差分方程(1)-基础知识
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则
x
x
5 k 2
x 1
1 5 5 k , 2 2 2
x
x
解出
1 k . 2
则所求通解为
15 1 yx . 2 2 2
x
x
四、二阶常系数线性差分方程 形如
yx+2 + ayx+1 + byx = f (x).
解 特征方程为
2 4 + 16 = 0.
方程的根为
1,2 2 2 3i , r 4, .
3
原方程的通解为
y x C1 cos x C 2 sin 3 3
x x4 .
代入初始条件 y0=0, y1=1得
C1 cos 0 C 2 sin 0 40 0, 1 C1 cos C 2 sin 4 1, 3 3
其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x的一个特解.
解 对应的齐次方程的特征方程为 方程的根为
2 3 + 2 = 0. 1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y Bx 2 x ,
xwk.baidu.com
代入原方程, 得 B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x, 1 B , 2 1 x x 所求特解为 yx x 2 x 2 . 2
种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
yx+1 yx 称为函数 yx 的一阶差分, 记为yx, 即 yx = yx+1 yx.
(yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
6B1 = 12,
3B0 + 5B1 = 0,
解出
10 B0 , B1 2, 3
10 y x C1 C 2 (2) x 2 x 2 . 3
x
故所求通解为
(2) f (x) = Cqx
设特解的待定式为
x y x Bq
(q不是特征根);
y x Bxq x (q是特征方程单根); y x Bx2q x (q是二重特征根).
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方
程. 差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则 称此函数为该差分方程的解. 例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的 解. 解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2, 所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解. 定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
设特解的待定式为
y x B0 B1 x Bm x m (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
差分方程. 当 f (x) = 0 时, 即
(10)
(其中 a , b 0, 且均为常数)的方程, 称为二阶常系数线性
yx+2 + ayx+1 + byx = 0
(11)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分方程与
其有相同的解的结构. 故先求齐次方程(11)的通解.
的个数与差分方程的阶数相等, 这样的解称为差分方程
解. 的通
三、一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yx+1 ayx = f (x). 其中 a 为不等于零的常数. 当 f (x) = 0 时 , 即 (3)
yx+1 ayx = 0
(4)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
特征方程的解
两个不相等的实根 1, 2
两个相等实根 1 = 2 一对共轭复根 1,2= i
x+2 + ax+1 + bx = 0的通解 yx C11x C22x
yx (C1 C2 x)1x
y x (C1 cos x C 2 sin x )r x r 2 2 , tan
2(x3) = (3x2 + 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程为
2 + 2 = 0.
方程的根为
1 = 2, 2 = 1,
x y* C C ( 2) . x 1 2
齐次方程的通解为
差 分 方 程(1) ——基础知识
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分 微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储
蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这
解 这里 a = 2, 设
2 y x B0 B1 x B2 x ,
代入差分方程, 得 B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得 (B0+B1 +B2)+ ( B1+2B2) xB2x2=3x2. 比较系数, 得
B0+B1 +B2=0,
解出
C1 0, C 2
故所求特解为
1 2 3
,
yx 4
x
1 2 3
sin
3
x.
(1) f (x) = b0 + b1x + +bmxm 根据非齐次差分方程 yx+2 + ayx+1 + byx = f (x)的函数 f (x)的形式, 用待定系数法可求出一个特解.
设特解的待定式为
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系,
所以可设 yx = x为方程(11)的解. 代如方程(11)得 x+2 + ax+1 + bx = 0,
2 + a + b = 0,
方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.
(12)
由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：
再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结构
定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方 * 是 (3) 的一个特解 , 则 y y y x 是方 程(4)的通解, yx x x
程(3)的通解. 下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.
(1) 令f (x) = b0 + b1x + +bmxm
或
x y x kxb (b a)
(8)
(9)
其中 k 为待定系数.
1 5 例7 求差分方程 y x 1 y x 的通解. 2 2 1 解 对应的齐次方程 y x 1 y x 0 的通解为 2 x 1 * yx C , 2 因为 a 1 , b 5 , 故可设特解为 2 2 5 yx k , 2
y x B0 B1 x Bm x m (1 a b 0),
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (1 a b 0且a 2 0) y x ( B0 B1 x Bm x m ) x 2 (1 a b a 2 0).
整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
解出 故所求通解为
(2) f (x) = Cbx
设特解的待定式为
y x kb x (b a )
因为 a = 1, b = 2, 1+a+b = 0, 但 a+2 = 3 0,所以, 设
非齐次方程的一个特解为
y x (B0 B1 x) x,
代入原方程, 得
[B0+B1(x+2)](x+2)+[B0+B1 (x+1)](x+1)(B0+B1x)x=12x. 整理, 得
6B1x + 3B0 + 5B1 =12x. 比较系数, 得
先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的解 设 y0 已知, 代入方程可知 y1 = ay0, y2 = a2y0,
yx = axy0, 令y0 = C, 则得齐次差分方程的通解为
yx = Cax. (5)
例4 求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通解.
解 这里 a = 2, 由公式(5)得, 通解为 yx = C(2)x .
B1+2B2 = 0, B2 = 3.
解出
B0= 9, B1 = 6, B2 = 3,
故所求特解为
y x 9 6 x 3x2 .
例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解. 解 对应的齐次方程 yx+1 yx = 0的通解为
y* x C. 这里 a = 1, 设 y x x(B0 B1 x), 代入差分方程, 得 (x+1)[B0+B1(x+1)] x(B0+B1x) = x +1.
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含 有差分. 式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
例2 将差分方程
2yx + 2yx = 0 表示成不含差分的形式.
解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 2yx+1 + yx ,
例8 求差分方程 yx+2 7yx+1 + 6yx = 0的通解.
解 特征方程为
2 7 + 6 = 0.
方程的根为 原方程的通解为
1 = 1, 2 = 6.
yx = C1 + C26x.
例9 求差分方程 yx+2 4yx+1 + 16yx = 0满足条件y0=0,
y1=1的特解.
代入得 yx+2 yx = 0.
由此可以看出, 差分方程能化为含有某些不同下标
的整标函数的方程.
定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称 为差分方程. 其一般形式为 G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0. 定义3中要求yx, yx+1, , yx+n不少于两个. (2)
x
x
5 k 2
x 1
1 5 5 k , 2 2 2
x
x
解出
1 k . 2
则所求通解为
15 1 yx . 2 2 2
x
x
四、二阶常系数线性差分方程 形如
yx+2 + ayx+1 + byx = f (x).
解 特征方程为
2 4 + 16 = 0.
方程的根为
1,2 2 2 3i , r 4, .
3
原方程的通解为
y x C1 cos x C 2 sin 3 3
x x4 .
代入初始条件 y0=0, y1=1得
C1 cos 0 C 2 sin 0 40 0, 1 C1 cos C 2 sin 4 1, 3 3
其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x的一个特解.
解 对应的齐次方程的特征方程为 方程的根为
2 3 + 2 = 0. 1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y Bx 2 x ,
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代入原方程, 得 B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x, 1 B , 2 1 x x 所求特解为 yx x 2 x 2 . 2
种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
yx+1 yx 称为函数 yx 的一阶差分, 记为yx, 即 yx = yx+1 yx.
(yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
6B1 = 12,
3B0 + 5B1 = 0,
解出
10 B0 , B1 2, 3
10 y x C1 C 2 (2) x 2 x 2 . 3
x
故所求通解为
(2) f (x) = Cqx
设特解的待定式为
x y x Bq
(q不是特征根);
y x Bxq x (q是特征方程单根); y x Bx2q x (q是二重特征根).
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方
程. 差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则 称此函数为该差分方程的解. 例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的 解. 解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2, 所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解. 定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
设特解的待定式为
y x B0 B1 x Bm x m (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
差分方程. 当 f (x) = 0 时, 即
(10)
(其中 a , b 0, 且均为常数)的方程, 称为二阶常系数线性
yx+2 + ayx+1 + byx = 0
(11)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分方程与
其有相同的解的结构. 故先求齐次方程(11)的通解.
的个数与差分方程的阶数相等, 这样的解称为差分方程
解. 的通
三、一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yx+1 ayx = f (x). 其中 a 为不等于零的常数. 当 f (x) = 0 时 , 即 (3)
yx+1 ayx = 0
(4)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
特征方程的解
两个不相等的实根 1, 2
两个相等实根 1 = 2 一对共轭复根 1,2= i
x+2 + ax+1 + bx = 0的通解 yx C11x C22x
yx (C1 C2 x)1x
y x (C1 cos x C 2 sin x )r x r 2 2 , tan
2(x3) = (3x2 + 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程为
2 + 2 = 0.
方程的根为
1 = 2, 2 = 1,
x y* C C ( 2) . x 1 2
齐次方程的通解为
差 分 方 程(1) ——基础知识
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分 微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储
蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这
解 这里 a = 2, 设
2 y x B0 B1 x B2 x ,
代入差分方程, 得 B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得 (B0+B1 +B2)+ ( B1+2B2) xB2x2=3x2. 比较系数, 得
B0+B1 +B2=0,
解出
C1 0, C 2
故所求特解为
1 2 3
,
yx 4
x
1 2 3
sin
3
x.
(1) f (x) = b0 + b1x + +bmxm 根据非齐次差分方程 yx+2 + ayx+1 + byx = f (x)的函数 f (x)的形式, 用待定系数法可求出一个特解.
设特解的待定式为
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系,
所以可设 yx = x为方程(11)的解. 代如方程(11)得 x+2 + ax+1 + bx = 0,
2 + a + b = 0,
方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.
(12)
由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：
再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结构
定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方 * 是 (3) 的一个特解 , 则 y y y x 是方 程(4)的通解, yx x x
程(3)的通解. 下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.
(1) 令f (x) = b0 + b1x + +bmxm
或
x y x kxb (b a)
(8)
(9)
其中 k 为待定系数.
1 5 例7 求差分方程 y x 1 y x 的通解. 2 2 1 解 对应的齐次方程 y x 1 y x 0 的通解为 2 x 1 * yx C , 2 因为 a 1 , b 5 , 故可设特解为 2 2 5 yx k , 2
y x B0 B1 x Bm x m (1 a b 0),
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (1 a b 0且a 2 0) y x ( B0 B1 x Bm x m ) x 2 (1 a b a 2 0).
整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
解出 故所求通解为
(2) f (x) = Cbx
设特解的待定式为
y x kb x (b a )
因为 a = 1, b = 2, 1+a+b = 0, 但 a+2 = 3 0,所以, 设
非齐次方程的一个特解为
y x (B0 B1 x) x,
代入原方程, 得
[B0+B1(x+2)](x+2)+[B0+B1 (x+1)](x+1)(B0+B1x)x=12x. 整理, 得
6B1x + 3B0 + 5B1 =12x. 比较系数, 得
先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的解 设 y0 已知, 代入方程可知 y1 = ay0, y2 = a2y0,
yx = axy0, 令y0 = C, 则得齐次差分方程的通解为
yx = Cax. (5)
例4 求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通解.
解 这里 a = 2, 由公式(5)得, 通解为 yx = C(2)x .
B1+2B2 = 0, B2 = 3.
解出
B0= 9, B1 = 6, B2 = 3,
故所求特解为
y x 9 6 x 3x2 .
例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解. 解 对应的齐次方程 yx+1 yx = 0的通解为
y* x C. 这里 a = 1, 设 y x x(B0 B1 x), 代入差分方程, 得 (x+1)[B0+B1(x+1)] x(B0+B1x) = x +1.
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含 有差分. 式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
例2 将差分方程
2yx + 2yx = 0 表示成不含差分的形式.
解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 2yx+1 + yx ,
例8 求差分方程 yx+2 7yx+1 + 6yx = 0的通解.
解 特征方程为
2 7 + 6 = 0.
方程的根为 原方程的通解为
1 = 1, 2 = 6.
yx = C1 + C26x.
例9 求差分方程 yx+2 4yx+1 + 16yx = 0满足条件y0=0,
y1=1的特解.
代入得 yx+2 yx = 0.
由此可以看出, 差分方程能化为含有某些不同下标
的整标函数的方程.
定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称 为差分方程. 其一般形式为 G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0. 定义3中要求yx, yx+1, , yx+n不少于两个. (2)