2020高考理科数学冲刺—压轴大题高分练一
2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴(一)数学(理)试题(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{1A y y ==+，{}30B x x =-≤，则A B =I （ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．()2,+∞【答案】B【解析】首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可. 【详解】{{}11A y y y y ==+=≥，{}{}303B x x x x =-≤=≤，所以[]1,3A B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的值域，属于简单题.2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数cos sin33z i ππ=+，则3z 等于（ ）A ．12- B ．1- C ．12-D ．12-+ 【答案】B 【解析】根据欧拉公式得到3i z e π=，再计算3z 即可. 【详解】由题意得3cossin33iz i e πππ=+=，333()cos sin 1ii z e e i ππππ====-＋.故选：B本题主要考查三角函数求值问题，同时复数的概念，属于简单题.3．月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为1:2，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）A．423 3π-B．2313π-C．3πD．31π-【答案】B【解析】首先设半圆半径为r，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.【详解】如图所示：设半圆半径为r，半圆面积为22rπ，221(2)3OO r r r=-=弓形面积为()2221122233623r r r r rππ⨯⨯-⨯=-，概率为2222232312332rr rrπππ-+=-.故选：B本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题. 4．数列{}n a的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、49、50⋅⋅⋅其规律是：偶数项是序号平方再除2；奇数项是序号平方减1再除2.如图所示的程序框图是为了得到该数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入（）n≤？A．n是偶数？，100n≤？B．n是奇数？，100n<？C．n是偶数？，100n<？D．n是奇数？，100【答案】A【解析】模拟程序框图的运行过程，结合输出的条件，即可得到答案.【详解】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“n是偶数？”；n=>结束，执行程序框图，当101100n≤？.所以第二个框应该填100故选：A【点睛】本题主要考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于简单题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前6项之和为（ ） A ．11 B ．16 C ．10 D ．15【答案】D 【解析】首先根据21n n S a =-得到12n n a -=，代入2log n n b a =，再计算数列{}n b 的前6项之和即可. 【详解】因为21n n S a =-，当1n =时，11121S a a =-=，所以11a =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以121(21)n n n a a a -=---，即12n n a a -=. 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以12n n a -=，12log 21n n b n -==-，11(2)1n n b b n n --=---=，所以数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列， 数列{}n b 的前6项之和为1656152b d ⨯+= 故选：D 【点睛】本题主要考查由n S 求通项公式n a ，同时考查了等差数列的求和，属于中档题. 6．声音中包含着正弦函数.音的四要素：音调、响度、音长和音色都与正弦函数的参数有关.我们平时听到的音乐不只是一个音在响，是由基音和许多个谐音的结合，其函数可以是()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则()f x 的图象可以是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先根据()f x 为奇函数，排除C ，根据42f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ，根据()11111=236f x <++，排除A ，排除法即可得到答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，1111()sin()sin(2)sin(3)sin sin 2sin 3()2323f x x x x x x x f x -=-+-+-=---=-，所以()f x 为奇函数，排除C .221432f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ； 因为()11111=236f x <++，而A 选项的()max 2f x =，排除A. 故选：D 【点睛】本题主要考查根据解析式判断函数的图象，同时考查了函数的奇偶性，特值法以及函数的最值，属于中档题.7．过双曲线M ：()22210y x b b-=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率是（ ） A ．10B ．132C 13D ．133【答案】B【解析】首先设出直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立得到1(,)11bB b b -++， 1(,)11bC b b --.根据54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r 得到32b =，再计算离心率即可.【详解】由题可知(1,0)A -，所以直线l 的方程为1y x =+. 因双曲线M 的两条渐近线方程为y bx =或y bx =-.由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1(,)11b B b b -++；同理可得1(,)11bC b b --. 又()1,0OA =-u u u r ，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭u u u r ，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭u u u r因为54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r， 所以511b b b b =+-，解得32b =，2c =，2e =.故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意解出b ，c 的值为解题的关键，属于中档题.8．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，()20192020xf f x ⎡=⎤⎣⎦-.若()2sin 6g x x mx π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．(],2-∞-D ．[]2,1--【答案】B【解析】首先设()2019xt f x =-，得到()2019xf x t =+在R 上的增函数，从而得到()g x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.再利用导数转化为max [2cos()]6m x π≥-+，即可得到答案. 【详解】由于()f x 连续可导且无极值，故函数()f x 为单调函数， 可令()2019xt f x =-（t 为常数），使()2020f t =成立，故()2019xf x t =+，故()f x 为R 上的增函数.故()g x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.()2cos 06g x x m π⎛⎫'=++≥ ⎪⎝⎭在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即max [2cos()]6m x π≥-+. 因为3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以513,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故61cos ,12x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎝⎭⎣+⎥⎦，[]2cos 2,16x π⎛⎫-+∈-- ⎪⎝⎭， 所以1m ≥-. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的值域问题，同时考查了导数的单调区间和极值，属于中档题. 9．在平面四边形ABCD 中，AB BD ⊥，60BCD ∠=︒，223424AB BD +=，若将ABD △沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BDC -外接球的表面积是（ ） A ．4π B ．5πC ．6πD ．8π【答案】D【解析】首先根据二面角A BD C --为直二面角得到AB ⊥平面BCD .再将三棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球即可得到表面积. 【详解】 如图所示：因为二面角A BD C --为直二面角，且AB BD ⊥， 所以AB ⊥平面BCD .将三棱锥A BDC -放入三棱柱中，如图所示：1O ，2O 为底面外接圆的圆心，12O O 的中点O 为三棱锥A BDC -外接球的球心.在BDC V 中，2sin 60BD r =o，所以3r =. 因为222222221111()3234R r OO BD AB BD AB =+=+=+ 又因为223424AB BD +=，所以2211234BD AB +=所以22R =，外接球表面积 248S R ππ==. 故选：D 【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的表面积，同时考查了二面角，将三棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球为解题的关键，属于中档题.10．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】A【解析】首先利用指数函数和幂函数的单调性得到b c <和a b >，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案. 【详解】因为3xy =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <. 因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()xf x x=，21ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数， (,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <. 所以b a c <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.11．已知F 为抛物线C ：28y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AD EB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ） A ．60 B ．62C ．64D ．66【答案】C【解析】首先设出()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，联立直线1l ，2l 和抛物线得到()212242k x x k++=，124x x=，()234412x x k +=+，344x x =.利用向量的减法化简AD EB ⋅u u u r u u u r得到FD FE FA F AD B B E ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r ，再利用焦半径公式和基本不等式从而得到最小值. 【详解】 如图所示：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ， 直线1l 方程为()()20y k x k =-≠，则直线2l 方程为()12y x k=--， 联立()228y k x y x⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()212242k x x k++=，124x x=；同理()223424211412k x x k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+==+，344x x =. ()()AD EB FD FA FB FE FD FE FA FB ⋅=-⋅-=-⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()()()12342222FD FE FA FB x x x x +++++⋅=+⋅()()12341234822x x x x x x x x =++++++()()2222282161681232163264k k k k k +=+++=++≥+=. 当且仅当1k =±时，取“=”. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查了抛物线的焦半径公式和基本不等式，属于中档题.12．已知函数()f x ，()g x 定义域为R ，()()1f x g x +=.若()()()()()()(),, ,,f x f xg x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩且()()2222F x x a x a a R =-+∈，则关于x 的方程()()1f x g x -=有两解时，a 的取值范围为（ ）A．{}1122⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭B．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．{}112⎛⎤-⋃ ⎥ ⎝⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由题知()()()()()2f xg x f x g x F x ++-=，根据题意得到：()12F x ≥恒成立且()1F x =有两解.分别讨论0a <和0a >时的情况，根据图象即可得到a 的取值范围. 【详解】由题意知：()()()()()2f xg x f x g x F x ++-=，则()()()210f x g x F x -=-≥对任意的x ∈R 恒成立， 又()()1f x g x -=有两解， 则()12F x ≥恒成立且()1F x =有两解. ()222222()F x x a x a x a a =-+=-+.当0a <时，如图所示：只需21212a ≤<，解得2122a -<≤-. 当0a >时，如图所示：只需212a ≥且221a <或者21a =即可，解得1a =. 综上所述：{}21,122a ⎛⎤∈--⋃ ⎥ ⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.二、填空题13．变量x ，y 满足约束条件220,240,10,x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数232z x y =--的取值范围是______. 【答案】[]3,2-【解析】首先根据不等式组画出可行域，根据可行域化简目标函数得到2633z y x +=-+，再根据z 的几何意义结合可行域即可得到z 的取值范围. 【详解】不等式的可行域如图所示：由图知：0x ≥，02y ≤≤，因此23(2)236z x y x y =+-=+-，此时2633z y x +=-+，直线的纵截距越大，z 越大，纵截距越小，z 越小. 当直线经过点()0,1A 时，min 363z =-=-，联立24010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)C .当直线经过点(1,2)C 时，max 2662z =+-=， 所以z 的范围为[]3,2-. 故答案为：[]3,2- 【点睛】本题主要考查线性规划，根据不等式组画出可行域为解题的关键，属于中档题.14．设1e u r ，2e u u r 为单位向量，非零向量()12,a xe ye x y R =+∈r u r u u r ，若1e u r ，2e u u r 的夹角为3π，则yar 的最大值等于______.【答案】3【解析】首先计算2a r ，化简22y ar 得到2221()1x x y y y a =++r ，再利用二次函数的最值得到yar 的最大值. 【详解】当0y =时，0ya=r . 当0y ≠时，222222211222=a x e xye e y e x xy y =++++r u r u r u u r u u r g， 则2222221()1y x x x xy y yy a y ==++++r ， 因为22133()1()244xx x yy y ++=++≥ 所以()222140133()24y a y x y =≤≠++r所以y a r【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，同时考查了二次函数的最值，属于中档题.15．在数列{}n a ，{}n b 中，()12n n n a a b +=++，()12n n n b a b +=+-11a =，11b =.设11n n mc a b +=，则数列{}n c 的通项公式n c =______. 【答案】22n -【解析】首先让两式()12n n n a a b +=++和()12n n n b a b +=+-别相加和相乘得到212n n n a b -+=和13382n n n n a b --⋅==，再代入n c 即可得到通项公式.【详解】由()12n n n a a b +=++，()12n n n b a b +=+-两式相加可得：()114n n n n a b a b +++=+. 112a b +=，故数列{}nn a b +是以2为首项，4为公比的等比数列.212n n n a b -+=.两式相乘得：()()22211448n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅，111a b =，故{}n n a b ⋅是以1为首项，8为公比的等比数列， 13382n n n n a b --⋅==，所以2123311222n n n n n n n n n n a b c a b a b ---⎛⎫+=+===⎪⋅⎝⎭. 故答案为：22n - 【点睛】本题主要考查利用定义求等差数列和等比数列的通项公式，同时考查了学生分析问题的能力，属于中档题.16．已知a R ∈，函数()sin 2cos x f x a a x =-++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，则a的取值范围为______.【答案】1(,]4-∞ 【解析】首先令()sin 2cos xg x x=+，利用导数求出函数的单调区间和最值，再分类讨论a 的范围即可得到答案.【详解】 令()sin 2cos x g x x=+，()()22cos 12cos x g x x +'=+， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()0g x '>，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，()00g =，122g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()102g x ≤≤，()12a g x a a -≤-≤-.若0a ≤，()()1[0,]2f xg x =∈，此时()f x 最大值为12，成立； 若12a ≥，()()12[2,2]2f x a g x a a =-∈-，则()max 122x f a ==，14a =，不成立，舍去.若102a <<，()max 1max 2,2f x a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，只需122a ≤，即104a <≤. 综上所述：14a ≤. 故答案为：1(,]4-∞【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值问题，构造函数()g x 为解题的关键，属于难题.三、解答题17．已知ABC V 的内角为A ，B ，C ，它们的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=. （1）求角B 的大小；（2）若1cos 7A =，BA BC +=u uu r u u u r ABC V 的面积.【答案】（1）3B π=（2）【解析】（1）首先利用三角函数的诱导公式得到sin cossin 22BBa ab A π-==，再利用正弦定理的边化角即可得到1sin22B =，3B π=.（2）首先根据已知1cos 7A =和3B π=得到53sin 14C =，利用余弦定理得到2211129474c b cb +-=，再根据sin 7sin 5b B c C ==算出b ，c 值求面积即可. 【详解】 （1）因为sinsin 2A Ca b A +=，所以sin cos sin 22B B a a b A π-==， 由正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==知，sin cos sin sin 2B A B A =， 而sin 0A ≠，则cos sin 2sin cos 222B B BB ==， 又0B π<<，022B π<<，cos 02B ≠，所以1sin 22B =. 26B π=，3B π=. （2）设ABC V 三边分别为a ，b ，c ，AC 中点为M ， 如图所示：因为1cos 7A =，所以43sin A =. 又因为3B π=，()53sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=. 因为1292BA BC BM +==u u u r u u u r u u u u r ，所以1292BM =.由余弦定理知2222cos BM AB AM AB AM A=+-⋅⋅2222111111292427474c b c b c b cb =+-⋅⋅=+-=，因为3sin72sin553b BcC===，75b c=.得到221717129()45754c c+⨯-⨯=解得5c=，7b=.1143sin5710322S bc A==⨯⨯⨯=.【点睛】本题第一问考查利用正弦定理的边化角求角，第二问考查余弦定理解三角形，同时考查正弦定理的面积公式，属于中档题.18．如图，三棱柱111ABC A B C-中，CA CB=，1AA BC⊥，145BAA∠=︒.（1）求证：平面11AA C C⊥平面11AA B B；（2）若122BB==，直线11B C与平面11ABB A所成角为45°，D为1CC的中点，求二面角11B AD C--的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）31414【解析】（1）首先过点C作1CO AA⊥，垂足为O，根据1CO AA⊥，1AA BC⊥得到1AA⊥平面BOC，从而得到1AA OB⊥.又因为Rt AOC Rt BOC△≌△得到CO OB⊥，CO AO⊥，从而得到CO⊥平面11ABB A，由此即证平面11AA C C⊥平面11AA B B.（2）首先以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，根据直线11B C与平面11ABB A所成角为45o得到2AB=，1AO BO CD ===，再利用向量法求二面角11B AD C --的余弦值即可.【详解】（1）过点C 作1CO AA ⊥，垂足为O . 因为1AA BC ⊥，BC 交CO 于点C ， 所以1AA ⊥平面BOC .又因为OB ⊂平面BOC ，故1AA OB ⊥. 因为145A AB ∠=︒，1AA OB ⊥，所以AOB V 为等腰直角三角形，则OA OB =. 又因为CA CB =，CO CO =，所以Rt AOC Rt BOC △≌△，故90COA COB ∠=∠=︒， 故CO OB ⊥，CO AO ⊥.因为BO ，AO ⊂平面11ABB A ，BO AO O =I ，所以CO ⊥平面11ABB A . 又因为CO ⊂平面11AAC C ，故平面11AAC C ⊥平面11AA B B . （2）由（1）知CO ⊥平面11AA B B .以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系O xyz -.因为直线11B C 与平面11ABB A 成角为45°，而11//BC B C ， 所以直线BC 与平面11ABB A 成角为45︒，而CBO ∠是直线BC 与平面11AA B B 所成角，故45CBO ∠=︒.所以AB =，1AO BO CD ===，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()11,0,0A -，()12,1,0B -，()1,0,1D - ()2,0,1AD =-u u u r ，()11,1,1B D =-u u u u r设平面1AB D 的法向量为()111,,n x y z =r，则111111200n AD x z n B D x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，令11x =，得()1,3,2n =r .因为OB ⊥平面11AAC C ，所以OB uuu r为平面1AC D 的一条法向量，()0,1,0OB =u u u r .所以cos ,14n OB n OB n OB⋅<>===⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，二面角11B AD C --的余弦值为14. 【点睛】本题第一问考查面面的垂直的证明，第二问考查向量法求二面角，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19．某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验，如果检查到第0n 件仍未发现不合格品，则此次检查通过且认为这批产品合格，如果在尚未抽到第0n 件时已检查到不合格品则拒绝通过且认为这批产品不合格.设这批产品的数量足够大，可以认为每次检查查到不合格品的概率都为p ，即每次抽查的产品是相互独立的. （1）若05n =，求这批产品能够通过检查的概率；（2）已知每件产品质检费用为50元，若04n =，设对这批产品的质检个数记作X ，求X 的分布列；（3）在（2）的条件下，已知1000批此类产品，若11,2010p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则总平均检查费用至少需要多少元？（总平均检查费用=每批次平均检查费用⨯批数）【答案】（1）()51p -（2）详见解析（3）171950元【解析】（1）根据05n =，这批产品能够通过检查说明前5次都通过检查，即可得到()()51P A p =-.（2）根据题意得到1X =，2，3，4，分别计算概率再列出分布列即可.（3）首先计算数学期望，令()()32464f p E X p p p ==-+-+，利用导数求出其最小值，即可得到答案. 【详解】（1）因为05n =，记事件A 为“当05n =时，这批产品能够通过检查”， 则由题意知：()()51P A p =-. （2）由题可知1X =，2，3，4()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()231P X p p ==-，()()341P X p ==-所以X 的分布列为：（3）由（2）可知X 的数学期望为：()()()()2332213141464E X p p p p p p p p p =+-+-+-=-+-+.设()32464f p p p p =-+-+，()2386f p p p '=-+-，因为64720∆=-<，所以()0f p '<， 所以()f p 在11,2010p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减， 所以()min 11464 3.43910100010010f p f ⎛⎫==-+-+=⎪⎝⎭所以每批次平均检查费用至少为50 3.439171.95⨯=（元）所以1000批次此类产品总平均检查费用至少需要1000171.95171950⨯=（元）【点睛】本题主要考查离散型随机变量，同时考查了数学期望的应用，利用导数思想求最值为解题的关键，属于中档题.20．平面内与两定点()12,0A -，()22,0A 连线的斜率之积等于14-的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线为C .若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A 、B 满足0MA MB ⋅=u u u r u u u r.（1）求曲线C 的轨迹方程； （2）求ABM V 面积S 的最大值.【答案】（1）2214x y +=（2）6425【解析】（1）首先设出(),P x y ，根据斜率之积等于14-得到()1212224A P A P y y k k x x x ⋅=⋅=-≠±+-，再化简即可得到曲线C 的轨迹方程. （2）分别讨论AB 的斜率存在和不存在时，根据0MA MB ⋅=u u u r u u u r，设出直线方程与椭圆联立，利用根系关系得到直线恒过30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再将ABM V 面积转化为ABM AMN BMN S S S =+V V V ，利用根系关系和对勾函数的单调性即可得到面积的最大值.【详解】（1）设曲线C 上任意一点(),P x y ，12A P y k x =+，22A P y k x =-， ()1212224A P A P y y k k x x x ⋅=⋅=-≠±+-， 整理得：()22124x y x +=≠±.又曲线C 加上1A ，2A 两点，所以曲线C 的方程是：2214x y +=.（2）由题意可知()0,1M ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =＋，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到()222148440k x kmx m +++-=，则122814km x x k -+=+，21224414m x x k -⋅=+.()11,1MA x y =-u u u r ，()22,1MB x y =-u u u r，因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有()()1212110x x kx m kx m ⋅++-+-=，()()()()2212121110k x xk m x x m +⋅+-++-=，()()()2222244811101414m km k k m m k k--++-+-=++， ()()()()()22222144811140k mk m m m k +---+-+=化简得到()()1530m m -+=，解得：35m =-或1m =（舍）. 当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r的直线AB 为：0x =.因此，直线AB 恒过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以1212ABM AMN BMN S S S MN x x =+=-=V V V1212MN x x ==-ABMS =V ， 因为35m =-，所以2322514ABM S k =+V .设2t =≥，()2323229494t S t t t t==≥++. 由对勾函数的单调性得到94y t t=+在[2,)+∞为增函数，所以92542t t +≥. 即：6425S ≤（0k =时取到最大值）. 所以ABM 面积S 的最大值为6425.【点睛】本题第一问考查圆锥曲线的轨迹方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于难题.21．已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. （1）求a 的值；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，有()2f x kx ≤恒成立，求实数k 的最小值；（3）记()12ln 2121nn i S n i ==-+-∑，[]x 为不超过x 的最大整数，求[]n S 的值. （参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈） 【答案】（1）1a =（2）12（3）[]0,1,1, 2.n n S n =⎧=⎨≥⎩ 【解析】（1）首先求导()1x a f x x a+-=+'，求出函数的单调区间，根据单调区间得到最小值，即可得到a 的值.（2）当0k ≤时，易证不合题意，当0k >时，令()()()22ln 1g x f x kx x x kx =-=-+-，()()2121x kx k g x x ⎡⎤---⎣⎦'=+，令()0g x '=，可得10x =，2122k x k-=.分类讨论12k ≥和102k <<时()g x 的单调性和最值即可得到实数k 的最小值.（3）当1n =时，()12ln30,1S =-∈，[]10S =.当2n ≥时，()1122ln 212121nnn i i f n S i i ==⎛⎫==-+= ⎪--⎝⎭∑∑，取12k =，得()21()20f x x x ≤≥，从而得到()()()*222,N 212321f i i i i i ⎛⎫<≥∈ ⎪---⎝⎭，所以12ln 31221nS n <-+-<-.又因为10n n S S -->，得到123012n S S S S <<<<<⋅⋅⋅<<，即可得到[]0,11,2n n S n =⎧=⎨≥⎩.【详解】 （1）()()111x a x a x a f x x a+-=-+'=>-+，令()0f x '=，得1x a =-，()f x 在(),1a a --单调递减，()1,a -+∞单调递增，()()min 110f x f a a =-=-=，所以1a =.（2）当0k ≤时，取1x =，有()11ln 20f =->，故0k ≤不合题意. 当0k >时，令()()()22ln 1g x f x kx x x kx =-=-+-，求导函数可得()()21211211x kx k g x kx x x ⎡⎤---⎣⎦'=--=++，令()0g x '=，可得10x =，21212kx k-=>-. ①当12k ≥时，1202k k-≤， 所以[)0,x ∈+∞，()0g x '≤恒成立， 因此()g x 在[)0,+∞上单调递减，从而对任意的[)0,x ∈+∞，总有()()00g x g ≤=，即对任意的[)0,x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，故12k ≥符合题意； ②当102k <<时，1202k k->， 对于120,2k x k -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，因此()g x 在120,2k k -⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 从而当0120,2k x k -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()000g x g ≥=， 即有()200f x kx ≤不成立，故102k <<不合题意.综上， k 的最小值为12. （3）当1n =时，()12ln30,1S =-∈，[]10S =. 当2n ≥时，11222ln 1212121nn i i f i i i ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()12ln 2121nn i n S i ==-+=-∑由（2）知，取12k =，得()21()20f x x x ≤≥，从而()()()()2*2212222,N 21221232121f i i i i i i i ⎛⎫⎛⎫≤=<≥∈ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭-， 所以()()()12222222ln 233212211nnnn i i i S f f fi i i i ===⎛⎫⎛⎫==+<-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝--⎭∑∑∑ 21112ln 32ln 312232121ni i i n =⎛⎫=-+-=-+-< ⎪---⎝⎭∑. 又()()1112ln 21221n n i S n n i --==--≥-∑， 所以122122ln ln 121212121n n n S S n n n n -+⎛⎫-=-=-+ ⎪----⎝⎭. 令221t n =-，则()0,1t ∈，设()()ln 1h t t t =-+， ()11011th t t t'=-=>++，所以()h t 在()0,1单调递增，则()()00h t h >=，所以{}n S 单调递增，即1230n S S S S <<<<⋅⋅⋅<，又222ln 513S =+->， 所以123012n S S S S <<<<<⋅⋅⋅<<，所以[]0,11,2n n S n =⎧=⎨≥⎩. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，利用导数解决恒成立问题，同时考查了分类讨论和构造函数的思想，属于难题.22．已知在极坐系中，点(),P ρθ绕极点O 顺时针旋转角α得到点(),P ρθα'-.以O 为原点，极轴为x 轴非负半轴，并取相同的单位长度建立平面直角坐标系，曲线E ：1xy =绕O 逆时针旋转4π得到曲线C . （1）求曲线E 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）点M 的极坐标为4,4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点M 且与曲线E 交于A ，B 两点，求MA MB⋅的最小值.【答案】（1）2sin 22ρθ=；22122y x -=（2）14【解析】（1）首先根据题意得到E 的极坐标方程为2sin 22p θ=，设(),P ρθ为曲线C 上任意一点，得到点,4P πρθ⎛⎫'-⎪⎝⎭在曲线E 上，即2sin 222πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再化简得到曲线C 的直角坐标方程为22122y x -=.（2）首先设l：cos ,sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入1xy =得到()2cos sin sin cos 70t αααα+++=，利用直线参数方程的几何意义得到1214sin 2MA MA t t α⋅==，再利用三角函数的性质即可得到最小值.【详解】（1）由E 的直角坐标方程为1xy =可得cos sin 1ρθρθ⨯=即：2sin 22p θ=，设(),P ρθ为曲线C 上任意一点， 则P 绕O 顺时针旋转4π得到点,4P πρθ⎛⎫'- ⎪⎝⎭在曲线E 上，则2sin 222πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2cos 22ρθ=-， ()22222si cos n 2x y ρθθ-=-=-所以曲线C 的方程为22122y x -=.（2）M的直角坐标为(，设l：cos ,sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入1xy=，整理后可得()2cos sin sin cos 70t αααα+++=.127cos sin t t αα=g所以1271414cos sin sin 2MA MA t t ααα⋅===≥.当且仅当4k παπ=+或()4k k Z παπ=-∈时取等号，此时>0∆，符合条件.故MA MB ⋅的最小值为14【点睛】本题第一问考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，第二问考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.23．已知函数()21f x x x =+-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222221a b a c b cc b a+++++≥.【答案】（1）12M =（2）证明见解析； 【解析】（1）首先化简解析式得到()31,01=1,02131,2x x f x x x x x ⎧⎪-+<⎪⎪-≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，根据函数的单调性即可得到()f x 的最小值.（2）首先利用重要不等式得到222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a+++++≥++，再根据均值不等式和12a b c ++=即可证明. 【详解】（1）()31,0,1=211,0,2131,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<⎪⎪+-=-≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩因为函数13(0)y x x =-<是减函数，11(0)2y x x =-≤<是减函数；131()2y x x =-≥是增函数，故当12x =时，()f x 取得最小值11()22M f ==.（2）222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a+++++≥++()()()2()1b c a c c ba b c a b c c b c a b a=+++++≥++=，当且仅当16a b c ===取等号.【点睛】本题第一问考查求绝对值函数的最值，把绝对值函数变为分段函数为解题的关键，第二问考查利用均值不等式的性质证明不等式，属于中档题.。
2020年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅰ卷)(考试版)
数学试题 第 1页（共 6页）
数学试题 第 2页（共 6页）
A．7
B．20
C．22
D．54
7. 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在 0, 上单调递增，则（ ）
A． f 3 f log313 f 20.6 C． f 20.6 f log313 f 3
B． f 3 f 20.6 f log313 D． f 20.6 f 3 f log313
A. 这 天中有 天空气质量为一级 B. 从 日到 日 PM 2.5 日均值逐渐降低 C. 这 天中 PM 2.5 日均值的中位数是 D. 这 天中 PM 2.5 日均值最高的是 5 月 日 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． (M P) S
数学试题 第 4页（共 6页）
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（Ⅱ）设直线 BD1 与动点 F 的轨迹所在平面所成的角记为 ，求 cos ．
D1 A1
E C1
B1
D C
A
B
19．（本小题满分 12 分） 为了迎接 2019 年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了 500 名学生的 数学考试成绩，统计如下表所示：
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 {an} 是等差数列， a2 3 ， a5 6 ，数列{bn} 的前 n 项和为 Sn ，且 2bn Sn 2 ．
2020高考理科数学押题卷含答案
形镜子的最大面积为 （ ）
A、10 平方分米
B、20 平方分米
C、40 平方分米 D、
1600 平方分米
41
（文）函数 y 3x 1的图象
x2
A. 关于点(2,3)对称
C. 关于直线 x= 2 对称
称
（） B. 关于点(2,3)对称
D. 关于直线 y= 3 对
9．若双曲线 x2 y2 1的左支上一点 P（a ，b）到直线 y x 的距离为
4
4
7．（理）C .如图，复数2 i 与 3 3i 对应的向量垂直，
2
所以 3 3i 的辐角主值是 3 。
2
2
C 32+3i
O
2-i
B
（文）A .当函数的图像左右平移时，不改变函数的
B
A
值域。 8．(理)C．如图可设 A 的坐标为 (5cos,4sin ) ，
-6
-4
-2 -1
-2
C
-3
-4
D
16．3 .
2
由非负性
1 2 3
P
0
P
3 2
，Eξ＝0
1
2 3
P
1
P 3
2
P 3
P
3 2
三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤)
17．解：(1)∵2sin2A-cos2A=2 ∴cos2A=- 1 ∴A=
2
3
分)
…………(6
(2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1+sin(2B- )
2
2
（1）求 a, k 之值；
2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴(一)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴（一）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{1A y y ==，{}30B x x =-≤，则A B =I （） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．()2,+∞ 答案：B首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可.解： {{}11A y y y y ==+=≥，{}{}303B x x x x =-≤=≤，所以[]1,3A B ⋂=.故选：B.点评：本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的值域，属于简单题.2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数cossin 33z i ππ=+，则3z 等于（）A ．122-B ．1-C ．122--D ．122-+ 答案：B 根据欧拉公式得到3i z e π=，再计算3z 即可.解： 由题意得3cossin 33i z i e πππ=+=， 333()cos sin 1i i z e e i ππππ====-＋. 故选：B点评：本题主要考查三角函数求值问题，同时复数的概念，属于简单题.3．月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为1:2，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）A．423 3-B．2313-C．3πD．31π-答案：B首先设半圆半径为r，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.解：如图所示：设半圆半径为r，半圆面积为22rπ，221(2)3OO r r r=-=弓形面积为()2221122233623r r r r rππ⨯⨯-⨯=-，概率为2222232312332rr rrπππ-+=-.故选：B点评：本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题. 4．数列{}n a的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、49、50⋅⋅⋅其规律是：偶数项是序号平方再除2；奇数项是序号平方减1再除2.如图所示的程序框图是为了得到该数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入（）A ．n 是偶数？，100n ≤？B ．n 是奇数？，100n ≤？C ．n 是偶数？，100n <？D ．n 是奇数？，100n <？答案：A模拟程序框图的运行过程，结合输出的条件，即可得到答案.解：根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“n 是偶数？”；执行程序框图，当101100n =>结束，所以第二个框应该填100n ≤？.故选：A点评：本题主要考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于简单题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前6项之和为（）A ．11B ．16C ．10D ．15答案：D首先根据21n n S a =-得到12n n a -=，代入2log n n b a =，再计算数列{}n b 的前6项之和即可.解：因为21n n S a =-，当1n =时，11121S a a =-=，所以11a =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以121(21)n n n a a a -=---，即12n n a a -=. 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以12n n a -=，12log 21n n b n -==-，11(2)1n n b b n n --=---=，所以数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列，数列{}n b 的前6项之和为1656152b d ⨯+= 故选：D点评： 本题主要考查由n S 求通项公式n a ，同时考查了等差数列的求和，属于中档题.6．声音中包含着正弦函数.音的四要素：音调、响度、音长和音色都与正弦函数的参数有关.我们平时听到的音乐不只是一个音在响，是由基音和许多个谐音的结合，其函数可以是()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则()f x 的图象可以是（） A ． B ．C ．D ． 答案：D首先根据()f x 为奇函数，排除C ，根据42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ，根据()11111=236f x <++，排除A ，排除法即可得到答案. 解：因为()f x 的定义域为R ，1111()sin()sin(2)sin(3)sin sin 2sin 3()2323f x x x x x x x f x -=-+-+-=---=-， 所以()f x 为奇函数，排除C.1432f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ； 因为()11111=236f x <++，而A 选项的()max 2f x =，排除A. 故选：D点评： 本题主要考查根据解析式判断函数的图象，同时考查了函数的奇偶性，特值法以及函数的最值，属于中档题.7．过双曲线M ：()22210y x b b -=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，则双曲线的离心率是（）ABCD答案：B首先设出直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立得到1(,)11b B b b -++，1(,)11b C b b --.根据54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r 得到32b =，再计算离心率即可. 解：由题可知(1,0)A -，所以直线l 的方程为1y x =+.因双曲线M 的两条渐近线方程为y bx =或y bx =-.由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1(,)11b B b b -++；同理可得1(,)11b C b b --. 又()1,0OA =-u u u r ，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭u u u r ，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭u u u r。
2020年高考数学(理)终极押题卷(全解全析)
2020年高考数学（理）终极押题卷（全解全析）1．【答案】C 【解析】因为312iz i-=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．2．【答案】C【解析】由题得221,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩∴1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,1,x y =⎧⎨=⎩则A ∩B ={(1,0),(0,1)}.故选C.3．【答案】B【解析】因为222131331()44244x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,,22-<-<∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，故选B.4．【答案】D【解析】由图表可知：2012年我国实际利用外资规模较2011年下降，可知A 错误；2000年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知B 错误； 2008年我国实际利用外资同比增速最大，高于2010年，可知C 错误，D 正确.本题正确选项：D . 5．【答案】A【解析】Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，()0d ≠，11a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列，2326a a a ∴=⋅，()()()211125a d a d a d ∴+=++，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616562S a d ⨯=+()65612242⨯=⨯+⨯-=-. 故选：A. 6．【答案】B【解析】由a r ∥b r得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+⋅=++≥+=，当且仅当49x y y x=时取等号，所以选B. 7．【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrr r T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C. 8．【答案】C【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．9．【答案】C【解析】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项． 10．【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k πϕπ=+∈Z ．因为0ϕπ<<，故2ϕπ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a a π==，所以12a =． 综上，()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．11．【答案】A【解析】设BC 的中点是E ，连接DE ，A ′E ， 因为AB ＝AD ＝1，BD， 由勾股定理得：BA ⊥AD ，又因为BD ⊥CD ，即三角形BCD 为直角三角形， 所以DE为球体的半径，2DE =，2432S ππ==， 故选A . 12．【答案】A【解析】由题可知2(31),0()2ln 1,0x m x f x mx x x -+≤++'⎧=⎨>⎩，当0x >时，令()0f x '=，可化为ln 12x m x +-=，令()ln 1x g x x +=，则()2ln xg x x-='，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()g x 的图象如图所示，所以当021m <-<，即12m -<<时，()0f x '=有两个不同的解；当0x ≤，令()0f x '=，3102m x +=<，解得13m <-，综上，11,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.13．【答案】22【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22. 14．【答案】乙【解析】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书， 丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小， 得到年龄从大到小是乙>丙>学委， 由此得到乙不是学委，故乙是班长． 故答案为乙． 15．【答案】985987【解析】由题1n a +＝n a +n +2，∴12n n a a n +-=+，所以213a a -=，324a a -=，435a a -=，…，()112n n a a n n --=+≥，上式1n -个式子左右两边分别相加得()()1412n n n a a +--=，即()()122nn n a ++=，当n =1时，满足题意，所以111212n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，从而12985111111111985 (22334986987987)a a a L +++=-+-++-=. 故答案为985987. 16．【答案】y x =±【解析】设12,PF m PF n == ,可得2m n a -= ,可得22224m mn n a -+=（1）, 在12PF F △中，由余弦定理可得2222242cos3c m n mn m n mn π=+-=+-（2），因为2PO b =，所以在1PFO △，2POF V 中分别利用余弦定理可得， ()2222221144cos ,44cos m c b b POF n c b b POF π=+-∠=+--∠,两式相加可得222228m n c b +=+ ,分别与（1）、（2）联立得22222222222284102,28462mn c b a b a mn c b c b a =+-=-=+-=-，消去mn 可得22a b =，a b = 所以双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y x =±，故答案为y x =±.17．（12分）【解析】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：22b c a a ⎫+=⎪⎭，即222b c a +-=，再由余弦定理可得2cos bc A =，即cos A =所以4A π=.（6分）（2）因为3B π=，所以()sin sin C A B =+=由正弦定理sin sin a b A B=，可得b =13sin 24ABC S ab C ∆+==.（12分） 18．（12分）【解析】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP .（5分） （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=.由432AFa=，得23AF a=.又由20,,23a a F⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02B a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，知32,,223a a aBF⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v，20,,23a aOF⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u v.设平面BDF的法向量为(),,n x y z=v，由n BF⊥u u u vv，n OFu u u vv⊥，得3223223a a ax y za ay z⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z=，得()0,4,3n=v.又0,,2aP a⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,0D a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以3,,2a aPD a⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v.设PD与平面BDF所成角为θ，则222232sin1031544n PD a an PDa a aθ⋅-===++u u u vvu u u vv.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.（12分）19．（12分）【解析】（1）依题意得33,2cc aa==⇒=，又2231a b b-=⇒=∴椭圆C的方程为2214xy+=.（4分）（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++. 由题设知()()12212121212kx m kx m y y k k k x x x x ++=== ()212212km x x m k x x ++=+， ∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k-+=+， ∵0m ≠，∴214k =. 此时()()()222221212224184,211414m km x x m x x m k k --⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭则2222222222121122121144x x OM ON x y x y x x +=+++=+-++-()()2221212123322244x x x x x x ⎡⎤=⨯++=+-+⎣⎦()223441254m m ⎡⎤=--+=⎣⎦ 故直线l 的斜率为221,52k OM ON =±+=.（12分）20．（12分）【解析】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在(]4,8上的概率为：()20.140.0620.45p =+⨯==， 设“任选3台电脑，至少有两台使用时间在(]4,8”为事件A ，则 ()23233323244·555125P A C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（4分） （2）（ⅰ）由a bxy e +=得ln y a bx =+，即t a bx =+，10110221110ˆ0i i i ii x t xtbx x =-=-=-∑∑279.7510 5.5 1.90.338510 5.5-⨯⨯==--⨯()1.90.3 5.53ˆ.55a=--⨯=，即0.3 3.55t x =-+，所以0.3 3.55ˆx y e -+=.（8分） （ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中的回归方程，在区间(]0,2上折旧电脑价格的预测值为 3.550.31 3.2526e e -⨯=≈， 在区间(]2,4上折旧电脑价格的预测值为 3.550.33 2.6514e e -⨯=≈， 在区间(]4,6上折旧电脑价格的预测值为 3.550.35 2.057.8e e -⨯=≈， 在区间(]6,8上折旧电脑价格的预测值为 3.550.37 1.45 4.3e e -⨯=≈， 在区间(]8,10上折旧电脑价格的预测值为 3.550.390.85 2.3e e -⨯=≈， 于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：0.2260.36140.287.80.12 4.30.04 2.313.032⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的的费用为： 100013.0321303200⨯=（元）（12分） 21．（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+?，没有单调减区间；（5分） （2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增.从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--. 对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-Q ，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证.（12分） 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（4分）（2）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d αP 的直角坐标为31(,)22.（10分）23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，①当1x ≤-时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜． ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（5分）（2）当x ∈R 时，()()11112f x x x x x =+--≤++-=； ()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时， ()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．（10分）。
2020年高考(理科)数学预测押题密卷最后一卷 参考答案
理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足 x2 2x 3 0 ，(x 3)(x 1) 0 ，解得x3或x 1 ，则C UA {x|1 x3}，集合B满足1 2x 20，2x 2x 2 20 0，解得x1，可知(CUA)B {x |1 x 3} .故选 D.2. 【答案】B【解析】由题可得 z i i2020 1 i (1 2i)(1 i) 3 1 i ，可知1 2i 1 2i555| z | (3)2 ( 1)2 10 .故选 B.5553. 【答案】A【解析】由偶函数定义可知，函数 f (x) x2 (a 1)x a 满足f (x) f (x) ，所以 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 在 [2，2] 上恒成立，解得 a 1 ，所以 f (x) x2 1 ，当 f (x) 2 时，即 x2 1 2 ，解得 1 x 1，可知所求的概率为 P 1 .故选 A. 24. 【答案】B【解析】已知数列 an2n 1 ，其前 n项的和 Sn(2 11 22n 1)n n(n 2) ，则 1 1 1 ( 1 1 ) ，所以 1 1 1Sn n(n 2) 2 n n 2S1 S2Sn 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 1 1 ) .故选 B.2 324n n 2 2 2 n 1 n 25. 【答案】D【解析】第一次执行， c 4，a 5，b 4，k 2 ；第二次执行，c 1，a 4，b 1，k 3 ；第三次执行， c 5，a 1，b 5，k 4 ；第四次执行， c 4，a 5，b 4，k 5 ；第五次执行，c 1，a 4，b 1，k 6 ；第六次执行， c 5，a 1，b 5，k 7 ；第七次执行， c 4，a 5，b 4，k 8 ；….故该循环具有周期性，且周期为 6，则输出的 c 的值为 4 .故选 D.6. 【答案】B【解析】设圆心到双曲线的渐近线的距离为 d ，由弦长公式可得，函数 f (x) 的最小值为 2 3 3 ，最大值为 2 3 3 .故选 D.449. 【答案】A【解析】解法一：设 D 是 ABC 的边 BC 的中点，连接GD ，因为G 是 ABC 的重心，所以 A，G，D 三点共线， AG 2 AD 2 331 (AB AC) 1 (AB AC) .又 H 是 BG 的中点，所以 AH 1 ( AB232 AG) 1 [ AB 1 (AB AC)] 1 (4AB AC)，236则 AG·AH 1 (AB AC)·1 (4AB AC)36 1 (4 | AB |2 5 | AB |·| AC | cos BAC | AC |2) 18 1 (4 22 5 2 3 1 32) 20 .故选 A.1829解法二：以点 A 为原点建立平面直角坐标系如图，由已知可得 A(0，0)，B(1， 3)，C(3，0)，G( 4 ， 3 )，H (7 ，2 3 )3363 AG ( 4 ， 3 ) ， AH (7 ，2 3 ) ，3363 AG·AH 4 7 3 2 3 20 .故选 A. 36 3 3 910.【答案】A【解析】如图所示，2 2 d 2 2 ，解得 d 1，又双曲线 C 的渐近线方程为 bx ay 0 ，圆心坐标为 (0，2) ，故 | 0 2a | 1 ，即 2a 1 ，所以双曲线 C 的离a2 b2c心率 e c 2 .故选 B. a7. 【答案】A【解析】在 (2 x3)(x a)5 中，令 x 1 ，得展开式的各项系数和为(1 a)5 32 ，解得 a 1 ，故 (x 1)5 的展开式的通项 Tr1 C5r x5r .当 r 1 时 ， 得 T2 C15x4 5x4 ， 当 r 4 时 ， 得 T5 C54x 5x ， 故 (2 x3)(x 1)5 的展开式中 x4 的系数为 25 5 5 .故选 A.8. 【答案】D【解析】由 f (x) 3 cos(x )cos x 的图象过点 (0， 3) ， 2得 cos 3 .0 π， 5π ， f (x) 3 cos(x 5π)cos x266 3( 3 cos x 1 sin x) cos x 3 cos2 x 3 sin x cos x2222 3(1 cos 2x) 3 sin 2x 3 3 sin 2x 3cos 2x443 2 3 sin(2x π ) 3 3 sin(2x π ) 3 .点 ( π ，0) 不是函数42343f (x) 图象的对称中心，直线 x π 也不是函数 f (x) 图象的对称轴， 3由图知 tan NMF b ，tan FNO c ， MFN NMF 90°，abMFN FNO 90°，NMF FNO ， b c ， ab则 b2 a2 c2 ac ，e2 e 1 0 ，得 e 5 1 .故选 A. 211.【答案】B【解析】由 a2 4ab 16b2 c 0 ，得 a2 4ab 16b2 c ，所以a2 4ab 16b2 12 a2·16b2 4ab 4ab ，可得 ab 的最大值cc ccc c cc为 1 ，当且仅当 a 4b 时取等号，且 c 16b2 ，则 c 4a 3244b 416b2 16b 32 4(b2 b 2) 4[(b 1)2 3(b 1) 4]4b 4b 1b 1 4[(b 1) 4 3] 4(2 (b 1)· 4 3) 4 ，当且仅当 b 1时b 1b 1取得最小值为 4.故选 B.理科数学答案第 1 页（共 3 页）12.【答案】B【解析】易知 f (0) 1 ，故函数 f (x) 有三个不同的零点，可以转化为 | 2x m | 1 有三个不同的非零实数根，即函数 y | 2x m | 与xy 1 (x 0) 的图象有三个不同的交点.易知，当 x m 时，直线x2y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 有且仅有一个交点，当 0 x m 时，x2直线 y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 必须有两个不同的交点.而当x直线y 2x m 与曲线y1 (x 0) x相切时，1 x22 ，解得x 2 ，此时 m 2 2 ，结合图象可知 m 2 2 .故选 B. 2二、填空题13.【答案】 26【解析】由题可得 23 3k 0 ，可得 k 2 ，则 a b (5，1) ， a b 52 1 26 .14.【答案】 234【解析】由题得 x 3 4 a 6 ， y 2.5 3 4 4.5 3.5 ，这组44数据的样本中心点是 (x，3.5) ，代入回归直线方程可得 3.5 0.7（2）由 b 2 ， A π ，S 3ABC1 bc sin A 3 223，得 c 1 3 .-------------------------------------------------------------8 分M 是 AB 的中点， AB c 1 3， AM 1 3 ，-------------------------------------------------------10 分 2在 AMC 中，由余弦定理得， CM 2 b2 AM 2 2b AM cos A 4 (1 3 )2 2 2 1 3 1 4 3 .------------------------12 分222218.【解析】（1） 四边形 ABCD 是矩形， AB CD .CD 平面 DCFE，AB 平面 DCFE ， AB 平面 DCFE .----------------------------------------------------2 分又 AB 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面 DCFE EF ， AB EF ，又 AB 平面 ABCD，EF 平面 ABCD ，EF 平面 ABCD .----------------------------------------------------5 分（2）过点 E 作 EO CD 于点 O ，平面 ABCD 平面 DCFE ，EO 平面 ABCD .过点 O 作 OH AD ，交 AB 于点 H ，四边形 ABCD 是矩形，OH CD .以 O 为坐标原点， OH ，OC，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3 4 a 6 0.35 ，解得 a 5 ，所以样本的中位数为 4 5 4.5 ，42方差为 1 [(3 4.5)2 (4 4.5)2 (5 4.5)2 (6 4.5)2] 5 ，故样本44x 的方差与中位数的和为 23 . 415.【答案】 2【解析】由 S3 ，S9 ，S6 成等差数列，得 2S9 S3 S6 .设等比数列{ an }的公比 q 1 ，则 Sn na1 .由 2 9a1 3a1 6a1 ，解得 a1 0 .又因为a2a540，所以 q 1 .所以Sna1(1 qn ) 1 q，所以 2a1(1 q9) 1 qa1(1 q3) 1 qa1(1 q6) 1 q，解得q31（ 2q3 1 舍去）.又因为a2a5 4 ，即 a1q(1 q3) 4 ，所以 a1q 8 ，则 a8 a1q7 (a1q)·(q3)2 8 ( 1)2 2 .216.【答案】 21 3【解析】如图过等边三角形 ABD 的中心 F 作平面 ABD 的垂线 l ，取 BD 的中点 E ，过点 E 作平面 CBD 的垂线 l .设 l l G ，则点G 为四面体 ABCD 的外接球的球心.因为 ABD 是边长为 2 的等边三角形，所以 EF 3 .因为二面角 A BD C 的大小为150°，所 3以 GEF 60°.所以在 Rt EFG 中， GF EF·tan60°1 .所以四面体 ABCD 的外接球的半径为 GA GF 2 AF 2 1 4 21 .33设 BC 1，则 EF ED FC BC 1 ，AB 2BC 2 ，由（1）知， EF CD .在梯形 CDEF 中， EF ED FC 1， DC 2 ， DO 1 ，EO 3 ，--------------------------------------------------7 分22于是 E(0，0， 3 ) ， A(1， 1 ，0) ， C(0，3 ，0) ， F (0，1， 3 )2222则 AE (1，1 ， 3 ) ，CF (0， 1 ， 3 ) .-------------------------10 分2222设异面直线 AE 与 CF 所成的角为 ，则 cos AE·CF1 3 4 42.| AE || CF |24故异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 2 .-------------------12 分 419.【解析】（1）完成 2 2 列联表如下：前 20 名后 30 名总计男生82028女生121022总计203050三、解答题 17.【解析】（1） 4a cos2 B 2a b 2c ，2 2c b 2acosB ，--------------------------------------------------2 分 由正弦定理得， 2sinC sin B 2cos Bsin A ，又 C π A B ， 2sin(A B) sin B 2cos Bsin A ，------------------------------4 分2sin Bcos A sin B . sin B 0 ，cos A 1 ，A π .-----------------------------------6 分 23--------------------------------------------------------------------------------2 分由列联表得 K 2 50 (8 10 20 12)2 3.463 . 28 22 20 303.463 2.706 ， 在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为该班“成绩是否优等与性别有关”.--------------------------------5 分（2） 的可能取值为 0，1，2， P( 0) C36 5 ， C83 14P( 1)C12C62 C8315 28，P(2)C22C16 C833 28.----------------------8分 的分布列为0125153P142828-------------------------------------------------------------------------------10 分理科数学答案第 2 页（共 3 页）E( ) 1 15 2 3 3 .-------------------------------------------12 分 28 28 420.【解析】（1） 抛物线 ：x2 2 py( p 0) 的焦点为 F(0，1) ，抛物线 的方程为 x2 4y .-----------------------------------------2 分由直线 l1 的斜率为 k1 ，且过 F(0，1) ，得 l1 的方程为 y k1x 1 ，代 入 x2 4y ，化简得 x2 4k1x 4 0 ， 设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2) ，则 x1 x2 4k1 ， y1 y2 k1(x1 x2) 2 4k12 2 ，-------------------------------------4 分 | AB | y1 y2 2 4k12 4 .又 k1 3 ，| AB |16 .-------------------------------------------------6 分（2）设P( x0，x02 4)，将的方程x2 4y 化为yx2 4，求导得 y x ，------------------------------------------------------------8 分 2斜率为 k2 的直线 l2 与 相切于点 P ， k2x0 2，则P(2k2 ，k22 ) ，由（1）知 x1 x2 4k1 ，且 Q 为 AB 的中点，易得 Q(2k1 ，2k12 1) ，∵直线 PQ 过 (0，2) ， k22 2 2k12 1 ，------------------------10 分2k22k1整理得 (k1k2 1)(k2 2k1) 0 ，l2 与 l1 不垂直，k1k2 1 0 ，则k2 2k1 0 ，即k1 k21 2.---------------------------------------------12分21.【解析】（1）由题可得 f (x) ex b ，当 b 0 时， f (x) 0 ，f (x) 在 (∞， ∞) 上单调递增；------------------------------------2 分 当 b 0 时，若 x ln(b) ，则 f (x) 0 ， f (x) 在 (ln(b)， ∞) 上单调递增，若 x ln(b) ，则 f (x) 0， f (x) 在 (∞，ln(b)) 上单调递减.------------------------------------------------------------------------4 分（2）令 g(x) ex bx 1 ln x(x 0) ，则 g(x) ex b 1 ，易知 xg(x) 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设为 x0 ，则 g(x0) 0 ，即 ex0b1 x00，b1 x0 ex0，故若g(x)有两个零点，则g(x0) 0 ，即 ex0 bx0 1 ln x0e x0( 1 x0 ex0 ) x0 1 ln x0 ex0 ex0 x0 ln x0 0 ，--------------------------------------------------6 分令 h(x) ex exx ln x(x 0) ，则 h(x) ex x 1 0 ， xh(x) 在 (0， ∞) 上单调递减.又 h(1) 0 ，ex0 ex0 x0 ln x0 0 的解集为 (1， ∞) ， --------------------------------------------------------------------------------8 分b 1 ex0 ，b 1 e . x0当 b 1 e 时，有 ex bx 1 ln x x bx ln x ，则 g(eb) eb beb lneb (b 1)eb b ，----------------------------10 分令 m(x) (x 1)ex x (x 1)(ex 1) 1 ，由于 x 1 e ，x 1 2 e 0 ， ex 1 ，故 m(x) (x 1)ex x 0 ， g(eb) 0 ，故 g(eb)g(x0) 0，g(x) 在 (0，x0) 上有唯一零点， 另一方面，当 x ∞ 时， g(x) ∞ ，b 1 e .-----------12 分22.【解析】（1）曲线 C：(x 2)2 ( y 1)2 9 ，-----------------------2 分故 x2 y2 4x 2y 4 0 ，即曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 2 sin 4 0 .-------4 分（2）由题可知直线 l 的斜率存在，否则无交点.设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) ，即 kx y 2k 1 0 .--------6 分而| AB | 2 ，则圆心到直线 l 的距离 d r2 AB 2 2 91 2 2 .--------------------------------------------------------------------------------8 分又 d | 4k | ， | 4k | 2 2 ，解得 k 1 .k2 1k2 1直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 .-------------------10 分23.【解析】（1）当 a 2 时，3，x 2 f (x) | x 2 | | x 1| 1 2x，1 x 2 .3，x 1 f (x) 1，当 x 2 时，不等式无解；--------------------------2 分当 1 x 2 时，令1 2x 1，解得 x 0 ，不等式的解集为1 x 0 ；当 x 1时， 3 1 ，符合题意. 综上可得，不等式 f (x) 1 的解集为 (∞，0] .---------------------5 分 （2） f (x) a2 1 0 恒成立等价于 f (x)max a2 1.| x a | | x 1| | (x a) (x 1) | | a 1| ， | a 1| | x a | | x 1| | a 1| .---------------------------------8 分 | a 1| a2 1 ，a2 1 a 1 a2 1(a2 1 0) ，解得 a 1或 a 2 . 实数 a 的取值范围为 (∞，1] [2， ∞) .---------------------10 分理科数学答案第 3 页（共 3 页）。
2020年高考冲刺压轴卷理(数学)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|2x>6}，B ＝{x|2x<32}，则A∩B＝ A.(3，4) B.(4，5) C.(3，＋∞) D.(3，5) 2.复数2ii i--(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.“2a>8”是“a 2>9”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x 等于A.4B.5C.6D.7 5.若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－2π<φ<2π)的图象关于点(3π，0)对称，则f(6π)的值是 A.－12 B.32 C.－32 D.126.已知a 10a ·b ＝5102，且(b －a)·(b ＋a)＝15，则向量a 在b 方向上的投影为 A.12B.225107.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A.2B.3C.4D.58.从0，1，2，3，4，5这6个数字中，任取3个组成一个无重复数字的三位数，则这样的三位数中偶数个数与奇数个数的比值为A.1B.32C.1312D.27239.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝l，c32sin(B＋C)cosC＝1－2cosAsinC，则△ABC的面积是A.34B.12C.34或32D.14或1210.设双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线交双曲线C的左支于M，N两点，若MF2＝F1F2，且2MF1＝NF1，则双曲线C的离心率是A.53B.32C.2D.5411.已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的各个顶点都在球O的球面上，且球O的表面积为20π，则该正方体的棱长为56 D.612.设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若3f(x)＋f'(x)>0，f(0)＝1，则不等式f(x)>e－3x的解集是A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，0)D.(0，1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考(理科)数学预测押题密卷最后一卷 试题
理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标 号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{|23}A x y x x ==--，全集U =R ，集合1{|0}22B x x =-，则()U A B C =（ ）A .[23)，B .[13)，C .(23)，D .(13)， 2. 已知i 为虚数单位，且复数z 满足2020(12)z i i i +=+，则||z 的值为（ ）A .15B .10 C .5D .23. 已知函数2()(1)f x x a x a =+-+为定义在[22]-，上的偶函数，则()2f x 在[22]-，上发生的概率为（ ）A .12B .13C .14D .164. 已知数列21n a n =+，其前n 项的和为n S ，则12111nS S S +++=（ ）A .1112n n -++ B .1111(1)2212n n +--++ C .1111212n n +--++D .1111(1)2212n n +-+++ 5. 执行如图的程序框图，输出的c 的值为（ ）A .5B .4C .5-D .4-6. 若双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的一条渐近线被圆22(2)2x y +-=截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为 （ ）A .3B .2C .5D .25 7. 35(2)()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则该展开式中4x 的系数是（ ）A .5B .10C .15D .20 8. 若函数()3cos()cos (0π)f x x x θθ=+<<的图象过点(0)32-，，则（ ）A .点(π3)0，是函数()f x 图象的对称中心B .直线π3x =是函数()f x 图象的对称轴 C .函数()f x 的最小值是3-D .函数()f x 的最大值是233- 9. 如图，已知G 是ABC 的重心，H 是BG 的中点，且2AB =，3AC =，60BAC ∠=°，则AG AH =·（ ）A .209B .2C .59D .1310. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：，点M N F 、、分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+°，则椭圆C 的离心率是（ ）A .51-B .31-C .21-D .3 11. 已知正数a b c ，，满足224160a ab b c -+-=，当ab c取得最大值时，则43244c a b -++的最小值为（ ）A .2B .4C .12D .1612. 已知函数22212()212m x mx x f x m x mx x⎧-+-<⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩，，.若函数()f x 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A .(2)+，∞B .(22)+，∞C .(4)+，∞D .(42)+，∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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1．(本小题满分12分)(2019陕西咸阳一模)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为B ,右顶点为A ,直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点N (0,－12)且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,求证：BP ⊥BQ .1．(1)解：由题意知,A (a ,0),B (0,1),则直线AB 的方程为x ＋ay －a ＝0. 由直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切,得圆心M 到直线AB 的距离d ＝21＋a 2＝1,求得a ＝3,故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明：直线l 的方程为y ＝kx －12,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立⎩⎨⎧y ＝kx －12，x23＋y 2＝1，消去y 整理得(4＋12k 2)x 2－12kx －9＝0.∴x 1＋x 2＝12k 4＋12k 2,x 1x 2＝－94＋12k 2. 又BP →＝(x 1,y 1－1),BQ →＝(x 2,y 2－1),∴BP →·BQ →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(kx 1－32)·(kx 2－32)＝(1＋k 2)x 1x 2－32k (x 1＋x 2)＋94＝－9（1＋k 2）4＋12k 2－18k 24＋12k 2＋94＝0,∴BP ⊥BQ .2．(本小题满分12分)(2019内蒙古一模)已知函数f (x )＝2ax ＋bx －1－2ln x (a ∈R )． (1)当b ＝0时,确定函数f (x )的单调区间．(2)当x >y >e －1时,求证：e x ln(y ＋1)>e yln(x ＋1)．2．(1)解：当b ＝0时,f ′(x )＝2a －2x ＝2（ax －1）x(x ＞0)．当a ≤0时,f ′(x )＜0在(0,＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0,＋∞)上单调递减．当a ＞0时,由f ′(x )＜0得0＜x ＜1a ；由f ′(x )＞0得x ＞1a .∴f (x )的单调递减区间为(0,1a ),单调递增区间为(1a,＋∞),综上,当a ≤0时,f (x )的单调递减区间为(0,＋∞),无单调递增区间,当a ＞0时,f (x )的单调递减区间为(0,1a ),单调递增区间为(1a,＋∞)．(2)证明：∵x ＞y ＞e －1,∴x ＋1＞y ＋1＞e ,即ln(x ＋1)＞ln(y ＋1)＞1. 欲证e x ln(y ＋1)＞e y ln(x ＋1),即证明e x ln （x ＋1）＞e yln （y ＋1）.令g (x )＝e xln （x ＋1）,x ∈(e －1,＋∞),则g ′(x )＝e x [ln （x ＋1）－1x ＋1]ln 2（x ＋1）.显然函数h (x )＝ln(x ＋1)－1x ＋1在(e －1,＋∞)上单调递增,∴h (x )>h (e －1)＝1－1e＞0,即g ′(x )＞0,∴g (x )在(e －1,＋∞)上单调递增,∴x ＞y ＞e －1时,g (x )＞g (y ),即e x ln （x ＋1）＞e yln （y ＋1）,∴当x ＞y ＞e －1时,e x ln(y ＋1)＞e y ln(x ＋1)成立．3.(本小题满分12分)(2019山西太原一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,右焦点为F 2(1,0),点B (1,32)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程．(2)若直线l ：y ＝k (x －4)(k ≠0)与椭圆C 交于M ,N 两点,已知直线A 1M 与A 2N 相交于点G ,求证：点G 在某定直线上,并求出定直线的方程．3．(1)解：∵F 2(1,0),∴c ＝1.由题中已知条件知⎩⎨⎧a 2＝1＋b 2，1a 2＋94b 2＝1，∴a ＝2,b ＝3,∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由椭圆对称性知G 在x ＝1上,假设直线l 过椭圆上顶点,则M (0,3),∴k ＝－34,N (85,335),lA 1M ：y ＝32(x ＋2),lA 2N ：y ＝－332(x －2),∴G (1,332),∴G 在定直线x ＝1上．当M 不在椭圆顶点时,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0, ∴x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2,x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2,lA 1M ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2),lA 2N ：y ＝y 2x 2－2(x －2)．当x ＝1时,3y 1x 1＋2＝－y 2x 2－2,得2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝0,∴2×64k 2－123＋4k 2－5×32k 23＋4k 2＋8（3＋4k 2）3＋4k 2＝0显然成立,∴G 在定直线x ＝1上．综上,点G 在定直线x ＝1上．4．(本小题满分12分)(2019山东省实验中学等四校联考)已知函数f (x )＝exx,g (x )＝2(x－ln x )．(1)当x >0时,求证：f (x )>g (x )．(2)已知点P (x ,xf (x )),点Q (－sin x ,cos x ),设函数h (x )＝OP →·OQ →,当x ∈[－π2,π2]时,试判断h (x )的零点个数．4．(1)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )＝e xx－2(x －ln x ),x ＞0,则φ′(x )＝（x －1）（e x －2x ）x 2.令G (x )＝e x －2x (x ＞0),G ′(x )＝e x －2(x ＞0),易得G (x )在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,＋∞)上单调递增,∴G (x )≥G (ln 2)＝2－2ln 2＞0,∴e x －2x ＞0在(0,＋∞)恒成立． ∴φ(x )在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增． ∴φ(x )≥φ(1)＝e －2＞0,∴当x ＞0时,f (x )＞g (x )． (2)解：∵点P (x ,xf (x )),点Q (－sin x ,cos x ),∴h (x )＝OP →·OQ →＝－x sin x ＋e x cos x ,h ′(x )＝－sin x －x cos x ＋e x cos x －e x sin x ＝(e x －x )cos x －(e x ＋1)sin x .①当x ∈[－π2,0]时,可知e x ＞2x ＞x ,∴e x －x ＞0.∴(e x －x )cos x ≥0,(e x ＋1)sin x ≤0,∴h ′(x )＝(e x －x )cos x －(e x ＋1)sin x ≥0.∴h (x )在[－π2,0]上单调递增,h (0)＝1＞0,h (－π2)＜0.∴h (x )在[－π2,0]上有一个零点,②当x ∈(0,π4]时,cos x ≥sin x ,e x ＞x ＞0,∴e x cos x ＞x sin x ,∴h (x )＝e x cos x －x sin x ＞0在(0,π4]上恒成立,∴h (x )在(0,π4]上无零点．③当x ∈(π4,π2]时,0＜cos x ＜sin x ,h ′(x )＝e x (cos x －sin x )－(x cos x ＋sin x )＜0,∴h (x )在(π4,π2]上单调递减,h (π2)＝－π2＜0,h (π4)＝22(e π4－π4)＞0. ∴h (x )在(π4,π2]上存在一个零点．综上所述,h (x )在[－π2,π2]上的零点个数为2.[70分] 解答题标准练(一)1.(2019·广州模拟)已知{a n }是等差数列,且lg a 1＝0,lg a 4＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,求k 的值及数列{a n ＋b n }的前n 项和. 解 (1)数列{a n }是等差数列,设公差为d , 且lg a 1＝0,lg a 4＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d ＝10， 解得d ＝3,所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项, 则a 2k ＝a 1·a 6, 根据等差数列的通项公式得到a k ＝3k －2,代入上式解得k ＝2；a 1,a 2,a 6是等比数列{b n }的前3项,a 1＝1,a 2＝4, 所以等比数列{b n }的公比为q ＝4. 由等比数列的通项公式得到b n ＝4n －1. 则a n ＋b n ＝3n －2＋4n －1,故S n ＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n －2＋4n －1) ＝n (3n －1)2＋4n －14－1＝32n2－12n＋13(4n－1).2.(2019·马鞍山质检)如图,半圆柱O′O中,平面ABB′A′过上、下底面的圆心O′,O,点C,D分别在半圆弧AB,A′B′上,且»¼. AC B'D(1)求证：CD∥平面ABB′A′；(2)若2AC＝AB＝AA′,求二面角C－AD－B的余弦值.(1)证明如图,取»AB的中点M,∵OO′⊥平面ABC,∴OA,OM,OO′两两垂直,以O为坐标原点,OA,OM,OO′所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O－xyz,连接OC,设OA ＝1,AA ′＝t ,∠AOC ＝θ(0<θ<π),则A (1,0,0),B (－1,0,0),C (cos θ,sin θ,0),D (－cos θ,sin θ,t ),于是CD →＝(－2cos θ,0,t ),而平面ABB ′A ′的一个法向量为OM →＝(0,1,0), 由于CD →·OM →＝0,CD ⊄平面ABB ′A ′, 所以CD ∥平面ABB ′A ′.(2)解 设OA ＝1,∵2AC ＝AB ＝AA ′,则C ⎝⎛⎭⎫12，32，0,D ⎝⎛⎭⎫－12，32，2,CD →＝(－1,0,2),AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，0,BD →＝⎝⎛⎭⎫12，32，2,设平面CAD 的法向量n 1＝(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎨⎧CD→·n 1＝－x 1＋2z 1＝0，AC →·n 1＝－12x 1＋32y 1＝0，不妨设x 1＝23,得n 1＝(23,2,3), 设平面BAD 的法向量n 2＝(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎨⎧BD →·n 2＝12x 2＋32y 2＋2z 2＝0，BA→·n 2＝2x 2＝0，不妨设y 2＝4,得n 2＝(0,4,－3), 所以cos 〈n 1,n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝519·19＝519, 又由图可知,二面角C －AD －B 为锐角, 故二面角C －AD －B 的余弦值为519.3.(2019·武邑调研)已知定点N (5,0),动点P 是圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36上的任意一点,线段NP 的垂直平分线与半径MP 相交于点Q .(1)求|QM |＋|QN |的值,并求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)若圆x 2＋y 2＝4的切线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求△AOB 面积的最大值. 解 (1)由已知条件得|QN |＝|QP |,又|QM |＋|QP |＝6,∴|QM |＋|QN |＝6>25,为定值.根据椭圆定义得,动点Q 的轨迹是以点M ,N 为焦点的椭圆. 且2a ＝6,即a ＝3,c ＝5,则b ＝2, ∴动点Q 的轨迹C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由题可知直线l 不可能与x 轴平行, 则可设切线方程为x ＝ty ＋m , 由直线与圆相切,得|m |1＋t2＝2,∴m 2＝4(1＋t 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 29＋y 24＝1，消去x 得(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4m 2－36＝0, Δ＝(8tm )2－4(4t 2＋9)(4m 2－36) ＝144(4t 2－m 2＋9)＝144×5>0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝－8tm4t 2＋9,y 1y 2＝4m 2－364t 2＋9.∴|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2| ＝1＋t 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋t 2·1254t 2＋9＝12541＋t 2＋51＋t 2≤12545＝3, 当且仅当41＋t 2＝51＋t 2,即t 2＝14时等号成立.此时|m |＝5,|AB |max ＝3,又∵S △AOB ＝12×2×|AB |＝|AB |≤3,∴当|m|＝5,|t|＝12时,△AOB的面积最大,最大值为3.4.(2019·山东师范大学附属中学模拟)某读书协会共有1 200人,现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间(分钟),其中某一周的数据记录如下：75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这20个数据按组距30进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间为x分钟).(1)写出m,n的值,请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长,以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数；(2)该读书协会拟发展新成员5人,记新成员中每周阅读时长在[60,90)之间的人数为X,以上述统计数据为参考,求X的分布列和期望；(3)以这20人为样本完成下面的2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋c)(b＋d)(a＋b)(c＋d).解(1)m＝4,n＝2,该读书协会中人均每周的课外阅读时长为45×220＋75×1020＋105×420＋135×220＋165×220＝93(分钟),由样本估计总体,一周阅读时长不少于90分钟的人数为 1 200×4＋2＋220＝480.(2)X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12, 由题意知,X 的可能取值为0,1,2,3,4,5.且P (X ＝0)＝C 05⎝⎛⎭⎫125＝132,P (X ＝1)＝C 15⎝⎛⎭⎫125＝532, P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝3)＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫125＝532,P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫125＝132, 所以X 的分布列如下：E (X )＝5×12＝2.5.(3)2×2列联表如下：k ＝20(3×8－1×8)24×16×11×9≈0.808<2.706,所以没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”.5.设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)(a ∈R ). (1)当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对任意x ∈[1,＋∞)恒成立,求实数a 的取值范围；(3)当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,试比较12ln(tan θ)与tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的大小,并说明理由. 解 (1)当a ＝1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －(x －1), f ′(x )＝ln x ＋1x,设g (x )＝ln x ＋1x (x >0),则g ′(x )＝x －1x 2,当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增, g (x )min ＝g (1)＝1>0,∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增, 无单调递减区间.(2)f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ＝g (x )＋1－a ,由(1)可知g (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 则g (x )≥g (1)＝1,即f ′(x )在区间[1,＋∞)上单调递增,且f ′(1)＝2－a , ①当a ≤2时,f ′(x )≥0, f (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, ∴f (x )≥f (1)＝0满足条件；②当a >2时,设h (x )＝ln x ＋1x ＋1－a (x ≥1),则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0(x ≥1),∴h (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 且h (1)＝2－a <0,h (e a )＝1＋e －a >0, ∴∃x 0∈[1,e a ],使得h (x 0)＝0, ∴当x ∈[1,x 0)时,h (x )<0,f (x )单调递减, 即当x ∈[1,x 0)时,f (x )≤f (1)＝0,不满足题意. 综上所述,实数a 的取值范围为(－∞,2].(3)由(2)可知,取a ＝2,当x >1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)>0, 即12ln x >x －1x ＋1, 当0<x <1时,1x >1,∴12ln 1x >1x －11x ＋1⇔ln x 2<x －1x ＋1, 又∵tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－1tan θ＋1,∴当0<θ<π4时,0<tan θ<1,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时,tan θ＝1,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当π4<θ<π2时,tan θ>1, 12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 综上,当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时,12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 6.在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ,点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；(2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若|P A |＝2|PB |,求|AB |的值. 解 (1)由ρ＝6sin θ,得ρ2＝6ρsin θ, 又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, ∴x 2＋y 2＝6y ,即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9, 点P 的直角坐标为(1,1).(2)设过点P 的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝1＋t sin θ(t 为参数), 将其代入x 2＋y 2＝6y ,得t 2＋2(cos θ－2sin θ)t －4＝0, 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, ∴t 1t 2＝－4,∵|P A |＝2|PB |,∴t 1＝－2t 2,∴t 1＝22,t 2＝－2或t 1＝－22,t 2＝2, ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝3 2.7.已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式：f (x )≤x ＋3；(2)若不等式|m |·f (x )≥|m ＋2|－|3m －2|对任意m ∈R 恒成立,求x 的取值范围.解 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －3≤x ＋3，得2≤x ≤6；②由⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x －1＋2－x ≤x ＋3，得1<x <2；③由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x ≤x ＋3，得0≤x ≤1.由①②③可得x ∈[0,6]. (2)①当m ＝0时,0≥0,∴x ∈R ； ②当m ≠0时,即f (x )≥⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3对∀m ∈R ,m ≠0恒成立, ⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3≤⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2m ＋1－⎝⎛⎭⎫2m －3＝4,∴f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥4, 当x ≥2时,2x －3≥4,解得x ≥72；当1<x <2时,x －1＋2－x ≥4,解得x ∈∅； 当x ≤1时,3－2x ≥4,解得x ≤－12,综上,x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞.数学的核心素养引领复习一、数学抽象、直观想象素养1 数学抽象例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ,满足f (x ＋1)＝2f (x ),且当x ∈(0,1]时,f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞,m ],都有f (x )≥－89,则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎤－∞，73C.⎝⎛⎦⎤－∞，52D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 答案 B解析 当－1<x ≤0时,0<x ＋1≤1,则f (x )＝12 f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时,0<x －1≤1,则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时,0<x －2≤1,则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3),…,由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…，12(x ＋1)x ，－1<x ≤0，x (x －1)，0<x ≤1，2(x －1)(x －2)，1<x ≤2，22(x －2)(x －3)，2<x ≤3，由此作出函数f (x )的图象,如图所示.由图可知当2<x ≤3时,令22(x －2)·(x －3)＝－89,整理,得(3x －7)(3x －8)＝0,解得x ＝73或x ＝83,将这两个值标注在图中.要使对任意x ∈(－∞,m ]都有f (x )≥－89,必有m ≤73,即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73,故选B.1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h；②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中,正确信息的序号是________.答案①②③解析看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误.素养2直观想象例2(2019·全国Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM＝EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM＝EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案 B解析取CD的中点O,连接ON,EO,因为△ECD为正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD＝CD,所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2,则EO＝3,ON＝1,所以EN2＝EO2＋ON2＝4,得EN＝2.过M作CD的垂线,垂足为P,连接BP,则MP＝32,CP＝32,所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7,得BM＝7,所以BM≠EN.连接BD,BE,因为四边形ABCD为正方形,所以N为BD的中点,即EN,MB均在平面BDE内,所以直线BM,EN是相交直线.2.(2018·北京)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 C解析由三视图得到空间几何体,如图所示,则P A⊥平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,P A＝AB＝AD＝2,BC＝1, 所以P A⊥AD,P A⊥AB,P A⊥BC.又BC⊥AB,AB∩P A＝A,AB,P A⊂平面P AB,所以BC⊥平面P AB.又PB⊂平面P AB,所以BC⊥PB.在△PCD中,PD＝22,PC＝3,CD＝5,所以△PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为△P AB,△P AD,△PBC,共3个.故选C.二、逻辑推理、数学运算素养3逻辑推理例3(2019·全国Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙答案 A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确,则乙、丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误,则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,再假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从而乙的预测也正确,与事实矛盾；若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误.综上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.3.(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N .若△OMN 为直角三角形,则|MN |等于( ) A.32 B.3 C.2 3 D.4 答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13 x .设两渐近线的夹角为2α,则有tan α＝13＝33, 所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形,由于双曲线具有对称性,不妨设MN ⊥ON ,如图所示. 在Rt △ONF 中,|OF |＝2,则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中,|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.素养4 数学运算例4 (2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ,b 满足|a |＝2|b |,且(a －b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α,∵(a －b )⊥b ,∴(a －b )·b ＝0,∴a ·b ＝b 2,∴|a |·|b |cos α＝|b |2,又|a |＝2|b |,∴cos α＝12,∵α∈[0,π],∴α＝π3,故选B.4.(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3,b ＝log 20.3,则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<ab D.ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0, b ＝log 20.3<log 21＝0,∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4, ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0,∴0<a ＋b ab<1,∴ab <a ＋b <0.三、数学建模、数据分析素养5 数学建模例5 (2019·全国Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm答案 B解析若头顶至咽喉的长度为26 cm,则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618) ÷0.618≈178(cm),此人头顶至脖子下端的长度为26 cm,即头顶至咽喉的长度小于26 cm,所以其身高小于178 cm,同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm),故其身高可能是175 cm,故选B.5.(2019·北京)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元；(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________. 答案 130 15解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60＋80＝140(元),又140>120,所以优惠10元,顾客实际需要付款130元.(2)设顾客一次购买的水果总价为m 元,由题意知,当0<m <120时,x ＝0,当m ≥120时,(m －x )×80%≥m ×70%,得x ≤m 8对任意m ≥120恒成立,又m8≥15,所以x 的最大值为15.素养6 数据分析例6 (2019·全国Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B 两组,每组100只,其中A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ,b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 解 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15,故 a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.6.某市一水电站的年发电量y (单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x (单位：毫米)有如下统计数据：(1)若从统计的5年中任取2年,求这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为y ^＝0.004x ＋a ^,该水电站计划2019年的发电量不低于8.6 亿千瓦时,现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1 800 毫米,请你预测2019年能否完成发电任务？解 (1)从统计的5年发电量中任取2年,基本事件为{7.4,7.0},{7.4,9.2},{7.4,7.9},{7.4,10.0},{7.0,9.2},{7.0,7.9},{7.0,10.0},{9.2,7.9},{9.2,10.0},{7.9,10.0},共10个；其中这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的基本事件为{9.2,7.9},{9.2,10.0},{7.9,10.0},共3个. 所以这2年发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率为P ＝310.(2)因为x ＝1 500＋1 400＋1 900＋1 600＋2 1005＝8 5005＝1 700,y ＝7.4＋7.0＋9.2＋7.9＋10.05＝41.55＝8.3.又直线y ^＝0.004x ＋a ^过点(x ,y ), 所以8.3＝0.004×1 700＋a ^, 解得a ^＝1.5, 所以y ^＝0.004x ＋1.5.当x ＝1 800时,y ^＝0.004×1 800＋1.5＝8.7>8.6, 所以预测该水电站2019年能完成发电任务.。