4用向量讨论平行与垂直
用向量讨论平行与垂直
第二章《空间向量与立体几何》 §4 用向量讨论垂直与平行
石泉中学：张艳琴
知识回顾
1、夹角的计算：线线夹角，面面夹角，线面夹角。
2、如何用向量法解决我们所熟悉的平行、垂直 问题呢？
点拨精讲
l1 l1
l2
l2
l 1//l 2
l
l 1l 2
l
l //
l
//
学习目标
【课标要求】 1． 会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、 平面间 的平行、垂直等位置关系． 2．会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与 平行． 【核心扫描】 1．利用向量方法解决立体几何问题．(重点) 2．深刻理解用向量方法解决立体几何问题的思想方法．(难点) 3．利用等价转化思想解决立体几何问题．(方法)
自主学习
一、 线线关系:设直线 l1，l2 的方向向量分别为 s1 ＝(x1，y1，z1)，
s 2 ＝(x2，y2，z2)，则 l1∥l2⇔
l1⊥ l2⇔
⇔ ⇔
⇔
二、线面关系：设直线 l 的方向向量为 s ＝(x1，y1，z1)，平面 α 的法向量为 n ＝(x2，y2，z2)，则 l∥α⇔
题型二
用向量证明垂直问题
【例 2】 (12 分)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长 a 为 2a， 在侧棱 BB1 上取 BD＝2， 在侧棱 CC1 上取 CE＝a， 求证： 平面 ADE⊥平面 ACC1A1. 审题指导： 要证面面垂直， 可化为证明两个平面的法向量垂直． 【解题流程】 建系 → 相关点坐标 → 相关向量坐标 → 求平面 ADE，平面 ACC1A1 的法向量 n1，n2→ n1·n2＝0 → 结论
用向量的方法证明平行与垂直关系
用向量的方法证明平行与垂直关系平行与垂直是向量的重要性质，可以用向量的方法进行证明。
接下来，我将介绍如何用向量的方法证明平行和垂直关系，以及一些相关的性质和定理。
1.平行性质的证明：两个向量a和b平行的定义是它们的方向相同或相反，并且它们的长度可以不相等。
下面是两个向量平行的证明方法：方法一：向量比例法如果向量a和b平行，那么可以找到一个非零实数k，使得a=k*b。
可以通过比较向量的坐标分量来找到这个常数k。
如果两个向量平行，它们的对应坐标分量之间的比值应该相等。
举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,4,6)，我们可以通过将它们的相同位置的坐标分量相除来证明它们平行，如下所示：1/2=2/4=3/6=1/2这表明向量a和b的对应坐标分量比值相等，因此它们是平行的。
方法二：向量点乘法如果两个向量a和b平行，那么它们的点乘等于它们的长度之积。
即a·b=，a，*，b，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。
假设有向量a=(x1, y1, z1)和向量b=(x2, y2, z2)，那么它们的点乘为a·b = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2、另一方面，它们的长度之积为，a，*，b， = sqrt(x1^2 + y1^2 + z1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)。
如果将这两个等式相等，即a·b = ，a，*，b，那么可以得出向量a和b平行。
2.垂直性质的证明：两个向量a和b垂直的定义是它们的点乘为零，即a·b=0。
下面是两个向量垂直的证明方法：方法一：向量内积法两个向量a和b的点乘为a·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2、如果a·b=0，那么可以证明向量a和b垂直。
举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,-1,-2)，我们可以计算它们的点乘为：a·b=1*2+2*(-1)+3*(-2)=0因此，向量a和b垂直。
用向量研究平行和垂直关系
现
现实中的几何模型问题
实 生
欧氏几何中定理的证明
活
中
的
物
理
问
题
文化品读
立体几何 演绎体系
向量代数乃是空间结构的全面而且美妙的代 数，而空间的基本性质和基本定理的运用则转化 为其运算律的系统运用。这就是学习向量几何， 并用以探索大自然所要达到的境界！
——项武义
用向量研究平行关系与垂直关系
用向量研究
平行关系与垂直关系
用向量研究
平行关系与垂直关系
立体几何 演绎体系
用向量刻画两个基本图形及其基本位置关系（平行与垂直）
1. 如何用向量刻画空间中的一条直线？ 2. 如何用向量刻画空间中的一个平面？
用向量研究平行关系与垂直关系
用向量刻画两个基本图形及其基本位置关系（平行与垂直）
两条直线平行的充要条件是它们的方向向量互相平行. 两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量互相垂直. 一条直线与一个平面平行或一条直线在一个平面内的充要条件是这条直线的方向向量和 这个平面的法向量互相垂直. 一条直线与一个平面垂直的充要条件是这条直线的方向向量和这个平面的法向量互相平行. 两个平面平行的充要条件是它们的法向量互相平行. 两个平面互相垂直的充要条件是这两个平面的法向量互相垂直.
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直.
l
AB
注：这里 OA, OB,l 是空间 的一个基底。
思考&体会
向量法解决问题的程序？
用向量研究平行关系与垂直关系
向量运用——现实中的几何模型问题
问题2：初探一个结晶体模型
如图，一个结晶体的形状为平行六面体.
其中，以顶点 A为端点的三条棱长都为
高中数学-4-用向量讨论垂直与平行
(1)证明：设 E(0，a，z)， 则A→1E＝(－a，a，z－a)，B→D＝(－a，－a,0)， ∴A→1E·B→D＝a2－a2＋(z－a)×0＝0，
∴A→1E⊥B→D，即 A1E⊥BD．
(2)E 为 CC1 的中点．证明如下： 由 E 为 CC1 的中点得 E(0，a，a2)， 设 BD 的中点为 O，则 O(a2，a2，0)， O→E＝(－a2，a2，a2)，O→A1＝(a2，－a2，a)， B→D＝(－a，－a,0)，则O→E·B→D＝0，O→A1·B→D＝0.∴O→E⊥B→D，O→A1⊥B→D， ∴∠A1OE 为二面角 A1－BD－E 的平面角， 由O→A1·O→E＝0，则∠A1OE＝90°，∴平面 A1BD⊥平面 EBD．
＝(-a,a,-a)，∴n2＝1aB→1D＝(-1,1,-1)为面 A1BC1
的一个法向量．
(2)M 为 CD 中点，求面 AMD1 的一个法向量． 解：设 n＝(x0，y0，z0)为面 AMD1 的法向量， ∵A→M＝(a2，a,0)，A→D1＝(0，a，a)， ∴n·A→M＝x0，y0，z0·a2，a，0＝a2x0＋ay0＝0，
n·A→D1＝x0，y0，z0·0，a，a＝ay0＋az0＝0. 令 x0＝2，则 y0＝－1，z0＝1， ∴n＝(2，－1,1)为面 AMD1 的一个法向量．
求一个平面的法向量，主要有以下两种方法： 1．找该平面的垂线，以该垂线的方向向量为该平面的法向量． 2．对于一般位置状态的平面，采用以下步骤求法向量．
图 2－4－2 【思路探究】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直 的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平 面的法向量 n1，n2，证明 n1·n2＝0.
【自主解答】由题意得 AB,BC,B1B 两两垂直, AB＝BC＝2，BB1＝1， E 为 BB1 的中点．以 B 为原点，BA，BC，BB1 分别为 x，y，z 轴，
用向量方法证明平行与垂直
用向量方法证明平行与垂直要证明两个向量是平行的，我们需要证明它们的方向相同或相反。
而要证明两个向量是垂直的，我们需要证明它们的内积为零。
首先，我们考虑平行向量的证明。
设有两个向量u和v，我们可以将它们表示为：u = (u1, u2, ..., un)v = (v1, v2, ..., vn)其中n代表向量的维度。
如果u和v是平行的，那么它们的方向相同或相反，可以用以下方式进行证明：1.方向相同：我们可以证明向量u和v的比例关系。
即对于任意的i，我们有：ui/vi = u1/v1 = u2/v2 = ... = un/vn如果我们找到一个非零常数k，使得：ui = k * vi，则u和v是平行的。
2.方向相反：我们可以找到一个常数k，使得：ui = -k * vi，则u和v的方向相反，它们也是平行的。
下面我们来看一个具体的例子。
例1：证明(1,2,3)和(2,4,6)是平行的。
解：我们可以计算向量的比例：(1/2)=(2/4)=(3/6)=1/2这意味着我们可以找到一个非零常数k=1/2，使得：(1,2,3)=(1/2)*(2,4,6)因此，向量(1,2,3)和(2,4,6)是平行的。
接下来，我们考虑垂直向量的证明。
设有向量u和v，我们可以将它们表示为：u = (u1, u2, ..., un)v = (v1, v2, ..., vn)如果u和v垂直，那么它们的内积为零，可以用以下方式进行证明：u·v=0我们可以将内积展开为标量乘积的形式：u · v = u1 * v1 + u2 * v2 + ... + un * vn = 0这意味着对于任意的i，我们有：ui * vi = -u1 * v1 - u2 * v2 - ... - un * vn如果我们能找到满足上述等式的向量u和v，则u和v是垂直的。
下面我们来看一个具体的例子。
例2：证明(1,2,3)和(-1,2,-1)是垂直的。
§4用向量讨论垂直与平行 (1)
用空间向量证明立体几何中的垂直
1.证明线面垂直：
（1）求出这条直线 的方向向量和平面 的法向量，证明这 两个向量平行（2） 在平面内任找两个 不共线的向量与这 条直线的方向向量 垂直。
2.证明面面垂直：
（1）分别求出这两 个平面的法向量， 证明这两个向量垂 直； （2）先用向量证明 线面垂直，再证明 面面垂直。
8
作业
1.学案1、2、3、4、5； 2、用向量语言表述平行 与垂直的八个定理。
9
（1）线面垂直判定定理 （2）面面平行判定定理 （3）三垂线定理
4
三、拓展运用
Z
E
F X
Y
5
四、学习总结6源自 用空间向量证明立体几何中的平行1.证明线面平行： 求出这条直线的 方向向量和平面 的法向量，证明 这两个向量垂直。 2.证明面面平行： （1）分别求出这两 个平面的法向量 ，证明这两个向 量平行； （2）先用向量证明 线面平行，再证 明面面平行。
学习目标
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直 、平行关系。 2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一 些定理。 3.体会学习的快乐。
2.4用向量讨论垂直与平行
雪枫中学 李静
一、温故探新
1.什么是直线的方向向量？
2什么是平面的法向量？ 回顾向量知识，完成学案
3
二、合作学习
用空间向量证明
§4用向量计议垂直于平行
l2 的位置关系（ ）
A 平行 B 相交 C 垂直 D 不能确定
2、若两平面1 、2 的法向量分别为 n1 1, 0, 2、 n2 1, 0, 2，则两条直线 l1 、
1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2.4 用向量讨论平行与垂直
▲重点：用向量方法证明立体几何的垂直与平行问题
▲难点：空间直角坐标系的正确建立，用向量语言证明立体几何中的垂直与平行问题
※高考预测※
本节内容在高考中常以客观题，解答题的形式出现，考察利用向量证明线面平行与垂直问题，难度不是很大.
※自主学习※
预习课本P40－P41 ,完成下列问题：
1直线、平面间的平行与垂直
设空间中两条直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量为 ，则
平行
垂直
2线面垂直的判定定理
若一条直线垂直于一个平面内的，则该直线与此平面垂直.
3面面平行的判定定理
若一个平面内有两条相交直线都于另一个平面，则这两个平面平行.
4三垂线定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的，则这两条直线垂直.
5面面垂直的判定定理
若一个平面经过另一个平面的，则这两个平面垂直.
想一想：（1）如何利用向量知识判断线线平行、线面平行和面面平行？
（2）如何利用向量知识判断线线垂直、线面垂直和面面垂直？
※存在问题※
※合作探究※
例1已知 ，求
（1）直线 的一个方向向量；（2）平面 的一个法向量
例2（1）设 分别是平面 的法向量，判断 的位置关系：
高二数学导学案
班级姓名小组时间
标题
§2.4用向量讨论垂直与平行
主备课人
备课成员
ห้องสมุดไป่ตู้※学习目标※
▲知识与技能
掌握用向量法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题
▲过程与方法
通过对定理的证明，认识到向量方法是解决立体几何问题的基本方法
▲情感、态度与价值观
用向量方法证明必修2中某些立体几何定理，形成用多元思维的观点看待立体几何问题的观点
2.4用向量讨论垂直与平行
z1＝1x1， －2x1＋4z1＝0， n1· AM ＝0， 2 则 即 即 2x1＋2y1＝0， MN ＝0， n1· y1＝－x1.
1 令 x1＝1，则 n1＝ 1，－1，2 .
1 ①n1＝(1，－1,2)，n2＝(3,2，－ )； 2 ②n1＝(0,3,0)，n2＝(0,－5,0)； ③n1＝(2,－3,4)，n2＝(4,－2,1)．
(3)设n是平面π的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判
断π和l的位置关系：
①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；
数量积为 0 即可．
[解析]如图，建立空间直角坐标系， 不妨假设正方体的棱长为 2， 则 A(2,0,0) ， P(0,0,1) ， C(0 ， 2,0) ， B1(2,2,2)，O(1,1,0)． 于是 OB1 ＝(1,1,2)， AC ＝ ( － 2,2,0) ， AP ＝ (－ 2,0,1) ．由于 OB1 · AC ＝－ 2 ＋2＝0， OB1 · AP ＝－2＋2＝0. 所以 OB1⊥AC，OB1⊥AP. 又 AC⊥面 PAC，AP⊥面 PAC，且 AC∩AP＝A， 所以 OB1⊥平面 PAC.
平面 EFBD，AG
平面 EFBD.
∴MN∥平面 EFBD，AG∥平面 EFBD. 又 MN∩AG＝G， ∴平面 AMN∥平面 EFBD.
法二：由法一得 AM ＝(－2,0,4)， MN ＝(2,2,0)， DE ＝ (0,2,4)， EF ＝(2,2,0)．
面 PAB.
法二：因为 O、D 分别是 AC、PC 的中点，
数学第二章4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)
ED→′ ＝ (0， 0， 1)－(1， 0，1)＝ (－ 1， 0，1)．
2
2
∵B→F ＝ED→′ ，
∴B→F ∥ED→′ .
又直线 BF 与 ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
法二：B→F＝B→C＋C→F＝B→C＋1C→ C′ 2
＝A→D＋1DD→′， 2
ED→′ ＝EA→′ ＋A→′D′＝1AA→′ ＋A→D 2
线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1m1＋b1n1 ＋c1p1＝0； 面面平行 u∥α∥v β⇔_________⇔u＝kv⇔(m1， n1 ， p1) ＝ k(m2 ， n2 ， p2) ⇔ m1 ＝ km2 ， n1 ＝ kn2,p1＝kp2.
(2)线线垂直 l⊥m⇔a·ba＝⊥0b⇔_________⇔a1a2
y1＝－ x1.
令
x1＝ 1，则
n1＝
(1，－
1，1)． 2
设平面 BDEF 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··ED→→FE＝＝
0，即2x2＋ 0， 2y2＋
24yz22＝＝00，，即xz22＝＝－－12yy2，2，
＝A→D＋1DD→′， 2
∴B→F ＝ED→′ ，B→F ∥ED→′ .
又直线 BF 与 ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
【名师点评】 当两条直线的方向向量平行 时，依据图形说明一个向量所在直线上的点 不在另一个向量所在直线上，从而得到空间 两条直线平行．
变式训练 1.已知三棱锥O－ABC中，OA＝1，OB＝1，OC ＝2，OA、OB、OC两两互相垂直，如何找出 一点D，使得BD∥AC，DC∥AB?
2.已知a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量,
且a＝λb(λ≠0)，b·c＝0，则a与c的位置关系是
4 用向量讨论垂直与平行 课件
（2）垂直关系
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ，
平面 ，
线线垂直 线面垂直 面面垂直
的法向量分 别为 u，v
l m a b a b 0点击
l
au// uvau
u 点击
v 0
点击
例1（线面垂直判定定理）若一条直线垂直于一个平面内的 两条相交直线，则该直线与此平面垂直.
证明：如图，b, c是平面内的两条相交直线， 直线a满足a b,a c,设p是平面内的任意 一条直线，则只需证a p. 设a,b,c, p的方向向量分别是a,b,c, p,只需证a p.
B'
C'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'
A'C AB ',求证：BC ' AB '
设底面边长为2,高为h, 坐标法
如图建立空间直角坐标系.
C
B
A
A( 3,0,0), B(0,1,0),C(0,1,0).
A'( 3,0, h), B'(0,1, h),C'(0,1, h).
AB ' ( 3,1, h), A'C ( 3, 1, h), BC ' (0, 2, h)
例1: 如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
MN分别在其对角线BF上,
FM
B
C
且FM AN.求证：MN // 平面EBC
N
A
D
例2.在正方形ABCD - A1B1C1D1中, 求证 : 平面A1BD // 平面CB1D1
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大版高中数学选修2-1精品课件
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b(6,3,6) 平行或重合
(2)a (1,2,2),b(2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b(0,0,3)
平行或重合
巩固性训练2
1.设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) (2)u (1,2,2),v (2,4,4)
；
解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
中，E、F分别是BB1,，
l
a
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) la//u au
l
u
a
C
A
B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3）u v u v0
平行或重合
巩固性训练2
1.设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m 是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
问 题 ： 如 何 求 平 面 的 法 向 量 ？
(1)设出平面的法向量n为 (x, y, z)
(2)找出（求出）平 两面 个内 不的 共线的 向量的坐 a标 (a1,b1,c1),b(a2,b2,c2) (3)根据法向量的定关义于 x建 , y,立 z的 方程组 n•a0
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
线面平行l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
4.用向量讨论垂直和平行问题
练习：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直.
（一）用向量处理平行问题
例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M E
B
C
N 且FM AN .求证：MN // 平面EBC A 证明 : 在正方形ABCD与ABEF中, D BE AB, FM AN , , FB AC 存在实数, 使FM FB, AN AC. MN MF FA AN BF EB AC ( BE BA AB AD) EB ( BE AD) EB ( BE BC ) BE ( 1) BE BC.
作业：1. 如图, 直三棱柱ABC A1 B1C1中, ACB 90 ,
0
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD 平面BDM
A Z
A1
D
B X
A1B, DM 为平面BDM内的两条相交直线, CD 平面BDM .
两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD 平面BDM
A
A1
解:
如图,以C为原点建立空间直角坐标系. B( 2 ,0,0), B1 ( 2,1,0), A1 (0,1,1),
D
C
C1
M Y
B1
2 1 1 2 B D( , , ), M ( ,1,0), 2 2 2 2 X 2 1 1 1 1 CD ( , , ), A1 B ( 2, 1, 1)， (0, , ), DM 2 2 2 2 2
用向量讨论垂直于平行
用向量讨论垂直于平行部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑设计人：雷义平教师寄语：不要等待机会，而要创造机会。
时间---------------- 班级---------- 学生姓名-------- -----------§2-4《用向量讨论平行与垂直》问题导读---评价单学习目标：1．理解用向量方法解决立体几何问题的思想。
2．掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题。
学习重难点：1、空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示2、用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题.学习过程：一、阅读文本，解决以下问题。
1.怎样确定直线的方向向量？2.怎样确定平面的法向量？3.如何利用向量知识判断直线与平面间的平行或垂直问题？4.用向量语言表述线与面之间的平行与垂直关系. 设空间直线、的方向向量分别为、，平面的法向量分别为、，则：b5E2RGbCAP①线线平行：或与重合即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
②线线垂直：即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
③线面平行：且在平面外即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外。
④面面平行：或与重合即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
⑤线面垂直：即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。
⑥面面垂直： 5. 求平面法向量的方法步骤：p1EanqFDPw6. 三垂线定理：二．我的疑惑：问题解决---评价单1、平面α的一个法向量为(1,2,0>，平面β的一个法向量为(2，－1,0>，则平面α与平面β的关系是( >DXDiTa9E3dA．平行 B．相交但不垂直C．相交且垂直 D．无法判定2、在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是( >A．平行 B．相交C．在平面内 D．不能确定3、已知一平面的法向量为(1,2，－1>，则与此平面垂直的向量可以是( >A．(2,4，－2> B．(1，－1，－1>C．(0,1,2> D．(1,0，－1>4、在正方体AC1中，O1为B1D1的中点，求证：BO1∥平面ACD1.问题拓展---评价单1 如下图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.RTCrpUDGiT2 ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D 是侧棱CC1的中点．求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
用向量讨论垂直与平行
第四节 用向量讨论垂直与平行一、教学目标1、知识与技能：掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题。
2、过程与方法：通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法。
3、情感、态度与价值观：用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力。
二、教材分析本节所涉及到的定理，学生都已经学习过，这里主要是要让学生体会用向量方法解决几何问题的过程。
本节没有给出必修中线面关系的所有定理，只选取部分，目的是留给学生自学的机会。
例1（线面平行判定定理）使学生认识到直线的方向向量决定直线的方向，并为建立空间直角坐标系打下基础。
例2（面面平行判定定理）使学生认识到平面法向量决定平面位置的确定。
虽然平面的法向量有无数个，但是他们都是共线的。
三、重点和难点重点：用向量的方法证明立体几何的垂直与平行问题； 难点：用向量语言证明立体几何中的垂直与平行问题。
四、教具准备：直尺、粉笔、黑板 五、课时安排：1课时 六、教学过程《一》直接引入向量是研究立体几何的基本工具，从本节开始，我们将用向量研究立体几何的一些问题。
《二》推进新课例1、证明线面垂直判定定理（转化为证明直线的方向向量垂直） 已知：如图，c b ,是平面π内的两条相交直线，直线a 满足b a ⊥，c a ⊥ 求证：π⊥a证明：设直线p 是平面π设直线a,b,c,p 的方向向量分别是p c b a,,,只需证p a⊥c a b a c a b a ⊥⊥∴⊥⊥,, 0,0=∙=∙∴c a b a直线b ，c 相交 ∴b 与c不共线又 因为直线b ，c ，p 在同一平面π内∴存在实数μλ,，使得： c b pμλ+=∴ 0=∙p a ，即p a ⊥∴直线a 垂直于平面π)()(c a b a p a ∙+∙=∙∴μλ例2已知：如图，a 与b 是平面1π内两条相交直线 平面2π满足2||πa ，2||πb 求证：21||ππ证明：设直线a ，b 的方向向量分别为b a,平面21,ππ的法向量分别为21,n n ，只要证21||n n22||,||ππb a 22||,||ππb a∴ b n a n ⊥⊥∴22,又 a 与b 是平面1π内的相交直线 ∴2n也是1π的方向量 ∴21||n n∴21||ππ《三》思考交流 求证：（面面垂直判定定理）若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
§4 用向量讨论垂直与平行
nav则,,
v b
与
平面α共面,一条直线l的
l
// 或l在内
存在两个实数x,
y, 使n
xa
yb
3.面面平行
两个不共线的向量
a,
v b 与平面α共面,则
// 或与重合 a//
且b//
mn
av v b
nv
l
av
v b
例3.（面面平行判定定理）若一个平面内有两条相交直线都平
行于另一个平面, 则这两个平面平行.
a // , b //
nv2
av
//
,
v b
//
nv2
nv2
av,
nv2
v b
aI b P
nnvv12
nv1 // nv2 //
练习3.如图所示,
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,
设
uuuv AB
av,
uuuv AC
v b,
uAuAuuuAuMuv1uvcvk, 在uAuCu面uv1,对uBu角Nuv线 AkCuBu1Cu上v(0和棱kBC1上). 分别取点AM1 、N, 使
D1B1的中点.求证EF⊥平面B1AC.
z
证法2: 如图建立空间直角坐标系D-xyz,
D1
F
C1
u设uBuv正1(2方,2体,2)的, E棱(2长,u2u,为u1v),2F，则(1,A1(,22),0 ,u0u)uv, C(0,2,0）A1
B1
EF (1, 1,1), AC (2, 2, 0), AB1 (0, 2, 2)
B
EF // B1D1
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AC EF
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4、用向量讨论垂直与平行
一、课前复习：
1.空间向量有关概念：自由向量：
向量间夹角：
向量的平行与垂直：
2.直线的方向向量：
3.平面的法向量：
4.空间向量的运算：
5.空间向量正交分解与坐标表示：
6.空间向量基本定理：
7. 空间向量运算的坐标表示
二、新知探究用向量讨论垂直与平行
1.空间中的三种平行问题
2.空间中的三种垂直关系
讨论交流（乐于分享善于沟通）
1、讨论目标：
抛物线的要素及标准方程；
2、讨论方法：
分组讨论。
3、讨论的重点：
合作探究2、3；
4、讨论要求：
（1）、结对子，“兵教兵”；和谐互助，共同进步。
（2）、集体讨论，解决疑难，整合智慧；做好勾画总结本组好的解题方法和思路，为质疑做好准备。
让生命在自由的空气中快乐地成长！
让生命在积极的探索中得到提升！
三、典例精析
例1已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,M,N 分别是BC,AE,CD 1的中点,AD=AA 1=a,AB=2a.求证:MN ∥平面ADD 1A 1.
变式1若两个不同平面α,β的法向量分别为u =(1,2,-1),v =(-3,-6,3),则 ( ) A.α∥β B.α⊥β C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确 我学到了：
例2如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，
124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． 证明：1AC ⊥平面BED ；
变式2若直线l ⊥平面α,直线l 的方向向量为s ,平面α的法向量为n ,则下列结论正确的是 ( )
A.s =(1,0,1),n =(1,0,-1)
B.s =(1,1,1),n =(1,1,-2)
C.s =(2,1,1),n =(-4,-2,-2)
D.s =(1,3,1),n =(2,0,-1) 我学到了：
A B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
例3、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
(1)证明P A∥平面EDB；
(2)证明PB⊥平面EFD．
变式3如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别是棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G.求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.
例4如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
变式4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱DD1上是否存在点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论．
四、总结与复习：
这节课我学到了什么：
五、课后练习：
1.若空间中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的关系为()
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.无法确定
2.已知平面α的一个法向量是n=(1,1,1),A(2,3,1),B(1,3,2),则直线AB与平面α的关系是()
A.AB∥α
B.AB⊥α
C.AB⊈α
D.AB∥α或ABα
3.已知平面α的法向量是(2,3,-1),平面β的法向量是(4,λ,-2),若α∥β,则λ的值是()
A.-10
3B.6 C.-6 D.10
3
4.若向量m同时垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R,λ,μ≠0),则
()
A.m∥n
B.m⊥n
C.m与n既不平行也不垂直
D.以上三种情况均有可能
5.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则()
A.α∥β
B.α⊥β
C.α与β相交不垂直
D.以上都不对。