八年级数学梯形 同步练习3华师版

梯形(3)【基础知识精讲】1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．2．梯形的元素：(1)梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底．(2)梯形的腰：梯形中不平行的两边叫梯形的腰．(3)梯形的高：梯形两底的距离是梯形的高．3．特殊梯形的定义：(1)等腰梯形：两腰相等的梯形．(2)直角梯形：一腰垂直于底的梯形．4．梯形的判定(1)定义：略．(2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．5．等腰梯形的判定(1)定义：略．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．【重点难点解析】解题中常用的是梯形的性质，特别是等腰梯形的如下性质：(1)两腰相等，两底平行；(2)在同一底上的两个角相等；(3)对角线相等；(4)是轴对称图形，底的垂直平分线是它的惟一对称轴．A．重点、难点提示1．掌握梯形的有关概念和性质；2．掌握等腰梯形的性质和判别条件；（这是重点，也是难点，要掌握好）3．掌握直角梯形的性质和判别条件．（有直角，就可以构造直角三角形，再利用直角三角形的性质处理直角梯形问题）B．考点指要梯形是重要的四边形之一，梯形的性质是中考的重要内容之一．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫作梯形，平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫作梯形的高．两条腰相等的梯形叫做等腰梯形．一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．等腰梯形和直角梯形是两类特殊的梯形，它们的性质的考查频率较高．等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等．同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．（这些是常用方法，要掌握好）梯形问题常转化为三角形、平行四边形问题来解决，常用的转化方法有：【难题巧解点拨】例1：已知梯形ABCD 的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为___________________．思路分析本题是几何中的计算问题．通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长．解：如图4-50，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥BC ．设AD=x ，BC=y ，DB=z ，由题得：x+y+z=16，322z)y x (S ABCD =⋅+=梯形，（熟记梯形面积公式） 解得x+y=8，z=8，过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ．∴四边形ADEC 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） ∴DE=AC ，AD=CE ．（将“上底+下底”转化到一条线段上） 在Rt △DBE 中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8， 根据勾股定理得2888DB B E DE 2222=+=+=，∵AC=DE ， 28AC =∴．点评：本题主要考查用“方程思想”解决几何中的计算问题．解题过程中作“对角线的平行线”，将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以通过解直角三角形计算出对角线长，体现了添加辅助线的目的是把“分散的条件得以集中，隐含条件加以显现”的作用．解梯形有关问题时，我们也常通过“作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决”．例2：如图4-51，已知AB=BC ，AB ∥CD ，∠D=90°，AE ⊥BC ．求证：CD=CE ． 思路分析这是一个直角梯形，通过作CF ⊥AB ，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE 的目的．证明：如图4-52，连结AC ，过C 作CF ⊥AB 于F ．在△CFB 和△AEB 中， （这是直角梯形中常见的辅助线）⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠BC AB B B 90AEB CFB （构造三角形证明三角形全等）∴△CFB ≌△AEB （AAS ） ∴CF=AE ．∵∠D=90°，CF ⊥AB 且AB ∥CD ， ∴AD=CF ， ∴AD=AE ．在Rt △ADC 和Rt △AEC 中， ⎩⎨⎧==AC AC AEAD∴Rt △ADC ≌Rt △AEC （HL ） ∴CD=CE ．点评：本题主要考查直角梯形、三角形全等的综合运用．在直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特殊的四边形（矩形）和三角形．将题中已知条件AB=BC 中的两条线段AB 和BC 分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE 的目的．解决梯形问题时，除可作以上辅助线外，作一腰的平行线、连对角线、作对角线的平行线也是经常用到的．例3：如图4-53，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC ，延长AB 至E ，使BE=DC ．求证：AC=CE ． 思路分析本题主要考查等腰梯形的性质及证明两条线段相等的基本方法． 证法一：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴∠ADC=∠BCD （等腰梯形同一底上的两个角相等） 又∵AB ∥DC ，∴∠BCD=∠CBE ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ADC=∠CBE ， 在△ADC 和△CBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BE DC CBE ADC BCAD∴△ADC ≌△CBE （SAS ） ∴AC=CE ．证法二：如图4-54，连结BD ， ∵DC ∥BE ，DC=BE ，∴四边形DCEB 是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DB=CE ．又∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AC=BD ，（等腰梯形对角线相等） ∴AC=CE ．证法三：如图4-55，作CF ⊥AE 于F ，DM ⊥AE 于M ． 在△AMD 和△BFC 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠90CFB DMA BC AD CBF DAM∴△AMD ≌△BFC （AAS ） ∴AM=BF ．又∵AB ∥DC ，MD ∥FC ， ∴DC=MF ． 又∵DC=BE ， ∴AM+MF=BF+BE ， ∴F 为AE 的中点， ∴CF 是AE 的垂直平分线， ∴AC=CE ．证法四：如图4-54，连结BD ． ∵DC ∥BE ，DC=BE ，∴四边形DCEB 是平行四边形，∴∠DBA=∠E ，（两直线平行，同位角相等） 又∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AC=BD ，在△ABC 和△BAD 中，⎪⎩⎪⎨⎧===AB AB BC AD BDAC∴△ABC ≌△BAD （SSS ） ∴∠CAB=∠DBA ， ∴∠CAB=∠E ，∴AC=CE ．（等角对等边）（此种方法虽然较繁，但其思路很有价值，即通过证明“三线合一”说明是等腰三角形）点评：证法一证两三角形全等得两线段相等；证法二、四利用角相等证线段相等；证法三中通过梯形常加的辅助线，作梯形底边上的高，连结梯形的对角线，将梯形分割成两个直角三角形与一个矩形，连结对角线再作对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形．例4：要剪切如图4-56（尺寸单位：mm ）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的铝板，第一块长500mm ，宽300mm （如图4-57（1）），第二块长600mm ，宽250mm （如图4-57（2）），可供选用．（1）为了充分利用材料，应选用第_________种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共________个，剪完这些零件后，剩余的边角料面积是______________2mm ． （2）从图4-57（1）、4-57（2）中选出你要的铝板示意图，在上面画出剪切线；并把边角余料用阴影表示出来．思路分析通过计算，两直角梯形零件面积分别为22mm 30000mm 40000和，而铝板的面积均为2mm 150000，最多能剪出两个甲、两个乙零件，即在两铝板中设计打样．设计时，为了充分利用材料，考虑到（1）中宽为300mm ，则一种方案作两个乙高，另一种方案为一个甲的下底，思路便打开，类似地，（2）也可以这样分割设计，做出尝试．解：（1）应选用第一块铝板，最多能剪出甲、乙两种零件共4个，由计算得 第一块铝板面积为：)m m (150000300500S 2=⨯=， 而零件甲、乙的面积分别为)mm (40000200)300100(21S 2=⨯+⨯=甲， )mm (30000150)300100(21S 2=⨯+⨯=乙， ∴剩余的边角料的面积是2mm 10000；（2）如图4-58所示正确画出图形．（设计零件个数，从个数、数量上，结合图中数与数之间的关系考虑，往往是应用题的切入点，此外对图形的拼凑、计算、想象，可有利于思维向纵深发展．）【典型热点考题】例1 如图4-30，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，E 为AB 的中点，求证：EC=ED ．点悟：要证EC=ED，实际上只要证E点在CD的垂直平分线上，故过E点作EF⊥CD．又因为BC⊥CD，所以EF∥BC，由E为AB的中点，根据平行线等分线段定理的推论可证出F是CD的中点，EF是线段CD的中垂线，从而可证出EC=ED．解：过E作EF⊥CD，垂足为F．∵ BC⊥CD，∴ BC∥EF．∵ E为梯形ABCD腰AB的中点．∴ EF平分CD，∴ EF是CD的垂直平分线．∴ EC=ED．例2如图4-31，已知在四边形ABCD中，有AB=CD，∠B=∠C，AD＜BC．求证：四边形ABCD为等腰梯形．点悟：由题意知，只需证AD∥BC即可．如延长BA、CD，由∠B=∠C可得等腰△EBC和△EAD，从而可得AD∥BC．解：延长BA、CD，它们交于点E，∵∠B=∠C，∴ EB=EC．又∵ AB=DC，∴ AE=ED．∴∠EAD=∠EDA∵∠E＋∠EAD＋∠EDA=180°，∠B＋∠C＋∠E=180°．∴∠EAD=∠B．∴ AD∥BC，又∵ AD＜BC，∠B=∠C．∴四边形ABCD为等腰梯形．例3如图4-32，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC=10，DE⊥BC于E，求：DE的长．点悟：由等腰梯形知：AC=BD ，又AC ⊥BD ，AD ＋BC=10，如过D 作DF ∥CA ，交BC 的延长线于F ，则△BDF 为等腰直角三角形．BF=BC ＋AD=2DE ．解：过D 作DF ∥AC ，交BC 的延长线于F ，则四边形ACFD 为平行四边形， ∴ AC=DF ，AD=CF∵ 四边形ABCD 为等腰梯形 ∴ AC=DB ，BD=FD ． ∵ DE ⊥BC ， ∴ 51021)(21)(2121=⨯=+=+===AD BC CF BC BF EF BE . ∵ AC ∥DF ，BD ⊥AC ， ∴ BD ⊥DF ． ∵ BE=EF ，∴ 521====BF EF BE DE 答：DE 的长为5．点拨：当对角线相等或垂直时，常作梯形对角线的平行线，构造成平行四边形，等腰三角形或直角三角形．例4 如图4-33，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G ，H ，求证：(1)EG=HF ，(2))(21AD BC GH -=点悟：由题知，EF 为梯形的中位线，所以EF ∥AD ∥BC ，则G 、H 也分别为BD 、AC 中点，故可应用三角形、梯形中位线定理解决问题．解：∵ E 、F 为梯形的两腰AB 、CD 的中点． ∴ AD ∥EF ∥BC ，且G 、H 分别为BD 、AC 的中点． ∴ AD EG 21=，AD FH 21=，BC EH 21=. ∴ EG=HF ．∵ GH=EH －EG ∴ )(212121AD BC AD BC GH -=-=点拨：梯形中位线的性质是“梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半”，如果从运动的观点来认识梯形、三角形、平行四边形，那便可以找到它们中位线之间的联系．如图4-33所示：当梯形上底AD 的点D 和点A 重合，即AD=0时梯形ABCD 便转化为三角形，由梯形中位线BC 21)BC AD (21EF =+=转化为三角形的中位线；当梯形的上底扩大，使AD=BC 时，梯形ABCD 就变成了平行四边形，这时ADFE 与EFCB 均是平行四边形，于是得BC=EF=AD ． ∴ 平行四边形一组对边中线EF 表示为： )(21BC AD BC AD EF +=== 这样，梯形中位线的性质便与三角形中位线的性质以及平行四边形一组对边中点的连线统一起来了． 例5 如图4-34，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABDE 为等腰梯形，AE ∥BD ．求证：△BED ≌△BCD ．点悟：要证△BED ≌△BCD ，则考虑这两个三角形中的对应边，对应角的相等关系．而DE=AB=CD ，BD=BD ，且BE=AD=BC ，则问题得证，本题要证对应的角相等也不困难． 解：∵ 四边形ABCD 为矩形． ∴ DC=AB ，BC=AD ，∵ 四边形ABDE 为等腰梯形，且AD 、DE 为其对角线， ∴ DE=AB ，BE=AD ．在△BED 和△BCD 中，DE=DC ，BE=BC ， 又∵ BD=BD ，∴ △BED ≌△BCD ．点拨：梯形有一组对边平行，而另一组对边不平行，在处理这类问题时，常把梯形问题转化为平行四边形的问题，或把直角梯形问题转化为矩形问题或直角三角形问题．例6 如图4-35，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为BC 的三等分点(BE ＞CE)，AE 、CD 交于点F ，求证：F 为CD 的中点．点悟：我们知道，由平行线等分线段定理及推论可得到线段中点，故过D 作DN ∥AE ，构造平行线等分线段定理推论2的基本图形． 解：过D 作DN ∥AE 交BC 于N ． ∵ D 为AB 中点，∴ BN=EN ，又∵ E 为BC 的三等分点，（BE>CE ）∴ BN=NE=EC ． ∵ DN ∥FE ，∴ F 是CD 的中点．点拨：从上述证明过程中看出，有效利用中点D 成为证明的关键，通常在已知有线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线段等分线段定理及推论的基本图形，以达到有关证明的目的．例7 如图4-36，如果把矩形ABCD 纸对折，折痕为GH ，再把A 点叠在折痕线上，折痕为BE ，得到Rt △ABE ，BE 交折痕GH 于P ，延长EA ’交BC 于F ，求证△BEF 为等边三角形．点悟：由折叠过程和平行线等分线段定理的推论1知：P 、A ’分别为BE 、EF 中点，而 ∠EAB=90°，有PA ’=PE ，BA ’为EF 的垂直平分线，从而∠BEF=∠EA ’P=∠DEF=∠A ’EB= 60°，又BE=BF ，∴ △BEF 为等边三角形．解：∵ G 、H 分别为矩形ABCD 的边AB 、CD 的中点， ∴ 四边形AGHD ，GBCH 为矩形，AD ∥GH ∥BC ．∴ P 、A ’分别为BE 、EF 的中点． ∵ Rt △A ’BE ≌Rt △ABE ，∴ ∠EA ’B=∠EAB=90°，∠AEB=∠BEF ． ∴ ∠PA ’=PE=BE 21，BA ’为EF 的垂直平分线， ∴ ∠BEF=∠PA ’E ，BE=BF ． ∵ GH ∥AD ， ∴ ∠PA ’E=∠DEF ， ∴ ∠A ’EB=∠BEF=∠DEF ． ∵ ∠A ’EB ＋∠BEF ＋∠DEF=180°， ∴ ∠BEF=60°．∵ BE=BF ， ∴ △BEF 为等边三角形．点拨：折叠问题是一种常见题型，解此类题的关键是：折叠后重叠部分是全等形，同时要注意折叠前后图形中有关元素的联系．例8 如图4-37，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O ，且AC ⊥BD ，AC=4，BD=3．4，求梯形ABCD 的面积．点悟：梯形的面积常用(上底＋下底)×高21⨯来计算，而此题上、下底和高都是未知的， 故不能用此公式．但⨯⨯=⋅=42121BD AC S ABCD 梯形 3.4=6.8故面积可求． 解：∵ AC ⊥BD ，∴ BD AO 21S ABD ⋅=∆, BD CO S BCD ⋅=∆21, ∴ BD CO AO BD CO BD AO S S S BCD ABD ABCD ⋅+=⋅+⋅=+=∆∆)(212121梯形,即 ⨯⨯=⋅=42121BD AC S ABCD 梯形 3.4=6.8答：梯形ABCD 的面积为6．8．点拨：当梯形(或任意四边形)对角线互相垂直时，它们的面积等于对角线乘积的一半．例9 如图4-38，已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＞CD ，AD=BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=60°，梯形周长是20cm ，求梯形的各边长？点悟：由等腰梯形性质知：∠A=∠CBA=60°，又BD 平分∠ABC ，有∠1=∠2=30°，从而∠ADB=90°，则AB AD 21=又AB ∥CD ，知∠2=∠3=∠1，有BC=CD=AD ．故由周长为20cm ，可求各边长． 解：∵ 四边形ABCD 为等腰梯形， ∴ ∠A=∠ABC=60°，∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠1=∠2=30°．∠A=60° ∴ ∠ADB=180°－∠A －∠2 =180°－60°－30° =90°． ∴ AB AD 21=. ∵ AB ∥CD ， ∴ ∠2=∠3． ∴ ∠1=∠3， ∴ BC=DC ． ∵ AD=BC ， ∴ AB BC CD AD 21===.∵ AB ＋BC ＋CD ＋AD=20． ∴ AD=DC=BC=4， AB=8答：梯形的各边长分别为4cm ，4cm ，4cm ，8cm ．【同步达纲练习一】 一、选择题1．下列命题中，真命题有 ( )①有两个角相等的梯形是等腰梯形； ②有两条边相等的梯形是等腰梯形； ③两条对角线相等的梯形是等腰梯形； ④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分． (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2．以线段a=16，b=13，c=10，d=6为边作梯形，其中a 、c 作为梯形的两底，这样的梯形( )(A)只能作1个 (B)能作2个 (C)能作无数个 (D)不能作3．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，E 是CD 中点，则 ( ) (A)AE=BE (B)AE ＞BE(C)AE ＜BE (D)AE 、BE 大小不确定4．等腰梯形的两底长分别为a 、b ，且对角线互相垂直，它的一条对角线长是 ( ) (A))(22b a + (B)2 (a ＋b) (c))(21b a + (D)a ＋b二、填空题5．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=a ，BC=b ，则∠D=________，CD=________． 6．直角梯形一底与一腰的夹角为30°，并且这腰长为6厘米，则另一腰长为_________．7．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ＜BC ，AC ⊥BD 于O ，AC=8，BD=6，则梯形ABCD 的面积为_________． 8．已知梯形上、下底长分别为6、8，一腰长为7，则另一腰a 的范围是 _______，若a 为奇数，则此梯形为_________梯形．9．梯形不在同一底上的两组角的比值分别为3∶6和4∶2，则四个角的度数分别为_________．三、解答题10．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥DC ，若AB=AD=DC ，梯形ABCD 的周长为10，求梯形ABCD 的面积．11．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且∠B ＋∠C=90°，E 为AD 中点，F 是BC 中点．求证：)(21AD BC EF -=【同步达纲练习二】1．有两个角相等的梯形是( )A．等腰梯形B．直角梯形C．一般梯形D．等腰梯形或直角梯形2．已知直角梯形的一腰长为10cm，这条腰与底所成的角为30°，那么另一腰的长为( )A．2.5cm B．5cm C．10cm D．15cm3．如图4-59，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对（平移对角线BD即可）4．如图4-60，AB∥CD，AE⊥DC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形ABCD的面积是( )A．130 B．140 C．150 D．1605．等腰梯形中，上底：腰：下底=1：2：3，则下底上的内角的度数是____________．6．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，若∠B=30°，AD=2cm，BC=6cm，那么梯形的周长为_____________．7．已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长的取值范围是_________________．89，则它的对角线长为8．已知：等腰梯形的两底分别为10cm和20cm，一腰长为cm_____________cm．9．如图4-61，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，E为梯形内一点且EA=ED．求证：EB=EC．10．如图4-62，四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是等腰梯形，AE∥BD．求证：△BED≌△BCD．11．如图4-63，梯形ABCD 中，∠B+∠C=90°，E 、F 分别为上、下底的中点．求证：)AD BC (21EF -=．参考答案【同步达纲练习一】一、1．B ； 2．D ； 3．A ； 4．A ． 二、5．100°，b-a ； 6．3； 7．24； 8．5<a<9，等腰梯形； 9．60°，60°，120°，120°． 三、10．∵AD=AB=DC ． ∴ ∠1=∠2， ∵ AD ∥BC ，∴ ∠C=∠2+∠3，∠1=∠3． ∴ ∠2=∠3，∴ ∠C=2∠3． ∵ BD ⊥DC ，∴ ∠3=30°， ∴ BC CD 21=．设CD=x ，则x+x+x+2x=10， ∴ x=2．在Rt △BCD 中，BD=322422=-． 作DE ⊥BC ，垂足为E ．则32221421⨯⨯=⨯⨯DE ， ∴ 3=DE ，∴ 333)42(21S ABCD =⋅+=梯形． 11．过E 作EM//AB ，EN//CD 交BC 分别于M 、N ，则得、，有AE=BM ，EN=CD ，∠B=∠EMC ，∠C=∠ENB ，又∠B+∠C=90°，则∠EMC+∠ENB=90°，有∠MEN=90°。