高等数学2017年最新课件二元泰勒公式

1 (h 2! x 1 (h n! x
k
)2 y
f ( x0 , y 0 )
①
其中 Rn
n k y ) f ( x0 , y0 ) Rn 1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) 0 0 ( n 1)! x y
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例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
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记号 (设下面涉及的偏导数连续): • ( h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • ( h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
f x y ( x0 h , y 0 k ) B f y y ( x0 h , y 0 k ) C
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其中 , , 是当h →0 , k →0 时的无穷小 于是 量,
z
1 [ Ah 2 2
2 2 2 B hk C k 2 ] 1 [ h 2 h k k ] 2
m
( m ) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
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说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M h cos Rn ( h k ) n 1 k sin (n 1) ! M n 1 n 1 ( cos sin ) (n 1) !
利用多元复合函数求导法则可得:
(t ) h f x ( x0 ht , y0 k t ) k f y ( x0 ht , y0 k t )
(0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
2 (t ) h f x x ( x0 ht , y0 k t )
利用 max ( x 1 x 2 ) 2
[ 0,1]
则有
M n 1 n 1 n ( 2 ) n 1 1 o ( )y0 k ) Rn ( n 1 ( h k ) f ( x h , ()n 1 ) ! 0 ! x y
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3 f x y 4 f x y
p 4 p p 3 p
1 (1 x y ) 2

2! (1 x y ) 3! (1 x y )
4 3
( p 0 ,1, 2 , 3 ) ( p 0 ,1, 2 , 3 , 4)
因此, (h x k y ) f (0, 0) h f x (0, 0) k f y (0, 0) h k
2 1 [ f ( x h , y k ) h 0 2 xx 0 2 f x y ( x0 h , y 0 k ) h k f y y ( x0 h , y0 k ) k 2 ]
由于 f ( x , y ) 的二阶偏导数在点 ( x0 , y0 ) 连续 , 所以 f x x ( x0 h , y 0 k ) A
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二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y 0 ) 0 , f y ( x0 , y 0 ) 0
令 A f x x ( x0 , y 0 ) , B f x y ( x0 , y 0 ) , C f y y ( x0 , y 0 ) 则: 1) 当AC B 0 时, 具有极值 2) 当 AC B 0 时, 没有极值. 3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
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o
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x
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若 A＝C ＝0 ,则必有 B≠0 , 不妨设 B＞0 , 此时
Q(h, k ) Ah 2 2 B h k C k 2 2 B hk 对点 ( x0 h, y0 k )
当 h , k 同号时 , Q(h, k ) 0 , 从而 z 0 , 当 h , k 异号时 , Q(h, k ) 0 , 从而 z 0 , y 可见 △z 在 (x , y ) 邻近有正有负,
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定理1. 设 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数 , ( x0 h , y0 k ) 为此邻域内任 一点, 则有
f ( x0 h , y0 ky ) f ( x0 , y0 )
2 1 Q ( h , k ) o( ) 2
( h2 k 2 )
因此当 h , k 很小时 , z 的正负号可由 Q(h , k ) 确定 .
(1) 当 AC－B2 ＞0 时, 必有 A≠0 , 且 A 与C 同号,
2 2 2 2 2 Q ( h, k ) 1 [( A h 2 A B h k B k ) ( AC B ) k ] A 2 2 2 1 [( A h B k ) ) ( AC B ) k ] A
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2
A < 0 时取极大值; A > 0 时取极小值.
2
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
f x ( x0 , y 0 ) 0 , f y ( x0 , y 0 ) 0
则有 z f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 )
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近 ( x0 , y0 ) 时, 有 k 0 ,
故 Q(h, k ) 与 A 同号.
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
y
( x0 , y0 )
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
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(h x 2
k
)2 y
f (0, 0)
2
h f x x (0, 0) 2h k f x y (0, 0) k f y y (0, 0) (h k )
3
2
3 f p p 3 p 3 (h x k y ) f (0, 0) C3 h k p 3 p (0,0) x y p 0 2(h k ) 3 又 f (0, 0) 0 , 将 h x , k y 代入三阶泰勒公式得 1 1 2 ln(1 x y ) x y ( x y ) ( x y ) 3 R3 2 3 其中 4 1 ( x y ) R3 (h x k y ) 4 f ( h, k ) h x 4 (1 x y ) 4 ky (0 1)
h 2 f x x ( x0 , y0 ) 2h k f x y ( x0 , y0 ) k 2 f y y ( x0 , y0 )
m • 一般地, ( h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y m m f p p m p Cm h k x p y m p ( x , y ) 0 0 p 0
②
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式,②称为其拉格
朗日型余项 .
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(0 1)
证: 令 (t ) f ( x0 t h, y0 t k ) (0 t 1),
则
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k )
2 h k f x y ( x0 h t , y 0 k t )
k 2 f y y ( x0 ht , y0 k t )
2 ( 0 ) ( h x k y ) f ( x0 , y 0 )
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一般地,
m f ( m) p p m p (t ) C m h k p m p ( x ht , y k t ) x y 0 0 p 0
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
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当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
0 0
－
+
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
(3) 当AC－B2 ＝0 时, 若 A＝0 , 则 B＝0 , Q(h, k ) C k
1 ( Ah B k ) 2 Q ( h , k ) 则 若 A≠0, A