人教A版高中数学必修2二面角教案
二面角的说课稿
二面角的说课稿一、教学目标本节课的教学目标主要包括以下几个方面：1. 让学生了解二面角的概念和性质；2. 培养学生观察、归纳、推理和解决问题的能力；3. 培养学生合作学习和交流的能力；4. 培养学生对数学的兴趣和探索精神。
二、教学重点和难点1. 教学重点：二面角的概念和性质。
2. 教学难点：学生对二面角的理解和运用。
三、教学准备1. 教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪、计算器等；2. 教学素材：教材《高中数学》第二册、习题集等；3. 教学环境：教室布置整洁，学生座位整齐。
四、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一张包含二面角的图片，引发学生对二面角的认识和兴趣。
引导学生观察图片中的二面角，并让学生讨论二面角的特点和性质。
2. 概念讲解（10分钟）通过投影仪展示二面角的定义和性质，引导学生理解二面角的概念。
解释二面角是指一个角的两边位于同一直线的两侧，且两边的延长线在同一直线上。
3. 性质探究（15分钟）让学生自主探究二面角的性质。
给学生分发一些练习题，让他们通过观察、归纳和推理，总结出二面角的性质。
教师在学生探究的过程中进行引导和指导。
4. 练习与巩固（20分钟）让学生在课堂上完成一些练习题，巩固对二面角概念和性质的理解。
教师可以根据学生的情况给予适当的辅导和帮助。
5. 拓展应用（15分钟）通过一些拓展题目，让学生将二面角的概念和性质应用到实际问题中。
引导学生运用所学知识解决问题，培养他们的解决问题的能力。
6. 总结与归纳（10分钟）让学生回顾本节课所学的内容，总结二面角的概念和性质。
教师可以提问学生，让他们互相交流和分享自己的理解。
7. 课堂小结（5分钟）教师对本节课的教学进行小结，强调二面角的重要性和应用价值。
鼓励学生继续学习和探索数学知识。
五、教学反思本节课通过引入图片和实际问题，激发学生对二面角的兴趣和好奇心。
通过自主探究和合作学习，培养学生的观察、归纳、推理和解决问题的能力。
通过练习和拓展应用，巩固和拓展学生对二面角的理解和运用。
高中数学《二面角的概念》教案教学设计及说课稿模板
高中数学《二面角的概念》教案教学设计及说课稿模板《二面角的概念》教学设计一、教学目标【知识与技能】能正确概述“二面角”、“二面角的平面角”的概念，会做二面角的平面角。
【过程与方法】利用类比的方法推理二面角的有关概念，提升知识迁移的能力。
【情感态度与价值观】营造和谐、轻松的学习氛围，通过学生之间，师生之间的交流、合作和评价达成共识、共享、共进，实现教学相长和共同发展。
二、教学重、难点【重点】“二面角”和“二面角的平面角”的概念。
【难点】“二面角的平面角”概念的形成过程。
三、教学过程(一)创设情境，导入新课请学生观察生活中的一些模型，多媒体展示以下一系列动画如：1.打开书本的过程;2.发射人造地球卫星，要根据需要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度;3.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，须使水坝坡面与水平面成适当的角度;引导学生说出书本的两个面、水坝面与底面，卫星轨道面与地球赤道面均是呈一定的角度关系，引出课题。
(二)师生互动，探索新知学生阅读教材，同桌互相讨论，教师引导学生对比平面角得出二面角的概念平面角：平面角是从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形。
二面角定义：从一条直线出发的两个半面所组成的图形，叫作二面角。
这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面。
(动画演示)(2)二面角的表示(3)二面角的画法(PPT演示)教师提问：一般地说，量角器只能测量“平面角”(指两条相交直线所成的角.相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角)那么，如何去度量二面角的大小呢?我们以往是如何度量某些角的?教师引导学生将空间角化为平面角.教师总结：(1)二面角的平面角的定义定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.“二面角的平面角”的定义三个主要特征：点在棱上、线在面内、与棱垂直(动画演示)平面角是直角的二面角叫做直二面角。
新人教A版高中数学第二册(必修2)课件：微专题3 求二面角的平面角的常见解法
ABAABB
UUABCBCA
UACB
UC A B R
4.容斥原理
card(A B) cardA cardB card(A B)
card(A B C) cardA cardB cardC card(A B)
card(A B) card(B C) card(C A) card(A B C) .
5．集合1 2 { , , , } n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1 个；非
由题意得 AE＝ 3，
Rt△ADE 中，sin∠AED＝AADE＝
2＝ 6， 33
∴二面角
A－SC－B
的平面角的正弦值为
6 3.
(2)如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱 BD所成的角为45°，求平面α与平面β所成的角的大小.
解 如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面 α，E为垂足，连接EF，CE， ∴由三垂线定理知BD⊥EF， ∴∠AFE为平面α与平面β所成的角. 依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2，
1.元素与集合的关系
UxAxCA
,UxCAxA
.
2.德摩根公式
( ) ; ( ) CU A B CU A CUB CU A B CU A CUB .
3.包含关系
ABAABB
UUABCBCA
UACB
UC A B R
4.容斥原理
card(A B) cardA cardB card(A B)
card(A B C) cardA cardB cardC card(A B)
空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2 个.
6.二次函数的解析式的三种形式
高中数学教案二面角
二面角一、素质教育目标(一）知识教学点1．二面角的有关概念．2．二面角的平面角的定义及作法．（二）能力训练点1．利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念;掌握二面角的平面角的定义．2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题,进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力．3．通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法．(三）德育渗透点让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：二面角、二面角的平面角的概念．2．教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题．3．教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件:一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．三、课时安排1课时．四、教与学过程设计（一)二面角师:我们知道,两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交．两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如:修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久,必须使水坝面和水平面成适当的角度;发射人造地球卫生时,也要根据需要,使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度(图看课本P．39中图1—43）,等等．这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角"叫二面角，那么如何定义二面角呢?阅读课本P．39-40，回答下列问题．师:我们先来回忆：什么是角?如何表示？生:从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1-117）,表示为∠AOB．师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角．先给出半平面的定义．生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面（如图1—119）．师：那么如何表示二面角呢？生:棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β．师：二面角的画法通常有哪几种？生：第一种是卧式法，也称为平卧式(如图1－120）．第二种是立式法，也称为直立式．（二）平面角师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题．如门和墙所在的平面是相交的,但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上,也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的．为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义．定义:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．现在我们来思考：问题1:这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？生：是合理的．如图1-121,在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB,射线OA和OB组成∠AOB，在棱上另取任意一点O＇，按同样的方法作∠A＇O＇B＇，因为OA和OA＇、OB和OB＇都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A＇O＇B＇的两边分别平行且方向相同,根据等角定理，得：∠AOB＝∠A＇O＇B＇，即∠AOB的大小是一定的．由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点O在棱上的位置无关．问题2：二面角的平面角必须满足哪几个条件？生：两个条件．一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．师：平面角是直角的二面角叫直二面角．在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见P．40中图1—45）．我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68。
高中数学说课稿《二面角》（五篇模版）
高中数学说课稿《二面角》（五篇模版）第一篇：高中数学说课稿《二面角》高中数学说课稿《二面角》一、教材分析1．教材地位和作用二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形。
“二面角”是人教版《数学》第二册（下B）中9.7的内容。
它是在学生学过两条异面直线所成的角、直线和平面所成角、又要重点研究的一种空间的角，它是为了研究两个平面的垂直而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体的基础。
因此，它起着承上启下的作用。
通过本节课的学习还对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
2．教学目标知识目标：（1）正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力目标：(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
德育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生应用数学的意识；(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。
3．重点、难点重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念；难点：“二面角的平面角”概念的形成过程。
二、教法分析1．教学方法：在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法，在新课探究中采用问题启导、活动探究和类比发现法，在形成技能时以训练法、探究研讨法为主。
２、教学控制与调节的措施：本节课由于充分运用了多媒体和实物教具，预计学生对二面角及二面角平面角的概念能够理解，根据学生及教学的实际情况，估计二面角的具体求法一节课内完成有一定的困难，所以将其放在下节课。
3．教学手段：教学手段的现代化有利于提高课堂效益，有利于创新人才的培养，根据本节课的教学需要，确定利用多媒体课件来辅助教学；此外，为加强直观教学，还要预先做好一些二面角的模型。
高中数学二面角的教案
高中数学二面角的教案【篇一：“二面角”教学设计】“二面角”教学设计一、教学内容解析“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。
在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。
“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。
对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。
故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。
二、教学目标设置在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。
故而，在本节我设计的目标要求如下：（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。
（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。
三、学生学情分析在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》一、教学目标1.理解二面角的概念，掌握二面角的表示方法。
2.学会应用二面角的性质和定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点：二面角的概念、表示方法及其性质。
难点：二面角性质的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾空间几何中的基本概念，如平面、直线、角等。
（2）提出问题：在空间几何中，我们学过角，那么什么是二面角呢？2.二面角的概念及表示方法（1）讲解二面角的概念：由两条相交直线与它们所在平面所夹的角叫做二面角。
（2）讲解二面角的表示方法：用两条相交直线表示，或者用它们所在平面表示。
（3）举例说明：展示一个二面角模型，引导学生观察并理解二面角的定义。
3.二面角的性质（1）讲解二面角的性质：二面角的度数范围是0°到180°。
（2）讲解二面角的性质：二面角的大小与两条相交直线的夹角大小无关。
（3）讲解二面角的性质：二面角的两个面可以互换。
4.二面角的应用（1）讲解二面角的应用：求解空间几何问题。
（2）举例说明：展示一个实际问题，引导学生运用二面角的知识解决问题。
5.练习与讨论（1）布置练习题：让学生独立完成一些关于二面角的练习题。
（2）讨论答案：引导学生互相讨论，共同解决问题。
（2）拓展延伸：引导学生思考如何将二面角的知识应用于实际问题。
四、教学反思本节课通过讲解二面角的概念、表示方法、性质及其应用，使学生掌握了二面角的基本知识。
在教学过程中，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题和讨论，学生能够灵活运用二面角的知识解决问题。
但部分学生在理解二面角的性质时仍存在困难，需要在今后的教学中加以关注。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。
2.作业完成情况：检查学生作业的完成质量，了解学生对二面角知识的掌握程度。
3.测试成绩：通过测试了解学生对二面角知识的掌握情况。
4.学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，以改进教学方法。
人教A版高中数学必修2《二面角》教案
◆教案二面角教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2【教学目标】1、知识目标：(1)使学生理解“二面角”以与“二面角平面角”的概念，能根据定义正确地作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
2、能力目标：培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。
3、过程与方法目标：引导学生探索和研究“二面角”与“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。
4、情感、态度、价值观目标：(1) 使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2) 通过揭示概念的形成、发展、应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观点。
(3)培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，体验数学中转化思想的意义和价值；(4) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。
在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
【教学重点与难点】重点：“二面角”与“二面角的平面角”的概念和作法。
难点：“二面角的平面角”概念的形成过程以与如何根据条件用定义作出二面角的平面角。
【教学方法与手段】(1)教学方法：采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。
(2)教学手段：借助实物模型，和利用多媒体制作课件来辅助教学。
通过上述方法与手段，再现知识的产生过程，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣，发挥学生的主体作用；同时通过学生参与动手操作，亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。
二面角的说课稿
二面角的说课稿一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解二面角的概念，并能够准确地辨认和描述二面角；2. 掌握计算二面角的方法，包括角度的加减法和倍数关系；3. 运用二面角的概念和计算方法解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：二面角的概念和计算方法；2. 教学难点：二面角的应用和解决实际问题。
三、教学准备1. 教学工具：黑板、白板、投影仪、计算器；2. 教学材料：教科书、练习册、课件。
四、教学过程1. 导入（5分钟）通过投影仪展示一张图片，上面有两条平行线和一条横穿两条平行线的直线。
引导学生观察并思考：直线与平行线相交时，形成了什么样的角度？引导学生回答，直线与平行线相交时，形成的角度称为二面角。
2. 概念讲解（10分钟）通过黑板和课件，对二面角的概念进行详细讲解。
强调二面角是由两条平行线和一条直线相交所形成的角度，同时指出二面角的度数范围为0°～180°。
3. 计算方法（15分钟）根据教科书上的例题，逐步引导学生掌握计算二面角的方法。
首先，介绍角度的加减法。
通过示意图，展示两个二面角相加或相减的情况，并解释计算过程。
然后，介绍角度的倍数关系。
通过示意图，展示一个二面角的倍数关系，并引导学生计算相应的角度。
4. 练习与巩固（20分钟）分发练习册，让学生进行练习。
练习内容包括计算二面角的加减法和倍数关系，以及解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的问题，并对学生的答案进行讲评。
5. 拓展应用（10分钟）通过课件，呈现一些实际问题，引导学生应用二面角的概念和计算方法解决问题。
例如，两条平行线的夹角为60°，求二面角的度数等。
教师引导学生思考解决问题的方法，并进行讲解。
6. 总结与反思（5分钟）对本节课的内容进行总结，并鼓励学生对自己的学习进行反思。
同时，布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识。
五、板书设计黑板上书写以下内容：二面角的概念：由两条平行线和一条直线相交所形成的角度。
人教A版高中数学必修二暑期学案二面角新
第13课时二面角一、【学习导航】知识网络学习要求1.理解二面角及其平面角的概念2.会在具体图形中作出二面角的平面角，并求出其大小．【课堂互动】自学评价１. 二面角的有关概念(1)．半平面：(2).二面角：(3).二面角的平面角：(4).二面角的平面角的表示方法：(5).直二面角：(6).二面角的范围：2.二面角的作法：(1)定义法(2)垂面法(3)三垂线定理【精典范例】例1：下列说法中正确的是（D ）A.二面角是两个平面相交所组成的图形B.二面角是指角的两边分别在两个平面内的角C.角的两边分别在二面角的两个面内, 则这个角就是二面角的平面角D.二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱.例２如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)求二面角D1-AB-D的大小;(2)求二面角A1-AB-D的大小互助参考43例1(1) 45°(2) 90思维点拨要求二面角的平面角，关键是根据图形自身特点找出二面角的平面角，主要方法有：定义法，垂面法，三垂线定理法．步骤为作，证，求．例３在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面C1BD的夹角的正弦值．点拨：本题可以根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角．分析：取BD的中点O，连接A1O,C1O，则∠A1O C1为平面A1BD与平面C1BD的二面角的平面角．答：平面A1BD与平面C1BD的夹角的正弦值1 3A D D1A1B CB1C1C A自主训练1.从一直线出发的三个半平面，两两所成的二面角均等于θ，则θ=60°2.矩形ABCD中，AB=3,AD=4,PA⊥面ABCD，且A-BD-P的度数为 30°3.点A为正三角形BCD所在平面外一点，且A到三角形三个顶点的距离都等于正三角形的边长，求二面角A-BC-D的余弦值.答：1 3。
人教版高二数学二面角 教案
高二数学二面角教学目标1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．教学重点和难点本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程．教学设计过程教师：在平面几何中“角”是怎样定义的？学生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？学生；直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角．教师：请同学们观察下面的几个问题．（当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生通过计算机看两个例子）例子之一：镜头一：淡蓝色的地球．（图片）镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面．让学生观察这两个平面相交成一定的角度．例子之二：镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相）镜头二：人在爬山．（录相）镜头三：攀岩运动．（录相）镜头四：演示下面动态图象．（让水平面静止不动，坡面在不断变化，目的是让学生看到，在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形）（注意：四个镜头要连续编排在一起进行演示，时间一分钟）教师：如何给二面角下定义呢？下面我们用类比的办法，与角的概念对比，探讨二面角的定义．这一段教学采用计算机辅助手段，每一个问题分三步完成，首先给出平面角的问题，然后请学生思考并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果．这部分共有四个问题，全部研究完毕后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上．教师：请看角的图形，思考二面角的图形．学生可以将自己画的图展示给大家．计算机显示：二面角的图形．教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义．显示：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形．学生：（口答）计算机显示：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形．教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？学生：二面角由半平面—线—半平面构成．教师：平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α-a-β或α-AB-β．最后计算机显示整个过程．教师：经过上面的研究我们已经看到，平面上的角，可以看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；类似地，一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形，就是二面角．教师：二面角与平面内的角一样，是可以比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的比较方法类似．（教师让学生打开书本）打开书本的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前面看到的爬山问题也是如此）教师：用量角器可以量出平面内的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？比如，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比如平面α与β的夹角？教师：一般地说，量角器只能测量“平面角”（指两条相交直线所成的角．相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我们以往是如何度量某些角的？学生：分别通过“取点、平移（相交）”（对异面直线所成的角）与“斜线的射影（相交）”（对斜线与平面所成的角）去度量的．教师：这些做法的共同点是什么？学生：都是将空间角化为平面角．教师：对！再回到刚才的量角操作，你是怎样用对顶量角器去量二面角α-l-β的大小呢？学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的顶点则在二面角的棱上．教师：大家注意，实际上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这个角的顶点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直．而且对于确定的二面角，这样的角的大小是唯一的，确定的，我们把它叫做二面角的平面角．（对于训练有素，肯于思考的学生可能会提出下面的问题）学生：若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，为什么不用这样的角定义二面角的平面角？教师：记∠AOB=θ，∠A′OB′= ．当OA′，OB′在平面AOB同侧时θ＞；当OA′，OB′在平面AOB异侧时θ＜．请看图6：设 A′P′=a，A′P=b，A′B′=x由余弦定理，得：x2=b2+b2-2b2cos=2b2（1-cos），x2=a2+a2-2a2cosθ=2a2（1-cosθ），当OA′，OB′在平面AOB的同侧时，若用∠A′OB′=表示二面角的大小，由（*）知，与θ之间会有常数关系，这将给表示，尤其是计算、应用带来诸多不便；另外，若用∠A′OB′=表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时；≠90°，当半平面α与半平面β在同一平面时，=2θ′≠180°，都与已有知识和经验不符，不能直观反映出空间两个相交平面的相对位置关系。
二面角的说课稿
二面角的说课稿一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解二面角的概念，并能够准确地辨认和描述二面角；2. 掌握计算二面角的方法和技巧；3. 运用二面角的概念和计算方法解决相关的几何问题。
二、教学重点1. 二面角的概念和特点；2. 二面角的计算方法；3. 运用二面角解决几何问题。
三、教学准备1. 教师准备：教案、多媒体课件、黑板、粉笔、实物模型等；2. 学生准备：课本、笔记本、作业本等。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过引入几何问题，激发学生对二面角的兴趣。
例如：在日常生活中，我们时常遇到一些与角度有关的问题，如何准确地描述和计算这些角度呢？2. 概念讲解（10分钟）教师通过多媒体课件和实物模型展示二面角的概念和特点。
解释二面角是由两个平面相交而形成的角度，并强调二面角的度量是在平面内的角度。
3. 计算方法介绍（15分钟）教师详细介绍计算二面角的方法和技巧。
首先，教师讲解如何通过已知的角度和几何关系计算二面角的大小。
然后，通过具体的例题演示如何使用计算方法解决实际问题。
4. 练习与讨论（20分钟）教师布置一些练习题，让学生独立完成，并在课堂上进行讨论和解答。
教师可以选择一些典型的题目，引导学生运用二面角的概念和计算方法解决问题。
5. 拓展应用（15分钟）教师提供一些拓展应用题，让学生运用所学知识解决更复杂的几何问题。
教师可以鼓励学生思量和讨论，引导他们运用二面角的概念和计算方法找到解决问题的思路。
6. 总结与归纳（10分钟）教师对本节课的内容进行总结和归纳，强调二面角的重要性和应用价值。
同时，教师可以提供一些学习方法和技巧，匡助学生巩固所学知识。
五、课堂作业布置一些课后作业，要求学生运用所学知识解决相关的几何问题。
同时，教师鼓励学生自主学习和思量，提高解决问题的能力。
六、教学反思教师在课后进行教学反思，总结本节课的教学效果和存在的问题。
根据学生的反馈和表现，及时调整教学策略，进一步提高教学质量。
高中数学 2.3.3二面角课件 新人教A必修2
A’
B’
D A
C B
例1:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，
找出
下列二面角的平面角：
(1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
(2)二面角CD’’-BD-C和C’C-B’D-A.
A’
B’
D
C
A
OB
例1:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，
找出
下列二面角的平面角：
(1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
观 察 生 活
你发现了什么？
二、两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号:
l l
线面垂直，则面面垂直 α
线线垂直
线面垂直
β l A
面面垂直
建筑工人砌墙时， 应 如何使所砌的墙和水平面垂直？
用 于 生 活
例1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
∴CO=a，DO=a， PC 2 a ， PD 2 a
∵∠MPN=60º ∴CD=PC 2a ∴∠COD=90º
因此，二面角的度数为90º
二面角的计算小结:
1、找出或作出二面角的平面角; 2、证明(1)中的角就是所求的角; 3、计算出此角的大小。
步骤: 一“作”二“证”三“求”
二面
二 面 角 二 面 角 －AB－
2.3.3二面角
学习目标:
1、掌握二面角定义及其表示方法； 2、掌握二面角的平面角定义； 3、掌握二面角的平面角的求法。
一、二面角:
一条直线上的一个点把这条直线分成 两个部分，其中的每一部分都叫做射线。
一个平面内的一条直线把这个平面 分成两个部分，其中的每一部分都叫做 半平面。
二面角的说课稿
二面角的说课稿一、教学目标本节课的教学目标是让学生能够理解和掌握二面角的概念，并能够准确计算二面角的大小。
具体目标如下：1. 知识目标：了解二面角的定义和性质，掌握计算二面角的方法。
2. 能力目标：培养学生的观察、思维和推理能力，提高解决几何问题的能力。
3. 情感目标：培养学生对几何学习的兴趣，增强他们的自信心和合作意识。
二、教学重难点1. 教学重点：二面角的定义和性质，计算二面角的方法。
2. 教学难点：如何准确计算二面角的大小。
三、教学准备1. 教具准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、PPT课件。
2. 教材准备：教材《几何》第三章相关内容。
四、教学过程1. 导入（5分钟）通过投影仪展示一张图形，引导学生观察图形中的角，并提问：“你们能说出这个角的特点吗？”学生回答后，引出二面角的概念。
2. 概念讲解（10分钟）通过PPT课件，向学生详细介绍二面角的定义和性质。
重点讲解二面角的定义：当两个平面相交时，形成的角叫做二面角。
并举例说明二面角的形成过程。
3. 计算方法（15分钟）通过PPT课件，向学生展示计算二面角大小的方法。
首先讲解如何通过已知角的大小计算二面角的大小，然后讲解如何通过已知平面方程计算二面角的大小。
通过具体的例题演示，让学生掌握计算方法。
4. 练习与巩固（15分钟）布置一些练习题，让学生在课堂上进行解答，并及时给予指导和纠正。
通过练习，巩固学生对二面角的理解和计算方法的掌握。
5. 拓展应用（10分钟）以实际生活中的问题为例，引导学生将二面角的概念和计算方法应用到解决实际问题中。
例如，通过计算建筑物的二面角，判断建筑物的稳定性。
6. 总结与展望（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调二面角的重要性和应用价值。
展望下节课的内容，引发学生的学习兴趣。
五、教学反思通过本节课的教学，学生对二面角的概念和计算方法有了初步的了解。
但在实际操作中，部分学生对计算方法仍存在困难。
下节课将加强练习环节，帮助学生巩固和提高计算二面角的能力。
2022-2023学年高一数学人教A版教案：二面角的几何求法
第33讲 二面角的几何求法【考点分析】考点一：面与面的夹角（二面角）①二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面.（二面角l αβ-- 或者是二面角A CD B --）图1 图2二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 [0]π，． 法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图2在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．法二：三垂线法在面α或面β内找一合适的点A ,作AO β⊥于O ，过A 作AB c ⊥于B ，则BO 为斜线AB 在面β内的射影，ABO ∠为二面角c αβ--的平面角．如图3，具体步骤：Step1：找点做面的垂线；即过点A ,作AO β⊥于O ;Step2：过点（与step1中是同一个点）做交线的垂线；即过A 作AB c ⊥于B ，连接BO ;Step3：计算；ABO ∠为二面角c αβ--的平面角，在Rt ABO △中解三角形． 图3 图4 图5 图6法三：射影面积法b a A O B b AB C B'C'A'凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（'''cos =A B C ABCS S S S θ=射斜,如图4）求出二面角的大小； 【题型目录】题型一：二面角选填题 题型二：二面角解答题【典型例题】题型一：二面角选填题【例1】如图，已知PA α⊥，PB β⊥，垂足为A 、B ，若60APB ∠=︒，则二面角l αβ--的大小是______．【答案】120︒##23π 【分析】根据APB ∠与二面角大小互补进行求解.【详解】设二面角l αβ--的大小为θ，因为PA α⊥，PB β⊥，垂足为A 、B ，所以180APB θ+∠=︒，又60APB ∠=︒，所以180120APB θ=︒-∠=︒.故答案为：120︒【例2】如图，大小为120︒的二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l .若2MN =，3PM =，4NQ =，则PQ =_____________.【答案】41【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ PM MN NQ =++，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.【详解】根据题意，PQ PM MN NQ =++，由二面角l αβ--大小为120︒，可得,60PM NQ =，22()PQ PM MN NQ =++222222PM MN NQ PM MN NQ MN PM NQ =+++⋅+⋅+⋅19416234412=+++⨯⨯⨯=， 所以41PQ =，故答案为：41【例3】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角的正切值为___________．【答案】3【分析】设此四棱锥P-ABCD 底面边长为a ，斜高为h '，根据条件列式，得到h a '=，再根据二面角的定义，找到二面角的平面角，即可计算正切值.【详解】如图，设此四棱锥P-ABCD 底面边长为a ，斜高为h '，连结AC 、BD 交于点O ，连结OP ，PO ⊥底面ABCD ，取CD 的中点M ，连结OM ，PM ，则PM h '=，2a OM =， 则21422ah a '⨯=，h a '=，POM 中，223()22a a PO a =-=．PM CD ⊥，OM CD ⊥，所以PMO ∠是侧面和底面的夹角，32tan 32a PO PMO a OM∠===，故答案为：3【例4】三棱锥-P ABC 中，若二面角,,P AB C P AC B P BC A ------所成的平面角均相等，则点P 在底面ABC 上的投影点为ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 【答案】B【分析】根据顶点在底面上的射影和二面角构成的3个三角形是全等三角形，推出垂足到三边的距离相等，进而得出结果.【详解】如图，设O 为P 在ABC 上的射影，过O 作OE AB OF AC OG BC ⊥⊥⊥，，，垂足分别为E F G 、、，连接PE PF PG 、、，则OP ⊥平面ABC ，由OE OF OG ⊂、、平面ABC ，得OP OE ⊥，OP OF ⊥，OP OG ⊥，即90POE POF POG ︒∠=∠=∠=，由AB AC BC ⊂、、平面ABC ，得OP ⊥AB ，OP AC ⊥，OP BC ⊥，又PO OE O PO OF O PO OG O ===，，，所以AB ⊥平面PEO ，AC ⊥平面PFO ，BC ⊥平面PGO ，则3个二面角所成的平面角分别为PEO PFO PGO ∠∠∠、、，所以PEO PFO PGO ∠=∠=∠，又OP 为公共边，所以PEO PFO PGO ≅≅，有OE OF OG ，故O 为ABC 的内心.故选：B 【例5】如图,正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2,则平面ABC 与平面11A BC 夹角的余弦值为（ ）A ．77-B ．277C ．217D ．77【答案】C【分析】根据面面垂直转化面面夹角为另一个方便解答的面面夹角,分别向交线作垂线,即可得到面面夹角或其补角,构造三角形,求出各边,用余弦定理求出夹角余弦值.【详解】解:由题知,平面ABC 与平面11A BC 的夹角即为平面111A B C 与平面11A BC 的夹角,取11A C 的中点O ,连接1,OB OB ,如图所示:因为正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2,所以11,2,⊥==AB AA AB AA 所以122BA =,同理可得:122BC =,所以11BA BC =,又1111B A B C =,所以11111,OB AC OB AC ⊥⊥,所以1BOB ∠（或其补角）为平面ABC 与平面11A BC 的夹角,又112A C =,所以17,3OB OB ==,因为12BB =,所以121cos 7BOB ∠=, 故选:C ． 【例6】（多选题）已知正方体1111ABCD A B C D -，设E 是棱BC 的中点，则（ ） A ．1BD 平面1C DE B ．1BC ACC ．平面11A BC 与平面ABCD 所成角的正弦值为33 D ．三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积相等【答案】AD【分析】对于A 选项，在平面1C DE 内找到与1BD 平行的直线即可·. 对于B 选项，通过求出1BC ，AC 所成角度即可判断.对于C 选项，可将平面11A BC 与平面ABCD 所成角转化为求平面11A BC 与平面1111D C B A 所成角. 对于D 选项，分别计算三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积即可.【详解】对于A 选项，如图，设1CD 交1C D 于F ，在1CD B △中，因F 为1CD 中点，E 为CB 中点，则FE 为1CD B △中位线，可得1EF BD ∥，又1BD ⊄平面1C DE ，EF ⊂平面1C DE ，则1BD 平面1C DE ，故A 正确.对于B 选项，如图，因11//BC AD ，所以异面直线1BC 与AC 所成角就是1AD 与AC 所成角.又连接1CD ，因11AD CD AC ==，所以1AD C 为等边三角形，有13πD AC ∠=， 得异面直线1BC 与AC 所成角为π3，故B 错误.对于C 选项，如图，因平面ABCD 平面1111D C B A ，所以平面11A BC 与平面ABCD 所成角等于平面11A BC 与平面1111D C B A 所成角.取11A C 中点为G ，连接BG ，1B G .因1B G 11AC ⊥，BG 11AC ⊥，所以1BGB ∠为平面11A BC 与平面1111D C B A 所成二面角的平面角.设正方体棱长为2，则162，BG BB ==，所以12636sin BGB ∠==. 故C 错误.对于D ，由图，11113D ACD D ACD ADC V V S DD --==⋅⋅. 11113B ACD D ACB ABC V V S DD --==⋅⋅，又ABC ADC S S =△△，故11D ACD B ACD V V --=， 故 D 正确.故选：AD 【题型专练】1.在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【详解】设这个二面角的度数为，由题意得，，，解得，∴，∴这个二面角的度数为， 故选：C.2．已知P 是二面角l αβ--内的一点，PA 垂直于α于,A PB 垂直于β于,83,8B AB PA PB ===，则二面角l αβ--的大小为__．【答案】3π【分析】设平面PAB 交直线l 于点O ，连接OA ，OB ，可证得AOB ∠即二面角l αβ--的平面角，在APB △由余弦定理求出APB ∠，即可求出二面角l αβ--的大小．【详解】解：设平面PAB 交直线l 于点O ，连接OA ，OB ，由于PA α⊥，PB β⊥，l ⊂α，l β⊂，故PA l ⊥，PB l ⊥，又PA PB P =，,PA PB ⊂平面PAB ， 故l ⊥平面PAB ，又OA ，OB ⊂平面PAB ，故l OA ⊥，l OB ⊥， 所以AOB ∠为二面角l αβ--的平面角，由于PA α⊥，PB β⊥，OA α⊂，OB β⊂，故PA OA ⊥，PB OB ⊥， 故在四边形PAOB 中，APB ∠与AOB ∠互补，又83AB =，8PA PB ==，在APB △中由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-⋅∠， 即()2228388288cos APB =+-⨯⨯∠，解得1cos 2APB ∠=-， 又0APB π<∠<，所以23APB ∠=π， 故233AOB πππ∠=-=，则二面角l αβ--的大小为3π． 故答案为：3π． 3．（多选题）在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,BC A D 的中点，下列说法正确的是（ ）A ．四边形1B EDF 是菱形B ．直线AC 与1BC 所成的角为4π C ．直线1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值是33 D ．平面1A BD 与平面ABCD 所成角的余弦值是63【答案】AC 【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中的平行、垂直关系求解各选项即可.【详解】设正方体的棱长为a ， 选项A ：因为,E F 分别是11,BC A D 的中点，易得1B F DE ∥，1DF B E ∥，又因为22111522DF B E B F DE a a a ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭，所以四边形1B EDF 是菱形，正确； 选项B ：如图所示因为11AC AC ∥，所以直线AC 与1BC 所成角即为11A C 与1BC 所成角， 因为1111AC BC A B ==，所以直线AC 与1BC 所成的角为3π，错误； 选项C ：如图所示因为1CC ⊥平面ABCD ，所以直线1AC 与平面ABCD 所成角即为1C AC ∠， 因为22213AC a a a a =++=，所以13sin 33a C AC a ∠==，正确；选项D ：如图所示，设AC 交BD 于O ，由正方体1111ABCD A B C D -，得O 为BD 中点，112A D A B a ==，所以AO BD ⊥，1AO BD ⊥，因为平面1A BD ⋂平面ABCD BD =，所以1AOA ∠即为平面1A BD 与平面ABCD 所成角， 因为22112222AO AC a a a ==+=，221162AO AO AA a =+=， 所以1232cos 362a A OA a ∠==，错误， 故选：AC.4．如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，则二面角P BC A --的大小为______.【答案】45︒【分析】由已知条件可证PBA ∠是二面角P BC A --的平面角，在Rt PAB 中，PA AB =，即可求出PBA ∠的大小.【详解】解：PA ⊥平面ABCD ，PA BC ∴⊥，又ABCD 是正方形，BC AB ∴⊥，又AB PA A ⋂=，BC ∴⊥平面PAB ，PBA ∴∠是二面角P BC A --的平面角.在Rt PAB 中，PA AB =，45PBA ︒∴∠=，∴二面角P BC A --的大小为45︒，故答案为：45︒.题型二：二面角解答题【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，(1)求异面直线1AB 与1BC 所成的角的大小；(2)求二面角1C AB C --的大小. 【答案】(1)π3(2)π4【分析】（1）作出异面直线1AB 与1BC 所成的角，并求得角的大小.（2）判断二面角1C AB C --的平面角，并求得角的大小.【详解】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1,BD DC ，由于11//DC AB ，所以1DC B ∠是异面直线1AB 与1BC 所成的角，由于三角形1BDC 是等边三角形，所以1π3DC B ∠=， 所以异面直线1AB 与1BC 所成的角的大小为π3.（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，1,AB BC AB BC ⊥⊥，所以1C BC ∠是二面角1C AB C --的平面角，根据正方体的性质可知14πC BC ∠=， 所以二面角1C AB C --的大小为π4. 【例2】如图，直三棱柱111ABC A B C 中，12AB AC AA ===，45ABC ∠=︒.(1)求直线1BA 与平面11BCC B 所成的角；(2)求二面角1A A C B --的正切值.【答案】(1)π6；(2)2 【分析】（1）取11B C 的中点D ，连接1A D 和BD ，结合条件可证明1A D ⊥平面11BCC B ，由直线与平面所成角的定义可得直线1BA 与平面11BCC B 所成的角,由解直角三角形即可求解；（2）取1A C 的中点，连接AO ，BO ，先求得11A B AC BC ==，再由二面角的定义找到二面角1A A C B --的平面角AOB ∠，由解直角三角形即可求解.【详解】（1）取11B C 的中点D ，连接1A D 和BD ，如图所示：因为1111A B AC =，所以111A D B C ⊥，在直三棱柱111ABC A B C 中，1BB ⊥平面111A B C ，又1A D ⊂平面111A B C ，所以1BB AD ⊥，因为1111BB B C B =，1BB 、11B C ⊂平面11BCC B ，则1A D ⊥平面11BCC B ，又BD ⊂平面11BCC B ，所以1A D BD ⊥，则在1Rt A BD △中，1π02A BD <∠<， 即直线1BA 与平面11BCC B 所成的角为1A BD ∠，在直三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，又因为AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，因为12AB AC AA ===，所以45ACB ABC ∠=∠=︒，即90BAC ∠=︒，则221122A B AB AA =+=，221122B C BC AB AC ==+=，所以11122AD B C ==，则1121sin 222AD A BD A B ∠===， 又1π02A BD <∠<，所以1π6A BD ∠=， 故直线1BA 与平面11BCC B 所成的角为π6. （2）取1A C 的中点，连接AO ，BO ，在直三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥，因为12AB AC AA ===，221122AC AC AA =+=， 由（1）知，1122A B AC BC ===，所以1BO A C ⊥，1AO AC ⊥，又BO ⊂平面1BA C ，AO ⊂平面1AA C ，所以AOB ∠是二面角1A A C B --的平面角；又BA AC ⊥，1BA AA ⊥，1AC AA A =∩，AC 、1AA ⊂平面11AAC C ，所以BA ⊥平面11AAC C ，AO ⊂平面11AAC C ，则BA AO ⊥，又1122AO AC ==， 在Rt AOB △中，2tan 22AB AOB AO ∠===， 故二面角1A A C B --的正切值为2.【例3】在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面,,3ABC CA CB AOC π⊥∠=，点O 在棱AB 上且是ABC 的外心（三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心即外接圆的圆心），点G 是AOC 的内心（三角形的内心是三角形三条角平分线的交点即内切圆的圆心），2PA AB ==.(1)求证：平面OPG ⊥平面PAC ；(2)求二面角P OG B --的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)41717. 【分析】（1）根据PA ⊥平面ABC 得到PA OG ⊥，根据G 为AOC 的内心得到OG AC ⊥，即可得到OG ⊥平面PAC ，最后利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）根据OG ⊥平面PAC 得到PDC ∠为二面角P OG B --的平面角，根据AC CB ⊥，O 为ABC 的外心，得到1OA OB OC ===，再结合3AOC π∠=得到AOC 为等边三角形，12AD DC ==，然后利用勾股定理得到PD ，PC ，最后利用余弦定理和同角三角函数基本公式求角即可.【详解】（1）∵PA ⊥平面ABC ，OG ⊂平面ABC ，∴PA OG ⊥，∵G 为AOC 的内心，∴OG AC ⊥，∵PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴OG ⊥平面PAC ，∵OG ⊂平面OPG ，∴平面OPG ⊥平面PAC .（2）延长OG 交AC 于D ，连接PD ，∵OG ⊥平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，CD ⊂平面PAC ，平面PAC平面OGB OD =， ∴OG PD ⊥，OG CD ⊥，∴PDC ∠为二面角P OG B --的平面角，∵AC CB ⊥，O 为ABC 的外心，∴O 为AB 中点，且1OA OB OC ===，∵3AOC π∠=，∴AOC 为等边三角形，12AD DC ==， 在Rt PAD 中，12AD =，2PA =，∴22117222PD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 在Rt PAC 中，2PA =，1AC =，∴5PC =，2217152217cos 17171222PDC ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==-⨯⨯，∵[]0,PDC π∠∈，∴217417sin 11717PDC ⎛⎫∠=--= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以二面角P OG B --的正弦值为41717. 【例4】如图所示，在四面体ABCD 中，△ABC 是边长为2的正三角形，△ACD 是直角三角形，且AD =CD ，且BD =2，E 为DB 的中点．(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ．(2)求二面角E AC B -- 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30︒ ．【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OB ，OD ，先说明∠DOB 是二面角D AC B -- 的平面角,通过计算说明二面角D AC B --是直二面角，即可证明结论；（2）找到∠EOB 是二面角E AC B -- 的平面角，然后说明30BOE OBD ∠=∠=︒，即可求得答案.(1)证明：如图所示，取AC 的中点O ，连接OB ，OD ，因为△ABC 是边长为2的正三角形，△ACD 是直角三角形，且AD ＝CD ，所以OB ⊥AC ，OD ⊥AC ，所以∠DOB 是二面角D AC B -- 的平面角,因为112OD AC == ，3OB = ，BD =2，所以222OD OB BD += ，即OB ⊥OD ，所以二面角D AC B --是直二面角，因此，平面ACD ⊥平面ABC ．(2)解：由（1）可得AC ⊥平面BOD ，且30OBD ∠=，OE ⊂平面BOD ，所以AC ⊥OE ，所以∠EOB 是二面角E AC B -- 的平面角．在直角△BOD 中，因为E 是BD 的中点，所以OE =EB ，所以30BOE OBD ∠=∠=︒ ，即二面角E AC B --的大小是30．【例5】如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC .(1)求证：1BE EB =；(2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数.【答案】(1)证明过程见解析；(2)π4. 【分析】（1）根据三角形中位线定理、线面平行的性质定理，结合面面垂直的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可；（2）根据二面角的定义，结合勾股定理的逆定理、定理进行求解即可.【详解】（1）设11A C 的中点为G ，过E 作1DE A C ⊥，垂足为D ，连接1,DG GB ，因为111A B C 是等边三角形，所以111GB AC ⊥，因为111ABC A B C 是正三棱柱，所以面111A B C ⊥侧面1AC ，而面111A B C 侧面11AC AC =，所以1GB ⊥侧面1AC ，因为截面1A EC ⊥侧面1AC ，截面1A EC ⊥侧面11AC AC =，所以DE ⊥侧面1AC ，因此1//DE GB ， 因为111ABC A B C 是正三棱柱，所以1//EB 侧面1AC ， 而平面1EB GD 侧面1AC DG =，所以1//EB DG ， 因此1EB GD 是平行四边形，所以1GD EB =， 因为11//CC BB ，所以1//CC DG ，因为11A C 的中点为G ，所以D 是1AC 的中点，于是有112DG CC =，而11//CC BB 且11CC BB =，所以E 是1BB 中点， 即1BE EB =；（2）延长11,CE C B 交于点F ， 设1111AA A B ==，由（1）可知：1B 是1C F 的中点， 因此111421232A F =+-⨯⨯⨯=，因为2221111A F A C C F +=， 所以111A F AC ⊥， 1112AC =+=，145CF =+=， 因为22211CF A F A C =+，所以11A F AC ⊥， 于是11CA C ∠是平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角的平面角， 因为1111AC CC ==，所以矩形11A C CA 是正方形， 因此11π4CAC ∠=.【题型专练】1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.(1)求证：1//BC 平面11AB D ；(2)作出二面角11B AD B --的平面角，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)图形见解析，理由见解析.【分析】（1）由正方体的性质可得11ABC D 为平行四边形，即可得到11//BC AD ，从而得证. （2）取1BC 、1AD 中点分别为P 、Q ，连接1B Q 、PQ ，则1B QP ∠为二面角11B AD B --的平面角，根据正方体的性质可得11B Q AD ⊥，再证1AB AD ⊥、//PQ AB ，即可得证.(1)证明：∵1111ABCD A B C D -是正方体， ∴11//AB C D ，且11AB C D =， ∴四边形11ABC D 为平行四边形， ∴11//BC AD ，∵1BC ⊄平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ， ∴1//BC 平面11AB D ．(2)解：取1BC 、1AD 中点分别为P 、Q ，连接1B Q 、PQ ，则1B QP ∠为二面角11B AD B --的平面角， 理由如下：设正方体的棱长为a ，则1112AB B D a ==，所以11B Q AD ⊥． ∵P 、Q 分别为1BC 、1AD 中点，∴//PQ AB ．在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11AA D D ，1AD ⊂平面11AA D D ，∴1AB AD ⊥，∴1PQ AD ⊥，∴1B QP ∠为二面角11B AD B --的平面角．2．如图，正三棱锥S ABC -中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M 是BC 的中点．求：(1)AM SM的值； (2)二面角S BC A --的大小；(3)正三棱锥S ABC -的体积．【答案】(1)32； (2)π3； (3)938. 【分析】（1）根据三角形面积公式，结合已知进行求解即可；（2）根据二面角的定义进行求解即可；（3）根据三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）因为S ABC -是正三棱锥，所以ABC 是等边三角形，即AB AC =，而M 是BC 的中点．所以AM BC ⊥，因为S ABC -是正三棱锥，所以SB SC =，而M 是BC 的中点．所以SM BC ⊥，因为棱锥的侧面积等于底面积的2倍，所以有11332222AM SM BC AM BC SM ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅⇒=； （2）因为S ABC -是正三棱锥，所以S 在底面ABC 的射影为底面ABC 的中心，设为O ，由（1）可知AM 是三角形ABC 的中线，所以O 在AM 上，且13OM AM =， 由（1）可知AM BC ⊥，SM BC ⊥，所以SMO ∠是二面角S BC A --的平面角，在直角三角形SOM 中，1131π3cos 3223AM OM SMO SMO SM SM ∠===⨯=⇒∠=； （3）在等边三角形ABC 中，221933()9242AM AB BC =-=-=， 由（2）可知：在直角三角形SOM 中，π1333tan 333322SO SO OM OM =⇒==⨯⨯=， 所以正三棱锥S ABC -的体积为1133393332228⨯⨯⨯⨯=.3．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，21AB AF ==，，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM //平面BDE ；(2)求证：⊥AM 平面BDF ；(3)求二面角A DF B--的大小．=，BD NF NAM⊥平面）过A作DF⊥，AF AC⊂平面ABCD=，AD AF AADF，即为二面角A DF-，AB=4．如图，已知正三棱柱111ABC A B C 的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱1CC 上的点，且12CN C N =．(1)求二面角1B AM N --的平面角的余弦值；(2)求点1B 到平面AMN 的距离．【答案】(1)55(2)1【分析】（1）根据条件可证明AM ⊥面11BCC B ，然后可得1B MN ∠为二面角1B AM N --的平面角，然后求出答案即可；（2）过1B 在面11BCC B 内作直线1B H MN ⊥，结合（1）可证明1B H ⊥平面AMN ，然后求出1B H 的长度即可． 【详解】（1）因为M 是底面BC 边上的中点，所以AM BC ⊥，又1AM CC ⊥，1BC CC C ⋂=所以AM ⊥面11BCC B ，因为1B M ⊂面11BCC B ，NM ⊂面11BCC B ，所以1AM B M ⊥，AM NM ⊥，所以1B MN ∠为二面角1B AM N --的平面角．又221115142B M B B BM =+=+=，22145496MN MC CN =+=+=， 连接1B N ， 221111110193B N B C C N =+=+=， 所以22211115251054369cos 2555226B M MN B N B MN B M MN +-+-===⋅⋅⨯⨯， 故所求二面角1B AM N --的平面角的余弦值为55． （2）过1B 在面11BCC B 内作直线1B H MN ⊥，H 为垂足．又AM ⊥平面11BCC B ，1B H ⊂平面11BCC B ，所以1AM B H ⊥．因为AM MN M ⋂=，所以1B H ⊥平面AMN ，故1B H 即为1B 到平面AMN 的距离，在1Rt B HM 中，11151sin 1125B H B M B MH =⋅=⨯-=， 故点1B 到平面AMN 的距离为1．5．如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面,3ABCD SB =．(1)求证：BC SC ⊥；(2)求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；(3)设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成的角的大小．或其补角，DMN中求出此角．⊥，SDSD CD=，SD CD DSCD，而SC与面BSC的交线为AD⊄平面，所以AD/⊥SD l SC,DMN中，所以2DM∠=DMN所以异面直线。
高二数学二面角说课稿人教版
《二面角》说课稿丽水职高数学组周丽烽2006-5-30我说课的课题是人教版《数学》第二册（下A）中第九章第六节《两个平面垂直的判定和性质》中的《二面角》的内容。
一、教材分析1 、教材地位和作用二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形,二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。
二面角就是用来描述两个平面相交这一相对位置的，它是在学生学过平面几何中的角、空间中两异面直线所成的角、直线和平面所成的角之后，是在学习二个平面垂直的判定和性质之前，且又是要重点研究的一种空间的角，它是学生进一步研究多面体和旋转体的基础。
因此，它起着承上启下的作用。
同时，也是培养高二学生的转化思想、空间想象力和逻辑思维能力的重要课题之一，对培养学生的创新意识和创新能力都有重要的作用。
二面角的概念发展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面关系的一个汇集点。
搞好本节课的学习，对学生系统地掌握直线和平面的知识和创新能力的培养都具有十分重要的意义。
2、教学内容本节课的主要内容是二面角的定义、二面角平面角的给出及应用。
对定义、概念的引出采用多媒体教学设备，通过对多媒体技术的使用，使学生通过观察、类比、抽象出二面角的平面角的概念，也通过多媒体技术使学生对例题的理解在轻松的环境下得到深化，以后的学习奠定了坚实的基础。
3、教学目标根据上面对教材的分析，依据新教学大纲的要求和新课程的教学理念并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标：认知目标：（1）使学生正确理解和掌握“二面角”及其“平面角”的概念。
能正确画出二面角的平面角。
并能初步应用它解决简单的实际问题。
能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
（1）突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的思考分析能力。
培养学生观察分析的能力、空间想象的能力、猜想证明的能力，从而培养学生的创造能力。
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◆教案二面角教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2【教学目标】1、知识目标：(1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念，能根据定义正确地作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
2、能力目标：培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。
3、过程与方法目标：引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。
4、情感、态度、价值观目标：(1) 使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2) 通过揭示概念的形成、发展、应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观点。
(3) 培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，体验数学中转化思想的意义和价值；(4) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。
在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
【教学重点与难点】重点：“二面角”及“二面角的平面角”的概念和作法。
难点：“二面角的平面角”概念的形成过程以及如何根据条件用定义作出二面角的平面角。
【教学方法与手段】(1)教学方法：采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。
(2)教学手段：借助实物模型，和利用多媒体制作课件来辅助教学。
通过上述方法与手段，再现知识的产生过程，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣，发挥学生的主体作用；同时通过学生参与动手操作，亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。
【学法指导】通过设计环环相扣的思考问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，教师在这个过程中不打断学生的思路，期望有能力的学生走在老师的前面，同时，学生也可以根据需要寻求老师和同学的帮助，以更好地在课堂上完成学习任务。
使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。
学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中。
【教学流程】【教学过程】教学过程设计意图一、复习引入、创设情境导入新课通过前面的学习我们知道空间内线与线、线与面都能够形成角，而且线线角与线面角的大小最终都是通过相应的平面角进行度量的。
抛出问题：(1)空间内面与面能否构成角呢？(2)如果能又如何称谓它呢？(3)它的大小能否用相应的平面角进行度量呢？这连续三个类比发问会使学生兴趣盎然,带着明确的学习目标积极主动地投入课堂的教学中来。
二、二面角的概念首先观察以下三个动画来回答我们刚才提出的第一个问题——空间中面与面是否能够形成角？发射人造卫星时，必须使卫星旋转轨道平面与地球赤道平面成适当角度才行。
老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，承上启下引出课题，帮助学生形成完整、系统的知识体系。
在这个过程中，放映动画辅助学生回顾相关内容。
教师板书，将这三个问题写在黑板上，便于以问题为中心展开本节课的教学。
（复习引入用时约2分钟）带着问题观察动画，把“二面角”概念的引出置于生活的背景之中，自然引起学生的学习兴趣，既具体、生动，又注意培养学生用数学的意识，同时使学生认识到本节课题研究的必要性。
我们要读到书里面的全部内容，必须使书所在平面与封面所在平面成适当的角度。
为了使堤坝更加坚固耐用，必须使堤坝所在平面与水所在平面成一定的角度。
通过这三个动画回答了我们第一个问题，空间中面与面是可以形成角的，并且自然而然地引出“二面角”的说法，从而回答了我们第二个问题。
接下来通过与“平面角”类比，得出二面角的具体定义及表示方法。
角二面角引入直线上一点把直线分割成两条射线平面内一条直线把平面分割成两部分，每一部分称为半平面定义 从一点出发的两条射线所组成的图形从一点出发的两个半平面所组成的图形构成 边——顶点——边半平面——直线——半平面 （面） （棱） （面）表示法 AOB ∠l AB αβαβ----或现实生活中的许多问题，只须给予适当的数学化，便可转化为数学问题，然后用数学知识加以解决。
通过将平面几何中的“角”与立体几何中的“二面角”做类比，使学生温故而知新，符合学生的认知规律，使学生能较深刻地把握概念的本质。
（二面角的概念 用时约8分钟）三、二面角的平面角的概念——回答第三个问题情境问题一观察以上两个图形有什么不同？（电脑打出图片）答案：大小不一样，也就是说两个二面角相对张合程度不同情境问题二应该如何把它们的大小度量出来呢？情境问题三我们以前碰到过类似的问题吗？大屏幕演示，以提高效率。
情境问题四两定义的共同特点是什么？——空间中线线角与线面角都是通过相应的平面角进行度量的。
情境问题五那么二面角的大小能否能用相应的平面角进行度量呢？——答案是肯定的，因为在我们所学的知识范围内，能够度量的只是平面角而已。
所以我们要想度量空间角必须把他转换成平面角。
这样就回答了我们刚刚提出的第三个问题。
引导学生发现并提出问题，激发学生的探索欲望，从而培养学生的创造性思维。
揭示二面角的平面角概念产生的背景。
引导学生寻找类比联想的对象。
总结性语言，明确答案。
类比猜想得出结论情境问题六凭直觉猜想二面角的平面角的顶点以及两边应该在什么位置？ ——顶点在棱上，两边分布在两个半平面内。
给出二面角平面角的定义：在公共棱l 上任意取一点O ，以点O 为垂足，在半平面内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则AOB 叫做二面角的平面角。
情境问题七你能找出二面角的平面角的特征吗？(找同学来回答，然后教师补充完整) (1)顶点在棱上；(2)平面角的两边分布在两个面内； (3)平面角的两边与棱垂直；(4)平面角的范围[000,180]根据学情避免了“二面角的平面角的唯一性”的纯理论性证明，后面把这个问题作为一个探究试验来处理。
给出图片加深印象。
让学生学会归纳总结，体现知识的条理性。
（二面角的平面角 用时约10分钟）四、应用举例例1、一张长为10厘米的正三角形纸片ABC ，以它的高AD 为折痕，折叠成一个0120的二面角，求此时B 、C 两点间的距离电脑屏幕演示折叠动画，帮助学生理解题意。
以动态的动画演示来辅助学生理解题意，清楚的展现折叠后哪些量发生改变，哪些保持不变。
小结：涉及到二面角的计算问题，关键在于找出（或做出）二面角的平面角。
练习一、如图在四棱锥P-ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD=a ，PA=PC=2a ，求二面角P-BC-D 的大小。
例2、如图正方体1111ABCD A B C D ，11A BD C BD 求平面与平面的夹角的余弦值。
小结：若两个面是特殊三角形，注意找公共棱的中点。
问题归类，培养学生归纳总结能力。
讲练结合，更容易让学生掌握知识要点。
由于学生刚刚接触二面角，所以在探究作二面角的平面角时会有困难，此时教师可以启发学生紧紧抓住二面角的平面角定义这一核心依据。
由浅入深逐渐深入，激发学生的探索欲望——例1只是要求找出二面角的平面角就可以了，而例2则要求同学们自己亲手把它作出来。
提升学生归纳总结，解决问题的能力。
练习二、立体图形P-ABC的四个面为全等的正三角形，求二面角P-AB-C的平面角的大小考察学生对上一题的理解掌握情况。
（应用举例用时约20分钟）五、课堂小结1、知识点小结（1）二面角的定义；（2）二面角的表示方法；（3）二面角的平面角的定义；2、数学思想——化归思想即求二面角大小转化为求二面角平面角大小问题；3、求二面角解题步骤（1）找出（或作出）二面角的平面角；（2）根据画图证明所找（或作）图形为二面角的平面角；（3）作出这个角的所在三角形，解三角形求出角；（4）答；简单的说就是一“作”；二“证”；三“求”；四“答”；①引导学生对所学的数学知识、思想方法进行小结，有利于学生对已有的知识结构加深理解。
②引导学生对学习过程进行反思，为今后的学习中进行有效调控打下良好基础。
（课堂小结用时约3分钟）六、布置作业我本着因材施教，顾全大局，兼顾个人的原则布置三道题，两易一难，从而体现分层教学。
（详见课件）布置作业的目的是为了及时反馈教学中的不足，了解学生掌握情况。
七、课外分组研究我们在作二面角的平面角的时候，为什么一定要使两边与公共棱垂直？由于教材上没有明确在做二面角的平面角时，为什么一定要使两边与侧棱垂直，直接给出做法，显得有些突兀。
而根据本班实际学情，无法在课堂上完成这一问题的探究，然而为了锻炼少数有能力同学的数学思维，因此在这里把这个问题作为一个探究，留给那些学有余力的同学去思考，必要时候做一定的讲解。
【评价分析】大多数学生之所以学习有困难，解决问题能力差，问题在于他们所获得的概念、知识不是通过研究事实和现象的途径形成的，而是死记硬背得来的。
本课例设计不是简单地将二面角及二面角的平面角定义直接“抛售”给学生，而是考虑到知识的形成过程，设法从学生的数学现实出发，创设实际问题情景，调动学生积极参与探索、发现问题、解决问题的全过程。
这样，学生学到的不单是知识本身，也经历了知识的发生、形成的过程，同时在分析、探索的过程中，依靠自己的独立智慧和努力，而获得了一些能够概括大量事实和现象的知识，这种知识对学生来说是极为宝贵的。
在教学中向学生提供充分的从事数学活动的机会，倡导自主探索、合作交流与实践创新，促进他们在活动的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
使不同层次的学生，各自争取更大限度的发展。
请各位专家多提宝贵意见，谢谢您的指导！◆教案说明二面角教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2一、设计理念《数学课程标准》明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流，可以促进学生自主、全面、可持续的发展，是学生学习数学的重要方式．为使教学真正做到以学生为本，我对教材的知识进行了适当地重组和加工，力求给学生提供研究、探讨的时间与空间，让学生充分经历“做数学”的过程，促使学生在自主中求知，在合作中获取，在探究中发展.二、授课内容的数学本质：二面角是继空间内线线角与线面角之后，又一重点研究的空间角,它的产生完善了空间角的概念,而二面角的平面角能定量的描述两相交平面的相对位置关系，故为即将研究的面面垂直提供了定义的依据。