。这两种冲击
所产生的啮合冲量大致相同 ,以下以啮入冲击为例进行分析 。
2. 1 被动齿廓在啮合线提前啮入的时间间隔Δ T
图 2 中齿轮 1 为主动轮 , 齿轮 2 为被动轮 , 假定它
第 2 期 姚文席 :修形渐开线直齿轮的啮合冲击研究 3
x
④ 2
=
-
rb2′[cos ( t2′- θ2′- φ4) + t2′sin ( t2′- θ2′- φ4) ] + rb1 + rb2
y
④ 2
=
-
rb2′[ sin ( t2′- θ2′- φ4) -
1 渐开线直齿轮的齿廓修形[4～6 ]
齿廓修形方案有多种 ,图 1中 ,实线所示为原齿轮
的渐开线齿廓 ,虚线所示为一修形渐开线并用其上部
B 1 B 段作为齿轮的修形齿廓 ,这是一种长修形方案 。
修形起始点的半径 ri 就是齿廓上单齿啮合区与 双齿啮合区的界限点所在的半径 。设Δ Kn 为这一界 限点处主动齿轮齿廓和被动齿轮齿廓在额定载荷下的
(9)
由于
B
点在齿轮 2 的外圆上 ,由式 (5) 解得
t 2′=
1 rb2′
r2a2
-
rb2′2 。将其与式 (7) ,式 (9)
及式 (8) 中的任一式联合求解 , 就可以求得
啮入时刻 T0 ,并得到提前啮入的时间间隔 ΔT。
2. 2 啮合冲量 ^F1 的计算
所谓啮合冲量是指齿廓 ③, ④之间的
2 北京机械工业学院学报 第 15 卷
x 3′= rb′(cos t2′+ t2′sin t2′)
y3′= rb′( sin t2′- t2′cos t2′)