华南师范大学高等代数讲义
《高等代数》第一章主要内容
§1.4 整数的一些整除性质
• • 整除概念：设a,b是两个整数.如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b （或者说b被a整除）用符号a∣b来表示a整除b.这时a叫作b的一个因数，而b叫 作a的一个倍数. 整除的基本性质：⑴ a∣b，b ∣ c＝＞a ∣ c. ⑵ a∣b, a ∣ c ＝＞a ∣ (a+b). ⑶ a∣b,而c∈Z ＝＞a ∣ bc. 由⑵与⑶得⑷ a∣bi,而ci ∈Z ,i=1,2, …,t ＝＞ a ∣ (b1c1+ …+btct). ⑸每一个整数都可以被1和-1整除. ⑹每一个整数a都可以 被它自己和它的相反数-a整除. ⑺ a∣b且b ∣ a ＝＞b=a 或 b=-a. 定理1.4.1（带余除法）设a,b是整数且a≠0,那么存在一对整数q和r，使得 b=aq+r 且0≦r ﹤∣a∣. 满足以上条件的整数q和r是唯一确定的. 最大公因数概念：设a,b是两个整数. 满足下列条件的整数d叫作a与b的一个最大 公因数： （ⅰ）d∣a,d∣b; （ⅱ）如果c∈Z 且c∣a,c∣b,那么c∣d . 一般地， 设a1,a2, …,an是n个整数.满足下列条件的整数d叫作a1,a2, …,an 的一个最大公 因数（ⅰ）d ∣ai, i=1,2, …,n ；（ⅱ） 如果c∈Z 且c∣ ai, i=1,2, …,n,那么 c∣d. 定理1.4.2 任意n(n≧2)个整数a1,a2, …,an 都有最大公因数.如果d是 a1,a2, …,an 的一个最大公因数，那么-d也是一个最大公因数； a1,a2, …,an 的 两个最大公因数至多相差一个符号. 定理1.4.3 设d是整数a1,a2, …,an 的一个最大公因数，那么存在整数t1,t2, …,tn， 使得 t1a1+t2a2+…+tnan=d. 定理1.4.4 n个整数a1,a2, …,an 互素的充要的条件是存在整数t1,t2, …,tn，使 得 t1a1+t2a2+…+tnan=1. 定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数a与b的乘积，那么它至少整除a与b中的 一个
高等代数2.1-引言
联合收入问题
R,S,T三公司有右 三公司有右 图股份关系。 公司 图股份关系。R公司 拥有T公司60%股份 公司60%股份， 拥有 公司60%股份， 公司掌握R公司 T公司掌握 公司 20%股份 ，R,S,T 股份…， 股份 各自营业净收入分别 10、 万元。 是10、8和6万元。求 各公司联合收入及实 际收入。 际收入。
+
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例2．求 n 级排列 135 (2n 1)(2n)(2n 2) 42 ． 的逆序数. 的逆序数.
方法一
解：135 (2n 1)(2n)(2n 2) 42
12
n1
n1
1
τ = 1 + 2 + + (n 1) + (n 1) + + 2 + 1 = n(n 1)
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定理1 定理
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 证明 1) 特殊情形：作相邻对换 特殊情形： 设排列为
a1 al ab b1 bm ab
对换 a 与 b
a1 al ba b1 bm
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 = b1a22 a12b2 ;
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类似地， 类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x1 = b1a22 a12b2;
（a11a22 a12a21）x2 = a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 ≠ 0 时， 原方程组有唯一解
除 a , b 外，其它元素所成逆序不改变. 其它元素所成逆序不改变
高等代数第一讲代数系统PPT课件
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
高等代数宣讲(第一章-第五章)
在本课程主要讲两个内容:1、知识总结2、例题选讲分七块选讲：1、多项式 2、行列式 3、线性方程组与矩阵4、二次型5、线性空间与线性变换6、欧式空间7、λ矩阵例题又涉及单个内容的，也有涉及综合内容的。
一、多项式主要内容：多项式的次数的概念：多项式的加减乘除四种运算在除法运算中，分整除与不整除两种情况。
带余除法会用，最大公式求法、性质、互素的概念、性质、判别，因式分解、重因式、根、实子数、复子数、有理子数多项式的因式分解。
二、 例题选讲：1、设1P ，2P ，...， S P ,是S 个互不相同的素数，n>1. 证明:作多项式f (x )=nx - 12...S PP P （利用爱森斯坦判别法）它在有理数域上不可解，故f (x )为f (x )的根，故它不是有理数。
用反证法也可以。
2、设f(x)是一个n 次多项式，f '(x)f(x) ⇔f (x )证明有n 重根。
证明： 充分性：设f(x)有n 重根α，则f(x)=n a(x-)α, 则f '(x)=n n-1a(x-)α，显然f '(x)f(x).必要性：设12s ,,..., ααα是f '(x) 的所有互不相同的根，且重数分别为m 1, m 2… m s ,则m 1+m 2+… +m s =n -1 (1) 由于f '(x)f(x)，所以12s ,,..., ααα是f(x)的根且重数分别为m 1+1, m 2+1… m s +1，于是（m 1+1）+（m 2+1）+… +（m s +1）=n （2）由（1）（2）得，n-1+s=n ⇒ s=1, 故f '(x)只有一个根，重数为n-1.故α是f(x)的n 重根。
3、证明：多项式f(x)= 33132m n p xx x ++++能被21x x ++整除。
证明：设ε是21x x ++的任一根，则21εε++=0，于是3ε=1331323322()()10m n p n p εεεεεεεεε++++=+=++=4、设f(x)与g(x)不全为0，n 为任意正整数，证明n (f(x),g(x))=n n(f (x),g (x))。
高等代数习题课指导讲义
高等代数习题课指导高等代数习题课是在各章小单元授课基础上，帮助学生疏理相应小单元基础知识而设立的以练为主、讲练结合的教学形式，使学生进一步理解已授知识的重点，帮助学生克服学习中的难点，因而是整个课程教学的基本环节之一。
教学中应明确目的，把握全局，突出练习，以提高习题课的教学质量。
习题课1 矩阵的运算与可逆矩阵（2学时）教学目的 通过2学时的习题课教学实践，使学生进一步理解、掌握矩阵运算及其可逆矩阵的基础知识与基本方法，把握矩阵证题的基本技巧。
基础提要 略述（结合课堂练习题的解释，点述主要概念、相关定理及其基本方法）。
课堂练习：1 计算AB ，BA ，AB －BA ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a c b b c a B a b c c b a A 111,111． 2 设A ，B ，C ∈)(F M n ．证明，若AB =BA ，AC =CA ，则A (B + C ) = (B + C ) A ；A (BC ) = (BC ) A ．3 设A = )()(F M a n nn ij ∈，A 的主对角元素nn a a a ,,,2211 的和∑=ni ii a 1叫做A 的迹，记作A Tr ．设A ，B )(F M n ∈，证明：1);Tr Tr )(Tr B A B A +=+ 2);,Tr )(Tr F k A k kA ∈=3));(Tr )(Tr BA AB = 4)AB －BA n I ≠．4 设A n M ∈(R )，且A '= A ．证明，若2A = 0，则A = 0．5 设A = B +C 机遇)(F M n ∈，其中C C B B -='=',．证明下列命题彼此等价：1) A A A A '='； 2)BC = CB ； 3)CB 是反对称矩阵．6 设)(F M A n ∈，且A 2+A +I n =0．证明，A 可逆；并求A -17 设)(F M A n ∈是对合矩阵, 即n I A =2,且n I A ±≠.证明：1)A 是可逆矩阵, 并求1-A . 2)A I n +与A I n -都是奇异矩阵.8 设A ，B ，C )(F M n ∈．证明：1)若A 非奇异，则AB = AC ⇒B = C ；2)若A 奇异，则1)的结论未必成立(举例说明)．9 设)(F M A n ∈可逆，且1-A =nn ij b )(，求,)(1-A P ij ,))((1-A k D i )((k T ij 1)-A ．10 设n M A ∈(R )．证明若以下三命题有两个成立，则其第三个也成立：1) A 是对称矩阵； 2) A 是对合矩阵； 3) A 是正交矩阵．课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。
高等代数 讲义 第七章
(στ ) δ
= σ (τδ )
D( f ( x )) = f ′( x )
J ( f ( x ) ) = ∫ f ( t )dt
x
（2） Eσ = σ E = σ ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
( DJ ) ( f ( x ) ) = D ∫0 f ( t ) dt
x
στ ≠ τσ .
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即
若 β = k1α1 + k2α 2 + L + krα r , 则 σ ( β ) = k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ).
例4. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间
C ( a , b ) 上的变换
σ ( X ) = AX , τ ( X ) = XB ,
∀X ∈ P n×n
则 σ ,τ 皆为 P n×n 的线性变换，且对 ∀X ∈ P n×n , 有
(στ )( X ) = σ (τ ( X )) = σ ( XB ) = A( XB ) = AXB , (τσ )( X ) = τ (σ ( X )) = τ ( AX ) = ( AX ) B = AXB .
= σ (τ (α )) + σ (τ ( β )) = (στ )(α ) + (στ )( β ), (στ )( kα ) = σ (τ ( kα )) = σ ( kτ (α )) = kσ (τ (α )) = k (στ )(α )
§7.1 线性变换的定义
２．基本性质
（1）满足结合律：
例1. 线性空间 R[ x ]中，线性变换
高等代数讲义 (PDF经典版)
第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。
1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。
如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有b a K a b K K b ab ∈≠∈/0时，，且当，∈±为一个数域。
，则称K 例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {i |∈Q }，其中i =b a +b a ,1−。
命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。
证明 设K 为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。
于是K aaK a a ∈=∈−=10，。
进而Z ,∈∀m 0>K m ∈+……++=111。
最后，Z ，∈∀n m ,0>K n m ∈，K nmn m ∈−=−0。
这就证明了Q ⊆K 。
证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与S A B 的公共元素所组成的集合成为与A B 的交集，记作B A ∩；把和B 中的元素合并在一起组成的集合成为与A A B 的并集，记做B A ∪；从集合中去掉属于A B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B 的差集，记做。
A B A \定义（集合的映射） 设、A B 为集合。
如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应f A a f B 中唯一确定的元素（记做），则称是到)(a f f A B 的一个映射，记为).(,:a f a B A f a →如果B b a f ∈=)(，则称为在下的像，a 称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的b a f b f A f B 的子集称为A 在下的像，记做，即f )A (f {}A a f A f ∈a =|)()(。
高等代数讲义ppt第七章 线性变换
(4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E， 证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设1, 2 , , n是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量 1,2 , ,n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使任的何像得元，素只都要可选以取是适基当
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A(0) 0, A( ) A()
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。
例3 设 1,2, ,r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线
线性变换的加法满足以下运算规律：
(1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
(2) A + B = B + A
线性变换
§2 线性变换的运算
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
(kA) k A, V
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。
Amn AmAn , (Am )n Amn, m, n N
高等代数知识点总结课件
行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式 值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相 反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列 式的值。
04
线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图 像为一条直线。在高等代数中，线性 函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加 法性质、数乘性质、零元素性质和负 元素性质等。这些性质在解决实际问 题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足 欧几里得几何的公理。在欧几里得空间 中，向量的长度和角度都可以用实数表 示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉 几何的公理。在酉空间中，向量的长度和 角度都可以用复数表示。酉空间在量子力 学、信号处理等领域有广泛应用。
高考数学高考辅导讲义 华师版
高考数学高考辅导讲义一．高考命题的设计思想以前，数学科高考强调考察数学知识和数学能力．但是在命题的过程中，经常斟酌哪些知识要考，哪些知识不要考；排列双向细目表时，以知识内容为主题来考虑所要考察的认识层次；编拟“压轴题”时，首先考虑考察内容落实在哪个知识点上；编拟客观题时考虑的是还有哪些知识点没有考到，由此再补充试题；试题成卷后要考虑知识覆盖率有多少等等．造成的结果是试题的难度由解题步骤的多寡所确定，区分度由知识的深度（纵向）和知识的广度（横向）所确定，此所谓“深挖洞，广积粮”．虽然也考察了某些数学能力，但主要体现的是解题能力．如95年上海卷25题已知二次函数y ＝)(x f 在x ＝22+t 处取得最小值－42t （t ＞0），)1(f ＝0． （1）求y ＝)(x f 的表达式；（2）若任意实数x 都满足等式)()(x g x f ＋x a n ＋n b ＝1+n x（)(x g 为多项式，n ∈N ），试用t 表示n a 和n b ；（3）设圆n C 的方程为2)(n a x -＋2)(n b y -＝1+n x ，圆n C 与1+n C 外切（n ＝1，2，┅），{n r }是各项都是正数的等比数列，记n S 为前n 个圆的面积之和，求n r ，n S ．数学科高考要转变传统的、封闭的学科观念，变知识立意为能力立意．注重考察学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养．二．命题的构思原则1．继续考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力．（1）考察逻辑思维能力观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力，推理、表达的能力．（2）运算能力运算，变形，数据处理，设计合理，简捷的运算途径．（3）空间想象能力由较复杂的图形分解出较简单的、基本的图形，指出相互关系和能画出简单空间图形．2．继续考察数学的基本思想和方法（基础知识与基本技能）（1）基础知识概念、公理、定理、法则、性质、公式及数学思想和方法（2）基本技能进行运算、数据处理和绘制图表的技能．数学的基本思想主要是指函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转换的思想．数学方法包括逻辑方法，如分析法、演绎法、归纳法和反证法等，以及具体的数学方法如配方法、换元法、消元法、待定系数法和数学归纳法等等．3．注重考察学习能力、应用能力、探索能力和创造能力．学习能力主要是指能阅读可能掌握的数学知识，会收集、提炼和加工信息，对阅读的内容进行概括和整理，弄清它的来龙去脉、重点和关键．领悟新的概念和方法，并能作简单的应用（如函数平均值（98年），最小值（99年））．应用能力（应用题）最近几年做了很多有益的尝试，需要加大这方面的考察力度．通过建立简单的数学模型，将实际问题转化为数学问题，并用数学方法加以解决．如喷水池、挖沟等．背景为实际意义的“味道”还显得不够，属于“包装型”的．探索能力主要指运用学过的数学知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等思维形式，对数学问题进行探索和研究的能力．例如给出条件，探究符合条件的数学对象是否存在；给出条件，探究相应的结论；给出结论，探究结论成立的条件；从特殊的数学对象出发，探究一般的规律等．创造能力主要指运用已知信息，开展思维活动，产生某种新颖、独特、有社会或个人价值的产品的能力，是对已掌握知识、方法的推广和拓展，是对未知领域的探索．对中学生来说，在很多情况下，表现为他们自己想出了解决问题的新的方法或策略，同时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，对定理和公式本身的推广得到新的命题等．命题设计框架如下三．命题构思举例通过命题框架结构的确定，以能力立意的命题构思站在了更新的起点上，主要反映在以下三个方面1．高考“压阵”题的命题设计，变难度“压阵”为能力“压阵”，降低了难易程度的坡度，改变了“压阵”题的入选标准（考察的知识容量、逻辑思维段落所占比例，思维障碍的高度等）．以前注重知识的综合、某些解题技巧的运用，伴有较大的运算量．这些试题一般都可以通过一定时间的训练，形成固定的解题模式、记忆性的操作步骤，从而使解题过程变成一系列机械的操作程序．能力型试题牵涉的数学的思想和方法是基本的，不需要解题的技巧，思维容量较大，运算量较小．完成这些试题需要能力的培养和积累，没有固定的模式，无需死记硬背，“题海”和大运动量操练无法应试．2．客观题的命题成为能力型试题设计的广阔天地，利用客观题小型、分少、影响小、易控制的特点，推出新颖的能力型试题，符合稳中求变的宗旨，且改变了客观题的命题设计成为整卷知识点拾遗补缺的一种现象．3．突出思维模式、思维容量和思维层次的考查，减少运算量，控制题量，淡化知识覆盖率．下面通过一些例题来反映能力型试题的一些特点【例1】如图所示，两个同样的坐标轴成45放置构成平面的一个斜坐标系．平面上任一点应用能力 学习能力 探索能力创造能力 能 力基本思想和方法 基本知识点 知识点的积累、掌握和运用P 在斜坐标系xoy 中的坐标（x ，y ）定义如下过点P 作两坐标的平行线分别交两坐标轴于M 、N两点，则x 表示M 点的坐标，y 表示N 点的坐标．（1）设点P 在斜坐标系xoy 中的坐标是P （－2，2），求点P 到原点O 的距离；（2）试求以原点O 为圆心，半径为1的圆在斜坐标系xoy 中的方程．〖解〗（1）2OP ＝2OM ＋2MP －245cos ⋅⋅MP OM ＝2，⇒ OP ＝2；（2）如图建立直角坐标系y xo '，若点P 在xoy 中的坐标为P （x ，y ），在y xo '中的坐标为P （x '，y '），则x '＝x ＋y 22，y '＝y 22． 在坐标系y xo '中，圆的方程为2x '＋2y '＝1，故在斜坐标系xoy 中，圆的方程为2)22(y x +＋2)22(y ＝1，⇒ 2x ＋xy 2＋2y ＝1． 【例2】设a ，b ，c 表示三角形三边的长，均为整数，且a ≤b ≤c ，若b ＝n （正整数），则这样的三角形有几个？〖分析〗（1）当b ＝n ＝1时，b ＝1，a ＝1，由c ≥b ，得c ＝1，2，┅．若c ＝1，得正三角形，若c ≥2，a ＋b ＝2，不能组成三角形，故b ＝n ＝1时，只有1个三角形；（2）当b ＝n ＝2时，a ＝2，c ＝2，3，三角形个数为2个，a ＝1，c ＝2，三角形个数为1个，则1＋2＝3（个）； （3）当b ＝n ＝3时，a ＝3，c ＝3，4，5，三角形个数为3个，a ＝2，c ＝3，4，三角形个数为2个，a ＝1，c ＝3，三角形个数为1个，则1＋2＋3＝6（个）； 〖解〗当b ＝n 时，三角形总数应有1＋2＋3＋┅＋n ＝2)1(+n n （个） 事实上，当b ＝n 时，a 由n 个值，即a ＝1，2，3，┅，n ；对于每一个a 值，若a ＝k （1≤k ≤n ），因为b ≤c ＜a ＋b ，即n ≤c ＜n ＋k ，所以c 的取值刚好有k 个，即c ＝n ，n ＋1，┅，n ＋k －1，故三角形总数为2)1(+n n （个）． 『说明』探求所满足的各种条件，求出在相应的条件下的结论时一种能力．【例3】设)(x f ＝4)1(x a +＋3x －2)23(x a +－4a ，证明： （1）对任意实数a ，方程)(x f ＝0都有实根；（2）存在某个0x ，对任意实数a ，恒有)(0x f ≠0．〖分析〗本题直接针对x 来证明本题是很困难的，故针对a 来考虑．〖证〗)(x f ＝)43(24--x x a ＋4x ＋3x －22x ＝)(a ϕ，它是a 的一次式．对（1），要证明对任意a ，有)(x f ＝0，即)(a ϕ＝0，只需证⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--0204323424x x x x x 有实数解，得x ＝－2； 对（2），只需⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=--020*******x x x x x ，解得0x ＝2． 变形方程4x －22ax －x ＋2a －a ＝0有且仅有两个实根（可以是重根），求a 的取值范围． 〖解〗4x －22ax －x ＋2a －a ＝0 ⇒ 2a －a x )12(2+＋)(4x x -＝0，即)]1()][([22++---x x a x x a ＝0，当2x ＋x ＋1－a ＝0时，△＝1－)1(4a -＝4a －3，当a ≥43有两个实根，当a ＜43无实根； 当2x －x －a ＝0时，△＝1＋4a ，当a ≥－41有两个实根，当a ＜－41无实根． 故a 的取值范围为－41≤a ＜43．（探索条件） 『说明』要找到问题的解决方法，思维必须开阔、灵活，横的不行，试试竖的；平面上不行，空间中试试；正面思考不行，反面考虑试试．这种多角度、多层次的思维方式称之为“立体思维”．【例4】设函数)(x f ＝21x x +，x ∈R ． （1）试讨论在区间（－1，1）内，)(x f 的单调性；（2）证明)1(f 为)(x f 的极大值，)1(-f 为)(x f 的极小值．〖解〗（1）任取－1＜1x ＜2x ＜1，∴)(1x f －)(2x f ＝2111x x +－2221x x +＝)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--，∵－1＜1x ＜2x ＜1，∴1x －2x ＜0，∣21x x ∣＜1，1－21x x ＞0，得)(1x f －)(2x f ＜0，即)(1x f ＜)(2x f ，∴函数)(x f ＝21xx +在区间（－1，1）内是单调递增函数． （2）当x ≠0时，∣)(x f ∣＝21||x x +≤||2||x x ＝21． ∵)1(f ＝21，)1(-f ＝－21， ∴)1(f 为为)(x f 的极大值，)1(-f 为)(x f 的极小值．【例5】已知命题设1a ，2a 与1b ，2b 都是正数，且21a ＋22a ＝1，21b ＋22b ＝1，则11b a ，22b a 中的最小数一定不大于1． （1）试将上述命题推广到n 个比值的情况，写出推广后的命题；（2）证明你所推广的命题．〖解1〗设1a ，2a ，┅，n a 与1b ，2b ，┅，n b 都是正数，且21a ＋22a ＋┅＋2n a ＝1，21b ＋22b ＋┅＋2n b ＝1， 则11b a ，22b a ，┅，nn b a 中的最小数一定不大于1． 〖证2〗①设r r b a 为n 个分数中的最小数，则r r b a ≤kk b a （k ＝1，2，┅，n ）． ∵k b ≥0，∴k r r b b a ⋅≤k a ，⇒ 22)(k r r b b a ⋅≤2k a （k ＝1，2，┅，n ）， 于是)()(222212n r r b b b b a +⋅⋅⋅++≤21a ＋22a ＋┅＋2n a ，即rr b a ≤1． ②反证法．假设n 个分数中的最小数大于1，则全部分数均大于1． 即11b a ＞1，22b a ＞1，┅， nn b a ＞1，⇒ 1a ＞1b ，2a ＞2b ，┅，n a ＞n b ， 得21a ＞21b ，22a ＞22b ，┅，2n a ＞2n b ，∴21a ＋22a ＋┅＋2n a ＞21b ＋22b ＋┅＋2n b ＝1，与已知矛盾．故n 个分数中的最小数一定不大于1．【例6】设等差数列{n a }和等比数列{n b }，1a ＝1b ，2a ＝2b ，且0＜1a ＜2a ． 求证：当n ＞2且n ∈N 时，n a ＜n b ．〖证〗设等差数列{n a }的公差为d ，等比数列{n b }公比为q ．∵0＜1a ＜2a ，∴d ＝2a －1a ＞0，q ＝12b b ＝12a a ＞1． ∵1a ＋d ＝2a ＝2b ＝q a 1，∴d ＝)1(1-q a ．∵q ＞1，∴当n ＞2且n ∈N 时，2-n q ＋3-n q ＋┅＋q ＋1＞n －1，即111---q q n ＞n －1，1-n q －1＞)1)(1(--n q ， ⇒ n b ＝11-⋅n q a ＞)1)(1(1--n q a ＋1a ＝d n )1(-＋1a ＝n a ．∴当n ＞2且n ∈N 时，n a ＜n b ．【例7】若数列{n a }满足n a ＝1-n a ＋2-n a （n ＝3，4，┅），且n n n a a 1lim -∞→存在，求n n n a a 1lim -∞→． 〖解〗设n n n a a 1lim -∞→＝a ，则a ≥0，且)1(lim 1+-∞→nn n a a ＝a ＋1． 而n n a a 1-＋1＝n n n a a a +-1＝n n a a 1+，∴)1(lim 1+-∞→nn n a a ＝a 1， ⇒ a 1＝a ＋1，得a ＝215-．【例8】若1，a ，b 三个正数，既分别是一个等差数列的第l 项，第m 项，第n 项，又分别是一个等比数列的第l 项，第m 项，第n 项，则a ，b 应满足的关系式是 ． 〖解〗（1）设公差为d （d ≠0），则⎩⎨⎧-=--=-dl n b d l m a )(1)(1 ⇒ 11--b a ＝l n l m --；设公比为q （q ≠1），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--l n l m q b q a 11 ⇒ b a lg lg ＝l n l m --＝11--b a ， ∴1-b a ＝1-a b ．（2）若d ＝0，则1＝a ＝b ，且q ＝1，此时也满足1-b a＝1-a b ． 综上可得1-b a＝1-a b ．【例9】已知数列1lg x ，2lg x ，┅，n x lg ，┅为等差数列． （1）若m x lg ＝l ，l x lg ＝m ，（l ≠m ），求数列1x ，2x ，┅，n x 的前l ＋m 项的和；（2）求证：21lg lg 1x x ＋32lg lg 1x x ＋┅＋n n x x lg lg 11-＝nx x n lg lg 11-． 〖解1〗设数列1lg x ，2lg x ，┅，n x lg ，┅的公差为d ，则d ＝2lg x －1lg x ＝3lg x －2lg x ＝┅＝1lg +n x －n x lg ＝┅ ＝12lg x x ＝23lg x x ＝┅＝nn x x 1lg +＝┅， ⇒12x x ＝23x x ＝┅＝nn x x 1+＝┅＝d 10． ⎩⎨⎧=-+==-+=md l x x l d m x x l m )1(lg lg )1(lg lg 11 ⇒ d l m )(-＝l －m ， ∵l ≠m ，∴d ＝－1，1x ＝110-+m l ． 得数列{n x }是以110-+m l 为首项，以d 10为公比的等比数列，m l S +＝1011])101(1[101--+-+m l m l ＝)110(91-+m l ． 〖证2〗∵数列{n x }是等比数列，且q ＞0，则2x ＝q x 1，2lg x ＝1lg x ＋q lg ，21lg lg 1x x ＝)lg (lg lg 111q x x +＝)lg 1lg 1(lg 121x x q -，同理32lg lg 1x x ＝)lg 1lg 1(lg 132x x q -，n n x x lg lg 11-＝)lg 1lg 1(lg 11nn x x q --， ⇒ 原式＝)lg 1lg 1(lg 121x x q -＋)lg 1lg 1(lg 132x x q -＋┅＋)lg 1lg 1(lg 11n n x x q -- ＝)lg 1lg 1(lg 11n x x q -＝n n x x q x x lg lg lg lg lg 11-＝nx x q x q n x lg lg lg lg lg )1(lg 111--+ ＝n x x n lg lg 11-．【例10】设x 、y 、m ∈R ，M ＝{（x ，y ）｜2y ＝x －1}，N ＝{（x ，y ）｜y ＝2x －22m ＋m －2}，则集合M ∩N 中含有元素的个数是 ．〖解〗y ＝2)1(-x －22m ＋m ＝22y －22m ＋m ，得22y －y －22m ＋m ＝0， ⇒))(122(m y m y --+＝0，得y ＝221m -或y ＝m ． 当221m -≠m ，即m ≠41时，含有两个元素； 当221m -＝m ，即m ＝41时，含有1个元素． ∴集合M ∩N 中含有元素的个数是1或2．【例11】在集合{1，2，3，┅，n }，任意取出一个子集，则所有各个子集中元素之和的总和为 ．〖解〗设A 为{1，2，3，┅，n }的子集，且含有元素k （1≤k ≤n ），则对{1，2，3，┅，n }中不等于k 的每个元素i 均有i ∈A 或i ∉A 两种可能，故{1，2，3，┅，n }中含元素k 的子集有12-n 个，所以各个子集中元素之和的总和为)321(21n n +⋅⋅⋅+++-＝)1(22-⋅-n n n ．【例12】不等式)1(-x x ≤)1(y y -的解集中x ，y 能使2x ＋2y ≤k 成立时的k 的最小值为 ．〖解〗)1(-x x ≤)1(y y -⇒2)21(-x ＋2)21(-y ≤21． 圆周上的点到原点的最大距离为2，∴min k ＝2．【例13】当k ∈（0，21）时，方程|1|x -＝kx 的解的个数是 ． 〖解〗设y ＝|1|x -，则2y ＝∣1－x ∣． 当x ≥1时，设y ＝x k '与y ＝|1|x -＝1-x⇒2)(x k '＝x －1，△＝1－42)(k '＝0，得2)(k '＝41， ∵k ∈（0，21），∴有3个解． 【例14】就正数a 的变化情况，讨论22x a -＝2－∣x ∣的相异实根的个数．〖分析〗该方程的实根就是曲线y ＝22x a -（半径为a 的上半圆周）与曲线y ＝2－∣x ∣（固定的折线）交点的横坐标．〖解〗（1）当0＜a ＜1（2）当a ＝1时，有两个切点，故方程有2相异的实根；（3）当1＜a ＜2时，有44个相异的实根；（4）当a ＝2时，有3个交点，故方程有3个相异的实根；（5）当a ＞2时，无交点，故方程没有实根．『说明』用数形结合的方法，交点一目了然．高考辅导讲义一．高考命题的设计思想以前，数学科高考强调考察数学知识和数学能力．但是在命题的过程中，经常斟酌哪些知识要考，哪些知识不要考；排列双向细目表时，以知识内容为主题来考虑所要考察的认识层次；编拟“压轴题”时，首先考虑考察内容落实在哪个知识点上；编拟客观题时考虑的是还有哪些知识点没有考到，由此再补充试题；试题成卷后要考虑知识覆盖率有多少等等．造成的结果是试题的难度由解题步骤的多寡所确定，区分度由知识的深度（纵向）和知识的广度（横向）所确定，此所谓“深挖洞，广积粮”．虽然也考察了某些数学能力，但主要体现的是解题能力．如95年上海卷25题已知二次函数y ＝)(x f 在x ＝22+t 处取得最小值－42t （t ＞0），)1(f ＝0． （1）求y ＝)(x f 的表达式；（2）若任意实数x 都满足等式)()(x g x f ＋x a n ＋n b ＝1+n x（)(x g 为多项式，n ∈N ），试用t 表示n a 和n b ；（3）设圆n C 的方程为2)(n a x -＋2)(n b y -＝1+n x ，圆n C 与1+n C 外切（n ＝1，2，┅），{n r }是各项都是正数的等比数列，记n S 为前n 个圆的面积之和，求n r ，n S ．数学科高考要转变传统的、封闭的学科观念，变知识立意为能力立意．注重考察学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养．二．命题的构思原则1．继续考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力．（1）考察逻辑思维能力观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力，推理、表达的能力．（2）运算能力运算，变形，数据处理，设计合理，简捷的运算途径．（3）空间想象能力由较复杂的图形分解出较简单的、基本的图形，指出相互关系和能画出简单空间图形．2．继续考察数学的基本思想和方法（基础知识与基本技能）（1）基础知识概念、公理、定理、法则、性质、公式及数学思想和方法（2）基本技能进行运算、数据处理和绘制图表的技能．数学的基本思想主要是指函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转换的思想．数学方法包括逻辑方法，如分析法、演绎法、归纳法和反证法等，以及具体的数学方法如配方法、换元法、消元法、待定系数法和数学归纳法等等．3．注重考察学习能力、应用能力、探索能力和创造能力．学习能力主要是指能阅读可能掌握的数学知识，会收集、提炼和加工信息，对阅读的内容进行概括和整理，弄清它的来龙去脉、重点和关键．领悟新的概念和方法，并能作简单的应用（如函数平均值（98年），最小值（99年））．应用能力（应用题）最近几年做了很多有益的尝试，需要加大这方面的考察力度．通过建立简单的数学模型，将实际问题转化为数学问题，并用数学方法加以解决．如喷水池、挖沟等．背景为实际意义的“味道”还显得不够，属于“包装型”的．探索能力主要指运用学过的数学知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等思维形式，对数学问题进行探索和研究的能力．例如给出条件，探究符合条件的数学对象是否存在；给出条件，探究相应的结论；给出结论，探究结论成立的条件；从特殊的数学对象出发，探究一般的规律等．创造能力主要指运用已知信息，开展思维活动，产生某种新颖、独特、有社会或个人价值的产品的能力，是对已掌握知识、方法的推广和拓展，是对未知领域的探索．对中学生来说，在很多情况下，表现为他们自己想出了解决问题的新的方法或策略，同时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，对定理和公式本身的推广得到新的命题等．命题设计框架如下三．命题构思举例通过命题框架结构的确定，以能力立意的命题构思站在了更新的起点上，主要反映在以下三个方面1．高考“压阵”题的命题设计，变难度“压阵”为能力“压阵”，降低了难易程度的坡度，改变了“压阵”题的入选标准（考察的知识容量、逻辑思维段落所占比例，思维障碍的高度等）．以前注重知识的综合、某些解题技巧的运用，伴有较大的运算量．这些试题一般都可以通过一定时间的训练，形成固定的解题模式、记忆性的操作步骤，从而使解题过程变成一系列机械的操作程序．能力型试题牵涉的数学的思想和方法是基本的，不需要解题的技巧，思维容量较大，运算量较小．完成这些试题需要能力的培养和积累，没有固定的模式，无需死记硬背，“题海”和大运动量操练无法应试．2．客观题的命题成为能力型试题设计的广阔天地，利用客观题小型、分少、影响小、易控制的特点，推出新颖的能力型试题，符合稳中求变的宗旨，且改变了客观题的命题设计成为整卷知识点拾遗补缺的一种现象．3．突出思维模式、思维容量和思维层次的考查，减少运算量，控制题量，淡化知识覆盖率．下面通过一些例题来反映能力型试题的一些特点【例1】如图所示，两个同样的坐标轴成45 放置构成平面的一个斜坐标系．平面上任一点P 在斜坐标系xoy 中的坐标（x ，y ）定义如下： 应用能力 学习能力探索能力 创造能力 能 力 基本思想和方法基本知识点 知识点的积累、掌握和运用过点P 作两坐标的平行线分别交两坐标轴于M 、N两点，则x 表示M 点的坐标，y 表示N 点的坐标．（1）设点P 在斜坐标系xoy 中的坐标是P （－2，2），求点P 到原点O 的距离；（2）试求以原点O 为圆心，半径为1的圆在斜坐标系xoy 中的方程．【例2】设a ，b ，c 表示三角形三边的长，均为整数，且a ≤b ≤c ，若b ＝n （正整数），则这样的三角形有几个？【例3】设)(x f ＝4)1(x a +＋3x －2)23(x a +－4a ，证明： （1）对任意实数a ，方程)(x f ＝0都有实根；（2）存在某个0x ，对任意实数a ，恒有)(0x f ≠0．【例4】设函数)(x f ＝21x x +，x ∈R ． （1）试讨论在区间（－1，1）内，)(x f 的单调性；（2）证明)1(f 为)(x f 的极大值，)1(-f 为)(x f 的极小值．【例5】已知命题设1a ，2a 与1b ，2b 都是正数，且21a ＋22a ＝1，21b ＋22b ＝1，则11b a ，22b a 中的最小数一定不大于1． （1）试将上述命题推广到n 个比值的情况，写出推广后的命题；（2）证明你所推广的命题．【例6】设等差数列{n a }和等比数列{n b }，1a ＝1b ，2a ＝2b ，且0＜1a ＜2a ． 求证：当n ＞2且n ∈N 时，n a ＜n b ．【例7】若数列{n a }满足n a ＝1-n a ＋2-n a （n ＝3，4，┅），且n n n a a 1lim-∞→存在，求nn n a a 1lim -∞→．【例8】若1，a ，b 三个正数，既分别是一个等差数列的第l 项，第m 项，第n 项，又分别是一个等比数列的第l 项，第m 项，第n 项，则a ，b 应满足的关系式是 ．【例9】已知数列1lg x ，2lg x ，┅，n x lg ，┅为等差数列．（1）若m x lg ＝l ，l x lg ＝m ，（l ≠m ），求数列1x ，2x ，┅，n x 的前l ＋m 项的和；（2）求证：21lg lg 1x x ＋32lg lg 1x x ＋┅＋n n x x lg lg 11-＝n x x n lg lg 11-．【例10】设x 、y 、m ∈R ，M ＝{（x ，y ）｜2y ＝x －1}，N ＝{（x ，y ）｜y ＝2x －22m ＋m －2}，则集合M ∩N 中含有元素的个数是 ．【例11】在集合{1，2，3，┅，n }，任意取出一个子集，则所有各个子集中元素之和的总和为 ．【例12】不等式)1(-x x ≤)1(y y -的解集中x ，y 能使2x ＋2y ≤k 成立时的k 的最小值为 ．【例13】当k ∈（0，21）时，方程|1|x -＝kx 的解的个数是 ．【例14】就正数a 的变化情况，讨论22x a -＝2－∣x ∣的相异实根的个数．。
高等代数课件 第一章
定理1.4.2 任意 n(n 2)个整数 a1, a2 ,, an 都有最
大公因数。如果d是a1, a2 ,, an 的一个最大公因数，那 么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,, an 的两个最大公因
数至多只相差一个符号。
证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断 是明显的。
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满
足下面两个条件: ① f (A) B
② f (x1) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.
而 r1 d 。这与d是 I 中的最小数的事实矛盾。这样，
必须所有 ri 0 ，即 d | ai ,1 i n 。
另一方面，如果 c Z, c | ai ,1 i n 。那么 c | (t1a1 tnan ),即c | d 。这就证明了d 是 a1, a2 ,, an的
一个最大公因数。
那么存在一对整数q和r，使得
b aq r且0 r | a |
满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。
证 令 S {b ax | x Z,b ax 0。因为 a 0，所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在q Z ，使得 r=b-aq 是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 r 0 。如果 r | a |，
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) .
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
高等代数课件
18
例1 在欧氏空间V2
中， 是把V2 中任意向量
都沿逆时针方向旋转θ
角的变换，则是正交变换.
19
例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个
平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射，则
是正交变换.
20
定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变
高等代数课件
2008
1
第八章 欧氏空间
8.1 欧氏空间的定义及基本性 质
8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换
8.4 子空间与正交性
8.5 对称矩阵的标准形
2
8.1 欧氏空间的定义及性质
一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离
| |, x 1 2 x 2 2 x n 2
d ( ,) | | ( x 1 y 1 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) 2
12
三. 正交化方法
定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么 可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表 示, k=1,2,…,m.
设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则
n
,i xjj,i xi
j1
因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i
基向量的内积. , x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
高等代数 讲义 第五章
③
称为由 x1, x2 ,L, xn到y1, y2 ,L, yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
§5.1 二次型的矩阵表示
例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度 θ
y
.
y′
x′
θ
0
x
即变换
⎧x =
⎨ ⎩
y
=
x′ cosθ − y′ sinθ x′ sinθ + y′ cosθ
aij xi x j
i =1
1≤i< j≤n
§5.1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有 f ( x1, x2 ,L, xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + LL + a1n x1 xn
+ a21 x2 x1 + a22 x22 + L + a2n x2 xn
⇒ B′ = (C′AC )′ = C′A′C = C′AC = B
2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与
原二次型矩阵是合同的.
进而，有: 若A′ = A, B′ = B,
二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY
⇔ A与B合同.
§5.1 二次型的矩阵表示
例2 证明：矩阵A与B合同，其中
⎛ λ1
f = ax2 + 2bxy + cy2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
{x = x′cosθ − y′sinθ y = x′cosθ + y′sinθ
f = a′x′2 + c′y′2
高等代数课件ppt3-1
２° d r 1
此时去掉 “０＝０” 的方程． 分两种情况：
i)
若r
n ．这时阶梯形方程组为
c11 x 1 c12 x 2 c1 n x n d 1 c 22 x 2 c 2 n x n d 2 c nn x n d n
设 ( c 1 , c 2 , , c n ) 是方程组（1）的任一解，则
§3.1 消元法
a 1 1 c 1 a 1 2 c 2 a 1 n c n b1 a 21c1 a 22 c 2 a 2 n c n b2 a s 1 c1 a s 2 c 2 a sn c n b s
解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得
x1 x 2 x 3 2 2 x1 x 2 3 x 3 1 3 x1 2 x 2 5 x 3 0
第二个方程减去第一个方程的2倍， 第三个方程减去第一个方程的3倍，得
§3.1 消元法
x1 x 2 x 3 2 x2 x3 3 5 x2 2 x3 6
第三个方程减去第二个方程的5倍，得
x1 x 2 x 3 2 x2 x3 3 3 x3 9
第三个方程乘以
1
，得
3 x1 x 2 x 3 2 x2 x3 3 x3 3
设 k 1 , k 2 , , k n 是 n 个数，如果 x 1 , x 2 , , x n 分别用
k 1 , k 2 , , k n
代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式,
( k 1 , k 2 , , k n ) 是（1）的一个解.
高等代数 讲义 第六章
3
2、映射的乘积
设映射σ : M → M ', τ : M ' → M ''，乘积 τ o σ
定义为：τ o σ(a)＝τ(σ(a)) ∀a ∈ M 即相继施行σ和τ的结果，τ o σ 是 M 到 M" 的一个
映射．
注：①对于任意映射σ : M → M '，有 IM′ oσ = σ o IM = σ
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2
（是）
δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4 （不是）
τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4
（不是）
2）M＝Z，M´＝Z＋，
σ：σ(n)＝|n|, ∀n ∈ Z τ：τ(n)＝|n|＋1, ∀n ∈ Z
（不是） （是）
§6.1 集合 映射
3）M＝ Pn×n ，M´＝P，（P为数域）
§6.1 集合 映射
注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应 的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
② 对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A 的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应； 但是对于无限集未必如此.
如例7中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集． M=Z，M´＝2Z， σ：σ(n)＝2n,∀n∈ Z
力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组 解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定 义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向 量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完
满地阐明了线性方程组的解的理论．
引
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开
言 向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数
量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，
高等代数 讲义 第四章
⎜⎝ 0 0 λ2 ⎟⎠⎜⎝ 0 0 λ ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 λ 3 ⎟⎠
§4.1 矩阵的概念
由此归纳出
⎜⎛ λ k
Ak
=
⎜ ⎜
0
⎜⎜⎝ 0
kλ k −1 λk 0
k (k − )1 λ k −2 ⎟⎞
2 kλ k −1
⎟ ⎟
λk
⎟⎟⎠
(k ≥ 2)
用数学归纳法证明之.
当 k = 2 时，显然成立. 假设 k = n 时成立，则 k = n + 1时，
第一节：矩阵的概念 第二节：矩阵的运算
本堂课的要求：
掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟 练地对矩阵进行运算。
掌握转置矩阵及其运算性质。 掌握方阵的幂、方阵的多项式。
重点难点
矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。
§4.1 矩阵的概念
一、矩阵的概念 二、矩阵的相等 三、一些特殊矩阵
L L L L
−a1n −a2n L −asn
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
称为A的负矩阵，记作－A .
即 − A = (−aij )s×n .
§4.1 矩阵的概念
一、加法
1．定义 设 A = (aij )s×n , B = (bij )s×n , 则矩阵
C = (cij )s×n = (aij + bij )s×n 称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B ．即
§4.1 矩阵的概念
⎜⎛ λn
An+1
=
AnA =
⎜ ⎜
0
nλn−1 λn
n(n − 1)λn−2
2 nλn−1
⎟⎞ ⎟ ⎟
⎜⎛ ⎜
《高等代数》第一章多项式讲稿
《高等代数》第一章多项式讲稿本章教学目的及要求：1．理解和掌握数域，多项式，整除，最大公因式，互素，不可约多项式，本原多项式，重因式，重根等概念；2．掌握多项式的运算性质，带余除法，辗转相除法，会求最大公因式，会将对称多项式化为初等对称多项式的多项式；3．掌握多项式的重因式和重根的判别；4．理解因式分解及唯一性定理及其应用；实系数多项式因式分解定理，复系数多项式因式分解定理。
5．掌握有理系数多项式因式分解与整系数多项式因式分解的关系，掌握整系数多项式有理根的性质，会用艾森斯坦（Eisenstein）判别法判别整系数多项式的不可约性。
本章基本教学内容：§1 数域［本节的教学目的及要求］1．理解数域的定义；2．会用定义证明给定数集是否是数域。
［本节基本教学内容］1．数域的基本概念数是数学的一个最基本的概念。
我们的讨论就从这里开始，在历史上，数的概念经历了一个长期发展的过程，大体上看，是自然数到整数、有理数、然后是实数、再到复数。
这个过程反映了人们对客观世界认识的不断深入。
按照所研究的问题，我们常常需要明确规定所考虑的数的范围。
譬如说，在解决一个实际问题中列出了一个二次方程，这个方程有没有解就与未知量所代表的对象有关，也就是与未知量所允许的取值范围有关。
又如，任意两个整数的商不一定是整数，这就是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可以做的，而在有理数范围内，除法总是可以做的。
因此，在数的不同的范围内同一个问题的回答可能是不同的。
我们经常会遇到的数的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数，它们显然具有一些不同的性质，当然，它们也有很多共同的性质，在代数中经常是将有共同性质的对象统一进行讨论。
关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质。
代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的。
有时我们还会碰到一些其它的数的范围，为了方便起见，当我们把这些数当作一个整体来考虑时，常称它为一个数的集合，简称数集。
高等代数讲义
命题5.2.4 如果向量组{1, 2,…, r}线性无关,而向量组{1, 2,…, r,}线性相关, 则一定可以由{1, 2,…, r}线性表示.
高等代数课件
第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
§5.1 向量空间的定义
一、向量空间概念的引入 二、向量空间的定义 三、向量空间的例子 四、向量空间的基本性质
一、向量空间概念的引入
例1 设C是复数集合，R是实数域，对C中任意两个数a和 b，有a+bC, 对任意的kR ，kaC. 并且复数集合C对数的加 法和乘法运算, 满足下面的运算律：
例4 向量组
1=(1, 2, 3), 2=(1, 0, 2) 与
等价.
1=(3, 4, 8), 2=(2, 2, 5), 3=(0, 2, 1)
定理5.2.6(替换定理) 设向量组{1, 2,…, r}线性无关, 并且每 一i都可由向量组{1, 2,…, s}线性表示. 那么必有rs, 并且必要时 对{1, 2,…, s}重新编号, 使得用1, 2,…, r替换1, 2,…, r后所得 向量组{1, 2,…, r, r+1, …, s}与{1, 2,…, s}等价.
例8 任意数域F总可以看成它自身上的向量空间.
例9 实数域中所有收敛于0的无穷序列构成实数域上 的一个向量空间. 二. 性质
命题5.1.1 在一个向量空间V中, 零向量是唯一的; 对 于V中的每一向量, 的负向量是由唯一确定的. 的负 向量记作 .
华南师范大学数学专业研究生数学分析高等代数参考大纲
华南师范大学数学科学学院的数学专业研究生招生考试没有考试大纲，以下是本人根据近3-5年的考试题目的一个自我总结，希望能对报考该校的师弟师妹有所帮助，如有帮助，实乃万幸！！高等代数（北大版王萼芳石生明）第一章一般考察一道题：应该是整除，最大公因式的题！！最大公因式的可能性大，整除时可能会用到一点不可约多项式，本原多项式。
第二章一般考察一题：，就是考察一个行列式的基本运算。
第三章一般考一题，这个题几乎年年考。
一般考的就是4个未知数的，也就是4阶的行列式。
第四章这一章一般会考一题，一般不会单独出题，常常放在线性变换中考察。
第五章这章的知识点比较单一，就是化标准型和合同。
不过可以与特征值一起考察，这部分容易出考题。
第六章这章主要会考察的知识就是基变换与直和分解，一般考试也就一题。
第七章这章是重点！！线性变换的定义，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，值域与核，不变子空间都是重点，随便拿出来一个都可以出题。
第八章我估计这章基本是不会考的，华师大本科的学生都没有学。
第九章主要考察一个就是定义，一个就是施密特正交化。
后面的都不考！！代数一般是7~8题第一题问答：5个概念或定理下面全部是大题数学分析（华东师大版）1，没有考题2.3数列极限和函数极限这两章会考一个题。
4.函数的连续性一般会考一个题。
5.这章面试的时候会问问题，考题的可能性不大。
第六章是重点。
中值定理太重要了，好多考题都会用到这里面的知识点。
一般来说这章只需要看前5节就可以了。
7.8这两章一般没有考题。
第九章；考就考了，不考就不考了。
定积分就是一道题，应该在可积分的条件那里.10这一章就是记公式，单独考察可能性不是很大，可以与20.21.22一起考。
11.反常积分可能是一道题，比较可能。
12.13.14这三章总的说来是考察一道题目的，一般应该是函数列居多一点。
15傅里叶级数这章应该不会考题的，为了保险，就记一下两个三角公式。
16.17这两章要考察也就是一道题。
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高等代数精读讲义南京师范大学数科院子曰：「学而不思则罔，思而不学则殆。
」------出自「论语.为政」（按钱穆先生注：学而不思，不深辨其真意所在，必致迷惘无所得。
思而不学，则事无验证，疑不能解，将危殆不安。
故『学与思』当齐修并进，不可偏废，仅学不思，容易迷失自己。
仅思不学，亦是把自己封闭孤立了。
)子曰: 「学而时习之, 不亦说乎，有朋自远方来, 不亦乐乎，人不知而不愠, 不亦君子乎」------出自「论语. 学而第一」（注：学习知识，时常温习和实践，不是令人高兴的事吗？有朋友从远方而来，不也是令人快乐的事儿吗？我有才学，别人不了解自己，我并不因此而烦恼，这不才是君子吗？）数形本是两相依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形缺数时难入微，切莫忘！数形结合百般好，数形割裂万事休。
----------华罗庚第一章 多项式§1 数域一．数的起源与发展从数的形成历史来看，大体经历了这样一个过程。
自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要．中国古代文献《周易·系辞下》有记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”，就是说古人开始用结绳记数，后来改为刻痕记数。
其他国家也有类似的记载。
随着人类的发展又发明了一些记数符号，各个国家和地区的记数符号是不同的，中国出土的殷商甲骨文中已经有完整的十进制记数。
今天我们所用的符号：1，2，3，··· 称为阿拉伯数字，其实是印度人发明的，公元八世纪前后，由印度传入阿拉伯，公元十二世纪又从阿拉伯传入欧洲，人们误认为是阿拉伯人发明的，所以叫做“阿拉伯数字”。
正分数的产生源于分配及测量的需求，当不够分或者度量不尽时，就产生了正分数的概念。
比如：当两个人分三张饼时，需要将一张饼分二份，各取其中之一，这便产生了“二分之一”，今天我们记为12，每人分到112或者32张饼。
类似的问题在测量中也会遇到，记尺子的长度为1，测量到最后不够一尺时，就试图用正分数来表示。
据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于正分数的问题．自然数并上正分数便构成了正有理数。
我国古代筹算中，利用“空位”表示零. 公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是，把“0”作为一个数是很迟的事．以后,为了表示具有相反意义的量, 负数概念就出现了．在欧洲，直到16世纪大多数数学家还不承认负数，到17世纪才对负数有一个完整的认识．引入0和负引入无理数引入虚数数，就得到了全部有理数。
引进无理数，建立严格的实数理论是19世纪70年代以后的事情，但是无理数的发现却可以追溯到公元前5世纪的古希腊，而且非常具有戏剧性。
前面我们提到当测量到最后不够一尺时，就试图用正分数来表示，那么一个自然的问题是：是否一定能用正分数表示呢？古希腊的著名数学家毕达哥拉斯(Pythagqras ，约公元前580～前500)有一句名言“宇宙间的一切现象，都可以归结为自然数或者自然数之比.”，并把它作为毕达哥拉斯学派的宗教信条。
随后，毕达哥拉斯发现了一个非常著名的定理，即我们熟知的勾股定理，国际上都称之为毕达哥拉斯定理。
有一个学生希伯斯在思考这样一个问题：单位正方形的对角线的长度x 是多少？ 假设毕达哥拉斯的名言是正确的，则可设 m x n=, 其中m , n 都是自然数。
进一步可不妨设m , n 是互素的（互质的）。
利用毕达哥拉斯定理得到 22x =， 则222m n =，从而2是2m 的因子，也一定是m 的因子，所以可设 2m p =，其中p 也是自然数。
因此22(2)2p n =，即 222p n =，从而得到2也是n 的因子, 这与m , n 是互素的相矛盾。
所以希伯斯发现毕达哥拉斯的名言是错误的，单位正方形的对角线的长度就无法用两个自然数之比来表示，它的长度应该对应一个新。
希伯斯把他的发现告诉了老师，毕达哥拉斯惊骇极了，他做梦也没想到， 自己最得意的毕达哥拉斯定理竟然招来了一位神秘的“天外来客”，以至于动摇了他的学派的宗教信条。
于是，并且不允许告诉外人，否则会受到惩罚。
希伯斯不服气，还是将自己的发现传扬出去，最终希伯斯受到了惩罚，为真理而献身。
的发现为毕达哥拉斯学派赢得了荣誉。
数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾．16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，大胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案．由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进。
16世纪中叶，意大利数学家卡尔丹提出了这样的问题：两个数之和为10，之积为40， 问这两个数是多少？设一个数为x ， 则 (10)40x x −=，即 210400x x −+=，绝大多数人得到的结论是无解。
但是卡尔丹鼓足勇气，“不管良心受到多大的责备”用求根公式得到了两个奇怪的东西 5，利用熟知的运算法则可以验证这两个奇怪的东西正好满足题目的要求。
针对这一现象，有两种截然不同的态度，一是认为没有意义，拒绝接受，这其中包括大数学家牛顿和莱布尼兹。
另一观点是接受这种怪东西，作为不同于实数的新的数，并称之为虚数。
从18世纪末至19世纪初，虚数在数学中的地位得到确立．引进虚数，形成了复数系．上面,我们简要地回顾了数的发展过程．必须指出，数的概念的产生，实际上是交错进行的．例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了．直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过．后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构．从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G ．Peano ，1855～1939)、康托尔(G ．Cantor ，1845～1918)、戴德金(R ．Dedekind ，1831～1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass ，1815～1897)等数学家的努力，完成了建立整个数系的逻辑工作．练习题：设 p 是素数（质数）是无理数。
二 复数理论简介i ，称为虚数单位，它具有性质 12−=i 。
前面所提到的5±5i 。
一般的复数就定义为a bi +，其中,a b 都是实数。
其中a 称为实部，b 称为虚部，记为Re(),Im().a a bi b a bi =+=+ 设复数 z a bi =+，如果0b ≠，称z 为虚数；如果0,0a b =≠，称z 为纯虚数，如果0,b =则z 退化为实数。
全部的实数和虚数合起来构成全体复数，用字母C 表示。
称 a bi −为z a bi =+的共扼复数， 记为 z 。
我们知道，每一个实数都可以用数轴上的点来表示，从而给了实数形象的几何表示。
类似的，复数也有形象的几何表示，每一个复数都对应平面上的一个点（或者从原点出发的向量）。
复数有三种表达形式： 代数形式： z a bi =+; 三角形式：(cos sin )z r i θθ=+，其中 0r ≥； 指数形式：i z re θ=，其中i e θ可理解为 cos sin i θθ+的简单记号。
相互之间的关系为：cos sin a r b r θθ=⎧⎨=⎩，tan r b a θ⎧=⎪⎨=⎪⎩。
称 r 为复数z 的模，记为||z 。
称θ为复数z 的辐角，记为Arg()z ，显然z 的辐角有无穷多，它们相差2k π，在(,]ππ−之间的辐角是唯一的，称之为辐角主值（主辐角），记为 arg()z .复数的四则运算：设111222(cos sin ),(cos sin ),i i z a bi r i re z c di r i r e αβααββ=+=+==+=+=则 12()()z z a c b d i ±=±+± -------------------（1）12()()z z ac bd ad bc i =−++ -----------------（2）思考题：1. 试证明()121212[cos()sin()]i z z r r i r r e αβαβαβ+=+++=------------（3）特别的， 111()()[cos()sin()]()n n n in z r n i n r e ααα=+=-----------（4）2. 思考为什么把i e θ 作为 cos sin i θθ+ 的简单记号。
3. 证明---------------------（5）除法公式思考题：1. 大家熟知 21x =有两个根：1,1−；请探寻2(cos sin )x z r i αα==+ 的根。
2．设 (cos sin )n x z r i αα==+，请写出求根公式：练习题：1. 解方程 31x =；2．解方程 2,(0)x a a =−>；3．求 20ax bx c ++= 的根，其中,,a b c 都是实数，并检查以前所学的求根公式是否依然适用，韦达定理是否仍旧成立。
4．已知复数（2x -1）+i 与复数y+(3-y ) i 互为共轭复数，其中x,y ∈R ，求x 与y.5．实数m 取什么值时，复数z =m +1+(m -1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？共轭运算公式： 请自己证明。
三 数学归纳法数学归纳法是用来证明一个与自然数 n 有关的命题 P n .第一数学归纳法: 要证明对于所有的自然数n, 命题 P n 都成立, 只需要证明如下两步1) n=1 时,命题成立 (即命题 1P 成立);2) 假设 n k =时命题成立, 则1n k =+时命题也成立(即 P k 成立 ⇒ 1P k + 成立).第二数学归纳法: 要证明对于所有的自然数n, 命题 P n 都成立, 只需要证明如下两步1) n=1 时,命题成立 (即命题 1P 成立);2) 假设 n k <时命题成立, 则n k =时命题也成立(即 121P , P ,,P k −" 成立 ⇒ P k 成立).要说明一个与任意自然数 n 有关的命题 P n 是成立的, 仅靠有限的归纳验证是靠不住的,必须用数学归纳法进行严格的证明.五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908——1996）在给大学一年级学生讲高等数学课， 他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半。
她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。
天天早晨她拿米喂鸡。
到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。
”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了。
这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了，虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃。