广东省实验中学高三数学9月月考试题文

2016-2017学年高三级9月月考试题文科数学本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。

1已知集合U={1,2,3,4,5,6}，A={2,3,5}，B={1,3,4,6}，则集合A ⋂C U B=（ ） A ．{3} B ．{2,5} C ．{1,4,6} D ．{2,3,5} 2．已知i 为虚数单位，若复数（1+ai ）（2+i ）是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．2 B ． C ．D ．﹣23．在等差数列{a n }中，a 7=8，前7项和S 7=42，则其公差是（ ） A ．31-B ．32-C ．31 D ．324．某办公室刚装修一新，放些植物花草可以清除异味，公司提供绿萝、文竹、碧玉、芦荟4种植物供员工选择，每个员工只能任意选择1种，则员工甲和乙选择的植物不同的概率为（ ） A ．167B ．169C ．43D ．1613 5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直．l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为（ ） A ．18 B ．24 C ．36D ．486．执行右边的程序框图，若输入a =1,b =1,c =-1，则输出的结果满足（ ） A ．01,1e f <<>B ．10,12e f -<<<<C ．21,01e f -<<-<<D ．无解7．已知)40πα，（∈,10<<m , αααcos sin ,,sin 1log m c m b a m ===，则（ ） A ．b a c >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．a c b >>8．函数y =tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |在区间），（232ππ内的图象是( )A ．B ．C ．D ．9．点O 为△ABC 内一点，且满足04=++OC OB OA ，设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2，则21S S =（ ） A ．81 B ．61 C ．41 D ．21 10．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．811．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线y 2=2px （p >0）的交点为：A 、B ，A 、B 连线经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．12+12．已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 二、填空题13．已知(1,3)a =-r ，(1,)b t =r ，若(2)a b a -⊥r r r ，则||b =r.14．等比数列{}n a 的各项均为正数，且451=a a ，则=++++5242322212log log log log log a a a a a ．15．设θ为第二象限角，若21)4tan(=+πθ，则=+θθcos sin ．16．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________。

三．解答题 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,若()(),cos ,cos cos ,1,2A C a A c n b m +==ϖϖ且n m ϖϖ//. （I ）求角A 的值. （II ）若ABC ∆的面积243a S =，试判断ABC ∆的形状.18．（本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元。

若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n （单位:件,n ∈N）的函数解析式；（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量（单位:件）,整理得下表:日需求量n 8 9 10 11 12频数9 11 15 10 5①假设该店在这50天内每天购进10件该商品,求这50天的日利润（单位:元）的平均数； ②若该店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 求当天的利润在区间[400,550]内的概率.19．（本小题满分12 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： 平面PBC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M N ∥平面ABCD ； （Ⅲ）当AB ＝3，PA ＝4时，求点A 到直线MN 距离的最小值。

20．（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为F 1（-3,0），F 2（3,0），直线y=kx 与椭圆交于A 、B 两点。

（I ）若三角形AF 1F 2的周长为436+，求椭圆的标准方程； （II ）若24k >，且以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e 的取值范围。

21．（本小题满分12分）已知函数1ln )(2-+=ax x x x f ，且1)1(-='f ． （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若对于任意),0(+∞∈x ，都有1)(-≤-mx x f ，求m 的最小值； （Ⅲ）证明：函数2)(x xe x f y x+-=的图象在直线12--=x y 的下方．22．（本小题满分10分）选修4-4：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C 、D 两点，交圆O 于E 、F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点． （Ⅰ）求证：B 、D 、H 、F 四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=22求△BDF 外接圆的半径．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 40ρρθ+-=.（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）。

24．（本小题满分10分）选修4－5: 不等式选讲已知函数()2()log 12f x x x a =++--. (Ⅰ)当7a =时，求函数()f x 的定义域；(Ⅱ)若关于x 的不等式()f x ≥3的解集是R ，求实数a 的最大值．2016-2017学年高三级9月月考试题 文科数学解答及评分标准1~12：BADCCC DDDACB 13. 5;14. 5; 15.510-;16. 21y x =-- 17. 解：(I)Θ n m ϖϖ//，0cos cos cos 2=--∴C a A c A b ……………2分0cos sin cos sin cos sin 2=--∴C A A C A B ……………3分0)sin(cos 2=+-∴C A A coB ，即0sin cos sin 2=-B A B ……………4分,0,21cos ,0sin π<<=∴≠B A B ΘΘ又3π=A ;……………6分(II)bc a a bc A bc S ABC =∴===∆22,4343sin 21Θ ……………7分 ,,212cos 222222bc a c b bc a c b A =-+∴=-+=Θ……………9分又0)(,02,2222=-=-+∴=c b bc c b bc a Θ……………11分ABC A c b ∆∴==∴,3,πΘ又是等边三角形. ……………12分18.：(Ⅰ)当日需求量10n ≥时,利润为5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+；………2分 当需求量10n <时，利润50(10)1060100y n n n =⨯--⨯=-.………4分 所以利润y 与日需求量n 的函数关系式为：30200,10,60100,10,n n n Ny n n n N+≥∈⎧=⎨-<∈⎩……………5分（Ⅱ）50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元. ①38094401150015530105605477.250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………9分② 若利润在区间[400,550]内的概率为111510185025P ++==……………12分19.（Ⅰ）证明：在正方形中，．……………1分 因为平面，平面，所以．……………2分 又，平面，所以平面．……………3分因为平面，所以平面平面．……………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， 平面，平面，．在中，，，所以，……………6分 又平面，平面，所以//平面．……………8分（Ⅲ）解：因为，所以平面， 而平面，所以，所以的长就是点到的距离，……10分而点在线段上,所以到直线距离的最小值就是到线段的距离，……11分在中，所以到直线的最小值为……12分20.（Ⅰ）由题意得322643c a c =⎧⎪⎨+=+⎪⎩，……………2分得23a =.结合222a b c =+，解得212a =，23b =.所以，椭圆的方程为131222=+y x . ……………4分 （Ⅱ）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=.……………6分设1122(,),(,)A x y B x y .所以2212122220,a b x x x x b a k -+==+，易知，22AF BF ⊥，……………7分因为211(3,)F A x y =-u u u u r ，222(3,)F B x y =-u u u u r，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=u u u u r u u u u r.……………9分即 222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， 将其整理为 4224242188********a a k a a a a-+==---+-. ……10分 因为24k >，所以21218a <<，即2332a << ，……11分所以离心率23e <<. ……12分 21.（Ⅰ）对求导，得，……………1分所以，解得，所以．……………3分（Ⅱ）由，得， 因为，所以对于任意，都有．……………4分设，则 ．……………5分令，解得．当x 变化时，与的变化情况如下表：所以当时，．……6分，因为对于任意，都有成立，所以．所以的最小值为．…………7分（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方” 等价于“”，即要证，所以只要证．……………8分由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）．所以只要证明当时，即可．……………10分设，所以，令，解得．由，得，所以在上为增函数． 所以，…………11分，即．所以．…………12分故函数的图象在直线的下方．22.（Ⅰ）证明：因为AB 为圆O 一条直径，所以BF⊥FH，…1分又DH⊥BD，故B 、D 、F 、H 四点在以BH 为直径的圆上，所以B 、D 、F 、H 四点共圆．…3分 （2）解：因为AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得AF 2=AC•AD，即（22）2=2•AD， 解得AD=4，…5分所以BD=，BF=BD=1， 又△AFB∽△ADH，则，得DH=，…7分连接BH ，由（1）知BH 为DBDF 的外接圆直径， BH=，故△BDF 的外接圆半径为．…10分23.（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 2（t 为参数）普通方程为x y =2………2分将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得2sin cos ρθθ=即1C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=……5分（Ⅱ）曲线2C 的极坐标方程22cos 40ρρθ+-=化为平面直角坐标方程为22240x y x ++-= ………7分，将2y x =代入上式得2340x x +-=，解得1,4x x ==-（舍去）当1x =时，1y =±，所以1C 与2C 交点的平面直角坐标为(1,1),(1,1)A B - (8)分∵A B ρρ====tan 1,tan 1A B θθ==-，0,02ρθπ≥≤<∴7,44A B ππθθ==，故1C 与2C 交点的极坐7,44A B ππ⎫⎫⎪⎪⎭⎭…10分24.(Ⅰ)解：由题设知：721>-++x x ， ………1分 ① 当2x >时，得127x x ++->，解得4x >.………2分 ② 当12x ≤≤时,得127x x ++->,无解. …………3分 ③ 当1x <时,得127x x ---+>, 解得3x <-.……………4分 ∴函数)(x f 的定义域为()(),34,-∞-+∞U . ……………5分(Ⅱ)解：不等式3)(≥x f ，即821+≥-++a x x ，………………6分∵x ∈R 时，恒有()()12123x x x x ++-≥+--=，…………………………8分 又不等式821+≥-++a x x 的解集是R ， ∴83a +≤，即5a ≤-.……………9分 ∴a 的最大值为5-. …………………………………10分。