归纳二重积分的计算方法

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二重积分的计算法

的体积
注意事项：计算时需要注意积分的范围和
积分的顺序
二重积分的计算步骤
确定积分区域
确定积分上下限
确定积分变量
确定被积函数
确定积分区域
确定积分次序
先积哪一变量：根据积分区域的形状和被积函数的特性确定后积哪一变量：根据前一步确定的变量选择交换积分次序：在特定情况下，可以交换积分次序以简化计算
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注意事项：注意积分限的取值范围，避免计算错误
利用参数方程计算
定义：参数方程是描述变量之间关系的数学工具适用范围：适用于二重积分的计算计算步骤：通过参数方程将二重积分转化为简单的一元积分注意事项：参数方程的选择需要根据具体情况而定
二重积分的实际应用
在物理中的应用
计算电场强度计算磁场强度计算粒子在电磁场中的运动轨迹计算电磁波的传播方向和速度
拆分积分区域
将积分区域拆分为若干个小
区域
在每个小区域内选择一个适当的点作为积
分点
将被积函数在每个积分点上进行近似计算
将每个小区域的近似值进行
积分并求和
分块积分
定义：将积分区域划分为若干个小区域，分别计算每个小区域的积分值
适用范围：当积分区域复杂或被积函数难以处理时，可以采用分块积分法
几何意义
二重积分表示的是曲顶柱体的体积

归纳二重积分的计算方法

摘要：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.

关键词：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

前言

二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.

1. 预备知识

1.1二重积分的定义]1[

设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对

任给的正数ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有

()1

i i f J ξησ

ε=∆-<∑,

则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作

(),D

J f x y d σ=⎰⎰,

其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域.

1.2二重积分的若干性质

1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D

kf x y d σ⎰⎰(),D

k f x y d σ=⎰⎰.

1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且

二重积分的计算法

二重积分（Double integral）是微积分中的一种重要计算方法，用

于计算平面区域上一些函数在该区域上的积分值。在二维平面上，我们可

以将区域划分为无数个小矩形，然后计算每个小矩形内函数的函数值乘以

其面积，再将所有小矩形的积分值求和，即可得到二重积分的近似值。

为了更好地理解和计算二重积分，我们将其分为三个部分进行讨论：

积分区域的确定、积分函数的选择和积分计算方法。

一、积分区域的确定：

确定二重积分的积分区域是计算的第一步。在平面上，积分区域可以

是一个有界闭区域、一个有界开区域或者无穷区域。积分区域的确定需要

根据具体问题进行分析、绘图和建立坐标系。

对于有界闭区域，通常可以直接利用给定的区域边界方程建立坐标系，进而确定积分区域。

对于有界开区域，可以通过给定的边界方程建立坐标系，然后再引入

限制条件来确定积分区域。例如，给定条件是$x>0$，$y>0$，则可以建立

第一象限坐标系，并按照给定的边界方程绘制积分区域。

对于无穷区域，可以通过适当的变量替换将其转化为有界区域，然后

再进行积分计算。例如，将积分区域$x>0$，$y>0$转换为极坐标系下的∞

半径的极坐标区域。

二、积分函数的选择：

选择正确的积分函数是二重积分计算的关键。积分函数的选择需要根

据具体问题中函数的性质和所要计算的目的进行合理选择。

常见的积分函数包括多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等。对于具体问题，可以根据函数的性质选择合适的积分函数。

在选择积分函数时，还需要考虑积分区域的特点。如果积分区域对称，可以考虑选择合适的奇偶函数进行积分计算，减少计算量。

二重积分的计算方法

二重积分是微积分中的一个重要内容，用于计算平面上各种形状的曲线或曲面与坐标平面的“面积”。在实际应用中，二重积分常常与物理、几何、概率统计等学科密切相关。本文将详细介绍二重积分的计算方法，包括定积分的计算、计算面积和质量等应用问题，以及换元积分、极坐标系、重积分等高阶积分方法。

一、定积分的计算

定积分是二重积分的基础，因此首先需要掌握如何计算定积分。定积分可以通过定义式或者积分的性质计算。

1.定义式计算

定积分的定义式如下：

∫a^b f(x) dx = lim(n→∞) ∑(k=1,n) f(xi)Δx

其中[a,b]是定积分的区间，f(x)是被积函数，x_i是区间[a,b]上的等间距点，Δx是x_i与x_i+1之间的距离。

当被积函数f(x)是连续函数时，可以通过定义式计算定积分。具体方法是将区间[a, b]等分成n个小区间，取每个小区间的中点作为x_i，计算f(xi)Δx的和，然后取极限即可。

2.积分的性质计算

定积分具有一些特殊的性质，可以利用这些性质计算定积分。

（1）和函数性质：

∫a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫a^b f(x) dx + ∫a^b g(x) dx

（2）积分常数性质：

∫a^b c f(x) dx = c∫a^b f(x) dx

（3）分段函数性质：

∫a^b ([f(x)]_a^c + [f(x)]_c^b) dx = ∫a^b f(x) dx

（4）奇偶函数性质：

当f(x)是奇函数时，∫-a^a f(x) dx = 0

当f(x)是偶函数时，∫-a^a f(x) dx = 2∫0^a f(x) dx

二重积分的计算方法

D
如果先积 x 后积 y ，则可得
d
b
f (x, y)d c d ya f (x, y)d x.
D
例 2 试将 f ( x, y)d 化为两种不同次序的累次
D
积分，其中 D 是由 y = x，y = 2 - x 和 x 轴所围成的区域.
解首先画出积分区域 D 如图，并求出边界曲线的交点(1, 1)、(0, 0) 及 (2, 0).
D
2
r( )
0 d 0 f (r cos , r sin )r dr.
2) 如果坐标原点不在积分域 D 内部，则从原点作
两条射线 = 和 = ( ≤ ) (如图)夹紧域 D ., 分别是对积分(外积分)的下限和上限，在与之
间作任一条射线与积分域 D 的边界交两点，它们的极
积，则曲顶柱体体积 V 的微元 dV 为
dV A( x)d x,
b
V A( x)d x. a
式中面积函数 A(x) 是一个
以区间 [1(x) , 2(x)] 为底
边、以曲线 z= f (x,y)(x 是固定的)为曲边的曲边梯形，
其面积可表示为
A( x) 2( x) f ( x, y)d y. 1( x)
2 d
0
R2 R1
r3
dr
8
( R24
-
R14 ),

二重积分的计算方法

二重积分是微积分中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。在实际问题中，我们经常需要对二元函数在某个区域上的积分进行计算，而二重积分就是用来描述这样的问题的数学工具。本文将介绍二重积分的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来了解一下二重积分的定义。对于平面上的有界闭区域D和在D 上有定义的连续函数f(x, y)，我们可以将D分成许多小的面积ΔS，然后在每个小面积ΔS上取点(xi, yi)，计算函数值f(xi, yi)与ΔS的乘积，然后将所有这些乘积相加，得到的极限值就是二重积分的值，即：

∬D f(x, y) dxdy = lim Σ f(xi, yi)ΔS。

其中，ΔS是小面积ΔS的面积，Σ表示对所有小面积求和，极限值即为二重积分的值。

接下来，我们将介绍二重积分的计算方法。在实际应用中，我们通常会遇到以下几种情况：

1. 矩形区域上的二重积分计算。

当积分区域为矩形区域时，我们可以利用定积分的性质，将二重积分转化为两次定积分的形式进行计算。具体而言，对于矩形区域D=[a, b]×[c, d]上的函数f(x, y)，其二重积分可以表示为：

∬D f(x, y) dxdy = ∫c^d ∫a^b f(x, y) dxdy。

这样，我们就可以将二重积分的计算转化为两次定积分的计算，从而简化了计算的过程。

2. 极坐标系下的二重积分计算。

在极坐标系下，二重积分的计算通常更加简便。对于极坐标系下的二元函数

f(r, θ)，其二重积分可以表示为：

二重积分的计算方法

二重积分的计算方法(1)

1 利用直角坐标系计算

1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算

对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a

x b ϕϕ=≤≤≤≤，其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，则有

21()

()

(,)(,)b

x a

x D

f x y d dx f x y dy ϕϕσ=⎰⎰

⎰⎰

；（1）

若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有

21()

()

(,)(,)d

y c

y D

f x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰

⎰⎰

．[1] （2）

例1 计算2

y dxdy x

⎰⎰

，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成．分析积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫

≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．确定了积分区域然后可以

利用公式（1）进行求解．

解积分区域为x 型区域

()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫

≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭

则

21221x x D

y y dxdy dx dy x x

=⎰⎰

⎰⎰ y

图

121

y dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰

133x dx x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭⎰

221

412761264x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭

计算二重积分的几种简便方法

一、极坐标法

在二维平面上，如果点P在直角坐标系中的坐标为（x，y），那么以O点为极点，OP 线段所在直线为极轴的极坐标（r，θ）满足以下关系式：

x=r*cosθ

y=r*sinθ

将函数f(x,y)转化为g(r,θ)表示，则有：

根据二重积分的定义式，可以得到用极坐标表示的二重积分：

∬Df(x,y)dxdy=∬g(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ

其中，D为定义域，r为极径。

二、对称性法

对称性法即利用函数在定义域内的对称性简化计算。具体方法如下：

1. 翻折对称：如果定义域D为一个轴对称图形，那么可以将积分区域缩小一半，只计算一侧再乘以2。

3. 奇偶性：如果函数f(x,y)满足奇偶性，即满足f(-x,y)=-f(x,-y)或

f(-x,-y)=f(x,y)，则可以将定义域限定在一个象限内（通常是第一象限），依次计算再乘以4或2。

轮换对称法即利用极坐标系下的轮换对称性简化计算。对于一个n边形，将其边每隔2π/n取一条，则这些边的边长相等，角度之和为2π，因此在极坐标系下具有轮换对称性。

具体方法如下：

1. 将定义域D分成n份，每份的极角为（k-1）2π/n和k2π/n（k=1,2,...,n）。

2. 对于每份，取中心点和每条边上的一个点，计算这些点构成的区域上的积分。

3. 最后将n份的积分相加即得到原积分。

四、正交性法

正交性法即根据正交性定理，将一些特殊的函数乘在被积函数上，使之变成正交函数的线性组合，从而简化计算。常用的正交函数有勒让德多项式、柯西-斯瓦茨函数等。

求二重积分的方法

在数学中，二重积分是一种重要的积分形式，它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。求解二重积分的方法有很多种，本

文将介绍几种常见的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握二

重积分的计算技巧。

一、直角坐标系下的二重积分。

在直角坐标系下，二重积分的计算通常采用先对x进行积分，

再对y进行积分的方法。对于给定的二元函数f(x,y)，其在有界区

域D上的二重积分可以表示为：

∬f(x,y)dxdy。

其中积分区域D可以用不等式形式表示为D={(x,y)|a≤x≤b,

g1(x)≤y≤g2(x)}，此时二重积分可以表示为：

∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dy)dx。

其中内层积分是对y进行积分，外层积分是对x进行积分。在

实际计算中，可以先对y进行积分，再对x进行积分，也可以反过

来进行计算，选择合适的积分顺序可以简化计算过程。

二、极坐标系下的二重积分。

在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算会更加方便。对于给定的二元函数f(x,y)，其在极坐标下的二重积分可以表示为：

∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ。

其中积分区域D可以用极坐标形式表示为

D={(r,θ)|α≤θ≤β, h1(θ)≤r≤h2(θ)}。在极坐标系下，二

重积分的计算可以简化为对r和θ的积分，适用于一些具有极向对

称性的函数。

三、变量代换法。

对于一些复杂的二重积分，可以通过变量代换的方法来简化计算。常见的变量代换包括直角坐标系到极坐标系的转换、直角坐标

系到柱坐标系的转换、直角坐标系到球坐标系的转换等。通过适当

二重积分的计算方法

二重积分是微积分中的重要内容，用于计算平面上的曲线与坐标轴所

围成的面积或求平面上的散布点的平均性质等。在实际运用中，可以通过

直接计算、换元法、极坐标法等多种方法来进行二重积分的计算。

一、直接计算法

直接计算法是最常用也是最基础的计算二重积分的方法。其基本步骤

是将所给的二重积分转化为累次积分，先对一个变量进行积分，再对另一

个变量进行积分。

1.内部积分

内部积分即对于每个固定的y值，对x进行积分。可以根据具体的题

目决定如何进行内部积分，常用的有定积分、不定积分和积分换元等方法。

2.外部积分

外部积分即对内部积分的结果再进行一次积分，这一步是对y进行积分。同样的，可以根据具体题目决定如何进行外部积分，可以选择定积分、不定积分和积分换元等方法。

需要注意的是，直接计算法在面对比较复杂的函数或曲线时计算量较大，需要进行复杂的代数计算，常常需要对整个积分范围进行划分，或者

使用边界定理简化计算。

二、换元法

换元法是将二重积分变换到坐标系上的简单区域。换元法分为直角坐

标系的变换和极坐标系的变换两种情况。

1.直角坐标系的变换

直角坐标系的变换是指将原先的积分变为关于新的变量的积分，使得积分计算更加简化。常见的直角坐标系变换有平移变换、旋转变换和放缩变换等。

例如，当变量的变化范围较大或边界不规则时，使用平移变换可以将积分范围变为一个更加简单的区域，从而简化计算。

2.极坐标系的变换

极坐标系的变换是将原先的直角坐标系变为极坐标系，使得计算过程更加简单明了。极坐标系变换常用于对称图形或圆形区域进行积分计算。

二重积分的计算方法与技巧

二重积分是微积分中的重要概念之一，它用于计算平面区域上的定积分。二重积分的计算方法和技巧有很多，下面将介绍一些常用的方法。

1.通过直角坐标系进行计算。

在直角坐标系中，计算二重积分的方法很简单。首先，将二重积分所

在的区域投影到水平和垂直轴上，确定积分的上下限。然后，将被积函数

表示为直角坐标系下的函数形式，进行具体的计算。可以根据被积区域的

形状选择适当的坐标变换，从而简化计算过程。

2.通过极坐标系进行计算。

在一些情况下，使用极坐标系可以更方便地计算二重积分。特别是对

于圆形区域或具有旋转对称性的区域，使用极坐标系可以大大简化计算过程。在极坐标系下，被积函数需要进行一定的变换，然后利用极坐标系下

的积分公式进行计算。

3.利用对称性简化计算。

如果被积函数具有其中一种对称性，可以利用这种对称性来简化计算。例如，如果被积函数关于一些坐标轴对称，那么可以将积分区域分为两个

对称的部分，然后只计算其中一个部分的积分值，并乘以2即可。这样可

以显著简化计算过程。

4.利用奇偶性简化计算。

如果被积函数具有奇偶性，也可以利用这种性质来简化计算。如果被

积函数关于一些坐标轴是奇函数，那么在计算积分时可以将积分区域分为

两个部分，然后只计算其中一个部分的积分值，并乘以2再加上另一个部

分的积分值即可。如果被积函数关于一些坐标轴是偶函数，那么只需要计

算其中一个部分的积分值即可。

5.利用换元法进行计算。

对于一些复杂的二重积分，可以通过变量替换的方法来简化计算。根

据被积函数的特点选择适当的变量替换可以使得积分的计算变得更加容易。例如，如果被积函数中包含平方根或三角函数等复杂的函数形式，可以选

二重积分的计算方法

2. 二重积分的计算法

目前所能接触到的方法是：将二重积分化为两次单积分将二重积分化为两次单积分_

接下来介绍：①直角坐标系②极坐标③二重积分的换元法（至于二重积分的换元法，仅作简单介绍）

2.1 利用直角坐标计算二重积分

本质思想是通过画图来判断是先对x还是先对y积分。

（先对哪一个积分不绝对，需要具体问题具体分析，但仍需考虑图形，这里不过多解释为什么，仅给出相关题型的做法）

下面的介绍中，默认f(x,y)≥0

①有如下闭区域D：

∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y) dy（先对y后对x）

②

∬Df(x,y) dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx（先对x后对y）

（注：这里未考虑在立体空间中的形状，但只研究物体在xOy面上的投影即可解决问题）

我们称①、②中的区域分别为X型区域、Y型区域。（按先对、x、y中的哪个积分来命名）

若闭区域D既是X型区域，又是Y型区域，则选择哪一种都可以（尽量找简单的）

不管先对还是进行积分，要找准积分限不管先对x还是y进行积分，要找准积分限

“每个人都有每个人的理解方式，这里我有些解释不出来，大家自行领会吧”

注：在解题时，注意使用可加性"可加性"，区间可以分为X型、Y型，既是X型又是Y型的，此时我们对其分别求二重积分即可。

这里给出一个例子来让大家认识到选择正确的积分次序的重要性：

计算∬Dy1+x2−y2 dσ，其中区域D是由、、y=x、x=−1、y=1围成的闭区域。

显然D既是X型，又是Y型积分区域，现在我们用两种方法来看一下：

二重积分的计算法

二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上的曲线或曲面的面积、质量、质心等物理量。本文将以二重积分的计算法为主题，介绍二重积分的概念、计算方法以及一些应用。

一、二重积分的概念

在平面上，设有一个有界闭区域D，可以将其分割为许多小的面积元素。二重积分的概念就是将这些小的面积元素累加起来，从而求得整个区域D的面积。一般来说，二重积分可以表示为：

∬D f(x,y) dA

其中，f(x,y)是定义在D上的一个函数，dA表示面积元素的微元。

二、二重积分的计算方法

1. 通过直接定积分计算：

如果D可以用简单的几何图形表示（如矩形、三角形等），那么可以通过直接计算定积分的方法求得二重积分的值。具体计算方法如下：

将D分割为若干个小矩形或小三角形，然后计算每个小面积元素的面积，最后将这些小面积元素的面积相加即可得到二重积分的值。

2. 通过极坐标变换计算：

当被积函数f(x,y)具有一定的对称性时，可以通过极坐标变换将二重

积分转化为极坐标下的积分。具体的计算方法如下：

设有二重积分∬D f(x,y) dA，通过极坐标变换可以将其转化为∬D' g(r,θ) r dr dθ的形式，其中g(r,θ)是原函数f(x,y)在极坐标下的表示形式。

3. 通过变量代换计算：

当被积函数f(x,y)在直角坐标系下比较复杂，难以直接计算时，可以通过变量代换的方法将其转化为简单的形式，从而计算二重积分的值。具体的计算方法如下：

设有二重积分∬D f(x,y) dA，通过变量代换可以将其转化为∬D' f(u,v) |J| du dv的形式，其中(u,v)是变量代换后的坐标，|J|是变换的雅可比行列式。

计算二重积分的几种简便方法

1. 引言

1.1 引入二重积分的概念

二重积分是微积分中重要的概念之一，它在数学、物理、工程等

领域中都有着广泛的应用。在引入二重积分的概念之前，我们首先需

要了解一元积分的概念。

一元积分是对一个变量在一个区间内的连续函数进行求和的过程，可以理解为对曲线下面积的计算。而二重积分则是对二元函数在一个

平面区域内的体积进行求和的过程，可以理解为对曲面下体积的计

算。

在计算二重积分时，我们通常需要先确定积分的区域，然后选择

合适的计算方法。常见的计算方法包括直接计算法、先y后x换序法、先x后y换序法、极坐标换元法和矩形剖分法。这些方法各有特点，适用于不同的情况。

通过学习和掌握这些方法，我们可以更高效地计算二重积分，解

决各种实际问题。在接下来的内容中，我们将详细介绍这些计算方法，并探讨它们的应用场景和选择技巧。希望通过本文的学习，读者能够

更加深入地理解二重积分的概念，提升自己的数学水平。

1.2 二重积分的计算方法

二重积分是对平面上的二元函数在一个闭区域上的积分，可以看

作是对三维空间中某个体积的加权求和。在计算二重积分时，我们需

要掌握一些计算方法来简化运算。

二重积分的计算方法主要包括直接计算法、先y后x换序法、先x 后y换序法、极坐标换元法和矩形剖分法。直接计算法是最基本的方法，即按照积分的定义直接进行计算，但当被积函数较为复杂时，这种方

法会显得繁琐。而先y后x换序法和先x后y换序法则是在积分区域不规则或者函数对称性较强时的常用技巧，可以简化计算过程。极坐标

换元法适用于极坐标下的问题，可以将复杂的积分转化为简单的极坐

二重积分的计算方法

二重积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。在本文中，我们将讨论二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。

首先，我们来看直角坐标系下的二重积分计算方法。设函数

f(x, y)在闭区域D上连续，要计算二重积分∬D f(x, y) dxdy。其中D是有界闭区域，可以表示为D={(x, y)|a≤x≤b, c≤y≤d}。我们可以将D分割成若干个小区域，每个小区域用矩形来逼近，然后计算每个小矩形的面积乘以函数值的和，再对所有小矩形的面积和进行求和，即可得到二重积分的近似值。当小矩形的数量趋向于无穷大时，即可得到二重积分的精确值。

接下来，我们来看极坐标系下的二重积分计算方法。在极坐标系下，二重积分的计算通常更加简便。设函数f(r, θ)在闭区域D 上连续，要计算二重积分∬D f(r, θ) r drdθ。其中D可以表示为D={(r, θ)|α≤θ≤β, g(θ)≤r≤h(θ)}。在极坐标系下，我们可以直接利用极坐标系下的面积元素r drdθ来进行计算，即将函数f(r, θ)乘以r后再进行积分即可得到二重积分的值。

除了直角坐标系和极坐标系外，二重积分还可以在其他坐标系

下进行计算，如柱坐标系、球坐标系等。不同的坐标系下，二重积

分的计算方法会有所不同，但原理都是类似的，即将闭区域分割成

小区域，然后计算每个小区域的面积乘以函数值的和，再对所有小

区域的面积和进行求和。

在实际应用中，二重积分常常用于计算平面图形的面积、质心、转动惯量等物理量，以及计算二元函数在闭区域上的平均值、方差

二重积分计算技巧总结

第五章二重积分

一、常规方法

二重积分的计算重点在于化二重为两个一重积分，转化的方法有直角坐标系的计算、换元法（一般换元和极坐标换元），在计算之前首先画出积分区域的图。

一、直角坐标系下的二重积分

直角坐标系下的二重积分为：

（1）f(x,y)b a dydx

⎰⎰上下其中上下表示区域的上曲线和下曲线，值得注意的是要把上、下曲线表示成()y x ϕ=的形式，即把y 表示成关于x 的形式。但是，如果积分区域有几个上或几个下的时候需要将区域“割”一下。这种形式的积分次序为先y 后x 。

（2）f(x,y)d c dxdy

⎰⎰右左其中左、右表示区域的上曲线和下曲线，值得注意的是要把左、右曲线表示成()x y ψ=的形式，即把x 表示成关于y 的形式。但是，如果积分区域有几个左或几个右的时候需要将区域“割”一下。这种形式的积分次序为先x 后y 。

在做题时，积分次序由积分区域和被积函数确定，所以需要分析一下积分区域的形状和被积函数的形式，比如被积函数为2

y e -，显然先对y 积分是不行的，需先对x 积分。

二、换元法

（1）一般换元法的二重积分

用换元法求二重积分时重要的是要确定新的积分区域和新的微元。将原区域变换成新区域时只要区域边界一一对应即可，而微元变换为dxdy J dudv =，其中J 为雅可比行列式，如()()

,,x x u v y y u v =⎧⎪⎨=⎪⎩，则x

x u v J y y u

v ∂∂∂∂=∂∂∂∂即原变量对新变量的导。例：求e

d d x y x y D x y -+⎰⎰，D 为0,0,1x y x y ==+=所围区域。