管理统计学3 第三章 数据特征的描述

被工作组收容的时间记录数据，该样本反映了病人被收容后1～185天内住院时长
的变化情况。
平均数：35.7天 中位数：17天 众 数：1天
利用这些信息，可以提高制定收容计划的科学性。
常见的频数分布曲线
（1）正态分布：如农作物的单位面积产量、零件的公差、纤维强度
（2）偏态分布：如上例中病人被收容的时间分布
5 1 1.70%
1
1.70%
5
-25
625
10 2 3.40%
3
5.10%
20
-20
800
15 4 6.80%
7
11.90%
60
-15
900
20 7 11.90%
14
23.70%
140
-10
700
25 10 16.90%
24
40.70%
250
-5
250
30 11 18.60%
35
59.30%
330
星蓝海学习网
学习目标
本章学习数据分布的集中趋势特征和离中趋势特征的描述方法。重点要掌握 众数、中位数、均值、标准差、变异系数和相关系数等指标的计算和应用问题。
星蓝海学习网
3.1 描述统计
3.1.1 描述统计
描述统计的内容包括频数分布，但主要是关于集中趋势和离中趋势的描述问
题。
例如，BND医院为了制定一个收容计划，工作人员搜集了一个含有67个病人
（3）J型分布：如经济学中的供给曲线和需求曲线
（4）U型分布：如人和动物的死亡率分布
星蓝海学习网
3.1 描述统计
3.1.2 集中趋势和离中趋势
我们可以从两个方面对正态分布的特征进行描述：一是数据分布的集中趋势， 二是数据分布的离散程度 集中趋势特征指标
（1）众数 （2）中位数 （3）均值 离中趋势特征指标 （1）极差 （2）四分位差 （3）标准差 （4）变异系数
3.2 正态分布特征的描述
3.2.2 极差、四分位差、标准差和变异系数
标准差 标准差等于离差平方平均数的平方根，记为σ，则有
σ = ෍ （������ − ������ҧ）2������ / ෍ ������
在表3-1中，σ = σ （������ − ������ҧ）2������ / σ ������ = 6550/59=10.54
3.2.2 极差、四分位差、标准差和变异系数
表3-2 A、B、C三组数据分布状况比较
A
组
B
组
C
X������
������������
X������
������������
X������
5151源自25102
10
1
30
15
4
15
3
35
20
7
20
7
40
25
10
25
11
45
30
11
30
13
50
35
10
35
11
管理统计学 [第四版]
星蓝海学习网
第三章 数据特征的描述
星蓝海学习网
案例导入
某互联网公司人力资源部主管为了解本公司员工通勤情况，随机抽查20位员 工每日上下班平均时长（分钟）：
120 80 80 50 140 100 90 100 80 50 60 90 140 80 80 60 50 70 100 80 通过以上抽样数据，请问本公司员工平均需要花费多长时间上下班？员工通 勤时长的分布情况如何？通过本章的学习，你将学会如何分析和描述数据，如何 从数据中掌握事件的动态发展。
在适度偏态条件下，均值、众数和中位数之间的关系可以估算为： 均值－众数=3×（均值－中位数）
表3-3中， 均值 ≈ （3×中位数－众数）/2= （3×25－20.83）/ 2 = 27.09 中位数 ≈ (众数+2×均值) / 3= (20.83 + 2×26.08) / 3 = 24.33
星蓝海学习网
������0 = ������ + ������ × ∆1 /（∆1+∆2） 在表3-3中，������0 = 17.5 + 5×2 / ( 2 + 1) = 17.5 + 3.33 = 20.83 在组距分组条件下，中位数的计算要考虑频数的全部排序，其计 算公式如下：
������������ = ������ + ������ × （ ෍ ������ / 2 －������������ ）/ ������������ 在表3-3中，������������ = 22.5 + 5×（69/2－29）/11 = 22.5 + 2.5 = 25
(������ − ������ҧ)2 425756.3 305256.3 232806.3 124256.3 41006.3 41006.3
SK = （均值－中位数）/标准差 在表3-3中，SK=（26.083－25）/11.95 = 0.091 在正态分布条件下，由于均值等于众数所以偏度系数等于0。当偏度系数 大于0时，称为正偏态；当偏度系数小于0时，称为负偏态。
星蓝海学习网
3.4 双变量交叉分布特征的描述
3.4.1 相关关系与协方差
25
625
—
6550
图3-1 正态分布图
根据表3-1可得： 众数=30 中位数=30 平均数=30
星蓝海学习网
3.2 正态分布特征的描述
3.2.2 极差、四分位差、标准差和变异系数
极差 极差等于数据分布中最大值与最小值之差，记为R。表3-1中R=55－5=50。
四分位差 四分位差等于第3个四分位数（ ������3 ）与第1个四分位数（ ������1 ）之差，记为RQ。
变量x
图3-2 三组分布状况比较
星蓝海学习网
3.3 偏态分布特征的描述
3.3.1 偏态分布：正偏态和负偏态
表3-3 偏态频率分布表
组别
组中值
频数
累计频数
组中值×频数
2.5 ～7.5
5
1
1
5
7.5 ～12.5
10
6
7
60
12.5 ～ 17.5
15
10
17
150
17.5 ～ 22.5
20
12
29
240
0
0
35 10 16.90%
45
76.30%
350
5
250
40 7 11.90%
52
88.10%
280
10
700
45 4 6.80%
56
94.90%
180
15
900
50 2 3.40%
58
98.30%
100
20
800
55 1 合计 59
1.70% 100%
59 ——
100.00% ——
55 1770
则有 ������������ = ������3 − ������1
在表3-1中，������������ = ������3 − ������1 = 35−25=10 与极差相比，四分位差不受极端值的影响，对数据分布的离散趋势的描述比 较客观。但中间部分数据的离散状况也无法反映出来。
星蓝海学习网
星蓝海学习网
3.3 偏态分布特征的描述
3.3.3 分组下的均值及其与众数和中位数的关系
分组下的均值 在组距分组条件下计算均值，其公式与单变量分组情况相同，则有
������ҧ = ෍ ������������ / ෍ ������
表3-3中，从均值（26.087）大于众数（20.833）可知，数据分布为正偏 态。 分组下的均值与众数、中位数的关系
22.5 ～ 27.5
25
11
40
275
27.5 ～ 32.5
30
10
50
300
32.5 ～ 37.5
35
8
58
280
37.5 ～ 42.5
40
5
63
200
42.5 ～ 47.5
45
3
66
135
47.5 ～ 52.5
50
2
68
100
52.5 ～ 57.5
55
1
69
55
合计
—
69
—
1800
离差平方×频数 444.7 1552.7 1229.2 444.6 13.0 153.1 635.5 967.9 1073.1 1143.7 836.0 8493.5
55
40
7
40
7
60
45
4
45
3
65
50
2
50
1
70
55
1
55
1
75
合计
59
合计
59
合计
组 ������������ 1 2 4 7 10 11 10 7 4 2 1 59
星蓝海学习网
3.2 正态分布特征的描述
3.2.2 极差、四分位差、标准差和变异系数
反映数据分布的两大数量特征为均值和标准差。但在比较表3-2中A、B、
y − ������ -1145.8 -1035.8 -915.8 -665.8 -525.8 -465.8 -265.8
-65.8 534.2 934.2 1584.2 2034.2
0
������ − ������ҧ -652.5 -552.5 -482.5 -352.5 -202.5 -202.5
表3-4 居民家庭的人均食品支出（X）与家庭人均收入（Y）相关计算表