§1.2 复数的表示法与运算法2011-8-26(上课用)

§1.2 复数的表示法与运算法教学目的：了解复平面概念，熟练掌握复数的各种表示法及其相互转化；能灵活运用复数的各种表示进行相关的计算与证明．重点：灵活运用复数的各种表示法与运算性质熟练解决相 关问题．难点：模不等式证明，复数的三角表示，复数的 开方与复方程求解．教学过程：§1.2.1 复平面 1．复数与平面上的点 复数z x iy =+与有序实数对(,)x y 一一对应，而有序实数对(,)x y 表示平面上的确定点，因此我们用平面上横坐标为x ，纵坐标为y 的点来表示复数z x iy =+（如图1.1）.x 轴上的点对应着实数，故称x 轴为实轴；y 轴上的非原点的点对应着纯虚数，故称y 轴为虚轴.表示复数z 的平面（整个平面）称为复平面或z 平面.将复数与复平面的点不加区分，使得复数集就是一个平面点集，为图形的研究带来很多方便.如：{}|Im 0z z >表示上半平面，左半平面为 Re 0z <. 实轴的方程为Im 0z =；z 平面上虚轴的方程为Re 0z =；{}|0Re 1,0Im 1z z z ≤≤≤≤表示以 0,1,1,i i +为顶点的正方形. 2.复数与向量复数iy x z +=与坐标平面上的点一一对应. 在复平面上，复数z 与从原点指向 点z x iy =+的向量 也构成一一对应的关系 （复数0对应着零向量）， 因此我们也能用平面上 从原点出发的向量 表示复数.例如，设111z x iy =+，222z x iy =+，则由图1.2 可以看出,复数121212()()z z x x i y y +=+++表示 的向量就是复数1z 与2z 的和向量. （如图1.2）又如, 1212()z z z z -=+-表示 的就是从2z 到1z 的向量(如图1.3)例1 (1)写出圆方程()220++++=a x y bx cy d (,,,,0a b c d R a ∈≠)的复数形式的方程. 解 设z x iy =+,则2211(),(),22=+=-⋅=+x z z y z z z z x y i代入原方程得 2()()20az z b z z ic z z d ⋅++--+=, 即 2()()20⋅+-+++=az z b ic z b ic z d若令 B b ic =+, 则上述方程可化为220⋅+++=az z Bz Bz d .(2) 写直线方程0++=ax by c (,,,,a b c R a b ∈不同时为零)的复数形式的方程. 解 设z x iy =+,则11(),()22x z z y z z i=+=- 代入原方程得 ()()20a z z ib z z c +--+=, 若令 A a ib =+,则上述方程可化为 20++=Az Az c . §1.2.2复数的模与辐角1.复数的模在复平面上，复数iy x z += 对应向量oz 的长度称为复数z 的模(或绝对值), 其中x ,y 依次表示oz 沿x轴与y 轴的分量(如图1.1).记为z 或r ,即0==≥r z提问：2z 到1z 的的距离如何表示？12d z z =-=例如 z 平面上以原点为心,R 为半径的圆周的方程为=z R ;z 平面上以0z 为心,R 为半径的圆周的方程为0-=z z R ；思考问题：下列式子表示的意义 （1）34z i +=； （2）25z z i -=+；（3）Im(3)5z i +=.（#）2y =- 2.复数的辐角设iy x z +=（0z ≠）,称 对应向量的方向角（实轴正向到z 所表示的向量oz间的夹角）θ称为复数z 的辐角,记为 =Argz θ（如图1.1）.由于tan =yxθ,且任一复数z （0z ≠）有无穷多个辐角,规定满足条件ππ≤<-z arg的辐角为=Argz θ的主值(或复数z 的主辐角),记为arg z .于是复数z (0≠z )的主辐角z arg 与反正切Arc tanyx的主值arctanyx有如下关系:（如下图1.4，1.5） arcta arctan ,0,,002arg ,0,0arctan ,0,0n ,002⎧>∈⎪⎪⎪=>⎪⎪⎪=+<≥⎨⎪⎪-<<⎪⎪⎪-=<⎪⎩y x y R x x y z x y y x y x x y yx ππππ（）（，）（）（）（，）(其中 0≠z )注意：1）当0=z 时， 0=z ；此时辐角没有意义.2）对于共轭复数有 ,arg arg ==-z z z z （0≠z 且不为负实数）；对负实数有arg arg z z π=＝.3）对于0≠z 复数z x iy =+，有§1.2.3复数的模的三角不等式与恒等式Re =≤z x z ,Im =≤z y z , Re Im ≤+=+z x y z z22⋅==z z z z 22+＝x y .21==z z z zz z. 设111222,z x iy z x iy =+=+， 则有三角不等式121212-≤±≤+z z z z z z ,例2（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）设12,z z 为任意复数，证明下式并说明它的几何意义.()22221212122z z z z z z ++-=+；（3）1212z z z z -≤-.证明 （1）12z z ⋅==12z z =⋅.（2）∵ 2121212()()z z z z z z +=++11122122z z z z z z z z =+++22121221z z z z z z =+++2212122Re()z z z z =++ ，又∵ 212121211122122()()z z z z z z z z z z z z z z -=--=--+ 22121221z z z z z z =+--2212122Re()z z z z =+-，∴ 两式相加得22221212122()z z z z z z ++-=+.它的几何意义是: 平行四边形的对角线的平方和等于它的相邻两边的平方和的两倍. （3）2121212()()z z z z z z -=--2212122Re()z z z z =+-，又因为 12121212Re()z z z z z z z z ≤==， 所以2222121212122()z z z z z z z z -≥+-=-，从而 12z z -≤12z z -， 同理可证 1212z z z z -≤+故有 121212z z z z z z -≤±≤+ 思考:说明上述不等式在什么条件下取等号? §1.2.4.复数的三种表示1. 代数表示：而i z x y =+称为复数z 的代数形式.2. 三角表示：设=+z x iy （0z ≠），由直角坐标与极坐标的关系知i θθ(cos sin )=+z r 称为z （0z ≠）的三角形式.其中r 是模，θ是辐角. （如图1.6解释两个量）注意：1）复数的三角表示不唯一.2）设i 1111(cos sin )z r θθ=+，i 2222(cos sin )z r θθ=+， 则 121212,2z z r r k θθπ=⇔==+（k 为整数） 特别,当1==r z 时i θθcos sin =+z 称为单位复数. 3．指数表示式：由欧拉公式（Euler ）:i cos sin i eθθθ=+,知复数z （0z ≠）表示成 =i z re θ称为指数形式.例3 求下列复数的模、辐角、三角形式与指数形式. （1）22-i解 22-==i2(22)arctan2224--=+=-+Arg i k k πππ, (Zk∈)；422)sin()]44--=-+-=ii i πππ.（2）2i .解 24==i ；5(2)(226=++=+Arg i k k ππππ (∈k Z )；565524[cos sin ]466=+=i i i e πππ.(3)2-.解 24-==；(2)arctan22Arg k ππ--=-++- 223k ππ=-+,(∈k Z )； 232224[cos()sin()]433---=-+-=i i e πππ.（4）sincos55+i ππ.解 sincos155i ππ+=3222510()Argz k k πππππ=-+=+(∈k Z )， sin cos 55i ππ+＝31033cos sin 1010i i e πππ+=.课外练习：1.写出下列函数的三角形式（1）1sin )44i i ππ+=+.（2）设(cos isin )z r θθ=+，求1z 的三角表示.（3）设z =()23i -()2i -+，提示：arg z 为arctan 8π- . 2 .将复数ϕϕsin cos 1i +-（πϕ≤<0）化为指数形式.提示：原式)22(2sin2ϕπϕ-=i e.§1.2. 5 复数的乘、除法以及乘方、开方运算 重要结论：设111=i z r eθ,222=i z r eθ,则(1)12=z z ⇔ 12=r r ,122=+k θθπ,(k 为任意整数) (2)12()1212+⋅=i z z r r eθθ复数乘法的几何意义：12z z ⋅表示将1z 所表示的向量逆时针旋转2Argz 并伸长2z 倍后所获得的向量.（提问：i z ⋅及i z -⋅表示的意义是什么？）(3) 除法()121122-=i z r ez r θθ （同上叙述除法的几何意义） 从而 1212=z z z z ,1122=z z z z . 1212()=+Arg z z Argz Argz ； 1122()=-z Arg Argz Argz z 思考题：如何理解1212arg()arg arg z z z z ≠+；1122arg()arg arg z z z z ≠- 例子：arg(),arg(1)2i ππ=-=，3arg[()(1)]arg()arg()arg(1)22i i i ππ-=-=-≠=+- (1)argarg()arg(1)arg()2i i i π-===--.arg()2i π=-=-≠3arg(3)arg(3)2i π---=. 例4 用复数的三角形式计算（1）(1)+i .解： 因为 12(cossin )33+=+i ππ， 552[cos()sin()]66=-+-i i ππ所以 (1)+i＝4[cos()sin()]22-+-i ππ＝4-i . （2）212+-i i.解： 112sinarctan )22+=+i i ，122)sinarctan(2)]-=-+-i i⇒212+-ii＝1cos[arctan arctan(2)]2--1sin[arctan arctan(2)]2+--icossin22i i =+=ππ.注意运用反三角恒等式：arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-arctan arccot ,2x x x R π+=∈.当0x >时，1arctan arccotx x= . 提问：设(cos sin )z r i θθ=+，则1z= . #：111(cos sin )[cos()sin()]i i z r rθθθθ=-=-+-. §1.2.5 复数的乘方与开方运算1. 幂：通常把n 个复数z 的乘积nz z z z ⋅⋅⋅= 称为z 的n 次幂记为nz .若0≠z , 记i z re θ= ，则θθθ(cos sin )==+n n in n z r e r n i n ,特别 当1=r 时,有θθθcos sin =+in e n i n -----棣莫弗公式（De Moivre ）2.方根：设0≠z ，通常把满足 方程 z wn= (2≥n 为整数)的复数w 称为复数z 的n 次方根,记为=w .记=i z re θ,e i w ϕρ=将它们代入方程 =nw z 得n in i e re ϕθρ=,从而 n r ρ=, 2=+n k ϕθπ，于是ρ=(算术根), 2+=k nθπϕ,0,1,2,,1k n =- .且复数z 的n 次方根为2k ink k w θπ+==,0,1,2,,1k n =- .结论：复数(0)z z ≠的n 次方根共有n 个,它们均匀地 分布在以原点为心, n r 为半径的圆周上.（如图1.7） 注意：复数的乘、除运算以及下面的幂(乘方)、开方运算用复数的三角形式或指数形式较简单.例5 .解 因为 88-=i e π，所以22332++==k k iieππππ(0k =,1,2).例6 用复数三角表示计算 3(1+.解 33(1[2(cossin )]33+=+i ππ8(cos sin )8=+=-i ππ.例7 解方程（1）320z -=；（2）30z =（3）30z =.（4）310-+=z i .解 （1）320z -=可化为 32z =，方程的三个根为22sin )(0,1,2)33k k z i k ππ=+=.（2）30z =可化为 3z =13sin )]ππ=+z i22sin)33ππππ++=+k k i(0,1,2)k =为方程的三个根.（3）30+=z 可化为 3=z ，13)sin()]}22=-+-z iππ2222sin)(0,1,2)33-+-+=+=k ki kππππ为方程的三个根.（4）310-+=z i可化为331sin)44=-⇒=+z i z iππ88sin)(0,1,2)1212++⇒=+=k kz i kππππ. 例8求θ3cos及θ3sin(用θcos与θsin来表示). 解：由棣莫弗公式知33(cos sin)cos3sin3ii e iθθθθθ+==+又3(cos sin)iθθ+3223cos3cos sin(3cos sin sin)iθθθθθθ=-+-比较两式的实部与虚部得323cos3cos3cos sin4cos3cosθθθθθθ=-=-,233sin33cos sin sin3sin4sinθθθθθθ=-=-.小结：1.在行复数运算时注意公式与法则以及复数三角形式与指数形式的应用，需注意复数的三角形式计算形式必须符合三角形式的要求.同时注意复数开方，开几次方则有几个根；开方时，以指数形式表示简单.2.两个三角形式的复数相等时,辐角可以相差2 的整数倍.3.利用复数的三角形式很容易解释复数乘法、除法、乘方的几何意义.4. 解复方程时先将方程化为最简型，再开方.易犯错误：1.且复数开方运算时根表示易出错误.主要是特殊角的三角函数值不熟悉.2.解复方程错误多.作业：.(2),(3)3118.(1),(2),(3),(5)1416.(1).P ；；。