机械制图5

a′ ′ 有多少解？ 有多少解？ e′ ′ 10 b′ ′ b e a f f′ ′ c′ ′ c
唯一解！ 唯一解！
25
四、圆的投影
4.1 水平圆的投影
水平投影反映真形 W面和 面投影积聚成水平线，且长度为圆的直径 面和V面投影积聚成水平线 面和 面投影积聚成水平线，
26
四、圆的投影
4.2 正垂圆的投影 V投影积聚成直线，且长度为圆 投影积聚成直线， 投影积聚成直线 的直径 H面上的投影为椭圆：长轴是平 面上的投影为椭圆： 面上的投影为椭圆 行于H面的直径 （ 行于 面的直径AB（长度等于 面的直径 直径），短轴是与AB垂直的直 直径），短轴是与 垂直的直 ），短轴是与 径DE的投影 的投影
第三章 投影法和点、直线、 投影法和点、直线、平面的投影
3.4 平面的投影 3.5 直线与平面、平面与平面的相对位置 直线与平面、
预备知识： 预备知识： 1. 点/直线的投影及其投影规律 直线的投影及其投影规律 直线 2. 直线上的点 3. 两直线间的相对位置关系
1
1、平面的表示法 、
几何元素表示法： 几何元素表示法：
b′ ′
解法二
c′ ′ a′ ′ d′ ′ d c k b a b
21
c′ ′
c
1、属于平面上的点和直线的几何条件 、 1.2 在平面上作直线 直线在平面上的几何条件（ 直线在平面上的几何条件（判断直线在平面 内的方法）： 内的方法）：
定 理 一 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。
面上取点
作图方法： 作图方法： 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为 辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
C A B
19
点在平面ABC上，求K点的水平投影。 点的水平投影。 例2：已知 点在平面 ：已知K点在平面 上 点的水平投影
b′ ′ ① k′● ′ a′ ′ a k b
D
若CD∥AB ∥ 则CD∥P ∥
C B A P
点作直线EF平行于平面 例1：过E点作直线 平行于平面 ： 点作直线 平行于平面ABC。 。
7
2’(3’)
4 6 5 2
3
1
12
2.2 投影面平行面 平行于一个投影面， 平行于一个投影面，与另两个投影面垂直的平面
侧平面 水平面 正平面
13
2.2.1 正平面
平行于V面 平行于 面，垂直另两个投影面
c’ b’ a’ c’’ b’’ a’’ X o Z PW Yw
a
c b
PH
YH
V面投影△a’b’c’ 反映实形 面投影△ 面投影 H面投影和 面投影积聚成直线， 面投影和W面投影积聚成直线 面投影和 面投影积聚成直线， 且 abc ∥ OX，a’’b’’c’’ ∥OZ ，
9
2.1.3 侧垂面
垂直于W面 垂直于 面，与另两个投影面倾斜
Z a’ b’ c’ a b c YH a’’ b’’ PW
β
c’’ X o
β α α
YW
侧面投影积聚成一条直线a’’b’’c’’ 侧面投影积聚成一条直线 H和V投影都是类似的三角形△abc 、 △a’b’c’ 和 投影都是类似的三角形 投影都是类似的三角形△ 反映倾角α、 反映倾角 、β的真实大小
11
例1：求平面的水平投影。 ：求平面的水平投影。
分析
1’(8’) 8’’ 1’’ 2’’ 3’’ 5’(4’) 4’’ 6’(7’) 7’’ 8 5’’ 6’’
平面为正垂面， 平面为正垂面，水平投影为 原图形的类似性 作图 根据平面的正面投影和侧面 投影， 投影，分别作出平面上各顶 点的水平投影 顺序连接各点 顺序连接各点
16
小结： 小结：平行面的投影特性
c’ b’ a’ a’’
c b
c’’ b’’
b’
c’
a’
c’’ b’’ a’’
c’ b’ b’’ a’
c’’
a’’
b c a a
a
c b
平面在与其平行的投影面上的投影反映平面图形的实形 平面在与其平行的投影面上的投影反映平面图形的实形 平面在其他两个投影面上的投影均积聚成平行于相应投 平面在其他两个投影面上的投影均积聚成平行于相应投 积聚 影轴的直线
14
2.2.2 水平面
平行于H面 平行于 面，垂直另两个投影面
b’ c’ a’ c’’ b’’ a’’
PV
Z
PW
X
c b a
o
Yw
YH
H面投影△abc 反映实形 面投影△ 面投影 V面投影和 面投影积聚成直线， 面投影和W面投影积聚成直线 面投影和 面投影积聚成直线， 且 a’b’c’ ∥ OX，a’’b’’c’’ ∥OY ，
● a′ ′ ●
c′ ′● b′ ′ ●b
● a′ ′
●
c′ ′
b′ ′ ●b
●
c● 不在同一直线 上的三个点 c′ ′
●
a●
c 一直线及直线 外一点
●
a●
c′ ′
●
c′ ′
●
a′ ′ ● b′ ′ ●b
●
d′ ′
●
a′ ′ ● b′ ′ ● b
●
a′ ′ ● b′ ′ ● b
●
a
● ●
d
●
Hale Waihona Puke a●●a● c c 任意的平面图形
2
●
c
两平行直线
两相交直线
1、平面的表示法 、
迹线表示法： 迹线表示法： – 迹线：平面与投影面的交线 迹线：
水平迹线P 平面P与 面的交线 水平迹线 H：平面 与H面的交线 正面迹线P 平面P与 面的交线 正面迹线 V：平面 与V面的交线 侧面迹线P 平面P与 面的交线 侧面迹线 W：平面 与W面的交线 PH 、PV 、PW 分别是 、V、W面内的 分别是H、 、 面内的 直线也是平面内的直线 PX：PH、PV的交点，P、V、H的共有点 的交点， 、 、 的共有点 PY：PH、PW的交点，P、W、H的共有点 的交点， 、 、 的共有点 PZ：PW、PV的交点，P、V、W的共有点 的交点， 、 、 的共有点
★
直线与平面平行 一、平行问题 平面与平面平行 直线与平面平行（几何条件） ⒈ 直线与平面平行（几何条件） 若一直线平行于平面上的某一直线， 若一直线平行于平面上的某一直线，则该 直线与此平面必相互平行。 直线与此平面必相互平行。 反之，若直线平行于平面，通过平面上的任 反之，若直线平行于平面， 一点必能在该平面上作一直线平行于已知直线 设直线AB在平面 内 设直线 在平面P内 在平面
10
小结： 小结：垂直面的投影特性
γ α
β α
β γ
平面在与其所垂直的投影面上的投影积聚成倾斜于投影 平面在与其所垂直的投影面上的投影积聚成倾斜于投影 积聚 轴的直线，并反映该平面对其他两个投影面的倾角 轴的直线，并反映该平面对其他两个投影面的倾角 平面的其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形 平面的其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形
d c a
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a’c’b’ d’ b
e’
e
4.3 小结
圆的投影特性 1、在与圆平面平行的投影面上的投影反映真形； 、在与圆平面平行的投影面上的投影反映真形； 平行的投影面上的投影反映真形 2、在与圆平面垂直的投影面上的投影成为一条直线， 、在与圆平面垂直的投影面上的投影成为一条直线， 长度等于圆的直径； 长度等于圆的直径； 3、在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆，长轴 、在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆， 倾斜的投影面上的投影是椭圆 是圆的平行于这个投影面的直径的投影， 是圆的平行于这个投影面的直径的投影，短轴是圆的 平行于这个投影面的直径的投影 与上述直径相垂直的直径的投影。 与上述直径相垂直的直径的投影。
●
② c′ ′ aΧ Χ
b′ ′ d′ ′ k′ ′ ●
c′ ′
b a
●
k
d
c 利用平面的积聚性求解
c 通过在面内作辅助线求解
20
为正平线， 例3：已知 为正平线，补全平行四边形 ：已知AC为正平线 补全平行四边形ABCD的水平 的水平 投影。 投影。
解法一
a′ ′ d′ ′ d a k′ ′
b′ ′
定 理 二 若一直线过平面上的一点， 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另 一已知直线，则此直线在该平面内。 一已知直线，则此直线在该平面内。
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所确定， 例4：已知平面由直线 、AC所确定，试在平面内任作 ：已知平面由直线AB、 所确定 一条直线。 一条直线。
根据定理二 根据定理一
解法一
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直线与平面、平面与平面之间的相对位置： 五、 直线与平面、平面与平面之间的相对位置： 平行、 平行、相交
需要解决的问题： 需要解决的问题：
1. 如何绘制及判断直线与平面、 平面与平面的平行问 如何绘制及判断直线与平面、 平面与平面的平行问 直线与平面 题 2. 如何求直线与平面的交点、平面与平面的交线 如何求直线与平面的交点、平面与平面的交线 直线与平面的交点
15
2.2.3 侧平面
平行于W面 平行于 面，垂直另两个投影面
c’ b’ a’ b’’ a’’ c’’
Z PV X o Yw
b c a
PH YH
W面投影△a’’b’’c’’ 反映实形 面投影△ 面投影 H面投影和 面投影积聚成直线， 面投影和V面投影积聚成直线 面投影和 面投影积聚成直线， 且 abc ∥ OY，a’b’c’ ∥OZ ，
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2.3 一般位置平面 与三个投影面都倾斜的平面
三个投影都为原平面图形的类似形 面积均比实形小 不反映倾角α、 不反映倾角 、β、γ的真实大小 的真实大小