最大流问题

网络最大流问题

一产生背景

流量问题在实际中是一种常见的问题，在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水流问题,控制系统中的信息流问题，常见的人流，物流，水流，气流，电流，现金流等。在一定条件下,求解给定系统的最大流量,就是网络最大流问题.网络系统最大流问题是图与网络理论中十分重要的最优化问题，它对于解决生产实际问题起着十分重要的作用。

二基本概念与定理

设cij为弧（i，j）的容量，fij为弧（i，j）的流量。容量是弧（i，j）单位时间内的最大通过能力，流量是弧（i，j）单位时间内的实际通过量，流量的集合f={fij}称为网络的流。发点到收点的总流量记为v=v(f)。

设D=(V,A)是一有向图且对任意E均有容量cij =（vi，vj），记C={cij︱（vi，vj）∈A},此外D中只有一个源vs和汇vt( 即D中与vs相关联的弧只能以vs为起点，与vt相关联的弧只能以vt为终点)，则称D=(V,A,C, vs,vt)为一网络。

引例1：图1给出了一张网络，其中：vs为源，vt为汇，弧旁的数字为该段弧的容量cij与流量fij，则显然有0≤fij ≤ cij 。

v2 （3,3) v4

（3,3）（5,5）

vt (2,2) (2,2) (2,2) vt

(6,4) (6,2)

v1 (6,6) v3

图1

最大流问题可以建立如下形式的线性规划数学模型。图1最大流问题的线性规划数学模型为

12

max 0(,)0s s ij ij j i ij ij v f f f f i s t f c =+⎧-=≠⎪⎨⎪≤≤⎩∑∑所有弧(i,j)

由线性规划理论知，满足式上式的约束条件的解{fij}称为可行解，在最大流

问题中称为可行流。

可行流满足下列三个条件：

(1)0(2)(3)i j i j m j i m j i sj it vs vt f c

f f

v f f ≤≤===∑∑∑∑

条件（2）和条件（3）也称为流量守恒条件。

另外对有多个发点和多个收点的网络,可以另外虚设一个总发点和一个总收

点,并将其分别与各发点、收点连起来（图*），就可以转换为只含一个发点和一

个收点的网络。

S T

S*

T*

图*

所以一般只研究具有一个发点和一个收点的网络

在图D 中，从发点到收点的一条路线称为链，从发点到收点的方向规定为

链的方向。与链的方向相同的弧称为前向弧，前向弧集合记为u+ ，与链的方向

相反的弧称为后向弧，后向弧集合记为u-。

设f 是一个可行流，如果存在一条从发点vs 到收点vt 到的链u 满足：

（1）所有前向弧上fij ＜cij

(2) 所有后向弧上fij ＞0 ，则称链u 为增广链.

设,,,,s t S T V S T v S v T ∈⋂=∅∈∈则称

{}

(,)(,)|,i j i j S T v v v S v T =∈∈

为图D 的一个割集；称 (,)(,)(,)(,)i j i j v v s t C S T c v v ∈=∑ 为割集（S ，T ）的容量。

显然对任意可行流f 及任意割集（S ，T ）总有V(f)=C(S,T)。故有某个可行

流f*及某一割集（S*，T*）使得V(f*)= C （S*，T*），则f*为D 的最大流，（S*，

T*）为最小容量割集。

定理1 图D 上的可行流f*是最大流的充要条件是D 上不存在关于f*的增

广链。

三 求解网络最大流的方法（标号法）

标号法是一种图上迭代计算方法，该算法首先给出一个初始可行流，通过标

号找出一条增广链，然后调整增广链上的流量，得到更大的流量。再用标号找出

一条新的增广链，再调整直到标号过程不能进行下去为止，这时的可行流就是最

大流。

标号法步骤如下：

第一步 找出一个初始可行流fij(0),例如所有弧的流量fij(0) =0.

第二步 对点进行标号找出一条增广链。

（1） 起点标号（∞）

（2） 选一个点vi 已标号且另一端未标号的弧沿着某条链向收点检查

（a ）如果弧是前向弧且有fij ＜cij ，则vj 标号

j i j i j

c f θ=- （b ）如果弧是后向弧且有fij ﹥0，则vj 标号j ij f θ=

当收点已得到标号时，说明已找到增广链，依据v 的标号反向追踪得到一条

增广链。当收点不能得到标号时，说明不存在增广链，计算结束

第三步 调整流量

(1) 求增广链上点的vi 标号的最小值，得到调整量号

min j j j θθ=

(2) 调整流量

1(,)(,)(,)ij i j ij i j ij i j f v v u f f v v u f v v u θθ+-

⎧+∈⎪⎪=-∈⎨⎪∉⎪⎩

得到新的可行流f1，去掉所有标号，返回到第二步从发点重新标号寻找增广

链，直到收点不能标号为止。

四 例题应用

例2：用标号法求网络最大流（图1），弧旁数字为（cij ，fij(0)）。

解 （1） 标号过程。见图2。

（2） 增广链为{vs ，v1，v2，v3，vt} （注意2132(,),(,)v v v v u -∈）。

（3）调整量θ=2调整后得图3。

（4） 二次标号过程。见图3。

标号无法进行下去，最大流流量V(f*)=3+6=9，最小割集（S*，T*）, S*={vs},

T*={ v1，v2，v3，v4，vt}。

（-v1,2）

v2 （3,3） v4 （5,5）

（3,3）

vs （2,2） （2,2） （2,2） vt (v3,2) （0，+∞）

（6,4） （6,2）

v1 （6,6） v3

（v1,2） （-v2,2)

图2

v2 （3,3） v4

（5,5）

（3,3）

vs （2,0） （2,0） （2,2） vt

（0，+∞）

（6,6） （6,4）

v1 （6,6） v3

图3