函数的表示法知识点
关于函数数学知识点归纳
关于函数数学知识点归纳1、变量与常量在其中一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在其中一变化过程中有两个变量某与y,如果对于某的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说某是自变量,y是某的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点(1)解析法两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法把自变量某的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)某某某像法用某某某像表示函数关系的方法叫做某某某像法。
4、由函数解析式画其某某某像的一般步骤(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
(一)、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别,映射是一种特殊的对应,而函数又是一种特殊的映射。
2、对于函数的概念,应注意如下几点:(1)掌握构成函数的三要素,会判断两个函数是否为同一函数。
(2)掌握三种表示法,列表法、解析法、某某某象法,能根实际问题寻求变量间的函数关系式,特别是会求分段函数的解析式。
(3)如果y=f(u),u=g(某),那么y=f[g(某)]叫做f和g的复合函数,其中g(某)为内函数,f(u)为外函数3、求函数y=f(某)的反函数的一般步骤:(1)确定原函数的值域,也就是反函数的定义域;(2)由y=f(某)的解析式求出某=f—1(y);(3)将某,y对换,得反函数的习惯表达式y=f—1(某),并注明定义域注意①:对于分段函数的反函数,先分别求出在各段上的反函数,然后再合并到一起②熟悉的应用,求f—1(某0)的值,合理利用这个结论,可以避免求反函数的过程,从而简化运算(二)、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体,没有定义域的函数是不存在的,因此,要正确地写出函数的解析式,必须是在求出变量间的对应法则的同时,求出函数的定义域。
函数的概念及表示
函数的概念及表示知识点1:函数的概念1.函数的定义:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A 中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数,通常记为:y=f(x),x∈A.其中,所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域.2.规律方法:(1)判断一个对应关系是否是函数,要从以下三个方面去判断,即A、B必须是非空数集;A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应;A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.考点1:函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数.(1)A=N,B=R,对于任意的x∈A,x→±x;(2)A=R,B=N*,对于任意的x∈A,x→|x-2|;(3)A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4;(4)A=[-1,1],B={0},对于任意的x∈A,x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中,不能构成从A到B的函数的是________.(只填序号)①集合A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},f:x→y=x2;②集合A={x|2≤x≤3},B={y|4≤y≤7},f:x→y=3x-2;③集合A={x|1≤x≤4},B={y|0≤y≤3},f:x→y=-x+4;④集合A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},f:x→y=4-x2;⑤集合A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对任意(x,y)∈A,f:(x,y)→x+y.知识点2:函数的图像1.概念:将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)),当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点,所有这些点组成的集合(点集)为{(x,f(x))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.2.作函数图像的方法:(1)利用描点法作函数图象的基本步骤:求定义域→化简解析式→列表→描点→连线(2)在画定义域为某一区间的函数图象时,要注意端点值的画法,闭区间画实心点,开区间画空心圈.考点1:画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y =x 2+x (-1≤x ≤1); (2)y =2x (-2≤x <1,且x ≠0).(3)y =1+x (x ∈Z); (4)y =x 2-2x ,x ∈[0,3).考点2:函数图象的识别例1 设abc >0,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是________.(填序号)例2 如图所示,函数y =ax 2+bx +c 与y =ax +b (a ≠0)的图象可能是________(填序号).考点3:函数图象的应用例1 画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题:(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小;(2)若x1<x2<1,比较f(x1)与f(x2)的大小;(3)求函数f(x)的值域;(4)若关于x的方程f(x)=k在[-1,2]内仅有一个实根,求k的取值范围.例2 若方程-x2+3x-m=3-x在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围.考点4:函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表):(1)在所给的坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定y与x的一个函数关系式y=f(x);(2)设销售此商品的日销售利润为P元,根据上述关系写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?知识点3:函数的定义域1.概念:函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法:(1)若()x f为整式,则定义域为R.(2)若()x f是分式,则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式,则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合; (4)若()x f 是由几部分组成的,其定义域是使各部分都有意义的实数的集合; (5)实际问题中,确定定义域要考虑实际问题. 考点1:具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域:⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2:抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为________;例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0,求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围.知识点4:函数的值域1.概念:函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法: (1)观察法 (2)判别式法 (3)配方法 (4)换元法 (5)不等式法 (6)图像法 (7)分离常数法 考点1:用观察法求值域 例1 求下列函数的值域:(1)2415+-=x x y (2)123422--+-=x x x x y考点2:用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域.考点3:用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4:用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5:用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6:用图像法求值域 例1 求下列函数的值域:⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像,并根据其图像写出该函数的值域。
(完整版)高考函数知识点总结(全面)
高考函数总结一、函数的概念与表示 1、函数 (1)函数的定义①原始定义:设在某变化过程中有两个变量x 、y ,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就称y 是x 的函数,x 叫作自变量。
②近代定义:设A 、B 都是非空的数的集合,f :x →y 是从A 到B 的一个对应法则,那么从A 到B 的映射f :A →B 就叫做函数,记作y=f(x),其中B y A x ∈∈,,原象集合A 叫做函数的定义域,象集合C 叫做函数的值域。
B C ⊆(2)构成函数概念的三要素 ①定义域 ②对应法则 ③值域 3、函数的表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图象法 注意:强调分段函数与复合函数的表示形式。
二、函数的解析式与定义域1、函数解析式:函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式, 求函数解析式的方法:(1) 定义法 (2)变量代换法 (3)待定系数法(4)函数方程法 (5)参数法 (6)实际问题2、函数的定义域:要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。
求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零;(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的,那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
3。
复合函数定义域:已知f (x )的定义域为[]b a x ,∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出。
三、函数的值域 1.函数的值域的定义在函数y=f (x )中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
2.确定函数的值域的原则①当函数y=f (x )用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合;②当函数y=f (x )用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数y=f(x )用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数y=f (x )由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。
函数的表示法知识点总结
函数的表示法知识点总结本节知识点(1)函数的表示法. (2)分段函数. (3)函数的图象变换. 说明:新课标对映射不作要求. 知识点一 函数的表示法函数的表示法有三种,分别是解析法、图象法和列表法. 解析法用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法,记作)(x f y . 这个数学表达式叫做函数解析式、函数表达式或函数关系式.解析法是不是函数的一种重要方法,这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了两个变量之间的数量关系.图象法在平面直角坐标系中,用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法能形象、直观地反映因变量随自变量的变化趋势,从“形”的方面刻画了两个变量之间的数量关系.函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.列表法的优点是不用通过计算,就可以得出与自变量对应的函数值.知识点二 分段函数 分段函数的定义有些函数在其定义域内,对于自变量x 的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数. 关于分段函数:(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.注意各段函数定义域的交集为空集;(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集;(3)分段函数包括几段,它的图象就有几条曲线组成.采用“分段作图”法画分段函数的图象:在同一平面直角坐标系中,依次画出各段函数的图象,这些函数的图象组合在一起就是分段函数的图象;(4)分段函数是一个函数,而不是几个函数;(5)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并在各段解析式的后面标明相应的自变量的取值范围;(6)处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值在哪一段函数的区间内,再选取相应的对应关系.几种常见的分段函数1.取整函数[]xy=([]x表示不大于x的最大整数).其图象如图(1)所示.图(1)取整函数的图象图(2)绝对值函数的图象2.绝对值函数含有绝对值符号的函数.如函数()()⎩⎨⎧-<---≥+=+=22222xxxxxy,其图象如图(2)所示,为一条折线.解决绝对值函数的问题时,先把绝对值函数化为对应的分段函数,然后分段解决.3.自定义函数如函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<----≤--=2221211)(2xxxxxxxxf为自定义的分段函数,其图象如图(3)所示.4.符号函数x y sgn =符号函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn )(x x x x x f ,其图象如图(4)所示.符号函数的性质: x x x sgn =.图(3)图(4)符号函数的图象说明:函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线或离散的点. 分段函数的常见题型 1.求分段函数的函数值.求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值属于哪一个区间段,然后代入该段的解析式求值.当出现))((a f f 的形式时,应从内到外依次求值.例1. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=,2,2,2,21)(2x x x x x x f ,则))1((f f 的值为【 】 (A )21-(B )2 (C )4 (D )11 解:∵21<,∴()32112=+=f ,∴()3))1((f f f = ∵23>,∴()423133=-+=f ,∴4))1((=f f .【 C 】. 习题1. 已知函数⎩⎨⎧>-≤++=,0,3,0,34)(2x x x x x x f ,则=))5((f f 【 】(A )0 (B )2- (C )1- (D )12.已知分段函数的函数值,求自变量的值.方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的值.注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数定义域内,不在的应舍去.例2. 已知函数⎩⎨⎧<<--≤+=)21()1(2)(2x x x x x f ,若3)(=x f ,则=x _________.解:当1-≤x 时,32=+x ,解之得:1=x ,不符合题意,舍去;当21<<-x 时,32=x ,解之得:3±=x ,其中13-<-=x ,舍去,∴3=x 综上,3=x .习题2. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ,若5)(=x f ,则x 的值是【 】(A )2- (B )2或25-(C )2或2- (D )2或2-或25-习题3. 已知⎩⎨⎧≤+>=)0(1)0(2)(x x x x x f ,若0)1()(=+-f a f ,则实数a 的值等于________.3.求分段函数自变量的取值范围在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.例3. 已知函数⎩⎨⎧<+-≥-=)1(32)1(23)(22x x x x x x f ,求使2)(<x f 成立的x 的取值范围. 解:由题意可得:⎩⎨⎧<-≥22312x x x 或⎩⎨⎧<+-<23212x x 解不等式组⎩⎨⎧<-≥22312x x x 得:1≤371+<x ;解不等式在⎩⎨⎧<+-<23212x x 得:22-<x 或122<<x∴使2)(<x f 成立的x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧+<<-<3712222x x x 或. 习题4. 已知()()⎩⎨⎧<≥=0001)(x x x f ,则不等式x x xf +)(≤2的解集为【 】(A )][1,0 (B )][2,0 (C )](1,∞- (D )](2,∞-习题5. 设函数()()⎩⎨⎧<+≥+-=06064)(2x x x x x x f ,则不等式)1()(f x f >的解集是_______.习题6. 函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=434212)(x x x x x x x f ,若3)(-<a f ,则实数a 的取值范围是_____.例 4. 已知0≠a ,函数()()⎩⎨⎧≥--<+=1212)(x a x x a x x f ,若()()a f a f +=-11,则a 的值为_________.解:当11<-a ,即0>a 时,11>+a∴()()a a a a f -=+-=-2121,()a a a a f 31211--=---=+ ∵()()a f a f +=-11 ∴a a 312--=-,解之得:023<-=a ,不符合题意,舍去; 当11>-a ,即0<a 时,11<+a()()a a a a f --=---=-1211,()()a a a a f 32121+=++=+∵()()a f a f +=-11∴a a 321+=--,解之得:43-=a ,符合题意.综上,a 的值为43-.习题7. 设()⎩⎨⎧≥-<<=)1(12)10()(x x x x x f ,若)1()(+=a f a f ,则=⎪⎭⎫⎝⎛a f 1_________. 习题8. 设⎩⎨⎧<≥=)0()0()(2x x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=)2()2()(2x x x x x ϕ,则当0<x 时,=))((x f ϕ【 】(A )x - (B )2x - (C )x (D )2x图(5)习题9. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(x xx x x f ,若a a f =)(,则实数a 的值为【 】(A )1± (B )1- (C )2-或1- (D )1±或2-4.求分段函数的定义域分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.例5. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<+≤≤=)2(12)21(1)10(2)(x x x x x x x f 的定义域是_________.解:由各段函数的定义域可知该分段函数的定义域为[]())[)[∞+=∞+,0,22,11,0 .5.求分段函数的值域分段函数的值域是各段函数值域的并集.对于某些简单的分段函数,可画出其图象,象法).例6. 设∈x R ,求函数x x y 312--=的值域. 解:当x ≥1时,()2312--=--=x x x y ; 当0≤1<x 时,()25312+-=--=x x x y ; 当0<x 时,()2312+=+-=x x x y .综上所述,⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--=)0(2)10(25)1(2x x x x x x y其图象如图(5)所示,由图象可知其值域为](2,∞-. 另解:由上面可知:⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--=)0(2)10(25)1(2x x x x x x y 当x ≥1时,函数2--=x y 的值域为](3,-∞-;图(6)当0≤1<x 时,函数25+-=x y 的值域为(]2,3-; 当0<x 时,函数2+=x y 的值域为)(2,∞-.∴函数x x y 312--=的值域为]( 3,-∞-(] 2,3-)(=∞-2,](2,∞-.例7. 若∈x R ,函数)(x f 是x y x y =-=,22这两个函数值中的较小者,则函数)(x f 的最大值为【 】(A )2 (B )1 (C )1- (D )无最大值 解:解不等式22x -≥x 得:2-≤x ≤1 ∴当2-≤x ≤1时,x x f =)(,其值域为[]1,2-; 解不等式x x <-22得:1>x 或2-<x∴当1>x 或2-<x 时,22)(x x f -=,其值域为()1,∞-综上所述,⎩⎨⎧-<>-≤≤-=)21(2)12()(2x x x x x x f 或 函数)(x f 的值域为[] 1,2-()](1,1,∞-=∞- ∴函数)(x f 在其值域内的最大值为1. 函数)(x f 的图象如图(6)所示.习题10. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<<=)2015(5)1510(4)100(2)(x x x x f ,则函数)(x f 的值域是【 】(A ){}5,4,2 (B )()5,2 (C )()4,2 (D )()5,4习题11. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=)2(3)21(2)10(2)(2x x x x x f 的值域是【 】(A )R (B ))[∞+,0 (C )[]3,0 (D )[]{}32,0 习题12. 已知函数()2221)(≤<--+=x xx x f . (1)用分段函数的形式表示该函数;(2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域.习题13. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=)0(21)0(2)0(3)(2x x x x x x f .(1)画出函数)(x f 的图象;(2)求))(1(2R a a f ∈+,))3((f f 的值; (3)当)(x f ≥2时,求x 的取值范围.图(7)知识点三 函数的图象变换 函数图象的平移变换在平面直角坐标系中,函数图象的平移变换分为上下平移变换和左右平移变换两种.图象变换后,函数的解析式也发生了有规律的变化. (1)上下平移变换将函数)(x f y =的图象沿y 轴方向向上()0>b 或向下()0<b 平移b 个单位长度,得到函数b x f y +=)(的图象,即遵循“上加下减”的原则. (2)左右平移将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向左()0>a 或向右()0<a 平移a 个单位长度,得到函数)(a x f y +=的图象,即遵循“左加右减”的原则.例1. 将函数x y =的图象向上和向下平移2个单位长度,画出平移后的函数的图象.解:函数x y =,即函数()()⎩⎨⎧<-≥=00x x x x y .将函数x y =的图象向上平移2个单位长度,得到函数2+=x y 的图象,如图(1)所示;将函数x y =的图象向下平移2个单位长度,得到函数2-=x y 的图象,如图(2)所示.图(1)图(2)例2. 将函数x y 1=的图象向左平移1个单位长度,画出平移后的函数的图象. 解:将函数x y 1=的图象向左平移1个单位长度,得到函数11+=x y 的图象,如图(3)所示.图(3)说明:在图(3)中,反比例函数xy 1=的图象无限趋近于x 轴和y 轴,但不相交.因此把x 轴和y 轴叫做双曲线x y 1=的两条渐近线.所以,函数11+=x y 的图象的两条渐近线分别是x 轴和直线1-=x .例3. 将函数221)(x x f =的图象向右平移1个单位长度,画出平移后的函数的图象. 解:将函数221)(x x f =的图象向右平移1个单位长度,得到函数()2121)(-=x x f 的图象,如图(4)所示.图(4)1)2函数图象的对称变换在同一平面直角坐标系中,下列函数图象的对称关系为: (1)函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于x 轴对称; (2)函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于y 轴对称;(3)函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于原点对称(即关于原点成中心对称). 根据以上两个函数图象的对称关系,作出其中一个函数的图象,可以作出相应的另一个函数的图象.例4. 已知函数)(x f y =的图象如图(5)所示,画出函数)1(x f y -=的大致图象.图(5)解:∵ ()[]1)1(--=-=x f x f y ,∴先作出函数)(x f y =的图象关于y 轴对称的函数)(x f y -=的图象,如图(6)所示,再把函数)(x f y -=的图象向右平移1个单位长度,即可得到函数)1(x f y -=的图象,如图(7)所示.图(6)图(7)函数图象的翻折变换在同一平面直角坐标系中,通过对函数)(x f y =图象的翻折变换,可以得到函数)(x f y =和)(x f y =的图象.(1)要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可;(2)要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧即可.例5. 画出函数132+-=x x y 的大致图象. 解:()1521512132+-=+-+=+-=x x x x x y 先作出函数,5的图象x y -=然后把函数的图象xy 5-=向左平移1个单位长度,得到函数15+-=x y 的图象,再把函数15+-=x y 的图象向上平移2个单位长度,即可得到函数132+-=x x y 的大致图象,如图(8)所示.图(8)说明:在图(8)中,直线1-=x 和直线2=y 是函数132+-=x x y 的图象的两条渐近线. 例6. 作出函数322--=x x y 的大致图象.解:先作出函数322--=x x y 的图象,然后把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可得到函数322--=x x y 的图象,如图(9)所示.图(9)3说明:事实上,函数322--=x x y 为绝对值函数,可化为分段函数:()()⎩⎨⎧<<-++-≥-≤--=--=3132313232222x x x x x x x x x y 或.例7. 作出函数322--=x x y 的大致图象.解:先作出函数322--=x x y 的图象,然后保留其在y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧即可得到函数322--=x x y 的图象,如图(10)所示.x 3图(9)说明:事实上,()()⎩⎨⎧<-+≥--=--=03203232222x x x x x x x x y .习题1. 若方程m x x =+-342有四个互不相等的实数根,则实数m 的取值范围是________. 提示:根据数形结合思想,构造两个函数:342+-=x x y 和常数函数m y =,将方程的根的个数转化为两个函数图象的交点个数问题.习题2. 将函数()3122-+=x y 的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得的图象对应的函数解析式为________________.习题3. 画出函数1322--+=x x x y 的图象,并根据图象指出函数的值域.知识点四 求函数的解析式 求函数的解析式的方法(1)待定系数法; (2)换元法; (3)配凑法; (4)解方程组法; (5)赋值法. 一、待定系数法已知函数的类型,求函数的解析式,用待定系数法.例1. 已知一次函数)(x f 满足64))((+=x x f f ,求函数)(x f 的解析式. 解:设函数b kx x f +=)( ∵64))((+=x x f f∴()64)(2+=++=++=+x b kb x k b b kx k b kx f∴⎩⎨⎧=+=642b kb k ,解之得:⎩⎨⎧==22b k 或⎩⎨⎧-=-=62b k∴22)(+=x x f 或62)(--=x x f .例2. 已知)(x f 是一次函数,且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ,求函数)(x f 的解析式. 解:设函数b kx x f +=)(,则:()b k kx b x k x f ++=++=+1)1(,()b k kx b x k x f +-=+-=-1)1(∵172)1(2)1(3+=--+x x f x f ∴()()17223+=+--++x b k kx b k kx 整理得:1725+=++x b k kx∴⎩⎨⎧=+=1752b k k ,解之得:⎩⎨⎧==72b k∴72)(+=x x f .例 3. 已知函数)(x f 是二次函数,且满足1)0(=f ,x x f x f 2)()1(=-+,求函数)(x f 的解析式.解:设c bx ax x f ++=2)( ∵1)0(=f∴1)(,12++==bx ax x f c∴()()()12111122+++++=++++=+b a bx ax ax x b x a x f∵x x f x f 2)()1(=-+ ∴x b a ax 22=++∴⎩⎨⎧=+=022b a a ,解之得:⎩⎨⎧-==11b a∴1)(2+-=x x x f .习题1. 已知)(x f 是一次函数,且14))((-=x x f f ,求函数)(x f 的解析式.习题2. 已知)(x f 是二次函数,且0)0(=f ,1)()1(++=+x x f x f ,求函数)(x f 的解析式.习题3. (1)已知一次函数)(x f y =,3)1(,1)1(-=-=f f ,求)3(f ; (2)已知q px x x f ++=2)(,0)2()1(==f f ,求)1(-f .二、换元法已知函数))((x g f 的解析式,求函数)(x f 的解析式,用换元法. 例4. 已知函数x x x f 2)1(+=+,则)(x f 的解析式为____________. 解:设t x =+1,则()21-=t x (t ≥1)∴()()1121)(22-=-+-=t t t t f (t ≥1)∴1)(2-=x x f (x ≥1). (第二种解法见例8)注意:使用换元法求函数解析式,换元后要标明新元的取值范围,即函数)(x f 的定义域. 例5. 已知函数22)1(2++=+x x x f ,求)(x f 及)3(+x f . 解:设t x =+1,则1-=t x (∈t R ) ∴()()12121)(22+=+-+-=t t t t f∴1)(2+=x x f∴()10613)3(22++=++=+x x x x f .例6. 已知函数111+=⎪⎭⎫⎝⎛-x x f ,求函数)(x f 的解析式.解:由111+=⎪⎭⎫⎝⎛-x x f 可知:1≠x .设t x =-11,则tt x 1+=()0≠t ∴t t t t f 1211)(+=++=∴xx f 12)(+=()0≠x .习题7. 已知函数x x x f 2)1(2-=+,则)(x f 的解析式为____________. 习题8. 已知函数x x x f 2)1(+=-,求函数)(x f 的解析式.习题9. 若xx x f -=⎪⎭⎫⎝⎛11,则当0≠x 且1≠x 时,)(x f 等于【 】(A )x 1 (B )11-x (C )x -11 (D )11-x三、配凑法已知函数))((x g f 的解析式,求某些函数)(x f 的解析式,也可用配凑法. 例7. 已知函数x x x f 2)1(2-=+,求函数)(x f 的解析式. 解:∵x x x f 2)1(2-=+∴()()3141)1(2++-+=+x x x f∴34)(2+-=x x x f .例8. 已知函数x x x f 2)1(+=+,则)(x f 的解析式为____________. 解:∵x x x f 2)1(+=+ ∴()11)1(2-+=+x x f∵1+x ≥1∴1)(2-=x x f (x ≥1).例9. 已知x x x x x f 11122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,求函数)(x f 的解析式. 解法1(配凑法)∵x x x x x f 11122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ∴111111111122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x f∵111≠+x∴1)(2+-=x x x f (1≠x ). 解法2(换元法):习题10. 已知22)1(2++=+x x x f ,求函数)(x f 的解析式.习题11. 已知1)1(++=-x x x f ,求函数)(x f 的解析式.习题12. 已知函数13)(-=x x f ,若32))((+=x x g f ,则函数)(x f 的解析式为【 】(A )3432)(+=x x g (B )3432)(-=x x g (C )3234)(+=x x g (D )3234)(-=x x g提示:1)(3))((-=x g x g f . 四、解方程组法已知中含有⎪⎭⎫⎝⎛x f x f 1),(或)(),(x f x f -形式的函数,求函数)(x f 的解析式,用解方程组法.例10. 已知函数)(x f 满足x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12)(,则函数)(x f 的解析式为____________.解:∵x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12)(∴用x 1替换上式中的x ,得到:x x f x f 1)(21=+⎪⎭⎫⎝⎛解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+x x f x f x x f x f 1)(2112)(得:xx x f 3231)(+-=.例11. 定义在区间()1,1-上的函数)(x f 满足2)()(2x x f x f =--,求函数)(x f 的解析式. 解:∵()1,1-∈x ,∴()1,1-∈-x ∵2)()(2x x f x f =--∴用x -替换上式中的x ,得到:()22)()(2x x x f x f =-=--解方程组⎩⎨⎧=--=--22)()(2)()(2x x f x f x x f x f 得: )11()(2<<-=x x x f .习题13. 已知函数)(x f 满足2112)(+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx f x f ,则函数)(x f 的解析式为____________.习题14. 已知x x x f x f 2)(2)(2+=-+,求函数)(x f 的解析式.五、赋值法求抽象函数的解析式用赋值法.例12. 设)(x f 是R 上的函数,且满足1)0(=f ,并且对任意的实数y x ,都有:)12()()(+--=-y x y x f y x f ,求)(x f 的解析式.解:设y x =,∵1)0(=f∴()112)()0()(=+--==-x x x x f f y x f ∴1)(2++=x x x f .习题15. 已知对于任意实数y x ,都有y x y xy x y f y x f 332)(2)(22-+-+=-+,求函数)(x f 的解析式.。
关于函数的应用知识点总结
关于函数的应用知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义函数是一种特殊的关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
具体来说,设A和B是两个非空集合,如果存在一个规则f,使得对于A中的任意元素x,都有一个对应的元素y∈B,那么我们就说f是从A到B的一个函数。
我们通常用f(x)来表示函数f对元素x的映射结果。
2. 函数的符号表示函数通常用f(x)、g(x)、h(x)等符号表示,其中x称为自变量,f(x)称为因变量。
自变量的取值范围称为函数的定义域,因变量的取值范围称为函数的值域。
3. 函数的性质函数可以分为线性函数、多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等不同类型。
不同类型的函数具有不同的性质,例如线性函数的图像是一条直线,多项式函数的图像是曲线等。
二、函数的图像和性质1. 函数的图像函数的图像是自变量和因变量之间的关系在坐标系中的表示。
通常在直角坐标系中,自变量沿横轴,因变量沿纵轴,可以用一个曲线或者一系列点来表示函数的图像。
2. 函数的性质函数的性质可以通过图像的形状来进行观察和判断。
例如,函数的增减性、奇偶性、周期性等性质可以通过函数的图像来了解。
通过分析函数的性质,可以更好地理解函数的规律和特点。
三、函数的应用1. 函数在数学中的应用函数在数学中有着广泛的应用,例如在微积分中,函数被用来描述曲线的斜率、曲率、面积等概念。
在代数学中,函数被用来解方程、求极限、求导等。
在概率论和统计学中,函数被用来描述随机变量之间的关系等。
函数的应用贯穿于数学的方方面面,为数学的发展提供了重要的支撑。
2. 函数在物理中的应用函数在物理中有着重要的应用,例如在描述物体运动的过程中,速度、位移、加速度等物理量都可以用函数来表示。
在描述能量转化和传递的过程中,功率、能量等物理量也可以用函数来表示。
函数在物理学中有着广泛的应用,为理解和研究物理现象提供了重要的工具。
3. 函数在工程中的应用函数在工程中有着广泛的应用,例如在建筑设计中,通过函数来描述建筑物的结构和材料的力学性质。
3.1 函数的概念及其表示(学生版)
第三章《函数概念与性质》3.1函数的概念及其表示【知识梳理】知识点一函数的有关概念函数的定义设A ,B 是非空的实数集,如果对于集合A 中任意一个数x ,按照某种确定的对应关系f ,在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y =f (x ),x ∈A定义域x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域知识点二同一个函数一般地,函数有三个要素:定义域,对应关系与值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是同一个函数.特别提醒:两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同.知识点三区间1.区间概念(a ,b 为实数,且a<b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ,b ]{x |a <x <b }开区间(a ,b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ,b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ,b ]2.其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(-∞,+∞)[a ,+∞)(a ,+∞)(-∞,a ](-∞,a )知识点四函数的表示方法知识点五分段函数1.一般地,分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的对应关系的函数.2.分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集.3.作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象.【基础自测】1.若函数f(x)=ax2-1,a为一个正数,且f(f(-1))=-1,那么a的值是()A.1B.0C.-1D.22.已知函数f(2x+1)=6x+5,则f(x)的解析式是()A.f(x)=3x+2B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x-1D.f(x)=3x+43.函数y=x1+x的大致图象是()4.函数y=6-x|x|-4的定义域用区间表示为________.5.已知f (n )-3,n ≥10,n +5),n <10,则f (8)=________.【例题详解】一、函数关系的判断例1(1)下列各式中,表示y 是x 的函数的有()①()3y x x =--;②y =;③1,01,0x x y x x -≤⎧=⎨+≥⎩;④1,0,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数A .4个B .3个C .2个D .1个(2)设{|04}M x x =≤≤,{|40}N y y =-≤≤,函数()f x 的定义域为M ,值域为N ,则()f x 的图象可以是()A .B .C .D .跟踪训练1下列对应中:(1)x y →,其中{}21,1,2,3,4y x x =+∈,{}10,y x x x N ∈<∈;(2)x y →,其中2y x =,[)0,x ∈+∞,R y ∈;(3)x y →,其中y 为不大于x 的最大整数,x R ∈,y Z ∈;(4)x y →,其中1y x =-,*x ∈N ,*y N ∈.其中,是函数的是()A .(1)(2)B .(1)(3)C .(2)(3)D .(3)(4)二、求函数的定义域、函数值命题角度1求函数的定义域例2(1)函数y =)A .[]3,1-B .[]1,3-C .][(),31,-∞-⋃+∞D .][(),13,∞∞--⋃+(2)已知函数()1f x +的定义域为[1,7],则函数()(2)h x f x =)A .[4,16]B .(,1][3,)-∞⋃+∞C .[1,3]D .[3,4]跟踪训练2(1)函数0()(3)f x x =+的定义域是()A .(,3)(3,)-∞-⋃+∞B .(,3)(3,3)-∞--C .(,3)-∞-D .(,3)-∞(2)已知函数()f x ,则函数()()13y f x f x =--的定义域为()A .()2,11B .()2,13C .()2,15D .()4,11命题角度2求函数值例3(1)已知函数()1f x x x=+,则()()1010f f -+的值是().A .20-B .0C .1D .20(2)已知2211x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,则(3)f =_________.跟踪训练3(1)已知定义域为R 的函数()23f x x =-,()3g x x =,则()()1f g -=________.(2)已知函数3()3=+++cf x ax bx x,若()4f t =,则()f t -=()A .4-B .2-C .2D .0三、同一个函数的判定例4(1)下列四组函数,表示同一函数的是()A .()1f x x =+,()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩B .()f x =()g x x=C .()f x x =,()2x g x x=D .()f x =,()g x 跟踪训练4和函数2()f x x =是同一函数的是()A .2()(1)f x x =+B .()f x x =C .3()x f x x=D .(){,0,(0)()x x x x x x f x -≤>=四、求函数解析式命题角度1换元法例5(1)已知1111f x x⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则()f x =________________.(2)若函数11x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭,则()f x =____________.跟踪训练5(1)已知21,1x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭求()f x =____________.(2)已知()21232f x x x +=++,求()f x 的解析式.命题角度2配凑法例6(1)若1)f x +=+,则()f x 的解析式为()A .2()f x x x =-B .2()1(0)f x x x =-≥C .2()1(1)f x x x =-≥D .2()f x x x=+(2)已知3311()f x x x x+=+,则()f x =_____.(3)已知f (x -1x )=x 2+21x ,则f (x +1x)=________.跟踪训练6(1)已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,求()f x .(2)已知22111(x x f x x x++=+,求()f x 的解析式.命题角度3待定系数法例7(1)已知f (x )是一次函数,且满足()()3121217f x f x x +--=+,求f (x ).(2)已知()f x 是二次函数,且满足(0)1f =,(1)()2f x f x x +-=,求()f x 解析式.跟踪训练7(1)已知()f x 是一次函数,且()332f x x -=-,求()f x .(2)已知一次函数()f x 满足()()312237f x f x x =+--+,求函数()f x 的解析式.(3)已知()f x 是二次函数,且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+=+,求函数()f x 的解析式.命题角度4构造方程组法例8(1)若函数()f x 满足()1221f x f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,则()2f =()A .13-B .23C .83D .12(2)已知()f x 满足()()23f x f x x +-=,求()f x 的解析式.跟踪训练8(1)已知()1221f x f x x ⎛⎫⎪⎝=⎭+-+,求函数()f x 的解析式.(2)已知2()2()f x f x x x +-=-,求函数()f x 的解析式.五、函数的图象例9作出下列函数的图象.(1)1({21012})y x x =-∈--,,,,;(2)211x y x +=-;(3)2|2|1y x x =-+.(4)已知函数()22,23,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩.(i)在所给坐标系中作出()y f x =的简图;(ii)解不等式()12f x <.跟踪训练9作出函数()|2||5|f x x x =+--的图像.六、分段函数求值例10(1)已知函数()21,0x x f x x ⎧-≤⎪=>,若()3f a =,则a 的值为()AB .2C .9D .-2或9(2)已知函数()f x 的解析式22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩,(i)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(ii)若()2f a =,求a 的值;跟踪训练10(1)已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦,且1a >-,则=a ()A .12-B .0C .1D .2(2)已知函数()223,11,1111,1x x f x x x x x⎧⎪+<-⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩.(i)求((2))f f -的值;(ii)若()032f x =,求0x 的值.七、解分段函数不等式例11(1)已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩,满足()()f a f a <-,则a 的取值范围是()A .()(),20,2-∞-B .()(),22,∞∞--⋃+C .()()2,00,2-⋃D .()()2,02,-+∞ (2)设函数()22,,,.x x a f x x x a ⎧<=⎨≥⎩若()11>f ,则a 的取值范围为______.跟踪训练11(1)已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩,则使得()1f x ≥的x 的取值范围为()A .[]1,1-B .()1,1-C .()1,-+∞D .[)1,-+∞(2)已知函数242,1()23,1x x x f x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩,则满足不等式()()21f a f a <+的a 的取值范围是___________.八、分段函数的实际应用例12某企业投资生产一批新型机器,其中年固定成本为2000万元,每生产()*Nx x ∈百台,需另投入生产成本()R x 万元.当年产量不足46百台时,()23260R x x x =+;当年产量不小于46百台时,()4900501483020R x x x =+-+.若每台设备售价5万元,通过市场分析,该企业生产的这批机器能全部销售完.(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x (万元)关于年产量x (百台)的函数关系式(利润=销售额-成本);(2)这批新型机器年产量为多少百台时,该企业所获利润最大?并求出最大利润.跟踪训练12电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元,每生产x 万件该电子元件,需另投入成本()f x 万元,且2132,04,4()64938,420.x x x f x x x x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩已知该电子元件每件的售价为8元,且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完.(1)求该电子厂这种电子元件的利润y (万元)与生产量x (万件)的函数关系式;(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值.【课堂巩固】1.(多选)给出下列四个对应,其中构成函数的是()A .B .C .D .2.(多选)下列对应关系f ,能构成从集合M 到集合N 的函数的是()A .13,1,22M ⎧⎫=⎨⎩⎭,{6,3,1}N =--,162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,(1)3f =-,312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B .{|1}M N x x ==≥-,()21f x x =+C .{1,2,3}M N ==,()21f x x =+D .M =Z ,{1,1}N =-,1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数3.若函数()f x =()21f x -的定义域为()A .()0,2B .[)(]2,00,2-U C .[]22-,D .[]0,24.(多选)下列各组函数中,两个函数是同一函数的有()A .()f x x =与()g x =B .()1f x x =+与()211x g x x -=-C .()xfx x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D .()1f t t =-与()1g x x =-5.已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩,则不等式()3f x >的解集是()A .()()3,13,-+∞B .()(),12,3-∞-C .()()1,13,-+∞ D .()(),31,3-∞- 6.(多选)下列选项中正确的有()A .2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数B .||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-≤⎩表示同一函数C .函数()y f x =的图象与直线2x =的交点最多有1个D .若()|||1|f x x x =--,则102f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7.(多选)已知函数25,1(),12x x f x x x +<-⎧=⎨-<⎩,关于函数()f x 的结论正确的是()A .()f x 的定义域为RB .()f x 的值域为(,4)-∞C .()11f -=D .若()3f x =,则x8.(多选)已知函数()35,0,1,0,x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若()()2f f a =,则实数a 的值为()A .2-B .43-C .-1D .19.求函数()f x +=______________________10.已知函数()f x 是一次函数且(())2()2f f x f x x +=--,则函数()f x 的解析式为_________.11.若()211f x x -=+,则()0f =____________,()f x =_____________.12.已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()f x 的值域为______.13.设函数21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩,则(3)f -=________.14.已知函数()(4),f x x x x R =-∈.(1)把函数()f x 写成分段函数的形式;(2)在给定的坐标系内作函数()f x 的图象.15.已知函数()2,0,2,0,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩解不等式2()f x x ≤16.已知函数f (x )=222x x x +⎧⎪⎨⎪⎩(1)(12)(2)x x x ≤--<<≥(1)求{}f f f ⎡⎤⎣⎦的值;(2)求()3f a =,求a 的值;(3)画出函数的图像.【课时作业】1.下列函数中,相同的一组是()A.y =2y =B.y =,y =C .21y x =+,4211x y x -=-D .21y x =-,4211x y x -=+2.已知函数)22f x +=+,则()f x 的最小值是()A .1-B .2C .1D .03.设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,则()f x 的表达式为()A .()111x xx +-≠B .()111x xx +-≠C .()111xxx +≠--D .()211xx x ≠-+4.已知一次函数()f x 满足(2)2(21)94f x f x x +-+=--,则()f x 解折式为()A .()24f x x =--B .()23f x x =-+C .()34=+f x x D .()32f x x =-+5.一次函数()f x 满足:()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=,则()1f =()A .1B .2C .3D .56.设22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.若()3f x =,则x 的值为().A .1BC.D .327.已知函数f (x )满足f (x )+2f (3-x )=x 2,则f (x )的解析式为()A .f (x )=x 2-12x +18B .f (x )=213x -4x +6C .f (x )=6x +9D .f (x )=2x +38.已知函数2,(){2,0x x f x x x +≤=-+>,则不等式2()f x x ≥的解集是()A .[1,1]-B .[2,2]-C .[2,1]-D .[1,2]-9.(多选)若函数()()221120x f x x x--=≠,则下列结论正确的是()A .1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B .()324f =-C .()()()2411f x x x =≠-D .()221411x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-(0x ≠且1x ≠)10.(多选)已知函数2+2,<1()=+3,1x x f x x x -≥⎧⎨⎩,则()A .3f f ⎡⎤=⎣⎦B .若()1f x =-,则=2x 或3x =-C .()2f x <的解集为()(),01,-∞⋃+∞D .x ∀∈R ,()a f x >,则3a ≥11.若函数()1f x +的定义域为[]2,3-,则函数()()g x f x =______.12.已知集合0|A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,2|0,1x B x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭,则A B = ________.13.已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦,则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________14.若一次函数()f x 满足:对任意x 都有()()221221xf x f x x x ++=++,则()f x 的解析式为______________.15.已知函数24,0(),0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩,若()4f m =,则m =___________.16.设1,()2(1),1,x f x x x <<=-≥⎪⎩若()(1)f a f a =+,则()f a =________.17.设定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()g x =___________.18.已知()1,11x x f xx +≤⎧⎪=>,若()()1f x f x >+,则x 的取值范围是___________.19.求下列函数的定义域(1)y ;(2)y =(3)y x x=-(0a >).20.根据下列条件,求()f x 的解析式.(1)已知)225fx =+(2)已知()()2232f x f x x x+-=-(3)已知()f x 是二次函数,且满足()()()01,12f f x f x x=+-=21.已知函数()()211x x f x x -=-;(1)作出该函数的图象;(2)写出该函数的值域.22.已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩(1)求()()1f f 的值;(2)若()2f a =,求a 的值;(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象,并根据图象写出函数()f x 的定义域和值域.。
高考函数知识点总结全面
高考函数总结一、函数的概念与表示 1、函数 1函数的定义①原始定义:设在某变化过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就称y 是x 的函数,x 叫作自变量;②近代定义:设A 、B 都是非空的数的集合,f :x →y 是从A 到B 的一个对应法则,那么从A 到B 的映射f :A →B 就叫做函数,记作y=fx,其中B y A x ∈∈,,原象集合A 叫做函数的定义域,象集合C 叫做函数的值域;B C⊆2构成函数概念的三要素 ①定义域 ②对应法则 ③值域 3、函数的表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图象法 注意:强调分段函数与复合函数的表示形式; 二、函数的解析式与定义域1、函数解析式:函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式, 求函数解析式的方法:(1) 定义法 2变量代换法 3待定系数法 4函数方程法 5参数法 6实际问题2、函数的定义域:要使函数有意义的自变量x 的取值的集合;求函数定义域的主要依据: 1分式的分母不为零;2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; 3对数函数的真数必须大于零;4指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的,那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集; 3;复合函数定义域:已知fx 的定义域为[]b a x ,∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出;三、函数的值域 1.函数的值域的定义在函数y=fx 中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域;2.确定函数的值域的原则①当函数y=fx 用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合;②当函数y=fx 用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数y=fx 用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数y=fx 由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定; 3.求函数值域的方法①直接法:从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围; ②二次函数法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域; ③反函数法:将求函数的值域转化为求它的反函数的值域;④判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围; ⑤单调性法:利用函数的单调性求值域; ⑥不等式法:利用不等式的性质求值域;⑦图象法:当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域; ⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域; 四.函数的奇偶性1.定义: 设y=fx,x ∈A,如果对于任意x ∈A,都有()()f x f x -=,则称y=fx 为偶函数;设y=fx,x ∈A,如果对于任意x ∈A,都有()()f x f x -=-,则称y=fx 为奇函数;如果函数()f x 是奇函数或偶函数,则称函数y=()f x 具有奇偶性;2.性质:①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称, ②y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同,④偶函数无反函数,奇函数的反函数还是奇函数,⑤若函数fx 的定义域关于原点对称,则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和)]()([21)]()([21)(x f x f x f x f x f --+-+=⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称 ⑦对于Fx=fgx :若gx 是偶函数,则Fx 是偶函数若gx 是奇函数且fx 是奇函数,则Fx 是奇函数 若gx 是奇函数且fx 是偶函数,则Fx 是偶函数3.奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称 ②看fx 与f-x 的关系 五、函数的单调性 1、函数单调性的定义一般地,设一连续函数 fx 的定义域为D ,则• 如果对于属于定义域D 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2∈D 且x 1>x 2,都有f x 1 >f x 2,即在D 上具有单调性且单调增加,那么就说f x 在这个区间上是增函数;•相反地,如果对于属于定义域D 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2∈D 且x 1>x 2,都有fx 1 <fx 2,即在D 上具有单调性且单调减少,那么就说 f x 在这个区间上是减函数;则增函数和减函数统称单调函数; 2、判断函数单调性求单调区间的方法:1从定义入手,2从图象入手,3从函数运算入手,4从熟悉的函数入手 5从复合函数的单调性规律入手 注:函数的定义域优先3、函数单调性的证明:定义法“取值—作差—变形—定号—结论”;4、一般规律1若fx,gx 均为增函数,则fx+gx 仍为增函数; 2若fx 为增函数,则-fx 为减函数; 3互为反函数的两个函数有相同的单调性;4设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数;若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;六、反函数 1、反函数的概念:设函数y=fx 的定义域为A,值域为C,由y=fx 求出()y xϕ=,若对于C 中的每一个值y,在A 中都有唯一的一个值和它对应,那么()y x ϕ=叫以y 为自变量的函数,这个函数()y xϕ=叫函数y=fx 的反函数,记作()y fx1-=,通常情况下,一般用x 表示自变量,所以记作()x fy 1-=;注:在理解反函数的概念时应注意下列问题;1只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数; 2反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域; 2、求反函数的步骤1解关于x 的方程y=fx,达到以y 表示x 的目的; 2把第一步得到的式子中的x 换成y,y 换成x ; 3求出并说明反函数的定义域即函数y=fx 的值域; 3、关于反函数的性质1y=fx 和y=f -1x 的图象关于直线y=x 对称; 2y=fx 和y=f -1x 具有相同的单调性;3y=fx 和x=f -1y 互为反函数,但对同一坐标系下它们的图象相同; 4已知y=fx,求f -1a,可利用fx=a,从中求出x,即是f -1a ; 5f -1fx=x;6若点Pa,b 在y=fx 的图象上,又在y=f -1x 的图象上,则Pb,a 在y=fx 的图象上; 7证明y=fx 的图象关于直线y=x 对称,只需证得y=fx 反函数和y=fx 相同; 七.二次函数1.二次函数的解析式的三种形式1一般式:fx=ax 2+bx+ca ≠0,其中a 是开口方向与大小,c 是Y 轴上的截距,而ab2-是对称轴; 2顶点式配方式:fx=ax-h 2+k 其中h,k 是抛物线的顶点坐标;3两根式因式分解:fx=ax-x 1x-x 2,其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标;求一个二次函数的解析式需三个独立条件,如:已知抛物线过三点,已知对称轴和两点,已知顶点和对称 轴;又如,已知fx=ax 2+bx+ca ≠0,方程fx-x=0的两根为21,x x ,则可设 fx-x=()()(),21x x x x a x x f --=-或()()()x x x x x a x f +--=21;2.二次函数fx=ax 2+bx+ca ≠0的图象是一条抛物线,对称轴ab x 2-=,顶点坐标)44,2(2a b ac a b --1a>0时,抛物线开口向上,函数在]2,(a b --∞上单调递减,在),2[+∞-a b 上单调递增,ab x 2-=时,ab ac x f 44)(2m in-= 2a<0时,抛物线开口向下,函数在]2,(a b --∞上单调递增,在),2[+∞-a b 上单调递减,abx 2-=时,ab ac x f 44)(2m ax -=3.二次函数fx=ax 2+bx+ca ≠0当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1x 1,0,M 2x 2,0ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)( 4.二次函数与一元二次方程关系 方程)0(02≠=++a c bx ax的根为二次函数fx=ax 2+bx+ca ≠00=y 的x 的取值;二次函数与一元二次不等式的关系一元二次不等式)0(02<>++c bx ax 的解集为二次函数fx=ax 2+bx+ca ≠0)0(0<>y 的x 的取值范围;二次函数 △情况 一元二次方程 一元二次不等式解集Y=ax 2+bx+c a>0△=b 2-4acax 2+bx+c=0 a>0ax 2+bx+c>0 a>0ax 2+bx+c<0 a>0图象与解△>0a b x a b x 2221∆+-=∆--={}21x x x x x ><或{}21x x xx <<△=0abx x 221-=={}0x x x ≠Φ△<0 方程无解 RΦ八.指数式与对数式 1.幂的有关概念1正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n个,2零指数幂)0(10≠=a a3负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈4正分数指数幂)0,,,1mn m n a a a m n N n *=>∈>; 5负分数指数幂)10,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3.根式1根式的定义:一般地,如果a xn=,那么x 叫做a 的n 次方根,其中()*∈>N n n ,1,n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫被开方数;2根式的性质: ①当n 是奇数,则a a nn =;当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n②负数没有偶次方根, ③零的任何次方根都是零4.对数1对数的概念 如果)1,0(≠>=a a N ab,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质:①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质N M MN ①a a a log log log +=N M NM②a a alog log log -= M n M ③a n a log log =其中a>0,a ≠0,M>0,N>04对数换底公式:)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a且且5对数的降幂公式:)10,0(log log≠>>=a a N N mnN a n a m且 九.指数函数与对数函数1、 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1互为反函数,从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x a>0且a ≠1y=log a x a>0 , a ≠1定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点 0,1 1,0图象指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称单调性a> 1,在-∞,+ ∞上为增函数 0<a<1, 在-∞,+ ∞上为减函数a>1,在0,+ ∞上为增函数 0<a<1, 在0,+ ∞上为减函数值分布y>1 y<1y>0 y<0比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理 记住下列特殊值为底数的函数图象:3、 研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径; 十.函数的图象1、作函数图象的基本方法有两种:(1) 描点法:1、先确定函数定义域,讨论函数的性质奇偶性,单调性,周期性2、列表注意特殊点,如:零点,最大最小,与轴的交点 3、描点,连线 如:作出函数xx y 1+=的图象. (2) 图象变换法:利用基本初等函数变换作图① 平移变换:左正右负,上正下负即kx f y x f y h x f y x f y k k h h +=−−−−−→−=+=−−−−−→−=><><)()()()(,0;,0,0;,0上移下移左移右移 ② 对称变换:对称谁,谁不变,对称原点都要变)()()()()()()()()()()()(1x f y x f y x f y x f y x fy x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x x y xy y x =−−−−−−−−−→−==−−−−−−−−−−→−==−−→−=--=−−→−=-=−→−=-=−→−=-=轴下方图上翻轴上方图,将保留边部分的对称图轴右边不变,左边为右原点轴轴③ 伸缩变换:)()()()(1x Af y x f y x f y x f y A =−−−−−−−−→−==−−−−−−−−−→−=⎪⎭⎫⎝⎛倍来的仍一点的纵坐标变为原倍来的仍一点的横坐标变为原ϖϖ导数与积分1.导数的概念函数y=fx,如果自变量x 在x 0处有增量x ∆,那么函数y 相应地有增量y ∆=fx 0+x ∆-fx 0,比值x y∆∆叫做函数y=fx 在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率,即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00;如果当0→∆x 时,x y∆∆有极限,我们就说函数y=fx 在点x 0处可导,并把这个极限叫做fx 在点x 0处的导数,记作f’x 0或y’|0x x =;即fx 0=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00;2.导数的几何意义函数y=fx 在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=fx 在点px 0,fx 0处的切线的斜率;也就是说,曲线y=fx 在点px 0,fx 0处的切线的斜率是f’x 0;相应地,切线方程为y -y 0=f`x 0x -x 0; 3.几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;nn x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();xxe e '= ⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x ex '=.4.两个函数的和、差、积的求导法则.)'''v u v u ±=± .)('''uv v u uv +=⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -v ≠0;复合函数的导数:单调区间:一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导,如果'f )(x 0>,则)(x f 为增函数; 如果'f 0)(<x ,则)(x f 为减函数;如果在某区间内恒有'f 0)(=x ,则)(x f 为常数;2.极点与极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3.最值:一般地,在区间a,b 上连续的函数f )(x 在a,b 上必有最大值与最小值;①求函数ƒ)(x 在a,b 内的极值; ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒa 、ƒb ;③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒa 、ƒb 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值;4.定积分1概念:设函数fx 在区间a,b 上连续,用分点a =x0<x1<…<xi -1<xi<…xn =b 把区间a,b 等分成n 个小区间,在每个小区间xi -1,xi 上取任一点ξii =1,2,…n 作和式In =∑ni f1=ξi △x 其中△x 为小区间长度,把n→∞即△x→0时,和式In 的极限叫做函数fx 在区间a,b 上的定积分,记作:⎰badxx f )(,即⎰badxx f )(=∑=∞→ni n f1lim ξi △x;这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b 叫做积分区间,函数fx 叫做被积函数,x 叫做积分变量,fxdx 叫做被积式; 基本的积分公式:⎰dx 0=C ;⎰dx x m=111++m xm +Cm ∈Q, m≠-1;⎰x 1dx =ln x +C ; ⎰dx e x =x e +C ;⎰dx a x =a a x ln +C ;⎰xdx cos =sinx +C ; ⎰xdx sin =-cosx +C 表中C 均为常数;2定积分的性质 ①⎰⎰=ba badxx f k dx x kf )()(k 为常数;②⎰⎰⎰±=±ba b ab adx x g dx x f dx x g x f )()()()(;③⎰⎰⎰+=bacabcdxx f dx x f dx x f )()()(其中a <c <b );3定积分求曲边梯形面积由三条直线x =a,x =ba<b,x 轴及一条曲线y =fxfx≥0围成的曲边梯的面积⎰=badxx f S )(;如果图形由曲线y1=f1x,y2=f2x 不妨设f1x≥f2x≥0,及直线x =a,x =ba<b 围成,那么所求图形的面积S =S 曲边梯形AMNB -S 曲边梯形DMNC =⎰⎰-babadxx f dx x f )()(21;。
函数运算知识点总结
函数运算知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是一种数学对象,它表示输入到输出的映射关系。
一个函数通常用一个或多个自变量表示,通过特定的规则,计算得到相应的因变量。
一个函数可以表示为 f(x)=y,其中 x 是自变量,y 是因变量,f(x) 表示函数在自变量 x 下的取值。
1.2 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的几何表示,它是函数横坐标和纵坐标的关系。
函数的图像可以用函数的表达式绘制成图形,通过观察函数的图像可以了解函数的性质和行为。
1.3 函数的定义域和值域函数的定义域是指函数定义的自变量的取值范围,函数的值域是指函数在定义域内的所有可能的因变量的取值范围。
函数的定义域和值域在确定函数的性质和行为上起到了重要的作用。
1.4 初等函数初等函数是指一些基本的函数形式,包括代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
初等函数是用于描述自然界和社会现象的一种数学模型,对于初等函数的研究在数学和物理等领域具有重要的意义。
1.5 函数运算函数运算是指对函数进行加、减、乘、除等运算,包括函数的复合、反函数、逆函数等。
函数运算的目的是得到新的函数,以便对函数进行更复杂的研究和应用。
二、函数的性质2.1 函数的奇偶性一个函数的奇偶性是指该函数在坐标系中的对称性。
若函数满足 f(-x)=f(x) ,则称其为偶函数;若函数满足 f(-x)=-f(x) ,则称其为奇函数。
奇偶性是函数性质的重要特征,在函数的图像和性质分析中起到重要的作用。
2.2 函数的单调性一个函数的单调性是指函数图像在定义域内的单调增加或单调减少的性质。
若函数满足对于任意的 x1<x2 ,有 f(x1)<f(x2) ,则称其为单调增加函数;若函数满足对于任意的x1<x2 ,有 f(x1)>f(x2) ,则称其为单调减少函数。
2.3 函数的极值和最值一个函数在定义域内的最小值和最大值称为函数的最值,而取得最值的自变量称为函数的极值点。
八年级上册函数相关知识点
八年级上册函数相关知识点在八年级上册数学课程中,学生将接触函数这一重要概念,这是一种描述两个数之间关系的工具。
近年来,函数在生产和科技工作中的应用越发广泛,学好函数知识更是必不可少。
本文将详细介绍八年级上册函数相关知识点。
一、函数的定义及表示法函数是两个集合间的一种映射,用f(x)来表示函数。
其中x是自变量,f(x)是因变量,它们之间的关系可以用表格和图像表示。
除此之外,还可以使用解析式来表示函数。
二、函数的图像和性质函数的图像是指将自变量全部输入后得到的点在坐标系上的表现形式。
函数图像的性质有:奇偶性、周期性、单调性、有界性、最值等。
在求解函数的最值中,要注意极值和最大值的区别,因为它们不一定相等。
三、函数的分类函数按照各自的特性不同,可以分为多种类型。
比如,奇偶函数、单调函数、周期函数、反函数、定值函数、一次函数和二次函数等。
每种类型的函数都有其自身的特性和使用场景。
四、函数的应用函数在许多领域中有着广泛的应用,比如使用函数表示数据之间的关系、计算表达式中的值、绘制各种图像等。
五、函数的运算函数的运算包括加减、乘除、复合等。
在运算时需要注意定义域和值域,以避免错误结果的产生。
特别地,复合函数需要注意求解的次序,遵循先内后外的原则。
六、函数的解析式和图像的关系函数解析式是以代数形式描述函数运算过程的式子,可以借助函数图像来方便地求出函数的解析式。
反过来,通过解析式也可以画出函数图像。
七、函数图像的平移和缩放函数图像的平移表示在横轴或纵轴上移动一定的距离,常用来表示函数的变化;函数图像的缩放则表示将函数图像在横轴或纵轴上缩放一定的比例,常用来表示函数的增长和减小。
总之,八年级上册函数内容为数学学科的重要一环,学生需认真学习,理解函数定义及表示法、函数图像和性质、函数的分类和运算、函数的应用以及函数解析式和图像的关系等知识点,以此为基础逐步提升数学素养。
函数概念的知识点
一、函数的概念
1、函数
如果在一个变化过程中,有两个变量x、y,对于x的每一个值,y 都有惟一的值与之对应,此时称y是x的函数
2、自变量的取值范围
(1)函数关系式是整式,自变量取值是全体实数(2)函数关系式是分式,自变量的取值应使分母不等于0(3)函数关系式是偶次根式,自变量取值应使被开方数为非负数(4)实际问题的函数式,使实际问题有意义
3、常量与变量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,在这个过程中保持同一数值的量叫做常量
4、函数的表示法和函数的图像
(1)函数的表示法有三种:图像法,列表法和解析法
(2)画函数图像的一般步骤:列表、描点、连线。
连线是按x从小到大的顺序用光滑的曲线连接所描各点。
画函数图像时应
注意自变量的取值范围。
二、一次函数
1、一次函数的定义
(1)一次函数:如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x 的一次函数
(2)正比例函数:当b=0时,一次函数y=kx+b就成了y=kx(k
是常数,k≠0)这时那么y叫做x的正比例函数
2、一次函数的图像
(1)图像的特征
b,0)一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图像是经过点(-
k
和点(0,b)的一条直线
正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图像是经过点(0,0)和(1,k)的一条直线
(2)图像的性质
待定系数法及一次函数的应用
先设出式子中的未知系数,再根据条件求出未知系数,从而写出这个式子的方法叫做待定系数法,其中,未知的系数也叫做待定系数。
大学函数知识点总结讲解
大学函数知识点总结讲解1. 函数的概念首先,我们来介绍函数的概念。
在数学中,函数是一种特殊的关系,它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
通常情况下,我们把函数记为f(x),其中x是自变量,f(x)是因变量。
函数的定义域是自变量可以取值的集合,值域是因变量可以取值的集合。
例如,f(x) = 2x + 1,其中x的取值范围是实数集,这个函数的定义域是实数集,而f(x)的取值范围也是实数集。
2. 函数的表示方法函数可以用不同的方式来表示。
最常见的表示方法是用解析式表示函数,即通过一个公式来描述函数的关系。
除此之外,还可以用函数图像来表示函数,函数图像是函数在平面直角坐标系中的图形,它通过自变量和因变量的对应关系来展示函数的特性。
3. 函数的性质函数有许多重要的性质,其中最重要的性质之一是单调性。
一个函数在其定义域上可以是递增的、递减的或者不变的,这取决于函数的导数。
另外,函数还有奇偶性和周期性的性质。
奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型,它们具有不同的对称性。
周期函数是指在某个周期内具有重复性质的函数,例如正弦函数和余弦函数就是周期函数的例子。
4. 函数的极限极限是函数的一个重要概念,它描述了一个函数在某个点附近的表现。
函数在某个点x=a处的极限表示当自变量x趋近于a时,函数值f(x)的趋势。
如果当x趋近于a时,f(x)的值趋近于一个有限值L,那么我们说函数f(x)在x=a处存在极限,记为lim(x->a)f(x)=L。
如果极限不存在,则函数在该点不连续。
极限对于研究函数的性态和图像具有重要的意义。
5. 函数的导数函数的导数是函数微分学中的一个重要概念,它描述了函数在某一点的变化率。
函数f(x)在点x处的导数表示函数在该点的切线斜率,记为f'(x)或者dy/dx。
导数可以用极限或者微分的方法求得,它是函数的一个重要性质,对于描述函数的变化趋势以及求解最优值都有很大的帮助。
导数也有很多重要的性质,如可加性、乘法规则、链式法则等。
高一数学《函数》全章知识点整理
△情况 △ =b2-4ac
一元二次不等式解集
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
(a>0)
(a>0)
△ >0
x x x1或x x2
x x1 x x2
图
象
△ =0
x x x0
与
解
△ <0
R
1、已知函数 f ( x) 4x 2 mx 5 在区间 [ 2, ) 上是增函数,则 f (1) 的范围是(
)
、 1个
C 、 2个
D 、3个
()
y
y
2
2
1
1
O 12 x
O 1 2x
y 3 2 1
O 1 x
y
2 1 O 12 x
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;
(3)对数函数的真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于
与 g(x) 的单调性相同,则 y f g x 在 M 上是增函数。
1 判断函数 f ( x) x3 (x R) 的单调性。
2 例 函数 f (x) 对任意的 m, n R ,都有 f (m n) f ( m) f (n) 1 ,并且当 x 0时, f ( x) 1,
⑴求证: f ( x) 在 R 上是增函数;
注意点:(1)对映射定义的理解。 ( 2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射
2、函数 构成函数概念的三要素
①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同
最全函数知识点总结高中
最全函数知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一个非常基本的数学概念。
在数学上,函数是一种对应关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
用数学符号表示就是:对于两个集合A和B,如果存在一个规则f,它使得对于A中的每个元素x,都有一个唯一的y属于B与之对应,那么我们说f是从A到B的一个函数,记作f:A→B。
其中A称为定义域,B称为值域。
1.2 函数的概念在我们的日常生活中,我们可以看到很多函数的例子。
比如,将一个数字加上3,或者乘以2,这就是两个函数的例子。
我们可以看到,函数本质上就是一种输入与输出的关系。
1.3 函数的符号表示函数一般用字母f,g,h等表示,其定义为:y=f(x),表示x是自变量,y是因变量。
1.4 函数的自变量和因变量在函数中,自变量是输入的值,它在定义域中取值;而因变量是输出的值,它在值域中取值。
1.5 函数的图象函数的图象是函数在一个坐标系中的表示,它可以帮助我们更直观地了解函数的性质和规律。
1.6 函数的性质函数有很多的性质,比如奇偶性、单调性、周期性等等。
1.7 函数的分类函数可以分为初等函数和非初等函数。
初等函数包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
非初等函数包括无穷级数、常微分方程等。
1.8 逆函数如果函数f有定义域A和值域B,对于B中的每一个y,存在一个唯一的x属于A与之对应,那么我们称这个函数有逆函数,记作f^(-1)。
1.9 复合函数如果有两个函数f和g,使得f的值域是g的定义域,那么我们可以定义一个新的函数h(x)=f(g(x)),这就是复合函数。
1.10 函数的性质与变化函数有很多的性质和变化规律,比如极值、单调性、周期性、奇偶性等等。
对于这些性质和变化,我们可以通过函数的图象和导数来进行分析。
1.11 函数的运算函数之间可以进行加减乘除的运算,还可以进行求泛函、求复合函数、求逆函数等。
二、函数的表示与运用2.1 函数的表示方法函数可以用方程的形式、图象的形式、表格的形式、文字的形式等来表示。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结函数是数学中一个非常重要的概念,在很多学科领域都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、符号与表示、反函数等角度总结函数的相关知识点。
一、函数的定义函数是一种将每一个元素都映射到唯一的结果上的关系。
具体地说,如果每个元素 x 都有一个对应的元素 y,则可以表示为:f(x) = y其中,f 表示函数,x 是自变量,y 是因变量。
函数的定义域是自变量可能的值域,值域是因变量可能的值域。
二、函数的性质1. 一对一性:对于每一个 x,在函数中有唯一的 y 与之对应。
也就是说,不会有两个不同的 x 具有相同的 y 值,于是存在一个逆映射,反映自变量 y 在函数中对应的自变量 x。
简单地讲就是,每一个 x 对应一个 y,而且每一个 y 也都对应着一个 x,不存在重复的值。
2. 映射性:函数把每个定义域内的元素映射到值域中且无遗漏。
也就是说,对于定义域内的任何一个元素,都能在值域中找到相应的元素,并且一个元素只能对应一个元素。
3. 连续性:若对于定义域中的任意一个数 x,当 x 的取值无限接近某个数 a 时,对应的函数值 f(x) 也无限接近一个数 L,则称函数 f 在 x = a 处连续,其数值为 L。
三、符号与表示一般情况下,我们用小写字母 x 来表示自变量,用小写字母 y或 f(x) 来表示函数值。
一些特别的函数如指数函数 e^x,对数函数logx,三角函数 sinx、cosx、tanx 等,则用特定的符号表示。
同时,在符号表示时,会出现一些特殊的符号。
1. ∞ 表示无穷大,一般情况下分正负无穷大。
2. ∑ 是求和符号,表示把一列数加起来的结果。
3. + 和 - 符号可能同时表示加法和减法。
4. / 和 ×符号可能同时表示除法和乘法。
四、反函数反函数是指,若函数 f 将 x 映射到 y,则函数 f 的逆映射将 y 映射回 x。
相应地,如果 g 为函数 f 的逆映射,则 g(f(x)) = x,f(g(y)) = y。
基本初等函数知识点归纳
函数及其基本初等函数〖1.1〗函数及其表示 【1.1.1】函数的概念 (1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.(所以进行已知对应关系()f x 的函数,一定先求出函数的定义域)③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <,(前者可以不成立,为空集;而后者必须成立).而且无论闭区间或者开区间,,a b 均称为端点。
(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.例1 已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( )A 00,()0x R f x ∃∈=B 函数()y f x =的图像是中心对称图形C 若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间(-∞,0x )上单调递减D 若0x 是()f x 的极值点,则'()0f x =例2 已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减,(2)f =0,若(1)0f x ->,则x 的取值范围是( )例 3 设函数()xf x mπ=,若存在()f x 的极值点0x 满足22200[(()]x f x m +<,则m 的取值范围是( )A (-∞,-6)∪(6,+∞)B (-∞,-4)∪(4,+∞)C (-∞,-2)∪(2,+∞)D (-∞,-1)∪(1,+∞) 例4 下列函数与y=x 有相同图像的一个函数是( )A y =B 2x y x=C log (01)xy aa a =>≠且 D log xa a y =【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象. 〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数(判定方法2). (3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤; (2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =. 【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于原点对称)yxo如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于y 轴对称)②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次方根用符号n a 表示;当n 是偶数时,正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号n a -表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.②式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:()n n a a =;当n 为奇数时,nn a a =;当n 为偶数时,(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数 函数名称指数函数定义 函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy(0,1)O1y =〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a aM M N N-= ③数乘:log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0),即当1x =时,0y =.奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响 在第一象限内,a 越大图象越靠低;在第四象限内,a 越大图象越靠高.(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=.x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=;③将1()x f y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域(即原函数的值域).(8)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴. ④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当q pα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则qpy x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q py x =是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便. (3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--. ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2ba-+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2ba -∞-上递增,在[,)2b a -+∞上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-. (4)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=-③判别式:∆ ④端点函数值符号. ①k <x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2<k ⇔③x 1<k <x 2 ⇔ af (k )<0④k 1<x 1≤x 2<k 2 ⇔x y1x 2x 0>a O ••1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O•<a 1k •2k 0)(1<k f 0)(2<k f a b x 2-=⑤有且仅有一个根x 1(或x 2)满足k 1<x 1(或x 2)<k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0,并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合x y1x 2x 0>a O ••1k 2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O•<a 1k •2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1<x 1<k 2≤p 1<x 2<p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上) ①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a =- ③若2b q a->,则()m f q =①若02b x a -≤,则()M f q = ②02b x a->,则()M f p =f(p) f (q) ()2b f a-f (p)f(q)()2bf a-f (p)f (q)()2b f a-f(p) f (q)()2b f a-0x f(p) f(q)()2b f a-0x(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a =- ③若2b q a->,则()M f q =①若02b x a -≤,则()m f q = ②02b x a->,则()m f p =.第三章 函数的应用〖3.1〗方程的根与函数的零点 一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
初中数学函数知识点总结
初中数学函数知识点总结函数是数学中的重要概念之一,它描述了两个变量之间的关系。
初中数学中,函数的概念和相关知识点很多,下面将对初中数学中的函数知识点进行总结。
一、函数的定义和表示方法函数是指一种特定的关系,它将自变量的取值映射到因变量的取值上。
通常表示为f(x) = y,其中x是自变量,y是因变量。
函数可以用文字描述,也可以用图像表示。
二、函数的定义域和值域定义域是指自变量的取值范围,函数在这个范围内有定义。
值域是指函数实际取到的值的集合。
在函数的图像上来看,定义域对应x轴的取值范围,值域对应y轴的取值范围。
三、函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表示,它可以帮助我们更直观地了解函数的性质。
常见的函数图像有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
四、函数的性质1. 奇偶性:若对于任意x,有f(-x) = -f(x),则函数为奇函数;若对于任意x,有f(-x) = f(x),则函数为偶函数。
2. 增减性:若对于任意x和x',若x > x',有f(x) > f(x'),则函数为增函数;若对于任意x和x',若x > x',有f(x) < f(x'),则函数为减函数。
3. 周期性:若存在正数T,使得对于任意x,有f(x+T) = f(x),则函数具有周期性。
五、特殊函数1. 常数函数:f(x) = c,其中c为常数。
它的图像是一条水平的直线。
2. 线性函数:f(x) = kx + b,其中k和b为常数,k不为0。
它的图像是一条斜率为k的直线。
3. 二次函数:f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b和c为常数,a不为0。
它的图像是一条抛物线。
4. 指数函数:f(x) = ab^x,其中a和b为常数,b不等于1。
它的图像是一条逐渐增加或逐渐减小的曲线。
5. 对数函数:f(x) = logb(x),其中b为常数,b大于0且不等于1,x大于0。
函数知识点归纳
函数知识点归纳
函数的定义:给定一个数集A,假设其中的元素为x。
现对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x 之间的等量关系可以用y=f(x)表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式,简称函数。
函数的元素:
自变量:函数中的输入值,通常表示为x。
因变量:函数中的输出值,通常表示为y。
定义域:自变量x的所有可能取值的集合。
值域:因变量y的所有可能取值的集合。
函数的性质:
一次函数:形式为y=kx+b的函数,其中k和b为常数,k不为零。
二次函数:形式为y=ax^2+bx+c的函数,其中a、b和c为常数,a不为零。
反比例函数:形式为y=k/x的函数,其中k为常数,k不为零。
奇偶性:如果一个函数满足f(-x)=-f(x),那么这个函数是奇函数;如果满足f(-x)=f(x),那么这个函数是偶函数。
值域:函数的输出值的集合。
函数的运算:
函数的加法:(f+g)(x) = f(x) + g(x)
函数的减法:(f-g)(x) = f(x) - g(x)
函数的乘法:(fg)(x) = f(x)g(x)
函数的除法:(f/g)(x) = f(x)/g(x),其中g(x) ≠ 0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
函数的表示法
1.函数的三种表示法: 图象法、列表法、解析法
2.分段函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
3.映射:一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
记作“f :A →B ”
给定一个集合A 到B 的映射,如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应,那么,我们把元素b 叫做元素a 的象,b=f (a ),元素a 叫做元素b 的原象.
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A 、B 及对应法则f 是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A 到集合B 的对应,它与从B 到A 的对应关系一般是不同的;③对于映射f :A →B 来说,则应满足:(Ⅰ)集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。
注意:(1)函数一定是映射,映射不一定是函数;(2)函数三要素:定义域、值域、对应法则;(3)B 中的元素未必有原象,即使有原象,也未必唯一;(4)原象集合=定义域,值域=象集合.
4.常用的函数表示法及各自的优点:函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法:必须注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意:解析法:便于算出函数值。
列表法:便于查出函数值。
图象法:便于量出函数值
5.分段函数:在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
6.复合函数:如果y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即y=f (u ),u=g (x ),那么y 关于x 的函数y=f (g (x ))叫做函数y=f (u )(外函数)和u=g (x )(内函数)的复合函数,其中u 是中间变量,自变量为x 函数值为y.例如:函数212x y += 是由y=2u
和u=x2+1 复合而成立。
复合函数的定义域:①已知f(x)的定义域为(a,b),求f(g(x))的定义域的方法:已知f(x)的定义域为(a,b),求f(g(x))的定义域.实际上是已知中间变量的u的取值范围,即u∈(a,b),g(x)(a,b).通过解不等式a<g(x)<b求得x的范围,即为f(g(x))的定义域。
②已知f(g(x))的定义域为(a,b),求f(x)的定义域的方法:若已知f(g(x))的定义域为(a,b),求f(x)的定义域。
实际上是已知直接变量x的取值范围,即x∈(a,b).先利用a<x<b 求得g(x)的范围,则g(x)的范围即是f(x)的定义域.
7.函数的解析表达式:(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x).。