浙江省北仑中学高二数学下学期期中试题(2-6班)新人教A版
浙江省北仑中学高一数学下学期期中试题(2-6班)新人教A版
浙江省北仑中学2012-2013学年高一数学下学期期中试题（2-6班）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1.设U =R ,M ={x |x 2-2x >0},则C U M =（ A ）A.［0,2］B.(0,2)C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.(-∞,0］∪［2,+∞) 2.已知数列｛a n ｝为等差数列，且有a 2+a 3+a 10+a 11=48,则a 6+a 7=（ D ）A.21B.22C.23D.243.已知不等式x 2+ax +4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是（ A ）A.-4≤a ≤4B.-4＜a ＜4C.a ≤-4或a ≥4D.a ＜-4或a ＞4 4.在△ABC 中，内角A 、B 、C 满足6sin A =4sin B =3sin C ,则cos B =（ D ） A.415B.43 C.10153 D.1611 5.已知△ABC 中，AB=3，AC=1且B=30°，则△ABC 的面积等于（ D ）A.23B. 43C. 23或3 D. 43 或236、若不等式210x ax ++≥对于一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值是 ( B ) A.－2 B. －25C.－3D.07.下列函数中，最小值为4的是（C ） A.y =x +x4 B.y =sin x +xsin 4(0<x <π) C.y =e x+4e -xD.y =12122+++x x2a n ,0≤a n <21, 8.数列｛a n ｝满足a n+1= 若a 1=76,则a 20的值为（ B ） a n -1,21≤a n <1. A.76 B.75C.73 D.71 9、已知数列{}n a 的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11 =+---=--n n b a S n n n 其中b a 、是非零常数，则存在数列{n x },{n y }使得 ( B )A.}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列B.}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列C.}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列D.}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列10．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数,x y ∈R ，等式()()()f x f y f x y =+成立．若数列{}n a 满足1(0)a f =，且11()(2)n n f a f a +=--(n ∈N*)，则2013a 的值为（ B ）A ． 4026B ．4025C ．4024D ．4023二、填空题（本大题共7个小题，每空4分，共28分，把正确答案填在题中横线上） 11.在等比数列｛a n }中，a 1+a 2+a 3+a 4=815,a 2a 3=-89,则11a +21a +31a +41a = -35 .12．在ABC ∆中，0601,,A b ==a b c A B C ++=++sin sin sin3.13.在R 上定义运算⊙：a ⊙b =ab +2a+b ，则满足x ⊙（x -2）<0的实数x 的取值范围为（-2，1）.14.若数列｛a n ｝的通项公式为a n =(-1) n(3n -2),则a 1+a 2+…+a 10= 15 ._______,,,,0,0,}{.15151522111615最大的是中则在若项和为中，其前在等差数列a S a S a S S S S n a n n <>88a S 16.外国船只除特许外，不得进入离我国海岸线d 海里以内的区域，如图所示，设A 与B 是我们的观测站，A 与B 的距离为s 海里，海岸线是 过A 、B 的直线，一外国船只在P 点，在A 站测得∠BAP =α,同时在B 站测得∠ABP ＝β，则α与β满足三角不等式为 d ≤)sin(sin sin βαβα+⋅⋅s时，就应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令其退出我国海域.________23,1,.17的最小值为则满足已知正数b a ab b a b a +=++345+三、解答题（本大题共5个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.已知a >2,解不等式组a (x -2)+1>0(x -1) 2>a (x -2)+1.（本小题满分12分）已知a >2,解不等式组a (x -2)+1>0(x -1) 2>a (x -2)+1.∵a >2,原不等式组可化为x >2-a1 x 2-(a +2)x +2a >0 x >2-a1 即 .(x -2)(x-a )>0而2-a 1<2,2-a 1-a =-aa 2)1(-<0.当a >2时，原不等式的解集为｛x |2-a1<x <2或x >a ｝19.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足).c BA BC cCB CA -⋅=⋅ （1）求角B 的大小； （2）若||6BA BC -=ABC ∆面积的最大值．（2）因为 ||6BA BC -= 所以 ||6CA =，即 26b =， 根据余弦定理 2222cos b a c ac B =+-，可得226a c =+．有基本不等式可知2262(2a c ac ac =+≥=．即3(2ac ≤，故△ABC 的面积11)sin 242S ac B ==≤．即当a =c=236+时， △ABC 的面积的最大值为2)12(3+． ………………… 14分22220.540,130(1).(2)1,.x mx m A ax x a B A m A B a -+≤--+<=≠Φ已知不等式的解集为不等式的解集为求若当时，求的取值范围21)2,4(2124212413)1(311,52,41,131,1)3(031]4,1[,]4,1[1)2(],4[0)3}0{0)2]4,[0)10)4)((045)1(2222222≤∴===-⋅≤-+=+-=++∴-=≤≤∴≤≤=+++<∴+<+<+--∈∴Φ≠===<===>≤--≤+-a t t t tt t t t t x x t x t x t x x x a x x a a x ax x B A A m m m A m A m m m A m m x m x m mx x 时取等号即当且仅当且设有解即有解时，不等式当时，时，当时，当时，当可化为：不等式21.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．（Ⅰ）若数列{}n b 满足：n n n1b ln a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅱ）设n 31323n c log a log a log a =+++，12111n nT c c c =+++，求使 12(72)(1)n n n k n T n +⋅≥-+()n N *∈恒成立的实数k 的范围。
浙江省北仑中学高二数学下学期期中试题(9、10班)新人教A版
一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共计50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U 则3,2,2,1,0,4,3,2,1,0( ▲ ) A. {}2 B. {}3 C. {}432，， D. {}4321,0，，，2.下列四组函数，表示同一函数的是（ ▲ ） A.2(),()f x x g x x == B. 2()4,()22f x x g x x x =-=-⋅+2(),()x f x x g x x == D.11()1,()11x x f x x g x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩3．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+=( ▲ )A ．12B ．1C ．2D ．04．已知a 为实数，则“210<<a ”是“函数|1|()x f x a -=在（0，1）上单调递增”的 （ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件5.函数22()x xf x x--=的图象（ ▲ ）A.关于原点对称B.关于y 轴对称C.关于x 轴对称D.关于直线y x =对称6．当[]2,0∈x 时，函数3)1(4)(2--+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是（ ▲ ） A.1[,)2-+∞ B. [)+∞,0 C. [)+∞,1 D.2[,)3+∞7．设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0f x g x f x g x ''+>，且(3)0g =，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是（ ▲ ）A ．(－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)8.函数)(x f 在定义域R 内可导，若()(2),f x f x =-且(1)'()0x f x -<，若),3(),21(),0(f c f b f a ===则c b a ,,的大小关系是( ▲ )A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>9．若函数()323f x ax x x =+-恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为 ( ▲ ) A ．(3,)-+∞ B ．[3,)-+∞ C ．(3,0)(0,)-+∞ D ．(,0)(0,3)-∞10. 对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,*,a ab a b a b b ab a b⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ,设()(21)*(1)f x x x =--，且关于x 的方程()()f x a a R =∈恰有三个互不相等的实数根，则实数a 的取值范围 是( ▲ )A. 1(0,)4 B. 1[0,]4 C. 1[0,]16 D. 1(0,](1,)4+∞二、填空题：（本题共7小题，每小题4分，共28分，请把答案填写在横线上）11．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则1[()]4f f = ▲ .12．奇函数32()1f x ax bx cx x =++=在处有极值，则3a b c ++的值为 ▲ ． 13.设3.0log ,3.0,2223.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系为 ▲ .14.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-,求实数a 的值为▲ ．15.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间（-2，1）内()f x 是增函数； ②在区间（1，3）内()f x 是减函数； ③在2x =时，()f x 取得极大值；④在3x =时，()f x 取得极小值。
浙江省北仑中学高二数学下学期期中试题(7、8班)新人教A版
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在复平面内，复数i1-i对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若()sin cos f x x x =-,则'()f α等于（ ）A ．2sin αB ．2cos αC ．sin cos αα+D ．cos sin αα-3．已知函数()4f x ax =+,若0(1)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=∆，则实数a 的值为 （ ）A. 2B. 2-C. 3D. 3-4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）A ．假设都是偶数B ．假设都不是偶数C ．假设至多有一个是偶数 D ．假设至多有两个是偶数、设是实数5.已知某一随机变量ξ的概率分布列如下， 则b 的值为 （ ）A ．0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.16.函数323922yx x x x 有 （ ）A ．最大值5，最小值－22B ．最大值5，最小值－2C ．最小值22-，无最大值D ．最大值5，无最小值7.有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数'()f x ，如果0'()0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为3()f x x =在0x =处的导数值'(0)0f =，所以0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确8. 已知一个命题P (k ),k =2n (n ∈N ),若n =1,2,…,1000时,P(k )成立,且当11000+=n 时它也成立,下列判断中,正确的是 ( ) A.P(k )对k =2013成立 B.P(k )对每一个自然数k 成立 C.P(k )对每一个正偶数k 成立 D.P(k )对某些偶数可能不成立 9.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数(1)'()y x f x =-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 （ ）A. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f10.定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足()()f x x f x >'，则下列不等式成立的是 （ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．设复数1322z =-+，则2z 的值为 . 12. 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是____________.13. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率是1625，则该队员每次罚球的命中率为________. 14.若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为,,a b c ，则三角形的面积1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V ＝________.15. 若函数()2xf x e x a =--在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．16.函数x y e =的图象在点(,)k ak a e 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，10a =，则123a a a ++= .17.若函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域的一个子区间()1,1+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分14分） 已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。
2023-2024学年浙江省宁波市高二下学期期中数学试题(含答案)
2023-2024学年浙江省宁波市高二下册期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2N 340A x x x =∈--<，{}N 12B x x =∈-<≤，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．∅D ．()1,2-【正确答案】A【分析】计算{}0,1,2,3A =，{}0,1,2B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2N 340N 140,1,2,3A x x x x x =∈--<=∈-<<=，{}{}N 120,1,2B x x =∈-<≤=，故{}0,1,2A B = .故选：A2．设,R x y ∈，则“x y <”是()2“0x y x -⋅<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】x ，R y ∈，若0,0x y =>满足x y <，则()20x y x -⋅=，即()20x y x -⋅<不成立；若()20x y x -⋅<，即有0x ≠，必有20x >，从而得0x y -<，即x y <成立，所以x y <是()20x y x -⋅<成立的必要不充分条件.故选：B3．已知随机变量()2~20,2X N ，则(16)P X <=（）(附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈)A ．0.02275B ．0.1588C ．0.15865D ．0.34135【正确答案】A【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：20,2μσ==，则()16240.9545P ξ≤≤≈，所以()1(16)1160.02274522P X P ξ≤≤≈<=-⎡⎤⎣⎦.故选：A.4．如表为某商家1月份至6月份的盈利y （万元）与时间x （月份）的关系，其中123 6.5t t t ++=，其对应的回归方程为 0.7y x a=+，则下列说法正确的是（）x123456y0.31t 2.22t 3t 4.5A ．y 与x 负相关B ． 0.2a=C ．回归直线可能不经过点()3.5,2.25D ．2023年10月份的盈利y 大约为6.8万元【正确答案】D【分析】0.70>，y 与x 正相关，A 错误，计算中心点带入计算得到B 错误，回归直线一定经过中心点，C 错误，带入数据计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：回归方程为 0.7y x a=+，0.70>，y 与x 正相关，错误；对选项B ：1234563.56x +++++==，1235 0.3 2.2 2.64.25y t t t +==++++，故 2.250.7 3.5a=⨯+，解得0.2a =-，错误；对选项C ：回归直线一定经过点()3.5,2.25，错误；对选项D ： 0.70.2y x =-，当10x =时， 6.8y =，正确.故选：D5．函数21()|1|21f x x x x =---+的部分图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析函数的定义域排除A ，利用()()11f x f x +=-判断函数对称性排除D ，再代入特殊点，计算(0)0f =，排除B.【详解】由函数解析式可得，函数()21()|1|1f x x x =---，定义域为()(),11,x ∈-∞+∞ ，所以排除A ；因为()2211(1)|11|11f x x x x x -=---=---，()()2211(1)|11|111f x x x f x x x +=+---=-+-所以函数图像关于直线1x =对称，故排除AD ；又因为()21(0)|01|001f =--=-，所以排除B.故选：C6．我们把各个数位上的数字之和为8的三位数称为“幸运数”，例如“170，332，800”都是“幸运数”.问“幸运数”的个数共有（）A ．35个B ．36个C ．37个D ．38个【正确答案】B【分析】按照首位数字为18 进行分类，相加得到答案.【详解】当首位数字为1时，后两位相加为7，共有8种；当首位数字为2时，后两位相加为6，共有7种；当首位数字为3时，后两位相加为5，共有6种；当首位数字为4时，后两位相加为4，共有5种；当首位数字为5时，后两位相加为3，共有4种；当首位数字为6时，后两位相加为2，共有3种；当首位数字为7时，后两位相加为1，共有2种；当首位数字为8时，后两位相加为0，共有1种；故共有1234567836+++++++=个数.故选：B7．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【正确答案】D【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解.【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<.则随机变量ξ的分布列为:ξ1P1p-p所以()()(),1E p D p p ξξ==-随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E pηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):ηp1p-P1p-p则()()()()1121E p p p p p pη=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p pη=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误.()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确故选:D本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.8．设()f x 是定义在D 上的函数，如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ³，则称()f x 为D 上的“非严格递减函数”，已知集合12345{,,,,}A a a a a a =，其中12345a a a a a <<<<，集合*110{N |C 45}n B n +=∈≥，则满足定义域是A ，值域是B 的子集的非严格递减函数有（）个A ．56B ．126C ．252D ．462【正确答案】D【分析】计算17n ≤≤得到1,2,3,4,57{},6,B =，转化为1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>>，计算得到答案.【详解】281010C C 45==，110C 45n +≥，故218n ≤+≤，17n ≤≤，故集合1,2,3,4,57{},6,B =，由12345a a a a a <<<<，则123457()()()()()1f a f a f a f a f a ≥≥≥≥≥≥，即有1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>≥，则共有511C 462=个函数，故选：D.二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．命题“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x ≤，都有不等式210x x ++≥成立”.B ．若事件A 与B 相互独立，且()01P A <<，()01P B <<，则()()P A B P A =.C ．已知24a b <+<，02a b <-<，则3311a b <+<.D ．在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好.【正确答案】BD【分析】对于A ：根据特称命题的否定分析判断；对于B ：根据独立事件的概率乘法公式结合条件概率公式分析运算；对于C ：以,a b a b +-为整体表示3a b +，结合不等式的性质分析运算；对于D ：根据残差的定义分析判断.【详解】对于A ：“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x >，都有不等式210x x ++≥成立”，故A 错误；对于B ：由条件概率可知：()()()P AB P A B P B =，∵事件A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，∴()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===，故B 正确；对于C ：∵()()32a b a b a b +=++-，由24a b <+<，02a b <-<，可得()428a b <+<，∴4310a b <+<，故C 错误；对于D ：根据残差的定义可知：残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故D 正确；故选：BD.10．已知关于x 的函数：2()21f x ax ax =-+，其中a ∈R ，则下列说法中正确的是（）A ．当1a =时，不等式()4f x >的解集是(1,3)-.B ．若不等式()0f x ≤的解集为空集，则实数a 的取值范围为(0,1).C ．若方程()0f x =的两个不相等的实数根都在()0,2内，则实数a 的取值范围为()1,+∞.D ．若方程()0f x =有一正一负两个实根，则实数a 的取值范围为(),0∞-.【正确答案】CD【分析】对于A ：解一元二次不等式即可；对于B ：分析可得原题意等价于2210ax ax -+>恒成立，结合恒成立问题运算求解；对于C 、D ：整理可得212x x a-=-，根据题意结合图象分析运算.【详解】对于A ：当1a =时，不等式2()214f x x x =-+>，即2230x x -->，解得3x >或1x <-，即不等式()4f x >的解集是()(),13,-∞-⋃+∞，故A 错误；对于B ：若不等式()0f x ≤的解集为空集，等价于2210ax ax -+>恒成立，当0a =时，则10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2Δ440a a a >⎧⎨=-<⎩，解得01a <<；综上所述：实数a 的取值范围为[)0,1，故B 错误；若方程2()210f x ax ax =-+=有根，则有：当0a =时，则10=不成立，不符合题意；当0a ≠时，则212x x a -=-，即22y x x =-与1=-y a有交点，结合图象，对于C ：若方程()0f x =的两个不相等的实数都在()0,2内，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标均在()0,2内，可得110a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞，故C 正确；对于D ：若方程()0f x =有一正一负两个实根，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标一个为正数一个为负数，可得10a->，解得a<0，所以实数a 的取值范围为(),0∞-，故D 正确；故选：CD.11．已知正数x 、y ，满足2x y +=，则下列说法正确的是（）A ．xy 的最大值为1.B 的最大值为2.C ．21x y+的最小值为3.D ．2211x y x y +++的最小值为1.【正确答案】ABD【分析】对于AB ，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD ，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.【详解】对于A ，因为0,0,2x y x y >>+=，所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当x y =且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为()2222222()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥，所以()222()2a b a b +≤+，当且仅当a b =时，等号成立，所以()222224x y ⎡⎤≤+=+=⎣⎦2≤，=且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，2，故B 正确；对于C ，211213()313222212y x x y x y y y x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当2y xx y=且2x y +=，即42x y =-=-时等号成立，所以21x y +的最小值为32，故C 错误；对于D ，令1s x =+，1t y =+，则1x s =-，1y t =-，24s t x y +=++=，0,0s t >>，所以()()22221111112211s t x y s t x y s t s t s --+=+=-++-+=+++()11111221444ts s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当s t =且4s t +=，即2s t ==，即1x y ==时，等号成立，所以2211x y x y +++的最小值为1，故D 正确.故选：ABD.12．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数【正确答案】ABC【分析】令0x y ==，代入()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，即可得到()0f 再由()00f =，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D 选项即可【详解】对于A:由题意()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，令0x y ==，()()()202100f f f =+,解得：()00f =或()01f =±当()01f =时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x ++=+⋅+恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，当()01f =-时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x +-=-+⋅-恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，∴()00f =，令y x =-，则()()()()()=010f x f f f x f x x -+⋅-+=，所以()()=0f x f x +-，即()()=f x f x --，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于C ：令2x x y ==，()2222112222x x f f f f x x x x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()222112x f f x x f ⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又()f x 为非常值函数故舍去，所以12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()222112x f f x x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=<⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故C 正确:对于B:设任意的12,R x x ∈且120x x <<令21,x x y x ==-所以()()()()()2121211f x f x f x x x x f f +-+⋅--=，又因为()f x 为奇函数，所以()()()()()1122121f x f x f x x f x x f --=-⋅，()()121,1,f x f x <<()()()()11221,10x f x f f x f x ⋅<-⋅>又因为当0x >时，()0f x >，所以()()210,0f x f x >>，210x x ->，()()()()()21212101f x f x f x x f x f x --=>-⋅,即()()21f x f x >，所以()f x 是()0,∞+上的增函数,故B 正确;对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.三、填空题13．已知条件:11p k x k -<<+，3:21x q x -≥+，p 是q 的充分条件，则实数k 的取值范围是_______.【正确答案】[]4,2--【分析】先根据分式不等式求出q ，设条件p 对应的集合为A ，条件q 对应的集合为B ，由p 是q 的充分条件，可得A B ⊆，进而可得出答案.【详解】由321x x -≥+，得501x x +≤+，解得51x -≤<-，设{}{}11,51A x k x k B x x =-<<+=-≤<-，因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，所以1511k k -≥-⎧⎨+≤-⎩，解得42k -≤≤-，所以实数k 的取值范围是[]4,2--.故答案为.[]4,2--14．已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则4a =______.【正确答案】14【分析】变换()()()8881211(11)x x x x x =----+--，再利用二项式定理得到()()3434488C 1C 1a =-+-，计算得到答案.【详解】()()()()()888811111111)1(2x x x x x x x =-+--=---+---，()811x --展开式的通项为()()818C 11rrrr T x -+=--，()()3434488C 1C 1567014a =-+-=-+=.故1415．若函数2(2)3,14(),142,4a x a x f x x x x ax x -+≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪-+>⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为_______．【正确答案】17(2,]8【详解】因为()22,4f x x ax x =-+>，是开口向下的二次函数，故只能是在4x >上单减，故要求整个函数在R 上都是减的，每一段都是减的，则要求20,17234281816a a a a a -<⎧⎪-+≥⇒<≤⎨⎪≥-⎩，故答案为172,8⎛⎤⎥⎝⎦．点睛：这个题目考查了，已知分段函数的单调性求参的问题，一般这类题目要满足两个条件，一是分段函数每一段都是单调的，且要求在定义域上函数是上台阶或下台阶的，即每段的连接点处必须是连接起来的或者都是向下或向上的趋势，不能错位．16．将1，2，3，……，9，10这10个整数分别填入图中10个空格中，样本空间Ω为满足“每一行的最大数比上一行的最大数要大”的所有样本点构成的集合，事件A 为“第四行有一个数字是1”，事件B 为“第三行有一个数字是2”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为_______.【正确答案】310/0.3【分析】利用排列组合的性质和条件概率公式即可求解.【详解】假设每一行数字由小到大排列（最后再乘每一行的排列数），那么当每一行最后一个数字给定，只需挑出每一行的前几个数字即可，且10在第四行第4个数.当1在第四行时，第四行前3个数字选法28C ，第三行前2个数字选法25C ，第二行第1个数字选法12C .当1在第四行，2在第三行时，第四行前3个数字选法27C ，第三行前2个数字选法14C ，第二行第1个数字选法12C .所以2114321742432122143218524321C C C A A A A ()3(|)()C C C A A A A 10P AB P B A P A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故答案为.310四、解答题17．在21nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）二项展开式中，若012C C C C 64nn n n n ++++= ，求：(1)展开式中所有项的系数之和；(2)展开式中含21x 的项的系数.【正确答案】(1)729(2)240【分析】（1）根据题意结合二项式系数的性质求得=6n ，再令1x =，求所有项的系数之和；（2）利用二项展开式的通项公式运算求解.【详解】（1）由题意可得0122=C C C C 64n n n n n n ++++= ，可得=6n ，故二项式为621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令1x =，可得661237291⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以展开式中所有项的系数之和为729.（2）设621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的通项为(6521662661C 2C rr rrr r rT x x -+--⎛⎫⋅==⋅ ⎪⎝⎭，令6522r -=-时，则2r =，此时2236422C 240T x x --⋅=⋅=，故展开式中含21x 的项的系数为240.18．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场，得到天数与直播间人数的数据如下表所示：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x 1234567直播间人数y （万人）4122123252728(1)求直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数（精确到0.01）；(2)若使用ln y c d x =+作为y 关于x 的回归方程模型，计算该回归方程（结果保留1位小数），并预测至少要到哪一天直播间人数可以超过30万人.参考公式和数据：相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑，其中711ln ,7i i i i u x u u ===∑，回归直线方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y n x yb a y b xxn x ==-⋅⋅==-⋅-⋅∑∑【正确答案】(1)0.93(2)ˆ5.212.3ln y x =+，第8天【分析】（1）根据题意可求得4,20x y ==，结合题中数据和公式运算求解；（2）根据题意令ln u x =，可得y c du =+，结合题中数据和公式求,cd ，进而根据回归方程运算求解.【详解】（1）由题意可得：777117722111114,2140,30,268666,77i i i i i i i i i i i x y x y x x y y ============∑∑∑∑∑，则ni i x ynx yr -⋅=∑530.932.65210.8≈≈⨯⨯，故直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数为0.93.（2）∵ln y c d x =+，由题意令ln u x =，则y c du =+，可得77211213.20, 1.2,206.4,i i i i i u y u y u ===≈≈≈∑∑，则717221206.47201.2ˆ12.313.27 1.21.2i i ii i u yn u y dunu==-⋅⋅-⨯⨯=≈≈-⨯⨯-∑∑，ˆˆ2012.31.2 5.2cy d u =-⋅≈-⨯≈，所以ˆ 5.212.3yu =+，故y 关于x 的回归方程为 5.212.3ln y x =+⨯$，令 5.212.3ln 30y x =+>$，整理得ln 2.0x >，则2e 7.39x >≈，且*x ∈N ，所以8x ≥，故至少要到第8天才能超过30万人.19．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是16，命中Ⅱ部分的概率是13，命中Ⅲ部分的概率是12，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；(2)求击落飞机的命中次数X 的分布列、数学期望和方差.【正确答案】(1)14(2)分布列见解析，()83E X =，19()18D X =【分析】（1）恰好在第二次射击后击落飞机存在两种情况，一种是连续命中Ⅱ部分两次，另一种情况是第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，根据这两种情况即可求出概率；（2）根据题意可知，击落飞机的次数可为1，2，3，4四种取值情况，根据四种取值情况求出对应概率即可求出分布列、数学期望和方差.【详解】（1）设恰好在第二次射击后击落飞机为事件A ，满足事件A 的情况有连续命中Ⅱ部分两次，或者第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，则25111()()6634P A =⨯+=.（2）依题意，X 的可能取值为1，2，3，4，1(1)6P X ==，1(2)4P X ==，12211111111(3)C ()()()32632623P X ==⨯⨯⨯++⨯+=，123111(4)C ()1324P X ==⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：X1234P16141314X 的数学期望()11118123464343E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.2X 14916P16141314()21111491491664346E X =⨯+⨯+⨯+⨯=X 的方差()22496419()(())6918D XE XE X =-=-=20．已知()224ax bx cf x x ++=+是定义在[]22-,上的函数，若满足()()0f x f x +-=且()115f =.(1)求()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在[]22-,上的单调性（不用证明），并求使()()22110f t f t ++-<成立的实数t的取值范围；(3)设函数2()24(R)g x x mx m =-+∈，若对任意12,[1,2]x x ∈，都有21()()g x f x <恒成立，求m 的取值范围.【正确答案】(1)()24x f x x =+(2)单调递增，302t -≤<(3)125m >【分析】（1）确定函数为奇函数，()00f =，()115f =，()115f -=-，代入数据计算得到答案.（2）确定函数单调递增，根据函数的奇偶性得到222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得答案.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，最小值为1(1)5f =，题目转化为max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，根据单调性计算最值得到答案.【详解】（1）[]2,2x ∈-，且()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数，将0x =代入()()0f x f x +-=可得()00f =，即04c=，所以0c =，即()224ax bxf x x +=+，因为()115f =，所以()115f -=-，代入可得155155a b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，故()24xf x x =+；()24x f x x =+，()()24xf x f x x -==-+，函数为奇函数，满足，故()24x f x x =+.（2）设1222x x -≤<≤，则()()()()()()211221212222212144444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，1222x x -≤<≤ ，211200,4x x x x ∴-->>，()()210f x f x ∴->，即()()21f x f x >，故函数()24x f x x =+在[]22-,上单调递增，因为()24xf x x =+为奇函数，所以()()22110f t f t ++-<，即()()()222111f t f t f t +<--=-，根据单调性及定义域可得：222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得312220t t t ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪-<<⎪⎪⎩302t -≤<.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，函数()f x 在[]1,2上单调递增，最小值为1min 1()(1)5f x f ==.法一：21()245g x x mx =-+<在[]1,2上恒成立，只要max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，195y x x =+在1,5⎡⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,25⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，当1x =时，192455x x +=，当2x =时，1939245105x x +=<，故当1x =时，max 192455x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以125m >.法二：222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-，[]1,2x ∈，当32m ≤时，max 1()(2)5g x g =<，14445m -+<，解得3920m >，舍去；当32m >时，max 1()(1)5g x g =<，11245m -+<，解得125m >，因此125m >，综上所述.125m >21．数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据0.010α=的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)根据22⨯列联表的信息，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，求()|P B A 的值；(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望.附.()()()()22()n ad bc a b c d a c b dχ-=++++α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.828【正确答案】(1)能(2)311(3)分布列见解析，158【分析】（1）计算216.498 6.635χ≈>，得到答案.（2）()(|)()P AB P B A P A =，计算得到答案.（3）根据分层抽样比例关系得到人数，确定随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）零假设0H ：数学成绩与语文成绩无关，则22200(50803040)16.498 6.6359011012080χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，根据小概率值0.010α=的2χ的独立性检验，我们推断0H 不成立，故认为数学成绩与语文成绩有关；（2）()(|)()30311110P AB P B A P A ===，（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3338C 10C 56P X ===，()125338C C 151C 56P X ===，()215338C C 30152C 5628P X ====，()3538C 1053C 5628P X ====，故X 的概率分布列为：X0123P15615561528528数学期望()11515510515012356562828568E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.22．设0a >，0b >，函数2()f x ax bx a b =--+.(1)求不等式()(1)f x f <的解集；(2)若()f x 在[]0,1上的最大值为b a -，求ba的取值范围；(3)当[0,]x m ∈时，对任意的正实数a ，b ，不等式()(1)|2|f x x b a ≤+-恒成立，求m 的最大值.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,+∞(3)1【分析】（1）变换得到(1)()0x ax a b -+-<，考虑1b a a ->，1b a a -<，1b aa-=三种情况，解不等式得到答案.（2）确定函数对称轴为2b x a=，考虑1022b a <<和122b a ≥两种情况，计算最值得到范围.（3）注意分类讨论的思想，分当2b a ≥时和当2b a <时两种情况进行讨论，当2b a ≥时2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭注意用换元法把b a 换成t ，得到()2310x t x x +--≥又由题意对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，只要12t =时不等式成立即可从而解出m 的取值范围，同理可求另一种情况【详解】（1）()(1)f x f <即()0f x <，即(1)()0x ax a b -+-<，()()10x ax a b -+-=的两根为1和b aa-当1b a a ->，即20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b a a -<，即02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b aa-=，即20b a =>时，解集为∅.综上所述：当20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当20b a =>时，解集为∅.（2）因为0a >，0b >，所以0ba >，2()f x ax bx ab =--+的对称轴为2b x a=，当1022b a <<时，即b a <时，()()max 10f x f b a ==>-，不合题意；当122b a ≥时，即b a ≥时，()()max 0f x f =，而(0)0(1)f b a f =-≥=，符合题意.故ba取值范围为[)1,+∞.（3）①当2b a ≥时，不等式即为：()222ax bx a b b a x b a --+≤-+-，整理得：()230ax b a x b ---≤即：2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭，令bt a=，则12t ≥，所以不等式即()2310x t x t ---≤，即：()2310x t x x +--≥，由题意：对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；②当2b a <时，同理不等式可整理为：23120b b x x a a ⎛⎫---+≤ ⎪⎝⎭，令b t a =，则102t <<，所以不等式即()21230x t x t ---+≤，即：()2320x t x x ++--≤，由题意：对任意的102t <<不等式恒成立，而30x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；综上，m 的最大值为1关键点睛：本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力。
浙江省宁波市北仑中学2021-2022高二数学下学期期中试题(2-10班)
浙江省宁波市北仑中学2021-2022高二数学下学期期中试题（2-10班）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．随机变量ξ的分布列为2(0),(1)22a a p p ξξ====，则随机变量ξ的均值()E ξ为（ ）A ．2B ．2或12 C ．12D ．1 2．已知直线y kx =是曲线ln y x =的切线，则k 的值为（ ）A ．eB ．1e C ．e - D ．1e- 3．将三颗质地均匀的骰子各掷一次，记下向上的点数，设事件A 为“三个点数互不相同”，事件B 为“至多出现一个奇数”，则概率()P AB 等于（ ）A ．14 B ． 3536 C ．518 D ．5124．设X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p 等于( )A ．.0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4 5．“分析法”的原理是“执果索因”，用分析法证明命题：(0)x <>所要“索”的“因”是( )A ．06<B ．56<C ．107>D ．50>6．从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球，假设每个球被摸到的可能性相同，记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为ξ，则(31)D ξ-=（ ）A ．645 B ．325 C ．485D ．12 7．已知()ln ||f x x =，则下列命题中，正确的命题是（ ）A ．当/10,()x f x x >=，当/10,()x f x x <=- B ．当/10,()x f x x>=，当0x <时，/()f x 无意义 C ．当0x ≠时，都有/1()f x x=D ．因为0x =时，()f x 无意义，所以对ln ||y x =不能求导.8．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）A ．240种B ．300种C ．360种D ．420种9．设函数()(21)(1)xf x e x kx k k =--+<，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则k 的取值范围是（ ） A ．33[,)24e -B ．3[,1)2e -C ．3[,1)2eD ． 33[,)24e 10．九个人排成一排照相，要求,,A B C 三人中任意两人互不相邻，,D E 两个人也不相邻，则九个人按此要求所有不同的排法总数为（ ）A ．122400B ．80640C ．11520D ． 100800二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.11．⑴当13k C 取得最大值时，k = ；⑵ 123456777777C C C C C C +++++= .12．用0,2,3,4,5这五个数，⑴组成没有重复数字的三位数的个数有 ；⑵这些三位数中偶数的个数有 .13．如图所示，曲线段OMB 是函数2()(06)f x x x =<<的图像，BA 垂直x 轴于A ，曲线段OMB 上一点(,())M t f t 处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于Q .⑴用t 表示切线PQ 方程是 ；⑵用t 表示APQ ∆的面积()g t ，若()g t 在区间(,)m n 上单调递减，则点m 的最小值是 .14．已知2721401214(22)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -+=+++++++，则⑴01214a a a a ++++= ； ⑵12a = .15．现有7个女生和9个男生，要从这16名学生中选出6名学生去参加某项志愿者服务工作，要求男生至少2名，女生至少2名，则所有可能选派方法有：①243342797979C C C C C C ++，②2227912C C C ，③6061551601679797979C C C C C C C C C ----，④2202112079575757()C C C C C C C C ++ .其中你认为正确的序号有 （只要写上序号）16．现有,,,,a b c d e 字母和1,2,3,4,5,6数字共11个元素排队，要求从左到右字母按abcde 的次序排列，数字按654321次序排列.则满足条件的排法有 .17．若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式32(83)xx x x t e x -++≤恒成立. 则正整数m 的最大值为 .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(结果需用分数作答).（1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.19．⑴若821()(1)2x mx x+-展开式中含2x 项的系数为28，求m 的值； ⑵设2521001210(2)x x a a x a x a x +-=++++，求8a 的值.20．⑴已知+∈R y x ,且2>+y x ，求证：12y x+与12x y +中至少有一个小于3.⑵用数学归纳法明：对一切*n N ∈，222111312321nn n ++++≥+.21．已知函数()ln(1)f x x x =+-.⑴求()f x 的单调递减区间；⑵若1x >-，证明：ln (1)1xx x ≤++.22．已知函数()2xxg x ae x ae-=--.⑴若2a =，求曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线方程；⑵若函数在R 上是单调函数，求实数a 的取值范围；⑶设函数1()2xh x e -=，若在[0,1]上至少存在一点1x ，使得11()()g x h x >成立，求实数a 的取值范围.2021第二学期期中考试高二年级（2~10班）数学答案1~5：CB C D A 5~10：A C D C A11．⑴6或7 ⑵126 12．⑴48⑵3013．⑴220tx y t --= (2)414．⑴128⑵371 15．①③ 16．462 17．718．解：(1)设甲、乙击中目标的概率分别是为12,p p ，则1223,34p p ==， 事件A （甲射击3次至少有1次未击中目标）可分为甲射击3次击中目标0次或1次或2次.所以00312223223113113111212119(1)(1)(1)()3()3()3333327P C p p C p p C p p =-+-+-=+⨯⨯+⨯⨯=. 另解：事件A (甲射击3次至少有1次未击中目标)与事件B (甲射击3次都击中目标)为对立事件，所以3333121911()327P C p =-=-=. (2) 甲射击2次恰好击中目标2次的概率为221224()39P C ==， 乙射击2次恰好击中目标1次的概率为122313448P C =⨯⨯=，二事件相互独立， 所以甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率12431986P P P =⋅=⨯=.19．解：⑴81()2x x+展开式中常数项为4444858135()2168C T C x x =⨯⨯==， 81()2x x+展开式中含2x 的项为3353228481()728C T C x x x x ===， 所以821()(1)2x mx x +-展开式中含2x 项的系数为3572888m m -=⇒=. ⑵展开52525525(2)[(2)](2)()kk k k x x x x Cx x -=+-=+-=+-∑，在展开式中含8x 项的只有在32235(2)()C x x +-，41245(2)()C x x +-二项中才存在.所以含8x 项的有38485520C x C x -⨯+⨯⨯=，即80a =.另解一：424132322885152()2()10100C x C C x C x x x -+-=-+=，所以80a =.另解二：2555543543(2)(1)(2)(510)(1040)x x x x x x x x x x +-=+-+=+++-+-+所以含8x 项的有84050100a =-+-=.20．证明：⑴（反证法）假设结论不成立，即有123yx+≥且123x y +≥，由已知+∈R y x ,， 所以有123y x +≥且123x y +≥，故222332x y x y x y ++≥+⇒≥+，与已知2x y +>矛盾，假设不成立.所以有12y x+与12x y +中至少有一个小于3成立. ⑵（数学归纳法）①当1n =时，不等式左边4111311⨯=≥==⨯+右边，不等式成立；②假设*,n k k N =∈时不等式成立，即成立222111412331kk k ++++≥+，则当1n k =+时， 不等式左边22222111141123(1)31(1)k k k k k =+++++≥++++，要使1n k =+时原不等式成立，只要证22414(1)444131(1)3(1)13431(1)k k k k k k k k k k +++≥⇐-≤+++++++ 224(1)(31)4(34)141(34)(31)(1)(34)(31)(1)k k k k k k k k k k ++-+⇐≤⇐≤++++++ 224(1)(34)(31)057k k k k k ⇐+≤++⇐≤+.而*k N ∈时2057k k ≤+显然成立.故当1n k =+时，原不等式也成立， 综合①②，对一切*n N ∈，有222111412331nn n ++++≥+成立. 21．解：⑴函数()f x 定义域为{|1}x x >-，/1()10,011xf x x x x =-===++，当(1,0)x ∈-时，/()0f x <，()f x 单调递减；，当(0,)x ∈+∞时，/()0f x >，()f x 单调递增.所以()f x 在(1,0)-上单调递减，()f x 在(0,)+∞上单调递增.⑵设函数()ln(1)1x g x x x =+-+，则/221(1)()0,01(1)(1)x x x g x x x x x +-=-===+++， 当//(1,0),()0,(),(0,),()0,()x g x g x x g x g x ∈-<↓∈+∞>↑，所以()g x 在0x =处取到唯一的极小值，即最小值为(0)0g =，故有(1,)x ∈-+∞时，成立()(0)0g x g ≥=，所以ln(1)0ln(1)11x x x x x x +-≥⇒+≥++. 22．解：⑴．2a =，/()222,()222xxxxf x e x e f x e e --=--=-+，/(0)0,(0)2f f ==，所以在点(0,(0))f 处的切线斜率为2k =，且过原点，切线方程为2y x =.⑵．由题意知/()()20x xf x a e e -=+-≥对一切x R ∈恒成立，即2()x xa x e eϕ-≥=+，变量2(0x x M e e x -=+≥==时等号成立），得[2,)M ∈+∞，()x ϕ值域(0,1]所以只要max ()1a x ϕ≥=即[1,)a ∈+∞时，有/()0,()f x f x ≥↑，同理，当0a ≤时，显然/()0,()f x f x <↓，综合可得(,0][1,)a ∈-∞+∞.⑶．令0[1,]x t e e =∈，问题等价于存在[1,]t e ∈使不等式化为2()(1)2ln 20F t a t t t e =--->成立，(1)20F e =-<，2()(1)4F e a e e =--./()222ln 0,[1,]F t at t t e =--=∈，可等价于曲线段ln ,[1,]y t t e =∈与直线1y at =-之间的关系，其中一个临界值是1a =时，直线与曲线段切于(1,0)点；2a e=是另一个临界位置，此时直线过曲线段右端点(,1)e ，整段曲线在直线上方.所以在[1,]t e ∈时，①当1a ≥时，/()0,()F t F t ≥↑，只要2244()0(1)11e eF e a e e >⇒≥<--，故1a ≥时，符合条件.②当2a e≤时，/()0,()F t F t ≤↓，要使条件符合，必须有(0)20F e =->， 显然不符合.③当2(,1)a e∈时，直线与曲线段有交点00(,ln )A t t ，在此点左侧，曲线在直线上方，此点右侧直线在曲线上方.即/0[1,),()0,()t t F t F t ∈<↓，/0(,],()0,()t t e F t F t ∈>↑，只要max{(0),()}0F F e >，而(0)0F <，所以由2()0(1)40F e a e e >⇒-->，由2(,1)a e ∈及241e a e >-得：2411ea e <<-. 综合①②③可知24[,)1ea e ∈+∞-.。
浙江省宁波市北仑中学高二数学下学期期中试题
北仑中学2017学年第二学期高二年级期中考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{=13A ，{}=1,B m ，A B A ⋃=，则m 的值为（ ▲ ） A.0或3 C.1D.1或32. 已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x +的定义域为（ ▲ ） A ．()1,1- B ．()1,0- C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭3．设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ▲ ） A ．()()2,f x x g x ==．()()22,xf xg x x==C ．()()()01,1f x g x x ==- D ．()()29,33x f x g x x x -==-+4. 已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，()31f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =（ ▲ ）A ．-2B ．1C ．0D ．25. 若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（ ▲ ） A ．300 B ．240 C ．150 D ．1206. 函数()22f x x x =-，()()20g x ax a =+>，对[]11,2x ∀∈-，[]01,2x ∃∈-，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ▲ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)3,+∞D ．(]0,37. 若函数()2f x x ax b =++在区间[]0,1上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（ ▲ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关8. 已知()f x 是偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，如果()()12f ax f x +≤-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ▲ ）A ．[]2,1-B ．[]5,0-C ．[]5,1-D ．[]2,0-9. 《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ▲ ） A ．144种 B ．288种C ．360种D ．720种10. 已知函数()()1f x x a x =+．设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ▲ ） A．⎫⎪⎪⎝⎭ B．⎫⎪⎪⎝⎭ C．⎫⎛⋃⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ D．⎛-∞ ⎝⎭二、填空题:本大题共7小题 ，多空题每题6分，单空题每题4分，共34分.11. 已知11282x A x -⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}2log 21B x x =-<，则A B ⋃= ▲ ，R C A B ⋂= ▲ ．12. 已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()()2f f -= ▲ ，()f x 的最小值是 ▲ ．13. 已知0a >，0b >，8ab =，则当a 的值为 ▲ 时，()22log log 2a b ⋅取得最大值 ▲ ． 14. 有3所高校欲通过三位一体招收24名学生，要求每所高校至少招收一名且人数各不相同的招收方法有 ▲ 种．（用数字作答） 15. 设函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ▲ .16. 高三理科班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语，物理，化学，生物最多上一节，则不同的功课安排有 ▲ 种情况．（用数字作答）17. 设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，()11f -=-．若函数()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-都成立，则t 的取值范围是 ▲ .三、解答题: 本大题共5小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分) （I ）计算5488858927A A A A +-；（II ）解关于x 的方程56711710x x x C C C -=．19.(本题满分15分) 设命题p ：函数()21lg 4f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．20.(本题满分15分) 已知函数()21ax bf x x +=+是定义域为()1,1-上的奇函数，且()112f =． （I ）求()f x 的解析式；（II ）用定义证明：()f x 在()1,1-上是增函数；（III ）若实数t 满足()()2110f t f t -+-<，求实数t 的范围．21. (本题满分16分) 如图，过抛物线2:4C y x =上一点()1,2P -作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ． （I ）求12y y +的值； （II ）若120,0y y ≥≥，求12PABS y ∆-的取值范围．22. (本题满分16分) 已知函数()21f x x =-，()1g x a x =-． （Ⅰ）若()()f x g x =有两个不同的解，求a 的值；（Ⅱ）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）求()()()h x f x g x =+在[]2,2-上的最大值．北仑中学2017学年第二学期高二年级期中考试数学答案一、选择题：二、填空题：11、{}14x x <<、{}34x x ≤<； 12、12-，6；13、4，4； 14、222； 15、2； 16、336； 17、2t ≤-或t =或2t ≥三、解答题：18.（I ）1……7分（II ）2x =……7分19. 解：∵命题p ：函数()21lg 4f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为R ， ∴2104ax x a -+>恒成立，2010a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >；∵命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立，令()39x x g x =-，∵()2113024x g x ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭，∴0a ≥．∵“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题， ∴命题p 与命题q 一真一假． 若p 真q 假，则a ∈∅； 若p 假q 真，即，则01a ≤≤． 综上所述，实数a 的取值范围：[]0,1．……15分20. 解：（1）函数()21ax bf x x +=+是定义域为()1,1-上的奇函数，∴()00f =，()21xf x x ∴=+.（2）设1211x x -<<<，则210x x ->，于是()()()()()()211221212222211211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，又因为1211x x -<<<，则1210x x ->， ∴()()21f x f x >∴函数()f x 在()1,1-上是增函数； （3）()()2110f t f t -+-<，∴()()211f t f t -<--；又由已知函数()f x 是()1,1-上的奇函数， ∴()()11f t f t --=-由（2）可知：()f x 是()1,1-上的增函数，∴2211,3t t t -<-<，又由1211,111t t -<-<-<-<，得203t <<综上得：203t <<……15分 21. 解：（1）因为()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线2:4C y x =上，所以211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 142PA k y =-，同理242PB k y =-，依题有PA PB k k =-，所以124y y +=．（2）由（1）知212221144AB y y k y y -==-，设AB 的方程为2114y y y x -=-，即21104y x y y -+-=，P 到AB的距离为d =2214y AB y =-，所以()211121624PAB S y y ∆=---,令12t y =-，由124y y +=，120,0y y ≥≥，可知22,0t t -≤≤≠.()[)221111216163,4244PAB S y t y ∆=--=-∈-．（16分）22. 解：（Ⅰ）方程()()f xg x =，即211x a x -=-，变形得()110x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程1x a+=“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1”得0a =或2a = （Ⅱ）不等式()()f xg x ≥对x R ∈恒成立，即211x a x -≥-（*）对x R ∈恒成立，①当1x =时，（*）显然成立，此时a R ∈②当1x ≠时，（*）可变形为211x a x -≤-，令()()()()21,111,11x x x h x x x x ⎧+>-⎪==⎨-+<-⎪⎩，因为当1x >时，()2h x >；而当1x <时，()2h x >-．故此时2a ≤-综合①②，得所求a 的取值范围是2a ≤-.（Ⅲ）因为()()()22221,(1)111,(11)1,(1)x ax a x h x f x g x x a x x ax a x x ax a x ⎧+--≥⎪=+=-+-=--++-≤<⎨⎪-+-<-⎩，1）当12a >，即2a >时，()h x 在[]2,1-上递减，在[]1,2上递增，且()233h a -=+， ()23h a =+，经比较，此时()h x 在[]2,2-上的最大值为33a +.2）当012a ≤≤，即02a ≤≤时，()h x 在[]2,1--，,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，在1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，[]1,2上递增，且()233h a -=+，()23h a =+，2124a a h a ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，经比较，知此时()h x 在[]2,2-上的最大值为33a +.3）当102a -≤<，即20a -≤<时，()h x 在[]2,1--，,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，在1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，[]1,2 上递增，且()233h a -=+，()23h a =+，2124a a h a ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，经比较知此时()h x 在[]2,2-上的最大值为3a +.4）当3122a -≤<-，即32a -≤<-时，()h x 在2,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，在,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且()2330h a -=+<，()230h a =+≥，经比较知此时()h x 在[]2,2-上的最大值为3a +.5）当322a <-，即3a <-时，()h x 在[]2,1--上递减，在[]1,2上递增，故此时()h x 在[]2,2- 上的最大值为()10h =. 综上所述，当0a ≥时，()h x 在[]2,2-上的最大值为33a +；当30a -≤<时，()h x 在[]2,2-上的最大值为3a +；当3a <-时，()h x 在[]2,2-上的最大值为0．……16分。
2022-2023学年浙江省宁波市北仑中学高二下学期期初返校考试数学试题(解析版)
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知，函数 在定义域 上存在极值点，令 可得 ，换元 ，可得 ，则实数 的取值范围为函数 在 上的值域且满足 ，由此可求得实数 的取值范围.
【详解】函数 的定义域为 ，且 .
由题意可知，函数 在定义域 上存在极值点，
由 可得 ，令 ，则 ，
则实数 的取值范围为函数 在 上的值域且满足 ，
A. 周岁以上的参保人数最少
B. 周岁人群参保. 周岁及以上的参保人数占总参保人数的
【答案】AC
【解析】
【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.
【详解】由参保人数比例图可知， 周岁以上参保人数最少， 周岁以上 人群约占参保人群的 ，故A正确，D错误
由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，故C正确
【答案】B
【解析】
【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案.
【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；
将甲成绩进行排序，又 ，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分，
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量平行的性质即可.
【详解】因为空间向量 ， ， ，
如果 ，则 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故选：C.
4.在平行六面体 中，点 在 上，且 ，若 ，则 （）
A. B.1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解.
【详解】
如图，
,
所以 ，
浙江省宁波市北仑中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题
第节乘法分配律教材第～页的内容。
．经历乘法分配律的探索过程，学会用字母表示乘法分配律，进一步培养发现问题和提出问题的能力，积累合情推理的数学活动经验。
．能够运用乘法分配律，对一些算式进行简便运算，体会计算方法的多样化，发展数感。
重点：引导学生通过观察、比较、抽象概括出乘法分配律。
难点：应用乘法分配律解决实际问题。
多媒体课件、练习纸。
．投影出示教材第页主题图。
请同学们看一看，这面墙上一共贴了多少块瓷砖？说说你是怎样算的。
学生独立思考，自由列式，再汇报，边说边板演。
×＋×(＋)×＝＋＝×＝(块) ＝(块)×＋× (＋)×＝＋＝×＝(块) ＝(块)×＋×＝(＋)××＋×＝(＋)×师：请同学们观察上面两组算式，你有什么发现？生：我发现每组中的两个算式的得数相同。
生：我发现第一组中的第一个算式里的出现了两次，而第二个算式里的只出现了一次。
生：我发现每组中的第一个算式没有小括号，第二个算式有小括号，运算顺序改变了。
……设计意图：关注学生已有的知识经验，以学生身边熟悉的情境为教学的切入点，激发学生主动学习的需要，为学生创设了与生活环境、知识背景密切相关的感兴趣的学习情境——根据主题图，提出问题并通过两种算式的比较，唤醒了学生已有的知识经验，使学生初步感知乘法分配律。
．导入新课：是呀，今天遇到的这两组算式，和以往学的好像不太一样，既有加法又有乘法，但它们之间似乎也有联系，得数都相同。
这里面又有怎样的运算定律呢，这节课我们来学习《乘法分配律》。
．探索与猜想。
()根据你们的发现，能结合题意说说为什么会有这样的规律吗？引导学生结合题意说出算式：×＋×是先求白色瓷砖和蓝色瓷砖分别有多少块，再相加就求出一共需要的瓷砖数量。
算式：(＋)×，因为白色和蓝色瓷砖每行都有块，所以可以先求白色瓷砖和蓝色瓷砖一共有几行，再乘每行块，就求出一共的瓷砖数量了。
浙江省宁波市北仑中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案
北仑中学2018学年第二学期高二年级期中考试数学试卷一、 选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1.已知集合A ＝{0,1}，B ＝{1,0,,a b -}，则AB 的元素个数可能是 ( )A ．2,3B ．3,4C ．4,5D ．5,6 2. 已知tan α=2，则2sin cos sin cos αααα+-的值为 ( )A ．5B ．5-C ．15D ．15-3.函数11ln+=x y 的大致图像为 ( )4. 设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （ ）A ．周期函数，最小正周期为3π B ．周期函数，最小正周期为32π C ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数5.若定义在R 上的二次函数2()4f x ax ax b =-+在区间[0，2]上是增函数，且()(0)f m f ≥，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．04m ≤≤B ．02m ≤≤C ．0m ≤D ．04m m ≤≥或 6.已知直线y 1x =+与曲线y ln()x a =+相切，则a 的值为 ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 7. 函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A.)48sin(4π+π=x y B.)48sin(4π-π=x yC ．)48sin(4π-π-=x y D.)48sin(4π+π-=x y8.若()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+⎪⎭⎫⎝⎛-=12241x x a x ＞a x f x ，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A.()+∞,1 B.（4，8） C.[)8,4 D.（1，8） 9.对于实数a b 和，定义运算“⊗”：,,,.a ab a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩设函数22()(1)(),.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-恰有两个不同的零点，则实数c 的取值范围是 （ ） A ．3(,1)(,0)4-∞-⋃- B ．3{1,}4-- C ．3(1,)4-- D ．3(,1)[,0)4-∞-⋃- 10．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是 （ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值二、填空题（本题共7题，11—14题每空3分，15—17题每空4分，共36分) 11. 函数)42sin(2π+=x y 的周期是 ；要得到函数)42sin(2π+=x y 的图象，只需将函数2y x =的图像向左平行移动 个单位长度.12.函数()lg(41)x f x =-的定义域为_____，1()2f = .13.函数()|sin |cos 1f x x x =-的最大值是 ，212(log )(log )f f ππ-= .14. 已知函数()f x =若14a =-,则()f x 的递增区间是__________;若()f x 的值域为[)0,+∞,则实数a 的取值范围是__________.15.曲线()2ln()af x x x=+在区间(2,)+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是_______． 16.若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos = ． 17. 设函数()||f x x x bx c =++，则下列命题中正确命题的序号有__________.①当0b >时，函数()f x 在R 上是单调增函数； ②当0b <时，函数()f x 在R 上有最小值； ③函数()f x 的图象关于点(0,)c 对称； ④方程()0f x =可能有三个实数根．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18. (本题满分14分)已知条件212:log (||3)0:6510p a x q x x ->-+>，条件，(1) 若1a =时p 不成立．．．，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. (本题满分15分)设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=.（1）求)(x f 的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足()3f α=-α54tan 的值.20. (本题满分15分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 若A 满足212cos cos(2)32A A π++=-. （1）求A ；（2）若c=3, △ABC 的面积为a 的值.21．(本题满分15分)已知函数3()f x x x =-． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（3）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．22. (本题满分15分)已知函数1)(2++=bx ax x f ，1)(2++=btx ax x ϕ（a 、R b ∈），且()f x 满足0)1(=-f ，对任意实数x 均有)(x f ≥0成立. （1）求实数a 、b 的值；（2）当[]2,2-∈x 时，求函数()x φ的最大值)(t g ；（3）若对于任意的t R ∈都有[()]()g t mf t ϕ≥成立，求实数m 的取值范围．答案一、选择题：CADBA BDCAC 二、填空题：11 π 8π12（0,1） 213 12- 0 14 (33)-- 1[0,][1,)4+∞15 [4,4]- 16 79- 17 1,3,418 （1）(,4][4,)-∞-+∞（2）(0,6][12,)+∞19（1）最大值3+T π=（320（1）23（2）321．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即 23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．22.（1）1a b ==（2）()54g t t =+（3）若对于任意的t R ∈都有22[()]()(54)2(54)1(1)g t mf t t t t m t ϕ≤⇔++++≥+① 0t ≥时，2241m t ≤++，因为224241t +>+，所以24m ≤； ② 10t -<<时，2283026(1)t t m t -+≥+，264468(1)1m t t ≤-+++，因为111t >+，所以，26446826(1)1t t -+>++，26m ≤；③ 1t =-时，m R ∈ ④ 1t <-时，264468(1)1m t t ≤-+++，因为101t <+，所以，2644688(1)1t t -+>++，8m ≤； 综上，所求实数m 的取值范围是8m ≤.。
2021-2022学年浙江省宁波市北仑中学高二下学期期初考试数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省宁波市北仑中学高二下学期期初考试数学试题一、单选题1．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0公共弦所在直线方程为（ ） A ．210x y --= B ．20x y -+= C ．20x y --= D ．210x y -+=【答案】B【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程. 【详解】由x 2＋y 2－4＝0与x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0两式相减 得：4480x y -+=，即20x y -+=. 故选：B2．已知等比数列{}n a 满足15921a a a ++=，4812a a a ++=7a =（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【分析】设数列{}n a 的公比为q ，根据已知条件求出q 和1a ，进而可求得7a 的值.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，则()34812159a a a a a a q ++=++，即321q =得q 因为()481591112121a a a a q q a ++=++==，所以11a =，则6718a a q ==.故选：B.3．已知点()1,1,2A -在平面α上，其法向量()2,1,2n =-，则下列点不在平面α上的是（ ） A ．()2,3,3 B ．()3,7,4C ．()1,7,1--D ．()2,0,1-【答案】D【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】()1,1,2A -对于A ：记()12,3,3A ,则()11,4,1AA =.因为()()11,4,12,1,22420AA n =-=-+=，所以点()12,3,3A 在平面α上 对于B ：记()3,7,4B ,则()2,8,2AB =.因为()()2,8,22,1,24840AB n =-=-+=，所以点()3,7,4B 在平面α上 对于C ：记()1,7,1C --,则()2,6,1AC =---.因为()()2,6,12,1,24620AC n =----=-+-=，所以点()1,7,1C --在平面α上 对于D ：记()2,0,1D -,则()3,1,1AD =--.因为()()3,1,12,1,26120AD n =---=---≠，所以点()2,0,1D -不在平面α上. 故选：D4．已知,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前项和，且*21()42n n S n n T n +=∈-N ，则1011318615a ab b b b +=++（ ）A ．2138B ．2342C ．4382D ．4178【答案】D【分析】利用*2121()n n n n a S n b T --=∈N 及等差数列的性质进行求解. 【详解】,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前项和，故*2121()n n n n a S n b T --=∈N ，且3186151011b b b b b b +=+=+，故1010101120111131861511111010010112220141420278a a a a S a ab b b b b b b b b b T +=+===++++++⨯+=⨯-， 故选：D5．已知2x =是2()2ln 3f x x ax x =+-的极值点，则()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．92ln 32-B ．52- C ．172ln 318-- D ．2ln 24-【答案】A【分析】求得函数的导数2()23f x ax x'=+-，根据2x =是()f x 的极值点，求得12a =，进而求得函数()f x 单调性，结合()()1,3f f 的值，即可求得函数的最大值，得到答案. 【详解】由题意，函数2()2ln 3f x x ax x =+-，可得2()23f x ax x'=+-， 因为2x =是()f x 的极值点，可得(2)1430f a '=+-=，解得12a =， 所以2(1)(2)()3,0x x f x x x x x--'=+-=>， 当113x ≤<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当12x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当23x <≤时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 由()()591,32ln 322f f =-=-，又由()()95312ln 32ln 322ln 1022f f e -=-+=->-=，所以()()13f f <，所以当3x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为92ln 32-.故选：A.6．下列四个结论正确的是（ ）A ．任意向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或,2π<>=a bB ．若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线C ．空间中任意向量,,a b c 都满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅D ．已知向量()()1,1,,2,,4a x b x ==-，若25x <，则＜,a b ＞为钝角 【答案】B【分析】由cos ,0a b a b a b ⋅=⋅=，则0a =或0b =或cos ,0a b =，从而可判断A ；根据1233OC OA OB =+，可得1233AC CB =，从而可判断B ；根据空间向量数量积的定义即可判断C ；根据＜,a b ＞为钝角，求出x 的范围，即可判断D.【详解】解：对于A ，cos ,0a b a b a b ⋅=⋅=，则0a =或0b =或cos ,0a b =，即0a =或0b =或,2π<>=a b ，故A 错误；对于B ，因为1233OC OA OB =+，则()()1233OC OA OB OC -=-，即1233AC CB =，所以AC CB ∕∕，所以A ，B ，C 三点共线，故B 正确；对于C ，()cos ,a b c a b a b c ⋅⋅=⋅⋅，是与c 共线得向量， ()cos ,a b c b c b c a ⋅⋅=⋅⋅，是与a 共线得向量，而a 与c 方向不确定，故无法确定()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅是否相等，故C 错误； 对于D ，2452a b x x x ⋅=-++=-， 若25x <，则520a b x ⋅=-<， 当a b ∕∕时，则存在唯一实数λ，使得b a λ=，即()()2,,4,,x x λλλ-=，所以24x x λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得2x λ==-，所以当25x <，且2x ≠-时，＜,a b ＞为钝角，故D 错误. 故选：B.7．设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()3f x f x x'->，则关于x 的不等式31(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．()3,6B ．()0,3C ．()0,6D ．()6,+∞【答案】A【分析】根据条件，构造函数3()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可． 【详解】解：3(1)(3)(3)03xf x f ---<， 3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<， 3(3)(3)27x f x f ∴--<（3），定义在(0,)+∞的函数()f x ，3x ∴<，令3()()g x x f x =，∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3）， 即为(3)g x g -<（3），323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'，()()3f x f x x'->， ()3()xf x f x ∴'>-， ()3()0xf x f x ∴'+>， 32()3()0x f x x f x ∴+>，()0g x ∴'>，()g x ∴单调递增，又因为由上可知(3)g x g -<（3），33x ∴-<，3x <，36x ∴<<．故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．8．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设直线AB 的方程为2py kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k=+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案.【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为2py kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k =+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k =+，所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++， 所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件. 二、多选题9．已知数列{}n a 是等差数列，则下列说法正确的选项有（ ）A ．数列{}2n a一定是等比数列B ．数列{}ln n a 一定是等差数列C ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等差数列D ．数列{}1n n a a ++可能是常数数列【答案】ACD【分析】根据{}n a 是等差数列，设1n n a a d +-=，结合等差、等比数列的定义，逐项进行求解，即可得到答案．【详解】由题意，数列{}n a 是等差数列，设1n n a a d +-=，对于A 中，设2na nb =，可得1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+===（常数）， 所以数列{}2n a一定是等比数列，所以A 正确；对于B 中，设ln n n b a =，可得111ln ln ln n n n n n na b b a a a +++-=-=， 所以数列{}ln n a 不一定是等差数列，所以B 错误；对于C 中，设()1122n n n n n a a S a a b n n ++===， 可得111112222n n n n n n a a a a a a d b b +++++--=-==（常数）， 则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等差数列，所以C 正确；对于D 中，设1n n n b a a +=+，可得()()1121n n n n n n b b a a a a ++++-=+-+22n n a a d +=-=， 当0d =时，{}n b 是常数数列，则数列{}1n n a a ++可能是常数数列，所以D 正确． 故选：ACD ．10．下列命题中正确的是（ ）A ．已知1e 和2e 是两个互相垂直的单位向量，1223a e e +＝，124b ke e =-，且a b ⊥，则实数6k =B ．已知正四面体OABC 的棱长为1，则()()1OA OB CA CB +⋅+=C ．已知(1,1,0)A ，(0,3,0)B ，(2,2,3)C ，则向量AC 在ABD ．已知1232a e e e =-+，12332b e e e =-++，1237c e e =-+（{}123,,e e e 为空间向量的一个基底），则向量a ，b ，c 不可能共面 【答案】ABC【分析】利用向量的基本概念及基本运算逐一进行判断，即可得出结论． 【详解】A.因为1223a e e =+，124b ke e =-，且a b ⊥，所以()()()()22121211222342(38)122120a b e e ke e k e k e e e k ⋅=+⋅-=+-⋅-=-=，解得6k =，所以A 正确.B. 正四面体对棱互相垂直，所以OA 与CB ，OB 与CA 夹角为90︒，所以()()11cos 6011cos901OA OB CA CB OA CA OA CB OB CA OB CB ︒︒+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯1cos9011cos601︒︒⨯+⨯⨯=，所以B 正确.C.AC (1,1,3)=，AB (1,2,0)=-，向量AC 在AB上的投影向量的模长是1(A AB BAC ⋅⨯==C 正确.D.假设向量a ，b ，c 共面，则a xb yc =+，所以()()1231231223237e e e x e e e y e e -+=-+++-+，即1231232(3)(37)2e e e x y e x y e xe -+=--+++，所以13,237,?12,x y x y x =--⎧⎪-=+⎨⎪=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以向量a ，b ，c 共面，所以D 不正确.故选：ABC.11．已知双曲线22:13y C x -=，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的顶点到其渐近线的距离为2B ．若F 为C 的左焦点，点P 在C 上，则满足2FM MP =的点M 的轨迹方程为22(32)34x y +-=C ．若A ，B 在C 上，线段AB 的中点为()2,2，则线段AB 的方程为220x y --=D ．若P 为双曲线上任意一点，则点P 到点()2,0和到直线12x =的距离之比恒为2 【答案】BD【分析】根据双曲线的性质、相关点法求轨迹方程、中点弦问题的处理方法对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：双曲线22:13y C x -=的顶点为(1,0)-，(1,0)，0y ±=， 顶点(1,0)-0y ±=的距离d ==顶点(1,0)0y ±=的距离d ==A 错误； 对B ：双曲线22:13y C x -=的左焦点F 的坐标为(2,0)-，设(,)M x y ，(,)P x y ''， ∵2FM MP =，∴ (2,)2(,)x y x x y y ''+=--，∴ 322x x +'=，32y y '=，又(,)P x y ''在双曲线C 上，∴ 2233+22123y x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭-= ⎪⎝⎭， ∴ 22(32)34x y +-=，故B 正确；对C ：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∵ 线段AB 的中点为()2,2，故12124,4x x y y +=+=，由已知可得221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以121212123-()(-)x x x x y y y y ++()()-=0， ∴1212-3-y y x x =，∴ 直线AB 的斜率为3， ∴ 线段AB 的方程为23(2)y x -=-，即340x y --=，故C 错误；对D ：设00(,)P x y ，点P 到点()2,0的距d '==∴101|d x =-，又点P 到到直线12x =的距离201||2d x =-， ∴ 点P 到点()2,0和到直线12x =的距离之比恒为2，故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题考察双曲线的性质、中点弦问题的处理方法点差法，相关点法求轨迹方程；处理问题的关键是熟练应用不同问题对应的方法，属综合中档题. 12．已知函数()()()21e ,01,0e x xx x f x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，下列选项正确的是（ ）A ．函数()f x 在()2,1-上单调递增B ．函数()f x 的值域为21,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．若关于x 的方程()()2[]0f x a f x -=有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是214,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．不等式()0f x ax a -->在()1,-+∞恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是232,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ACD【分析】利用导数法求出分段函数()f x 的单调性，从而确定函数的单调性及值域即可判断A 、B 选项是否正确；由()()2[]0f x a f x -=，解出()f x 的值，根据()f x 的图像判断有3个不相等的实数根的条件，即可判断C 选项是否正确；将原不等式转化，做出直线()1y a x =+利用斜率的意义，结合数形结合思想确定a 的取值范围.【详解】()()()21e ,01,0e x xx x f x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，①、当0x <时，()()1e x f x x =+，()()2e xf x x '=+，当(),2x ∞∈--时，()0f x '<，函数()f x 在(),2x ∞∈--上单调递减； 当()2,0x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 在()2,0x ∈-单调递增.∴当2x =-时，()f x 有极小值为()212e f -=-， 当0x <时，()()1e xf x x =+,且()10f -=，∴当1x <-时，()0f x <；当10x -<<时，()0f x >，且x 趋近于负无穷大时,()f x 趋近于0.②、当0x 时，()()21e xx f x +=，()()()2111e e x xx x x f x -+-+'==，当()0,1x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，1x ∴=时，函数()f x 有极大值为()41ef =， 又x 趋近于正无穷大时,()f x 趋近于0，0x ∴时，()0f x >，且()01f = 做出函数()f x 的图像如图示：对于A 选项：由函数()f x 的图像可知，函数()f x 在()2,1-上单调递增，则A 选项正确；对于B 选项：由函数()f x 的图像可知，函数()f x 的值域为214,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则B 选项不正确；对于C 选项：由()()2[]0f x a f x -=，可得()()()·0f x f x a -=，即()0f x =或()f x a =，做出()f x 的图像如下：由图像可知，()0f x =有一个实数根1-，关于x 的方程()()2[]0f x a f x -=有3个不相等的实数根，()f x a ∴=有两个不相等且异于1-的实数根， ()212e f -=，()41e f =，结合函数()f x 的图像可知，实数a 的取值范围是214,e e ⎛⎫⎪⎝⎭，则C 选项正确； 对于D 选项：()0f x ax a -->，()()1f x a x ∴>+，分析可知：直线()1y a x =+过点()1,0-，当直线()1y a x =+过点41,e ⎛⎫⎪⎝⎭时，()402e 11e a -==--，当直线()1y a x =+过点292,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()22903e 21e a -==--，结合函数()f x 的图像可知，当实数a 的取值范围是232,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，不等式()0f x ax a -->在()1,-+∞恰有两个整数解为0与1，则D 选项正确. 故选：ACD. 三、填空题13．已知双曲线C ：22221x y a b -=(a >0，b >0)的右焦点F (2，0)，点F 关于C 的一条渐近线的对称点A 恰好落在C 的另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为____________. 【答案】2【分析】根据渐近线的对称性、,A F 对称求得by x a=的倾斜角，从而求得b a ，进而求得c ，以及双曲线的离心率. 【详解】不妨设A 在b y x a =-上，则F 与A 关于直线by x a=对称， 由渐近线关于y 轴对称可知，过一、三象限的渐近线by x a=的倾斜角为π3，即3ba=2c =，222c a b =+， 解得a =1，b 3 所以双曲线的离心率为2ca=. 故答案为：214．已知()3ln 21f x x x x =++，则()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为___________. 【答案】320x y -+=【分析】利用导数的几何意义求()f x 在()()1,1f 处切线的斜率，并求出()1f ，即可写出切线方程.【详解】由题设，()()261ln 21f x x x '=+-+∴()113f '=，又()11f =，∴()f x 在()()1,1f 处的切线方程为()1113y x -=-，即320x y -+=. 故答案为：320x y -+=.15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为22(2)2x y ++≤，若将军从点(40)A -，处出发，河岸线所在直线方程为10x y +-=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为___________. 【答案】42【分析】先求出点A 关于直线10x y +-=的对称点A '，点A '到圆心的距离减去半径即为最短.【详解】设点A 关于直线10x y +-=的对称点(,)A a b '，AA '的中点为4(,)22a b -，4AA bk a '=+ ,故(1)1441022ba ab ⎧⋅-=-⎪⎪+⎨-⎪+-=⎪⎩解得15a b =⎧⎨=⎩，由22(2)2x y ++≤知军营所在区域中心为(0,2)C -，要使从点A 到军营总路程最短，即为点A '到军营最短的距离为2A C '“将军饮马”=， 故答案为：16．已知等差数列{}n a 的前n 项和0n S >，且满足()()()2222323n nS S S n a t a t at ⋅=---，（2n ≥且*n N ∈），若12n n a +≤（*n N ∈），则实数t 的取值范围是______. 【答案】(]0,1【解析】先利用已知条件解得nS n，再利用等差数列公式构建关系，得到1,,a d t 之间的关系，解得参数，再计算t 的取值范围即可. 【详解】当2n ≥时，()()()2222323n nS S S n a t a t at ⋅=---①()()()222231231(1)n n S S S n a t a t at --⋅=----②设1(1)n a a n d =+-，因为0n S >，所以①÷②得 []221(1)11n n a n d t S a t n n n +---==-- 2221121a t d n a d d n -=+-+-，又因为111(1)1222n na n n d S d dn a n n +-==+-， 故22211112221a t d dn a d n a d d n -+-=+-+-， 2112212212d a a d d d d a t ⎧-=-⎪⎪⎪∴=⎨⎪⎪-=⎪⎩112a d ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或210a t d ⎧=⎨=⎩，若0d =时，由()2222S a t =-知 ()211220a a t =-=，则 10a =，0n S =，与已知矛盾，因此0d =不符合题意，舍去， 111(1)22n n n a a n d -+∴=+-=≤，得1t ≤，又10a >01t ∴<≤. 故答案为：(]0,1.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前前n 项和公式的综合应用，属于难题. 四、解答题17．已知直线1:210l x y -+=，24:0l x y +-=，3:340l x y +=，其中1l 与2l 的交点为P ． (1)求过点P 且与3l 平行的直线方程；(2)求以点P 为圆心，截3l 所得弦长为8的圆的方程． 【答案】(1)34150x y +-=；(2)22(1)(3)25x y -+-=.【分析】（1）首先求1l 、2l 的交点坐标，根据3l 的斜率，应用点斜式写出过P 且与3l 平行的直线方程；（2）根据弦心距、弦长、半径的关系求圆的半径，结合P 的坐标写出圆的方程. (1)联立1l 、2l 得：21040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得13x y ，故(1,3)P ，又3l 的斜率为34k =-，则过P 且与3l 平行的直线方程33(1)4y x -=--，∴所求直线方程为34150x y +-=. (2)由（1），P 到3l 的距离|3143|35d ⨯+⨯==， ∴以P 为圆心，截3l 所得弦长为8的圆的半径2224325R =+=， ∴所求圆的方程为22(1)(3)25x y -+-=.18．已知函数()ln f x ax x x =+的图像在e x =（e 为自然对数的底数）处取得极值. (1)求实数a 的值；(2)若不等式()(1)f x k x >+在[e,)+∞恒成立，求k 的取值范围. 【答案】(1)2a =- (2)e e 1k <-+ 【分析】（1）由(e)0f '=求得a 的值.（2）由()(1)f x k x >+分离常数k ，通过构造函数法，结合导数求得k 的取值范围. (1)因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++， 因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处取得极值， 所以(e)20f a '=+=，2a ∴=-， 经检验，符合题意，所以2a =-； (2)由（1）知，()2ln f x x x x =-+， 所以()1f x k x <+在[e,)+∞恒成立，即2ln 1x x xk x -+<+对任意e x ≥恒成立.令2ln ()1x x xg x x -+=+，则2ln 1()(1)x x g x x +-'=+. 设()ln 1(e)h x x x x =+-≥，易得()h x 是增函数， 所以min ()(e)e 0h x h ==>， 所以2ln 1()0(1)x x g x x +-'=>+，所以函数()g x 在[e,)+∞上为增函数， 则min e ()(e)e 1g x g ==-+，所以ee 1k <-+. 19．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC BB ===，AB BC ⊥，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的一点.(1)证明：BF DE ⊥；(2)当平面DEF 与平面11BB C C 6B 到平面DFE 距离.【答案】(1)证明见解析 6【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得BF DE ⊥.（2）利用平面DEF 与平面11BB C C 所成的锐二面角的余弦值列方程，求得1B D ，结合向量法求得B 到平面DFE 的距离. (1)以B 为坐标原点，BA 为x 轴正方向建立如图所示的建立空间直角坐标系B xyz -. 设()102B D a a =≤≤，可得()0,0,0B ，()1,1,0E ，()0,2,1F ，(),0,2D a . ()0,2,1BF =，()1,1,2DE a =--.因为()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥.(2)()1,1,1EF =-，设(),,m x y z =为平面DEF 的法向量，则00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩，可取()3,1,2m a a =+-.因为平面11BB C C 的法向量为()1,0,0n =，所以 23cos ,2214m n m n m na a ⋅==⋅-+.由题设23632214a a =-+，可得12a =，所以()32,1,12m =. 点B 到DFE 平面距离62BF m d m⋅==.20．已知数列{n a }满足：1a =14，114n n n a a n ++=，n *N ∈)且其前n 项和为n S . （1）求n a 与n S ；（2）若满足(3n +4)22n n λ≤⋅(49-n S )的值恰有3个，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）4n nn a =；134494n n n S +⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）λ∈(25132，]. 【解析】（1）用连乘法可得通项公式，注意验证1a ，然后用错位相减法求得n S ； （2）不等式化简为22n n λ≤.令f (n )=22n n ，用作差法得出()f n 的单调性，从而得出结论．【详解】解：（1）由114n n n a a n ++=，得114n na n a n ++=， 当n ≥2时，31221111213144142414n n n n a a a n n a a a a a n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又14n a =也满足上式，故4n n na =(n *N ∈). 231234444n n n S =++++， ∴231112144444n n n n n S +-=++++， 相减得，2311111131111114411444444434414n n n n n nn n n nS +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-- ⎪⎝⎭-， ∴134494n n n S +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（2）由（1)知，34494n n n S +-=，结合(3n +4)22n n λ≤(49-n S )，得22n n λ≤.令f (n )=22n n ，则f （1）=()()1921328f f ==，，，f (4)=1，f (5)=2532又当n 4≥时，f (n +1)()f n -=()221122n nn n ++-=()211202n n +--+< ∴f (n +1)<f (n )，于是，按从大到小的顺序排列，f (n )的前4个取值为f （3）=98，f （2）=f (4)=1，f (5)=2532，欲使满足条件的n 值恰有3个，需λ∈(25132，]. 【点睛】方法点睛：本题考查求数列的通项公式，用错位相减法求和，数列不等式有解问题．解题方法：（1）求数列通项公式方法是连乘法，即已知1()n na g n a +=时，用连乘法求通项公式，若已知1()n n a a g n +-=，则用累加法求通项公式．（2）错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法是数列求和的特殊方法，针对不同类型的数形求和，需选用相应的方法．（3）数列不等式有解问题，常常也是通过分离参数法转化为求数列单调性、最值，然后再由解的个数得出参数范围．21．已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221x y a b+=()0a b >>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ，Q 两点，PQ =（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ，FOD 的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限.求点A 的坐标. 【答案】（1）22143x y +=；（2）()2,1.【分析】（1）不妨设P 在第一象限，由题意可知26P ⎫⎪⎝⎭，∴228113a b +=，结合离心率12e =，可得椭圆的标准方程； （2）设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义求出切线方程:l 20024x x y x =-，代入椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式求出E 的坐标，求出BC 的垂直平分线方程，求出K 的坐标，求出D 的坐标，根据DEK FOD △△得到()()2220012222094||18||49163x x S DK S FD x +===+，解出0x 即可得解.【详解】（1）由24x y =知，(0,1)F ，不妨设P 在第一象限，由题意可知26P ⎫⎪⎝⎭，∴228113a b +=， 又∵12e =，即2a c =，则3b c =， ∴22811123c c+=，可得1c =，所以2,3a b ==， 所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由24x y =得2x y '=，所以切线的斜率为02x ，则切线l 的方程为2000()42x x y x x -=-，即20024x x y x =-，代入椭圆方程得：()4223031204x x x x x +-+-=，由()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---> ⎪⎝⎭，得208x <+< 设()11,B x y ，()22,C x y ，()33,E x y ，则()3012320223x x x x x +==+，()22000332032443x x x y x x =-=-+， KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++，令0y =得()302083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =，222004||124x x FD +⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，02FD k x =-，02BC x k =， ∴1FD BC k k ⋅=-，FD BC ⊥，∴DEK FOD △△，∴()()2220012222094||18||49163x x S DK S FD x +===+.化简得()()2200177240x x +-=，解得204x =，符合208x <+< ∴02x =（02x =-舍去），所以214x =，∴A 的坐标为()2,1，【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了抛物线的几何性质，考查了利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于较难题.22．已知函数()()()23ln R 2x f x a x a x a =+-+∈，在定义域上有两个极值点1212,,x x x x <且．(1)求实数a 的取值范围； (2)求证22124(e 1)()()5.2e f x f x -++>【答案】(1)(0,1)(2)证明见解析【分析】（1）求导转化为2(3)0x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根，根据二次方程根的分布得到范围.（2）根据韦达定理得到根与系数的关系，题目转化为21()ln 222a g a a a a =-++的最小值，求导得到导函数，确定导函数单调递增，计算得到零点的范围，根据隐零点代换得到证明. (1)()()()(3),0,af x x a x x'=+-+∈+∞，函数()f x 的定义域上有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，所以方程()(3)0af x x a x'=+-+=在(0,)+∞上有两个根1x ，2x ，且12x x <， 即2(3)0x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根1x ，2x ， 所以()()2302Δ3400a a a a ⎧-->⎪⎪⎪=-->⎨⎪>⎪⎪⎩，解得01a <<，当01a <<时，若10x x <<或2x x >，2(3)0x a x a +-+>，()0f x '>， 所以函数()f x 在1(0,)x 和()2,x +∞上单调递增，若212,22(3)20,()0x x x x a x a f x '<<+-+<<，所以函数()f x 在()12,x x 上单调递减， 故函数()f x 在(0,)+∞上有两个极值点1x ，2x ，且12x x <， 所以，实数a 的取值范围是(0,1)； (2)证明：1x ，212(0)x x x <<是方程2(3)0x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不等的实根，所以12123x x a x x a +=-⎧⎨=⎩，其中01a <<，故2212121122()()(3)ln (3)ln 22x x f x f x a x a x a x a x +=+-+++-+ 212121212()(3)()ln 2x x x x a x x a x x +=-+-++2(3)(3)(3)ln 2a a a a a a -=-+--+29ln 222a a a a =-+-， 令2121()()()5ln 222a g a f x f x a a a =++=-++，其中01a <<，故()ln 3g a a a '=-+，令1()()ln 3,()10h a g a a a h a a''==-+=->，第 21 页 共 21 页 所以函数()h a 在(0,1)上单调递增，由于33(e )e 0h --=-<，22(e )1e 0h --=->，所以存在常数()32e ,e t --∈使得()0h t =，即ln 30t t -+=，ln 3t t =-，且当(0,)a t ∈时，()h a ()g a '=0<，所以函数()g a 在(0,)t 上单调递减，当(,1)a t ∈时，()h a ()g a '=0>，所以函数()g a 在(,1)t 上单调递增，所以当01a <<时，222111()()ln 2(3)2222222t t t g a g t t t t t t t t ≥=-++=--++=-+， 又()32e ,e t --∈，222241(e 1)()(e )222e t g t t g --=-+>=，所以224(e 1)()2e g a -> 所以12()()5f x f x ++>224(e 1)2e-. 【点睛】本题考查了根据极值点个数求参数范围，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，其中利用韦达定理转化为函数的最值结合隐零点代换是解题的关键.。
2022-2022年高二下册期中考试数学(浙江省宁波市北仑中学)
2022-2022年高二下册期中考试数学（浙江省宁波市北仑中学）解答题已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．【答案】(1)1；(2)－16.(3)答案见解析.【解析】试题分析：(1)利用赋值法，令可得展开式中各项系数的和是1.(2)首先写出通项公式，据此可得展开式中含的项是－16.(3)由题意求解不等式即可求得系数最大的项和二项式系数最大的项分别为T7＝1 792和T5＝1 120.试题解析：由题意知，第五项系数为，第三项的系数为，则有，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式＝＝，令－2k＝，则k＝1，故展开式中含的项为T2＝－16.(3)设展开式中的第k项，第k＋1项，第k＋2项的系数绝对值分别为，，，若第k＋1项的系数绝对值最大，则解得5.又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1 792.由n＝8知第5项二项式系数最大，此时T5＝1 120.解答题甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)由题意列出所有可能的事件求解概率可得甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率是；(2)X的可能取值为2,3,4,5.据此求得分布列，然后可得数学期望为.试题解析：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)＝2＋×2＋××2＝.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.故X的分布列为2345E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.解答题有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生；（2）男生甲必须包括在内，但不担任数学课代表；（3）女生乙一定要担任语文课代表，男生丙只想担任数学课代表或物理课代表.【答案】(1)5400；(2)3360；(3)600.【解析】试题分析：利用排列组合相关的结论和方法求解题中的问题可得：有女生但人数必须少于男生有5400种；男生甲必须包括在内，但不担任数学课代表有3360种；女生乙一定要担任语文课代表，男生丙只想担任数学课代表或物理课代表有600种.试题解析：（1）种.（2）种.（3）种.填空题若，其中，则实数______；_________.【答案】【解析】，则,则−4m=a2=−6,解得m=.令x=1时, ，x=−1时, ，∴，解得.填空题若函数在处的切线与直线平行，则实数____；当a≤0时，若方程有且只有一个实根，则实数的取值范围为_________.【答案】1【解析】(1)由f(x)=x3+3ax−1,得到f′(x)=3x2+3a，因为曲线在x=1处的切线与y=6x+6平行，而y=6x+6的斜率为6，所以f′(1)=6，即3+3a=6，解得a=1；(2)令g(x)=x3+3ax−16，g′(x)=3x2+3a=3(x2+a)，a=0时,g′(x)⩾0,g(x)在R递增，而x→−∞时,g(x)→−∞,x→+∞时,g(x)→+∞，故函数g(x)有且只有一个零点，即方程f(x)=15有且只有一个实根，a0,解得：或，令g′(x)，则g(x)在递增,在递减,在递增，故g(x)极大值，解得：，综上：-4，且每道题完成与否互不影响。
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浙江省北仑中学2012-2013学年高二数学下学期期中试题（2-6班）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的） 1．在复平面内，复数
i
1-i
对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
2． 已知函数()4f x ax =+,若0(1)(1)
lim
2x f x f x
∆→+∆-=∆，则实数a 的值为 （ ）
A. 2
B. 2-
C. 3
D. 3-
3．用反证法证明命题“若,,a b c 都是正数，则111
,,a b c b c a
+++三数中至少有一个不小于
2”，提出的假设是 （ ）
A ．,,a b c 不全是正数
B ．111
,,a b c b c a +++至少有一个小于2
C ．,,a b c 都是负数
D ．111
,,a b c b c a
+++都小于2
4.函数()323922y x x x x =---<<有 （ ）
A ．最大值5，最小值－22
B ．最大值5，最小值－2
C ．最大值5，无最小值
D ．最小值22-，无最大值
5.有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数'()f x ，如果0'()0f x =，那么0x x = 是函数()f x 的极值点，因为3()f x x =在0x =处的导数值'(0)0f =，所以0x =是函数
3()f x x =的极值点.以上推理中 （ ）
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.结论正确
6.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数(1)'()y x f x =-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
（ ）
A. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f
B. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f
C. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f
D. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -
7.已知一个命题P (k ),k =2n (n ∈N ),若n =1,2,…,1000时,P(k )成立,且当11000+=n 时它 也成立,下列判断中,正确的是 ( ) A.P(k )对k =2013成立 B.P(k )对每一个自然数k 成立 C.P(k )对每一个正偶数k 成立 D.P(k )对某些偶数可能不成立
8. 现准备将7台型号相同的健身设备全部分配给5个不同的社区，其中甲、乙两个社区每
个社区至少2台，其它社区允许1台也没有，则不同的分配方案共有 （ ） A ．27种 B ．29种 C ．35种 D ． 125种 9. 设点P 在曲线y x =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为 （ ）
.
A 1ln 22- .
B 1ln 2
2+ .C ln 2)- .D
10. 设函数(),y f x x R =∈，的导函数为'()f x ，且()()f x f x =-，()()f x f x '<，则下列不等式成立的是（注：e 为自然对数的底数） （ ） .A 12(0)(1)(2)f e f e f -<< .B 12(1)(0)(2)e f f e f -<< .C 21(2)(1)(0)e f e f f -<< .D 21(2)(0)(1)e f f e f -<<
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．设复数12z =-
+，则2z 的值为 . 12.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率是
16
25
，则该队员每次罚球的命中率为________. 13.若2()2'(1)f x xf x =+，则'(1)f ＝______________.
14.若函数()2x
f x e x a =--在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 15. 若函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域的一个子区间()1,1+-k k 上不是单调函数，则实
数k 的取值范围_______．
16.在平面内，余弦定理给出了三角形的三条边与其中一个角的关系，如：
2222cos a b c bc A =+-，把四面体V-BCD 与三角形作类比，设二面角V-BC-D ，V-CD-B ，
V-BD-C ，C-VB-D ，B-VC-D ，B-VD-C 的大小依次为123123,,,,,αααβββ我们可以得到“四 面体的余弦定理”：_____________________.（只需写出一个关系式） 17.记
)]'([)()1(x f x f =， )]'([)()1()2(x f x f =，…，)]'([)()1()(x f x f n n -=
)2,(≥∈+n N n ．若x x x f c o s )(=，则(1)(2)(2013)
(0)(0)(0)(0)
f f f f ++++的值为 .
三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分14分）
已知函数32
()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-
与1x =时都取得极值
(1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间
(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。
19. （本小题满分14分）
从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则试验结束.
（Ⅰ）求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率； （Ⅱ）记试验次数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．
20. （本小题满分14分）
设正数,,x y z , (1)满足1x y z ++=，求证：
149
36x y z
++≥； (2)若1=+y x ，求11
()()x y x
y
++的最小值。
21. （本小题满分16分） 已知函数()2ln p
f x px x x
=-
-. （1）若p=2，求曲线()f x 在点（1,f(1)）处的切线方程； （2）若函数在其定义域内是增函数，求正实数p 的取值范围； （3）设函数2()e
g x x
=
，若在[1,e]上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围.
22. （本小题满分14分）
（1）已知关于x 的不等式)0(2|||1|>≥-+-a a ax ax ，此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围。
（2）已知实数z y x l n m ,,,,,满足252
22=++l n m ，36222=++z y x ，
30=++lz ny mx ，求表达式
z
y x l
n m ++++的值
北仑中学2012学年第二学期高二年级期中考试数学卷（2-6班用）
答案
一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分． 在每小题给出的四个选项中, 只
有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．把答案填在答题卷的相应位置．
11. 12
+- 12. 35 13. -2
所以函数()f x 的递增区间是2
(,)3
-∞-与(1,)+∞,递减区间是2
(,1)3
-
； （2）3
21()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327
f c -=
+ 为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2
(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2
(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或。
X 的分布列为
12分
1395125
()12342828282814
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=
…………………14分
20． ⑴证明：（利用柯西不等式）
2149149
()()(123)36x y z x y z x y z
++=++++≥++=
(3) 2
41
e
p e >- 22.
答案：
[),3,6
5
+∞∈a。