余弦定理的证明方法
证明余弦定理的三种方法
证明余弦定理的三种方法方法一：向量法证明假设在平面内有一个三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
以A为原点，分别向B和C引出向量AB和AC。
根据向量的定义，可以得到向量AB和向量AC的长度分别为a和c，且向量AB与向量AC之间的夹角为角A。
根据向量的加法和减法，可以得到向量AC-向量AB的长度为c-a。
同样地，可以得到向量AB-向量AC的长度为a-c。
根据向量的模长和夹角的余弦关系，可以得到：(c-a)^2 = (b*cosA)^2 + (b*sinA)^2(a-c)^2 = (b*cosA)^2 + (b*sinA)^2将上述两个式子相加，可以得到：(c-a)^2 + (a-c)^2 = 2*(b*cosA)^2 + 2*(b*sinA)^2化简上述式子，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac = 2b^2*cos^2A + 2b^2*sin^2A化简上述式子，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac = 2b^2*(cos^2A + sin^2A)根据三角恒等式cos^2A + sin^2A = 1，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac = 2b^2化简上述式子，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac - 2b^2 = 0即：a^2 + b^2 - 2ab*cosC = 0即：a^2 + b^2 = 2ab*cosC这就是余弦定理的向量法证明。
方法二：几何法证明假设在平面内有一个三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
以A为原点，向B和C引出向量AB和AC。
根据三角形的定义，可以得到：AB = b*cosA + b*sinAAC = c根据向量的减法，可以得到：AB - AC = b*cosA + b*sinA - c根据向量的模长和夹角的余弦关系，可以得到：(AB - AC)^2 = (b*cosA + b*sinA - c)^2化简上述式子，可以得到：(AB - AC)^2 = (b*cosA)^2 + (b*sinA)^2 - 2*b*cosA*c + c^2 - 2*b*sinA*c + 2*b*cosA*b*sinA化简上述式子，可以得到：(AB - AC)^2 = b^2*(cos^2A + sin^2A) - 2*b*c*cosA + c^2 - 2*b*c*sinA + 2*b^2*cosA*sinA根据三角恒等式cos^2A + sin^2A = 1，可以得到：(AB - AC)^2 = b^2 - 2*b*c*cosA + c^2 - 2*b*c*sinA + 2*b^2*cosA*sinA化简上述式子，可以得到：(AB - AC)^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA根据向量的模长和夹角的余弦关系，可以得到：(AB - AC)^2 = a^2即：b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA = a^2即：a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA这就是余弦定理的几何法证明。
怎么证明余弦定理
怎么证明余弦定理证明余弦定理是高中数学中非常重要的知识点，它在解决平面几何和三角形相关问题时起着至关重要的作用。
接下来，我们将通过推理和几何图形的分析来证明余弦定理。
首先，我们从一个三角形ABC开始，设三角形的三边分别为a、b、c，对应的夹角为A、B、C。
我们需要证明的余弦定理是：c² = a² + b² - 2abcosC在证明过程中，我们将分别考虑三角形的三边之间的关系和夹角之间的关系，并通过几何图形进行辅助分析。
第一步，我们先来看一下三角形的三边之间的关系。
根据勾股定理，我们知道：对于一个直角三角形，斜边的平方等于其他两边平方之和。
因此，我们可以构造一个与三角形ABC有着共同斜边的直角三角形ADB。
我们可以将AB边作为直角三角形ADB的斜边，这样就可以得到：AB² = AD² + BD² （1）同样地，再构造一个与三角形ABC有着共同斜边的直角三角形AEC。
我们可以将AC边作为直角三角形AEC的斜边，这样可以得到：AC² = AE² + EC² （2）继续构造一个与三角形ABC有着共同斜边的直角三角形BFC。
我们可以将BC边作为直角三角形BFC的斜边，这样就可以得到：BC² = BF² + FC² （3）接下来，我们将这三个直角三角形组合在一起构成一个平行四边形ADEB。
根据平行四边形两对对边相等的性质，我们可以得到：AD = EC （4）BD = AE （5）我们将式（1）代入式（4），将式（2）代入式（5），可以得到：AB² = AD² + BD² （6）= EC² + AE²上式说明了AB的平方等于AC的平方加上BC的平方。
现在，让我们转向夹角之间的关系。
考虑三角形ABC的两边AB和AC之间的夹角BAC，以及直角三角形AEC的两个锐角。
余弦定理的八种证明方法
余弦定理的八种证明方法1. 平面解析几何证明：设平面内三角形ABC，其中$\\overrightarrow{AB}=\\mathbf{a}$，$\\overrightarrow{BC}=\\mathbf{b}$，$\\overrightarrow{CA}=\\mathbf{c}$，则有以下关系：$$\\begin{cases}\\|\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\|^2=(\\mathbf{a}+\\mathbf{b})\\cd ot (\\mathbf{a}+\\mathbf{b})\\\\ \\|\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\|^2=(\\mathbf{a}-\\mathbf{b})\\cdot (\\mathbf{a}-\\mathbf{b})\\\\\\|\\mathbf{c}\\|^2=\\mathbf{c}\\cdot \\mathbf{c}\\end{cases}$$将这三个式子展开并简化运算，再利用向量的数量积展开，得到余弦定理的表达式。
2. 向量证明：设向量$\\mathbf{a}$和$\\mathbf{b}$的夹角为$\\theta$，则有向量$\\mathbf{a}-\\mathbf{b}$的模长为$\\|\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\|=\\sqrt{\\|\\mathbf{a}\\|^2+\\|\\mathbf{b}\\|^2-2\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\|\\cos\\theta}$，再利用向量的数量积展开，即可得到余弦定理的表达式。
3. 平面三角形面积证明：设平面内三角形ABC，其三边长度分别为$a$，$b$，$c$，其对应的高分别为$h_a$，$h_b$，$h_c$，则有以下关系：$$\\begin{cases}S=\\frac{1}{2}bh_a\\\\ S=\\frac{a\\sin C}{2}=\\frac{b\\sinA}{2}=\\frac{c\\sin B}{2}\\end{cases}$$将这两个式子联立并消去$S$，再利用正弦定理展开，得到余弦定理的表达式。
证明余弦定理的方法
证明余弦定理的方法余弦定理是解决非直角三角形的一种三角函数关系定理，用于求解任意三角形其中一个角的边之间的关系。
证明余弦定理的方法可以利用向量、三角函数以及勾股定理。
我们假设有一个非直角三角形ABC，三边分别为a，b，c，其中∠A、∠B、∠C 分别对应于边a、b、c。
方法一：利用向量法证明余弦定理将三角形向量化，我们可以得到：向量AB = 向量AC + 向量CB利用向量之间的内积关系：AB * AB = (AC + CB) * (AC + CB)展开和化简上式，我们可以得到：AB * AB = AC * AC + 2 * AC * CB + CB * CB根据向量之间的内积关系以及余弦公式cosθ= (向量A * 向量B) / (∥向量A∥* ∥向量B∥)，我们可以将上式变为：AB * AB = AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cos∠C根据向量的定义，我们可以得到：AB = √(AB * AB)，AC = √(AC * AC)，CB = √(CB * CB)将上述关系代入上式，我们可以得到：√(AB * AB) = √(AC * AC) + √(CB * CB) + 2 * √(AC * AC) √(CB * CB) * cosC化简上式，我们可以得到：AB^2 = AC^2 + CB^2 + 2 * AC * CB * cosC即余弦定理。
方法二：利用三角函数法证明余弦定理根据三角函数的定义，我们可以得到：cosA = AC / BCcosB = AB / ACcosC = AB / CB根据向量内积的定义，我们可以得到：AB * BC = ∥AB∥∥BC∥cosAAC * BC = ∥AC∥∥BC∥cosC将上式代入cosB的定义中，我们可以得到：cosB = (AB * BC) / (∥AB∥∥BC∥) = (AB * BC) / (√(AB * AB) √(BC * BC))代入向量AB * BC的定义，我们可以得到：cosB = (AB * AC + AB * CB) / (√(AB * AB) √(AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cosC))化简上式，我们可以得到：cosB = (AC + CB * cosC) / √(AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cosC)移项化简上式，我们可以得到：AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cosC = AC^2 + 2 * AC * CB * cosC + CB^2即余弦定理。
余弦定理的八种证明方法
余弦定理的八种证明方法研究背景：2011年高考数学卷（陕西卷）考出了“说明并证明余弦定理”这个考题,使平时不注重翻阅课本的同学大部分吃了亏，虽然这是书本上的知识，且课本上只给出了一种证明方法，但仍让同学们很难想到会考这个证明题，因此我们利用这次研究性学习活动，以论文的方式来介绍一下多种余弦定理的证明方法，来增强我们对课本知识的理解。
目的意义：用多种方法证明余弦定理，扩展思维，了解更多的过程。
内容摘要：余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形便可适当移于其它知识。
成果展示：一余弦定理的内容对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质a² = b² + c²- 2·b·c·cosAb² = a² + c² - 2·a·c·cosBc² = a² + b² - 2·a·b·cosC二证明方法方法一：平面几何法∵如图，有a+b=c ∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c²=a·a+2a·b+b·b ∴c²=a²+b²+2|a||b|cos(π-θ)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ再拆开，得c^2=a²+b²-2*a*b*cosC方法二：勾股法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC²=AD²+DC²b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²b²=(sinB*c)²+a²-2ac*cosB+(cosB)²*c²b²=(sinB²+cosB²)*c²-2ac*cosB+a²b²=c²+a²-2ac*cosB方法三：解析法在三角形ABC建立直角坐标系，使A点为原点，B点落在x轴正半轴上，设三角形三边abc则有三点坐标为A（0，0）B（c，0）C（bcosA，bsinA）∵BC=a则由距离公式得a=（c-bcosA）2-（bsinA）²化简得a=c²+b²-2bccosA∴a²=c²+b²-2bccosA方法四：面积法S△ACQ=(1/2)bc(cos∠BAC),S△PBC=(1/2)ac(cos∠CBA),bc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=2(S△ACQ+S△PBC)=c²,同理，ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a²,ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b².联立三个方程，bc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=c²（1）ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a²（2）ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b²（3）易得余弦定理方法五：正弦法∵＝＝∴＝bsin²B＝csin²C＝absinAsinB∴a²+b²-c²sin²A+sin²B-sin²C＝absinAsinB∴a²+b²-c²=absinAsinB（sin²A+sin²B-sin²C）（1）又∵sin²A=1-cos2A2sin²B=1-cos2B2∴sin²A+sin²B=1-（cos2A+cos2B）=1-cos（A+B）cos（A-B）ΔABC中cos（A+B）=cos（180°-C）=-cosC∴sin²A+cos²B=1-cosCcos（A-B）（2）（2）带入（1）得a²+b²-c²=[1+cosCcos（A-B）-sin²C]=[cos²C+cosCcos（A-B）]=cosC[cosC+cos（A-B）]=cosC[-cos（A+B）+cos（A-B）]=2abcosC∴c²=a²+b²-2abcosC同理可证b²=a²+c²-2accosBa²=c²+b²-2bccosA方法六：摄影定理法∵a=bcosC+ccosB（1）b=acosC+ccosA(2)c=bcosA+acosB(3)∴（1）×a+（2）×b-（3）×c得c²=a²+b²-2abcosC同理可证b²=a²+c²-2accosBa²=c²+b²-2bccosA方法七：复数法如下图，在复平面内作△ABC，则=a（cosB+i sinB），= =b[cos（－A）+i sin（－A）]，这里C'是平行四边形ACBC'的顶点，根据复数加法的几何意义可知，＝＋＝＋。
余弦定理的十一种证明方法
余弦定理的十一种证明方法余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较经典的十一种证明方法，供大家参考！余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与其夹角余弦的积的二倍。
如图1所示，在△ABC中，若AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：c2＝a2＋b2－2ab cosCa2＝b2＋c2－2bc cosAb2＝c2＋a2－2c a cosB.【证法1】如图2，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝b cosC，AD＝b sinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－b cosC)2＋(b sinC)2＝a2－2ab cosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2－2ab cosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2ab cosC。
当C重合于D时，在Rt△ABC中，∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。
当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所示，∠ACD＝180°－C，cos∠ACD＝cos(180°－C)＝－cosC，sin∠ACD＝sin(180°－C)＝sinC，所以CD＝b cos(180°－C)＝－b cosC，AD＝b sin(180°－C)＝b sinC，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－b cosC)2＋(b sinC)2＝a2－2ab cosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2－2ab cosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2ab cosC。
【证法2】将△ABC 的顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，如图4所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (b ，0)，B (a cosC ，a sinC)，C (0，0).由此得|AB|2＝(a cosC －b )2＋(a sinC －0)2＝a 2cos 2C －2ab cosC ＋b 2＋a 2sin 2C＝a 2＋b 2－2ab cosC ，即c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC 。
余弦定理的证明方法大全共十法
余弦定理的证明方法大全共十法余弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要定理之一、下面将为您介绍十种余弦定理的证明方法。
2.利用勾股定理证明余弦定理。
假设有一个三角形ABC，其中∠C为直角。
利用勾股定理可以得到AB²=AC²+BC²。
将AC表示为向量a，BC表示为向量b，AB表示为向量c，并将这些向量投影到相应的轴上，即可得到余弦定理。
3.使用数学归纳法证明余弦定理。
首先，证明当n=1时余弦定理成立，即两边长相等的情况。
然后，假设当n=k时余弦定理成立，即k个边长相等的情况。
再证明当n=k+1时余弦定理也成立，即k+1个边长相等的情况。
4. 利用三角函数证明余弦定理。
假设三角形的两条边长分别为a和b，夹角为θ。
利用正弦函数和余弦函数的关系，可以得到a² + b² -2abcosθ = c²，即余弦定理。
5. 引入垂线证明余弦定理。
假设三角形中∠C为直角，CD为∠C的垂线。
通过利用勾股定理和几何性质可以得到c² = a² + b² - 2abcosC，即余弦定理。
6.利用平面几何证明余弦定理。
假设三角形中∠C为直角，连接AC和BC的垂直平分线交于点D。
通过平面几何知识可以得到∠ADC=∠BDC=θ/2、然后，利用正弦定理和余弦定理可以得到余弦定理的证明。
7.利用平行四边形的性质证明余弦定理。
假设有一个平行四边形ABCD，分别连接AC和BD的垂线交于点E。
通过平行四边形的性质可以得到BE=AD和CE=AF。
利用余弦定理可以得到余弦定理的证明。
8. 使用三角形的面积证明余弦定理。
假设在三角形ABC中，AD为边BC的高，a = BC，b = AC，c = AB。
利用三角形的面积公式可以得到c² = a² + b² - 2abcosθ，即余弦定理。
9.利用球面三角形证明余弦定理。
将平面上的三角形放置在一个球体的表面上。
证明余弦定理的方法
证明余弦定理的方法一、引言余弦定理是三角形中非常重要的定理之一，它可以用来计算三角形中的各个角度和边长。
在本文中，我们将介绍如何证明余弦定理。
二、定义在三角形ABC中，设AB=c, AC=b, BC=a，且∠A对应的边为a，∠B 对应的边为b，∠C对应的边为c。
则余弦定理可以表示为：a²=b²+c²-2bc cosAb²=a²+c²-2ac cosBc²=a²+b²-2ab cosC三、证明1. 证明a²=b²+c²-2bc cosA根据余弦定理，我们有：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)将cosA代入原式得：a²=b²+c²-2bc(b²+c²-a²)/(2bc)化简后得：a²=b²+c²-2bc cosA因此，我们证明了第一个等式。
2. 证明b²=a²+c²-2ac cosB同样地，根据余弦定理，我们有：cosB=(a²+c²-b)/（2ac）将cosB代入原式得：b^2=a^2+c^2- 2ac(a^2+c^2-b)/( 2ac) 化简后得：b^2=a^2+c^2- 2ac cosB因此，我们证明了第二个等式。
3. 证明c²=a²+b²-2ab cosC最后，根据余弦定理，我们有：cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)将cosC代入原式得：c^2=a^2+b^2- 2ab(a^2+b^2-c^2)/( 2ab) 化简后得：c^2=a^2+b^2- 2ab cosC因此，我们证明了第三个等式。
四、总结通过以上的证明过程，我们可以看出余弦定理的重要性和用途。
余弦定理的十种证明方法
余弦定理的十种证明方法余弦定理是解决任意三角形的重要定理之一，可以用来求解三角形的边长、角度等问题。
下面将介绍十种证明余弦定理的方法。
1.平面向量法：设三角形的三边向量分别为a、b、c，则有a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC。
将这些公式转化为三角形的边长形式即为余弦定理。
2.向量的模长法：设向量a、b、c的模长分别为A、B、C，夹角分别为α、β、γ，则有A²=B²+C²-2BC*cosα，B²=A²+C²-2AC*cosβ，C²=A²+B²-2AB*cosγ。
令边长等于向量的模长，将这些公式转化为三角形的边长形式即为余弦定理。
3.正弦定理扩展法：在一个三角形的条边上延长一边，并在延长边上取一点，使得三角形分为两个相似三角形。
利用相似三角形的关系可以推导出余弦定理。
4.科学结算法：这种方法将余弦定理看作三角形面积公式的一种特殊情况。
通过证明三角形的面积公式和余弦定理是等价的，就证明了余弦定理的正确性。
5.高中数学综合证明法：利用高中教材中的已知定理和公式，如三角形内角和定理、三角形的面积公式等，可以通过一系列的推导和变形，最终得到余弦定理。
6.解析几何法：将三角形的顶点与坐标系关联，根据顶点的坐标，可以得到三角形的边长、角度等信息。
通过求解三角形的边长和角度，可以得到余弦定理。
7.直角三角形法：将三角形分解为两个直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理，可以推导出余弦定理。
8.球面三角形法：在球面上考虑三角形的问题，利用球面三角形的性质和球面上的几何关系，可以推导出余弦定理。
9.微积分法：将三角形分解为一组小三角形，并使用微积分的方法求解这些小三角形的边长和角度。
余弦定理的证明方法大全
余弦定理的证明方法大全余弦定理是解析几何中常用的定理，用于计算三角形中一个角的余弦值。
下面将介绍十种常见的余弦定理证明方法。
1.方法一：向量法证明余弦定理我们假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，以向量AB和AC为两条边，设向量AB为a，向量AC为b。
根据向量的定义，可以得出向量AB与向量AC的夹角θ。
那么，根据向量的内积公式，可以得到：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。
由此可得余弦定理的向量形式：c^2 = ，a，^2 + ，b，^2 - 2，a，b，cosθ2.方法二：平面向量法证明余弦定理我们可以将三角形的三个顶点A、B、C的坐标表示为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
设向量AB为a，向量AC为b。
根据向量的定义，可以得出向量AB与向量AC的夹角θ。
那么，根据向量的模长和夹角的余弦值的关系，可以得到：cosθ = (a·b)/(，a，b，)将向量的定义带入上式，可得余弦定理的平面向量形式：c^2=，a，^2+，b，^2-2a·b3.方法三：直角三角形法证明余弦定理假设ΔABC是一个直角三角形，且∠B为直角。
根据勾股定理，可以得到：a^2=b^2+c^2将上式改写为：c^2=a^2-b^24.方法四：海伦公式证明余弦定理我们知道，海伦公式可以用于计算三角形的面积。
设ΔABC的三条边分别为a，b，c，半周长为s，面积为S。
那么，根据海伦公式可以得出：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))将面积的表达式展开，再利用ΔABC的面积公式，可得余弦定理的表达式。
5.方法五：向量叉乘法证明余弦定理我们可以使用向量的叉乘来计算三角形的面积。
设三角形的三个顶点A、B、C的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据向量的叉乘公式，可以得到：2S=，AB×AC展开上式，并利用向量模长的定义，可以得到余弦定理的表达式。
余弦定理的八种证明方法
余弦定理的八种证明方法余弦定理是解决三角形中两边和夹角之间关系的重要定理之一、下面将介绍八种证明余弦定理的方法。
1.向量法证明：假设三角形的三个顶点为A、B、C，它们所对的角为a、b、c，相应的边分别为a、b、c，连接AB、AC，并设向量AB为向量a，向量AC为向量b。
则根据向量的加法，可以得到向量OB加向量OC等于向量AC，即向量OC等于向量AB-向量AC。
利用向量的点积，可以得到OC的模平方等于AB的模平方加上AC的模平方减去2次AC与AB的夹角的余弦值与AB、AC的模的积的乘积，即OC的模的平方等于AB的模的平方加上AC的模的平方减去2次AC与AB的夹角的余弦值与AB、AC的模的乘积。
将a、b、c、A、B、C表示为边和角的符号形式，即可得到余弦定理。
2.直角三角形法证明：假设三角形中角C为直角，即C=90°，则根据勾股定理，可以得到AB的平方等于AC的平方加上BC的平方。
将AB、AC、BC分别表示为a、b、c，则可得到a的平方等于b的平方加上c的平方。
3.直线法证明：利用三角形内部的三角形两边之和大于第三边的性质，可以得到AB加上AC大于BC、AB加上BC大于AC、AC加上BC大于AB。
设角B等于a、角A等于b、角C等于c，则上述不等式可以表示为cosc大于cosa、cosc大于cosb、cosa加cosb大于cosc。
将这些不等式利用三角函数的性质进行推导，可以得到余弦定理。
4.面积法证明：假设三角形的三个顶点为A、B、C，它们所对的边分别为a、b、c，面积为S。
将S表示为a、b、c的函数，利用海伦公式，可以得到S的平方等于s(s-a)(s-b)(s-c)，其中s为周长的一半。
将这个等式利用三角函数的性质化简，即可得到余弦定理。
5.解析几何法证明：设A、B、C的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，则根据距离公式，可以得到AB的平方等于(x2-x1)的平方加上(y2-y1)的平方。
余弦定理的三种证明
余弦定理的三种证明余弦定理是解决三角形中边与角之间关系的一个重要定理。
下面将介绍三种不同的证明方法。
一、平面几何法证明：对于任意三角形ABC，设边长分别为a，b，c，对应的内角为A，B，C。
假设以A点为圆心，AC为半径作一个圆，交BC于D点。
连接BD。
根据圆内切线与切线的定理可知，AB^2=AD*AC(1)。
由于AC = 2RsinA，其中R为三角形的外接圆半径，所以(1)式可以得到AB^2 = 2RsinAD = 2R*DC*sinA (2)。
同样地，假设以B点为圆心，BC为半径作一个圆，与AC交于E点，连接AE。
根据圆内切线与切线的定理可知，AB^2=AE*AD(3)。
由于AE = 2RsinB，所以(3)式可以得到AB^2 = 2R*DE*sinB (4)。
由于(2)式和(4)式中的AB^2相等，所以2R*DC*sinA = 2R*DE*sinB。
简化得DC*sinA = DE*sinB，即b*sinA = c*sinB。
同理，也可以证明a*sinB = c*sinC，a*sinC = b*sinA。
综上所述，可得a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA，即余弦定理。
二、解析几何法证明：设A点坐标为(0, 0)，B点坐标为(b, 0)，C点坐标为(c*cosA,c*sinA)。
根据两点间距离的公式可知，AB^2 = b^2，AC^2 = c^2*cos^2A +c^2*sin^2A = c^2又根据两点间距离的公式可知，BC^2 = (c*cosA - b)^2 + (c*sinA- 0)^2 = b^2 - 2bc*cosA + c^2 - b^2*sin^2A = b^2 + c^2 -2bc*cosA。
由于AB^2 = AC^2 + BC^2，所以b^2 = c^2 + b^2 - 2bc*cosA，即余弦定理。
三、向量法证明：设向量AB为a，向量AC为b，设向量AB与向量AC之间的夹角为θ。
余弦定理的证明方法大全
余弦定理的证明方法大全余弦定理是高中数学中重要的知识点，它用于计算任意三角形的边长。
在这篇文章中，我们将分享十种不同的证明方法，帮助读者更好地理解和记忆余弦定理。
1.基于向量的证明方法这是一种基于向量的证明方法。
我们可以将三角形的边表示为向量，然后使用向量的内积和三角函数的性质来证明余弦定理。
2.基于向量的证明方法（2）这种证明方法是基于向量的证明方法的一种变体，它使用了平方和的性质来简化证明过程。
3.基于三角恒等式的证明方法这种证明方法使用三角恒等式来推导余弦定理。
我们可以使用三角函数的定义和恒等式来逐步推导出余弦定理。
4.基于勾股定理的证明方法这种证明方法使用勾股定理来证明余弦定理。
我们可以通过将三角形划分为两个直角三角形，然后使用勾股定理推导出余弦定理。
5.基于角的对边关系的证明方法这种证明方法使用角的对边关系来推导余弦定理。
我们可以通过将一个角的对边表示为三角形的两边之间的夹角的正弦，然后使用三角函数的关系来推导余弦定理。
6.基于平行四边形性质的证明方法这种证明方法利用平行四边形性质来证明余弦定理。
我们可以将三角形的两边表示为平行四边形的对角线，然后使用平行四边形的性质来推导余弦定理。
7.基于海伦公式的证明方法这种证明方法使用海伦公式来证明余弦定理。
我们可以将三角形的面积表示为海伦公式的形式，然后使用三角形的面积公式和三角函数的关系来推导出余弦定理。
8.基于正切函数的证明方法这种证明方法使用正切函数来推导余弦定理。
我们可以将一个角的正切表示为另外两边之间的夹角的正切，然后使用正切函数的关系来推导余弦定理。
9.基于正弦函数的证明方法这种证明方法使用正弦函数来推导余弦定理。
我们可以利用一个角的正弦表示为对边与斜边之比，然后使用三角函数的关系来推导余弦定理。
10.基于杨辉三角形的证明方法这种证明方法使用杨辉三角形的性质来证明余弦定理。
我们可以通过将杨辉三角形的斜边表示为三角形的两条边之间的夹角的余弦，然后使用杨辉三角形的性质来推导余弦定理。
初中数学 什么是余弦定理
初中数学什么是余弦定理在初中数学中，余弦定理是指在任意三角形中，任意两边的平方和减去它们的乘积的两倍，等于第三边的平方。
下面将详细介绍余弦定理的定义、证明和应用。
1. 余弦定理的定义：在任意三角形ABC中，设三角形的三边分别为a、b和c，对应角分别为A、B和C，则有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC。
2. 余弦定理的证明：余弦定理可以通过应用向量的内积和余弦函数的性质进行证明。
具体证明步骤如下：-步骤1：将任意三角形ABC的两边a和b表示为向量a和向量b。
-步骤2：将向量a和向量b的内积表示为a · b = |a| * |b| * cosC，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，cosC表示向量a和向量b之间的夹角的余弦值。
-步骤3：根据步骤2的公式，可以得到a · b = ab * cosC的等式。
-步骤4：将步骤3的等式移项并代入向量的模的定义，得到c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC 的等式。
-步骤5：由于向量的模等于对应边的长度，因此可以将步骤4的等式转化为三角形边长的平方形式的余弦定理。
3. 余弦定理的应用：-求解缺失的边长：余弦定理可以用于求解任意三角形中缺失的边长。
如果已知两个角的度数和另一边的长度，可以利用余弦定理计算出缺失边的长度。
-判定三角形的形状：余弦定理可以用于判断三角形的形状。
如果一个三角形的三条边之间满足余弦定理的等式，那么这个三角形就是锐角三角形；如果其中一条边的长度大于或等于另外两条边的长度之和，那么这个三角形就是钝角三角形。
-解决与三角形相关的几何问题：余弦定理可以应用在各种涉及三角形的几何问题中，如求解三角形的面积、判断三角形的相似性等。
总结起来，余弦定理是在任意三角形中，任意两边的平方和减去它们的乘积的两倍，等于第三边的平方。
该定理可以通过应用向量的内积和余弦函数的性质进行证明。
余弦定理的应用包括求解缺失的边长、判定三角形的形状和解决与三角形相关的几何问题。
(经典)最全余弦定理的10种证明方法
(经典)最全余弦定理的10种证明方法——王彦文 青铜峡一中一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+图1图2-1A即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=.在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅= 2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②图2-2图3将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-. 即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+--由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C 交于点,D E ,延长AB 交C 于F ,延长AC 交C 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅.整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.c-bcosA图7-2图7-1余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.图5GA图6。
(完整版)余弦定理的证明方法大全(共十法)
余弦定理的证明方法大全(共十法)一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的图1图2-1A点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=.在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅=2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-.图2-2图3即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+--由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C 交于点,D E ,延长AB 交C 于F ,延长AC 交C 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅.整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.c-bcosA图7-2图7-1余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.图5GA图6。
余弦定理的证明方法四种
余弦定理的证明方法四种方法一：向量法文章一朋友们，今天咱们来聊聊余弦定理的证明，咱们先说用向量法怎么证明。
咱们先画个三角形 ABC，顶点分别是 A、B、C。
然后咱们设向量AB 是 c，向量 BC 是 a，向量 CA 是 b。
那向量 AB 和向量 AC 的数量积就等于 AB 的模长乘以 AC 的模长再乘以它们夹角的余弦值。
也就是c·b = |c|×|b|×cos(π A) ，因为夹角是π A 嘛。
然后展开这个数量积，c·b = |c|×|b|×(cosA) 。
又因为c·b = |c|×|b|×(cosA) = cx×bx + cy× ，这里的x、y 是向量的坐标。
把 |c| = |b a| 代入，然后两边平方，一顿操作之后，就能得到a² = b² + c² 2bc×cosA 。
同样的道理，咱们能证明出b² = a² + c² 2ac×cosB ，c² = a² + b² 2ab×cosC 。
咋样，向量法证明余弦定理是不是还挺简单易懂的？文章二嗨，大家好！今天咱们来搞明白用向量法证明余弦定理。
想象一下有个三角形 ABC，三个顶点在那呆着呢。
咱们弄出向量来，AB 叫 c，BC 叫 a，CA 叫 b 。
向量这东西相乘有讲究，AB 和 AC 相乘，就是 c 和 b 相乘，等于它们长度乘上夹角的余弦。
但注意哦，这个夹角是π A ，所以c·b = |c|×|b|×cos(π A) ，这就等于|c|×|b|×cosA 。
再仔细看看，c·b 还能写成坐标形式，就是 c 的横坐标乘 b 的横坐标加上纵坐标乘纵坐标。
而且 |c| 其实就是 |b a| ，把这个带进去平方一下，算一算，嘿，就出来a² = b² + c² 2bc×cosA 啦！用同样的思路，其他两个式子b² = a² + c² 2ac×cosB 和c² = a² + b² 2ab×cosC 也能得出来。
余弦定理的证明
余弦定理的证明余弦公式a^2=b^2+c^2-2bc cosA余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决两类问题：第一类是已知三角形两边及夹角，求第三边；第二类是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
余弦定理性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·c os Ab^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·c os Bc^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cos Cc os C = (a^2 + b^2 - c^2) /(2·a·b)c os B = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)c os A = (c^2 + b^2 - a^2) /(2·b·c)（物理力学方面的平行四边形定则以及电学方面正弦电路向量分析也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A。
余弦定理证明平面几何证法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c ，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/(2*a*c)作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。
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余弦定理的证明方法
余弦定理的证明方法在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a
由勾股定理得：
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2
所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*CD
因为cosC=CD/b
所以CD=b*cosC
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
在任意△ABC中, 作AD⊥BC.
∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a -->
BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
勾股定理可知：
AC=AD+DC
b=(sinB*c)+(a-cosB*c)
b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB
b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a
b=c+a-2ac*cosB
所以，cosB=(c+a-b)/2ac
2
如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB . 而|AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C)) 即D点坐标是(-acosC，asinC), ∴AD = (-acosC，asinC) 而AD = CB ∴(-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴asinC = csinA …………①-acosC = ccosA-b ……②由①得asinA = csinC ，同理可证asinA = bsinB ，∴asinA = bsinB = csinC . 由②得acosC = b-ccosA ，平方得：a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ，即a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得a2sin2C = c2sin2A ∴a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证b2 = a2 + c2-2accosB ，c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
3△ABC 的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]
mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB) =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
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