第4章 非线性方程数值解法

y
yx
Pk 1
y ( x)
Pk
O x k
xk 1
x*
x
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例2.求方程f ( x) x3 x 1 0在x0 =1.5附近的根x *。
解： 将方程改写成：x 3 x 1.
建立迭代公式：xk 1 3 xk 1 (k 0,1, 2,)
计算结果
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例4.用不同的方法求方程x2 3 0x* 3。
解： 方法1 方法2
1 2 令 ( x) x (x -3) 4 1 2 迭代格式：xk 1 xk (xk -3) 4 1 '( x) 1 x, '( 3) 0.134 1, 2 所以 迭代格式为 线性收敛。
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二分法的精度
由于: bk ak b a x xk k 1 ， 2 2 对任意给定的 0, 要使
*
x* xk 只需令： 即： k [(ln(b a ) ln ) / ln 2] 其中, [ ]表示取整。
优点：计算简单，收敛性可保证，函数要求低。 缺点：收敛速度慢，不能求重根和复根。
第四章 非线性方程数值解法
目录
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 基本问题 二分法 迭代法 Newton迭代法 迭代的加速方法 多点迭代法 数值实验及程序
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4.1 基本问题
本章讨论单变量非线性方程： f ( x) 0 的求根问题，其中x R，f ( x) C[a, b].
1.1406
0.0312
0.0156
0.233
0.0616
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4.3 迭代法
迭代法：基本思想是通过构造一个递推关系式，即迭代
格式，计算出一个根的近似值序列，并希望该序列能收敛。
不动点：将方程 f ( x) 0 改写成等价的形式
x ( x) 若x * 满足x* ( x*), 称x * 为 ( x)的 不动点。
略去余项，得到：
f x f xk f ' xk ( x xk )
从而得到Newton迭代公式：
f ( xk ) xk 1 xk f '( xk )
(k 0,1, 2,)
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Newton迭代法的几何意义
方程f ( x) 0的根，就是求y f ( x)和y 0的交点横坐标x *。 从点( xk , f ( xk ))做切线，与y 0的交点的横坐标为xk 1,再从 点( xk 1 , f ( xk 1 ))做切线与y 0的交点的横坐标为xk 1，
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定理7 设f ( x)在有根区间[a, b]上二阶导数存在,且满足： (1)f (a ) f (b) 0;(2)f '( x ) 0, x [a , b ];(3)f "( x )不变号,
k
0 1 2 3 4
xk
1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494
k
5 6 7 8
xk
1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
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不动点——存在性
定理1 设 ( x) C[a, b] 满足下面两个条件：
(1)对任意x [a,b] 有 a (x) b; (2) 存在正常数L 1, 对x , y [a ,b ] 都有： (x ) ( y ) 则 ( x) 在 [ a, b] 上存在唯一的不动点。
rk 1 1 axk 1 1 axk (2 axk ) (1 axk )2 rk2
故 rk r
2k 0
2 当初值x0满足0 x0 时， r0 1, 所以 lim rk 0。 k a 1 即 lim xk ， 迭代法收敛。 k a
注1：迭代方法2 比 方法1收敛快 注2：迭代方程的 收敛速度 依赖于 迭代函数 的选取。
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4.4 Newton迭代法
基本思想：是将非线性方程 f ( x) 0 逐步归结为某种线
性方程来求解。
计算公式：设函数 f ( x) 具有二阶连续导数，由泰勒公
式可得
f x f xk f ' xk ( x xk ) R( x)
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定理6 设f ( x)在x *附近二次连续可导,f '( x*) 0, 则存在 0,
当 x0 x * 时,Newton迭代序列至少二阶收敛于x*,即: 1 x *
2

f "( x*) 2 f '( x*)
x0 x * 时,Newton迭代序列超线性收敛于x *，即： xk 1 x * lim 0 k x x * k f ( x) f ( x*) x * 证明： ( x) ( x*) x f '( x) f '( x*) f ( x) f ( x*) f '( x) f '( ) ( x x*) ( x x*) f '( x) f '( x) ( x) ( x*) f '( x) f '( ) 介于x和x * 之间。 故 x x* f '( x) x x *，可得 '( x*) 0. 证毕。 两边令 f ( x) 注： ( x) x 为迭代函数。 f '( x)
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1 例5.建立求 a 0 的Newton迭代格式，要求不含除法；并证 a 2 明：当初值x0 满足0 x0 时，此迭代格式收敛。 a 1 解： 令f ( x) a, 得Newton迭代公式：xk 1 xk (2 axk ). x 记 rk 1 axk 表征迭代误差，则
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不动点迭代法——收敛性
全局收敛：对于迭代公式x ( x), 若对x0 [a, b], 迭代序列{xk }
都收敛，这种收敛称为 全局收敛。
局部收敛： 设 ( x)有不动点x *，若存在R: x x * ,对于任意
x0 R, 迭代x ( x)产生的序列{xk } R, 且收敛到x *， 则称此迭代法 局部收敛。
对非线性方程求根大致分三个步骤：
①判断根的存在性及个数； ②根的隔离；
③根的精确化。
本章研究求解单变量非线性方程的各种数值解法：
①二分法； ②单点迭代法； ③多点迭代法；④迭代法的收敛性。
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4.2 二分法
二分法：是一个把含根区间不断缩短，使含根区间中点
成为一个满足误差要求的近似解的方法．
1 3 令 ( x ) (x ) 2 x 1 3 迭代格式：xk 1 (xk ) 2 xk 1 3 '( x) (1 2 ), '( 3) 0, 2 x
"( 3) 0
所以 迭代格式为 平方收敛。
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两种方法计算结果比较(x*=1.7320508……)
若f ( x0 )与f (b)同号，则令a1 =a,b1 =x0; 新的有根区间变为[a1, b1];
3、如此反复，可得一系列有根区间： [a, b] [a1, b1] [ak , bk ] ak bk 方程的根：x* lim 。 k 2 注：二分法要求：函数连续 且 两端点函数值异号。
不动点迭代法：选择一个初始值 x0 ，可得
x1 ( x0 ) 反复迭代可得：xk 1 ( xk ) (k 0,1, 2)
称此方法为 不动点迭代法。
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不动点迭代法的几何意义
求x ( x)的不动点，就是求y x和y ( x)的交点x *。 从点pk ( xk , ( xk ))出发，沿平行x轴方向前进到点( ( xk ), ( xk ))， 从该点沿y轴前进交y ( x)与点pk 1 ( xk 1 , ( xk 1 ))。
f ( xk ) x* 证明：xk 1 x* xk f '( xk ) ( xk x*) f '( xk ) f ( xk ) f ( x*) f '( xk ) f "(k ) f (展开： x*) f ( xk ) f '( xk )( x * xk ) (x * xk )2 由Taylor 2! f "(k ) 2 得 xk 1 x* xk x * k介于xk 和x *之间。 2 f '( xk ) 两边对 k 取极限得证。 注1：当f" (x*)=0 时，Newton迭代法是超二阶收敛的。 注2：定理5 和定理6 说明Newton迭代法 收敛与否 与初值有关。
定理3 设x * 为 ( x)的不动点， '( x )在x * 某临域连续，且 '( x ) 1, 在迭代法x ( x )局部收敛。
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不动点迭代法——收敛速度
P阶收敛： 设迭代xk 1 ( xk )收敛到x ( x)的根x*, ek xk x*, ek 1 若 lim c 0, 则称该迭代方程为 P阶收敛的。 k e k 渐进误差常数： C称为 渐进误差常数。 线性收敛： 超线性收敛： 平方收敛：
2 1.5 1.2500
中点x0
1.5000 1.2500 1.1250 1.1875
区间长度