专题18-知识讲解_正切函数的性质和图象_提高

正切函数的性质与图象【学习目标】1.能画出tan y x =的图象，并能借助图象理解tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的性质； 2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小； 3．理解正切函数的对称性． 【要点梳理】要点一：正切函数的图象正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线” （1）复习单位圆中的正切线： A T=tan α （2）利用正切线画函数y= tanx ，x ∈)2,2(ππ-的图象步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π-的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8π）.分别在单位圆中作出正切线；③把横坐标从2π-到2π也分成8份④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线．由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2,2(ππ-的图象左、右移动k π个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x ≠k π+2π）的图象.要点二：正切函数的性质1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R由正切函数的图象可知，当()2x k k z ππ<+∈且无限接近于2k ππ+时，tan x 无限增大，记作tan x →+∞（tan x 趋向于正无穷大）；当()2x k k z ππ>-+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x 趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2x k k z ππ=+∈为正切函数的渐进线．3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-．要点诠释：观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称中心，正切函数图象没有对称轴5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增要点诠释：正切函数在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数． 要点三：正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质1．定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2． 值域：(),-∞+∞3．单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围． 要点诠释：若0ω<，一般先用诱导公式化为0ω>，使x 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当()2k k z πϕ=∈时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为||T πω=． 【典型例题】类型一：正切函数的定义域例1．求下列函数的定义域：（1）y =（2）lg(2sin 1)tan 1cos 28x xy -+--=+ ⎪⎝⎭．【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0等．【答案】（1）{}22,2,2x k x k k z x x k k Z πππππ⎧⎫≤<+∈=+∈⎨⎬⎩⎭（2）322,24x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题意得sin 0tan 0x x ≥⎧⎨≥⎩，将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如下图．由图可得函数定义域集合为{}22,2,2x k x k k z x x k k Z πππππ⎧⎫≤<+∈=+∈⎨⎬⎩⎭．（2）由2sin 10tan 10cos 028x x x π⎧⎪->⎪⎪--≥⎨⎪⎛⎫⎪+≠ ⎪⎪⎝⎭⎩得1sin 2tan 1,282x x x k k Zπππ⎧>⎪⎪≤-⎨⎪⎪+≠+∈⎩． 则有 52266()24324k x k k x k k Z x k ππππππππππ⎧+<<+⎪⎪⎪-<≤-∈⎨⎪⎪≠+⎪⎩．所以函数定义域为322,24x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭． 【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集． 举一反三：【变式1】（2016 甘肃甘谷县期中）根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合．（1）3tan 3x x +≥； （2）tan 30x -≥． 【答案】（1）{|,}62x k x k k Z ππππ-≤<+∈；（2）{|,}23x k x k k Z ππππ-<≤+∈【解析】（1）3tan 03x +≥，即3tan 3x ≥-， 故有x 的范围是{|,}62x k x k k Z ππππ-≤<+∈．（2）tan 30x -≤，即tan 3x ≤，故有x 的范围是{|,}23x k x k k Z ππππ-<≤+∈．类型二：正切函数的图象例2．（1）作出函数y=tan x+2，,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的简图； （2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性．①y=tan |x|；②y=|tan x| 【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数y=tan x+2的图象是将函数y=tan x 的图象向上平移2个单位得到，,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，如图所示． （2）①∵tan (,0,)2tan ||tan (,0,)2x x k x k Z y x x x k x k Z ππππ⎧≠+≥∈⎪⎪==⎨⎪-≠+<∈⎪⎩故当x ≥0时，函数y=tan |x|在y 轴右侧的图象就是y=tan x 的图象；当x ＜0时，函数y=tan |x|在y 轴左侧的图象为y=tan x 在y 轴左侧的图象关于x 对称的图象，如下图所示．观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数．②∵tan (,)2|tan |tan (,)2x k x k k Z y x x k x k k Z πππππππ⎧≤<+∈⎪⎪==⎨⎪-+<≤+∈⎪⎩，类似①可作出其图象，如下图所示．观察图象可知，y=|tan x|是以π为周期的周期函数．【总结升华】 第（1）也可以用三点二线法作图．第（2）题的解题关键在于分析待画函数图象与已知函数图象间的关系．如果由()y f x =的图象得到(||)y f x =及|()|y f x =的图象，可利用图象中的对称变换法完成，即我们只需作出()y f x =（x ≥0）的图象，令其关于y 轴对称便可以得到()y f x =（x ≤0）的图象；同理只要作出()y f x =的图象，令图象不动下翻上便可得到|()|y f x =的图象．举一反三：【变式1】函数tan sin |tan sin |y x x x x =+--在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象大致是（ ）【答案】D类型三：正切函数的周期性例3．判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）2tan y x =； （2）|tan |y x =； （3）tan ||y x =； （4）tan(2)3y x =-π.【答案】（1）是（2）是（3）不是（4）是 【解析】 （1）22()tan tan ()()f x x x f x ππ==+=+∴函数2tan y x =是周期函数，最小正周期是π．（2）()|tan ||tan()|()f x x x f x ππ==+=+∴|tan |y x =是周期函数，最小正周期是π．（3）由图象知，函数不是周期函数（4）是周期函数，最小正周期是2π． 类型四：正切函数的单调性例4．（2015春 河北邢台月考）设函数()tan()23x f x π=-． （1）求函数的定义域、周期和单调区间 （2）求不等式()3f x ≤的解集．【思路点拨】（1）由条件利用正切函数的定义域、周期性和单调性，求得函数的定义域、周期和单调区间．（2）不等式即tan()323x π-≤，可得2233x k k πππππ-<-≤+，由此求得x 的范围，可得结论． 【答案】（1）定义域为5{|2,}3x x k k Z ππ≠+∈，T =2π，函数的增区间为5(2,2)33k k ππππ-+，k ∈Z ；（2）不等式的解集为4(2,2]33k k ππππ-+，k ∈Z【解析】（1）根据函数()tan()23x f x π=-，可得232x k πππ-≠+，k ∈Z ，求得523x k ππ≠+，故函数的定义域为5{|2,}3x x k k Z ππ≠+∈．它的周期为212ππ=． 令2232x k k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，求得52233k x k ππππ-<<+，故函数的增区间为5(2,2)33k k ππππ-+，k ∈Z ．（2）求不等式()3f x ≤，即tan()323x π-≤，∴2233x k k πππππ-<-≤+，求得42233k x k ππππ-<≤+，故不等式的解集为4(2,2]33k k ππππ-+，k ∈Z ． 【总结升华】（1）对于形如tan()y x ωϕ=+（ω，ϕ为非零常数）的函数的性质的研究，应以正切函数的性质为基础，运用整体思想求解．若ω＜0，一般先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再进行求解．（2）比较正切函数值的大小，可利用诱导公式将其转化为同一单调区间的锐角的正切函数，再比较大小．举一反三：【变式1】求函数|tan(2-)|3y x =π的单调增区间.【答案】5,26212k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭【变式2】函数()tan f x x =ω在区间(,)22-ππ单调递减，求实数ω的取值范围. 【解析】函数()tan f x x =ω在区间(,)22-ππ单调递减 ,22x ππω⎛⎫∴-∈-⎪⎝⎭，且0ω<，即 220x x πωπωω⎧->-⎪⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎪⎩，解得：22x ππωω<<-,,2222ππππωω⎛⎫⎛⎫∴-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2222ππωππω⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩ 10ω∴-≤<类型五：正切函数性质的综合应用例5．（1）求函数tan 33y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性； （2）求函数2tan 10tan 1y x x =-+-，,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （3）设函数()tan()f x x ωϕ=+(0,0)2πωϕ><<，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两交点的距离为2π，且图象关于点,08M π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，求()f x 的解析式． 【解析】（1）由332x k πππ-≠+，得5318k x ππ≠+， ∴所求定义域为5,,318k x x R x k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且．值域为R ，周期3T π=，是非奇非偶函数．在区间5,318318k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭（k ∈Z ）上是增函数． （2）设tan x=t ．∵,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴t ∈． ∴y=―tan 2x+10tan x ―1=―t 2+10t ―1=―(t ―5)2+24． ∴当t=1，即4x π=时，y min =8，当t =，即3x π=时，max 4y =．∴函数的值域为4]．（3）由题意可知，函数()f x 的最小正周期2T π=，即||2ππω=． ∵ω＞0，∴ω=2．从而()tan(2)f x x ϕ=+．∵函数()y f x =的图象关于点,08M π⎛⎫-⎪⎝⎭对称， ∴282k ππϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭（k ∈Z ），即224k ππϕ=+（k ∈Z ）． ∵02πϕ<<，∴ϕ只能取4π． 故()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 【总结升华】第（1）题是用整体的思想，将函数tan 33y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭作整体代换，转化为对函数y=tan x 的性质的研究；第（2）题中换元化归为给定区间上的二次函数值域问题是解决这类问题常用的方法，特别注意换元后立即明确新元的范围；第（3）题，tan()y A x ωϕ=+，（A ＞0，ω＞0）的图象及性质可与y=tan x 的图象和性质加以类比得到．举一反三：【变式】（2015春 湖北恩施州期末）函数f （x ）=tan ωx （ω＞0）的图象的相邻两个零点的距离为2π，则()6f π的值是（ ）A ．B ．3C D ．1 【答案】C【解析】∵函数f （x ）=tan ωx （ω＞0）图象相邻两个零点的距离为2π， ∴2T ππω==， ∴ω=2，∴f （x ）=tan2x ；∴()tan(2)tan663f πππ=⨯==故选：C ．。