高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法预习导航新人教B版选修2-2资料
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
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2-2探究一用反证法证明否定性命题所谓否定性命题，就是指所证问题的结论中含有“不”、“不是"、“不存在"、“不相等”、“不可能”等词语的命题，这类问题的结论的反面比较具体，适合用反证法进行证明．【典型例题1】（1）若数列｛a n｝的通项公式为a n＝错误!（n∈N＋）,求证｛a n}中任意连续的三项都不可能构成等差数列．（2)已知a是整数，且a2＋2a是奇数，求证：a不是偶数．思路分析:两个命题均是否定性命题，可用反证法证明．证明：（1）假设｛a n｝中存在连续的三项构成等差数列．设这连续三项为a k，a k＋1，a k＋2（k∈N＋）,则2a k＋1＝a k＋a k＋2，即错误!＝错误!＋错误!,所以错误!＝错误!。
所以2k2＋4k＝2k2＋4k＋2，即0＝2，这显然是矛盾的．因此假设不成立,即{a n}中任意连续三项不可能构成等差数列．(2）假设a是偶数，不妨设a＝2k(k∈Z），于是a2＋2a＝(2k)2＋2·2k＝4k2＋4k＝4(k2－k)，由于k∈Z,所以k2＋k∈Z。
因此4(k2＋k)是偶数,即a2＋2a是偶数．这与已知a2＋2a是奇数相矛盾，故假设不成立，即a不是偶数．探究二用反证法证明唯一性命题1．结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾,所以用反证法证其唯一性简单明了．2．用反证法证明问题时，若结论的反面呈现多样性，必须罗列出各种可能的情况,缺少任何一种情况时,反证都是不完全的．3．证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题,即存在性和唯一性．【典型例题2】（1)求证：经过平面α外一点M，只能作一条直线与该平面垂直．(2)若函数f(x)在区间[a，b］上的图象连续不断开，且f(a）＜0，f(b)＞0，且f（x)在［a，b］上单调递增，求证：f（x)在（a，b)内有且只有一个零点．思路分析：对于（1）可假设能作两条直线与该平面垂直，然后根据空间中有关定理推出矛盾；对于(2），应先由函数零点存在性判定定理判定函数在（a,b)内有零点，再用反证法证明零点唯一．证明：（1)假设经过平面α外一点M，能作两条直线a，b都与该平面垂直．那么由线面垂直的性质可知a∥b，且a，b在同一平面内，这与a，b相交（均过点M)矛盾,因此假设不成立，即经过平面α外一点M，只能作一条直线与该平面垂直．（2）由于f（x)在[a，b]上的图象连续不断开,且f(a）＜0,f(b）＞0，即f（a)·f(b)＜0，所以f(x）在(a,b）内至少存在一个零点，设零点为m，m∈(a，b），则f(m）＝0，假设f(x）在（a，b)内还存在另一个零点n，则f（n)＝0，且n≠m。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究 新
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究 新人教B 版选修2-2探究一 用反证法证明否定性命题所谓否定性命题，就是指所证问题的结论中含有“不”、“不是”、“不存在”、“不相等”、“不可能”等词语的命题，这类问题的结论的反面比较具体，适合用反证法进行证明．【典型例题1】 (1)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1n(n ∈N ＋)，求证{a n }中任意连续的三项都不可能构成等差数列．(2)已知a 是整数，且a 2＋2a 是奇数，求证：a 不是偶数． 思路分析：两个命题均是否定性命题，可用反证法证明． 证明：(1)假设{a n }中存在连续的三项构成等差数列． 设这连续三项为a k ，a k ＋1，a k ＋2(k ∈N ＋)， 则2a k ＋1＝a k ＋a k ＋2， 即2k ＋1＝1k ＋1k ＋2， 所以2k ＋1＝2k ＋2k 2＋2k. 所以2k 2＋4k ＝2k 2＋4k ＋2， 即0＝2，这显然是矛盾的．因此假设不成立，即{a n }中任意连续三项不可能构成等差数列． (2)假设a 是偶数，不妨设a ＝2k (k ∈Z )， 于是a 2＋2a ＝(2k )2＋2·2k ＝4k 2＋4k ＝4(k 2－k )， 由于k ∈Z ，所以k 2＋k ∈Z .因此4(k 2＋k )是偶数，即a 2＋2a 是偶数． 这与已知a 2＋2a 是奇数相矛盾， 故假设不成立，即a 不是偶数． 探究二 用反证法证明唯一性命题1．结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了．2．用反证法证明问题时，若结论的反面呈现多样性，必须罗列出各种可能的情况，缺少任何一种情况时，反证都是不完全的．3．证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．【典型例题2】 (1)求证：经过平面α外一点M ，只能作一条直线与该平面垂直．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续不断开，且f (a )＜0，f (b )＞0，且f (x )在[a ，b ]上单调递增，求证：f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．思路分析：对于(1)可假设能作两条直线与该平面垂直，然后根据空间中有关定理推出矛盾；对于(2)，应先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a ，b )内有零点，再用反证法证明零点唯一．证明：(1)假设经过平面α外一点M ，能作两条直线a ，b 都与该平面垂直． 那么由线面垂直的性质可知a ∥b ，且a ，b 在同一平面内， 这与a ，b 相交(均过点M )矛盾，因此假设不成立，即经过平面α外一点M ，只能作一条直线与该平面垂直．(2)由于f (x )在[a ，b ]上的图象连续不断开，且f (a )＜0，f (b )＞0，即f (a )·f (b )＜0， 所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，m ∈(a ，b )，则f (m )＝0， 假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，则f (n )＝0，且n ≠m . 若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾； 若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点． 探究三 用反证法证明至少、至多命题1．当命题出现“至多”“至少”等词语时，适合用反证法． 2．常见的“结论词”与“反设词”中至少有一个不大于14.思路分析：本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有”，然后由假设入手，应用均值不等式证明．证明：方法1：假设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14.∵a ，b ，c 都是小于1的正数， ∴－a b ＞12，－b c ＞12，－c a ＞12，∴－a b ＋－b c ＋1－c a ＞32.又∵－a b ＋－b c ＋－c a ≤－a ＋b2＋－b ＋c2＋－c ＋a2＝3－a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c2＝32， 与上式矛盾．∴假设不成立，即原命题成立． 方法2：假设三式同时大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，三式相乘，得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ＞164.又(1－a )a ≤⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14.同理，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.以上三式相乘得(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，这与(1－a )a (1－b )b (1－c )c ＞164矛盾，故结论得证．探究四 易错辨析易错点：运用反证法，结论否定不当而出错【典型例题4】 用反证法证明命题“a ，b 为整数，若ab 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”时，应假设________．错解：a ，b 不都是偶数．错因分析：a ，b 不都是偶数包括的情况有： (1)a 是偶数，b 是奇数； (2)a 是奇数；b 是偶数；(3)a ，b 都不是偶数．显然，否定的结论并不是结论的对立面，所以不正确，题目中“a ，b 都不是偶数”指“a ，b 都是奇数”．正解：“a ，b 都是偶数”或“a ，b 不都是奇数”．。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
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2.2.2 反证法1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)[基础·初探］教材整理反证法阅读教材P66～P67“例3”以上部分，完成下列问题．1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定__________，推出________的方法,叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾;（2)与__________、定理、公式、定义或____________矛盾；(3)与______________矛盾(例如，导出0＝1，0≠0之类的矛盾）．【答案】1．假设真命题綈q为假q为真2．(2）数学公理已被证明了的结论(3)公认的简单事实1．判断（正确的打“√"，错误的打“×”)（1）反证法属于间接证明问题的方法．（）(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．（）(3）反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ）【答案】（1）√(2)×(3)√2．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b 与c是异面直线,若利用反证法证明，则应假设__________．【解析】∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．【答案】b与c平行或相交［质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑:疑问2:解惑：疑问3：解惑：［小组合作型］利用反证法证明否定性命题（1)2数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为( ）A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数（2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列,求证：错误!，错误!, 错误!不成等差数列．【自主解答】(1)要证明的结论是“方程没有整数根”,故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明(
高中数学第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明（第2课时）
预习导航新人教A版选修2-2
1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．思考1反证法解题的实质是什么？
提示：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确．否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面的反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法；要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法教案 新人教A版选修2-2(2021年最新整理)
高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法教案新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2.2 反证法 一、知识与技能1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念;2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。
3．会用反证法证明简单的数学问题 二、过程与方法1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念;2．由具体事例入手,让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假. 三、情感态度与价值观初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识.四、新课学习1．反证法的逻辑依据【师生互动】【例7】证明：若R y x ∈,，且022=+y x ,则0==y x 。
分析:对于该命题的证明,从正面着手：∵R y x ∈, ∴0,022≥≥y x 又∵022=+y x , ∴0=x 且0=y ，即0==y x直接证明也可以。
但总给人一种说理不是那么很得劲,美中不足的感觉。
如果采用了证明方法:假设y x ,不全为0，不妨设0≠x ，则∵02>x ∴022>+y x 这与已知的022=+y x 矛盾，故0==y x .就会给人一种无可辩驳，不得不服的感觉。
【师】对于后一种证明方法，大家能把它以“若p 则q "的形式表述出来再看看合原来要证明的命题是什么关系吗？【生】后面要证明的命题写成“若p 则q ”的形式是：“若y x ,不全为0，则022>+y x ”原命题写成“若p 则q "的形式是:“若022=+y x ,则0==y x ”。
高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件新人教B版选修2_2
牛刀小试
例1.已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证：∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个不 小于60°
证明： 假设 △ABC 的三个内角A，B，C都小于60°，
所以
∠ A < 60°，∠B < 60°， ∠C < 60°
∴ ∠A+∠B+∠C<180°
1.存在性问题
大家议一议！
2.否定性问题 3.唯一性问题
哪些问题适宜用反证法
4.至多、至少类问题
5.一些基本命题、基本定理
总之，直接证明比较困难的命题
反思与收获
同学们，学了这节课， 你们有何体会？
王戎是怎么知
道李子是苦的呢?
他运用了怎样的
推理方法?
王戎回答说:“假如李子不苦的话，早 被路人摘光了，而这树上却结满了李 子，所以李子一定是苦的。”小伙伴 摘取一个尝了一下,果然是苦李.
妈妈和姐姐在厨房做饭，小明与爸爸在客厅 看电视，厨房传来碗掉地上摔碎的声音，然 后就听到收拾碎片的声音。小明说：一定是 妈妈干的。爸爸问：“为什么？”
2.2.2 反证法
复习
直接证明的两种方法 综合法和分析法
(1)综合法—— 由因导果 已知条件 … … 结论
(2)分析法—— 由果溯因 结论 … … 已知条件
路 边 苦 李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到 路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纭 去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴 问他为什么不去摘？
上述问题最终会导致怎样的矛盾？
归缪矛盾主要类型：
(1)与已知条件矛盾； (2)与已有公理、定理、定义矛盾； (3)自相矛盾。
例题讲授
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法预习导航 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
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—2反证法(1)定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：⌝ q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定⌝q为假，推出q为真的方法,叫做反证法．（2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：①分清命题的条件和结论;②做出与命题结论相矛盾的假设;③由假设出发,应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．思考在证明命题“若p则q”的过程中，虽然否定了结论q，但在证明过程中，没有把“⌝q”当作条件利用，也推出了矛盾或证得了结论，这种证明是反证法吗？提示：不是,反证法是在假设原结论不成立的条件下推出矛盾的，也就是说，之所以推出了矛盾，就是因为我们假设了原结论不成立,故在用反证法时，必须把结论的否定作为条件使用,否则,就不是反证法．点拨理解反证法需要注意以下几点：(1)所谓矛盾主要是指:①与假设矛盾；②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；③与公认的简单事实矛盾．（2)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”，其中,第一个否定是指“否定结论”；第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”，所以反证法不是直接证明结论成立，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导出矛盾,从而肯定结论的正确性．（3）适合于用反证法证明的数学问题大多为一些否定性命题、唯一性命题、至少至多命题以及一些必然性命题和一些基本定理等．(4）在用反证法证明问题时，注意书写的格式，开始时对结论的否定应该用“假设”，而不是用“设"．。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第2章 推理与证明2.2.2
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反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可 以是与_已__知__条__件___矛盾，或与假__设______矛盾，或与_定__义____、 公理、定理、事实矛盾等．
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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90°. 上述步骤的正确顺序为________．
解析： 由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为 ③①②.
答案： ③①②
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2．用反证法证明命题：“a，b∈ N，ab可被5整除，那 么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 解析： “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即 “a，b 都不能被5整除”． 答案： B
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高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件7新人教B版选修22
可得 p2=(2k+1)2=4k2+4k+1,
此式表明，p2 是奇数，这与已知矛盾. 因此假设不成立，从而证明 p 为偶数.
5．若 a，b，c 互不相等，证明：三个方程 ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝ 0，cx2＋2ax＋b＝0 至少有一个方程有两个相异实根．
证明 2是无理数.
证明：假设 2 是有理数
则存在互质的正整数m、n使得 2 m
m 2n m2 2n2
n
m2是偶数，从而m也是偶数， 故设m 2k(k N ) 从而有4k 2 2n2 ,即n2 =2k 2 n2是偶数，即n是偶数, 这与m，n互质矛盾
假设不成立，即 2是无理数.
[再练一题]
2. 已知 x>0,y>0，x + y >2，
求证：1yx ,
1 y x
中至少有一个小于 2.
【证明】 假设1yx ≥2，且1xy ≥2,
两式相加得2 x y≥2x2y ，即 x y≤2，
这与 x y2矛盾，所以假设不成立，
所以1yx ,
1 y x
中至少有一个小于 2.
类型一： 利用反证法证明否定性命题
已知三个正整数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列， 求证： a， b， c不成等差数列．
总结：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等 词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面 比较具体，适合使用反证法．
[再练一题] 1．设数列{an}是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和．求证：数列{Sn} 不是等比数列． 【证明】 假设数列{Sn}是等比数列，则 S22＝S1S3， 即 a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)， 因为 a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即 q＝0，这与公比 q≠0 矛盾． 所以数列{Sn}不是等比数列．
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件2 新人教B版选修2-2
K12课件
7
无理数的发现——第一次数学危机
希帕索斯在求正方形的对角线时，当边长为 1时，对角线的长度（ 2 ） 不能用有理数 （整数或整数之比）去表示，导致了当时认 识上的危机，从而产生了第一次数学危机。
后来欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理 数的解释与现代解释基本一致。
2
1
1
K12课件
8
概念理解 反设： 正确写出命题的否定。
所以假设错误, 所以ɑ//α.
K12课件
6
合作探究
例2、求证 2 是无理数.
证明：假设 2 不是无理数，即是有理数. 于是存在互质的正整数m，n，使得 2 m ，
n
从而就有m 2n ，所以m2=2n2 ，所以m为偶数. 于是可设m=2k（k是正整数），从而有 4k2=2n2 ，即n2=2k2， 所以n也为偶数.这与假设“m，n互质”矛盾， 所以假设错误，从而 2 是无理数.
K12课件
10
练习
已知ɑ+b+c>0,ɑb+bc+cɑ>0，ɑbc>0. 求证：ɑ，b，c>0. 证明：假设ɑ，b，c至少有一个≤0，不妨设c≤0，
因为ɑbc>0，所以c<0，ɑb<0，
因为ɑb+bc+cɑ>0，所以bc+cɑ=（b+ɑ）c>0，
所以b+ɑ<0，所以ɑ+b+c<0， 与条件矛盾 所以假设错误，原结论成立.
反证法
K12课件
1
活动探究 证明： 任意13个同学中必有同一个月生日的同学
假设13个同学中没有同一个月生日的同学
则13个同学生日的月份就应该有13个月， 与事实“一年只有12个月”矛盾
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件3 新人教B版选修2-2
K12课件
10
大家议一议！ 我来告诉你（经验之谈）
探1究.存4在：性问题
哪些问题适宜用反证法
2.否定性问题
3.唯一性问题
4.至多、至少类问题
5.一些基本命题、基本定理
总之，直接证K12明课件 比较困难的命题 11
反思与收获
同学们，学了这节课， 你们有何体会？
---德国数学家希尔伯特说，
禁止数学家使用反证法，
在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。
K12课件
3
探究2：深度挖掘——了解反证法
反证法的证题步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立
就象禁止拳击家使用拳头。
K12课件
12
K12课件
13
例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”,因为a是整数，故a是奇数
不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已
知矛盾。∴假设不成立，故2能整除a。
大于或等于60 °
B
C
证明：假设所求的结论不成立，即
∠A_＜_ 60 ° ,∠ B_＜_60 ° ,∠ C _＜_60 °
则∠A+∠ B+∠ C＜180 °
高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
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高中数学第二章推理与证明本章整合新人教B版选修2-2知识网络专题探究专题一合情推理与演绎推理1．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下：错误!→错误!→错误!类比推理的思维过程大致如下:错误!→错误!→错误!2．演绎推理是由一般到特殊的推理，又叫逻辑推理．其中三段论推理是演绎推理的主要形式．演绎推理具有如下特点：（1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中．(2)演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系,演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少,但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【例1】证明下列各等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2,2cos错误!＝错误!，2cos错误!＝错误!.证明:2cos错误!＝2×错误!＝错误!，2cos错误!＝2×错误!＝2×错误!＝错误!，2cos错误!＝2×错误!＝2×错误!＝错误!.……从以上各式归纳可得一般性的结论如下：2cos错误!＝错误! (n∈N＋，n≥1）．【例2】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k PM，k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线错误!－错误!＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解:类似的性质为:若M,N是双曲线错误!－错误!＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．证明：设点M，P的坐标为(m,n），(x，y），则N（－m，－n）．因为点M(m,n)在已知双曲线上，所以n2＝b2a2m2－b2.同理y2＝错误!x2－b2.因为k PM·k PN＝错误!·错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!（定值），所以k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．专题二直接证明与间接证明1．直接证明的两种基本方法是综合法与分析法．综合法与分析法的区别与联系:分析法的特点是:从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．综合法的特点是:从“已知”看“可知”，逐步推向“未知",其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点．有些具体的问题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P。
2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件4 新人教B版选修2-2
（2）囚犯妙用反证法死里逃生： 从前有个国王总认为自己是个“至高
又是个“大慈大悲”的救世主.在处决犯 抽签决定自己的命运，即在两张小纸片上 ，一张写“死”字，抽到“活”字可幸免 一天将要被处决，他的死对头买通了狱史 写上了“死”字让他去抽，心想这下犯人
那个狱史把此消息透漏给了犯人，犯人一 笑，高兴的说：“这下我可死里逃生了。 法呢？
可得 p2=4k2+4k+1，此式表明，p2是奇 这与假设矛盾，因此假设p不是偶数不 从而证明p为偶数。
（2）反证法的主要步骤
讨论：什么情形适用反证法？
①反设： 假设原命 题的结论 不成立
②归谬：从 这个假设出 发，经过正 确的推理， 推出矛盾。
③结论 此说明 错误， 证明了 题成立
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述
解：（1）假设互补的两个角能都大于90°
（2）假设△ABC中，至少有两个钝角。
（3）假设自然数a、b、c,中没有正数。
归谬是反证法的关键，但必须从 反设出发，应用演绎推理方法，推 出矛盾的结果，导出矛盾的过程没 有固定的模式。
常见的几种矛盾 1.与假设矛盾； 2.与已知的公理、定理、公式、定 义或已证明了的结论矛盾； 3.与公认的简单事实矛盾(例如， 导出0＝1，0≠0之类的矛盾)。
通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进 一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的 能力.
过程与方法
了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
情感、态度、价值观
在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充 满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相 互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生 活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也 许会使问题出现转机。
推荐精品高中数学第2章推理与证明2-2-2反证法学案新人教B版选修2_2
精品高中数学第2章推理与证明2-2-2反证法学案新人教B版选修2_21．掌握间接证明的常见方法(反证法)的推理特点．2．学会写出命题的否定，并以此作条件推出矛盾结论，即学习用反证法证明简单题目．反证法一般地，由证明pq转向证明：____________________，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定____为假，推出____为真的方法，叫做反证法．1．反证法适宜证明“存在性，唯一性，带有‘至少有一个’或‘至多有一个’等字样”的一些数学问题．2．应用反证法证明数学命题的一般步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．常见的主要矛盾有：①与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾；②与临时假设矛盾；③与公认的事实或自相矛盾等．【做一做1－1】应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( )．①结论的相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③【做一做1－2】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是( )．A．假设三角形的内角中至少有一个钝角B．假设三角形的内角中至少有两个钝角C．假设三角形的内角中没有一个钝角D．假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角如何理解反证法？剖析：反证法证题的特征：通过导出矛盾、归结为谬误，而使命题得证．反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确，即证明命题的逆否命题成立．否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法．要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾．用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“＜”；“≤”的反面为“＞”；“＞”的反面为“≤”；“＜”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“＞”及“＜”．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性．题型一命题的结论是否定型【例题1】已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)．(1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．分析：应用增函数定义证明第一问；第二问的结论是否定型的，适于应用反证法．反思：在解题过程中，提出假设，分类讨论等都是在合理地增设条件，为解题提供帮助．题型二命题的结论涉及至多、至少及存在型【例题2】已知a，b，c都是小于1的正数，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于.分析：命题中有“至少、不都、都不、至多”等指示性语句时，应用直接方法证明时难度很大，根据正难则反的思想，应用反证法证明．本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有”，然后由假设入手，应用均值不等式证明．反思：反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法预习导航 新人教B版选修12
高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法预习导航新人教B版
选修1-2
课程目标学习脉络
1.了解反证法是间接证明中最基本和最常用的一
种方法．
2．熟练掌握用反证法证题的三个步骤：(1)反设；
(2)归谬；(3)结论．
3．认识反证法在数学证明中的重要作用；学会用
反证法证题，并能根据题目的类型合理选择证明问
题的方法；学会寻找问题中的矛盾，进行正确推理.
反证法
一般地，由证明p q转向证明
⌝q r…t，
t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定⌝q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
思考1想一想在什么情况下可考虑利用反证法证明问题？
提示：反证法是间接证明的一种方法，它适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)若从正面证明，需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只需研究一种或很少的几种情形．
思考2应用反证法证明数学命题的一般步骤是什么？
提示：(1)反证：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件，已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；
(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．
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高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 b选修22b高二选修22数学课件
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3．用反证法证明命题“若 a2＋b2＝0，则 a，b 全为 0(a，b 为 实数)”时，应假设__________． 解析：a，b 全为 0 的否定是 a，b 不全为 0. 答案：a，b 不全为 0(a，b 为实数) 4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是 _______． 解析：至少有两个的否定是至多有一个．
答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
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本部分内容 讲解结 (nèiróng)
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内容(nèiróng)总结
第二章 推理(tuīlǐ)与证明
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假设过点 P 还有一条直线 c 与 a 平行， 因为 a∥b，a∥c， 所以 b∥c，这与 b、c 相交于点 P 矛盾，故假设不成立． 即过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性 和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只一个”、“唯 一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾， 所以用反证法证其唯一性就较简单明了．
从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明，则
可考虑用反证法证明．
(2)注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式
分别为“一个也没有”“至少有两个”“不都是”．
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高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法预习导航新人教B版
选修2-2
反证法
(1)定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：⌝ q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定⌝q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：
①分清命题的条件和结论；
②做出与命题结论相矛盾的假设；
③由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
思考在证明命题“若p则q”的过程中，虽然否定了结论q，但在证明过程中，没有把“⌝q”当作条件利用，也推出了矛盾或证得了结论，这种证明是反证法吗？
提示：不是，反证法是在假设原结论不成立的条件下推出矛盾的，也就是说，之所以推出了矛盾，就是因为我们假设了原结论不成立，故在用反证法时，必须把结论的否定作为条件使用，否则，就不是反证法．
点拨理解反证法需要注意以下几点：
(1)所谓矛盾主要是指：
①与假设矛盾；
②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；
③与公认的简单事实矛盾．
(2)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”，其中，第一个否定是指“否定结论”；第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”，所以反证法不是直接证明结论成立，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性．
(3)适合于用反证法证明的数学问题大多为一些否定性命题、唯一性命题、至少至多命题以及一些必然性命题和一些基本定理等．
(4)在用反证法证明问题时，注意书写的格式，开始时对结论的否定应该用“假设”，而不是用“设”．
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