正切函数的图像和性质 公开课教案
正切函数的性质与图象教案
正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质。
2. 能够绘制正切函数的图象，理解正切函数图象的特点。
3. 能够运用正切函数的性质与图象解决实际问题。
二、教学重点：1. 正切函数的定义。
2. 正切函数的性质。
3. 正切函数图象的特点。
三、教学难点：1. 正切函数的性质的理解与运用。
2. 正切函数图象的绘制与分析。
四、教学准备：1. 教学课件。
2. 练习题。
五、教学过程：1. 导入：利用正切函数的实际应用情境，引导学生思考正切函数的定义，激发学生的学习兴趣。
2. 新课：讲解正切函数的定义，通过示例让学生理解正切函数的概念。
讲解正切函数的性质，让学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质。
讲解正切函数图象的特点，让学生通过观察、实验、探究等方式，掌握正切函数图象的特点。
3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固正切函数的性质与图象。
六、教学反思：本节课通过引导学生思考正切函数的定义，讲解正切函数的性质与图象，让学生掌握了正切函数的基本知识。
在教学过程中，注意调动学生的积极性，引导学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质与图象。
但在教学中也存在一些问题，如部分学生对正切函数的理解不够深入，需要在今后的教学中加强引导和讲解。
六、教学拓展：1. 讲解正切函数的周期性，引导学生理解正切函数周期性的含义。
2. 讲解正切函数的奇偶性，引导学生理解正切函数奇偶性的含义。
3. 讲解正切函数的单调性，引导学生理解正切函数单调性的含义。
七、课堂小结：2. 强调正切函数在实际应用中的重要性。
八、课后作业：1. 巩固正切函数的性质与图象，完成课后练习题。
2. 搜集正切函数在实际应用中的例子，加深对正切函数的理解。
1. 课后对学生进行提问，了解学生对正切函数性质与图象的掌握情况。
2. 分析学生的练习作业，评估学生对正切函数性质与图象的掌握程度。
高二数学《正切函数的图像及性质》教案
《正切函数的图像及性质》教案 "数学组一、 教学目标：1、 知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、 过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、 情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板第一课时 正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】 常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。
今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。
【探究新知】1． 正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z). 由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。
高中数学必修四《正切函数的性质和图象》优秀教学设计
1.4.3 正切函数的性质和图象一．学习目标1、掌握正切函数的性质及其应用2、理解并掌握作正切函数图象的方法；3二、复习引入 （1）画出下列各角的正切线：三.探究新知 探究一 ）1、利用正切函数的定义xy=αtan 2、正切函数的周期性：由诱导公式()=+πx tanx R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈， 可知 ,函数tan y x =（,2x k k Z ππ≠+∈）是 函数，且它的周期是 ．3、正切函数的奇偶性：由诱导公式tan()x -= x R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈，所以正切函数tan y x =（,2x k k Z ππ≠+∈）是 函数．4、正切函数的单调性由图（Ⅰ）、（Ⅱ）正切线的变化规律可以得出，正切函数在(,)22ππ-内是 函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间 内都是增函数． 5、 正切函数的值域由图（Ⅰ）可知，当x 大于2π-且无限接近于2π-时，正切线AT 向y 轴的负方向无限延伸；由图（Ⅱ）可知，当x 小于2π且无限接近于2π时，正切线AT 向y 轴的正方向无限延伸．因此，tan y x =在(,)22ππ-内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是 ．探究二 正切函数的图像1.复习如何用正弦线作正弦函数图象，类比可不可以用正切线作正切函数tan y x = 的图象？2．利用正切线画出tan y x =，x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象：3．根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x =，x R ∈且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”．4、如何快速作出正切函数的简图？（三点两线法）5、根据图像讨论验证正切函数的性质。
四、新知运用例1.求函数tan()23y x ππ=+的定义域、值域、周期和单调区间. 例2.比较下列每组数的大小（1）tan138与tan143 （2）tan （411π-）与tan （513π-） 例3.解不等式3tan ≥x五、课堂练习1、求函数y=tan3x 的定义域，值域，周期，单调区间。
正切函数的性质与图像教案
正切函数的性质与图像教案第一篇：正切函数的性质与图像教案1．4．3 正切函数的性质和图像一、教学目标1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；二、课时 1课时三、教学重点正切函数的性质与图象的简单应用.四、教学难点正切函数性质的深刻理解及其简单应用.五、教具多媒体、实物投影仪六、教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠π+kπ,k∈Z2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠π+kπ,k∈Z 2可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(kπ,0)k∈Z.2(3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(-又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(-ππ22,)内是增函数,π2+kπ,π+kπ),k∈Z内都是增函数.2(4)定义域根据正切函数的定义tanα=y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+数的定义域是{α|α≠kπ+π,k∈Z,所以正切函2ππ,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于-切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(-π2且无限接近-π2时,正ππ且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方22ππ22,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1 问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-ππ,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22ππ,)的图象为好.22π+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(-ππ22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(-π4,-1),(0,0),（π,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(-x=-π4,-1),(0,0),（π,1),再画两条平行线4π2,x=π,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=π+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性π+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称22kπ的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.2质——单调性,单调增区间是(-+kπ,问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例略课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A组6、8、9.第二篇：正切函数的图像与性质教案高中数学正切函数的图像与性质昆明市教师资格审查教育教学能力测评试讲教案试讲科目：高中数学学校：云南师范大学姓名：何会芳2013年5月3日制高中数学正切函数的图像与性质一.教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。
《正切函数的性质与图象》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《正切函数的性质与图象》教学设计1．经历先利用诱导公式、正切函数的定义研究正切函数的部分性质，然后根据性质与定义画图，再依据图象研究其它性质的过程，发展逻辑推理素养．2．初步理解和掌握正切函数的图象与性质，并通过初步应用正切函数的性质，发展数学运算素养．教学重点：正切函数的性质与图象，研究函数图象与性质的一般思路和方法．教学难点：正切函数图象．Geogebra软件、PPT课件．利用Geogebra软件呈现作正切函数图象的过程．资源引用：【知识点解析】如何作正切函数的图象【数学探究】正切函数的图象【知识点解析】正切函数的图象与性质（一）整体感知引导语：前面我们研究了正弦、余弦函数的图象与性质，接下来我们研究正切函数．1．研究思路问题1：（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？预设的师生活动：师生交流，整理出可能的研究思路．预设答案：可以有两种思路．思路1，按照正余弦函数图象与性质的研究思路，先描点画图，得到图象，根据图象观察获得性质，再证明．思路2，也可以换一种研究思路，即先从数的角度出发，利用函数解析式分析其性质，然后再根据性质画图，之后再观察图象得到更多的性质．追问：我们选择思路2进行研究．结合研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，你觉得应该先研究哪个性质？预设的答案：先研究周期性，再研究奇偶性．设计意图：规划思路，整体把握，有序研究，在“森林”里研究“树木”．（二）新知探究2．周期性和奇偶性问题2：类比正弦函数周期得出过程，判断正切函数是周期函数吗？如何求正切函数的周期？预设的师生活动：先让学生独立思考，然后交流．预设答案：由诱导公式tan （x ＋π）＝tan x ，x ∈R ，且x ≠2π＋k π，k ∈Z ． 根据周期函数的定义及周期的定义可知：正切函数是周期函数，并且周期是π． 问题3：你能用简洁的办法判断正切函数的奇偶性吗？请你试一试．预设的师生活动：学生可以独立完成，之后互相核对、规范过程．预设答案：由诱导公式tan （－x ）＝－tan x ，x ∈R ，且x ≠2π＋k π，k ∈Z ． 可知：正切函数是奇函数．问题4：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？据此确定的研究方案是什么？可以类比正弦函数性质的研究进行思考．预设的师生活动：学生可以独立完成，交流之后进一步确定后续的研究路径．预设答案：根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，比如区间（－2π，2π）内的图象与性质即可．再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，比如区间[0，2π）内的图象与性质即可． 因此接下来的研究方案是：先考察函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．3．正切函数的图象问题5：如何画出函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象呢？ 追问1：画函数图象的基本方法是描点法，画正弦函数图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法画图的．那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释．预设的师生活动：先让学生画图，根据定义写出tan x ，并给出几何解释．预设答案：如图1所示，设x ∈[0，2π），在直角坐标系中画出角x 的终边与单位圆的交点B （x 0，y 0）．过点B 作x 轴的垂线，垂足为M 则tan x ＝00x y ＝OMMB ．① 追问2：①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显然是不方便画图的．回想利用正弦函数的几何意义为什么可以方便地描点？据此你将如何优化①式，以方便描出正切函数图象上的点呢？★资源名称：【知识点解析】如何作正切函数的图象★使用说明：本资源给出作正切函数的图象的两种方法，可以作为课堂展示辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：正弦函数的几何意义就是角的终边与单位圆交点的纵坐标，是一条线段，而正切函数的几何意义是两条线段的长度比，因此应该设法优化这个比，使它在数值上也可以表示为一条线段，即让分母中的线段数值上为1．于是得到：如图2，过点A (1，0)作x 轴的垂线与角x 的终边交于点T ，则tan x ＝00x y ＝OM MB ＝OAAT ＝AT ．② 图2由②式可知，当x ∈[0，2π）时，线段AT 的长度就是相应角x 的正切值．因此可以利用线段AT 画出函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象． 追问3：请你利用②式，在坐标纸上画出函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象．并观察图象有哪些特征？预设的师生活动：教师提前给学生准备好坐标纸，纸上画着单位圆及坐标系．先让学生在坐标纸上画图，画完图之后观察图象，说出特征．然后教师用课件直观展现函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象的特征．特别是通过演示，直观解释“无限逼近直线2π=x ”． 预设答案：如图3所示，可以画出函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象． 观察图象可知：当x ∈[0，2π）时，随着x 的增大，线段AT 的长度也在增大，而且当x 趋向于2π时，AT 的长度趋向于无穷大．相应地，函数y ＝tan x ，x∈[0，2π）的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线2π=x ，但不会与该直线相交． 设计意图：通过一个个追问，帮助学生理解正切函数的几何意义，并利用它画出函数的图象．问题6：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？预设的师生活动：先由学生独立完成，而且学生应该能够完成该问题．之后师生一起再把过程规范条理了．图3★资源名称：【数学探究】正切函数的图象★使用说明：本资源为“正切函数的图象”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：如图4，第一步，因为正切函数是奇函数，只要画函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）图象关于原点的对称图形，就可得到y ＝tan x ，x ∈(－2π，0]的图象； 第二步，根据正切函数的周期性，只要把函数y ＝tan x ，x ∈(－2π，2π）图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R ，且x ≠2π＋k π，k ∈Z 的图象， 我们把它叫做正切曲线(tan gent curve)．观察图象，可以看出：正切曲线是被与y 轴平行的一系列直线x ＝2π＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．设计意图：画出函数的图象，并观察图象特征．4．单调性和值域 问题7：从函数图象与性质研究的基本套路看，还需要研究正切函数的什么性质？观察图4函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象，你得到的结论是什么？ 预设的师生活动：先让学生独立完成，再进行展示交流，并予以规范．预设答案：还需要研究正切函数的单调性与值域．（1）单调性观察正切曲线可知，正切函数在(−π2，π2)上单调递增．由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间(−π2+kπ，π2+kπ)(k ∈Z)上都单调递增．（2）值域当x ∈(−π2，π2)时，tan x 在(−∞，+∞)内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值． 因此，正切函数的值域是实数集R ．5．应用例1．求函数ππtan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期及单调区间． 追问：类比正余弦函数图象与性质的应用，求解该题目的思路是什么？预设答案：通过换元转化为函数y ＝tan x 的性质问题求解．解：自变量x 的取值应满足π2x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠2k +13，k ∈Z ． 所以，函数的定义域是{x|x ≠2k +13，k ∈Z}． 设z =3π2π+x ，由tan (z ＋π)=tan z ，得：tan [(π2x +π3)+π]=tan (π2x +π3)， 即tan [π2(x +2)+π3] =tan (π2x +π3)．因为对任意x ∈{x|x ≠2k +13，k ∈Z}都有 tan [π2(x +2)+π3] =tan (π2x +π3)，所以，函数的周期为2．由−π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得：−53＋2k ＜x ＜13＋2k ，k ∈Z ．所以，函数在区间(−53+2k ，13+2k)，k ∈Z 上单调递增．练习：第213页练习第1，2，5题．（三）归纳小结问题7：本节课是按照怎样的研究套路进行的？获得了关于正切函数图像与性质的哪些基本知识、技能？在应用中有哪些经验？★资源名称：【知识点解析】正切函数的图象与性质★使用说明：本资源展现“正切函数的图象与性质”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂小结进行展示播放．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生梳理，师生一起完善．预设答案：按照函数研究的基本套路确定了研究内容．并采用了新的研究路径：性质——图象——性质．知道了正切函数的周期、奇偶性、单调性及值域．会画正切函数的图象．特别是知道了函数图象无限逼近直线x ＝2π＋k π，k ∈Z ． 在利用正切函数求解与例1类似的问题时，要先求定义域．（四）布置作业教科书习题5.4第7，8，9，12，13，14，15题．（五）单元检测设计求下列函数的定义域、周期和单调区间：（1）y ＝tan 2x ；（2）y ＝5tan2x ． 预设答案：（1）定义域：{x |x ∈R ，且x ≠π4+kπ2(k ∈Z )}；周期2π； 单调递增区间（－π4+kπ2，π4+kπ2）k ∈Z ； （2）定义域：{x |x ∈R ，且x ≠(2k +1)π(k ∈Z )}；周期2π； 单调递增区间（－π+2k π，π+2k π）k ∈Z ．设计意图：检测学生对本节课学习到的基本知识的掌握情况．。
正切函数的图像和性质市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
2
对称轴有：关y轴x 对k称 , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
三角函数
1.4.3正切函数旳性质与图象
正切函数和正切线
定义域
y tan x
终边不能落在y轴上。
定义域：{ x | x k , k Z }
2
周期性
y sin x T 2
y cos x T 2
2 3
由
2
k
2
x
3
2
k , k
Z
解得
5 3
2k
x
1 3
2k,
k
Z
所以原函数旳单调递增区间是
(
5 3
2k
,
1 3
2k
),
k
ห้องสมุดไป่ตู้
Z
思考：y tan x 的单调区间呢？
3 2
P46 A9（1）
▪ 解不等式 1 tan x 0
措施（1）在
2
,
2
内找到相应旳范围
（2）在两边加上 k
3 2
2
3
x
2
2
特征
其中x旳取值集合，即定义域为
{x | x R且x k , k z}
又由图像可知正切函数2旳值域是实数集R
练习：P45 2
例1.观察图象，写出满足下列条件旳x值旳范围：
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
(1) x (k , k )
2
(2) x k k Z
kZ
y y tan x
(3) x ( k , k )
2
k Z 2
2
o 2
正切函数的图像和性质 -公开课PPT课件
8
O1
4
8
3
8
4
8
O
2
A
3
x
84 8 2
8
4
3
8
y
3
2
1
0
2
-1
2
3 x
2
y tan x
正切曲线是由被相互平行的直线
x
k
(k Z)
所隔开的无穷多支曲线组成的。 2
正切函数y tan x的图象
…
-
5 2
-2
-
3 2
-
-
2
…
3
2 5
2
2
2
定义域 值域 周期 奇偶性
单调区间
1. 求y tan(x )的单调区间 (x 3 k , k Z)
5
10
( 7 k , 3 k ) k Z
10
10
2.求函数y tan(2x )的单调区间.
4
令t 2x ,则y tan t,且t 2x
4
4
当k t k 时y tan t (k Z )
(2) tan 13 与 tan 17
4
5
tan138 tan143
tan 17 tan 13
5 4
比较大小方法：1、将角转化在同一个单调区间 2、利用正切函数的单调性
例7、直线y a(a为常数)与y tan x的相邻两支 的交点间的距离是多少 ？
解：由图象
ya
间隔是 多少？
x k , k Z
2
R
奇函数 区间: (k ,k )
2
2
无对称轴 所有的对称中心
( k
2
正切函数的性质与图象教案
正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质，能够运用正切函数的性质解决问题。
2. 让学生通过观察正切函数的图象，加深对正切函数性质的理解。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学重点：1. 正切函数的性质。
2. 正切函数的图象特征。
三、教学难点：1. 正切函数性质的推导。
2. 正切函数图象的绘制。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正切函数的性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解正切函数的图象特征。
3. 通过小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学准备：1. 教师准备正切函数的图象和性质的PPT。
2. 学生准备笔记本和文具。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 复习正切函数的定义：正切函数是指在直角三角形中，对边与邻边的比值。
2. 提问：正切函数有什么性质呢？它的图象又是怎样的呢？二、探究正切函数的性质（15分钟）1. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的周期性。
2. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的奇偶性。
3. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的单调性。
三、总结正切函数的性质（5分钟）1. 总结正切函数的周期性。
2. 总结正切函数的奇偶性。
3. 总结正切函数的单调性。
四、绘制正切函数的图象（15分钟）1. 引导学生利用函数图象绘制工具，绘制正切函数的图象。
2. 引导学生观察正切函数的图象，验证正切函数的性质。
五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成正切函数性质的练习题。
2. 让学生绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。
六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课学习的内容，总结正切函数的性质。
2. 强调正切函数的性质在实际问题中的应用。
七、作业布置（5分钟）1. 完成正切函数性质的相关练习题。
2. 绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。
八、课后反思（教师）1. 反思本节课的教学效果，调整教学方法。
5.4.3 正切函数的性质与图像(教案) 高中数学人教A版(2019)必修第一册
第五章 三角函数5.4.3 正切函数的性质与图像教学设计一、教学目标1.掌握利用单位圆中正切函数定义得到图像的方法.2.能够利用正切函数图像准确归纳其性质并能简单的应用.二、教学重难点教学重点能够利用正切函数图像准确归纳其性质并能简单的应用.教学难点掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图像.三、教学过程（一）情景引入教师：三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.学生：思考.（二）探究一：正切函数的图像教师提问：正切函数图像是怎样的？类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性质？学生：思考 正切函数tan , ?()2y x x R x k k z ππ=∈≠+∈且图象：观察正切曲线，回答正切函数的性质：定义域： ()2x k k z ππ≠+∈ 值域： (,)R ∞∞-+最值： 无最值 渐近线：()2x k k Z ππ=+∈周期性：最小正周期是π奇偶性: 奇函数 单调性：增区间,,22k k k z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭图像特征：无对称轴，对称中心：,0Z 2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 例1 求函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期和单调递增区间． 【答案】定义域：12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；最小正周期为2；单调递增区间是512,2,33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z . 【解析】由232x k ππππ+≠+，得12()3x k k ≠+∈Z ．所以函数()f x 的定义域是12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣； 由于22ππ=，因此函数f (x )的最小正周期为2. 由,2232k x k k ππππππ-+<+<+∈Z ，解得5122,33k x k k -+<<+∈Z .因此，函数的单调递增区间是512,2,33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z . （三）课堂练习1.与函数πtan 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像不相交的一条直线是( ) A.π2x = B.π2y = C.π8x = D.π8y = .答案：C 解析：令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，得ππ()28k x k =+∈Z ，令0k =，则π8x =. 2.函数1πtan 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图像是( ) A. B.C. D. 答案：A解析：当2π3x =时，0y =，排除C,D ；当0x =时，πtan 3y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，排除B.故选A.3.已知函数ππ2tan 63y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则( ) A.增区间为(65,61)k k -+,k ∈ZB.增区间为(61,65)k k -+,k ∈ZC.减区间为(65,61)k k -+,k ∈ZD.减区间为(61,65)k k -+,k ∈Z答案：C 解析：令ππππππ()2632k x k k -+<+<+∈Z ，解得6561()k x k k -<<+∈Z ， 故函数ππ2tan 63y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为(65,61)()k k k -+∈Z .故选C. 4.函数πtan 4y x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的定义域是( ) A.π,4x x x ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭R ∣ B.π,4x x x ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭R ∣ C.ππ,,4x x k k x ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R ∣ D.3ππ,,4x x k k x ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R ∣ 答案：D解析：函数的解析式即πtan 4y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,要使函数有意义,则πππ()42k x k ≠+∈-Z ,解得3ππ()4x k k ≠+∈Z ,据此可得函数πtan 4=x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域是3ππ,,4x x k k x ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R ∣.故选D.（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容？1.正切函数的图像2.正切函数的性质四、板书设计5.4.3 正切函数的性质与图像1.正切函数的图像2.正切函数的性质。
正切函数的性质和图像优秀教案
§1.4正切函数的性质与图像（一）一、教材分析:①课时：第1课时 ②课型：探究课③教材的地位和作用：正切函数性质、图像是在研究正余弦函数图象、性质的基础上，通过数形结合，由形到数，先研究正切函数的性质，再研究正切函数的图象，在根据图象回到性质，因此是对数形结合思想的完善，也是对三角函数图象性质的完善，在本小节学习中起到总结归纳的作用. 二、教学目标① 掌握正切函数的性质，能用三角函数的定义、正切线、诱导公式抽象出正切函数函数的定义域、奇偶性、 周期性、单调性、值域，体会数学抽象的核心素养；② 掌握正切函数的图象，能根据正切函数的性质，预测正切函数的图象，体会直观想象的核心素养；能根据正切函数的图象和性质解决相应问题，体会数学运算的核心素养； ③ 掌握研究函数的基本方法——数形结合、由数到形、由形到数，体会逻辑推理的核心素养； 三、教学重难点教学重点：①利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质；②根据性质探究正切函数的图象.教学难点：利用正切函数的性质画出其图像. 四、教学过程1．情景引入视频播放：展示获得2.3万次点赞量的“函数操”.[设计意图：激发学生学习的兴趣，感受学习函数带来的乐趣.] 2．复习回顾 引入新课：师：根据正弦函数y=sinx 的图象研究了正弦函数y=sinx 的哪些性质？ 生（师）：定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性思考：①正切函数y=tanx 的定义域、周期、奇偶性、单调性、值域分别是什么？②能否根据这些性质绘制正切函数y=tanx 的图象？师：定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性（板书） 生：思考、茫然……3.新课学习：探究（一） 正切函数的性质 （1）、函数tan y x =的定义域：定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ，（即：终边不能在y 轴上）. [说明：坐标系以虚线的形式呈现直线,22x x ππ==-……等、即正切函数的渐近线.]（2）、函数tan y x =的周期性T=π（诱导公式)tan x x π+=tan(）[说明：函数tan y x =周期为π，我们可以只研究一个周期（2,2ππ-）内的图象，再进行周期延拓即可，注意（2,2ππ-）与（π,0）的选择.]（3）、 函数tan y x =的奇偶性： 奇函数，由x x tan )tan(-=-，[说明：根据函数tan y x =周期为π，我们可以从一个周期（2,2ππ-）内进行研究，又因为tan y x =为奇函数，则只需研究（2,0π）的图象，因此.只需要研究然函数tan y x =在（2,0π）的图象，在根据奇偶性对称和周期延拓，即可得到函数tan y x =的图象] （4）、函数tan y x =在（2,0π）上的单调性、值域（1）tan y x =在（2,0π）上单调递增；（2）tan y x =在（2,0π）上的值域为[)0,+∞[说明：函数tan y x =在（2,0π）上的单调性、值域将在几何画板中应用正切线引导学生思考][说明：梳理性质的目的是为了下一步预测图象奠定基础]探究（二）正切函数的图象问题1：根据探究（一）中正切函数的性质，预测正切函数的形状？Zk k x x y x x y x x y ∈+≠=→-∈=→∈=,2,tan )2,2(,tan )2,0[,tan πππππ[说明：体会由数到形的思想]问题2： 类比正弦函数，利用正切线画出正切函数的图象，与预测函数相比较，谈谈感想？[说明：体会计算机是由人掌控的，人的智力是计算机不能替代的][说明：单调性有变化，之前分析单调性时，只分析了在（2,0π）上的单调性，根据图象调整单调区间、值域，补充渐近线] 探究（三）例题讲解例1 ：求下面函数的周期（口答）()),2125(),32tan(1Z k k x x y ∈+≠-=πππ ()),)12((,2tan 52Z k k x x y ∈+≠=π例2 ：求下面函数的定义域（1）x y 3tan = （2）26tan +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=πx y例3：求下列函数的单调区间()⎪⎭⎫⎝⎛+=32tan 1ππx y ()⎪⎭⎫⎝⎛--=432tan 2πx y备选例题：利用单调性比较大小()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛517-tan 413-tan 1ππ与()00143tan 138tan 2与4．课堂小结 ①正切函数的性质 ②正切函数的图像. ③正切函数的性质数形结合：数到形到数 5．作业布置①求函数262tan +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=πx y 的定义域、周期和单调区间；②思考根据正切函数的图像其对称性又是怎样的呢？6．板书设计。
《正切函数的性质与图像》示范公开课教学设计【高中数学人教】
《正切函数的性质与图像》教学设计教学重点：正切函数的图像、正切函数的性质及应用．教学难点：正切函数的性质及应用．一、整体概述问题1：阅读课本第54~56页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节将要研究正切函数的性质与图像．（2）本节课之前已经学习了正弦、余弦函数的性质和图像，函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式．对正切函数，先研究正切函数的性质，然后再根据性质研究正切函数的图像．这样处理是为了给学生提供研究数学问题更多的视觉，在性质的指导下可以更加有效地作图，研究图像，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现的更加全面．由于学生已经有了研究正弦函数，余弦函数的图像与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的探究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移和类比的学习方法．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、探索新知1．问题情境问题2：前面学习了正弦函数与余弦函数，是不是有正切函数呢？师生活动：学生回顾正、余弦函数的定义，并探讨如何定义正切函数．2．新知探究知识点1 正切函数的定义 对于任意一个角x ，只要,2x k k Z ππ≠+∈，就有唯一确定的正切值tan x 与之对应，因此tan y x =是一个函数，称为正切函数．知识点2：正切函数的性质问题3：你能由正切线得出正切函数tan y x =具有哪些性质吗？师生活动：让学生画正切线，利用正切线可以直观地表述正切值，如图所示，AT 就是角x 的正切线．与学生一起探究正切函数的性质：（1）定义域与值域 因为角()2k k Z ππ+∈的终边与横轴垂直，其正切值不存在，因此可知tan y x =的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．由图中的正切线可以看出，当x 从0开始增大并越来越接近2π时，tan x 的值从0开始增大，且它的值可以大于指定的任意正数，也就是说tan x 能取到[0,)+∞内的所有数，类似的，可以看出tan x 能取到(,0]-∞内的所有数，因此tan y x =的值域为R ． （2）奇偶性由诱导公式tan()tan x x -=-可知，正切函数tan y x =是一个奇函数． 【想一想】函数tan()2y x =+π是奇函数还是偶函数？预设的答案：sin()cos cos 2tan()2sin sin cos()2x x x y x x x x +=+===--+πππ，是奇函数． （3）周期性由诱导公式tan()tan x x π+=或图中正切线的变化规律可知，tan y x =是周期为π的周期函数． （4）单调性由tan y x =是以π为周期的周期函数可知，我们只要知道正切函数在(,)22ππ-内的单调性，就能得到正切函数在所有有定义的区间上的单调性． 由图中的正切线可以看出，正切函数tan y x =在区间(,)22ππ-上单调递增，由此可知，tan y x =在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上都是单调递增的．【想一想】函数tan y x =-的单调性如何？ 预设的答案：在(,)()22k k k Z ππππ-++∈ 上单调减．（5）零点不难看出，正切函数tan y x =的零点为()k k Z π∈． 【思考】正切函数的对称性如何？预设的答案：没有对称轴, 有无数个对称中心(,0)2k π． 教师总结：1．正切函数y ＝tan x 的定义域是{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，值域是R ．2．正切函数y ＝tan x 是奇函数．3．正切函数y ＝tan x 周期为π的周期函数． 4．正切函数y ＝tan x 在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈ (k ∈Z)上都是单调递增的．5．正切函数y ＝tan x 的零点是 k π(k ∈Z)．设计意图：让学生会利用正切线研究正切函数的性质． 知识点3：正切函数的图像问题4：正切函数tan y x =的图像会是什么样呢？根据正切函数的性质，我们只要研究区间长度为多少的函数图像即可？★资源名称：【数学探究】正切函数的图象★使用说明：本资源为“正切函数的图象”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．师生活动：与学生一起探讨：因为tan y x =的周期为π，所以只要作出tan y x =在(,22ππ-） 上的图像，就可得到其在整个定义域内的图像．又因为tan y x =是奇函数，所以只要知道tan y x =在[0,)2π上的图像即可．取[0,)2π内的几个点，列表如下：在平面直角坐标系中描点，如图所示，又根据tan y x =在[0,)2π上递增等信息，可知将这些点连接起来，形成光滑的曲线，就可以得到tan y x =在[0,)2π上的函数图像，然后作这一段图像关于原点对称的图像，最后得到tan y x =在(,22ππ-）上的图像，如图所示．由于tan y x =的周期是π，所以正切函数在(,)()22k k k Z ππππ-++∈上的函数图像与其在(,)22ππ-上的函数图像完全相同，因此不难得到正切函数tan y x =的图像，如图所示．教师总结：1．取[0,)2π内的几个点，列表如下．再由正切函数的对称性，可得其在一个周期内的图像，如图：2．y ＝tan x 的函数图像称为正切曲线，是中心对称图形，对称中心为,0)2k （πk ∈Z ． 设计意图：让学生会利用正切线作出正切函数一个周期内的图像，再由周期性得到正切函数的图像,体现了由特殊到一般的思想． 三、初步应用例1 求函数tan()3y x π=-的定义域．师生活动：学生自主完成，教师巡视． 预设的答案：令3u x π=-，则tan()3y x π=-可以转化为tan y u =因为tan y u =中,2u k k Z ππ≠+∈，所以,32x k k Z πππ-≠+∈，即5,6x k k Z ππ≠+∈ 所以函数tan()3y x π=-的定义域为5{|,}6x x k k Z ππ≠+∈ 设计意图：通过本题,让学生会求正切型函数的定义域． 例2 求函数tan 3y x =的周期． 师生活动：学生自主完成，老师完善．预设的答案：令3u x =，则tan 3y x =可以化为tan y u =．由tan y u =的周期为π可知，对任意u ，当它增加到且至少增加到u π+时，对应的函数值才重复出现，因为：33()3u x x πππ+=+=+这说明对任意x ，当它增加到且至少增加到3x π+时，tan 3y x =的函数值才重复出现，这就说明tan 3y x =的周期为3π．设计意图：通过本题,让学生会求正切型函数的定义域． 结论：函数tan()y A x =+ωϕ的最小正周期为||πω． 例3 (1)求函数3tan(24y x =-）π的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．师生活动：学生互相讨论，派代表板演，教师完善． 预设的答案：(1)化简得，3tan(24y x =--）π，由2242k x k -<-<+πππππ，k ∈Z ，解得32828k k x -<<+ππππ，k ∈Z ． ∴函数的单调减区间是3(,)2828k k -+ππππ，k ∈Z ． (2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 又∵2π<2<π，∴2-π<2－π<0．∵2π<3<π，∴2-π<3－π<0，显然2-π<2－π<3－π<1<2π，且y ＝tan x 在(,22ππ-）内是增函数，∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 因此tan 2<tan 3<tan 1．设计意图：通过本题,让学生学会求正切型函数的单调区间以及利用正切函数的单调性比较大小，提升数学运算核心素养． 例4 已知34x -≤≤ππ，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．师生活动：与学生一起探讨完成． 预设的答案： 因为34x -≤≤ππ，所以x ≤1f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1， 当tan x ＝－1即4x =-π时，f (x )有最小值1，当tan x ＝1即4x =π时，f (x )有最大值5．设计意图：通过本题,让学生会利用正切函数的单调性以及换元法求函数的最值． 例5 画出函数y ＝|tan x |的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性． 师生活动：与学生一起探究完成． 预设的答案： (1)由y ＝|tan x |得，tan ,2tan ,2x k x k k Z y x k x k k Z⎧≤<+∈⎪⎪=⎨⎪--<<∈⎪⎩ππππππ其图像如图：由图像可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 函数y ＝|tan x |的周期T ＝π．函数y ＝|tan x |的单调递增区间[,)2k k +πππ (k ∈Z)，递减区间为(,]2k k -πππ (k ∈Z)．设计意图：通过本题,让学生会画正切函数以及绝对值函数的图像，会根据图像写出函数的性质． 练习：第56~57页练习A1~4四、归纳小结，布置作业 1．板书设计：7．3．4 正切函数的性质与图像 1．正切函数的定义 2．正切函数的性质 3．正切函数的图像例1 例2 例3 例4 例5 2．总结概括：教师引导学生回顾本节知识: 1．正切函数的性质：(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，值域是R ．(2)正切函数y ＝tan x 是奇函数．(3)正切函数y ＝tan x 的最小正周期为π，函数tan()y A x =+ωϕ的最小正周期为||πω． (4)正切函数y ＝tan x 在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈ (k ∈Z)上都是单调递增的，正切函数无单调减区间．(5)正切函数y ＝tan x 的零点是 k π(k ∈Z)． 2．正切函数的图像：正切曲线有无数多条渐近线，渐近线方程为,()2x k k Z =+∈ππ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增；有无数个对称中心(,0)2k π． 作业：教科书第57页练习B 1~5．。
正切函数的图象和性质教案1
正切函数的图象和性质（一）教材分析：学习正切函数的图象和性质，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。
（二）素质教育目标： 1. 知识目标：（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象； （2）用正切函数图象解决函数有关的性质； 2. 能力目标：（1）理解并掌握作正切函数图象的方法；（2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 3. 德育目标：培养研究探索问题的能力； （三）教学三点解析：1. 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；2. 教学难点：性质的研究；3. 教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数； （四）教学过程设计 1．设置情境前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。
2．探索研究由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。
下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制tan y x =图象． （1）用正切线作正切函数图象○1分析一下正切函数tan y x =是否为周期函数？ s i n ()s i n()t a n ()t a n ()c o s ()c o sx x f x x x f x x x ππππ+-+=+====+- ∴tan y x = 是周期函数，π是它的一个周期．我们还可以证明，π是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数tan y x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的图象．作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆．②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． ③描点。
（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）． ④连线．图1根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x = ，(,,)2x R x k k Z ππ∈≠+∈的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）．图2（2）正切函数的性质请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性． ①定义域：|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭②值域：R③周期性：正切函数是周期函数，周期是π．④奇偶性：tan()tan x x -=-，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O 对称． ⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(,),22k k k Z ππππ-++∈内都是增函数．强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数c. 每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三 3．例题分析【例1】求函数tan()4y x π=+的定义域．分析：我们已经知道了tan y z =的定义域，那么tan()4y x π=+与tan y z =有什么关系呢？令4z x π=+，我们把tan()4y x π=+说成由tan y z =和4z x π=+复合而成。
正切函数的图像与性质教案
正切函数的图像与性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解正切函数的定义，掌握正切函数的图像与性质；（2）学会运用正切函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察正切函数的图像，探索正切函数的性质；（2）利用数形结合思想，研究正切函数的单调性、周期性等性质。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的数学审美观，感受数学的对称美；（2）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）正切函数的定义；（2）正切函数的图像与性质。
2. 教学难点：（1）正切函数的单调性；（2）正切函数的周期性。
三、教学准备1. 教师准备：（1）正切函数的图像与性质的相关知识；（2）教学课件或黑板。
2. 学生准备：（1）掌握锐角三角函数的基本概念；（2）了解正切函数的定义。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习锐角三角函数的基本概念，引导学生回顾正切函数的定义；（2）提问：你们认为正切函数的图像会是什么样的呢？2. 探究正切函数的图像与性质（1）教师展示正切函数的图像，引导学生观察并描述正切函数的图像特点；（2）学生分组讨论，探索正切函数的单调性和周期性；3. 应用拓展（1）教师提出实际问题，引导学生运用正切函数解决问题；（2）学生独立解答，分享解题思路和方法。
五、课堂小结本节课我们学习了正切函数的定义、图像与性质，通过观察图像、探索性质，我们了解了正切函数的特点。
我们还学会了如何运用正切函数解决实际问题。
希望同学们在课后继续深入学习和思考，掌握更多的数学知识。
六、教学反馈与评价1. 课堂提问：在教学过程中，教师应根据学生的回答情况，及时给予评价和反馈，鼓励学生积极参与课堂讨论。
2. 课后作业：布置有关正切函数图像与性质的练习题，要求学生在课后巩固所学知识，提高解题能力。
3. 学习评价：通过课堂表现、课后作业和小组讨论，评价学生在正切函数图像与性质方面的掌握程度。
七、教学改进1. 针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度，以便更好地满足学生的学习需求；2. 在教学中，注重引导学生运用数形结合思想，提高学生解决问题的能力；3. 加强与学生的互动，鼓励学生提问、发表见解，提高课堂氛围。
正切函数的性质与图像教学优秀教案
1.4.3正切函数的性质与图象一、教材分析：本节课前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。
研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。
正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程和由图象获得性质的过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣。
二、学情分析：本节课是研究了正、余弦函数的图象与性质后学习的，所以学生对图象和性质的研究有了一定的基础，在作图和通过图象获得性质有一定的分析能力及解决能力。
三、教学目标：知识与技能（1）掌握正切线的画法；（2）能利用单位圆中的正切线作正切函数的图象；（3）熟练根据正切函数的图象推导出正切函数的性质；（4）能熟练掌握正切函数的图象与性质；过程与方法类比正弦函数图象的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图象；能学以致用，结合图象分析得到正切函数的性质。
情感态度与价值观会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
四、教学重、难点：重点: 正切函数的性质与图象。
难点: 熟练运用正切函数的性质与图象分析问题、解决问题。
五、教学思路：【创设情境，揭示课题】1、常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,本节课以同样的方法研究正切函数的性质与图象提问1：我们在前面是如何作出正弦函数的图象？有哪些步骤？提问2：如何作出正切线？设计意图：复习旧知，引入新课。
【探究新知】1、正切函数y ＝tanx 的图象（1）请同学们类比正弦函数图象的画法，分组利用正切线作出函数x y tan =在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ的图象。
《正切函数的图象与性质》示范课教案【高中数学】
《正切函数的图象与性质》教学设计◆教学目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．◆教学重难点◆教学重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用．教学难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象．◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习正切函数的图象与性质.（板书：7.3.2.3 正切函数的图象与性质）设计意图：情境导入，引入新课。
【探究新知】问题1：（1）正切函数y＝tan x的定义域是什么？(2)诱导公式tan(π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tan x的关系怎样？(3)诱导公式tan(－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？师生活动：学生分析，给出答案．预设的答案：（1）π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ．（2）周期性．tan (kπ＋x )＝tan _x (k ∈Z )． （3）正切函数是奇函数．追问：如何画出正切函数的图象？正切函数的图象特征是什么？ 预设的答案：利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）．作法如下： (1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆．(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点．（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线．根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图)．正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．在每个开区间 ππ(,)()22k k k Z ππ-++∈上都是增函数。
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1.4.2 正切函数的性质与图象
考纲要求：能画出y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间
（）的单调性.
教学目的
知识目标： 了解利用正切线画出正切函数图象的方法；
了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。
能力目标： 掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单调性，能利用正切曲线解决简单的
问题。
情感目标： 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体
会类比的思想。
教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质
教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象
2、对正切函数单调性的理解
教学方法：探究，启发式教学 教学过程
复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表示，正切函数tan y x =的定义域是什么？ 2. 正弦曲线是怎样画的？
讲授新课：
思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？
画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢?
思考2：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛-
2,2ππ的图象
tan()tan x x -=-
说明：
（1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
R x x
y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”。
（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2
x k k Z π
π=+∈所隔开的
无穷多支曲线组成的。
（二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠
z k k x x ,2|ππ
； （2）周期性：π=T ；
（3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性：
思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。
师举例说明：
π2
3
-π-π
2
π-
2
ππ2
3
O
y
x x
1212121122125,34
,,tan ,tan ,
,22x x x x x x y x y x y k k k Z π
πππππ=
=
<==>⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
师归纳：不能。
如图，取在定义域内，且但y 所以，不能说正切函数你在整个定义域内是增函数，
而只能说，正切函数在开区间内单调递增。
（5）值域：R
观察图象，有：当x 从小于
()2k k Z π
π+∈，2
x k ππ−−→+时，tan x −−
→+∞ 当x 从大于()2
k k Z π
π-
+∈，2
x k π
π−−
→-+时，-∞−→−
x tan 。
（三）、典型例题
例1（课本P44 例6）．求函数 的定义域、周期和单调区间。
解：函数的自变量x 应满足：。
即
∴函数的定义域为
周期
因此函数 的周期为2
由 解得
因此，函数的单调递增区间为 例2．不通过求值，比较下列两个正切函数值的大小：
与．
y tan(x )23ππ=
+,,232x k k Z ππππ+≠+∈1
2,.
3x k k Z ≠+∈1|2,.
3x x k k Z ⎧⎫
≠+∈⎨⎬⎩⎭
22
T πππ
ω=
==y tan(x )23ππ
=+x ,2232k k k Z ππππππ-+<+<+∈5122,.33k x k k Z -+<<+∈512,2,.33
k k k Z ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx 的同一单调区间内，再利用y=tanx 的单调性解决。
课堂练习：1 求下列函数的定义域和周期。
（课本P45 练习 4）
(1)y tan 2x,x (k Z)42
k ππ
=≠+∈(2)y 5tan ,(2k 1)(k Z)2x x π=≠+∈
课堂小结：
1、正切函数的图象：
2
布置作业：P46 习题1.4：
A组6、7
B组2。