高考数学(理)二轮专题练习：集合与常用逻辑用语(含答案)

2．描述法表示集合时， 一定要理解好集合的含义 —— 抓住集合的代表元素． 如：{ x|y＝ lg x} ——
函数的定义域； { y|y＝ lg x} —— 函数的值域； {( x，y)|y＝lg x} —— 函数图象上的点集．
[问题 2] 集合 A＝ { x|x＋ y＝ 1} ， B＝ {( x， y)|x－ y＝ 1} ，则 A∩ B＝ ________. 答案 ?
参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想． [ 问题 8] 若存在 a∈ [1,3] ，使得不等式 ax2＋ (a－ 2)x － 2>0 成立，则实数 x 的取值范围是
________________ ． 答案 (－∞，－ 1)∪ 23，＋∞ 解析 不等式即 (x2＋ x)a－ 2x － 2>0 ，设 f(a)＝ (x2＋ x)a － 2x － 2.研究 “ 任意 a∈ [1,3] ，恒有
集合与常用逻辑用语
1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的 互异性．
[问题 1] 集合 A＝ { a，b，c} 中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角
形一定不是 ( )
A ．等腰三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形 答案 A
D ．钝角三角形
条件，故选 D.
3．命题“ ? x∈ R， x2－ 2x＋ 1<0 ”的否定是 (
)
A ．? x∈ R， x2－ 2x＋ 1≥ 0
B ． ? x∈R ，x2－2x＋ 1>0
C．? x∈ R， x2－ 2x＋ 1≥0
D ． ? x∈ R， x2－2x＋ 1<0
答案 C
解析 特称命题的否定为全称命题． 4．已知 p：关于 x 的函数 y＝ x2－ 3ax＋ 4 在[1 ，＋∞ )上是增函数， q： y＝ (2a－1) x 为减函数， 若 p 且 q 为真命题，则 a 的取值范围是 ( )
则 5a＋ 10≤ 0， 5a－ 25
∴ (a＋ 2)(a－ 5)≤ 0 且 a≠ 5， ∴ － 2≤a<5 ，
∴ 5 M 时， a<－2 或 a≥ 5. 答案 (－∞，－ 2)∪ [5，＋∞ )
易错点 3 充要条件判断不准 例 3 设 U 为全集， A，B 是集合，则“存在集合 C，使得 A? C， B? ?UC”是“ A∩B＝ ?”的 ________条件． 错解 若 A? C，则 ?UC? ?U A，又 B? ?U C， ∴ A∩B＝ ?，故填 “ 充要 ”．
________________ ． 答案 否命题：已知实数 a、 b，若 |a|＋ |b|≠ 0，则 a≠ b；
命题的否定：已知实数 a、b，若 |a|＋ |b|＝0，则 a≠ b
7．要弄清先后顺序：“ A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A，且 A 不能推出 B；而“ A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B，且 B 不能推出 A.
f(a)≤ 0”．
f 1 ≤0， 则
f 3 ≤0，
解得
x∈
－ 1， 2 3
.
则实数 x 的取值范围是 (－ ∞ ，－ 1)∪ 23，＋ ∞ .
易错点 1 忽视空集致误 例 1 已知集合 A＝ { x|x2－3x－ 10≤ 0} ，B＝ { x|m＋1≤ x≤ 2m－ 1} ，若 A∪B＝ A.求实数 m 的取
3．遇到 A∩ B＝ ?时，你是否注意到“极端”情况： A＝ ?或 B＝ ?；同样在应用条件 A∪B＝ B ? A∩B＝ A? A? B 时，不要忽略 A＝ ?的情况． [问题 3] 设集合 A＝ { x|x2－ 5x＋ 6＝0} ，集合 B＝ { x|mx－ 1＝ 0} ，若 A∩ B＝ B，则实数 m 组成 的集合是 ________． 答案 {0 ， 12，13}
Venn 图解题，描述法常借助数轴来运
[问题 5] 已知全集 I＝ R，集合 A＝ { x|y＝ 1－ x} ，集合 B＝ { x|0≤ x≤ 2} ，则 (?IA)∪ B 等于 ( )
A ． [1，＋∞ )
B ． (1，＋∞ )
C． [0，＋∞ ) 答案 C
D ． (0，＋∞ )
6．“否命题”是对原命题“若 p，则 q”既否定其条件， 又否定其结论； 而“命题 p 的否定” 即：非 p，只是否定命题 p 的结论． [ 问题 6] 已知实数 a 、 b，若 |a|＋ |b|＝ 0 ，则 a ＝ b. 该命题的否命题和命题的否定分别是
找准失分点 没有理解充分条件的概念， p? q 只能得到 p 是 q 的充分条件，必要性还要检验 q? p 是否成立． 正解 若 A? C，则 ?UC? ?U A，当 B? ?UC 时，可得 A∩ B＝ ?；若 A∩ B＝ ?，不能推出 B? ?U C， 故填 “充分不必要 ” 答案 充分不必要
1． (2014 北·京 )已知集合 A＝ { x|x2－ 2x＝ 0} ，B＝ {0,1,2} ，则 A∩ B 等于 ( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 D
解析 { an} 为递增数列，则 a1>0 时， q>1； a1<0 时， 0<q<1.
q>1 时，若 a1<0，则 { an} 为递减数列．故 “ q>1” 是 “ { an} 为递增数列 ” 的既不充分也不必要
2 A ．a≤ 3
1 B ． 0<a<2
12 C.2<a≤ 3
1 D. 2<a<1
答案 C
值范围． 错解 ∵ x2－3x－ 10≤0， ∴ － 2≤ x≤ 5， ∴ A＝{ x|－ 2≤x≤ 5} ． 由 A∪ B＝ A 知 B? A，
－ 2≤ m＋ 1
∴
，即－ 3≤m≤ 3，
2m－ 1≤5
∴ m 的取值范围是－ 3≤ m≤3.
找准失分点 B? A， B 可以为非空集合， B 也可以是空集．漏掉对 B＝ ?的讨论，是本题的一
2
[问题 7] 设集合 M ＝ {1,2} ， N＝ { a } ，则“ a＝ 1”是“ N? M ”的 ________条件． 答案 充分不必要
8．要注意全称命题的否定是特称命题 (存在性命题 )，特称命题 (存在性命题 )的否定是全称命 题．如对“ a，b 都是偶数”的否定应该是“ a，b 不都是偶数”， 而不应该是“ a，b 都是奇数”． 求
A ． {0}
B ． {0,1}
C． {0,2}
D ． {0,1,2}
答案 C
解析 ∵ A＝ { x|x2－ 2x＝ 0} ＝ {0,2} ， B＝ {0,1,2} ，
∴ A∩B＝ {0 ， 2} ．
2． (2014 北·京 )设 { an} 是公比为 q 的等比数列，则“ q>1”是“ { an} 为递增数列”的 ( )
4．对于含有 n 个元素的有限集合 M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n,2n－ 1,2n－ 1,2n－ 2. [问题 4] 满足 {1,2} M? {1,2,3,4,5} 的集合 M 有 ________个． 答案 7
5．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助 算，求解时要特别∵ A∪ B＝ A， ∴ B? A. ∵ A＝{ x|x2－ 3x－ 10≤ 0} ＝{ x|－ 2≤x≤ 5} ． ① 若 B＝ ?，则 m＋ 1>2m－1， 即 m<2，故 m<2 时， A∪B＝ A；
② 若 B≠ ?，如图所示， 则 m＋ 1≤ 2m－ 1，即 m≥ 2.
－ 2≤ m＋ 1， 由 B? A 得
2m－ 1≤ 5.
解得－ 3≤ m≤ 3. 又 ∵ m≥ 2，∴ 2≤ m≤ 3. 由 ①② 知，当 m≤ 3 时， A∪ B＝ A.
易错点 2 对命题的否定不当致误
例 2 已知 M 是不等式 ax＋ 10≤ 0 的解集且 5 M ，则 a 的取值范围是 ________． ax－ 25
错解 (－ ∞，－ 2)∪ (5，＋ ∞ )
找准失分点 5 M ，把 x＝5 代入不等式，原不等式不成立，
有两种情况：
①55aa＋－
10 25>0；
②
5a－
25＝
0，答案中漏掉了第
② 种情况．
正解
方法一
∵5
M
，
∴55aa＋－
10 25>0
或
5a－ 25＝ 0，
∴ a<－ 2 或 a>5 或 a＝ 5，
故填 a≥5 或 a<－2.
方法二 若 5∈ M，