解直角三角形(方位角)
解直角三角形方位角坡度
P A C B
2、如图，一渔船由西往东航行，在A点 测得海岛C位于北偏东60°的方向，前 进20海里到达B点，此时，测得海岛C位 于北偏东30°的方向，则海岛C到航线 AB的距离CD等于____海里．
3、一渔船在海岛A南偏东20°方 向的B处遇险，测得海岛A与B的 距离为20海里，渔船将险情报告 给位于A处的救援船后，沿北偏 西80°方向向海岛C靠近．同时， 从A处出发的救援船沿南偏西 10°方向匀速航行．20分钟后， 救援船在海岛C处恰好追上渔船， 求救援船航行的速度为多少？
2、如图，水坝的横断面是梯形，背水 坡AB的坡度为 3⋅：1，坡长AB=20 3m， 为加强水坝强度，将坝底从A处向后水 平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡度 为1：1，求AF的长度．（结果精确到1 米）．
3、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6米的一块(阴影部分是挖去部分)，已知渠道内 坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积； ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
h 的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i= h/l l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a面就越陡.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶. 6
1、如图，一水库大坝的横断面为梯形 ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜 坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角 为30°，求坝底AD的长度．（精确到 0.1米)
解直角三角形(2) ——方位角
归纳 方位角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所 成的小于90°的角叫做方位角。
1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 65°方向，距离灯塔80n mile的A处，它 沿着正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时， B处距离灯塔P有多远？（结果取整数）
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课精彩教案
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课精彩教案一、教学内容1. 利用直角三角形的性质，解决实际生活中的方位角问题；2. 利用直角三角形计算坡度角，并应用于地形、建筑设计等领域。
二、教学目标1. 理解并掌握方位角与坡度角的概念及计算方法；2. 能够运用直角三角形的性质解决实际问题，如确定物体方位和计算坡度；3. 培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解方位角和坡度角的实际应用，以及计算方法的灵活运用。
教学重点：掌握直角三角形的性质，以及如何利用这些性质解决方位角和坡度角问题。
四、教具与学具准备1. 教具：直角三角形模型、地球仪、坡度计算器；2. 学具：三角板、量角器、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用地球仪展示不同地点的方位角，引导学生思考如何计算和确定方位角。
2. 知识讲解（15分钟）（1）回顾直角三角形的性质；（2）介绍方位角的概念及计算方法；（3）介绍坡度角的概念及计算方法。
3. 例题讲解（15分钟）（1）计算给定地点的方位角；（2）计算给定地形的坡度角。
4. 随堂练习（10分钟）（1）学生独立完成练习题，计算给定地点的方位角；（2）学生分组讨论，计算给定地形的坡度角。
六、板书设计1. 方位角的定义及计算方法；2. 坡度角的定义及计算方法；3. 例题及解答过程。
七、作业设计1. 作业题目：（1）给定一点，求该点的方位角；（2）给定一个斜面，求其坡度角。
2. 答案：（1）方位角的计算结果为：度；（2）坡度角的计算结果为：度。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角和坡度角的概念理解较为顺利，但在计算过程中仍存在一些问题，如计算方法不熟练、单位换算错误等，需要在课后加强练习。
2. 拓展延伸：引导学生思考在实际生活中，还有哪些问题可以利用直角三角形的性质来解决，鼓励学生进行探索和研究。
重点和难点解析1. 实践情景引入的理解和应用；2. 知识讲解中方位角和坡度角计算方法的掌握；3. 例题讲解中解题步骤的详细解释；4. 随堂练习的设计与实施；5. 作业设计中题目难度的把握及答案的准确性；6. 课后反思与拓展延伸的有效性。
初中九年级数学下册人教版28.2.5解直角三角形的应用(方位角)ppt课件
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
(必有一边)
2.解直角三角形的依据
Ｂ
(1)三边之间的关系: (2)两锐角之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
c a
(3)边角之间的关系:
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
探究
例题：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里 的A处，它正沿着正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
北
A
P
C
B
小结
解直角三角形的应用：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面 图形，转化为解直角三角形的问题)； (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角 函数等知识去解直角三角形； (3)得到数学问题答案； (4)得到实际问题答案；
答：货轮无触礁危险。
A
N1
N
DX C
24海里
B
当堂练习
2、如图，某船以29.8海里/时的速度向正北方向航行，在A处测得灯 塔C在该船的北偏东32°方向上，半小时后该船航行到点B处，发现此 时灯塔C与船的距离最短。 (1)在图上标出点B的位置； (2)求灯塔C到B处的距离(精确到0.1海里)。
北
D C
西南方向:______射__线_O_ F 东 A
东南方向:______射__线_O_ G G 东北方向:______射__线_O_ H
认识方位角
B 西
北
（3）南偏西25°
70°
O
25° A南
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角(教案)
本节课将重点围绕方位角的求解与应用进行复习巩固，提高学生解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标致力于培养学生的以下能力：
1.理解并运用数学知识：通过复习直角三角形的性质和解直角三角形的方法，加深对几何知识的理解和应用，提高解决实际问题的能力；
难点解释：学生在理解三角函数的概念时，容易混淆正弦、余弦、正切函数的定义及其应用场景。
（2）空间想象能力的培养：在求解方位角时，需要学生在脑海中构建直角三角形的空间模型。
难点解释：学生在解决方位角问题时，往往难以在脑海中形成清晰的空间图像，导致解题困难。
（3）实际问题的解决：将数学知识应用于实际情境，解决现实问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调解直角三角形的方法和方位角的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示方位角的基本原理。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角（教案）
一、教学内容
本节课为九年级数学课程，选取教材中“第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习”部分进行深入讲解。内容包括：
1.复习直角三角形的定义及性质；
2.掌握解直角三角形的方法；
3.介绍方位角的概念及应用；
4.通过实际例题，让学生掌握利用解直角三角形的方法求解方位角；
2.数学思维能力：在方位角的求解过程中，锻炼学生的逻辑推理和空间想象能力，提升数学思维水平；
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课我们将学习教材第十章“解直角三角形的应用”中的方位角与坡度角。
具体内容包括：理解方位角的概念，掌握利用正切值计算方位角；理解坡度角的概念，掌握利用正弦值和余弦值计算坡度角。
二、教学目标1. 理解并掌握方位角与坡度角的概念。
2. 学会使用正切、正弦和余弦值计算方位角与坡度角。
3. 能够在实际问题中运用所学的知识，解决有关方位角与坡度角的问题。
三、教学难点与重点重点：方位角与坡度角的概念及其计算方法。
难点：在实际问题中运用所学的知识，解决有关方位角与坡度角的问题。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、多媒体课件。
2. 学具：直角三角形模型、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示实际生活中的方位角与坡度角问题，引导学生思考如何解决这些问题。
2. 知识讲解：a. 讲解方位角的概念，引导学生通过观察三角板理解方位角的含义。
b. 讲解正切值在计算方位角中的应用，通过例题进行演示。
c. 讲解坡度角的概念，引导学生通过观察直角三角形模型理解坡度角的含义。
d. 讲解正弦值和余弦值在计算坡度角中的应用，通过例题进行演示。
3. 随堂练习：让学生完成教材中的相关习题，巩固所学知识。
4. 解题方法与技巧讲解：针对学生在随堂练习中遇到的问题，进行讲解和指导。
六、板书设计1. 方位角与坡度角的概念。
2. 正切、正弦和余弦值在计算方位角与坡度角中的应用。
3. 例题解答步骤。
七、作业设计1. 作业题目：a. 计算给定直角三角形的方位角。
b. 计算给定直角三角形的坡度角。
2. 答案：见附页。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角与坡度角的概念掌握情况，以及计算方法的运用。
2. 拓展延伸：引导学生思考方位角与坡度角在实际生活中的应用，如建筑设计、地形测量等。
重点和难点解析1. 教学内容的针对性及深度。
2. 教学目标的明确性与可衡量性。
3. 教学难点与重点的识别。
23.2xin解直角三角形的应用(方位角)
Ｂ
i=1:1.6
9.8m
Ｃ
i=1:2.5
α
5.8m
A
∵BE=5.8m
Ｅ
Ｆ
β
Ｄ
解；过点C作CＦ⊥AＤ于点Ｆ，所以EFCD是矩形。 EF=BC=9.8m BE=CF=5.8m，∠A=α，∠B=β
答；铁路路基下底宽为33.6 m，斜坡的坡角分别 为32°和22°
2（2012）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅。如
图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定。小明为 了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°， 再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为450.已知点C到 大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°.请根据以上数据求条幅的长度 （结果保留整数。参考数据：tan31°≈0.60,sin31°≈0.52， A cos31°≈0.86）. 解：设AB=x米 ∵∠AEB=450, ∠ABE=900 ∴BE=AB=x米在 Rt△ABD中
所以Ｃ（０，４） 设M（m，０.５ｍ2-ｍx+6）
x2
ｙ
Ｃ
N
Hale Waihona Puke ｏ AM（m，０.５ｍ2-ｍx+6）
Ｂ P
x
2３,（１）如图１，在平行四边形ABCD中，∠B＝∠C =90°，点E在BC上，且EA＝ED，∠AED=90°
求证AB+CD=BC
证明 ∵
A B
D
C
E
2３,（2）如图2过A作AF//BC交DE与F若AB＝３
解直角三角形(方位角)
指北或指南方向线与目标方向线所 成的小于90°的角。
北
A
30°
西
O
东
45°
B
南
认识方位角
北
（3）南偏西25°
B 西
70°
O 60°
25° A南
射线OA 东
北偏西70° C 射线OB
南偏东60°
射线OC
.例1、 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A
处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B 处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到1海里）
北
E
B 100m
600
西
东
D
A
200m
南 C
问题如图:一艘轮船由海平面上A地出发
向南偏西400的方向行驶40海里到达B地,
再由B地向北偏西200的方向行驶40海里
到达C地,则A,C两地的距离为
4_0_海__里
北
C 北
D
A 有一个角是600的三 角形是等边三角形
B
二、探究
例2、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货 轮由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A在北 偏西60˚.在c见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行， 有无触礁的危险？
2、根据条件的特点，适当选用锐角三角函数 去解直角三角形；
3、得到数学问题的答案； 4、得到实际问题的答案。
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。
知识卡片-解直角三角形的应用-方向角问题
解直角三角形的应用-方向角问题能量储备方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角，方向角一般写成“北(或南)偏西(或东)××度”的形式。
在图2447中，目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别是北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°。
另外，东南方向指的是南偏东45°，西北方向指的是北偏西45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°。
通关宝典★ 基础方法点方法点：解与方向角有关的问题时，根据方向角的概念，结合图形判断相应角的度数是关键。
例1：如图2449所示，在一次军事演习中，小李从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了5003m 到达目标B 点，然后沿北偏西30°方向走了500 m 到达目的地C 点．(1) 求A ，C 两地之间的距离(2)确定目的地C 在营地A 的什么方向上．解：(1)∵AM ∥DN ，∴∠MAB ＝∠ABD ＝60°，∴∠CBA ＝180°－∠ABD －∠CBN ＝180°－60°－30°＝90°。
∴△ABC 为直角三角形在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝ （5003）2＋5002＝1 000(m)。
(2) 在Rt △ABC 中，tan ∠BAC ＝BC AB ＝5005003＝33， ∴∠BAC ＝30°，则∠MAC ＝∠MAB －∠BAC ＝60°－30°＝30°答：(1)A ，C 两地之间的距离为1 000 m ．(2)目的地C 在营地A 的北偏东30°方向上． 例2：如图24425所示，一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东59°方向，距离它72海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向．求这艘船航行的速度．(精确到1海里/时)解：在Rt △ABC 中，∠A ＝59°，AB ＝72海里，sin A ＝BC AB， ∴ BC ＝AB·sin 59°≈61.7(海里)，61.7÷(10－8)≈31(海里/时)．答：这艘船航行的速度约为31海里/时．蓄势待发考前攻略考真题与教材习题都是与方向角有关的航行问题，只是中考真题先要构造直角三角形．解这类题的关键是把实际问题中的有关数据转移到直角三角形中，借助解直角三角形解决问题．完胜关卡。
解直角三角形(方向角)
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
东
二、探究
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯
塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到 达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮 所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
65°80 A
P C
34°
B
练习：1、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一 艘货轮由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A 在北偏西60˚.在c见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航 行，有无触礁的危险？
上A地出发向南偏西400的方向行驶40
海里到达B地,再由B地向北偏西200的方
向行驶40海里到达C地,则A,C两地的距
4离0海为里____
北
C 北
D
A 有一个角是600的三 角形是等边三角形
B
(陕西) 一次测量活动中，同学们要测量某公园 的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离， 如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平 面上的点P，在点P处测得码头A位于点P北偏 西30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向； 又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运 用以上数据求出A与B的距离。
方向角：
是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角
方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向 作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）， 通常表达成北（南）偏东（西）××度，若正好为45度， 则表示为正西（东）南（北）。
解直角三角形方向角
D
C
A
B
东
解：（1）∵AB=36×0.5=18， ∠ADB=60°，∠DBC=30°， ∴∠ACB=30°．又∵∠CAB=30°， ∴BC=AB=18＞16， ∴B点在暗礁区域外． （2）过C点作CH⊥AF，垂足为H，在Rt△CBH中， ∠BCH=30°， 令BH=x，则CH=x，在Rt△ACH中，∠CAH=30°， ∴AH=CH， ∴18＋x=-x，∴x=9，∴CH=9<16， ∴船继续向东航行有触礁的危险．
方位角
北偏东
北 58°
A
58
西
东
OO
28
南偏西 28°
B
南
一自学自悟奠定基础
• 课本P94例2
• 提示：1.题中已知那些角、边源自•2.需要求什么量？
•
3在哪个直角三角形中求，如何求？
二 检测练习 知识反馈
一渔轮在小岛O的北偏东30方向，距离等于10海里 的A处，正向南偏东60方向航行，那么渔轮到达小 岛O的正东方向时距小岛多远？
北
A
60 ° 30°
西
O
B
C
东
南
三 梳理探究 释疑解难
1如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东
航行，在A点测得某岛C在北偏东60°方向上， 航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30°方 向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
（1）试说明B点是 否在暗礁区域外．
北
（2）若继续向东 航行，有无触礁危 险？请说明理由．
固 内
• 根号）.
化
2、找出与问题有关的直角三角形，或通过作 辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题 转化为解直角三角形的问题。
3、合理选择直角三角形的元素之间的关 系求出答案。
解直角三角形4(方位角)
的数量关系,设x求解.
练习
1.小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向 正北方向匀速行进，如图1，出发时，在B点他 观察到仓库A在他的北偏东30°处，骑行20分钟 后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南
方向，则这座仓库到公路的距离为__1_.8__千
(A)北偏东20°方向上 (B)北偏东30°方向上 (C)北偏东40°方向上 (D)北偏西30°方向上
2.(2010·深圳中考)如图,一艘海轮 位于灯塔P的东北方向,距离灯塔
海里4 的0 A2处,它沿正南方向航行一
段时间后,到达位于灯塔P的南偏 东30°方向上的B处,则海轮行驶
的路程AB为___ _4_040海里3 (结
米．（参考数据： 3 ≈1.732，结果 保留两位有效数字）
练习2：如图所示，气象台测得台风中心在某港 口A的正东方向400公里处,向西北方向BD移动， 距台风中心300公里的范围内将受其影响，问港 口A是否会受到这次台风的影响？D北C NhomakorabeaA
45 °
东
B
练习3：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30 方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里 的速度向南偏东60方向航行，那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间（精确到1分）？
大 一 寒 假 生 活 学习总 结 阳 光 明 媚 的周 末来听 活泼可 爱的倪 老师讲 课，寒 冷 的 冬 天 也 让人感 到生机 勃勃. 今 天 课 非 常 实用， 但是要 真正的 运用不 仅要天 赋 ， 也 更 需 要时间 与实践 .我越来 越觉得 理科生 与文科 生在思 维，表 达，还 有对事 物 的 理 解 上 真的有 非常大 的区别 ，我要 做的是 更加了 解他们 的思维 方式， 用他们 能 迅 速 理 解 的方式 陈述问 题，不 然他们 会误解 或者根 本不理 解我到 底说的 什么。 然 后 呢 ， 我 最大的 一个收 获是在 论证一 个问题 时在没 有充分 的了解 与认知 时不要 用 绝 对 的 话 语陈诉 问题， 这样会 适得其 反.最后 呢，我 学到了 一些销 售技巧 ，在销 售 时 要 关 注 顾客的 反应与 需求， 有时用 一些俏 皮的语 调介绍 产品会 有更好 的销售 效 果 ， ， 在 介绍产 品时要 先介绍 优点， 再提出 产品缺 点这样 顾客更 能接受 ，在销 售 时 一 定 要 常保持 微笑， 这样就 算遇到 特麻烦 的顾客 也不会 陷入僵 局，..在生活中 要 学 会 用 艺 术陶冶 自己， 一个有 内涵的 人更能 受到尊 重，生 活也更 有色彩 ......在上 课 期 间 ， 我 特佩服 那个来 自川大 的东北 女孩， 一种不 考虑后 果的胆 大与自 信让人 欣 赏 . 每 次 的 课 程 都会 有不同 的感受 和心得 体会， 每次都 会有所 成长。 思维，
24.3.3 解直角三角形 (方位角)
24.3.3 解直角三角形 （方位角）学习目标：1. 理解方位角的概念，并学会画方位角。
2. 会将有关方位角的实际问题转化为解直角三角形的问题并解决， 一、 复习回顾 仰角和俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.二、新课（一）方位角的概念指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 如图：点A 在O 的北偏东30° 点B 在点O 的南偏西45°（西南方向）（二）利用所学概念画图1.C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A,B 两岛的视角∠ACB 的度数 。
（三）例题 例1、如图，一船以20n mile/h 的速度向正东航行，在A 处测得灯塔C 在北偏东60°，继续航行1h 到达B 处，再测得灯塔C 在北偏东30°。
已知灯塔C 四周10 n mile 内有暗礁。
（1）标出方位角（2）这船继续向东航行是否安全？铅直线水平线30°45°B O A东西北南CD B A 北东(四)练习：1. 小红家（图中O 处）门前有一条东西走向的公路，测得有一水塔（图中点A 处）在她家北偏东60°的500米处，那么线段OB 的长是多少？2. 如图，海上有一座灯塔P ，在它的周围3海里内有暗礁，一艘客轮以每小时9海里的速度由西向东航行，航至A 处测得灯塔P 在它的北偏东60°方向，继续航行20分钟后，到达B 处，又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向，问客轮不改变方向继续前进，有无触礁的危险？3.如图，小岛 A 在港口P 南偏西45°方向，距离港口81海里处，甲船从A 出发，沿AP 方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P 出发，沿南偏东60°方向出发，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发。
24.4.2解直角三角形(方位角)
（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？ 解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km 为半径的圆与BM的交点，由题意得： ∴CE =√AE2 – AC2 = 90 ∴EF = 2CE = 2 x 90 = 180 A F C M
E
∴A城受到沙尘暴影响的时间为 180÷12 = 15小时
练习2：海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处， 发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求 (1)从A处到B处的距离; (2)灯塔Q到B处的距离 （画出图形后计算，精确到 0.1 海里）
B Q
北30° 西 东
A 南
练习2：海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处， 发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求 (1)从A处到B处的距离; (2)灯塔Q到B处的距离 （画出图形后计算，精确到 0.1 海里）
A
60º 30海里
？
C
B 被观测点
这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 60°,斜边AB=30,求AC的长
概括
1、在解决实际问题时,应“先画图,再求解”； 2、在直角三角形中，如果已知两条边的长 度，那么就可利用勾股定理求出另外的一条 边。
3、在直角三角形中，如果已知一条边的长 度和一个锐角，利用三角函数求出其他边。
附加题
由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘 暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B 处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心 150km的范围为受影响区域。 （1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？ （2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
解直角三角形(方位角问题)
第五章 空间与图形5.7 解直角三角形【基础巩固】1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即：222c b a =+。
逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
2、直角三角形的边角关系:锐角三角函数 （1）. 正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;（2）. 余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;（3）. 正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan（4）余切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;（5）.一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
在一个直角三角形中，若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=； )90sin(cos A A ∠-︒=解直角三角形 勾股定理锐角三角函数考查内容考查角度方向角问题楼的高度 旗杆高度 山的高度 坑的深度图 1图 3 图4 ②)90cot(tan A A ∠-︒=； )90tan(cot A A ∠-︒= (6).特殊角的锐角三角函数值3.仰角与俯角当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为仰角．． 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角．．4. 坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。
用字母i 表示， 即A lhi tan ==5.方位角与方向角从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课我们将探讨教材第十二章“直角三角形的应用”中的方位角与坡度角。
具体内容包括：1. 理解方位角的概念，掌握其在实际情境中的应用；2. 学习坡度角的计算，了解其在工程及地理等方面的实际意义；3. 掌握运用三角函数解决实际问题时，如何确定直角三角形的各个角度和边长。
二、教学目标1. 学生能够理解并运用方位角描述物体在空间中的位置关系；2. 学生能够通过计算得出坡度角，并应用于实际情境中；3. 学生能够运用三角函数解决直角三角形相关问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：方位角与坡度角的实际应用，以及三角函数在解决直角三角形问题中的应用；2. 教学重点：理解方位角和坡度角的概念，掌握计算方法，并能应用于实际情境。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、直尺、多媒体教学设备；2. 学具：练习本、铅笔、三角板、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一座山和观察点的位置关系，引导学生思考如何描述这个关系；2. 知识讲解：（1）方位角的概念及计算方法；（2）坡度角的概念及计算方法；（3）三角函数在解决直角三角形问题中的应用；3. 例题讲解：（1）通过实际例题，讲解如何计算方位角；（2）通过实际例题，讲解如何计算坡度角；4. 随堂练习：让学生分组讨论并完成指定的练习题；5. 答疑环节：对学生在练习中遇到的问题进行解答；六、板书设计1. 方位角、坡度角的概念；2. 方位角、坡度角的计算方法；3. 三角函数在解决直角三角形问题中的应用；4. 例题解答步骤；5. 练习题。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知一个观察点A，以及目标点B的方位角，求目标点B 到观察点A的距离；（2）已知一个斜坡的长度和高度，求该斜坡的坡度角。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角和坡度角的概念理解是否到位，能否将其应用于实际情境；2. 拓展延伸：引导学生思考如何将方位角和坡度角应用于其他领域，如航海、建筑等。
初中数学课件解直角三角形的应用之方向角问题
(2)若A城受这次沙尘暴的 影响，那么遭受影响的 时间有多长？
(1)A城是否受到这次沙尘暴
的影响 ，为什么？
C
A
解（1）：过A作AC⊥BM,垂足为C,
在Rt△ABC中， ∠B = 30°,
1 ∴AC=2
AB =
1 2
x
240
=
120
∵AC = 120 < 150
小华想:若设计时要求北楼的采光, 不受南楼的影响,请问楼间距BC长至 少应为多少米?
30 A
D
20m 南
北
?m
B
C
小华又想:如果要使北楼实验室内的
同学在室内也能惬意地享受阳光,已
知窗台距地面1米,那么两楼应至少
相距多少米?
30 A
D
20m 南
北
F
E
B
?m
C
解直角三角形的应用 ------方向角问题
∴A城受到沙尘暴影响
B
Oபைடு நூலகம்C
(2)若A城受这次沙尘暴的影响， 那么遭受影响的时间有多长？
解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km为
半径的圆与BM的交点，由题意得：
A
∴CE = A√E2 – AC2 = 90
∴EF = 2CE = 2 x 90 = 180
∴A城受到沙尘暴影响的时间为
180÷12 = 15小时
向西航行,有A无触礁的N危1险?请说明理由N .
30˚ 60˚
DC
B
2.某市计划将地处A、B两地的两所大学合并 成一所综合大学,为了方便A、B两地师生的交 往,学校准备在相距2千米的A、B两地之间修 筑一条笔直公路(即图中的线段AB)经测量,在 A地的北偏东60º方向，B地的北偏西45º方向 的C处有一个半径为0.7千米的公园,问计划修 筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?
解直角三角形--方位角
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正
好行至码头MN靠岸？请说明理由．
巩固所学、体会方法
【课堂测试】
上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(位角
学习目标
使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法
学习重点
用三角函数有关知识解决方位角的实际问题
学习难点
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
当堂检查，及时反馈
【课后作业】
习题
强化意识，培养习惯
【教学反思】
3.你知道利用直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤吗？
小组交流，教师点拨
集体交流，感知
学生理解概念，教师分析引问
【自我检测】
1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）
2.王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地( )
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据： ≈1.4， ≈1.7)
2在东西方向的海岸线 上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19．5 km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距 km的C处．
解直角三角形(方位角)
海中有一个小岛A，它的周围8海里范围 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点 测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到 达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上， 如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触 礁的危险？
A
30° 60°
B
12
D
F
1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航 行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测 得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有 触礁的危险？ 解：由点A作BD的垂线 交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90° A 由题意图示可知∠DAF=30° 设DF= x , AD=2x 60° 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
课前热身
1．(2004年· 宁夏)在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相 邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵树间的坡 面距离为 2 3 米.
B A C
2．如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度 i=1∶1.5，且AB= 13 m. C
A
2m
B
五、（2003.哈尔滨）今年入夏以来，松花江哈尔滨段 水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江 某段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东 60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北 偏东45°方向上，在以航标C为圆心，120米长为半径 的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有 被浅滩阻碍的危险？
C
合作与探究
一轮船以30海里/时的速度由南向北航 行，在A处看见灯塔S在船的北偏东30°方 向上，半小时后航行到B处，看见灯塔S在 船的东北方向，求灯塔S与B的距离。
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设CD=x,则BD=X+24
在Rt△ADC中， △ 中 AD ∵ tan∠DCA=-----DC ∴AD= tan600x= 3 x 在Rt△ADB中， △ 中 AD √ 3 x ∵ tan30˚= ---- = -------BD X+24 X=12 AD≈12×1.732 =20.784 > 20 ×
65° ° P
80
A C
34° °
B
例、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮 如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区， 20海里周围内为暗礁区
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二、探究
由东向西航行，，航行24海里到C 处见岛A在北偏 由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛 在北偏 ，，航行24海里到 处见岛 西60˚.在c见岛A在北偏西30 ，货轮继续向西航行，有 在 见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行， 见岛 30 无触礁的危险？ 无触礁的危险？
解直角三角形的应用
方位角问题
回顾：方位角
北
西
东
南
问题如图:一艘轮船由海平面上A 问题如图:一艘轮船由海平面上A地出发 如图 向南偏西40 的方向行驶40海里到达B 40海里到达 向南偏西400的方向行驶40海里到达B地, 再由B地向北偏西20 的方向行驶40 40海里 再由B地向北偏西200的方向行驶40海里 到达C A,C两地的距离为 到达C地,则A,C两地的距离为 ____ 40海里 海里 北
C 北 A
D
有一个角是60 有一个角是600的三 角形是等边三角形
B
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向， 65° . 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离 它沿正南方向航行一段时间后， 灯塔80 80海里的 灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到 的南偏东34 34° 这时， 达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮 所在的B 有多远？ 精确到0.01海里） 0.01海里 所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
A
B
12
D
F
解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形 构筑直角三角形（ 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时， ）；当问题以一个实际问题的形式给出时 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意， 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 关系。 一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构 复习时要形成知识结构， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
A
N1
N
D X
C
24海里 海里
B
答：货轮无触礁危险。 货轮无触礁危险。
练习：.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗 练习： 它的周围8 渔船跟踪鱼群由西向东航行， 礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在 北偏东60 方向上，航行12 60° 12海里到达 北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小 在北偏东30 方向上， 30° 岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向 东航行，有没有触礁的危险？ 东航行，有没有触礁的危险？