信号与系统第5章 习题答案

第5章 连续时间信号的抽样与量化5.1 试证明时域抽样定理。

证明： 设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为∑∞-∞=-=n sT nT t t )()(δδ由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：[])()(21)(ωδωπωT s F F *=()[]∑∞-∞=-=n ssn F T ωω1式中)(ωF 为原信号)(t f 的频谱，)(ωδT 为单位冲激序列)(t T δ的频谱。

可知抽样后信号的频谱)(ωs F 由)(ωF 以 s ω为周期进行周期延拓后再与s T 1相乘而得到，这意味着如果m s ωω2≥，抽样后的信号)(t f s 就包含了信号)(t f 的全部信息。

如果m s ωω2<，即抽样间隔ms f T 21>，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建原信号。

因此必须要求满足ms f T 21≤，)(t f 才能由)(t f s 完全恢复，这就证明了抽样定理。

5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔： （1）)50(t Sa（2）)100(2t Sa（3） )100()50(t Sa t Sa +（4）)60()100(2t Sa t Sa +解：抽样的最大间隔m s f T 21=称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率m s f f 2=称为奈奎斯特速率，最低采样频率m s ωω2=称为奈奎斯特频率。

（1）)]50()50([50)50(--+↔ωωπu u t Sa ，由此知s rad m /50=ω，则π25=m f ，由抽样定理得：最低抽样频率π502==m s f f ，奈奎斯特间隔501π==s s f T 。

（2）)2001(100)100(2ωπ-↔t Sa脉宽为400，由此可得s rad m /200=ω，则π100=m f ，由抽样定理得最低抽样频率π2002==m s f f ，奈奎斯特间隔2001π==s s f T 。

（3）)]50()50([50)50(--+↔ωωπu u t Sa ，该信号频谱的s rad m /50=ω)]100()100([100)100(--+↔ωωπu u t Sa ,该信号频谱的s rad m /100=ω)100()50(t Sa t Sa +信号频谱的s rad m /100=ω,则π50=m f ，由抽样定理得最低抽样频率π1002==m s f f ，奈奎斯特间隔1001π==s s f T 。

（4）)]100()100([100)100(--+↔ωωπu u t Sa ,该信号频谱的100=m ω)1201(60)60(2ωπ-↔t Sa ，该信号频谱的s rad m /120=ω所以)60()100(2t Sa t Sa +频谱的s rad m /120=ω, 则π60=m f ，由抽样定理得最低抽样频率π1202==m s f f ，奈奎斯特间隔1201π==s s f T 。

5.3 系统如题图 5.3所示，)1000()(1t Sa t f π=，)2000()(2t Sa t f π=，∑∞-∞=-=n nT t t p )()(δ，)()()(21t ft f t f =，)()()(t p t f t f s =。

（1）为从)(t f s 中无失真地恢复)(t f ，求最大采样间隔m ax T 。

（2）当max T T =时，画出)(t f s 的幅度谱)(ωs F 。

题图 5.3解：（1）先求)(t f 的频谱)(ωj F 。

)]1000()1000([10001)()1000()(11πωπωωπ--+=⇒=u u j F t Sa t f)]2000()2000([20001)()2000()(22πωπωωπ--+=⇒=u u j F t Sa t f )]}3000()1000()[3000()]1000()1000([2000)]1000()3000()[3000{(1041)]2000()2000((20001))1000()1000((10001[21)()(21)(621πωπωπωπωπωππωπωπωππωπωπωπωπωωπω---+-+--+++-++⨯⨯=--+*--+=*=-u u u u u u u u u u j F j F j F 由此知)(ωj F 的频谱宽度为π6000，且s rad m /3000πω=，则Hz f m 1500=，抽样的最大允许间隔s f T m 3000121max ==（2）∑∞-∞=-=n nT t t p )()(δ，所以为用冲激序列对连续时间信号为)(t f 进行采样，设原输入信号)(t f 的频谱密度为)(ωF ，而单位冲激序列的频谱密度为：∑∞-∞=-=n sn Tp )(2)(ωωδπω 其中Ts πω2=则根据频域卷积定理得抽样信号)(t f s 的频谱为：∑∞-∞=-==n s s n F T p F F )(1)](*)([21)(ωωωωπω而max T T =，则s rad T s /6000230002maxπππω=⨯==，幅度谱如下图所表示。

5.4 对信号)()(t u e t f t-=进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的频谱。

解： 由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：ωωj j F +=11)(其幅度频谱和相位频谱分别为211)(ωω+=j Fωωϕarctan )(-=单边非因果指数函数的波形)(t f 、 幅度谱)(ωj F 、相位谱)(ωϕ如下图所示，其中1=a 。

单边指数信号的波形和频谱显然该信号的频谱范围为整个频域，故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。

抽样后的频谱是将原信号频谱以抽样频率s ω为周期进行周期延拓，幅度变为原来的sT 1而得到。

图略。

5.5 题图5.5所示的三角形脉冲，若以20Hz 频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的时域波形如何？以图解法说明。

题图 5.5解：三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到，具体求解可参考课本第三章。

由此可知，脉宽为τ幅度为E 的三角形脉冲其频谱为2)4(2ωττSa E。

其波形如图所示。

三角函数的频谱在)(t x 中，s ms 1.0100==τ易求得)(t x 的频谱为：2E τ()X j ω4πτ8πτ4πτ-8πτ-ω()ϕω0 50 -50 t /msx (t )2)025.0(05.0)(ωωESa j X =在)(404为整数k k k πτπω⋅==处，)(ωj X 为零，图略。

由频域卷积定理，抽样信号的频谱为：()[]∑∞-∞=-=n sss n j X T j X ωωω1)(其中s Hzf T s s 05.02011===，s rad f s s /402ππω==。

抽样后的频谱是将三角形频谱以s ω为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的sT 1，可见发生了频谱混叠现象。

5.6 若连续信号)(t f 的频谱)(ωF 是带状的)(21ωω～，利用卷积定理说明当122ωω=时，最低抽样频率只要等于2ω就可以使抽样信号不产生频谱混叠。

证明：由频域卷积定理的抽样信号的频谱为[])()(21)(ωδωπωT s F F *=()[]∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n ssn ss n F T n w T F ωωωδπωπ1])(2*)([21抽样后的频谱是以抽样频率s ω为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的sT 1。

由于频谱)(ωF 是带状的且122ωω=，所以当2ωω=s 时频谱不会混叠。

5.7 如题图5.7所示的系统。

求：（1）求冲激响应函数)(t h 与系统函数)(s H ；（2）求系统频率响应函数)(ωH ，幅频特性)(ωH 和相频特性)(ωϕ，并画出幅频和相频特性曲线；（3）激励[])()()(T t u t u t f --=，求零状态响应)(t y ，画出其波形； （4）激励∑+∞=-=)()()(n s nT t nT f t f δ，其中T 为奈奎斯特抽样间隔，)(nT f 为点上)(t f 的值，求响应)(t y 。

解：（1）由图可知()()()[]()t u T t f t f t y *--=两边求拉氏变换可得()()()se s F s Y Ts--=1所以()()se s H Ts--=1（2）图略（3）)(t f 的拉氏变换为()se s F Ts--=1零状态响应得拉氏变换为()()()()221s e s F s H s Y Ts --==求拉氏反变换可得()()()()()()T t u T t T t u T t ut t y 222-++---=（4）由()()se s H Ts--=1可得()()T t u t u t h --=)(而()()()()()()()[]T t u t u nT t nT f t h t f t y sn ss ---==∑+∞=**0δ()()()[]T nTt u nT t u nT f ssn s----=∑+∞=0)t。