信号与系统 陆建华 05

简记 Fn
周期矩形: Fn = (1) 谱线间隔
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Eτ nω 1τ Sa T1 2
2π ω1 = T1
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第三章 傅里叶变换
(2) 包络线零点 (3) 带宽
m
2π
τ
2π
m 为整数
τ
BW =
下节课: 傅立叶变换—非周期信号的频谱分析 课后作业: 思考题: 参考书:
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nω 1τ Eτ 2 = Eτ Sa nω 1τ = nω 1τ T1 T1 2 2
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§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
偶对称: 三角函数形式展开,有 bn = 0
2 Eτ nω 1τ c n = a n = 2 Fn = Sa T1 2 Eτ c0 = a0 = T1
卷积定理 抽样定理
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第三章 傅里叶变换
§3.2 傅立叶级数
1822 Fourier 证明了将周期信号展开为正弦级数原理 傅立叶级数 (一) 三角函数形式级数展开(正交函数集 {cos nω1t , sin nω1t} ) 周期函数 f 当:
2π T1
(t ),周期为 T , 角频率为ω 1 =
Fn e jnω1t ∑
f (t )e jnω1t dt
∞
f (t ) =
1 Fn = T1
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n = ∞
∫
t 0 +T1
t0
(同学可自行推导)
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§3.2 傅立叶级数
Fn与其它系数的关系:
F0 = a 0 = c 0
Fn = Fn e
j n
1 = (a n jbn ) , n 仍为 c n对应的 n 2
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§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
(四) 周期三角脉冲信号 F 级数展开 (自行推导) (五) 周期半波余弦信号F 级数展开 (自行推导) (六) 周期全波信号
F 级数展开 (自行推导)
注意: 利用函数的对称性质
f (t ) = f ( t ) ,bn = 0 奇函数 f (t ) = f ( t ) , a n = 0
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§3.2 傅立叶级数
(2) 奇函数
f (t ) = f ( t )
f(t)
T 1 2
0
T1 2
t
a a0 = 0 , n = 0
c n = bn, n = π 2
(余弦分量)
Fn = F n
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1 = jbn 2
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§3.2 傅立叶级数
T f (t ) = f t ± 1 (3) 奇谐函数 2
Fn = F n =
1 1 2 2 cn = a n + bn 2 2
利用下图矢量分解:
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§3.2 傅立叶级数
j bn 2
Fn
Fn =
an 2
cn
2
n
0
+ n
Fn
an
j
bn 2
须注意的两个现象:
(1) f(t)展开式中包含复数 (数学变换的结果) (2) 出现负频率分量 (原正频率分量的能量减半)
吉布斯现象
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§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
(二)矩形对称方波周期信号:(特例)
f (t)
T1 2
T1 2
E/ 2
T1 = 2τ
E/ 2
τ τ
2 2
t
(1) 偶对称 b0 = 0 无正弦分量 (2) 正负交替,直流分量 (a 0 ) 为零 参照周期矩形脉冲频谱可得:
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频谱图(Fn)
ω
18
2π
0
2π
4π
τ
ω1
τ
τ
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§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
注意:
F 偶对称函数 bn = 0 ,n = 0, π, n 可由一图示出
一般情况:
Fn = Fn e j n
Fn 频谱幅度图, n 频谱相位图
以周期矩形脉冲为例说明周期信号谱特点(频谱分析要点) (1) 周期信号的频谱离散,谱线间隔
n =1
∞
1 其中: a 0 = T1
2 an = T1
∫
t 0 +T1
t0
t 0 +T1
f (t )dt
f (t ) cos nω 1 tdt
直流分量 余弦分量 正弦分量
∫
t0
2 bn = T1
∫
t 0 +T1
t0
f (t ) sin nω 1 tdt
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§3.2 傅立叶级数
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§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
Fn
2ω1
2π
τ 3ω1
0
2π T1
4ω1
ω
偶次谐波=0!!
ω1
由 Fn 或 c n 公式(周期矩形脉冲信号)求基波及奇次谐波系数:
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§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
2 Eτ nω 1τ cn = Sa T1 2
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2π ω1 = T1
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§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
T1 越大,谱线越密
T1 → ∞,非周期信号,频谱连续
一般信号 F 变换
nπτ nω 1τ (2) 幅度按 S a T 或 S a 2 变化 1 2mπ 当ω= ,谱线包络过零 τ
2π
0
偶函数 奇谐函数
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f (t ) = f (t ±
T1 ) ,0 a 2
= 0 ,偶次谐波为0.
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第三章 傅里叶变换
本节课小结: 傅里叶级数(周期信号)
f (t ) =
n = ∞ ∞
∑
F (nω 1 )e jnω1t
1 F (nω 1 ) = T1
∫
T1
0
f ( t ) e jn ω 1 t dt
a n < 0 n = π
同样,还可以有另一种形式:
f (t ) = d 0 + ∑ d n sin (nω 1 t + θ n )
n =1 ∞
请同学们课后推导d0,dn 的表示式.
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§3.2 傅立叶级数
(二) 指数形式级数展开:(正交函数集 e jnω1t )
{
}
e jnω l t = cos nω 1t + j sin nω 1t 欧拉公式:
当 n =1
2 Eτ 1 ω 1τ Sa T1 2
(即 2 Fn )
2 Eτ = 2τ sin 2π 4 = 2E
π
π
n=3
n=5
1 = × π 3 2E 1 =+ × π 5
2E
2
2E 1 1 1 f (t ) = cos ω 1 t 3 cos 3ω 1 t + 5 cos 5ω 1 t 7 cos 7ω 1 t + π
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§3.2 傅立叶级数
负频率没有物理意义,不会在实际系统中出现, 其引入给信号分析带来便利.
(三) 函数的对称性与傅立叶系数的关系 (1) 偶函数
f (t ) = f ( t )
f(t)
T 1 2
0
T1 2
t
bn = 0
Fn = F n
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(正弦分量) c n = a n , n = 0 1 = an 2
根据三角函数的性质,可将余弦分量和正弦分量合并:
f (t ) = c 0 + ∑ c n cos(nω 1 t + n )
n =1
∞
c0 = a0
(直流分量不变)
n
an
2 2 c n = a n + bn
n = tg
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1
bn an
bn
cn
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§3.2 傅立叶级数
注意:
a 对于偶函数 bn = 0 , n > 0 n = 0 ;
§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
f (t ) =
1 Fn = T1
E = T1
n = ∞
∑
∞
Fn e jnω1t
Ee
jnω 1 t
∫
T1 / 2
T1 / 2
1 dt = T1
τ /2
∫τ
τ /2
/2
Ee jnω 1t dt
1 jnω1t jnω e 1
sin
τ / 2
2 E e jnω1τ / 2 e jnω1τ / 2 = T1 nω 1 2j
ω1
2π
4π
ω
τ
τ
τ
(3) 周期信号含有无穷多条谱线,但根据其包络,能量主 2π ,即低频信号能量大. 要集中在第一个零点内 0 ~ τ
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§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
定义 BW =
2π
τ
B 为信号带宽, W ∝
1
τ
信号带宽须与传输信道匹配 传输系统设计内容之一 采用信号带宽传输信号,去除高端频谱成份, 波形略有失真,但基本保持原形状.