数学：1.3.1《二项式定理》(1)课件
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1.3.1二项式定理(1)
2 6
2a 3b
6 2
2
2160a 4b 2
由二项式系数定义知, 展开式的
2 第三项的二项式系数为C6 15,
而展开式的第三项的系数为2160.
小结：1、二项式定理及二项展开式：
( a b) C a C a b C a b
n
0 n n 1 n1 n
r
2 n2 2 n
n
C n a
r
n r
b C n b n
2、二项展开式的通项公式：
(a b) 的展开式通项 T r 1 C n a n r b r的特点：
n r
①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 ②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列； b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
小 结:
3、注意二项式定理中二项展开式的特征；
4、区别二项式系数，项的系数及项； 5、掌握用通项公式求二项式系数，项的系数 及项。
1 9 1 r r 9 r r (2)（x ) 展开式的通项是Tr+1 =C9 x ( ) (1) r C9 x92 r x x 根据题意，得 ： 2r 3 r 3, 9 x3的系数是(1)r C3＝－84. 见书P31例2 9
注：求二项式系数．项的系数或项的另一种方法 是利用二项式的通项公式。
： ( C ) C ： 14 ( C 34) C ：C 2 ( C 2) 4 4 3 1 ( C 4) ：C 4 4 0 ： 4 ( C 4) C
0 4 4 4
二、新课：1. 二项展开式
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
2a 3b
6 2
2
2160a 4b 2
由二项式系数定义知, 展开式的
2 第三项的二项式系数为C6 15,
而展开式的第三项的系数为2160.
小结：1、二项式定理及二项展开式：
( a b) C a C a b C a b
n
0 n n 1 n1 n
r
2 n2 2 n
n
C n a
r
n r
b C n b n
2、二项展开式的通项公式：
(a b) 的展开式通项 T r 1 C n a n r b r的特点：
n r
①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 ②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列； b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
小 结:
3、注意二项式定理中二项展开式的特征；
4、区别二项式系数，项的系数及项； 5、掌握用通项公式求二项式系数，项的系数 及项。
1 9 1 r r 9 r r (2)（x ) 展开式的通项是Tr+1 =C9 x ( ) (1) r C9 x92 r x x 根据题意，得 ： 2r 3 r 3, 9 x3的系数是(1)r C3＝－84. 见书P31例2 9
注：求二项式系数．项的系数或项的另一种方法 是利用二项式的通项公式。
： ( C ) C ： 14 ( C 34) C ：C 2 ( C 2) 4 4 3 1 ( C 4) ：C 4 4 0 ： 4 ( C 4) C
0 4 4 4
二、新课：1. 二项展开式
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
二项式定理课件
2 3. 取2个b(蓝球 ) 有c2 种情况
0
问题1等式和问题2数学实验有什么关联？（充分发挥想象）
问题 1. （a b)2 (a b)(a b) a 2ab b 问题2.数学实验
2
2
现有两个盒子，每个盒子里各有两个小球， a （红球） b （蓝 球），从两个盒子中各取一个小球放在一起，问：有几种结果。
3.求(2a b)6 展开式的第 6项
三、二项式定理应用：
5 练习2 已知（1 2x) ，
2 40 x 求（1）展开式的第三项；
c5 10 （2）第四项的二项式系数； 80 （3） 第四项的系数。
3
生
活
小
常
识
:
(1)今天是星期二，那么7天后 的这一天是星期几呢? (2)那么15天后的这一天呢？
1 (a b)2 C20a2 C2 ab C22b2
二、类比创设 类比这种方法，我们还可以解决什么类型的问题。
1.(a b)3 (a b)(a b)(a b)
2.(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
(a b) ______
(3)那么 8100 天后的这一天呢？
100 81 0 0 （1 7）
0 0 1 1 2 2 r r 9 9 99 1 0 0 100 C1 7 C 7 c 7 C 7 C 7 C 00 100 100 100 100 1 0 07 99 1 1 （ 7 C100 7 C ） 100 100
a b
n
(a b) C a C ab C b
2
3 0 3 3
C a C a bC a b C b
0
问题1等式和问题2数学实验有什么关联？（充分发挥想象）
问题 1. （a b)2 (a b)(a b) a 2ab b 问题2.数学实验
2
2
现有两个盒子，每个盒子里各有两个小球， a （红球） b （蓝 球），从两个盒子中各取一个小球放在一起，问：有几种结果。
3.求(2a b)6 展开式的第 6项
三、二项式定理应用：
5 练习2 已知（1 2x) ，
2 40 x 求（1）展开式的第三项；
c5 10 （2）第四项的二项式系数； 80 （3） 第四项的系数。
3
生
活
小
常
识
:
(1)今天是星期二，那么7天后 的这一天是星期几呢? (2)那么15天后的这一天呢？
1 (a b)2 C20a2 C2 ab C22b2
二、类比创设 类比这种方法，我们还可以解决什么类型的问题。
1.(a b)3 (a b)(a b)(a b)
2.(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
(a b) ______
(3)那么 8100 天后的这一天呢？
100 81 0 0 （1 7）
0 0 1 1 2 2 r r 9 9 99 1 0 0 100 C1 7 C 7 c 7 C 7 C 7 C 00 100 100 100 100 1 0 07 99 1 1 （ 7 C100 7 C ） 100 100
a b
n
(a b) C a C ab C b
2
3 0 3 3
C a C a bC a b C b
高中数学选修1.3.1二项式定理人教版ppt课件
T7 C96 26 x0 5376,
T9
C98 28 x -3
, 2304 x3
例5: 已知
( x 3的1x第2 5)项n 的二项式系数与第
3项的二项式系数比为2：3，求展开式中不含x 的项。
变式训练2：已知
( x 的展x2开2 式)n中，第5项的系
数与第3 项的系数比为56：3，求展开式中的常数项。
练1： 设S x -14 4 2x -13 6 4x -12 4 8x -1 16
根据二项式定理的S=（
）C
A.(x+2)4 B .(x-1)4 C .(x+1)4 D.x4
S C40 20 x -14 C41 21x -13 C42 22 x -12 C43 23 x -1 C44 24
课堂练习:
3. 求 x 3 9的展开式常数项 3 x
解:
Tr 1
C9r
(
x 3
)9
r
(
3 )r x
C9r
( 1 )9r 3
3r
9r1 r
x2
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
( 1 )96 3
36
2268
小测
求 （x 的2 展）开9 式中的常数项；
2 x
r ＝C9r 2r x9－23 r
根据题意
令9
3 2
r
Z , 且0
r
9
则r可以取0，2，4，6， 8
有理项分别是
T1 C90 20 x9 x9 ,
1.3.1二项式定理课件-高二数学人教A版选修2-3
2 x
6
的展开式的常数项是
240
2.
1
1 x
10的展开式中含
1 x3 项的系数是
120
五、课堂小结
思想共鸣 经验共享
你
1.二项式定理
学
到
了
a b n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn n N *
什
么
2.二项展开式的通项
Tk1 Cnk ankbk，k 0,1, 2,…, n
C
0 3
a
3
C
1a
3
2b
C 32ab 2
C
3 3
b
3
思想共鸣 经验共享
请同学们类比 (a+b)2 ，(a+b)3的展开式的特
征及方法，你能直接写出 (a+b)4 的展开式
吗？
第 二
（ （ a a+ b ) b4 ） = 2( a + Cb ) 20( a a+ 2 b ) ( Ca + 21ab （ b) a + Cb 2) 2b2
恰有1个括号取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个括号取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2
对(a+b)3展开式的分析：
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
项的形式： a 3 a 2b ab2 b3
探
（a b）3= C 4 0 Ca 4 30+ aC 3 4 1 a 3 Cb + 31aC 24 2 ba 2 b 2 C+ 3C 2a4 3 a bb 23 + C C4 4 3b 3b4 3
二项式定理PPT (1)
（a b) a b
1
（a b) a 2ab b
2 2
2
(a b) a 3a b 3ab b 4 3 4 3 2 2 4 （a b) a + a b + a b + ab + b
3 3 2 2 3
……
(a b) ? (n N )
n *
回顾、提出问题：
（a b) a 2ab b
2 2
2
展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数与各项在展开式中出现的次数有关。
当b的次数为0时，则相对应的项a2前的系数为C20
考虑b的 次数和每 一项系数 的关系
当b的次数为1时，则相对应的项ab前的系数为C21
当b的次数为2时，则相对应的项b2前的系数为C22
考虑b的 次数
a
3
ab
2
ab
2
b
3
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
尝试二项式定理的发现 :
4
考虑b的 次数
3 4 3 4 4 4
（a b) (a b)(a b)(a b) （a b)
C a C a b C a b C ab C b
0 4 4 1 3 4 2 2 2 4
从特殊到一般，归纳猜想的数学思想
类比
1）区别二项式系数，项的系数 2）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
0 n 1 n1 2 n 2 2 (a b) C n a C na b C n a b
n
①项数：共n+1项
(a b) 的展开式通项T k 1 C a
河南省长垣县第十中学高中数学选修2-3课件：1.3.1二项式定理(一)
(5) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 Tr+1 =__C__rn_a_n_-_r_b_r； (6) 二项式系数为 __C_rn___；
项的系数为 二项式系数与数字系数的积
第十页，编辑于星期日：十五点 十九分。
在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：
(1 + x)n = 1 + C1nx + Cn2x2 + + Crnxr + + Cnnxn
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
第四页，编辑于星期日：十五点 十九分。
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
在上式中，令 x = 1，则有：
2n = Cn0 + C1n + Cn2 + + Crn + + Cnn
第十一页，编辑于星期日：十五点 十九分。
例1、展开 (1 1 )4
zxxkw
2、展开 (2 zxxkw
x x
1 )6
x
3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。
4、(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数。
学.科.网
第一页，编辑于星期日：十五点 十九分。
复 习：
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
即通项 Tr+1 =__C__rn_a_n_-_r_b_r； (6) 二项式系数为 __C_rn___；
项的系数为 二项式系数与数字系数的积
第十页，编辑于星期日：十五点 十九分。
在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：
(1 + x)n = 1 + C1nx + Cn2x2 + + Crnxr + + Cnnxn
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
第四页，编辑于星期日：十五点 十九分。
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
在上式中，令 x = 1，则有：
2n = Cn0 + C1n + Cn2 + + Crn + + Cnn
第十一页，编辑于星期日：十五点 十九分。
例1、展开 (1 1 )4
zxxkw
2、展开 (2 zxxkw
x x
1 )6
x
3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。
4、(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数。
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第一页，编辑于星期日：十五点 十九分。
复 习：
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
二项式定理课件
3 0 3 3 1 2 3 2 3
C
1 3
2 3 3 3
(a b) C a C a b C Байду номын сангаасb C b ③ 展开式：
探究3 仿照上述过程,推导 (a b) 的展开式.
4
1 ab (a b) C a C 2 2
2
0 2 2
3
C b
2 3
2 2 2
2
(a b) C a C a b C ab C b
4
4
分析：为了 方便，可以 先化简后展 开
1 4 2 x 1 ) 2 ( x
1 轾0 4 3 2 1 1 2 3 = 2犏 C4 (2x) - C4 (2x) + C4 (2x) - C4 (2x) + C44 x 臌 1轾 4 3 2 1 = 2犏 16 x 32 x + 24 x 8 x +1 臌 x
k ③二项式系数: C n ( k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项: Tk 1
C a b
k n k k n
二项式定理
(a b) C a C a b C a
n 0 n n k n 1 n 1 n n k k
b C b (n N )
n n n *
*
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 用计数原理分析二项式的展开过程.
(3) 类比、等价转换的思想.
1、巩固型作业： 课本28页 联系B组 1、2、3
2、思维拓展型作业：
0 1 探究二项式系数 Cn ，Cn，
C ， ，C 有何性质.
2 n n n
聪 明 在 于 勤 奋 ，
C
1 3
2 3 3 3
(a b) C a C a b C Байду номын сангаасb C b ③ 展开式：
探究3 仿照上述过程,推导 (a b) 的展开式.
4
1 ab (a b) C a C 2 2
2
0 2 2
3
C b
2 3
2 2 2
2
(a b) C a C a b C ab C b
4
4
分析：为了 方便，可以 先化简后展 开
1 4 2 x 1 ) 2 ( x
1 轾0 4 3 2 1 1 2 3 = 2犏 C4 (2x) - C4 (2x) + C4 (2x) - C4 (2x) + C44 x 臌 1轾 4 3 2 1 = 2犏 16 x 32 x + 24 x 8 x +1 臌 x
k ③二项式系数: C n ( k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项: Tk 1
C a b
k n k k n
二项式定理
(a b) C a C a b C a
n 0 n n k n 1 n 1 n n k k
b C b (n N )
n n n *
*
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 用计数原理分析二项式的展开过程.
(3) 类比、等价转换的思想.
1、巩固型作业： 课本28页 联系B组 1、2、3
2、思维拓展型作业：
0 1 探究二项式系数 Cn ，Cn，
C ， ，C 有何性质.
2 n n n
聪 明 在 于 勤 奋 ，
1.3.1二项式定理PPT优秀课件
二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
可用数学归纳法证明
基础训练：展开(p+q)7 解: (pq)7C7 0p7C1 7p6qC7 2p5q2C3 7p4q3 C7 4p3q4C5 7q2q5C7 6pq6C7 7q7
a 3 3 a 2 b 3 a2 bb 3
(a b)4 ？ (ab)100？ (a b)n ？
(n N )
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b )＝C02 a2＋C12 ab ＋C22 b2
选b
＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b )
变式训练：若 求 （ 1 2 x ) 5 的 展 开 式 呢 ？
解: ( 1 2 x ) 5 C 5 0 ( 2 x ) 0 C 1 5 ( - 2 x ) 1 C 2 5 ( 2 x ) 2
C 3 5 ( 23 x C 5 ) 4 ( 24 x C ) 5 5 ( 25 x
＝C0n an＋ C1nan-1b＋ C2nan-2b2＋ C3nan-3b3＋…＋Cknan-kbk＋…＋ Cnn bn
二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
组合数公式：C n mA A n m m mn(nm 1 ()m (n 1 )2 ()m (2 n )m 11 )
引入：
（a b)2 a22abb2
高中数学二项式定理公开课精品PPT课件
1.3 二项式定理 第一课时 二项式定理
1．二项式定理 公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnn－1abn－ 1＋Cnnbn所表示的规律叫作二项式定理． 2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有n＋1项； (2)二项式系数：Cnk(k∈N)； (3)二项展开式的通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n， k∈N，n∈N*)它是展开式的第k＋1项．
3 2x2
)0＋C51(2x)4(－
3 2x2
)＋C52(2x)3(－
3 2x2
)2＋C53(2x)2(－
3 2x2
)3＋C54(2x)(－
3 2x2
)4＋C55(－
3 2x2
)5＝32x5－120x2
＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
例4 已知在(3 x－ 3 )n的展开式中，第6项为常数项． 3 x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
【思路】 解答本题可先借助通项公式，利用第6项为常数项 求n，然后再根据通项公式即可求得(2)，(3)．
【解析】 (1)通项公式为 Tk＋1＝Cnkxn－3 k(－3)kx－k3＝Cnk(－3)kxn－32k. ∵第6项为常数项，∴k＝5时有n－32k＝0，即n＝10. (2)令n－32k＝2，得k＝12(n－6)＝2. ∴所求的系数为C102(－3)2＝405.
【答案】 C
探究3 (1)求二项展开式的特定项的常见题型： ①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1； ②求含xk的项(或xpyq的项)； ③求常数项； ④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法： ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
1．二项式定理 公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnn－1abn－ 1＋Cnnbn所表示的规律叫作二项式定理． 2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有n＋1项； (2)二项式系数：Cnk(k∈N)； (3)二项展开式的通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n， k∈N，n∈N*)它是展开式的第k＋1项．
3 2x2
)0＋C51(2x)4(－
3 2x2
)＋C52(2x)3(－
3 2x2
)2＋C53(2x)2(－
3 2x2
)3＋C54(2x)(－
3 2x2
)4＋C55(－
3 2x2
)5＝32x5－120x2
＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
例4 已知在(3 x－ 3 )n的展开式中，第6项为常数项． 3 x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
【思路】 解答本题可先借助通项公式，利用第6项为常数项 求n，然后再根据通项公式即可求得(2)，(3)．
【解析】 (1)通项公式为 Tk＋1＝Cnkxn－3 k(－3)kx－k3＝Cnk(－3)kxn－32k. ∵第6项为常数项，∴k＝5时有n－32k＝0，即n＝10. (2)令n－32k＝2，得k＝12(n－6)＝2. ∴所求的系数为C102(－3)2＝405.
【答案】 C
探究3 (1)求二项展开式的特定项的常见题型： ①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1； ②求含xk的项(或xpyq的项)； ③求常数项； ④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法： ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
高中数学(人教选修2-3)配套课件第一章 1.3.1 二项式定理与二项展开式
栏 目 链
接
(2)S＝C40(x－1)4＋C41(x－1)3×21＋C42(x－1)2×22＋C34(x－
1)×23＋C4424＝[(x－1)＋2]4＝(x＋1)4.故选 D.
答案：(1)1＋4x＋x62＋x43＋x14 (2)D
点评：解决这一问题的关键是弄清二项式展开式左右两边的结 构特征，这样我们就能够将一个二项式展开，若一个多项式符合二项 展开式右边的结构特征，我们也能够将它表示成左边的形式．
(1)展开式的第四项的二项式系数为 ＝120.
(2)展开式的第四项的系数为 ·37－323＝－77 760. 点评：根据二项展开式的通项公式，即可求展开式中的特定项．
变式 训练
2．(2013·揭阳一模)若二项式x＋21xn 的展开式中，第 4 项与第
7 项的二项式系数相等，则展开式中 x6 的系数为________(用数字作
基础 梳理
(3)其中各项的系数_____C__rn_(r＝0,1,2，…，n)叫做
_________二__项_式__系__数____．
(4)式中的______________叫做二项展开式的通项，用Tr＋1
表示．
Crnan－rbr
栏
(5)通项是展开式的第________项．
目
链
2．二项式定理的应用．
10－(2)2 40 .
答案： C
栏 目 链 接
题型一 二项式定理的正用、逆用
例 1 (1)用二项式定理展开1＋1x4＝________；
(2)设 S＝(x－1)4＋4×2(x－1)3＋6×4(x－1)2＋4×8(x－1)＋16，
根据二项式定理得 S＝( )
接
r＋1 例如：(1)(x＋1)4的展开式中常数项是________．
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Tr 1 C a
r n
n r
b
r
二项式定理
2. 二项式定理(公式)的特点
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n n 1
b C a
r n
n r
b C b
r
n n n
1 2 n 1.二项式系数规律：C0 Cn , Cn ,, Cn n,
总结特征得到：
(a b) C a C a b C a
n 0 n n
1 n 1 n
r n r r n
b C b
n n n
二项式定理
讲解新课
1. 二项式定理
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n 1 n 1 n r n r r n n n n
r n
二项式定理
例题讲解
1 6 ) 的展开式. 例 1．求 (2 x x
解：先将原式化简，再展开，得
1 6 2 x 1 1 6 6 (2 x ) ( ) 3 2 x 1 x x x
1 5 2 4 3 3 4 2 5 6 3 [(2 x )6 C1 (2 x ) C (2 x ) C (2 x ) C (2 x ) C (2 x ) C 6 6 6 6 6 6] x 1 3 (64 x 6 6 32 x 5 15 16 x 4 20 8 x 3 15 4 x 2 6 2 x 1) x
例 2． （1）求 (1 2 x)7 的展开式的第 4 项的系数； （2）求 ( x 1 ) 的展开式中 x 的系数.
9
3
9 1 （2）解： ( x ) 的展开式通项是 x
x
Cx
r 9 r 9
r r r 9 2 r 1 ( ) (1) C9 x , x
根据题意，得
3
9 2r 3,
r 3.
3 因此， x 的系数是 (1)3 C9 84 ．
二项式定理
1. 求 (2a 3b) 的展开式的第 3 项.
6
答案：T3 2160a b .
4 2
2. ( x 1)10 的展开式的第 6 项的系数是（ D ）
6 A.C10 6 B． C10 5 C．C10 5 D． C10
3 9 1 （2）求 ( x ) 的展开式中 x 的系数. x
解： （1） (1 2 x) 的展开式的第 4 项是
7
T31 C 1
3 7
7 3
3
(2 x) C 2 x
3 3 7 3
3
3
35 8 x 280 x .
所以展开式的第4项的系数是280.
二项式定理
这个公式表示的定理叫做二项式定理 ,公 展开式 其中 式右边的多项式叫做 (a+b)n的________, Cr , n) 叫 做 _________________, 二项式系数 n (r 0,1, 2, n r r _________ Cr a b 叫做二项展开式的通项 , 通项是指 n 展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 个项.
二项式定理
n 1 n1 r r n r 【引申 1】 C0 ( x 1) C ( x 1) ( 1) C ( x 1) n n n
n (1) C ________ .
n n n
x
n( n 1) x 项的系数为_____________. 2
C2 4
C3 4
C4 4
二项式定理
【问题2】 (a+b)4展开有哪些项？各项的系数是什么？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) a4 a3b a2b2 ab3 项
b4
都 不 取 b 取 一 个 b 取 两 个 b 取 三 个 b 取 四 个 b
系数
C0 4
C1 4
2 C4
2.指数规律： ①各项的次数均为n； ②其中每一项中a的次数由n降到0, b次数由0升到n. 3.项数规律： 二项和的n次幂的展开式共有n+1个项. 4.展开式中的每一项都来自于 n 个括号的各个括号.
5.注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 C ( r 0,1, 2, , n) 项的系数为：二项式系数与数字系数的积.
【引申 2】 ( x 1)(2 x 1)(3 x 1) ( nx 1) 的展开式中含
1.3.1 二项式定理(一)
1 1 1 1 1 1 3 2 3 1 1 1
4 6 4 1 5 10 10 5 1
二项式定理
1.在n=1, 2, 3时，写出并研究(a+b)n的 展开式. (a+b)1= a+b , (a+b)2= a2+2ab+b2 , (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 , 2.那么n=4时呢？即：
(a+b)4=
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
.
二项式定理
一
二
三
四
『问题1』：4个容器中有相同的红、黑玻 璃球各一个，从每个容器中取一个球，有 多少不同的结果？
二项式定理
一
二
三
四
4个黑球 3个黑球 2个黑球 1个黑球 0个黑球 0个红球 1个红球 2个红球 3个红球 4个红球
C0 4
C1 4
60 12 1 64 x 192 x 240 x 160 2 3. x x x
3 2
二项式定理
1 4 ) 的展开式. 【1】求 (3 x x
1 x
5 2 1 2
(3 x
) 81 x 4 108 x 54 x 12 x
4
x
2
二项式定理
例 2． （1）求 (1 2 x)7 的展开式的第 4 项的系数；
C3 4
C4 4
0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 结果：(a b)4 C4 a C4a b C4a b C4ab C4b
二项式定理
将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？
发现规律：
n个
对于(a+b)n=(a+b)(a+b)· · · · ·(a+b)(a+b)
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中,恰有r r C 个括号中取b(其余括号中取a)的组合数n . 那 么,我们如何写出(a+b)n的展开式？