复合函数含义
复合函数概念精析
0 / 14复合函数概念精析蓝田县洩湖中学王锦锋复合函数概念精析复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点。
但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关内容很有必要。
一、复合函数的概念我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u 又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f ［g(x)］叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。
例如y=sin 2x它与y=sin x不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sin u和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数。
由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。
1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。
它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形1 / 14如a·f(x)±b·g(x)或a·f(x)·b·g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。
这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。
自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。
例如，复合函数y=sin 2x是自变量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数sin 2x。
因此有人说复合函数是函数的函数。
高中数学中的复合函数与反函数
高中数学中的复合函数与反函数在高中数学中，复合函数与反函数是两个重要的概念。
复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，而反函数则是指能够将一个函数的输入和输出互换的函数。
这两个概念在数学中具有广泛的应用，并且对于理解函数的性质和解决实际问题都有着重要的意义。
一、复合函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
在数学中，我们通常用“f(g(x))”表示一个复合函数，其中“f”和“g”分别表示两个函数。
具体来说，如果函数“g”的输出是实数集中的某个数“a”，而函数“f”的输入是“a”，那么复合函数“f(g(x))”的含义就是将“g(x)”的输出作为“f”的输入。
复合函数的应用非常广泛。
例如，在几何学中，我们可以通过复合函数来描述两个几何变换的组合效果。
假设我们有一个平面上的点“P”，首先对点“P”进行平移变换，然后再进行旋转变换，最终得到的点就是复合函数的结果。
通过复合函数，我们可以将复杂的几何变换分解为多个简单的变换，从而更好地理解和分析几何问题。
二、反函数反函数是指能够将一个函数的输入和输出互换的函数。
在数学中，我们通常用“f^(-1)(x)”表示一个函数的反函数，其中“f”表示原函数。
“f^(-1)(x)”的含义就是，如果“f”将输入“x”映射到输出“y”，那么反函数“f^(-1)”将输出“y”映射回输入“x”。
反函数的概念对于解决方程和求解函数的逆运算非常有帮助。
例如，在解方程的过程中，我们经常需要对方程进行变形，将未知数从方程的左边移到右边或者反之。
这个变形的过程实际上就是对函数进行了反操作，通过反函数的概念，我们可以更加清晰地理解和推导解方程的过程。
三、复合函数与反函数的关系复合函数和反函数之间存在一定的关系。
具体来说，如果函数“f”和“g”互为反函数，那么它们的复合函数“f(g(x))”就等于“x”。
这个性质可以用数学表达式来表示，即“f(g(x)) = x”。
这个性质在实际问题中有着重要的应用。
高考数学复合函数基础理论总结
高考数学复合函数基础理论总结复合函数是高一数学学习的重点和难点之一，也是高考数学考试的常见考点。
理解和掌握复合函数的基础理论是学好高等数学、应用数学、物理、化学等学科的前提。
本文将围绕复合函数的定义、性质、运算规则以及应用进行总结和分析。
一、复合函数的定义复合函数的定义：设函数f的定义域为Df，值域为Rf，函数g的定义域为Dg，值域为Rg。
如果存在一个函数h(x)使得对于f的定义域Df中的每一个元素x，都有g的定义域Dg中恰有一个元素y与之对应，并且y是f(x)在g的范围内的唯一值，则称h(x)为f和g的复合函数，表示为h(x) = f(g(x))。
二、复合函数的性质1. 复合函数的定义域：复合函数的定义域由g的定义域和f的值域的交集构成，即Dh = {x|x∈Dg且g(x)∈Df}。
2. 复合函数的值域：复合函数的值域为f的值域的子集，即Rh ⊆ Rf。
3. 复合函数的单调性：若f(x)和g(x)在其定义域内单调增加（或单调减少），则h(x) = f(g(x))也在其定义域内单调增加（或单调减少）。
4. 复合函数的奇偶性：若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则h(x) = f(g(x))为奇函数；若f(x)和g(x)均为偶函数，则h(x) = f(g(x))为偶函数。
5. 复合函数的周期性：若f(x)的周期为T1，g(x)的周期为T2，则当T2是T1的正整数倍时，h(x) = f(g(x))的周期为T1。
三、复合函数的运算规则1. 复合函数的加法：设h1(x) = f1(g1(x))，h2(x) = f2(g2(x))，且f1(x)和f2(x)的值域相等。
则有(h1 + h2)(x) = f1(g1(x))+f2(g2(x))。
2. 复合函数的减法：设h1(x) = f1(g1(x))，h2(x) = f2(g2(x))，且f1(x)和f2(x)的值域相等。
则有(h1 - h2)(x) = f1(g1(x))-f2(g2(x))。
浅谈复合函数
浅谈复合函数复合函数是一种非常有用的数学工具，它可以用来描述多个函数之间的关系。
在本文中，我们将讨论复合函数的定义、性质以及如何求解复合函数。
首先，让我们来了解一下复合函数的定义。
定义：若函数 f 和 g 都是定义在一个集合 D 上的函数，则将函数 g 当作函数 f 的输入，并得到函数 h，则称函数 h 为函数 f 和 g 的复合函数，记作 h = f(g(x))。
例如，若函数f(x)=x^2+1，函数g(x)=x+1，则函数h = f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2+1。
注意，复合函数的定义并不是将函数 f 和 g 相乘或相加，而是将函数 g 作为函数 f的输入。
现在，让我们来看一看复合函数的一些性质。
性质 1：复合函数的定义域是函数 g 的定义域。
性质 2：复合函数的值域是函数 f 的值域。
性质 3：若函数 f 和 g 都是单射函数，则复合函数 h 也是单射函数。
性质 4：若函数 f 和 g 都是可导函数，则复合函数 h 也是可导函数。
性质 5：若函数 f 和 g 都是连续函数，则复合函数 h 也是连续函数。
接下来，我们来讨论如何求解复合函数。
假设我们已经知道函数 f 和 g，并想要求出复合函数 h。
那么，我们需要做的就是将函数 g 代入函数 f 中，并得到函数 h。
例如，若函数f(x)=x^2+1，函数g(x)=x+1，则函数h = f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2+1。
注意，在求解复合函数时，我们需要先将函数 g 代入函数 f 中，再得到函数 h。
因此，我们可以将复合函数表示为 h(x)=f(g(x))。
此外，我们还可以使用复合函数的运算法则来求解复合函数。
这一运算法则规定，若函数 f 和 g 分别为函数 h 和 k 的复合函数，则函数 f 和 g 的复合函数为(f∘g)(x)=f(g(x))。
例如，若函数 f(x)=x^2+1，函数 g(x)=x+1，函数 h(x)=x^3+1，函数 k(x)=x+2，则函数 f 和 g 的复合函数为(f∘g)(x)=f(g(x))=(x+1)^2+1，函数 h 和 k 的复合函数为(h∘k)(x)=h(k(x))=(x+2)^3+1。
浅谈对复合函数概念的认识
浅谈对复合函数概念的理解 阮晓 锋若u=g(x)是从A 到M 上的函数，而y=f(u)是从M 到B 内的一个函数，则称从A 到B 的映射为从A 到B 的复合函数，记作y=f [g(x)]，其中被u 称为复合函数的中间变量，u=g(x),x єA 叫内函数，而y=f(u),u єM 叫外函数。
理解：⑴复合函数的定义域即为其内函数的定义域；⑵对复合函数y=f [g(x)]而言，如果函数f(x)的定义域为A,则y=f [g(x)]的定义域为 使得g(x)єA 的x 的取值集合；⑶若函数y=f [g(x)]的定义域为A ，则函数f(x)的定义域恰为u=g(x)，x єA 的值域。
例1：设函数f(x)的定义域为[-2,1]，则函数⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f 1-的定义域为（B ） A.(0,+∞) B.[31,+∞) C.(-∞,0)∪[31,+∞) D.[3,+∞) 解：由x 1-x є[-2,1]解得x ≥31,故选B.例2：若函数y=lg(1a 2++ax x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围；若该函数的值域为 R ，求实数a 取值范围。
解：⑴函数y=lg(1a 2++ax x )的定义域为R 即1a 2++ax x >0对x єR 恒成立①当a=0时，显然1a 2++ax x >0对x єR 恒成立；②当a ≠0时，则得⎪⎩⎪⎨⎧<⨯⨯>014-0a 2a a解之得0<a<4 综上得：此时实数a 取值范围为[0,4）⑵若该函数的值域为则y 可取任意实数。
从而由1a 2++ax x =10y 知（0，+∞）{}1y 2++=⊆ax a y x当a=0时显然不满足上面的要求∴得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯⨯>014-0a a 2a 解之得a ≥4 故此时实数a 取值范围为[4，+∞）。
练习题1：⑴若f(x)的定义域为[2,4]，则f(1x 1+)的定义域为____; ⑵若f(1x 1+)的定义域为[2,4]，则f(x)的定义域为____.题2：已知函数86-2++=m mx m y x 的定义域为R ⑴求实数m 的取值范围；⑵当m 变化时，若y 的最小值为f(m),求f(m)的值域。
高一复合函数知识点总结
高一复合函数知识点总结复合函数是高中数学中的重要概念之一，它是由两个或多个函数组合而成的函数。
在高一阶段学习复合函数时，需要掌握一些基本知识点和技巧。
本文将对高一复合函数的相关知识进行总结，包括定义、性质和常见解题方法等方面。
1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数构成的函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先对自变量进行g(x)的变换，再对结果进行f(x)的变换。
可以用以下形式表示：f(g(x))，也可以写作(f ∘g)(x)。
2. 复合函数的求解对于给定的复合函数f(g(x))，求解的方法如下：Step 1: 先确定内层函数g(x)的定义域和值域，保证f(g(x))有意义。
Step 2: 将g(x)的结果代入f(x)中，得到f(g(x))的表达式。
Step 3: 综合以上结果，确定f(g(x))的定义域和值域。
3. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域等于内层函数g(x)的定义域中，使得g(x) ∈ f(x)的值域。
（2）复合函数的值域：与内层函数g(x)的值域相对应，即g(x)的值域是f(g(x))的值域。
（3）复合函数的奇偶性：若f(x)是奇函数，g(x)是任意函数，则f(g(x))也是奇函数；若f(x)是偶函数，g(x)是任意函数，则f(g(x))也是偶函数。
（4）复合函数的单调性：若f(x)在[a, b]上单调增加（或单调减少），g(x)是单调函数，则f(g(x))在[a, b]上也单调增加（或单调减少）。
4. 复合函数的常见解题方法（1）求函数的复合逆：对于复合函数f(g(x))，若要求它的复合逆，可以先求g(x)的逆函数g^(-1)(x)，然后将g^(-1)(x)代入f(x)中即可。
（2）复合函数的导数：若已知内层函数g(x)可导，外层函数f(x)在g(x)的值域上可导，则可以利用链式法则求得复合函数的导数。
（3）复合函数与反函数的关系：若复合函数f(g(x))恒等于x，且g(x)为f(x)的反函数，则f(x)和g(x)互为反函数。
复合函数的概念
复合函数的概念复合函数是指将两个或多个函数结合在一起，变成一个新的函数。
它是在数学计算中常用的一种运算模式，是一种将简单函数合并成复杂函数的操作。
一、定义1、复合函数：指将多个函数结合组成一个新的函数，即多个函数组合在一起而成为一个函数。
2、展开式：复合函数也可以表示为展开式，即从内层函数外围开始计算，逐渐往外层函数计算。
二、形式表示复合函数的形式表示由以下几种方式：1、笛卡尔积形式：是以笛卡尔乘积的思路表示的复合函数，用来表示比较复杂的复合函数的形式。
2、函数柱面形式：通过将各个函数沿着垂直方向叠加，表示复合函数的形式。
三、性质1、复合函数的性质是多个函数结合后新生成函数的性质，复合函数是服从基本函数的性质。
2、函数的单调性：复合函数有两种可能的单调性，一种是函数总体单调，另一种是函数单调变换。
3、函数的对称性：复合函数在函数上可能有对称性，即在某一特定的平面上，函数的曲线形态具有对称性。
4、函数的微分性：复合函数的微分性依赖于基本函数的微分，函数的微分结果乘以对应的系数即可。
四、应用1、函数拟合：复合函数可以用来拟合一些不太复杂的函数，可以节省计算量，研究物理问题时可以拟合出相关的函数。
2、回归分析：复合函数在回归分析中也发挥着重要的作用，可以用复合函数来进行曲线拟合，从而确定多个变量之间的关系。
3、解决方程：用复合函数可以求解复杂的方程组等多元函数的极值，从而寻求函数的最优解。
总结：复合函数是指将两个或多个函数结合在一起，变成一个新的函数，是数学计算常用的一种运算模式，它也可以表示为展开式，从内层函数外围开始计算，逐渐往外层函数计算。
复合函数的性质是多个函数结合后新生成函数的性质，复合函数是服从基本函数的性质。
可以用复合函数来拟合一些不太复杂的函数，进行回归分析，也可以用来解决复杂的方程组等多元函数的最优解。
简明初中数学复习函数的复合与反函数
简明初中数学复习函数的复合与反函数函数的复合与反函数函数是数学中常见的概念，而函数的复合和反函数是函数学习的重要内容之一。
复合函数是将两个或多个函数按照一定规则组合在一起形成的新函数，而反函数是一个函数与其原函数之间互为倒数的关系。
一、复合函数复合函数指的是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而形成一个新的函数。
假设有两个函数f(x)和g(x)，其复合函数f(g(x))表示先对x进行g(x)的运算，再将结果作为f(x)的输入。
可以用符号表示为：f(g(x)) = f∘g(x)。
例如，有两个函数f(x) = 2x + 1和g(x) = x^2。
如果要求它们的复合函数f(g(x))，首先将g(x)代入f(x)中，得到f(g(x)) = 2(g(x)) + 1 = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1。
复合函数的计算需要注意两个函数的定义域和值域是否能够对应，同时要按照正确的顺序进行运算。
二、反函数反函数是指一个函数与其原函数之间存在互为倒数的关系。
如果一个函数f(x)存在反函数，则记作f^(-1)(x)，满足以下条件：1. 对于f(x)的定义域内的任意x，都有f^(-1)(f(x)) = x。
2. 对于f^(-1)(x)的定义域内的任意x，都有f(f^(-1)(x)) = x。
需要注意的是，并非所有函数都有反函数。
在定义反函数时，需要保证原函数是一一对应的。
例如，假设有一个函数f(x) = 2x + 1，我们希望求它的反函数。
首先将f(x)表示为y，即y = 2x + 1，然后交换x和y，得到x = 2y + 1。
接下来解方程，将x表示为y的函数形式，得到y = (x - 1) / 2。
因此，函数f(x)的反函数为f^(-1)(x) = (x - 1) / 2。
需要注意的是，反函数的定义域和值域与原函数相反。
即原函数f(x)的定义域为X，值域为Y，则反函数f^(-1)(x)的定义域为Y，值域为X。
浅谈对复合函数的认识
浅谈对复合函数的认识
复合函数是指由两个或两个以上函数顺序连接组成的函数，由多个函数的乘积或和组成。
它的定义域是函数的定义域的乘积；它的值域是函数的值域的乘积；它的类型可以是一元
复合函数，二元复合函数，也可以是三元复合函数。
复合函数是在数学中常用的一种函数，它是由一个或两个以上的函数组合而成的。
复合函
数和普通函数类似，可以有单调性，对称性或周期性等特点。
而且，复合函数不光可以表
达一次函数，它还可以表达二次函数和更多阶的函数。
在实际的应用中，复合函数有许多的作用。
例如，它可以用来表示复杂事物的总体行为；
它可以用来描述曲面等形状；它可以帮助我们求解维数更高的函数；它还可以用于编写精
确的程序等。
总之，复合函数在数学中有着广泛的应用。
学习和掌握它可以帮助我们掌握许多数学知识，并有效地利用它们解决复杂的问题。
因此，我们应该加强对复合函数的学习，十分重视这
一方面的学习。
复合函数题型及解法
复合函数题型及解法一、什么是复合函数在数学中，复合函数是由多个函数组合而成的新函数。
如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为(f o g)(x) = f(g(x))。
其中，o代表函数的复合运算符。
二、复合函数的求导法则2.1 复合函数的链式法则对于复合函数(f o g)(x)，它的导数可以通过链式法则求得。
链式法则的表达式为：(f o g)‘(x) = f’(g(x)) * g’(x)其中，f’表示函数f的导数，g’表示函数g的导数。
2.2 复合函数的一般法则对于复合函数(f o g)(x)，如果f(x)和g(x)都可导，则它的导数可以通过一般法则求得。
一般法则的表达式为：(f o g)‘(x) = f’(g(x)) * g’(x)三、复合函数的题型及解法3.1 题型一：求复合函数的导数3.1.1 题目描述已知函数f(x)和g(x)，求复合函数(f o g)(x)的导数。
3.1.2 解题思路根据复合函数的导数求解法则，可以通过以下步骤求解：1.求函数f(x)和g(x)的导数f’(x)和g’(x)；2.将f’(x)和g’(x)代入链式法则的表达式中，求得复合函数的导数。
3.1.3 解题示例已知函数f(x) = x^2和g(x) = sin(x)，求复合函数(f o g)(x)的导数。
解： 1. 求导数f’(x)和g’(x)： - f’(x) = 2x - g’(x) = cos(x) 2. 将f’(x)和g’(x)代入链式法则的表达式中，求得复合函数的导数： - (f og)‘(x) = f’(g(x)) * g’(x) = 2x * cos(x)3.2 题型二：求复合函数的值3.2.1 题目描述已知函数f(x)和g(x)，求复合函数(f o g)(x)在某个点x=a的值。
3.2.2 解题思路可以通过以下步骤求解：1.计算g(a)的值；2.将g(a)的值代入f(x)的表达式中，计算复合函数的值。
高中复合函数
高中复合函数复合函数是数学中一种重要的函数，它把两个函数泛化为一个函数，二者在实践中有着许多有用的应用。
高中复合函数在数学教师的课堂中是常见的，分为数学考试题的考试内容。
本文将介绍复合函数的定义、性质、图象表示与常见高中复合函数，以帮助读者全面了解复合函数的内容。
一、定义复合函数的定义是把两个函数f（x）和g（x）结合起来构成一个新的函数，叫做复合函数。
通常形式为：h（x）=f（g（x））。
若f （x）、g（x）是定义在A和B上的函数，则复合函数h（x）也是定义在A上的函数。
二、性质1.合函数的定义域和值域分别是两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域的交集，并且复合函数h（x）的定义域可以更小。
2.果复合函数h（x）=f（g（x）），函数f（x）和g（x）可以互换，而新的复合函数H（X）=g（f（x））也是复合函数。
3.合函数可以看作由函数f（x）所包含的所有函数组成的集合，这些函数的参数都是有限的，由函数g（x）的值决定。
三、图象表示图象表示一个复合函数的形式是把每一步的函数用图形表示出来。
例如复合函数h（x）=f（g（x）），把f（x）和g（x）图象放在一起，它们的结合就可以表示复合函数h（x）的定义域和值域。
四、常见的高中复合函数1. 一阶复合函数：形式为h（x）=f（g（x）），其中f（x）和g （x）都是一阶函数，例如h（x）=x2+3x+3。
2. 二阶复合函数：形式为h（x）=f（g（x）），其中f（x）和g （x）都是二阶函数，例如h（x）=x3+3x2+3x+1。
3. 三阶复合函数：形式为h（x）=f（g（x）），其中f（x）和g （x）都是三阶函数，例如h（x）=x4+4x3+6x2+4x+1。
4.式复合函数：形式为h（x）=f（g（x）），其中f（x）和g（x）都是多项式，例如h（x）=x3+2x+1。
五、结论高中复合函数是数学考试的重要考察内容，其定义、特征、图象表示及常见的高中复合函数等有助于高中生更好的认识复合函数的内容，从而更高效的复习复合函数的内容。
全面剖析复合函数及性质
全面剖析复合函数及性质山东省汶上县第一中学 （272500） 丁阳会一、复合函数的定义.一般地，对于两个函数y =f (u )和u =g(x),如果通过u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y =f (u )和u =g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)),其中函数y =f (u )称为外函数，函数u =g(x)称为内函数，u 称为中间变量。
复合函数可以分解为几个简单函数即内函数和外函数，例如复合函数21x y -=由外函数u y =和内函数21x u -=两个基本初等函数复合而成的。
二、复合函数的定义域.复合函数))((x g f y =可以分解为⎩⎨⎧==（内函数）（外函数）),(),(x g u u f y ， 该复合函数的对应关系可以理解为自变量x 以u 为中间变量通过g f 与两个对应关系对应到y ，即y u x f g −−−→−−−−→−对应关系对应关系，其中外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域，外函数)(u f y =的值域是复合函数))((x g f y =的值域，内函数)(x g u =的定义域是复合函数))((x g f y =的定义域。
（一）已知)(x f 的定义域，求))((x g f 的定义域。
已知函数)(x f 的定义域为[a,b],则函数))((x g f 的定义域是指满足不等式a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围; 例1.已知)(x f 的定义域为[1,2]，求函数)1(2x f y +=的定义域.分析：)1(2x f y +=可以分解为⎩⎨⎧+==21)(xu u f y ，外函数)(u f y =的定义域[1,2]是内函数21x u +=的值域，求复合函数的定义域，只须解不等式2112≤+≤x ，便可求出其定义域.解： 由2112≤+≤x 得1≤x ,即1≤x ，11≤≤-∴x∴函数)1(2x f y +=的定义域是[-1，1]。
复合函数(讲义)
复合函数(讲义)1.复合函数定义如果函数y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f(g(x))就被称为复合函数，其中f(u)是外层函数，g(x)是内层函数，u是中间变量。
2.复合函数定义域的求法①如果y=f(x)的定义域为[a,b]，那么复合函数y=f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；②如果y=f(g(x))的定义域为[a,b]，那么函数y=f(x)的定义域即为x∈[a,b]时g(x)的取值范围。
注：同一对应法则f下的范围相同，即f(u)、f(g(x))、f(h(x))三个函数中，u，g(x)，f(x)的范围相同。
3.复合函数的单调性口诀：同增异减。
已知函数y=f(g(x))，则求其单调区间的一般步骤如下：1）确定定义域；2）将复合函数y=f(g(x))分解成：y=f(u)，u=g(x)；3）分别确定这两个函数的单调区间。
4.复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇。
即：f(x)。
偶函数。
偶函数。
奇函数。
奇函数g(x)。
偶函数。
奇函数。
偶函数。
奇函数f(g(x))。
偶函数。
偶函数。
偶函数。
奇函数精讲精练】1.1）f(g(x))=2(3x-5)+3=6x-7，g(f(x))=3(2x+3)-5=6x+4 2）f(x+1)=(x+1)²+1= x²+2x+22.1）f(x²)，则x²≥0，即定义域为[0,+∞)f(x-2)，则x-2≥0，即定义域为[2,+∞)2）f(x+1)，则x+1∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]f(2)，则2∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]3）f(2x)，则2x∈[-1,+∞)，即定义域为[-1/2,+∞)f(log₂x)，则log₂x∈[-1,+∞)，即定义域为[1/2,+∞) 4）f(x)=log₃x，则定义域为(0,+∞)3.1）y=log₁⁄₂(x²+6x+13)，x²+6x+13>0，即x∈(-∞,-3]∪(-3,-2]∪(-2,+∞)，值域为(-∞,+∞)2）y=(f(x²)+f(2-x))/(2-x²)，x²≤2，即x∈[-√2,√2]，(2-x)²>0，即2-x≠0，即x≠2，值域为(-∞,a]∪[b,+∞)，其中a=f(2-√2)+f(√2-2)，b=f(2+√2)+f(-√2-2)3）y=log₂(4x²-1)，4x²-1>0，即x∈(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)，值域为(-∞,+∞)4.已知y=ax²/(x²+1)-11x²/(x²+4)，化简得y=-3x²(x²+1)/(x²+4)(x²+1)，x²+4>0，即x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)，x²+1>0，即x∈(-∞,+∞)，因此定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)，值域为(-∞,0]1.函数f(x)=3x^2-18x+24在x∈[1,8]时有最小值8，则函数的最小值为8，求a的值。
复合函数的含义
复合函数含义：函数y=log 2x 是对数函数，那么函数y=log 2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log 2u ，u=2x-1，因此函数y=log 2(2x-1)是由对数函数y=log 2u 和一次函数u=2x-1经过复合而成的。
一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
简言之：复合函数就是: 把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: f(x) = 3x+5, g(x) = x 2+1; 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x 换成g(x),f(g(x)) = 3g(x)+5 = 3(x 2+1)+5 = 3x 2+8.对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型： （一）求复合函数表达式； （二）求复合函数相关定义域； （三）复合函数的单调性； （四）函数性质等与复合函数结合。
新课程中复合函数相关题： 7，如果tt t g tt t f -=+=1)(,1)(，证明：)(2)()(2t g t g t f -=-。
8、已知函数)(x f 与)(x g 分别由下表给出，那么_____________________))1((=f f _____________________))2((=g f _____________________))3((=f g _____________________))4((=g g9、设函数32)(+=x x f ，函数53)(-=x x g ，求))(()),((x f g x g f 。
7、已知)(x f 是一个定义在R 上的函数，求证：（1）)()()(x f x f x g -+=是偶函数；（2）)()()(x f x f x h --=是奇函数。
复合函数的名词解释
复合函数的名词解释
复合函数是数学中常见的一种函数，是由两个或以上的函数组合而成的函数，也叫做组合函数。
一般地，它表示为f（g（x）），其中称f（x）为内函数，称g（x）为外函数，f（x）为外函数的值，g （x）为内函数的自变量。
复合函数表示的是外函数的结果又作为内函数的自变量的值，从而得到一个复合的函数。
例子：f（x）=3x+2和g（x）=x^2，f（g（x））=3x^2+2。
复合函数的求导有两种方法，联立法和链式法。
联立法是指将内函数和外函数分别求导，然后将两个求导式联立求解；链式法是指将外函数和内函数连在一起，形成一个连续的函数式，再进行求导操作。
例如，求f（g（x））的导数，由联立法可以求得f（g（x））的导数为f（g）g（x），而由链式法求得f（g（x））的导数为f（g（x））g （x）。
复合函数在许多学科中都有应用，特别是在统计学上，它主要用来分析特定事件或现象的发生概率以及计算所涉及的变量之间的关系。
例如，在计算社会经济收入差距时，复合函数可以用来计算两个变量之间的关系，而不受因素的具体数量的限制，从而能够准确地推断出收入差距的程度。
此外，复合函数也可以用来计算使用了不同发电技术的发电厂的发电量，从而可以迅速地掌握不同发电技术的收益情况，从而制定出优化的能源与电力计划。
总之，复合函数可以看作是函数的组合，是数学中一种非常常见
的函数，是许多学科应用中的重要工具，有着非常广泛的用途。
它既能够求解变量之间的关系，又能够计算特定变量的发生概率，为推断事件及现象做准备，能够帮助我们迅速有效地解决实际问题。
复合函数思想总结要点
复合函数思想总结要点复合函数思想是离散数学中一个重要的概念，指的是把一个函数作用于另一个函数，得到一个新的函数。
它在数学中有着广泛的应用，尤其在组合数学、图论、逻辑和计算机科学中。
复合函数的定义是：设有两个函数f(x)和g(x)，其中g的定义域包含了f(x)的值域，那么复合函数h(x) = f(g(x))就是把g(x)的值作为f(x)的自变量，得到的新函数。
复合函数的记法可以写作h = f ∘ g。
复合函数思想的一个重要特点是可以通过反复应用函数来构建更复杂的函数。
例如，假设有一个函数f(x)表示两个数相乘，另一个函数g(x)表示将一个数加上3，那么可以构建复合函数h(x) = f(g(x))。
这个函数表示先将x加上3，再将结果与x相乘，得到的新函数。
通过复合函数思想，可以将简单的函数结合起来，构建出更加复杂的函数，实现更加复杂的计算。
复合函数思想在组合数学中有着重要的应用。
例如，在排列组合中，可以使用复合函数来计算出各种组合方式的数量。
假设有n个物品，要求从中选择k个物品，可以使用复合函数来表示选择的过程。
先定义一个函数f(x)表示选择一个物品，然后复合该函数k次，得到的新函数表示从n个物品中选择k个物品的所有方式。
通过这种方式，可以方便地计算出排列组合的数量。
复合函数思想还在图论中有着广泛的应用。
在图论中，可以将图中的节点和边表示为函数，并使用复合函数来表示节点和边之间的关系。
例如，在有向图中，可以使用一个函数f(x)表示从节点x出发的边，然后通过复合函数来表示两个节点之间的路径。
通过复合函数思想，可以方便地计算出节点之间的关系，并解决一些实际问题，如最短路径、最小生成树等。
在逻辑中，复合函数思想可以用来表示命题之间的关系。
设有两个命题P和Q，分别表示命题P和命题Q的真值，可以使用一个函数f(x)来表示P和Q之间的关系，然后通过复合函数来表示复杂的逻辑关系。
例如，可以定义一个函数g(x)表示“非x的真值”，然后通过复合函数h(x) = f(g(x))来表示“非P和非Q”的真值。
什么是复合函数
什么是复合函数
复合函数指变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系。
1、当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0.函数xyz之间的关系可以将原函数改写为关于两个不同变量的函数，对x求导就需要对u与v分别求导，再通过u，v对x求导根据其定义最后相加。
2、复合分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
复合求导要运用链式法则。
即函数z=f（x，y），其中x=g（t），y=h （t），g（t）和h（t）是可微函数。
假设z=f（u，v）的每一个自变量都是二元函数，也就是说，u=h（x，y），v=g（x，y），且这些函数都是可微的。
3、复合函数求导的前提是复合函数本身及所含函数都可导。
函数四则运算的算式并不需要一定有四种运算符号，一般指由两个或两个以上运算符号及括号，把多数合并成一个数的运算。
高一数学复合函数讲解
1、复合函数的概念如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。
例如：函数是由复合而成立。
函数是由复合而成立。
a是中间变量。
2、复合函数单调性由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。
对任意，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。
∵当a＞1时，∵y=f（u）是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地，当0＜a＜1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。
有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。
注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。
例1、讨论函数的单调性（1）（2）又是减函数∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。
②x∈（-1，3）令∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。
∵是增函数∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。
注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。
1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。
2、已知求g（x）的单调区间。
提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。
复合函数名词解释
复合函数名词解释
复合函数是由两个或多个函数组成的函数形式，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
通过将不同的函数组合在一起，可以创建出更复杂的函数。
在数学中，复合函数通常用符号表示为f(g(x))，表示先对x应用函数g，然后将其结果作为f的输入。
这样可以将多个函数的操作连在一起，以便一次性对输入进行多次处理。
复合函数可以用于解决各种数学问题和模型，例如函数的变换、复杂方程的求解等。
在计算机科学中，复合函数常用于描述程序中的函数调用关系。
通过将多个函数组合在一起，可以实现更复杂的功能。
例如，在一个程序中，一个函数的输出可以作为另一个函数的输入，以便在不同的环境下进行计算。
复合函数在算法设计、程序设计和数据处理等领域中都具有重要的应用价值。
总之，复合函数是由多个函数组合而成的函数形式，可以通过将不同函数的操作连在一起，实现对输入的多次处理或者实现复杂的功能。
高考数学知识点之复合函数
2019年高考数学知识点之复合函数在学习过程中，很多同学在遇到这样的问题时容易犯错误：例 f(x)的定义域为[2,3]，求f(x+1)的定义域答案究竟是[1,2]还是[3,4]呢?很多同学会在这个问题上踌躇。
有些时候一些小问题弄不明白其实反映的是知识体系上的一个大缺漏。
在这个问题上踌躇说明同学对复合函数的定义还并没有理解透彻，因此顺着这样一条线索我们来一同复习一下复合函数相关的知识要点。
一、复合函数的概念从映射的角度来说，复合函数f(g(x))就是从一个集合D先通过对应关系f映射到集合A，再从A通过对应关系g映射到集合B上。
其中x的定义域为集合D，f(g(x))的值域为集合B。
从函数的嵌套这一角度来说，就相当于从集合D中取一个x值，先算出g(x)的值再带入f()里头进行计算得到的结果。
实际出现的比较容易让人混淆的复合函数，其特征主要是f()括号内部类似x，却不是x。
例如f(-x)、f(x+1)等，其实都是复合函数。
请注意，只有f()括号内部是x，而不是其他值的时候，f(x)才不是复合函数，否则请一律以复合函数对待。
二、复合函数的定义域首先我们必须明确定义域这个概念指的是什么。
在这里，很多同学混淆了定义域和使对应关系f有意义的范围这两个概念。
定义域指的是自变量可以取值的范围。
而使对应关系f 有意义的范围则代表f()那个括号里头可以代入的一切有意义的值，并没有对自变量作出要求。
例如f(x)=1/x，其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，而使对应关系f有意义的范围与之相同。
然而对于函数f(x+1)，其定义域应该是自变量可以取值的范围，而自变量x=-1时x+1=0，导致分母为0，因此x≠-1，故定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)，然而使对应关系f 有意义的范围依然是(-∞,0)∪(0,+∞)。
区分清楚这两点之后，我们便可以解决本文开头的问题。
题目所给对应关系f有意义的范围是[2,3]，而我们将f(x+1)看成复合函数f(g(x))，为使得f(g(x))有意义，g(x)∈[2,3]，于是解得x∈[1,2]。
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复合函数含义：函数y=log 2x 是对数函数，那么函数y=log 2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log 2u ，u=2x-1，因此函数y=log 2(2x-1)是由对数函数y=log 2u 和一次函数u=2x-1经过复合而成的。
一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
简言之：复合函数就是: 把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: f(x) = 3x+5, g(x) = x 2+1; 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x 换成g(x),f(g(x)) = 3g(x)+5 = 3(x 2+1)+5 = 3x 2+8.对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型： （一）求复合函数表达式； （二）求复合函数相关定义域； （三）复合函数的单调性； （四）函数性质等与复合函数结合。
新课程中复合函数相关题： 7，如果tt t g t t t f -=+=1)(,1)(，证明：)(2)()(2t g t g t f -=-。
8、已知函数)(x f 与)(x g 分别由下表给出，那么_____________________))1((=f f _____________________))2((=g f _____________________))3((=f g _____________________))4((=g g9、设函数32)(+=x x f ，函数53)(-=x x g ，求))(()),((x f g x g f 。
7、已知)(x f 是一个定义在R 上的函数，求证：（1）)()()(x f x f x g -+=是偶函数；（2）)()()(x f x f x h --=是奇函数。
20、求满足下列条件的函数)(x f 的解析式： （1）23)1(+=+x x f ；（2）13)2(2+=x x f 。
22、如果1)(+=x x f ，试求)))(((x f f f 的表达式，并猜一猜）（个+∈N n x f f f f fn ))))((((的表达式。
23、（1）函数)(x f y =与)(x f y -=的图象之间有什么关系？（2）已知函数12)(2--=x x x f 的图象如图所示，画出下列函数的图象：①)(x f y -=；②)(x f y -=；③1)(+=x f y ；④)2(-=x f y 。
（必修1 p94 ）⑴已知20()2000x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，，，，则(4)___[(3)]___f f f =-=，．⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出，那么(f ⑶已知函数2()1f x x =+，①求()(1)(1)f a f a f x ++，，； ②若函数()1g x x =+，求(())f g x ． 变题：已知函数x x f =)(，1)(2-=x x g ，求：①)(a f ；②(())f g x ；③(())f g x 的定义域；④))((x f g ．⑷已知函数()21[12]f x x x =-∈-，，，2()32[25]g x x x x =+∈，，，求[()]f g x .（一）求复合函数表达式；例1.已知f(x)=x+，g(x)=x 2-2，求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式。
例2、（1）设 f(x)=2x -3 g(x)=x 2+2 求f[g(x)]（或g[f(x)]）。
（2）已知：f(x)=x 2-x+3 求：f(x1) f(x+1) （二）求复合函数相关定义域；一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
例1 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --【评注】所谓定义域是指函数中自变量x 的取值范围，因此我们可以直接将复合函数中x x 22+看成一个整体x ，即由30≤<x 可得3202≤+<x x ，解出x 的范围即可。
（2006年湖北卷）设()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 （B ）A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 -- 二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
例2 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 解 21≤≤-x ， 5231≤-≤-∴x ， 故函数()x f 的定义域为[]5,1-【评注】由()x f 23-的定义域为[]2,1-得21≤≤-x ，有的同学会误将此x 的范围当作()x f 的定义域，为了更易分清此x 非彼x ，我们可将x 23-令成一个整体t ，即x t 23-=，先解出()t f 的定义域，即为()x f 的定义域。
三、已知复合函数()][x g f 的定义域，求()][x h f 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
例3 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x 即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x 故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1四、已知()x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例4 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a 求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域 解 ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤m b x m a mb x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20ab m -≤<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+【评注】由于所得不等式组中两个不等式的四个“端点”都含有字母，所以既要分别判断它们左、右端点值的大小，还要交叉判断第一个不等式的左端点与第二个不等式的右端点和第一个不等式的右端点与第二个不等式的左端点的大小，需要特别指出的是，函数的定义域不能是空集。
（三）复合函数的单调性；函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减” .定理：设y=f(u)，u=g(x)，已知u=g(x)在[a ，b]上是单调增(减)函数，y=f(u)在区间[g(a)，g(b)](或[g(b)，g(a)]上是单调增(减)函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a ，b]上一定是单调函数，并有以下结论：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。
一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：例1 (95·全国·理)已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 解：设y= log a u ，u=2-ax ，∵a 是底数，所以a>0，∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数， ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax ，由{g(0)=2-a ·0>0g(1)=2-a ·1>0，解得a<2，∴1<a<2，故选(B).二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：例2 (84·全国·理)函数y=log 0.5(x 2+4x+4)在什么区间上是增函数？ 解：令y= log 0.5u ，u= x 2+4x+4，由x 2+4x+4>0知函数的定义域为x ≠0，因y= log 0.5u 在u ∈(0,+∞)上是减函数，而u= x 2+4x+4在x ∈(-∞，-2)上是减函数，在(-2，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=log 0.5(x 2+4x+4) 在x ∈(-∞，-2)上是增函数.例3.讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。
解：函数定义域为R 。
令u=x 2-4x+3，y=0.8u。
指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，u=x 2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。