信号与系统第5章(2)
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信号与系统-第5章
第5 章非周期信号实频域分析本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换非周期信号f(T F(jω)∫+∞∞−−=tet f F td )()j (j ωωωωπωd )j (21)(j teF t f ∫+∞=傅里叶反变换=说明：F∫∞−2122d sin )(d cos )()(⎥⎤⎢⎡⎟⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛=∫∫∞∞t t t f t t t f j F ωωω所以：∫∫∞∞−∞∞−−=tt t f t t t f d sin )(j d cos )(ωωπ2∫∞−π2∞−∫∫∞∞−+=ωωϕωωπd)](cos[)j(21tFωωϕωωd)](sin[)j(j∫∞++tF典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号单边指数信号双边指数信号直流信号单位冲激信号符号信号矩形脉冲信号02τ−τ2τE矩形脉冲信号（续）F)(ωj单边指数信号0t单边指数信号（续）1双边指数信号0t双边指数信号（续）直流信号有些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，ε(t ) 等，但傅里叶变换却存在。
2202lim )j (ωααωα+=→F )0()0(≠=ωω因此，直流信号的频谱函数可能为一冲激函数，下面求其大小。
π2=1)(=t f )(∞<<−∞t 不满足绝对可积条件ωωααd 222∫∞∞−+)(d )(122αωαω∫∞∞−+=∞∞−=αωarctan 2直接用定义式不好求解，可用间接的方法。
如：直流信号的频谱函数可看作双边指数信号频谱在α→0时的极限:⎩⎨⎧∞+=0直流信号（续）所以，直流信号的频谱是：单位冲激信号=t fδ)(t)(t符号函数⎩⎨⎧<−>==0101)sgn()(t t t t f 构造函数：[=t11−0可积条件符号函数（续）[] F傅里叶变换对eαjω+本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换的性质线性性质时移性质频移性质尺度变换性质对称性卷积定理时域微分积分特性频域微分积分特性调制特性线性性质== [[解：22‖例：已知f(t), 求F(jω)‖-解： f (t) = f1(t) –g2(t)f1(t) = 1 ↔2πδ(ω)可知：g2(t) ↔2Sa(ω)∴F( jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)由gτ(t) ↔τSa(ωτ/2)时移性质=[解：‖例求F (j ω)。
信号与系统第5章
0 1 as s e F a a
t
பைடு நூலகம்
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
求如图信号的单边拉氏变换. 例1:求如图信号的单边拉氏变换. 求如图信号的单边拉氏变换 解:f1(t) = ε(t) –ε(t-1),f2(t) = ε(t+1) –ε(t-1) ε , ε 1 F1(s)= (1 es ) s F2(s)= F1(s)
第5-4页
■
湖南人文科技学院通信与控制工程系
信号与系统 解
5.1 拉普拉斯变换
因果信号f 求其拉普拉斯变换. 例1 因果信号 1(t)= eαt ε(t) ,求其拉普拉斯变换.
e ( s α )t ∞ 1 F1b ( s) = ∫ eαt e st d t = = [1 lim e (σ α )t e jω t ] 0 0 t →∞ (s α ) (s α ) 1 s α , Re[ s ] = σ > α jω = 不定 , σ =α 无界 , σ <α
F ( s) = 1 e sT
st
+e
2 st
+e
3 st
+ )
特例: 特例:δT(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
第5-13页 13页
■
湖南人文科技学院通信与控制工程系
信号与系统 已知f 例2:已知 1(t) ←→ F1(s), 已知 求f2(t)←→ F2(s)
5.2
拉普拉斯变换性质
∞
可见,对于因果信号, 可见,对于因果信号,仅当 Re[s]=σ>α时,其拉氏变换存 σ α 收敛域如图所示. 在. 收敛域如图所示.
0
α
σ
收敛边界
第5-5页
t
பைடு நூலகம்
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
求如图信号的单边拉氏变换. 例1:求如图信号的单边拉氏变换. 求如图信号的单边拉氏变换 解:f1(t) = ε(t) –ε(t-1),f2(t) = ε(t+1) –ε(t-1) ε , ε 1 F1(s)= (1 es ) s F2(s)= F1(s)
第5-4页
■
湖南人文科技学院通信与控制工程系
信号与系统 解
5.1 拉普拉斯变换
因果信号f 求其拉普拉斯变换. 例1 因果信号 1(t)= eαt ε(t) ,求其拉普拉斯变换.
e ( s α )t ∞ 1 F1b ( s) = ∫ eαt e st d t = = [1 lim e (σ α )t e jω t ] 0 0 t →∞ (s α ) (s α ) 1 s α , Re[ s ] = σ > α jω = 不定 , σ =α 无界 , σ <α
F ( s) = 1 e sT
st
+e
2 st
+e
3 st
+ )
特例: 特例:δT(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
第5-13页 13页
■
湖南人文科技学院通信与控制工程系
信号与系统 已知f 例2:已知 1(t) ←→ F1(s), 已知 求f2(t)←→ F2(s)
5.2
拉普拉斯变换性质
∞
可见,对于因果信号, 可见,对于因果信号,仅当 Re[s]=σ>α时,其拉氏变换存 σ α 收敛域如图所示. 在. 收敛域如图所示.
0
α
σ
收敛边界
第5-5页
信号与系统第5章
3）波形图表示
时间 离散
幅值 离散
5
5.1.2 基本离散信号 1．单位样值信号 又称单位样值序列
6
2．单位阶跃序列u(n) u(n) 与单位阶跃信号 u(t) 相对应，可以看成 是u(t)的抽样信号
7
3．单位斜变序列R(n) R(n)可以看成是单位斜变信号R(t)的抽样信号
4．矩形序列Gk(n) Gk(n)又称门函数序列
1 t1 1 0 t2 1
0
-1
2
-4 1 0 4
相加
-4 4 -1
-6 -4
1
0 -1 4
0
22
例2 两个离散信号相乘
不进位
23
5.2.3 信号的差分
离散信号f(n)的前向差分运算为：
当前时刻
后一时刻
离散信号f(n)的后向差分运算为：
当前时刻
之前时刻
本课主要讨论离散信号f(n)的后向差分
24
5.2.4 信号的求和 信号的求和运算是对某一离散信号进行历 史推演求和过程。f(n)的求和运算为：
k<0 左移位
k>0 右移位
27
移位前后波形或样值没有变化，即没有失真
5.2.7 信号的尺度变换 • 尺度变换： 其中a为实常数，即将原信号在时间轴上进 行压缩或扩展。 当|a|>1时，原信号被压缩。
a=2压缩
波形或样值发生变化，说明有失真
a=2
28
当0<|a|<1时，原信号被扩展。
a=0.5扩展
8
5．单边指数序列 单边指数序列一般指右边序列
（a）衰减指数序列
（b）增长指数序列
（c）单位阶跃序列
信号与系统课后习题答案第5章
全响应:
y(k)=［2(－1)k+(k－2)(－2)k］ε(k)
76
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.23 求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
77
第5章 离散信号与系统的时域分析 78
第5章 离散信号与系统的时域分析
确定系统单位响应: 由H(E)极点r=－2, 写出零输入响应表示式: 将初始条件yzi(0)=0代入上式，确定c1=0, 故有yzi(k)=0。
题解图 5.6-1
16
第5章 离散信号与系统的时域分析
题解图 5.6-2
17
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此
18
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.7 各序列的图形如题图 5.2 所示，求下列卷积和。
题图 5.2
19
第5章 离散信号与系统的时域分析 20
第5章 离散信号与系统的时域分析 21
第5章 离散信号与系统的时域分析 46
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.16 已知离散系统的差分方程(或传输算子)如下，试求各 系统的单位响应。
47
第5章 离散信号与系统的时域分析 48
由于
第5章 离散信号与系统的时域分析
49
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此系统单位响应为
50
第5章 离散信号与系统的时域分析 51
5.21 已知LTI离散系统的单位响应为
试求： (1) 输入为
时的零状态响应yzs(k)； (2) 描述该系统的传输算子H(E)。
69
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 (1) 由题意知: 先计算:
70
第5章 离散信号与系统的时域分析
y(k)=［2(－1)k+(k－2)(－2)k］ε(k)
76
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.23 求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
77
第5章 离散信号与系统的时域分析 78
第5章 离散信号与系统的时域分析
确定系统单位响应: 由H(E)极点r=－2, 写出零输入响应表示式: 将初始条件yzi(0)=0代入上式，确定c1=0, 故有yzi(k)=0。
题解图 5.6-1
16
第5章 离散信号与系统的时域分析
题解图 5.6-2
17
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此
18
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.7 各序列的图形如题图 5.2 所示，求下列卷积和。
题图 5.2
19
第5章 离散信号与系统的时域分析 20
第5章 离散信号与系统的时域分析 21
第5章 离散信号与系统的时域分析 46
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.16 已知离散系统的差分方程(或传输算子)如下，试求各 系统的单位响应。
47
第5章 离散信号与系统的时域分析 48
由于
第5章 离散信号与系统的时域分析
49
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此系统单位响应为
50
第5章 离散信号与系统的时域分析 51
5.21 已知LTI离散系统的单位响应为
试求： (1) 输入为
时的零状态响应yzs(k)； (2) 描述该系统的传输算子H(E)。
69
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 (1) 由题意知: 先计算:
70
第5章 离散信号与系统的时域分析
信号与系统课后习题答案第5章
代入初始条件yzi(0)=1,确定c=1,故有零输入响应:
yzi(k)=(－2)kε(k)
39
第5章 离散信号与系统的时域分析 40
第5章 离散信号与系统的时域分析 41
第5章 离散信号与系统的时域分析 42
第5章 离散信号与系统的时域分析 43
第5章 离散信号与系统的时域分析
(6) 系统传输算子:
22
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.9 已知两序列
试计算f1(k)*f2(k)。
23
解 因为
第5章 离散信号与系统的时域分析
所以
24
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.10 已知序列x(k)、y(k)为
试用图解法求g(k)=x(k)*y(k)。
25
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 首先画出y(k)和x(k)图形如题解图5.10所示, 然后结合 卷积和的图解机理和常用公式,应用局部范围等效的计算方法 求解。
题解图 5.10
26
第5章 离散信号与系统的时域分析 27
总之有
第5章 离散信号与系统的时域分析
28
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.11 下列系统方程中，f(k)和y(k)分别表示系统的输入和输 出，试写出各离散系统的传输算子H(E)。
29
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 由系统差分方程写出传输算子H(E)如下:
解 各序列的图形如题解图5.2所示。
题解图 5.2
5
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.3 写出题图 5.1 所示各序列的表达式。
题图 5.1
6
第5章 离散信号与系统的时域分析 7
第5章 离散信号与系统的时域分析
yzi(k)=(－2)kε(k)
39
第5章 离散信号与系统的时域分析 40
第5章 离散信号与系统的时域分析 41
第5章 离散信号与系统的时域分析 42
第5章 离散信号与系统的时域分析 43
第5章 离散信号与系统的时域分析
(6) 系统传输算子:
22
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.9 已知两序列
试计算f1(k)*f2(k)。
23
解 因为
第5章 离散信号与系统的时域分析
所以
24
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.10 已知序列x(k)、y(k)为
试用图解法求g(k)=x(k)*y(k)。
25
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 首先画出y(k)和x(k)图形如题解图5.10所示, 然后结合 卷积和的图解机理和常用公式,应用局部范围等效的计算方法 求解。
题解图 5.10
26
第5章 离散信号与系统的时域分析 27
总之有
第5章 离散信号与系统的时域分析
28
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.11 下列系统方程中，f(k)和y(k)分别表示系统的输入和输 出，试写出各离散系统的传输算子H(E)。
29
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 由系统差分方程写出传输算子H(E)如下:
解 各序列的图形如题解图5.2所示。
题解图 5.2
5
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.3 写出题图 5.1 所示各序列的表达式。
题图 5.1
6
第5章 离散信号与系统的时域分析 7
第5章 离散信号与系统的时域分析
信号与系统PPT 第五章 连续时间信号的抽样与量化
pt
他抽样方式，如零阶抽样
1
保持。
O Ts
t
M1
fs0 t
f t
M2
fs0 t
1
O Ts
t
p1 t
1．零阶抽样信号的频谱
设零阶抽样信号fs0t Fs0
fs t f t t nTs
n
Fs
1 Ts
n
F
ns
此线性系统必须 具有如下的单位 冲激响应
fs (t) 保 持得到fso (t).
f (t)
F
1
0 f (t)
t
s 2m
m m
1 Fs
Ts
0
TS f (t)
t
s m
m
s
s 2m
1 Fs
Ts
0
t
s m m s
TS
采样频率不同时的频谱
5.2.2 时域抽样定理 （1）时域抽样定理
一个频带受限的信号f (t)，若频谱只占据 m ~ m
的范围，则信号f t可用等间隔的抽样值来惟一地表示。
即： fs (t) f (t) p(t)
设连续信号 抽样脉冲信号 抽样后信号
f t F (m m)
pt P , fst Fs
复习
周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
f t F 2π Fn1 n1
n
其中：
F n1
1 T1
T1
2 T1
F (
s
)
S a0F ( )
S a
s
2
F (
s
)
设: 1,
Ts 2
s
《信号与系统》第五章基本内容示例(含答案)
e−4t
sin(0t)
(t)
（2）ℒ
(2t
−
5)
=
1
−5s
e2
s
（3）ℒ-1
1 1− e−s
=
k =0
(t
−
k)
（4）ℒ
cos(3t − 2) (3t − 2) =
s
2
s +
9
−
e
2 3
s
（5）ℒ
e−t (t)
− e−(t −3)
(t
−
3)
=
s
1 (1− +1
e−3s )
（6）ℒ-1
1 2
2. 已知系统的 H (s) = s +1 ，画出系统的零、极点分布图。
(s + 2)2 + 4
六、简单计算下列式子
ℒ 1、
-1
(s
+
0 4)2
+
02
2、ℒ (2t − 5)
ℒ-1
3、
1
1 − e−
s
4、ℒ cos(3t − 2) (3t − 2)
ℒ 5、 e−t (t) − e−(t −3) (t − 3)
系统并联后的复合系统的系统函数为（ ）。
A ． H1(s) + H2 (s)
B ． H1(s) H2(s)
C．无法确定
D． H1(s) // H2(s) 14、若 f (t) 1 ，Re[s] −3 ，根据终值定理，原函数 f (t) 的终值为
s+3
（ ）。
A．无穷小
B．无穷大
C． 1 D． 0
X (s) = F(s) + s X (s) + s2 X (s)
信号与系统第5章习题答案
第5章连续时间信号的抽样与量化5.1试证明时域抽样定理。
证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为T(t)(tnT)sn由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：1F s ()F()T 2()1 T snFns式中F()为原信号f(t)的频谱，T ()为单位冲激序列T (t)的频谱。
可知抽样后信 号的频谱()F 由F()以s 为周期进行周期延拓后再与1T s 相乘而得到，这意味着如果 s s2，抽样后的信号f s (t)就包含了信号f(t)的全部信息。
如果s2m ，即抽样m 间隔 1 Tsf2m，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 原信号。
因此必须要求满足1 Tsf2 m，f(t)才能由f s (t)完全恢复，这就证明了抽样定理。
5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：2t （1）Sa(50t)（2）Sa(100)2t （3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)SatSa解：抽样的最大间隔 T s 12f 称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率f s 2f m 称为奈奎m斯特速率，最低采样频率s 2称为奈奎斯特频率。
m（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s ，则50)5025 f ， m由抽样定理得：最低抽样频率50 f s 2f m ，奈奎斯特间隔1 T 。
sf50s2t（2）)Sa(100)(1100200脉宽为400，由此可得radsm200/，则100f，由抽样定理得最低抽样频率m200f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
sf200s（3）Sa[(50)(50)]，该信号频谱的m50rad/s(50t)uu50Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100rad/s10050Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低m抽样频率100f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
信号与系统第5章
s a n 1 s
n 1
... a 1 s a 0
若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分 解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
F (s) P (s)
第5-9页
■
B0 (s) A(s)
©南京信息工程大学滨江学院
信号与系统
F (s) s 8 s 25 s 31 s 15
5.3
拉普拉斯逆变换
直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。 通常的方法 （1）查表:直接利用拉普拉斯逆变换表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -----结合 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
F (s) bm s
n m
b m 1 s
m 1
.... b1 s b 0
F (s) 1 e
sT
sT
e
2 sT
e
3 sT
＋)
特例：T(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
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■
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信号与系统
5.2
拉普拉斯变换性质
四、复频移（s域平移）特性
若f(t) ←→F(s) , Re[s]>0 , 且有复常数sa=a+ja, 则f(t)esat ←→ F(s-sa) , Re[s]>0+a 例1:已知因果信号f(t) 的象函数F(s)=
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■
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信号与系统
5.1
拉普拉斯变换
四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
’(t) ←→s，> -∞
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0 3、指数函数e-s0t ←→
信号与系统第五章
d. 对于给定的系统，信号流图的形式不是唯一的。
信号流图的前两条性质a和b实质上表征了信号流图的线性 性质。描述LTI系统的微分（或差分）方程，经拉氏变换 （或Z变换）后是线性代数方程，而信号流图所描述的正是 这类线性代数方程或方程组。
例题
已知某一阶系统的微分方程为
dyt
dt
a0 y t
b0xt
P289
例11-13若一阶系统的微分方程改为
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
则按照上述原则，可将原微分方程调整为
dy t
dt
b1
dx t
dt
b0
x
t
a0
y
t
两边积分，可得
yt b1xt b0xt a0 y t dt
可见 y t 是加法器的输出信号，而加法器的输入信号是 b1xt
1.信号流图
信号流图是用一些点和有向线段作图来描述系统各变量间 的因果关系，如图所示的简单方框图，画成信号流图形式就
是用一条有始有终的线段表示；起始点标为 X s ，终点标 为Y s，这种点称为结点（节点）。
方框图 X(s)
H(s)
Y(s)
流图
X(s)
Y(s)
H(s)
X(s)
Y(s)
H(s)
➢ 每个结点都对应于一个变量或信号，结点可起求和与分配 的作用；
(3)用矢量和矩阵来表示系统的数学模型，特别适用于多输 入－多输出的系统；
(4)此方法同样适用于时变系统、非线性系统、随机系统等 各类系统。
5.2 LTI系统的信号流图 P286
系统的信号流图是一种与模拟方框图类似的，比数学描述 更直观的描述方法。与模拟方框图相比较，信号流图的表示 更简洁明了，且对系统函数的计算明显简化。
信号流图的前两条性质a和b实质上表征了信号流图的线性 性质。描述LTI系统的微分（或差分）方程，经拉氏变换 （或Z变换）后是线性代数方程，而信号流图所描述的正是 这类线性代数方程或方程组。
例题
已知某一阶系统的微分方程为
dyt
dt
a0 y t
b0xt
P289
例11-13若一阶系统的微分方程改为
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
则按照上述原则，可将原微分方程调整为
dy t
dt
b1
dx t
dt
b0
x
t
a0
y
t
两边积分，可得
yt b1xt b0xt a0 y t dt
可见 y t 是加法器的输出信号，而加法器的输入信号是 b1xt
1.信号流图
信号流图是用一些点和有向线段作图来描述系统各变量间 的因果关系，如图所示的简单方框图，画成信号流图形式就
是用一条有始有终的线段表示；起始点标为 X s ，终点标 为Y s，这种点称为结点（节点）。
方框图 X(s)
H(s)
Y(s)
流图
X(s)
Y(s)
H(s)
X(s)
Y(s)
H(s)
➢ 每个结点都对应于一个变量或信号，结点可起求和与分配 的作用；
(3)用矢量和矩阵来表示系统的数学模型，特别适用于多输 入－多输出的系统；
(4)此方法同样适用于时变系统、非线性系统、随机系统等 各类系统。
5.2 LTI系统的信号流图 P286
系统的信号流图是一种与模拟方框图类似的，比数学描述 更直观的描述方法。与模拟方框图相比较，信号流图的表示 更简洁明了，且对系统函数的计算明显简化。
《信号与系统》第五章知识要点+典型例题
是双边拉氏变换收敛域的一种特殊情况。 3、 常用函数单边拉氏变换对 表 5.1 列出了最常使用函数的单边拉氏变换对。 4、单边拉氏变换的主要性质 掌握拉氏变换的性质如图掌握傅里叶变换性质一样重要，应用性质并结合常用函数的 拉氏变换对就可以简便地求复杂信号的拉氏变换，或由复杂象函数求原函数。表 5.2 列出了 最常用的单边拉氏变换的性质。
n
（5.3）
式中， s = pi 为 F ( s ) 的第 i 个单阶实极点，系数 K i 由下式确定
K i = (s - pi ) F (s )
b.
s =p i
（5.4）
F ( s ) 有单阶共轭极点
设 s = -a ± jb 为 F ( s ) 的一对共轭极点。 求逆变换时把 F ( s ) 首先凑成类似余弦函数
2
掌握拉氏变换的重要性质，也应从性质的基本形式、应用该性质的基本思路及应用中 应注意的问题这样三个方面来掌握。许多性质的应用思路及注意的问题都类同傅里叶变换， 这里不再赘述。 表 5.1 编号 1 2 3 4 5 时域函数 f (t ) 常用信号的单边拉氏变换对 （t ³0 ） 象函数 F ( s ) 1
s
¥ s
f ( )d
F ( s ) 为真分式
f ( ) lim sF ( s ),
s0
s 0 在sF ( s )的收敛域内
5、常用的拉氏逆变换的求解方法 逆变换积分公式并不常用于求解拉氏逆变换，而经常使用的有以下几种。 （1） 查表法 若提供拉氏变换对表，可“对号入座” ，一一查找。但应试时，一不提供表， 二不准翻书查看。我们需要记住一些常用信号的拉氏变换对，结合拉氏变换的重要性质，加 以套用，求得拉氏逆变换。 （2） 部分分式展开法 该方法要求 F ( s ) 为有理真分式。若 F ( s ) 为假分式，应先利用多项式相除， 把 F ( s ) 表示成一个多项式加真分式的形式。对于多项式部分，对应的逆变换是非常容易求 得的，它们是冲激函数 (t ) 及其各阶导数项之和。例如
《信号与系统》第五章
1 l = −∞ − 2π
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
信号与系统第五章 离散信号与系统的时域分析
f1(k) f (n)
6
n
3 2
1
1 1 2 3 k
3
1
1 1 2 3 4 k
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
返回
ZB
5.1.3 常用的离散信号
(k)
1. 单位函数 (k)
(k)
1 0
k0 k0
1
1 1 2 3 k
(k n)
(k
n)
1 0
k n kn
1
1 0 1 2 n k
整理，得 y(k 2) 3y(k 1)＋2y(k)＝0
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
例：每月存入银行 A 元，设月息为 ，试确定第 k 次存
款后应有的存款额 y(k) 的方程。
解：第 k＋1 次存入后应有的存款额为
A y(k) y(k)
即 y(k 1) y(k) y(k) A
(1) 筛选特性 f (k) (k n) f (n)
k
(2) 加权特性 f (k) (k n) f (n) (k n)
应用此性质，可以把任意离散信号 f (k) 表示为一系 列延时单位函数的加权和，即
f (k) f (2) (k 2) f (1) (k 1)
返回《信号f与(0)系 (统k) 》fS(1IG) N(kAL1)SANDSnYSTfE(Mn)S
一阶后向差分
f (k) f (k) f (k 1)
二阶后向差分
f (k) 2 f (k) f (k) f (k 1)
《信号与系统》SIGf (Nk)AL2SfA(kND1)SYfS(TkEM2)S
返回
ZB
6. 序列的求和（累加） (对应于连续信号的积分)
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第5章 傅里叶变换应用于通信系统——
解：激励信号 e（t）＝e－3tu（t），则 E（jω）＝F[e（t）]＝F[e－3tu（t）]＝1/（jω＋3）
故响应为：
R( j) = E( j)×H ( j) = 1 ×1 = 1 - 1 j + 3 j + 2 j + 2 j + 3
反变换可得： r（t）＝F－1[R（jω）]＝（e－2t－e－3t）u（t）
1 / 50
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图 5-1-1 线性网络的无失真传输 2．引起信号失真的原因 ①系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减，使响应的各频率分量的相对幅 度发生变化，引起幅度失真； ②系统对各频率分量产生的相移与频率不成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的 相对位置产生变化，引起相位失真。 三、滤波 1．理想低通滤波器（见表 5-1-1）
= jπ [e jtan- 11 ( + 1) - e- jtan- 11 ( - 1)] + jπ ×[e jtan- 13 ( + 3) - e- jtan- 13 ( - 3)]
2
10
反变换，可得：
r(t) = F - 1[R( j)]
= 1 sin(t - tan- 11) + 1 sin(3t - tan- 1 3)
5-2 若系统函数H（jω）＝1/（jω＋1），激励为周期信号e（t）＝sin（t） ＋sin（3t），试求响应r（t），画出e（t），r（t）波形，讨论经传输是否引起失真。
解：激励信号 e（t）＝sin（t）＋sin（3t），则 E（jω）＝F[e（t）]＝jπ[δ（ω＋1）－δ（ω－1）]＋jπ[δ（ω＋3）－δ（ω－3）]
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故响应为：
R( j) = E( j)×H ( j) = 1 ×1 = 1 - 1 j + 3 j + 2 j + 2 j + 3
反变换可得： r（t）＝F－1[R（jω）]＝（e－2t－e－3t）u（t）
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图 5-1-1 线性网络的无失真传输 2．引起信号失真的原因 ①系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减，使响应的各频率分量的相对幅 度发生变化，引起幅度失真； ②系统对各频率分量产生的相移与频率不成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的 相对位置产生变化，引起相位失真。 三、滤波 1．理想低通滤波器（见表 5-1-1）
= jπ [e jtan- 11 ( + 1) - e- jtan- 11 ( - 1)] + jπ ×[e jtan- 13 ( + 3) - e- jtan- 13 ( - 3)]
2
10
反变换，可得：
r(t) = F - 1[R( j)]
= 1 sin(t - tan- 11) + 1 sin(3t - tan- 1 3)
5-2 若系统函数H（jω）＝1/（jω＋1），激励为周期信号e（t）＝sin（t） ＋sin（3t），试求响应r（t），画出e（t），r（t）波形，讨论经传输是否引起失真。
解：激励信号 e（t）＝sin（t）＋sin（3t），则 E（jω）＝F[e（t）]＝jπ[δ（ω＋1）－δ（ω－1）]＋jπ[δ（ω＋3）－δ（ω－3）]
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信号与系统(奥本海默第二版)第5章
说明:这些结论与连续时间情况下完全一致。 六. 差分与求和 (Differencing and Accumulation):
x[n] x[n 1] (1 e j ) X (e j )
X (e j ) j0 x(k ) 1 e j X (e )k ( 2 k ) k n
五. 共轭对称性 (symmetry properties):
若 x[n] X (e j ), 则 x*[n] X * (e j )
由此可进一步得到以下结论:
x*[n] x[n] 1. 若 x[n] 是实信号，则
X * (e j ) X (e j ), 即 X * (e j ) X (e j )
一. 从DFS到DTFT: 在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,
我们看到：
当信号周期 N 增大时，频谱的包络形状不变，
幅度减小，而频谱的谱线变密。
N1 2 N 10
Nak
k
N1 2 N 20
k
N1 2 N 40
k
当 N 时，有 (2 / N ) 0 ，将导致 0 信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。 从时域看，当周期信号的周期 N 时，周 期序列就变成了一个非周期的序列。
X (e )
j
j
1 1 a 2 2a cos
1
a sin X ( e ) tg 1 a cos
0 a 1
1 a 0
由图可以得到:
0 a 1 时，低频特性, x[n] 单调指数衰减
1 a 0 时，高频特性,
2.
x[n] 摆动指数衰减
j
2 kn N
清华大学信号与系统课件第五章S域分析、极点与零点
2019/11/15
课件
22
本节作业
• 5-1，5-3，5-8，5-10， • 5-6*，5-9*，5-11* ， • 5-13，
2019/11/15
课件
23
§5.2- 暂态响应与稳态响应
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们 实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
• 不稳定系统 Repi0增幅
j
0
p1
h(t)
0
et t
H(s) 1
S
h(t) et
2019/11/15
课件
7
（2） 几种典型的极点分布——
(d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p 2 j1
H(s) 1
h(t)sin 1t.u(t)
2019/11/15
S 2
2
0 p1 t
H (s) 1 S
2019/11/15
h(t)u(t)
课件
5
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
p1
h(t)
e t
t
H(s) 1
S
h(t) et
2019/11/15
课件
6
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
幅度该变
相位偏移
2019/11/15
课件
34
H(j0)H0ej0
H(j)H(j)ej(j)
若 0 换成 变量
系统频率
特性
幅频特性 相位特性
2019/11/15
信号与系统(精编版)第5章 离散信号与系统的时域分析
26
5.2 LTI离散系统的自由响应、强迫响应
与零输入响应、零状态响应
5.2.1 离散信号的差分运算与累和运算 1.序列的差分运算 与连续信号微分运算相对应，离散信号有差分运算。一
阶前向、后向差分运算本来的定义式分别应为 因为离散信号变量k为整变量，所以前向差分定义式中前向变 量增量Δk=(k+1)－k=1，后向差分定义式中后向变量增量
第5章 离散信号与系统的时域分析
20
例5.1-1 计算和式
解
第5章 离散信号与系统的时域分析
21
例5.1-2 计算换元移动累和式
解 考虑单位脉冲序列的偶函数性及式(5.1-6)关系，所以
这一结果正确吗？
第5章 离散信号与系统的时域分析
22
参看图5.1-8，当k－2<3即k＜5时有
(5.1-15)
第5章 离散信号与系统的时域分析
6
图5.1-2 复杂序列用单位阶跃序列表示
第5章 离散信号与系统的时域分析
7
图5.1-3 序列与ε(k)相乘被截取
第5章 离散信号与系统的时域分析
8
5.1.2 单位脉冲序列 单位脉冲序列定义为
(5.1-2)
其波形如图5.1-4所示。它与连续信号δ(t)的定义有着显著的区 别：δ(k)只在k＝0处定义函数值为1，而在k等于其余各整数时 函数值均为零。
(5.1-12)
(5.1-13)
第5章 离散信号与系统的时域分析
17
令k－m＝n并代入上式，考虑m＝0时n＝k，m＝∞时 n＝－∞，得
(5.1-14)
第5章 离散信号与系统的时域分析
18
图5.1-7 换元移动累和示意图
第5章 离散信号与系统的时域分析
信号与系统 第五章习题
8π ×10 rad / s < wc < 12π ×10 rad / s
3 3
3
wc = 10π ×10 rad / s
wc fc = = 5×103 Hz = 5kHz 2π
5.3 已知 x(t) = sin4πt ，当对 当对x(t)抽样时，求能恢复原信号的 抽样时， 抽样时 最大抽样间隔。 最大抽样间隔。
πt
sin 4πt x( t ) = 解： πt w m = 4π w s = 8π 1 2π 2π Ts = = = = 0.25 s f s w s 8π
X ( w ) = G 8π ( w )
X(w) = j2π[δ (w + 4π ×103 ) − δ (w − 4π ×103 )] + jπ[δ (w + 8π ×103 ) − δ (w − 8π ×103 )]
抽样后的频谱为： 抽样后的频谱为：
1 Xs (w) = Ts
k=−∞
∑X(w − kw )
s
∞
wm = 8π ×103 rad / s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X s (w )
jπ
j 2π
jπ × 104
− 16π × 10 3
− 8π × 103
4π × 10 3
− jπ × 104 − j 2π × 104
16π × 10 3
w
(b) Ts = 0.1ms
2π ws = = 20π ×103 rad / s > 2wm Ts
此时由样本x[n]可重建 可重建x(t) 此时由样本 可重建 2π Ts = 0.2ms ws = = 10π ×103 rad / s < 2wm Ts 此时由样本信号x[n]不可重建 不可重建x(t) 此时由样本信号 不可重建 (c) 由x[n] 重建 重建x(t)，应通过低通滤波器，其截止角频 ，应通过低通滤波器， 率范围为： 率范围为： 取：
信号与系统教案第5章
■
长春工程学院电子信息教研室
时域：信号分解为冲激信号的线性组合 连续信号 频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合
信 号 分 析
复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合 抽样 时域：信号分解为单位脉冲序列的线性组合 离散信号 频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合 复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合
1 1 f 1 (t ) F1 ( s ) s3 s2 1 1 f 2 (t ) F2 ( s ) s3 s2 1 1 f 3 (t ) F3 ( s ) s3 s2
Re[s]= > – 2
Re[s]= < – 3 –3<<–2
可见，象函数唯一地对应原函数。单边拉氏变换可以 省略收敛域。
F(j)=F(s) s=j F(j)=1/( j+2)
■
如f(t)=e-2t(t) ←→F(s)=1/(s+2) , >-2；
长春工程学院电子信息教研室
信号与系统 电子教案
5.2
拉普拉斯变换性质
5.2 拉普拉斯变换性质 一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
m 0
s
n 1
n 1 m
f
( m)
(0 )
若f(t)为因果信号，则f(n)(t) ←→ snF(s)
例1:(n)(t) ←→?
例2: d [cos 2t (t )] ?
1 1 f 1 (t ) F1 ( s ) s3 s2 1 1 f 2 (t ) F2 ( s ) s3 s2 1 1 f 3 (t ) F3 ( s ) s3 s2
长春工程学院电子信息教研室
时域：信号分解为冲激信号的线性组合 连续信号 频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合
信 号 分 析
复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合 抽样 时域：信号分解为单位脉冲序列的线性组合 离散信号 频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合 复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合
1 1 f 1 (t ) F1 ( s ) s3 s2 1 1 f 2 (t ) F2 ( s ) s3 s2 1 1 f 3 (t ) F3 ( s ) s3 s2
Re[s]= > – 2
Re[s]= < – 3 –3<<–2
可见，象函数唯一地对应原函数。单边拉氏变换可以 省略收敛域。
F(j)=F(s) s=j F(j)=1/( j+2)
■
如f(t)=e-2t(t) ←→F(s)=1/(s+2) , >-2；
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信号与系统 电子教案
5.2
拉普拉斯变换性质
5.2 拉普拉斯变换性质 一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
m 0
s
n 1
n 1 m
f
( m)
(0 )
若f(t)为因果信号，则f(n)(t) ←→ snF(s)
例1:(n)(t) ←→?
例2: d [cos 2t (t )] ?
1 1 f 1 (t ) F1 ( s ) s3 s2 1 1 f 2 (t ) F2 ( s ) s3 s2 1 1 f 3 (t ) F3 ( s ) s3 s2
何子述信号与系统习题解答第5章拉普拉斯变换(2012新)
设 zi 为 F s 的零点，则有 N zi 0 ，从而 N zi 0 。因此， zi 与 zi 均为 F s 的 零点，即 F s 的零点关于原点对称。 同理可证 F s 的极点也关于原点对称。 题 5.10 解： 由拉普拉斯变换对
1 L , 1 f1 t et u (t ) s 1
j t
dt
不存在 使上式积分收敛，故信号 f (t ) e 2t 的拉普拉斯变换不存在。 （f）由拉普拉斯变换的定义式
F s
题 5.3 解： （a）有拉普拉斯变换对
2δ t δ t 2 e
j t
5
s 2
2
25
s 2 j 30 s 2 j 30 s 2 4 s 34 , 2 2 s 4s 29 s 2 j5 s 2 j5
158
第5章
习题解答
信号与系统
何子述
高等教育出版社
零极点图如图 J5.3.2 所示。 （c）有拉普拉斯变换对
零极点图如图 J5.3.1 所示。 （b）有拉普拉斯变换对 L e2t sin 5t u t
L δ t 1,
5
s 2
2
25
, 2
由拉普拉斯变换的线性，信号 f t 的拉普拉斯变换为
L f t 1
F s e2t sin 3t u t e
-
dt
e2t
0
e j3t e j3t t jt e e dt 2j
1 L , 1 f1 t et u (t ) s 1
j t
dt
不存在 使上式积分收敛，故信号 f (t ) e 2t 的拉普拉斯变换不存在。 （f）由拉普拉斯变换的定义式
F s
题 5.3 解： （a）有拉普拉斯变换对
2δ t δ t 2 e
j t
5
s 2
2
25
s 2 j 30 s 2 j 30 s 2 4 s 34 , 2 2 s 4s 29 s 2 j5 s 2 j5
158
第5章
习题解答
信号与系统
何子述
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零极点图如图 J5.3.2 所示。 （c）有拉普拉斯变换对
零极点图如图 J5.3.1 所示。 （b）有拉普拉斯变换对 L e2t sin 5t u t
L δ t 1,
5
s 2
2
25
, 2
由拉普拉斯变换的线性，信号 f t 的拉普拉斯变换为
L f t 1
F s e2t sin 3t u t e
-
dt
e2t
0
e j3t e j3t t jt e e dt 2j
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b1
X (s)
1
W(s)
a1
1-2 1 -3 W(s) s S W(s) s 1S-1W(s) s S
b2
1
Y ( s)
a2
a3
5.７.3
设
系统模拟
（1） 直接形式
d 2 y (t ) dy(t ) d 2 x(t ) dx(t ) a1 a0 y (t ) b2 b1 b0 x(t ) 2 2 dt dt dt dt
x( t )
1
b1 a1
s 1 s 1 s 1
b2
1
Y ( s)
y( t )
a2
输入节点（源点）： 只有输出支路的节点。
a3
输出节点（阱点）： 只有输入支路的节点。
（2） 信号流图的性质
1.信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与 支路增益的乘积。
如：
X (s)
H(s)
X (s)
H(s)
Y ( s)
X (s)
H(s)
Y ( s)
Y ( s) H ( s) X ( s)
例：将下图所示系统的方框图转化成信号流图。
b1
X (s)
s 1
s 1
s 1
b2
Y ( s)
a1 a2 a3
由两个及两个以上的 箭头指向的节点可兼 做加法器。
解：
X (s)
由（1）得： W (s) X (s) a1s W (s) a0 s W (s) 由（2）得：1 2Fra bibliotek(3)
(4)
Y (s) (b2 b1s 1 b0 s 2 )W (s)
b2
b1
X ( s ) W s 1 a1
s 1
s 1W
b0
s 2W
b2 b1s 1 b0 s 2 H ( s) Y ( s) 1 a1s 1 a0 s 2
L L
b b ,c
c
G1G3 H1H 3
没有三个及三个以上都不接触的 环路，所以，
1 La Lb Lc
a b ,c
1 (G1H1 G2 H 2G3 H 3 G1G2G3 H 4 ) G1G3 H1H 3
H4
X x1
H 1 x2 H 2 x3 H 3
x6 a(bd c) f H x1 1 edf
a(bd c) f 1 edf
x1
x6
（3） 信号流图的梅森公式 1 梅森公式： H gK K K 1 La Lb Lc Ld Le L f
a b ,c d ,e , f
L -------- 所有不同环路的增益之和； L L -------- 所有两两互不接触环路的增益乘积和；
a0
（2） 级联形式（串联形式）
H ( s) A0 H1 ( s) H 2 ( s) H k ( s) A0 H i ( s)
i 1
k
x(t )
A0
H1 (s)
H 2 ( s)
H k ( s)
y(t )
1 b1i s 1 1 b1i s 1 b2i s 2 H i ( s) H i ( s) 1 （一阶节） 1 2 （二阶节） 1 a1i s 1 a1i s a2i s
Y (s) aX (s)
Y ( s) X 1 ( s) X 2 ( s)
x2 (t ) X 2 (s)
x(t )
a
y(t ) ax(t )
（a) 加法器
（b) 数乘器
1 y (0 ) s
x(t )
1 P
y(t ) x( )d
t
X (s)
(c) 积分器（时域表示）积分
第二条前向通路：
2 1 La 1 G2 H 2
a
1 (G1H1 G2 H 2G3 H3 G1G2G3 H 4 ) G1G3 H1H3 g1 H1H 2 H3 H5 , g2 H 4 H5 ,
1 1
a
2 1 La 1 G2 H 2
1 s 积分器（s域表示）积分
1 1 Y ( s ) X ( s ) y (0 ) s s
X (s)
H(s)
X1(t)
Y ( s)
结论：
(1)信号只能沿箭头方向传输 (2)箭头只表示信号传输方向 (3)加法器有多个输入信号
5.７.2 信号流图 （1） 信号流图的获得
系统的信号流图，就是用一些点和线段来表示系统。
1
s 1
b0
1
Y ( s) X ( s)
1
b0
a0
a0
s
1
1
Y ( s)
例5-13：求下图所示的信号流图的系统函数。
x3
x1
x2
b
d
e
f
x5
a
x6
c
x4
x2 ax1 x bx ex 3 2 5 x4 cx2 dx3 x fx 4 5 x6 x5
Y ( s)
Y ( s) H ( s) X ( s)
2.当节点有几个输入时，节点将所有输入支路的信号相加，并 将它的和传送给与该节点相连的输出节点。
x1 x2
H 14 H 24 x4
x5 H 45 x6
x4 H14 x1 H 24 x2 H34 x3 x5 H 45 x4 x6 H 46 x4
() 360
3
5.6 全通系统和最小相位系统
用途：用来对系统进行相位校正 例：下图所示的网络，写出网络传输函数H(s)=V2(s)/V1(s),
判别它是否为全通网络。
v1 (t )
R
C
R
C
1 j RC H ( j ) 1 j RC
V2 ( s ) R H (s) V1 ( s) R 1 R 1 sC sC v2 (t ) s 1/ RC s 1/ RC
其中：
W ( s) 1 H1 ( s ) X ( s) 1 a1s 1 a0 s 2 Y ( s) H 2 ( s) b2 b1s 1 b0 s 2 W ( s)
(1) ------ 取分母部分
(2) ------ 取分子部分
W ( s) 1 H1 ( s ) (1) 1 2 X ( s) 1 a1s a0 s Y ( s) H 2 ( s) b2 b1s 1 b0 s 2 (2) W ( s)
前向通路去掉以后，所剩流图的特征行列式。
例5-14：求下图所示流图的系统函数。 H4
X x1
H 1 x2 H 2 x 3
H3
x4 H 5
Y
解： 求 La
a
G1
G2
G3
x1 x2 x1 环路：L1 G1H1
x2 x3 x2 环路：L2 G2 H 2 x3 x4 x3 环路：L3 G3 H3 x1 x4 x3 x2 x1 环路：L4 G1G2G3 H 4
a a
--------- 信号流图的特征行列式
b
c
b ,c
d ,e , f
L L L
d e
f
-------- 所有三个都互不接触环路的增益乘积之和；
K -------由源点到阱点之间的第K条前向通路的标号； g K ------ 由源点到阱点之间的第K条前向通路的增益；
K ----- 第K条前向通路特征行列式的余因子，表示将第K条
2
X (s)
s 1
s 1
s 1
4
3
Y ( s)
5 3
（2）级联形式
2s 4 2( s 2) H ( s) 3 2 s 3s 5s 3 ( s 1)(s 2 2s 3) 2 2s 1 H1 ( s ) s 1 1 s 1 s2 s 1 2s 2 H 2 ( s) 2 s 2s 3 1 2s 1 3s 2
1 1 H g K K ( g11 g 2 2 ) K H1 H 2 H 3 H 5 H 4 H 5 (1 G2 H 2 ) 1 G1 H1 G2 H 2 G3 H 3 G1G2G3 H 4 G1G3 H1 H 3
例
求下图所示的信号流图的系统函数。
H 34
x3
H 46
3.具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传 输增益的支路，可以将它变成输出节点。
x1
a
x2
b
d
' x3
1
c
'' x3
4.给定系统，信号流图并不唯一。
dy (t ) dx (t ) a0 y (t ) b1 b0 x(t ) dt dt
b1 b1
X ( s)
Y (s) b2 s 2 b1s b0 b2 b1s 1 b0 s 2 则系统函数为 H ( s) 2 X (s) s a1s a0 1 a1s 1 a0 s 2
Y ( s) W ( s) Y ( s) H ( s) H1 ( s ) H 2 ( s ) X ( s) X ( s) W ( s)
6
5.6 全通系统和最小相位系统
7
5.6 全通系统和最小相位系统
8
5.6 全通系统和最小相位系统
9
5.７
系统模拟及信号流图
5.７.1 系统的框图
三种基本单元的方框图及运算功能