《电动力学第三版》chapter4_1平面电磁波
电动力学四一(平面电磁波)
一种最基本的交变电磁场: 平面电磁波
3
1、 无界空间中平面电磁波传播的 主要特性
2、 电磁波在 介质界面上的 反射和折射
从电磁理论出发导出 光学中的反射和折射 定律．
4
3、 有导体存 在时的电磁 波传播问题。
说明电磁波在导体内有一定 的穿透深度，在良导体内只 有很小部分电磁能量透入， 因而良导体成为电磁波存在 的边界。
16
在一般情况下，即使电磁波 不是单色波，它也可以用傅 里叶（Fourier）分析（频 谱分析）方法分解为不同频 率的正弦波的叠加．
17
讨论一定频率的电磁波．设角频率为，
电磁场对时间的依赖关系是cos t，或
用复数形式表为
Bx, t B x eit
Ex, t E x eit
关．这种电磁波称为平面电磁波，其波
阵面（等相位点组成的面）为与x轴正
交的平面．在这情形下亥姆霍兹方程化 为一维的常微分方程
26
d2 dx 2
Ex
D 0
B 0
8
真空情形: D=0E, B=0H
E
t
B
μ0ε0
2E t 2
9
E 0
E
E
2
E
2
E
代入上述得电场E
的偏微分方程
2E
0 0
2E t 2
0
同样，在方程组中
消去电场，可得磁
场B的偏微分方程
2B
电动力学第三版答案
电动力学第三版答案第一章：静电学1.1 静电场静电场是由电荷所产生的场，它是一种无时间变化的电磁场。
静电场的性质可以通过电场强度、电势和电荷分布来描述。
电场强度表示单位正电荷所受到的力，并且是一个向量量。
在任意一点的电场强度可以通过库仑定律计算。
电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。
电势可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。
1.2 电场的高斯定律电场的高斯定律是描述电场在闭合曲面上的通量与该闭合曲面内的电荷有关系的定律。
它可以通过以下公式表示：\[ \oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} \, ds =\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \]其中，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(\mathbf{n}\) 是曲面上的单位法向量，\(ds\) 是曲面上的微元面积，\(Q_{\text{enc}}\) 是闭合曲面内的总电荷，\(\varepsilon_0\) 是真空电容率。
1.3 电势电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。
它可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。
电势可以通过以下公式计算：\[ V = - \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \]其中，\(V\) 是电势，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(d\mathbf{l}\) 是路径上的微元长度。
1.4 静电场中的导体在静电场中，导体内部的电场强度为零。
当导体受到外部电场作用时，其表面会产生等效于外部电场的电荷分布，这种现象被称为静电感应。
静电感应可以通过以下公式来计算表面电荷密度：\[ \sigma = \mathbf{n} \cdot \mathbf{E} \]其中，\(\sigma\) 是表面电荷密度，\(\mathbf{n}\) 是表面法向量，\(\mathbf{E}\) 是外部电场强度。
电动力学第四章
②
（3）波矢量分量间的关系
kx k x k x y ky k y k
①
ˆ n
k
z
k E y
E E
x
k
且k , k 和 k 在一个平面内
（4）入射、反射、折射波矢与z轴夹角之间的关系
E
B
k
4、电磁波的能量和能流(平面电磁波)
1 1 2 2 w (E B ) 2
E
2
1
ˆ S wn
B
2
§4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射
电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射 现象(如光入射到水面、玻璃面)。 反射、折射定律有两个方面的问题： （1）入射角、反射角和折射角之间的关系问题； （ 2 ）入射波、反射波和折射波振幅和相位的变化 关系。 反射、折射既然发生在界面上，就属于边值问 题。从电磁场理论可以导出反射和折射定律，也从 一个侧面证明麦氏方程的正确性。
§4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射
偏振问题
（1）入射为自然光（两种偏振光的等量混合，在各 个方向上 E 均相同， 即 E E∥ ）
个方向上 E 大小不完全相同）。
（2）布儒斯特定律：若
即反射波只有 E 0
∥
这样，反射和折射波就被变为部分偏振光（各
则反射波 2
，
分量；若自然光入射，则反射波为完全线 E
偏振波。
三、全反射(略)
§4.3 有导体存在时电磁波的传播
由于导体内有自由电荷存在，在电磁 波的电场作用下，自由电荷运动形成传导 电流，而传导电流要产生焦耳热，使电磁 波能量有损耗。由此可见，在导体内部的 电磁场（波）是一种衰减波，在传播过程 中，电磁能量转化为热量。
电动力学第四章
电动力学A 刘克新第四章电磁波的传播本章主要内容§1、波动方程和平面电磁波§2、电磁波在介质表面的反射和折射§3. 导体中的电磁波§4、波导与谐振腔§5*电磁波在等离子体中的传播§1、波动方程和平面电磁波¾1、波动方程及其解¾2、平面电磁波的能量密度和能流密度¾1、波动方程及其解变化的电磁场以波的方式传播,变化的电流是电磁波源。
电磁波一经产生，离开源后就按自身规律运动。
需要研究两个问题：(1) 电磁波的激发问题(下一章)。
(2) 电磁波自身的运动规律，即电磁波的传输。
讨论限于某一区域，其内为线性、均匀、各向同性介质，即ε(ω)、μ(ω)、σ都不随空间位置变化，并且区域内没有自由电荷分布。
如果把ε、μ、σ分别用真空中的对应量ε0、μ0 、0代替，就得到真空中的结果。
比值为1）。
这种等相位面为平面，电场（磁场）沿固定方向，并且振幅不随时间和位置变化的波称为平面波。
§2、电磁波在电介质表面的反射和折射¾1、反射定律和折射定律¾2、Fresnel公式¾3、全反射根据Fresnel公式，我们可以得出以下结论：(1)入射波只有垂直分量，则反射波和透射波也只有垂直分量；对平行分量也一样。
(2)自然光可以看作各种频率和振动方向的平面波的叠加，因此一般地，反射或透射后的电磁波的这2个方向的振幅不再相等，即为部分偏振光。
00,i iE E ⊥= (3) 当入射角与透射角之和为π /2 时，该入射角记为θB ，,B iθθ=/2,t B θθπ+=由Fresnel公式[3] 知道，这时00,r E = 即反射电波完全变成⊥方向的偏振波。
这个规律在1812年由D. Brewster 发现，被称为Brewster 定律。
00,r r E E ⊥=∴sin sin B ti t n n θθ=发生这种现象的入射角称为Brewster 角，即θB 。
南京航空航天大学电动力学 第4章
对复数 Z
Re( Z 2 ) ≠ (Re Z ) 2
Re( Z1 Z 2 ) ≠ Re Z1 ⋅ Re Z 2
vv i ( k ⋅ x −ωt )
ε v v v E × ( ek × E ) = μ
ε 2v E ek μ
v v v 对复数描述的场量 E ( x, t ) = E e v v v 1 1 w = [ε (Re E)2 + (Re B)2 ]= ε (ReE)2 2 μ v v 二次式 2 2 = ε E0 cos (k ⋅ x −ω t)
g ( t ) = g 0 e − i ω t + iφ
可证 fg = Re( f ∗ g )
v v 1 1 2 1 2 B0 ∴ w = ε Re(E∗ ⋅ E) = ε E0 或 w = 2 2μ 2 v 1 v v v 1 εv v S = Re(E∗ × H ) = Re[E∗ × ( ek × E)] μ 2 2 v v v 1 ε 2v 1 ε = Re( E * ⋅ E )ek = E 0 ek 2 μ 2 μ v 1 v= = v w ek
∇ × E = iωB
v ∇⋅E = v 0 v
一定频率下，麦氏方程组可表示为 v v v v ∇2 B + k 2 B = 0 ∇2 E + k 2 E = 0 ⎧ v ⎧ v ⎨ ∇⋅ B = 0 v ⎨∇⋅ E = 0 v v v i ⎩ E = i ∇× B ⎩ B = − ∇× E ωμε ω
ω
v v ∴∇2 E + k 2 E = 0 ——亥姆霍兹方程 v v ∇ × (∇ × E) = k E 同理可得 v v ∇× (∇× E) = −∇ E v v ∇2 B + k 2 B = 0
电动力学 第4章 电磁波
2 12 [1 1 ( ) ] , 2
（3.27） （3.28）
由
1
2 12 [1 1 ( ) ] . 2
常数有关。一般用比值 的大小来判断该导体是不是良导体。 1 ，利用 1 x 1 1 x （x为小量） 对于不良导体比值 2 （3.28）式可简化为 1 2 12 （3.29） [1 1 ( ) ] .
J E, 把（3.2）代入 E 有 J .
（3.2） 其中σ为电导率.
（3.3）
上式的物理过程：如果某区域有电荷聚集，该区域电流密度的散度 不为零，因为电荷之间的相互排斥引起电荷向外扩散。 由于电荷 向外流动，该区域每个体积元的电荷密度减小，电荷密度的变化率 由电荷守恒定律决定。即 J （3.4）
E E
(1 i ) E 2 0
E E
(1 i ) E 和E E E 联立可解出 2 0
E E
. 2 0 1 i
)2 1
1 i
2 0
(3.36)
反射系数
20 R 2 1 2 20 2 E (1 ) 1
第三节
平面电磁波在导体中的传播及其 在导体表面的反射和折射
导体和绝缘体的差别是导体内有自由电子，当电磁波进入导体 后必将引起传导电流，电场对传导电流做功使得电磁波的能量转化 为焦耳热。 可以预料，在导体中传播的电磁波是个衰减波。 本节要点：1.导体中平面电磁波的数学表示； 2.导体中平面电磁波的传播特征；
c
2
1
电动力学课件4-1_2
S =E× H =E × 1 B =E × 1 µε (n × E) = ε E2n
µ
µ
µ
• 能流密度与能量密度之间的关系
S = ε E 2n = ε ( w)n = 1 wn = vwn 电磁能量致
• 能流密度S与能量密度w的计算方法
（1） 瞬时值
计算w和S的瞬时值时，不能把场强的复数表示直接代
)
477.4
cos2
(6π
×108
t
−
2π
z)
ez
W / m2
d. P= ∫ s (E × H ) ⋅ exdσ= 0
(ex
⊥
S)
作业: p150，习题1
10−6
cos(6π
×108
t
−
2π
z)(ex
+
ey
)
试求：a. f , k, v, λ 及传播方向；b. E 的表达式；c.S 的表达式；d.若在
yoz 平面上放置一半径为R的圆环，通过的功率P 为多少?
解：a. 波沿+Z轴方向传播;
f = ω 2π = 3 × 108 HZ ， k = 2π rad/m ，
2．平面电磁波的偏振特性简介
做为平面波解，亥姆霍兹方程的解表达式为复矢量 函数， 不仅E在大小上是t的函数，随t发生变化， 而且E的方向也可能会发生变化，有以下3种情形：
（1）线偏振：电场矢端轨迹始终在一条直线上。 （2）圆偏振：电场矢端轨迹为一个圆。 （3）椭圆偏振：电场矢端轨迹为一个椭圆。
4.1.4 电磁波的能量和能流
入，应把实数表示代入，即
w=
ε E=2
ε
E02
cos2
(k
电动力学答案(郭硕鸿+第三版) chapter4
sin θ 1
ww∴有(ωc
sinθ1 )2
+
β
2 z
−
α
2 z
=
ω 2 µε
w αzβz
=
1 ωµσ 2
解得
β
2 z
=
1 (µεω 2 2
−ω2 c2
sin 2 θ1 ) +
1 ω2 [(
2 c2
sin 2 θ1
− ω 2 µε )2Βιβλιοθήκη + ω 2 µ 2σ
2
]
1 2
α
2 z
=
−
1 (µεω 2 2
课 后 答 案 网
相速 kx − ωt = 0
w ∴vp
=
ω k
a 群速 dk ⋅ x − dω ⋅t = 0
d ∴vg
=
dω dk
h 2 一平面电磁波以θ = 45o 从真空入射到ε r = 2 的介质 电场强度垂直于入射面 求反射 k 系数和折射系数
解 nr 为界面法向单位矢量 < S >, < S ' >, < S '' > 分别为入射波 反射波和折射波的玻印
=
−
∂Bv
×
v H
=
∂D∂vt
⋅
v D
=
0
∂t
o ∇
⋅
v B
=
0
得
.c ∇
⋅
v B
=
v B0
⋅ ∇ei(kv⋅xv−ωt)
=
v ik
⋅
v B0e
i(kv⋅xv−ωt )
=
v ik
⋅
电动力学课件 4.1 平面电磁波
ε 和 μ随频率而变的现象称为介质的色散．
对色散介质，一般情况下
D E
， B H
B H D E ，
对角频率 ω一定的单色电磁波，有
对线性均匀各向同性的介质，当介质无色散或电磁波为单色波 时，电磁场的波动方程为
E x , t E 0e B x , t B0 e
i t E
ΦE、 ΦB 为与空间 位置有关的相位
利用欧拉公式 e i cos i sin ，时谐场的复数形式为
E x e it B x e i t E x , B x 为复数矢量
讨论一种最基本的解，它是存在于全空间中的平面波
设电磁波沿X轴方向传播，其场强在与x轴正交的平面上各点具有 相同的值，即E和B仅与x，t有关，而与y，z无关．这种电磁波称为 平面电磁波，其波阵面（等相位点组成的面）为与 x轴正交的平面
x
平面波
12
在这情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程
2E k 2E 0
k x t C
14
单色平面电磁波的基本物理量
E x , t E0e
k
i k x t
1) 波矢 k 的方向表示波的传播方向，大小表示2π长度上完整波的 数目 2
2) 相位为 k x t，等相面方程为 k x t C 3) 在同一时刻，在垂直于k 的平面上任一点，平面波的相位均相等 ，因此垂直于 k 的平面是等相面， k 是等相面的法向，即k 为等相面 的传播方向。 4) 在同一时刻，相位差为2π的两个等相面的距离λ称为波长
电动力学四
w
1 2
ED H B
1 2
E
2
1
B2
E v 1
B
E2 1 B2
电场能等 于磁场能
w E2 B2
r rr S EH
r
r B
k
r E
nr
r E
S E H vw n
电磁能量传播方向与 电磁波传播方向一致
w
E2
E02 cos2
k x t
w
1
2
E02
S
vE
2n
实际上具有各种成分的电磁波可以写为：
E x,t E eitd
由此可知，由于
D
E
以及
B
H
，而不能将真
空中的波动方程简单地用
代
0
、代
转化为介
0
质中的波动方程。
4．时谐波（又称定态波）及其方程
时谐波是指以单一频率 做正弦（或余弦）振荡的
电磁波（又称为单色波或者定态电磁波）。
电磁场对时间t的依赖关系可以表示为 cos t，时间
rr E0eik
xr
0
k E 0 同理 k B 0
（4） B 与 E的关系
B k E
证明：
B
几
i
E
i
E0eik x
a) B 与 E 同相位；
i
eik x
E0
k
E
点
说 明
b)
EB
E, B, k
E构 B成 右E手 k螺 E旋关0系
c) E v，振幅比为波速。
部分一般用复数形式表示为 eit cost i sin t，
因此有以下关系成立：
电动力学-第4章-第1节-平面电磁波
在迅变情况下，电磁场以波动的形式存在。
随时间变化•本章重点：电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的2，真空中的波动方程令的波动方程可以写为：
真空中的电磁场波动方程，能否直接用到介质中对不同频率的电磁波，介质的电容率是不同的，即µ是二、时谐电磁场1，场量的复数形式
2，时谐电磁波的麦氏方程组3，时谐电磁波的波动方程
4，时谐电磁波的亥姆霍兹方程解出
按照激发和传播条件的不同，亥姆霍兹方程的解可以有不三、平面电磁波r 设电磁波沿上述解需要满足条件：
2，相位因子的意义
3，平面波的一般表达式
表示平面波的传播方向的单位矢量。
与原点之间的相位差为：
x z
x r
x′r
4，平面电磁波的性质
(2) 磁场波动是横波(3) 同理可得，一般情况下的平面波中的磁场波动解为:
对于单色平面波，可以验算：5，平面电磁波的波形图
v
x 6，单色平面电磁波的偏振特性z 轴为波矢量
(1) 线偏振波：x
(2) 椭圆偏振波：电磁波偏振性质的应用
四、电磁波的能量和能流2，电磁场的能流密度计算 f g
例1：有一平面电磁波，其电场强度为解)]t (3)例2：在电容率为的均匀介质中，有一个沿x 轴
r
)t(3) 坡印亭矢量。
电动力学课件4-1
对第一式两边取旋度，并利用自由空间中本构关系和第二式得：
∇×
(∇ ×
E)
=
−
∂ ∂t
∇×
B
=
− μ0ε0
∂2E ∂t 2
利用矢量分析公式及 ∇⋅E = 0简化上式
∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇2E = −∇2E (p278, 式I.25)
∴
∇2E
− µ0ε 0
∂2E ∂t 2
ε ε= (ω ), µ µ(ω )
D(r,ω) = ε (ω)E(r,ω)
频率函数
B(r,ω )=µ(ω )H (r,ω )
若电磁波仅有一种频率成分
D (ω ) ε= (ω ) E (ω ); B (ω ) µ (ω ) H (ω )
电磁波动在介质中一般频率成分不是单一的，可能含有各
种成分。对不同频率的电磁波，介质的电容率和磁导率是
亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，
其解E(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况，
每 =iωµH 式求出，
B = − i ∇ × E = − i µε ∇ × E
ω
k
所以，一定频率条件下要求解电磁场的方程为
∇2E + k2E = 0
+
eik ⋅
x∇
×
E0
)
=
µε
k
×
E
k
µε
由上式得
k= ⋅ B
k ⋅ (k ×= E) 0 k
因此 E、B 和 k 是三个互相正交的矢量。E和B同相，
振幅比为:
或 E= µ Hε
在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为
波阻抗——入射（反射）电场与入射（反射）磁场的比值
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H
J
t
D
t
D
B 0
无源情况下
E
B
H
t D
t
D 0
B 0
真空中 D 0EB0H
( E ) t( B ) 00 2 tE 2
E ( E ) 2 E 2 E
E0
自由空间的电磁场波动方程
22B E 00002t2tB 2E 200
2E t2
均匀、稳定的介质也不行！！
D(t)E(t)
B(t)H(t) 一般不成立
介质的色散性质
一般的介质具有色散性质,即介质对电磁场的
响应性质与电磁场的变化频率有关：
D ()()E ()
B ()()H ()
D(t)E(t)
B(t)H(t)
对一般的介质中的电磁场,不满足波动方程
0 0
介质中的微观粒子（如电子）由于其惯性, 来不及响应外场.
B (x ,t)B (x )e it
D ( x , t ) D ( x ) e i t () E ( x ) e i t
H (x BE,t) iiH B(x E)eit (1 )BEB (x i)ie BitE
E B
0 0
22EB
k2E k2B
0 0
k
一定频率下电磁波的基本方程
E E 0 e i ( k ' x t ) E 0 e i ( k ' x t ) i k ' E
2 E
k 2E
0
E 0
B
i
E
D ,
B 0,
E
B
,
H
J
t
D
.
t
在 线性介质中(对一定频率) D E E B H H J E
H
E
t
E
t
考虑在没有电荷分 布的自由 空间 0, E0,又
2 2
BE E BEtt 22ttE BE22 —2 —E 电 磁场2 E 波 动方程
4. 有界空间的电磁波.
微波技术中常用的谐振腔,传输线和波导都属于 有界空间中的电磁波问题. 我们以谐振腔和波导 为例说明电磁波边值问题的解法.
§4.1 平面电磁波
内容概要
1. 电磁场波动方程 2. 时谐电磁波 3. 平面电磁波 4. 电磁波的能量和能流
1. 电磁场波动方程
麦克斯韦方程组
E
B
亥姆霍兹方程
2 E
k 2E
0
E 0
B
i
E
2E iE 2E ,
2BiB2B.
2Ek2E 0,
2Bk2B0.
2 B k 2 B B 0
0
E
1
B
i
电磁场时空联合傅 里 叶变换
对任一时空变化的函数 E(x,t),可以进行时空 联合的傅里叶变换：
正变换
E ( x ,y ,z , t ) E ( k x ,k y ,k z ,) e i ( k x t ) d k x d k y d k z d
第四章 电磁波的传播
平面电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式.
1. 无界空间中平面电磁波传播的主要特性. 2. 电磁波在介质界面上的反射和折射.
从电磁理论出发导出光学中的反射和折射定律. 3. 有导体存在时的电磁波传播问题.
说明电磁波在导体内有一定的穿透深度, 在良导 体内只有很小部分电磁能量透入, 因而良导体成 为电磁波存在的边界.
c
1 0 0
2Ec12 2Bc12
2tE 20 2tB 2 0
电磁场在真空中应满足“波动方程”.
电、磁波动方程
2 2 B E 真c 1 1 空2 中2 2 tB E 2 电 、0 0磁场 形E B 式 上0 0 可以电磁分波波离动动: 方方程程＋＋横横波波条条件件 c2t2
2. 时谐电磁波
任一时域函数E(t),可以视为由频域函数 E()叠
加正而变成换,反之E (亦t)然. 这E 就( 是)e傅i 里td叶（Fourier）变换：
逆变换 E () 1 E (t)eitd 2π
对电磁场作傅里叶变换：
E (x ,t)E (x ,)eitd B (x ,t)B (x ,)eitd
真空中光速
c(00)1/2
但不能替代麦克斯韦方程,还需要考虑电场与磁
场的联系: EB t
Bc12
E t
对介质的考虑
介质中,电磁场方程能否写成波动方程的形式？
如果H可以,Dt有无条件？B 条件是t 什E么 ？？？cB ()Et1/2 ?
( D E 0) t ( E B ) 0 t E t E ？ 0
逆变换
E ( k x ,k y ,k z ,) ( 2 1 π ) 4
E ( x ,y ,z ,t) e i( k x t) d x d y d z d t
任意的时空写成下列基（本）函数之叠加：
ex ip (k [x t)]
k
k2 2i
3. 平面电磁波
上述方程有一个最基本、最简单的解 证 明
D ( x ,t ) D ( x ,) e i t d () E ( x ,) e i t d
H (x ,t) H (x ,)e i td1B (x ,)e i td
()
时谐电磁波(单色波):以一定频率做正弦振荡的波.
E (x ,t)E (x )e it
E (r ,t)E 0eik r t
——平面电磁波
振幅
相位因子
k2 2i
在真空中
0,0,0,c
1
00
平面波是亥姆霍兹方程的解
对平面波,微分算符变成代数算符：
t i
ik'
i k E ' x E E 0 e 0 i e ( k i ( ' k x ' x t ) t ) i k ' e E i ( k 0 ' e x i ( k ' t ) x E t ) i k ' E
亥姆霍兹方程
（Helmhotz方程）
2 E
k 2E
0
E 0
2 B
k 2B
0
B 0
B iBiblioteka EE i k2
B
此处的 E, B是电磁场的振幅,时间变化部分不
包含在内.
此处每一个满足E0的解代表一种可能存
在的波模.
BE((xx,,tt))BE((xx))eeiitt
k2 2i