图形的认识、图形与证明

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三角形和四边形的认识与证明

三角形和四边形的认识与证明第五单元平面图形及其位置关系三角形和四边形的认识与证明Ⅰ.考点透视一.平面图形及其位置关系1.直线.射线与线段的区别与联系2.角(角的两种定义.角的分类.角的度量以及余角.补角的概念和性质)3.相交线与平行线(1)相交线(对顶角的概念及其性质.垂线的概念及其性质)(2)平行线(平行线的性质与判定)例1.如图,在正方形网格中,∠α.∠β.∠γ的大小关系是( )A.α_gt;β_gt;γB.α=β_gt;γC.α_lt;β=γD.α=β=γ二.三角形的认识与证明1.三角形(三角形的有关概念.三角形的分类.三角形中的重要线段以及三角形的有关性质)2.全等三角形(全等三角形的性质与判定)3.角平分线与线段的垂直平分线(定义.性质与判定)例2.下列说法:①等边三角形有三条对称轴;②在△ABC中,若a2+b2≠c2,则△ABC 不是直角三角形;③等腰三角形的一边长为4,另一边长9,则它的周长为17或22;④一个三角形中至少有两个锐角.其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个三.四边形的认识与证明1.平行四边形(平行四边形的定义.性质与判定)2.特殊的平行四边形(1)矩形(定义.性质与判定)(2)菱形(定义.性质与判定)(3)正方形(定义.性质与判定)3.梯形(等腰梯形的定义.性质与判定)4.多边形(多边形的性质及其正多边形的特征)例3.(1)正方形具有而菱形不一定具有的性质( )A.四边都相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角(2)下列命题中假命题的是( )A.对角线互相平分的四边形是平行四边形.B.两条对角线相等的四边形是矩形.C.两条对角线互相垂直的矩形是正方形D.两条对角线相等的菱形是正方形(3)检查一个门框是矩形的方法是( )A.测量两条对角线是否相等B.测量有三个角是直角C.测量两条对角线是否互相平分D.测量两条对角线是否互相垂直(4)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是( )A.矩形B.菱形C.梯形D.正方形(5)菱形的周长等于高的8倍,则其最大内角等于()A.60°B.90°C.120°D.150°(6)矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E.F是AC的三等分点,则△BEF的面积是( )A.8B.12C.16D.24Ⅱ.中考演练一.选择题(每小题4分,共40分)1.如图,已知直线AB.CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD的度数等于( )A.30°B.35°C.20°D.40°(第1题图) (第3题图)(第5题图)2.以长为13cm.10cm.5cm.7cm的四条线段中的三条线段为边,可以画出三角形的个数是( )A.1B.2个C.3个D.4个3.如图,在△ABC中,M为BC的中点,AN平分∠A,且AN⊥BN于点N,AB=10,AC=16,则MN等于( )A.2B.2.5C.3D.3.54.以下不能构成三角形三边长的数组是()A.(1,,2)B.(,,)C.(3,4,5)D.(32,42,52)5.如图,在RtΔABC中,AF是斜边上的高线,且BD=DC=FC=1,则AC的长为( )A. B. C. D.6.顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形,再顺次连结所得四边形四边的中点得到的图形是 ()A．等腰梯形B．直角梯形C．菱形D．矩形7.在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形和梯形的是A.B.C.D.8.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D.C分别落在D′.C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于( )A．50° B．55°C．60° D．65°(第8题图)(第9题图)(第11题图)9.如图,矩形ABCD中,AB=CD=_,AD=BC=y,把它折叠起来,使顶点A与C重合,则折痕PQ的长度为( )A. B. C. D.10.如果要用正三角形和正方形两种图形进行密铺,那么至少需要( )A.三个正三角形,两个正方形B.两个正三角形,三个正方形C.两个正三角形,两个正方形D.三个正三角形,三个正方形二.填空题(每小题4分,共40分)11.如图,点D是Rt△ABC的斜边AB上的一点,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F,若AF=15,BE=10,则四边形DECF的面积是.12.菱形的对角线长为6和8,则菱形的边长,面积是 .13.矩形的对角线长为8,两对角线的夹角为60_ordm;,则矩形的两邻边分别长和 .14.已知:□ABCD中,对角线AC.BD相交于点O,添加适当的条件(1)使它成为菱形.条件:.(2)使它成为矩形.条件:.(3)使它成为正方形.条件: .15.四边形ABCD的两条对角线AC.BD互相垂直,ABCD是四边形ABCD的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形ABCD的周长为,面积等于.三.(每小题8分,共16分)16.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连结CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.17.等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝CD,DE⊥BC于E,AE＝BE,BF⊥AE于F,线段BF与图中的哪一条线段相等.先写出你的猜想,再加以证明.猜想:BF＝.证明:四.(每小题9分,共18分)18.如图△ABC中,∠B=2∠A, AB=2BC.求证:∠C=90°.19.已知:△ABC中AB=AC=a,M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)探究:当M位于BC的什么位置时,四边形AQMP是菱形?并说明你的理由.(2)当△ABC满足什么条件菱形AQMP是正方形?五.(每小题10分,共20分)20.在矩形ABCD中,AB=16,BC=8.将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,且CE交AB于点F,求AF的长.21.如图,AB.CD交于点E,AD=AE,CB=CE,F.G.H分别是DE.BE.AC的中点.求证:(1)AF⊥DE;(2)FH=GH.六.(本题满分12分)22.我们知道,一个平行四边形总可以剪开儿拼成一个矩形(如图1所示),一个梯形可以剪开拼成一个矩形(如图2所示),一个矩形可以剪开拼成一个三角形(如图3所示).图1图2图3那么任意一个四边形呢?你也可以将它剪开而拼成各种各样的图形. (1)请你仿上用图示的方法把它剪开而拼成平行四边形.矩形.三角形;(2)想想看,在这些剪拼过程中,都用到了图形的什么运动变换?七.(本题满分12分)23.据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连结得到一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为〝勾三.股四.弦五〞.(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,计算(9-1),(9+1)与(25-1),(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;(4分)(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾.股.弦,合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明;(4分,除已发现的相等关系之外,你还有其他新的发现,并能正确证明,将酌情另加1_3分)(3)继续观察4,3,5;6,8,10;,8,15,17;……,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法,直接用m(m为偶数且m_gt;4)的代数式来表示他们的股和弦.(4分)八.(本题满分12分)24.四边形是大家最熟悉的图形之一,我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察.乐于探索,我们还会发现更多的结论.(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线,将四边形分成四个三角形(如图①),其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗?试试看.已知:在四边形ABCD中,O是对角线BD上任意一点(如图①).求证:S△OBC·S△OAD=S△OAB·S△OCD.(2)在三角形中(如图②),你能否归纳出类似的结论?若能,写出你猜想的结论,并证明:若不能,说明理由.。

几何常见的基本图形及证明

初中几何基本图形及证明说明：本资料中所有虚线为证明用的辅助线一：与角平分线有关的基本图形基本图形1结论：如图，若P 点是B ∠和C ∠的平分线的交点，则P ∠和A ∠的数量关系为：A P ∠+︒=∠2190B基本图形2结论：如图，若P 点是FBC ∠的平分线和ECB ∠的平分线的交点，则P ∠与A ∠的数量关系为：A P ∠-︒=∠2190基本图形3如图，若P 是ABC ∠的角平分线和ACB ∠的外角平分线的交点，则P ∠与A∠的数量关系为：A P ∠=∠21BE二：等腰直角三角形与其共斜边的直角三角形基本图形4如图，在等腰直角三角形ABC 中，D 点与C 点分别在AB 两侧，且BD AD ⊥，形成共斜边的两个直角三角形。

结论：CD BDAD 2=+E（延长DA 使BD EA =）基本图形5如图，在等腰直角三角形ABC 中，点D 与C 在AB 同侧，且BD AD ⊥，形成共斜边的两个直角三角形。

结论：CD BDAD 2=-A（截取BD AE=）三：线段和最短与轴对称基本图形6 两定点一动点如图，A ，B 为直线l 同侧两定点，P 为直线l 上一动点，A 和1A 关于l 成轴对称，连接BA 1交直线l 于P 点。

结论：PB PA +最短基本图形7 一定点两动点如图P 为AOB ∠内一点，点1P 与P 关于OB 成轴对称，2P 与P 关于OA 成轴对称，连接21P P 交OB 于E 点，交OA 于F 点。

结论：△PEF 的周长最短OA基本图形8 两定点两动点如图，A ，B 为直角坐标系中的两定点，1A 与A 关于y 轴对称，1B 与B 关于x 轴对称，连接11B A 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，连A ，B ，C ，D 结论：四边形ABCD 周长最短。

基本图形9 一定点一动长如图，P 为一定点，AB 为直线l 上的定长。

结论：当P 在AB 的垂直平分线上时△PAB 的周长最短基本图形10 两定点一动定长如图，A ，B 为直线l 同侧的两点，DC 为直线l 上的一定长，作∥BE DC 且DC BE =，A 与1A 关于直线l 对称，连接E A 1交直线于D结论：BC AD +最短基本图形11 线段差最大如图，A ，B 分别位于直线l 的两侧，作1A 与A 点关于直线l 对称，连B A 1交直线l 于P 。

图形的认识与测量知识梳理及教学策略

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测量：（第二学段4—6年级） 1．会用量角器量指定角的度数，会画指定度数的角，会用三角尺画30°，45°，60°，90°角。 2．利用方格纸或割补等方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。 3．探索并掌握圆的周长和面积公式。 4．能用方格纸估计不规则图形的面积。
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5．通过实例了解体积（包括容积）的意义与度量单位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升），能进行单位之间的换算，感受 1立方米、1立方厘米以与1升、1毫升的实际意义。 6．结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以与圆锥体积的计算方法。 7．探索某些实物体积的测量方法。
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4.通过观察、操作，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征。 5. 会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。 6.结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角。 7. 能对简单几何体和图形进行分类。
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第二学段（4-6年级）：图形的认识： 1．了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。 2．能区分直线、线段和射线。 3．体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。 4．知道周角、平角的概念与周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。
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2、实践操作，感知特点让学生经历实践操作等活动，在活动中感知图形的基本性质（1）提倡学生人人拿学具进行操作实践。（2）通过让学生看一看、摸一摸、折一折、叠一叠、拼一拼、剪一剪、量一量、画一画、描一描、比一比、分一分、做一做等基本的实践操作活动，为正式的学习图形的性质奠定基础。
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【案例2】如何探究长方形的特征教学片断：（1）、创造图形:课前老师给每组发了一袋材料,你能利用这些材料或是你自己身边的材料想办法创造一个长方形吗（2）、展示成果:教师巡视,指名实物投影摆放。方法有：摆小棒、画点子格、拼三角板、拼小正方形等等。（3）、思考讨论:这些长方形有什么共同的特点你用什么方法可以证明？(先想一想你打算用什么办法验证？再操作验证, 并把你的发现和其他同学交流讨论,看哪组想的办法多)。（4）、汇报交流: 长方形对边相等,四个角都是直角。逐一演示:比一比、量一量、数一数、折一折。

九上教案第一章图形与证明(二) 1.1

1.1等腰三角形的性质和判定（1）九年级数学备课组【学习目标】1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

【重点、难点】1、等腰三角形的性质及其证明。

2、应用性质解题。

【预习指导】：在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。

1、用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的过程，叫做证明。

经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿称为定理。

2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3、推理和证明的依据有哪几类？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

此外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿也都看作是基本事实。

5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（6）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（7）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（8）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（9）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（10）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

初中几何空间与图形知识点

初中几何空间与图形知识点A、图形的认识1、点，线，面点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。

②面与面相交得线，线与线相交得点。

③点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。

②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。

②圆可以分割成假设干个扇形。

2、角线：①线段有两个端点。

②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

射线只有一个端点。

③将线段的两端无限延长就形成了直线。

直线没有端点。

④经过两点有且只有一条直线。

比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。

②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。

②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。

②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。

始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。

③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。

垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。

③平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直。

垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。

垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后〔关于画法，后面会讲〕一定要把线段穿出2点。

图形的认识与证明基础复习试题

中考复习——图形的认识与证明基础训练试题一、选择题：1、 △ABC 中，∠A ＝50°，∠B ＝60°，则∠C ＝（）A 、50°B 、60°C 、70°D 、80°2、（05年中考）如图，⊙O 中弧AB 的度数为60°，AC 是⊙O 的直径，那么∠BOC 等于（） A 、150° B 、130° C 、120° D 、60°3、（06年中考）如图，在□ABCD 中，对角线交于点O ，下列式子中一定成立的是 ( ) A 、AC ⊥BD B 、OA=0C C 、AC=BD D 、A0=OD4、（07年中考）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 ( ) A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条边的垂直平分线的交点 D 、三条角平分线的交点（第2题图）（第3题图）（第6题图）5、（09年中考）如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折，接着将对折后的）6、（10年中考）如图，已知∠1=70°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（）A 、70°B 、100°C 、110°D 、120° 二、填空题7、（08年中考）如图，在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，且∠A +∠B=120°，则∠AN M= °。

8、（08年中考）如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，∠A BC=30°过圆心O 作OD ⊥BC 交弧BC 于点D ，连接DC ，则∠DCB= °．9、（05年中考）如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠BAC 的外角平分线交BC 的延长线于点D ，若∠ADC ＝21∠CAD ，则∠ABC 等于＿＿＿度。

10、（06年中考）如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠0=65°，∠C=20°，则∠OAD= ． 11、（07年中考）如图，菱形ABCD 的对角线AC =24，BD =10，则菱形的周长L=A MNB CC ．D ． A ． B ．（第9题图）（第10题图）（第11题图）12、（08年中考）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________； 13、（09年中考）如图,已知O ⊙的直径8A B =cm ，C 为O ⊙上的一点，30B A C ∠=°，则BC =__________cm ．14、（10年中考）如图,已知R t △ABC 中,斜边BC 上的高AD ＝4,cosB ＝54,则AC ＝ . 15 、（11年中考）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ．若∠A =40º，则∠C =_____．（第13题图）（第14题图）（第15题图）三、解答题16、（05年中考）如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠AEF ，∠1＝40°，求∠2的度数。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解15 图形的初步认识(解析版)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题15 图形的基本认识【知识要点】考点知识一立体图形⏹立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

⏹平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等【立体图形和平面的区别】1、所含平面数量不同。

平面图形是存在于一个平面上的图形。

立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同。

2、性质不同。

根据“点动成线，线动成面，面动成体”的原理可知，平面图形是由不同的点组成的，而立体图形是由不同的平面图形构成的。

由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础。

3、观察角度不同。

平面图形只能从一个角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同。

4、具有属性不同。

平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性。

立方体图形平面展开图三视图及展开图三视图：从正面，左面，上面观察立体图形，并画出观察界面。

考察点：（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。

（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

展开图：正方体展开图（难点）。

正方体展开图口诀（共计11种）：“一四一”“一三二”，“一”在同层可任意,“三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。

⏹点、线、面、体几何图形的组成：点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。

考点知识二直线、射线、线段⏹直线、射线、线段的区别与联系：【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量。

经过若干点画直线数量：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线（直线公理）。

八下图形与证明(复习)

注：运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; 运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程检查表达过程是否正确,完善完善。检查表达过程是否正确完善。
知识回顾
对名称或术语的含义进行描述，做出规定，对名称或术语的含义进行描述，做出规定，就是给出定义. 他们的定义他们的定义. 例如：例如：符号不同、绝对值相等的两个数”是互为相反数 “符号不同、绝对值相等的两个数是“ _______”的定义的定义． “能够完全重合的图形”是“全等形的定义．能够完全重合的图形” 无理数：无理数：
A B D C
请用其中的两个事项作为条件，另一个事项作为结论，请用其中的两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个命题．构造一个命题．你构造的命题是真命题吗？为什么？你构造的命题是真命题吗？为什么？
例题精讲
如图，如图，在△AFD 和△CEB中，点A,E,F,C在 △ 中在 A 同一直线上，下面有4个判断个判断：同一直线上，下面有个判断： ①AD=CB ③ ∠ B= ∠ D ②AE=FC ④AD ∥BC
（1）每单位面积所受到的压力叫做压强；每单位面积所受到的压力叫做压强；（2）如果a是实数，那么a2+1〉0；如果a是实数，那么a +1〉（3）两个无理数的乘积一定是无理数；两个无理数的乘积一定是无理数；（4）偶数一定是合数吗？偶数一定是合数吗？（5）连接AB；连接AB； AB （6）不相等的两个角不可能是对顶角
才智T台
如图：内的任意一点，如图：在△ABC中，P是△ABC 内的任意一点，中是有怎样的大小关系？ ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。与有怎样的大小关系说说你的理由。 A 拓展3 拓展

图形证明

图形证明证明验证图形图形验证图说明图形证明流程图说明图形与证明收入证明工作证明
（2013宜宾）如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，
∠B=∠C，求证：BE=CD．
在△ABE和△ACD中
∠B=∠C AB=AC ∠A=∠A △ABE≌△ACD BE=CD
（2013•玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．
2
1
（2013，永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，
AN平分∠BAC，BN⊥ AN于点N，延长BN交AC于点D，
已知AB=10，BC=15，MN=3。
A
（1）求证：BN=DN
（2）求△ABC的周长.
B
1 2
D
N
M
C
（2013凉山州）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，
点E、F在线段AC上，且AF=CE．求证：FD=BE．
（1）求证：AE=CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
（2013鞍山）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点， F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（2013•三明）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；
直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE. D
（1）求证：⊿ACD≌⊿BCE；（2）若AC=3cm，
B
则BE=
cm.
C E
A
（2013•沈阳）如图， ABC 中，AB=BC，BE⊥AC于点E，

七年级数学第四章《图形的认识》知识要点解析

七年级数学第四章：图形的认识一、图形的构成：点→线→平面图形→立体图形二、点：1、最基本的几何图形构成元素2、常见的点：端点、中点、任意分点、交点、特殊位置的点3、探究内容：距离、位置关系（与点、线及其其它图形）三、线：最重要的图形研究对象分类：直类：直线、射线、线段；曲类：圆、圆弧、椭圆、抛物线、波形线、不规则曲线等。

（一）、直线：以任意点为基础，在其两个互逆方向上的所有点与这个点的集合；或者说一个点从某一点出发，在其完全互逆的方向上运动的轨迹。

注意：1、它没有端点，向两方无限延伸，长度无限，无法测量。

2、直线一般用表示直线上任意两点的大写字母表示，或者用一个小写字母表示。

3、两点确定一条直线，4、同一平面内，两直线的位置关系：相交 {有一个公共点} 或者平行（无公共点）（重合所有点都为公共点，可以理解成特殊的相交或者平行）（二）、射线：以某一点为基础，在其一个方向上的所有点与这个点的集合；或者说一个点从某一点出发，在其一个方向上运动的轨迹。

注意：1、它有一个端点，向一方无限延伸，长度无限，无法测量2、射线用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面，在两个字母前加上“射线”；或者用一个小写字母表示。

（三）、线段：直线或者线段上某两点及其之间的所有点的集合；或者说一个点从某一点出发，向着另外一点的方向运动，运动到那个点的轨迹。

注意：1、有两个端点，长度可以测量，线段之间可以进行长短的比较（度量法与叠合法）。

2、我们把两点之间线段的长度称为两点之间的距离。

两点之间线段最短。

3、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，或者说直线上到两个端点距离相等的点。

4、常见的线段：边、高、中线、角分线、中位线、对角线、半径、直径、弦、弦心距、切线等.5、线段上的点的个数n与这些点所组成的线段条数N之间的关系：N=()12 n n-四、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

三角形的初步认识及全等证明

A、3B、4或5C、6或7D、8
4、如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做是运用了三角形的（）
A、全等性B、灵活性C、稳定性D、对称性
5、下列图形中具有稳定性的是（）
A、菱形B、钝角三角形C、长方形D、正方形
6、（2010•荆门）给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心
14、锐角三角形的最大内角α的范围和钝角三角形的最大内角β的范围分别是（）
A、0°＜α＜90°，90°＜β＜180°B、60°≤α＜90°，90°＜β＜180°
C、0°＜α＜90°，90°＜β＜150°D、0°＜α≤60°，90°＜β＜180°
15、△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C=7∠A，则∠A的度数为（）
10、（2006•威海）如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2006，最少经过_________次操作．
A、30°B、45°C、60°D、以上都有可能
填空题
1、三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上_________根木条．
2、已知点G是△ABC的重心，AD是中线，AG=6，那么DG=_________．
3、观察下面两图形的形成过程，若AD=3，DB=4，则△ADE和△BDF面积的和为_________．

新课标“图形与几何”内容分析：从结构到要求

新课标(图形与几何)内容分析$从结构到要求!吕世虎""颜!飞!!"&西北师范大学教师教育学院"'$##'#&!&西北师范大学教育科学学院"'$##'##摘!要$.义务教育数学课程标准!!#!!年版#/对图形与几何领域通过整合主题+加强各学段联系的方式实现内容的结构化&内容呈现采用(领域(学段)的设计思路"凸显了核心内容"加强了主题之间的联系"并且在(内容要求)的基础上增加(学业要求)与(教学提示)等表述形式"加强了课程标准的操作性与指导性&内容要求依据(图形的认识与测量)(图形的位置与运动)(图形的性质)(图形的变化)(图形与坐标)五个主题层层递进"注重整体性与阶段性"关注幼小衔接以及学生的认知发展规律"加强几何直观的培养"重视尺规作图的内容%关键词$数学新课标&图形与几何&课程内容&结构化!!!(几何)在数学课程中具有重要的教育价值"是基础教育数学课程改革关注的重点%从我国历次颁布的课程文件看"小学数学课程在")'%年以前以(算术)内容为主"")'%年以后(几何)内容逐渐丰富起来"并以实验几何为主&初中数学课程中的(几何)内容也在不断调整"且越来越丰富"同时以论证几何为主"难度要求有起有落%!##"年颁布的.全日制义务教育数学课程标准!实验稿#/!以下简称(!##"年版课标)#将(几何)内容作为独立的学习领域命名为(空间与图形)"!#"!年颁布的.义务教育数学课程标准!!#""年版#/!以下简称(!#""年版课标)#将其改名为(图形与几何)"最新颁布的.义务教育数学课程标准!!#!!年版#/!以下简称(新课标)#沿用了此名称%本文从内容结构+内容呈现+内容要求三个方面对新课标中的(图形与几何)内!吕世虎教授团队的.义务教育数学课程标准!!#!!年版#/课程内容深度分析系列文章之二%表'!两版课标中图形与几何领域的内容结构课标版别(图形与几何)内容的分学段主题设置新课标第一学段!",!年级#第二学段!$,*年级#第三学段!+,,年级#第四学段!',)年级#图形的认识与测量图形的认识与测量&图形的位置与运动图形的认识与测量&图形的位置与运动图形的性质&图形的变化&图形与坐标!#""年版课标第一学段!",$年级#第二学段!*,,年级#第三学段!',)年级#图形的认识&测量&图形的运动&图形与位置图形的认识&测量&图形的运动&图形与位置图形的性质&图形的变化&图形与坐标容做具体分析%一+新课标(图形与几何)内容结构分析数学课程标准中"内容结构主要是指不同学段的课程内容所涵盖的知识领域及其主题的分布%与!#""年版课标相比"新课标将原来的三个学段!小学为第一+第二学段"初中为第三学段#调整为四个学段!小学为第一+第二+第三学段"初中为第四学段#%同时"新课标对数与代数+图形与几何+统计与概率+综合与实践四个领域的课程内容进行了结构化整合%其中"对图形与几何领域主要通过整合主题+加强各学段联系的方式实现内容的结构化"具体如表"所示%与!#""年版课标相比"新课标将小学部分的(图形的认识)(测量)(图形的运动)(图形与位置)四个主题整合为(图形的认识与测量)(图形的位置与运动)两个主题"初中部分的(图形的性质)(图形的变化)(图形与坐标)三个主题保持不变%!"世纪初开始新课程实验以来"义务教育几何课程设计在数学教育界一直有争论%比如"在编排体系上是以实验几何为主还是以论证几何为主"在编排顺序上是先实验几何还是先论证几何等"都有一些不同的看法%!!##"年版课标在小学阶段设置了(图形的认识)(测量)(图形与变换)(图形与位置)四个主题"主要采用实验几何的方式展开相关内容&在初中阶段设置了(图形的认识)(图形与变换)(图形与坐标)(图形与证明)!其中"(图形与证明)(图形与坐标)分别与小学阶段的(测量)(图形与位置)对应#"采用先实验几何后论证几何"并且以实验几何为主的体系展开相关内容%!#""年版课标将小学阶段的(图形与变换)更名为(图形的运动)"将初中阶段的(图形的认识)(图形与证明)合并为(图形的性质)"(图形与变换)更名为(图形的变化)%!#""年版课标加强了几何证明"采用了论证几何与实验几何结合"并且以论证几何为主的体系展开相关内容"对大部分几何命题要求先探索发现再推理证明%这种方式既体现了几何结论的探索发现过程"又体现了几何结论的推理证明过程"还避免了先实验几何后论证几何的编排方式容易出现内容重复的弊端%在(图形的认识)的基础上"从研究图形的视角看"小学阶段的(测量)+初中阶段的(图形与证明)体现了综合几何的视角&小学阶段的(图形的运动)+初中阶段的(图形的变化)体现了变换几何的视角&小学阶段的(图形与位置)+初中阶段的(图形与坐标)体现了解析几何的视角%(测量)是欧氏几何中研究图形的基本方!孔凡哲"史亮&几何课程设计方式的比较分析,,,直观几何+实验几何与综合几何课程设计的国际比较0-1&数学通报"!##,!"##$'""%法"也是小学阶段研究图形最基本的方法"其本质是通过度量图形的长度+面积+体积+角度等研究图形及其关系%这与(图形的认识)联系紧密"新课标将(图形的认识与测量)统整在一起"有利于学生整体把握图形的几何特征%(图形的认识与测量)主题延伸到初中就是(图形的性质)"即利用证明的方法研究图形及其关系%在小学阶段"(图形的运动)(图形与位置)两个主题的内容相对较少"新课标将其合并为(图形的位置与运动)一个主题%这一主题延伸到初中阶段"相应的内容比较丰富"又分为(图形的变化)(图形与坐标)两个主题%这种主题设计使得(图形与几何)的内容统整了起来"避免了知识的碎片化%二+新课标(图形与几何)内容呈现分析数学课程标准中"内容呈现主要是指课程内容的设计思路与表述形式%新课标中"(图形与几何)内容的设计思路和表述形式有新的变化%!一#(图形与几何)内容设计思路分析!#""年版课标按照(学段(领域)的思路设计课程内容"图形与几何领域的内容分散在三个学段中呈现%而新课标按照(部分(领域(学段)的思路设计课程内容"图形与几何领域四个学段的内容按照小学+初中部分集中呈现"顺序展开%每个学段都有明确的主题!有的主题贯穿于不同学段#%这种(领域(学段)的设计思路"凸显了图形与几何领域的核心内容"加强了主题之间的联系"体现了内容统整的理念"在一定程度上避免了知识的碎片化"有助于教材编写与教学设计中明确核心内容"凸显核心内容与核心素养的关联"推动核心素养的落实%!二#(图形与几何)内容表述形式分析与!#""年版课标相比"新课标中课程内容的表述形式不仅有(内容要求)"而且增加了(学业要求)(教学提示)"即从(学什么)(学到什么程度)(怎样学)三个方面全面地表述课程内容%这加强了课程标准在教材编写+教学设计以及教学评价中的操作性与指导性%例如"图形与几何领域第一学段(图形的认识与测量)主题"内容要求主要是对学习范围的表述"包括图形的认识与测量两部分%其中"(图形的认识)部分强调了通过(实物)和(模型)辨认简单的立体图形和平面图形"能对图形分类"会用简单图形拼图%显然"这一内容要求与现实生活联系比较紧密%学业要求主要是对学习要达到的程度的表达%比如"(图形的认识)的学业要求比其内容要求更加细致"包括具体立体图形!长方体+正方体+圆柱+球等#和平面图形!长方形+正方形+平行四边形+三角形+圆等#的学习要达到的程度等%教学提示主要是对相关内容教学实施的建议%比如"(图形的认识)的教学提示强调了结合低年级学生的年龄特点"充分利用学生在幼儿园阶段积累的有关图形的经验"以直观感知为主%从(内容要求)(学业要求)(教学提示)三个方面呈现课程内容"不仅明确了具体的内容范围和内容学习的达成程度"而且对教学活动的组织等提出了指导性建议"也为教材编写提供了具有一定操作性的指引%三+新课标(图形与几何)内容要求分析相比于!#""年版课标"新课标图形与几何领域的变化主要体现为强化几何直观%该领域设置了(图形的认识与测量)(图形的位置与运动)(图形的性质)(图形的变化)(图形与坐标)五个主题%前两个主题分布在小学阶段"后三个主题分布在初中阶段"而且各学段之间的内容相互关联"螺旋上升"层层递进%以下具体分析这五个主题的内容要求% !一#(图形的认识与测量)内容要求分析(图形的认识与测量)主题贯穿于小学阶段的三个学段"主要包括图形的(认识)与(测量)两部分内容"两者之间密切相关%与!#""年版课标相比"新课标这一主题的变化主要是增加(会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段)这一内容要求"旨在加强几何直观的培养%第一"(图形的认识)主要是对图形的抽象%学生要经历从实际物体中抽象出几何图形的过程"认识图形的特征"感悟点+线+面+体的关系"积累观察和思考的经验"逐步形成空间观念%新课标对该内容的设计是"从认识现实世界中的立体图形开始"逐渐抽象"认识平面图形"最后进一步认识平面图形与立体图形%具体分析可知"第一学段(图形的认识)的内容要求是"通过实物和模型辨认简单的立体图形和平面图形%这里只要求直观描述这些图形的外部形象特征"如(长方体的每一个面都是平平的)(球是圆滚滚的)(长方形相对的边是一样长的)(正方形每条边都是一样长的)(三角形有角"是尖尖的)等%这些内容与学生在幼儿园阶段积累的有关图形的经验紧密相关%通过图形的直观描述"利用分类和拼图的方法"进一步加强学生对不同图形特征的直观感知%第二学段(图形的认识)的内容要求以认识线+角+三角形和四边形等为主%但这里不再是直观描述图形的外部形象"而是应用一定的方法或规律"从(点+线+角+面)!图形的组成元素#的维度观察与认识图形%比如"根据具体事物+照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体&又如"通过长方体的外表认识面"通过面的边缘认识线段"感悟图形抽象的过程%第三学段(图形的认识)的内容要求有认识圆+扇形+长方体+正方体和圆柱等%这里既有平面图形"又有立体图形&同时"认识图形的方式与角度有进一步的提升和侧重%首先"第三学段要求辨认简单物体不同方向!前面+侧面+上面#的形状图"还要求了解长方体+正方体+圆柱的展开图"这是以不同的方式认识图形%其次"第三学段侧重从度量的角度考察图形"比如三角形边和角的性质"圆的周长和面积公式"长方体+正方体+圆柱的体积公式等%第二"(图形的测量)重点是确定图形的大小%学生要经历统一度量单位的过程"感受统一度量单位的意义"基于度量单位理解图形的长度+角度+周长+面积+体积等&在推导一些常见图形周长+面积+体积的计算公式的过程中"感悟数学度量方法"逐步形成量感和推理意识%新课标对该内容的设计与(图形的认识)紧密相关"其核心是对图形大小的度量"因此"度量单位是测量内容展开的一条线索%就度量单位的形成过程而言"大体可以分为两类$一类是通过抽象得到的"是人思维的结果&另一类是借助工具得到的"是人实践的结果%前者是基于日常生活和生产实践的需要"创造出一些语言来表达事物量的多少"在形式上是舍去了度量单位的称谓"在实质上是脱离了数量所依赖的具体的现实背景&后者则是基于事物的现实背景构建的度量单位"因而始终含有表达事物背景指标的称谓%!小学阶段(图形的测量)内容所涉及的度量单位主要是后者%具体分析可知"第一学段(图形的测量)的内容要求是"体会建立统一度量单位的重要性%事实上"度量单位的统一是使度量!测量#从个别的+特殊的活动变成一般的+可以在更大范围内应用和交流的活动的前提%比如"可以通过创设(测量课桌长度)等生活情境"借助鳰的长度+铅笔的长度等测量"经历测量的过程"比较测量的结果"感受统一长度单位的意义"并且在这一过程中认识长度单位米和厘米%随着对图!娜仁格日乐"史宁中&度量单位的本质及小学数学教学0-1&数学教育学报"!#"%!,#$"$",%形认识的深入"第二学段中的度量单位也逐渐丰富起来"包括长度的度量单位千米+分米+毫米"面积的度量单位平方厘米+平方分米+平方米"角的度量单位度%相应地"要求在认识度量单位的基础上"进行简单的单位换算以及恰当地选择单位估测物体的长度或面积%第三学段中涉及的图形更加丰富"既有平面图形"又有立体图形"相应的度量单位有平方千米+公顷+立方米+立方分米+立方厘米+升+毫升%!二#(图形的位置与运动)内容要求分析(图形的位置与运动)主题贯穿于第二+三学段"主要包括图形的(位置)与(运动)两部分内容%与!#""年版课标相比"新课标这一主题的变化主要是将(图形的位置)的相关内容"包括(会用上+下+左+右+前+后描述物体的相对位置)以及(给定东+南+西+北四个方向中的一个方向"能辨认其余三个方向"知道东北+西北+东南+西南四个方向)等内容"调整到综合与实践领域的(我的教室)与(寻找2宝藏3)两个主题活动中%这些内容与现实生活紧密相关"新课标调整其所在的领域"一方面有助于综合与实践领域内容教学的实施"另一方面也有助于发展学生的核心素养%(图形的位置与运动)主要体现了从解析几何和变换几何的视角研究图形%新课标对该内容的设计是"通过方格纸上的有序数对!坐标#确定图形的位置和表达图形运动的特点"从而为未来深入学习数形结合奠定基础%具体分析可知"第二学段(图形的位置与运动)主题只涉及(图形的运动)这部分内容"包括图形的平移+旋转+轴对称%这类运动都可以称为(刚体运动)"刚体运动所生成的变换都是全等变换"其特点是变换后图形上任意两点之间的距离不变%这一学段的内容要求主要是"在实际情境中辨认出生活中的平移+旋转和轴对称现象"直观感知平移+旋转和轴对称的特征"利用平移或旋转解释现实生活中的现象"形成空间观念%第三学段中"(图形的位置)(图形的运动)两部分内容是密切相关的%首先"确定图形的位置重点是确定点的位置"核心是建立数对集与点集之间的映射关系%小学阶段主要是在方格纸上用有序数对确定点的位置"进而在方格纸上描述图形的位置%其次"通过在方格纸上画简单图形运动!平移+旋转+轴对称+放大或缩小#之后的图形"可以观察和表达运动前后图形的变与不变"进而体会坐标表达的重要性%!三#(图形的性质)内容要求分析(图形的性质)主题设置在第四学段"主要包括六部分内容$点+线+面+角"相交线与平行线"三角形"四边形"圆"定义+命题+定理%与!#""年版课标相比"新课标这一主题的变化主要有$提高了(等腰三角形与直角三角形)的内容要求&将(垂径定理)由选学内容调整为必学内容&尺规作图内容不再作为独立的一部分"而是分散到有关的内容中"要求(了解作图的原理"保留作图的痕迹"不要求写出作法)"并且增加了(尺规作图$过圆外一点作圆的切线)%可见"新课标比较重视尺规作图的内容"期望学生通过了解图形形成的过程"提升几何直观与空间观念"增强动手实践能力%(图形的性质)体现了从综合几何的视角研究图形%新课标对该内容的设计主要是"通过实验探究+直观发现+推理论证来研究图形"在利用几何直观理解几何基本事实的基础上"从基本事实出发推导图形的几何性质!定理#"理解和掌握尺规作图的基本原理和方法%具体分析可知"(图形的性质)内容可归结为三个方面$一是研究的对象!图形#"主要按照基本几何图形!如线与角#+直线型图形!如三角形和四边形#+曲线型图形!如圆#等类型展开"从简单到复杂"循序渐进&二是构成图形的元素和图形之间的关系"如三角形的三边关系+平行四边形的性质定理+圆周角定理等均是对组成图形的元素之间关系的研究"而直线与圆的位置关系+三角形的内切圆和外接圆+圆的内接正方形和正六边形等均是对图形之间关系的研究&三是研究图形的方法"主要是通过合情推理和演绎推理的方法研究图形%!四#(图形的变化)内容要求分析(图形的变化)主题设置在第四学段"主要包括五部分内容$图形的轴对称+旋转+平移+相似+投影%与!#""年版课标相比"新课标这一主题的内容要求基本没有变化%(图形的变化)强调从运动变化的观点研究图形"即用几何变换的方法研究图形的性质%通过图形的变化"学生能体会变换的思想方法%史宁中教授认为$(初中阶段讲定义在平移+旋转和反射之上的平面几何"高中阶段再用二维矩阵来表示这些变换"到大学阶段讲群论+讲近似代数就方便了%即使学生以后不学数学"把变换的思想讲了"对学习物理的变换和化学的结构"也是很有益处的%)!具体分析可知"小学阶段已经设置了图形的轴对称+旋转+平移的相关内容"初中阶段对该内容的要求有所提升$了解或理解它们的概念与基本性质%但还是要通过图形的运动变化去认识"而不是直接呈现结论"重在引导学生学会从数学的角度观察现实生活中的图形"感悟数学的应用价值%图形的相似的主要内容是相似三角形%图形的相似不改变图形的形状"但是会改变图形的大小"也就是说"相似变换不改变角的大小"且使图形的边呈现一种稳定的比例关系"其实质是图形的放大或缩小"也称为(保角变换)%位似是特殊的相似"利用位似可以将一个图形放大或缩小%图形的投影主要包括中心投影和平行投影%平行投影后得到的物体与原物体是形状相同且大小相等的!全等的#"这是三视图的基础&而中心投影后得到的物体与原物体的形状是相同的"但大小是不等的!放大的#"这是一种位似变换%通过对(图形的变化)的进一步认识"结合对简单立体图形展开图的了解"可以发展学生的空间观念与几何直观%!五#(图形与坐标)内容要求分析(图形与坐标)主题设置在第四学段"主要包括(图形的位置与坐标)和(图形的运动与坐标)两部分内容%与!#""年版课标相比"新课标这一主题的内容要求基本没有变化%(图形与坐标)强调数形结合"用代数方法研究几何图形"在平面直角坐标系中用坐标表示图形上点的位置"用坐标法分析和解决实际问题"即用解析几何方法研究图形的性质%具体分析可知"初中阶段的(图形的位置与坐标)(图形的运动与坐标)正好与小学阶段的(图形的位置与运动)相衔接%小学阶段通过实体工具(方格纸)以及数学工具(数轴)!数射线#搭建了图形与坐标之间的联系"而初中阶段引入数学工具(平面直角坐标系)"一方面是对方格纸的提升"另一方面也是对数轴的拓展%图形是由点构成的"而平面直角坐标系是确定点的位置的有效工具"通过用坐标描述点的位置就可以在平面直角坐标系中刻画图形的位置%图形运动的实质是点的运动"故研究图形的运动与坐标只需要研究一对对应点的变化规律%这一主题强调数形结合"引导学生经历用坐标表达图形运动的过程"体会用代数方法表达图形变化的意义"可以发展学生的推理能力和运算能力%!史宁中&.平面几何/改造计划0-1&数学通报" !##'!,#$"$%。

图形与几何内容分析及教学建议

2. 了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图，能根据展开图想象相应的几何体，制作立体模型，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间观念和空间想象力．
3. 进一步认识直线、射线、线段的概念，掌握它们的符号表示；掌握基本事实：两点确定一条直线，两点之间线段最短，了解它们在生活和生产中的应用；理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离；会比较线段的大小，理解线段的和、差及线段的中点概念，会画一条线段等于已知线段．
贯
• 九下 “相似”
之
• 处理好推理与证明的关键章节在“相交线与平行线”中，结合实例从“说理
”到“简单推理”，并正式出现“证明”（让学生看到完整的证明，不要求学生完整证明，要求学生会填空完成一些关键步骤和填理由），注意循序渐进，推理的步骤控制好长度． • 正式出现“证明”之前，循序渐进给出严格的推理的符号语言
二、图形与几何领域教材特点分析
知识：基本图形图形的性质、分类、证明图形的变化运用坐标描述图形的位置与运动
空间观念推理能力（合情、演绎）
1.加强数形结合思想的渗透，体现各部分知识之间的横向联系。
例平面直角坐标系内容提前安排大纲教材代数中函数之前出现坐标系
坐标系的作用局限与函数图象课标教材坐标系安排在相交线、平行线后
同位角相等两条直线被第三条直线所截，如
果同位角相等，那么两直线平行若两个三角形两边及其夹角（两
角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等的全等全等三角形的对应边、对应角分别相等
了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等
了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）
• 七下对学生的要求

数学课程标准(2011版)初中数学《图形与几何》修订的解读

(2)“两直线平行，同位角相等”不再作为 “基本事实”，而作为定理要求加以证明. 对此，教材的处理方法是：通过“数学实验”活动探索、发现结论，并明晰定理---明确该定理今后可以运用推理的方法加以证明---在相应的“阅读”材料中运用“反证法 ”进行推理（给学有余力的学生课后阅读、思考---在八年级学习“反证法”时，通过证明加以确认. 这样处理相关内容，既符合《标准》要求，又不违背学生认“余角、补角、对顶角”的
性质后，用 “因为„„，所以 „„” 的表达方式进行简单的推理（此时只出“因”、“果” ，不出由因得果的理由）. 如图1，AC=BD，线段AD与线段BC有怎样的数量关系？为什么？ D
案例：确认“平行四边形的性质”. 操作：（1）在平行四边形ABCD中，连 A 连接AC，取AC的中点O（如图1）; O （2）用透明纸覆盖在图1上， B C 描出平行四边形 ABCD及对角线AC; 3.用针钉在点O处，将图形旋转（图1） 1800. 你发现了什么？
D
运用图形的运动、变化确认图形的性质：因为O是AC的中点，所以点A A (C) D (B) 与点C重合. 由AB ∥CD，可知 ∠BAC = O B (D) C (A) ∠DCA，于是AB落在射线CD上；由AD ∥BC，可知 ∠DAC= （图2） ∠BCA，于是CB落在射线AD上. 因为“两条直线相交只有一个交点”，所以AB与CB 的交点B与点D重合；如果连接BD，那么BD经过点O，且被点O平分（图2）. 这样，我们知道：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
4.删去了“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”、“菱形的对角线平分一组对角”等定理；删去了“等腰梯形的性质”、“圆与圆的位置关系”等内容. 降低了关于“视图与投影”的要求（未将“视点、视角、盲区”列入数学教学内容）.

“图形的认识与证明”易错剖析

（１）当Ｐ异于Ａ、ｃ时，请说明ＰＱ ∥Ｂｃ；
图５
基础．而矩形、菱形和正方形这些特殊四边形都具备平行四边形的一切性质，要防止特殊四
边形之间的性质混用，可以借助图形来记忆．正确答案为Ｄ．
例５如图５，菱形ＡＢＣＤ的边长为２ｃｍ，￣＿ＤＡＢ＝６０。．点Ｐ从Ａ点出
基础复
习
“ 图形的认识与证明” 易错剖析
常熟市海虞中学胡华春
例１等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为３０。，则顶角的度数为
【错解】只答６０。．【错因剖析】很多同学在画图的过程中，由于思维
定势或不严密，导致习惯性地画了顶角为锐角的等腰三角形，如图１，从而有／ＡＢＤ＝３０。，故顶角为６０。．而等
／＿．ＤＡＣ＝ＡＢＥＤ，故ＡＢ＝ＢＥ＝ＡＣ，然后再用“ 三线合一 ” 可证明ＡＤ上ＢＣ．
例３半径为２的圆中，弦日、Ａｃ的长分别为２和２的度数是 — — ．。则ＣＣ
【错解】只写一个数值１５。（１０５。）．
曰
／＼
ＤＣ
图３
当底上的ＡＤ是 “ 高线、中线、顶角平分线 ” 中的一线时。ＡＤ才必然是另外的两线．而有些同学
认为只要具备了两线合－ｈｅ，就可以用 “ 三线合一 ” 得出等腰三角形，这是本末倒置．因此，同

图形与几何中三条研究线索的关系

图形与几何中三条研究线索的关系比较课程标准实验稿和修订稿的整体框架便会得知原来课程标准实验稿的几何框架是按照图形的认识、图形与变换、图形与坐标和图形与证明四条主线来划分的，新的课程标准修订稿把四条主线变成三条主线，这三条主线分别是图形的性质、图形的变化、图形与坐标。

四条主线变成三条主线：第一条主线是图形的性质，这条主线基本上涵盖了原来图形的认识和图形与证明的内容，除了对一些基本图形的认识之外，还包含着对图形一些命题的证明，同时还发展了学生的空间观念和推理能力。

例如，在学习三角形时，首先认识什么是三角形，它有几个顶点，几个角，几条边，按角或边如何分类，以及三角形的三边关系及其推论，三角形内角和定理及其推论并一一对它们进行证明。

第二条主线是图形的变化，它的内容就比较丰富了，这里面包含了合同变换——图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转，以及图形的相似（包括位似），由于和相似关系密切，因此直角三角形的边角关系也包含其中，还有一类变换是仿射变换，在标准中呈现的标题就是投影。

这部分主要研究图形之间的关系，特别是从运动的观点和变化的角度来研究图形，这个方法本身也是十分重要的。

例如，在学习等腰三角形时，因为它是个轴对称图形，由此得了一些列性质；在学习图形面积计算时，利用部分图形平移，将平行四边形转化成矩形来计算，通过旋转将梯形转化成平行四边形来计算，在学习圆的“四组量”定理，即“在同园或等园中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦，所对的弦的弦心距也相等。

”时，利用园的旋转对称性，使学生了解了这一重要定理，还有利用相似或位似解题等。

第三条主线叫做图形与坐标，它包含坐标与图形的位置，还有坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等。

例如，在平面直角坐标系里，图形点与它的坐标关系密切，不同象限中的点，其坐标的符号也不同，横（纵）轴上的点纵（横）坐标为零，在平面直角坐标系中，点P（a,b)向右移动k个单位，其坐标为P'(a+k,b)等，还有很多不一一赘述，总之，这三条主线不光是对具体的学习内容的要求，更是从不同的角度，更多的维度对我们初中阶段的几何图形进行了全方位的、立体化的研究，它可以看作图形研究不同的三个途经。

代数和几何相结合

代数和⼏何相结合代数和⼏何相结合图形的认识，图形与证明，图形的变换，图形与坐标的设计有效变化空间与图形，这部分内容原来有四条线索：图形的认识，图形与证明，图形的变换，图形与坐标。

课程标准修订之后，在这个结构上也略有⼀定的变化，是三条线索，⼀个是叫图形的性质，⼀个是图形与证明，没有图形与证明，⼀个是图形与变换图形与坐标。

第⼀个问题，在初中阶段，研究的图形有哪些⾸先要整体把握要研究的对象，可能从这样⼏个⾓度来做⼀个划分，实际上是做⼀个分类，⼤家看可能是对所要认识的对象能够更清楚⼀些，第⼀个实际上对分类就是从为纬度上，⼀维图形，⼆维图形和三维图形，在第三学段这三维图形都包括了，⽐如点、线段、直线，这是⼀维图形，⼆维图形说就是三⾓形，四边形，三维图形，因为在初中阶段，虽然不研究⽴体⼏何，但实际上还是要初步的了解⼀些最基本的三维图形整体对的⼀种把握和认识，⽐如说柱体，包括球，包括⼀些锥，尤其在视图这个内容⾥边，可能还是要初步的了解这些图形，这是⼀个划分的纬度，从的维数上，⼀维、⼆维、三维。

另外还有⼀个，就是认识这些图形的⾓度，是直线形还是曲线形。

⾓就是直线形的图形，还有⼀类曲线形，包括⼆维和三维的，⽐如说圆，球，包括锥体，曲线形，这是另外⼀个将图形划分类别的这样⼀个⾓度。

还有⼀个⾓度，还可以把研究的图形分成基本图形和组合图形，那说基本图形，像这种三⾓形，四边形，三⾓形，可能是最基本的图形。

在研究图形的性质，从总的来讲是两类，⼀类是⼀个图形之间的，它的对象就是研究这个图形⾃⾝的之间的关系，另外⼀个就是研究图象间的，之间相互的关系。

全等是研究很重要的对象，包括相似的关系，另外还有对称性等等的，这些都是在明确了对象之后，进⼀步要展开⼏何各种学习⾥边很重要的内容。

图形与⼏何⾥有⼀块内容是新增加进来的, 就是视图。

视图也是认为培养学⽣空间观念很重要的载体，从刚才说对图形的认识这个⾓度怎么样看待对视图这块内容的理解。

苏科版初中数学教材培训.

●对“推理与证明”的理解：推理一般包括合情推理和演绎推理.在
解决问题的过程中，合情推理有助于探索、发现结论.演绎推理用于证明结论的正确性.
数学对发展推理能力的作用，人们早已认同并深信不疑. 通过演绎推理培养学生的思维能力，通过推理确认图形的性质，是 “空间与图形”学习的重要内容.
●案例1 图1是一张正方形纸片，按图示尺寸把它剪成4块，按图2重新拼合. 这4块能拼成一个长为13、宽为5的矩形吗？为什么？
∠ABC= ∠CDA， ∠BCD=∠DAB；
OA=OC，OB=OD.
A(C)
D(B)
即平行四边形的对边相等.
O
平行四边形的对角相等.
B(D)
C(A)
平行四边形的对角线互相平分.
苏科版初中数学教材作这样安排的目的在于：
1.在基本符合《标准》总体设计的原则下，尽量避免教学上的重复.
2.渗透乃至强化图形运动变化（如轴对称、旋转、平移）的教学内容，并运用图形的运动变化，直观地探索、确认图形的一些性质，使学生在掌握图形的性质的同时，获得研究图形的一种有效途径和方法.
●案例2 探索“三角形中位线的性质”
学生对“三角形中位线的性质”的探索、证明存在如下难点：
（1）《课标》末列入“经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边”的教学内容，这实际上是“三角形中位线的判定定理”. 这样，在三角形中位线的性质的探索、证明中，就不能抓住三角形中位线的判定与三角形中位线的性质的内在联系，进行探索、证明.
C
8
D
A
O
B
10
E
6
F
（图5）
C
8
D
O
A

2.小学“图形与几何”的课程包括哪些内容？

2.小学“图形与几何”的课程包括哪些内容？小学“图形与几何”的课程内容，是以建立和培养学生的空间观念、几何直观为核心展开的，主要包括：空间和平面基本图形的认识，图形的测量；图形的运动；图形的位置等内容。

修订后的《课程标准》较《课程标准（实验稿）》在这部分内容设置上有哪些变化？修订后的课程标准较课程标准实验稿各学段内容设置上稍有调整。

在第一学段，删除图形测量中“能用自选单位估计和测量图形的面积”，认识“平方千米、公顷”和在图形的位置中会看简单的路线图等内容。

增加或调整的内容主要有：在图形的测量中将“结合实例认识面积，体会并认识面积单位平方厘米、平方分米、平方米，能进行简单的单位换算。

”将平方千米和公顷的认识移到第二学段，并降低了要求。

第二学段删除的内容有“了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点”。

将“了解两点确定一条直线”放在第三学段，作为进行演绎证明的基本事实之一。

增加了“通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆；知道扇形，会用圆规画圆(图形的认识)”，“知道面积单位平方千米、公顷”和“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式,探索并掌握圆的面积公式,并能解决简单的实际问题”等内容。

结合教学实际浅谈培养学生的空间观念空间观念是物体的形状、大小及相互位置关系留在人们头脑的表象。

空间观念是空间想象力的基础。

培养初步的空间观念是发展空间想象力的基础，是《数学课程标准》中的一个重要目标，也是“空间与图形”学习的核心目标之一。

学生形成一定的空间观念，既有助于他们更好地认识世界，解决日常生活中的有关问题，又为进一步学习创造良好的条件。

那么，如何在教学中培养学生的空间观念呢？通过在教学实践中的摸索与探究，我认为注重以下几点，可以大大提高学生空间观念的形成和空间能力的培养。

一、重视基本图形的识别和再现，培养学生的空间观念学生只有掌握了图形的基本特征，才能正确分辨各种图形的本质区别，在培养学生的识图能力中，进行变式训练是深化学生表象的重要途径，同时也只有通过训练才能使学生更好地区分图形的各种因素，确定哪些是主要的，本质的，哪些是次要的，非本质的，从而使他们形成的表象更加清晰。