正切函数的图像和性质 公开课教案

1.4.2 正切函数的性质与图象

考纲要求：能画出y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间

（）的单调性.

教学目的

知识目标： 了解利用正切线画出正切函数图象的方法；

了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。

能力目标： 掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单调性，能利用正切曲线解决简单的

问题。

情感目标： 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体

会类比的思想。

教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质

教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象

2、对正切函数单调性的理解

教学方法：探究，启发式教学 教学过程

复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表示，正切函数tan y x =的定义域是什么？ 2. 正弦曲线是怎样画的？

讲授新课：

思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？

画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢?

思考2：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫

⎝

⎛-

2,2ππ的图象

tan()tan x x -=-

说明：

（1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数

R x x

y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠

ππ

2

的图象，称“正切曲线”

。

（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2

x k k Z π

π=+∈所隔开的

无穷多支曲线组成的。

（二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+≠

z k k x x ,2|ππ

； （2）周期性：π=T ；

（3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性：

思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。 师举例说明：

π2

3

-π-π

2

π-

2

ππ2

3

O

y

x x

1212121122125,34

,,tan ,tan ,

,22x x x x x x y x y x y k k k Z π

πππππ=

=

<==>⎛⎫

-++∈ ⎪⎝⎭

师归纳：不能。如图，取在定义域内，且但y 所以，不能说正切函数你在整个定义域内是增函数，

而只能说，正切函数在开区间内单调递增。

（5）值域：R

观察图象，有：当x 从小于

()2k k Z π

π+∈，2

x k ππ−−→+时，tan x −−

→+∞ 当x 从大于()2

k k Z π

π-

+∈，2

x k π

π−−

→-+时，-∞−→−

x tan 。

（三）、典型例题

例1（课本P44 例6）．求函数 的定义域、周期和单调区间。

解：函数的自变量x 应满足：

。 即

∴函数的定义域为

周期

因此函数 的周期为2

由 解得

因此，函数的单调递增区间为 例2．不通过求值，比较下列两个正切函数值的大小：

与．

y tan(x )23ππ=

+,,232x k k Z ππππ+≠+∈1

2,.

3x k k Z ≠+∈1|2,.

3x x k k Z ⎧⎫

≠+∈⎨⎬⎩⎭

22

T πππ

ω=

==y tan(x )23ππ

=+x ,2232k k k Z ππππππ-+<+<+∈5122,.33k x k k Z -+<<+∈512,2,.33

k k k Z ⎛⎫

-++∈ ⎪⎝⎭

说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx 的同一单调区间内，再利用y=tanx 的单调性解决。

课堂练习：1 求下列函数的定义域和周期。（课本P45 练习 4）

(1)y tan 2x,x (k Z)42

k ππ

=≠+∈(2)y 5tan ,(2k 1)(k Z)2x x π=≠+∈

课堂小结：

1、正切函数的图象：

2

布置作业：P46 习题1.4：

A组6、7

B组2