余弦定理的证明 向量法
余弦定理(一)
余弦定理(一)[学习目标] 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.知识点一余弦定理及其证明1.余弦定理的表示及其推论2.余弦定理的证明(1)课本上采用的证明方法：如图，设a＝CB→，b＝CA→，c＝BA→，则c＝b－a，∴|c|2＝c·c＝(b－a)2＝a2－2a·b＋b2＝a2－2ab cos C＋b2，∴c2＝a2＋b2－2ab cos C.(2)利用坐标法证明如图，建立直角坐标系，则A(0,0)、B(c cos A，c sin A)、C(b,0)(写出三点的坐标).∴a ＝BC ＝(c cos A －b )2＋(c sin A －0)2 ＝c 2－2bc cos A ＋b 2， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .思考1 在△ABC 中，若a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则A ＝ . 答案2π3解析 由题意知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.思考2 勾股定理和余弦定理的联系与区别？答案 二者都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例. 知识点二 用余弦定理解三角形的问题 利用余弦定理可以解决以下两类问题： (1)已知两边及夹角解三角形； (2)已知三边解三角形.思考 已知三角形的两边及一边的对角解三角形，有几种方法？ 答案 不妨设已知a 、b 、A ，方法一 由正弦定理a sin A ＝bsin B 可求得sin B ，进而得B ，角C ，最后得边c .方法二 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得边c ，而后由余弦或正弦定理求得B 、C .题型一 已知两边及夹角解三角形例1 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求角A ，B 和边c 的值(cos 15°＝6＋24，sin 15°＝6－24). 解 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43，∴c ＝8－43＝(6－2)2＝6－ 2. 由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝a sin 15°c＝2×6－246－2＝12， ∵b >a ，∴B >A ，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝135°， ∴c ＝6－2，A ＝30°，B ＝135°.跟踪训练1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c 等于( ) A.4 B.15 C.3 D.17 答案 D解析 由三角形内角和定理可知cos C ＝－cos(A ＋B )＝－13，又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×(－13)＝17，所以c ＝17.题型二 已知三边(或三边的关系)例2 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A 、B 、C . 解 根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22(6＋23)(43)＝32.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝712π，∴A ＝π6，B ＝712π，C ＝π4.跟踪训练2 将例2中的条件改为“a ∶b ∶c ＝26∶(6＋23)∶43”，求A 、B 、C . 解 ∵a ∶b ∶c ＝26∶(6＋23)∶43， 即a 26＝b 6＋23＝c43，不妨设a26＝k ，则a ＝26k ，b ＝(6＋23)k ，c ＝43k ，下同例题解法.题型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝23，b ＝6，A ＝45°，求边c .解 方法一 在△ABC 中，根据余弦定理可得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即c 2－23c －6＝0， 所以c ＝3±3.又c >0，所以c ＝3＋3.方法二 在△ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝b sin Aa ＝6×2223＝12，因为b <a ，所以B <A ，又B ∈(0°，180°)，所以B ＝30°， 所以C ＝180°－A －B ＝105°，所以sin C ＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝6＋24， 故c ＝a sin Csin A ＝23×6＋2422＝3＋3.跟踪训练3 已知在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，解此三角形. 解 方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 (3)2＝a 2＋32－2×a ×3×cos 30°， ∴a 2－33a ＋6＝0，∴a ＝3或a ＝2 3. 当a ＝3时，a ＝b ，∴A ＝30°，∴C ＝120°； 当a ＝23时，由正弦定理得 sin A ＝a sin B b ＝23sin 30°3＝1，又∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，C ＝60°.∴C ＝60°，A ＝90°，a ＝23或C ＝120°，A ＝30°，a ＝ 3. 方法二 由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°知本题有两解. 由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝3×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝23； 当C ＝120°时，A ＝30°＝B ，∴a ＝ 3.∴C ＝60°，A ＝90°，a ＝23或C ＝120°，A ＝30°，a ＝ 3.1.在△ABC 中，符合余弦定理的是( )A.c 2＝a 2＋b 2－2ab cos CB.c 2＝a 2－b 2－2bc cos AC.b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D.cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab2.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( ) A.8 B.217 C.6 2 D.2193.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A.a >b B.a <b C.a ＝b D.a 与b 的大小关系不确定4.在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的大小为 .5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝ .一、选择题1.在△ABC 中，给出下列条件①A ＝60°，C ＝45°，b ＝10 ②B ＝30°，a ＝5，c ＝6 ③B ＝30°，a ＝2，b ＝1 ④a ＝1，b ＝3，c ＝4 使三角形有一解的有( )A.②④B.①④C.①②③D.①②④ 2.在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A.5 B.4 C.3 D.103.在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，sin C ＝3314，则c 等于( )A.3B.217C.3或217D.6 64.已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为( ) A.60° B.90° C.120° D.150°5.若三角形三边长分别为5,7,8，则它的最大角和最小角的和为( )A.90°B.120°C.135°D.150°6.已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的余弦值等于( )A.23B.12C.－23D.－127.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.238.在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦是( )A.－15B.－16C.－17D.－18二、填空题9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是 .10.在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝ . 11.△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，则C ＝ .三、解答题12.在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，求△ABC 的最大内角.13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求此三角形的最大边长.当堂检测答案1.答案 A解析 由余弦定理及其推论知只有A 正确. 2.答案 D解析 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋62－2×4×6×(－12)＝76，∴c ＝219. 3.答案 A解析 cos 120°＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－2a 22ab ＝－12，∴b ＝5－12a <a . 4.答案 π3解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.5.答案 56π解析 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，又B ∈(0，π)，∴B ＝56π.错误!课时精练答案一、选择题 1.答案 C解析 ①已知两角及一边；②已知两边及夹角；④已知三边均只有一解，但④中三边无法组成三角形.③中已知两边及一边的对角，可能有两解，但sin A ＝1，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°.故只有一解. 2.答案 A解析 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋(53)2－2×5×(53)×32＝25，∴a ＝5.3.答案 C解析 ∵sin C ＝3314，∴cos C ＝±1－(3314)2＝±1314，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×(±1314)＝9或217，∴c ＝3或217. 4.答案 D解析 由题意知，a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝150°. 5.答案 B解析 中间的角设为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，又θ∈(0°，180°)，∴θ＝60°， ∴最大角和最小角之和为120°. 6.答案 D解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab . ∴(a ＋b )2－c 2＝ab ，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ， ∴cos C ＝－12.7.答案 B解析 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋(2a )2－ac2a (2a )＝5a 2－2a 24a 2＝34.8.答案 C解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，∴c ＝3，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.二、填空题 9.答案612解析 bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝12(32＋42＋62)＝612.10.答案19解析 由题意知a ＋b ＝5，ab ＝2，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ＝52－2×2－2×2×12＝19，∴c ＝19. 11.答案 45°解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝14(2ab cos C )， ∴sin C ＝cos C ，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°. 三、解答题12.解 不妨设b ＋c 4＝k ，则b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k ，∴a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，可见a >b >c ，∴A 为最大内角，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝254k 2＋94k 2－494k 22×52k ×32k ＝－12，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.13.解 已知a －b ＝4，则a >b 且a ＝b ＋4， 又a ＋c ＝2b ，则b ＋4＋c ＝2b ，所以b ＝c ＋4， 则b >c ，从而知a >b >c ，所以a 为最大边， 故A ＝120°，b ＝a －4，c ＝2b －a ＝a －8. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ＝(a －4)2＋(a －8)2＋(a －4)(a －8)， 即a 2－18a ＋56＝0，解得a ＝4或a ＝14. 又b ＝a －4>0，所以a ＝14， 即此三角形的最大边长为14.。
证明余弦定理的三种方法
证明余弦定理的三种方法方法一：向量法证明假设在平面内有一个三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
以A为原点，分别向B和C引出向量AB和AC。
根据向量的定义，可以得到向量AB和向量AC的长度分别为a和c，且向量AB与向量AC之间的夹角为角A。
根据向量的加法和减法，可以得到向量AC-向量AB的长度为c-a。
同样地，可以得到向量AB-向量AC的长度为a-c。
根据向量的模长和夹角的余弦关系，可以得到：(c-a)^2 = (b*cosA)^2 + (b*sinA)^2(a-c)^2 = (b*cosA)^2 + (b*sinA)^2将上述两个式子相加，可以得到：(c-a)^2 + (a-c)^2 = 2*(b*cosA)^2 + 2*(b*sinA)^2化简上述式子，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac = 2b^2*cos^2A + 2b^2*sin^2A化简上述式子，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac = 2b^2*(cos^2A + sin^2A)根据三角恒等式cos^2A + sin^2A = 1，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac = 2b^2化简上述式子，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac - 2b^2 = 0即：a^2 + b^2 - 2ab*cosC = 0即：a^2 + b^2 = 2ab*cosC这就是余弦定理的向量法证明。
方法二：几何法证明假设在平面内有一个三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
以A为原点，向B和C引出向量AB和AC。
根据三角形的定义，可以得到：AB = b*cosA + b*sinAAC = c根据向量的减法，可以得到：AB - AC = b*cosA + b*sinA - c根据向量的模长和夹角的余弦关系，可以得到：(AB - AC)^2 = (b*cosA + b*sinA - c)^2化简上述式子，可以得到：(AB - AC)^2 = (b*cosA)^2 + (b*sinA)^2 - 2*b*cosA*c + c^2 - 2*b*sinA*c + 2*b*cosA*b*sinA化简上述式子，可以得到：(AB - AC)^2 = b^2*(cos^2A + sin^2A) - 2*b*c*cosA + c^2 - 2*b*c*sinA + 2*b^2*cosA*sinA根据三角恒等式cos^2A + sin^2A = 1，可以得到：(AB - AC)^2 = b^2 - 2*b*c*cosA + c^2 - 2*b*c*sinA + 2*b^2*cosA*sinA化简上述式子，可以得到：(AB - AC)^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA根据向量的模长和夹角的余弦关系，可以得到：(AB - AC)^2 = a^2即：b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA = a^2即：a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA这就是余弦定理的几何法证明。
余弦定理的三种几何证明
余弦定理的三种几何证明余弦定理是在三角形中，通过三边的长度来求解三角形的一些角度的方法，其数学表达式为：c² = a² + b² - 2ab·cos(C)其中，a、b、c表示三角形的三边的长度，C表示对应于边c的角的大小，cos(C)表示角C的余弦值。
余弦定理有多种几何证明方法，下面将分别介绍三种常用的几何证明方法。
方法一：极坐标证明法根据余弦定理的表达式，我们可以将其化简为：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)在平面直角坐标系中，我们可以将三角形的三个顶点分别表示为点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据点到原点的距离公式，我们有：a=√(x1²+y1²)b=√(x2²+y2²)c=√(x3²+y3²)进一步，我们可以得到：a²+b²-c²=(x1²+y1²)+(x2²+y2²)-(x3²+y3²)=[(x1-x3)²+(y1-y3)²]+[(x2-x3)²+(y2-y3)²]-(x3²+y3²)=2((x1-x3)(x2-x3)+(y1-y3)(y2-y3))cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)=(2((x1-x3)(x2-x3)+(y1-y3)(y2-y3)))/(2√(x1²+y1²)√(x2²+y2²)) =((x1-x3)(x2-x3)+(y1-y3)(y2-y3))/(√(x1²+y1²)√(x2²+y2²))根据极坐标系中余弦的几何意义，cos(C)可表示为向量AC和向量BC 的内积除以它们的模的乘积。
余弦定理公式的含义及其证明
余弦定理公式的含义及其证明余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要公式。
它描述了三角形的一个边的平方和另外两边平方的差，与这两边之间的夹角余弦函数的乘积的关系。
余弦定理的数学表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形的三边，C表示夹角C的大小。
证明余弦定理可以使用向量法和三角法两种方法。
1.向量法证明：假设三角形ABC中，向量AB的模为a，向量AC的模为b，向量BC的模为c。
向量AB与向量AC之间的夹角为夹角C，设其大小为θ。
根据向量的加法和平方模长定义，可以得到：a² = AB² = AA² + BB² - 2(AA)(BB)cosθb² = AC² = AA² + CC² - 2(AA)(CC)cosθc² = BC² = BB² + CC² - 2(BB)(CC)cosθ将以上三个等式相加，得到：a² + b² + c² = 2(AA² + BB² + CC²) - 2(AA)(BB)cosθ -2(AA)(CC)cosθ - 2(BB)(CC)cosθ化简可得：2(AA² + BB² + CC²) = a² + b² + c² + 2(AA)(BB)cosθ +2(AA)(CC)cosθ + 2(BB)(CC)cosθ设向量AA、BB、CC的模长分别为x、y、z，则上式变成：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2xycosθ + 2xzcosθ +2yzcosθ由于AA=BB=CC=x+y+z（向量AA、BB、CC的模长相等），进一步化简得到：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2(xy + xz + yz)cosθ所以，余弦定理成立。
余弦定理的八种证明方法1500字
余弦定理的八种证明方法1500字余弦定理是高中数学中一个非常重要的定理，它可以描述三角形边长和角度之间的关系。
余弦定理有很多种证明方法，以下我们简单介绍其中的八种证明方法。
方法一：向量法证明推导过程如下：设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据向量的定义和运算法则，可以得到向量AB=a，向量AC=b，向量BC=c。
由向量的点积公式可知，向量a·b=|a||b|cos(∠{向量AB，向量AC})，即(a-b)·(a-c)=-|a|²cosA。
对称地，还可以得到(b-c)·(b-a)=-|b|²cosB，(c-a)·(c-b)=-|c|²cosC。
进一步推导可知，(a-b)·(a-c)+(b-c)·(b-a)+(c-a)·(c-b)=-(|a|²+|b|²+|c|²)，即2(a·b+b·c+c·a)=|a|²+|b|²+|c|²，最终可得到余弦定理的向量形式。
方法二：面积法证明推导过程如下：设∠ACB=C，根据三角形的面积公式可知，△ABC的面积S=1/2|AC||BC|sinC。
又根据正弦定理可知，sinC=a/2R，其中R为△ABC的外接圆半径。
将sinC带入上述公式可得S=1/4R|AC||BC|a。
同样地，也可以得到S=1/4R|AB||BC|c和S=1/4R|AB||AC|b。
将这三个式子相加，并将△ABC的面积用△ABC的周长p和半周长s表示，可得2S/abc=(ac+ab-bc)/2sb+(ab+bc-ac)/2sc+(ac+bc-ab)/2sa。
经过化简可以得到余弦定理的面积形式。
方法三：勾股定理证明推导过程如下：考虑△ABC的边AB与边AC之间的夹角∠BAC=A，根据勾股定理可得AB²=BC²+AC²-2BC·ACcosA。
证明余弦定理的方法
证明余弦定理的方法余弦定理是解决非直角三角形的一种三角函数关系定理，用于求解任意三角形其中一个角的边之间的关系。
证明余弦定理的方法可以利用向量、三角函数以及勾股定理。
我们假设有一个非直角三角形ABC，三边分别为a，b，c，其中∠A、∠B、∠C 分别对应于边a、b、c。
方法一：利用向量法证明余弦定理将三角形向量化，我们可以得到：向量AB = 向量AC + 向量CB利用向量之间的内积关系：AB * AB = (AC + CB) * (AC + CB)展开和化简上式，我们可以得到：AB * AB = AC * AC + 2 * AC * CB + CB * CB根据向量之间的内积关系以及余弦公式cosθ= (向量A * 向量B) / (∥向量A∥* ∥向量B∥)，我们可以将上式变为：AB * AB = AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cos∠C根据向量的定义，我们可以得到：AB = √(AB * AB)，AC = √(AC * AC)，CB = √(CB * CB)将上述关系代入上式，我们可以得到：√(AB * AB) = √(AC * AC) + √(CB * CB) + 2 * √(AC * AC) √(CB * CB) * cosC化简上式，我们可以得到：AB^2 = AC^2 + CB^2 + 2 * AC * CB * cosC即余弦定理。
方法二：利用三角函数法证明余弦定理根据三角函数的定义，我们可以得到：cosA = AC / BCcosB = AB / ACcosC = AB / CB根据向量内积的定义，我们可以得到：AB * BC = ∥AB∥∥BC∥cosAAC * BC = ∥AC∥∥BC∥cosC将上式代入cosB的定义中，我们可以得到：cosB = (AB * BC) / (∥AB∥∥BC∥) = (AB * BC) / (√(AB * AB) √(BC * BC))代入向量AB * BC的定义，我们可以得到：cosB = (AB * AC + AB * CB) / (√(AB * AB) √(AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cosC))化简上式，我们可以得到：cosB = (AC + CB * cosC) / √(AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cosC)移项化简上式，我们可以得到：AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cosC = AC^2 + 2 * AC * CB * cosC + CB^2即余弦定理。
正余弦定理的四种证明方法
正余弦定理的四种证明方法余弦定理是解三角形问题的重要工具之一，它表达了三角形的一个边的平方与其他两边平方的关系。
以下将介绍余弦定理的四种证明方法。
方法一：向量法证明这是一种直接而简洁的证明方法。
我们可以将三角形的任意边表示为向量，然后利用向量的运算进行证明。
假设三角形的三个顶点为A、B、C，边a、b、c对应的向量分别为→a、→b、→c。
根据向量的定义，→c=→a-→b。
利用向量的模的定义有：→c，^2 = ，→a - →b，^2 = (∥→a∥ - ∥→b∥)^2 =∥→a∥^2 - 2∥→a∥∥→b∥cosC + ∥→b∥^2根据余弦定理，→c，^2 = a^2 = b^2 + c^2 - 2bc⋅cosA。
将上述两个表达式相等，整理可得余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc⋅cosA方法二：平面几何法证明这种证明方法是通过利用三角形的几何性质来证明余弦定理。
首先，我们可以进行如下构造：在边b上取一点D，使得BD与AC垂直相交于点E。
由此可得AE⊥BC。
根据直角三角形的性质，我们有：1. AE = AC⋅cosA2. AD = AC⋅sinA3. CD = BC - BD = BC - AD = b - AC⋅sinA由三角形的余弦定理可得：a^2 = AB^2 = AD^2 + BD^2 = (AC⋅sinA)^2 + (b - AC⋅sinA)^2展开并整理上式，可得到与余弦定理等价的表达式。
方法三：三角函数法证明这是一种基于三角函数的三角恒等式来进行证明的方法。
根据三角函数的定义，我们有：sinA = BC/AC，sinB = AC/BC由此可得AB = AC⋅sinB = BC⋅sinA。
假设三角形的高为h，利用三角形面积公式S = 1/2⋅AB⋅h也可得到：S = 1/2⋅BC⋅AC⋅sinA = 1/2⋅BC⋅AC⋅sinB此外，根据S=1/2⋅BC⋅h也可得到：h = BC⋅sinA联立上述三个等式，整理可得到余弦定理。
应用向量法证明正(余)弦定理
应用向量法证明正（余）弦定理作者：于志洪来源：《中学数学杂志(高中版)》2008年第05期向量法是一种解析方法，此法在证几何题时，由于具有几何的直观性，表述的简洁性和处理方法的一般性，因此对于数学知识的融汇贯通很有帮助现仅就著名的正（余）弦定理的向量证明进行介绍，供高二学生学习时参考1 正弦定理的向量法证明在任意△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则asinA=bsinB=csinC证明如图1，作CD⊥AB于D因为封闭线段在任意轴上投影的代数和为零又因为AB⊥DC，所以AB在轴DC上投影为零；而AC在DC上投影为bsinA,CB在DC 上投影为-asinB.所以bsinA-asinB=0,所以bsinA=asinB.所以asinA=bsinB同理可证得bsinB=csinC,csinC=asinA,所以asinA=bsinB=csinC2 余弦定理的向量法证明在任意△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，则a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC,证明：如图2，在已知△ABC的三边AB、BC和CA上，分别取从B向A、从B向C和从A向C为正方向，这样就得到三个向量BA、BC和AC，并且BA+AC=BC根据关于向量的射影定理可知：BC的射影=BA的射影+AC的射影BC在轴BC上的射影=|BC|cos0°=a;BA在轴BC上的射影=|BA|cosB=ccosB;AC在轴BC上的射影=|AC|cosC=bcosC;所以a=ccosB+bcosC①同理可证得：b=acosC+ccosA②c=acosB+bcosA③再由①·a-②·b-③·c,即可得到a2=b2+c2-2bccosA.同法：b2=a2+c2-2bccosBc2=a2+b2-2abcosC上述向量法证明正（余）弦定理，不必去区分锐角、钝角、直角三角形，从而大大简化了证明过程，因而值得介绍注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
余弦定理的十种证明方法
余弦定理的十种证明方法余弦定理是解决任意三角形的重要定理之一，可以用来求解三角形的边长、角度等问题。
下面将介绍十种证明余弦定理的方法。
1.平面向量法：设三角形的三边向量分别为a、b、c，则有a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC。
将这些公式转化为三角形的边长形式即为余弦定理。
2.向量的模长法：设向量a、b、c的模长分别为A、B、C，夹角分别为α、β、γ，则有A²=B²+C²-2BC*cosα，B²=A²+C²-2AC*cosβ，C²=A²+B²-2AB*cosγ。
令边长等于向量的模长，将这些公式转化为三角形的边长形式即为余弦定理。
3.正弦定理扩展法：在一个三角形的条边上延长一边，并在延长边上取一点，使得三角形分为两个相似三角形。
利用相似三角形的关系可以推导出余弦定理。
4.科学结算法：这种方法将余弦定理看作三角形面积公式的一种特殊情况。
通过证明三角形的面积公式和余弦定理是等价的，就证明了余弦定理的正确性。
5.高中数学综合证明法：利用高中教材中的已知定理和公式，如三角形内角和定理、三角形的面积公式等，可以通过一系列的推导和变形，最终得到余弦定理。
6.解析几何法：将三角形的顶点与坐标系关联，根据顶点的坐标，可以得到三角形的边长、角度等信息。
通过求解三角形的边长和角度，可以得到余弦定理。
7.直角三角形法：将三角形分解为两个直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理，可以推导出余弦定理。
8.球面三角形法：在球面上考虑三角形的问题，利用球面三角形的性质和球面上的几何关系，可以推导出余弦定理。
9.微积分法：将三角形分解为一组小三角形，并使用微积分的方法求解这些小三角形的边长和角度。
余弦定理的证明及其应用
知识篇知识结构与拓展高二数学2020年11月申孝址姦浬化余"定理％&明及其应用■河南省孟津县第一高级中学赵剑涛（特级教师）余弦定理是解三角形中最重要的定理之b2+c2—a2—■，在高考题中出现频率非常高，四川省高考2bc°题曾直接考查余弦定理的证明。
也即a2=b2+c2—2b ccos A，证毕# -、余弦定理的证明证法三：建立直角b人教版教材运用向量法对余弦定理进行坐标系，如图2#A推导证明，很好地体现了向量运算工具的作贝U A(0,0),B(c,\用，这里给出其他证明方法供大家参考。
0%,C(b cos A,b s1A%#/\证法一：在+ABC中，由正弦定理可得由两点间的距离公井a b c c式得a2=BC2=(c—sin)sin B sin C sin()+B%%b cos A%2+(b s1A%2#图2贝U b s1)=a s1B；%也即a2=b2+c2—2b ccos A，证毕#c s1)=a s1()+B%=a s1A co s B+证法四：以C为圆心，a co s A s1B#②CA的长为半径作圆，如图将①式代入②式，可得a co s B=c—3#0b cos A#③直线BC与圆交于点Y丿将①，③平方相加可得：D/，延长AB交圆于F,a2=(c—b co s A%2人延长AC交圆于G,连接图3+(b s1A%2=b2+c2—/°FG#2bc co s A，证毕#贝U AF=2b cos A,BF=2b cos A—c#证法二：如图1,过\由相交弦定理可得BA•BF=BD•点A作AD丄BC,交BC BE，艮卩c•(2b cos A—c%=(b+a)•(b—于点D，则在Rt A ABD養a%,a2=b2+c2―2bc cos A,证毕#bd图-中,s1/BAD=A*,二、余弦定理的应用余弦定理在解三角形中至关重要，可以ADco s/BAD=A*#推导出三角形中很多结论，如亠,CD 1.两边之和大于第三边，两边之差小于在Rt+ACD中，s1/CAD=ac,第三边；AD2.三角形内角和等于180A；co s/CAD#A C3.勾股定理；由co s A=co s(/BAD+/CAD%=14.中线长公式—(三/2(b2+c2)—a2 co s/BAD•co s/CAD―s1/BAD•s1/C A D，得：—b=1/2(a2+c2)-b,—c=AD AD BD CD zco s A A B•AC AB*AC1可/2(a2+b2%—c2;AD2—BD•CDbc5.高线长公式h a=2AD2—2BD•CD2—3•(3—a%•(—b%•(3—-c%,h b= 2bc ac2—BD2+b2—CD2—2BD•CD22bc亍3•(3—a%•(3—b%•(3—bc%,h c=知识篇知识结构与拓展高二数学2020年11月中孝生皋捏化a+b+c26,海伦公S+ABC/-$—a)$—b)$—c)，其中a+b+c2式余弦定理在高考中是常考知识点，常与其他知识相结合进行考查#题目：(2020年全国新高考！卷第17题)在①a c=-3!②c71A=3,③c=-3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中#若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中由①a c=/—!解得a=-3,b=c=1#因此，选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1#方案二：选条件②#由C=6和余弦定理得,a H b C h-3。
余弦定理的证明方法大全
余弦定理的证明方法大全余弦定理是解析几何中常用的定理，用于计算三角形中一个角的余弦值。
下面将介绍十种常见的余弦定理证明方法。
1.方法一：向量法证明余弦定理我们假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，以向量AB和AC为两条边，设向量AB为a，向量AC为b。
根据向量的定义，可以得出向量AB与向量AC的夹角θ。
那么，根据向量的内积公式，可以得到：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。
由此可得余弦定理的向量形式：c^2 = ，a，^2 + ，b，^2 - 2，a，b，cosθ2.方法二：平面向量法证明余弦定理我们可以将三角形的三个顶点A、B、C的坐标表示为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
设向量AB为a，向量AC为b。
根据向量的定义，可以得出向量AB与向量AC的夹角θ。
那么，根据向量的模长和夹角的余弦值的关系，可以得到：cosθ = (a·b)/(，a，b，)将向量的定义带入上式，可得余弦定理的平面向量形式：c^2=，a，^2+，b，^2-2a·b3.方法三：直角三角形法证明余弦定理假设ΔABC是一个直角三角形，且∠B为直角。
根据勾股定理，可以得到：a^2=b^2+c^2将上式改写为：c^2=a^2-b^24.方法四：海伦公式证明余弦定理我们知道，海伦公式可以用于计算三角形的面积。
设ΔABC的三条边分别为a，b，c，半周长为s，面积为S。
那么，根据海伦公式可以得出：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))将面积的表达式展开，再利用ΔABC的面积公式，可得余弦定理的表达式。
5.方法五：向量叉乘法证明余弦定理我们可以使用向量的叉乘来计算三角形的面积。
设三角形的三个顶点A、B、C的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据向量的叉乘公式，可以得到：2S=，AB×AC展开上式，并利用向量模长的定义，可以得到余弦定理的表达式。
余弦定理的八种证明方法
余弦定理的八种证明方法余弦定理是解决三角形中两边和夹角之间关系的重要定理之一、下面将介绍八种证明余弦定理的方法。
1.向量法证明：假设三角形的三个顶点为A、B、C，它们所对的角为a、b、c，相应的边分别为a、b、c，连接AB、AC，并设向量AB为向量a，向量AC为向量b。
则根据向量的加法，可以得到向量OB加向量OC等于向量AC，即向量OC等于向量AB-向量AC。
利用向量的点积，可以得到OC的模平方等于AB的模平方加上AC的模平方减去2次AC与AB的夹角的余弦值与AB、AC的模的积的乘积，即OC的模的平方等于AB的模的平方加上AC的模的平方减去2次AC与AB的夹角的余弦值与AB、AC的模的乘积。
将a、b、c、A、B、C表示为边和角的符号形式，即可得到余弦定理。
2.直角三角形法证明：假设三角形中角C为直角，即C=90°，则根据勾股定理，可以得到AB的平方等于AC的平方加上BC的平方。
将AB、AC、BC分别表示为a、b、c，则可得到a的平方等于b的平方加上c的平方。
3.直线法证明：利用三角形内部的三角形两边之和大于第三边的性质，可以得到AB加上AC大于BC、AB加上BC大于AC、AC加上BC大于AB。
设角B等于a、角A等于b、角C等于c，则上述不等式可以表示为cosc大于cosa、cosc大于cosb、cosa加cosb大于cosc。
将这些不等式利用三角函数的性质进行推导，可以得到余弦定理。
4.面积法证明：假设三角形的三个顶点为A、B、C，它们所对的边分别为a、b、c，面积为S。
将S表示为a、b、c的函数，利用海伦公式，可以得到S的平方等于s(s-a)(s-b)(s-c)，其中s为周长的一半。
将这个等式利用三角函数的性质化简，即可得到余弦定理。
5.解析几何法证明：设A、B、C的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，则根据距离公式，可以得到AB的平方等于(x2-x1)的平方加上(y2-y1)的平方。
余弦定理的三种证明
余弦定理的三种证明余弦定理是解决三角形中边与角之间关系的一个重要定理。
下面将介绍三种不同的证明方法。
一、平面几何法证明：对于任意三角形ABC，设边长分别为a，b，c，对应的内角为A，B，C。
假设以A点为圆心，AC为半径作一个圆，交BC于D点。
连接BD。
根据圆内切线与切线的定理可知，AB^2=AD*AC(1)。
由于AC = 2RsinA，其中R为三角形的外接圆半径，所以(1)式可以得到AB^2 = 2RsinAD = 2R*DC*sinA (2)。
同样地，假设以B点为圆心，BC为半径作一个圆，与AC交于E点，连接AE。
根据圆内切线与切线的定理可知，AB^2=AE*AD(3)。
由于AE = 2RsinB，所以(3)式可以得到AB^2 = 2R*DE*sinB (4)。
由于(2)式和(4)式中的AB^2相等，所以2R*DC*sinA = 2R*DE*sinB。
简化得DC*sinA = DE*sinB，即b*sinA = c*sinB。
同理，也可以证明a*sinB = c*sinC，a*sinC = b*sinA。
综上所述，可得a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA，即余弦定理。
二、解析几何法证明：设A点坐标为(0, 0)，B点坐标为(b, 0)，C点坐标为(c*cosA,c*sinA)。
根据两点间距离的公式可知，AB^2 = b^2，AC^2 = c^2*cos^2A +c^2*sin^2A = c^2又根据两点间距离的公式可知，BC^2 = (c*cosA - b)^2 + (c*sinA- 0)^2 = b^2 - 2bc*cosA + c^2 - b^2*sin^2A = b^2 + c^2 -2bc*cosA。
由于AB^2 = AC^2 + BC^2，所以b^2 = c^2 + b^2 - 2bc*cosA，即余弦定理。
三、向量法证明：设向量AB为a，向量AC为b，设向量AB与向量AC之间的夹角为θ。
用向量证明余弦定理
余弦定理是一种用于计算三角形边长和夹角的关系的定理。
下面我将用向量的方法来证明余弦定理。
考虑一个三角形ABC，其中边长分别为a，b，c，对应的夹角为A，B，C。
假设向量AB、AC、BC分别表示边AB、AC、BC的方向和长度。
根据向量的定义，可以表示向量AB为向量B - A，向量AC为向量C - A。
利用向量的减法和长度的定义，可以得到以下关系：AB = B - AAC = C - A根据向量的内积定义，可以计算向量的长度平方：|AB|^2 = AB ·AB= (B - A) ·(B - A)= B ·B - 2A ·B + A ·A= b^2 - 2A ·B + a^2同理，可以得到：|AC|^2 = c^2 - 2A ·C + a^2另一方面，根据向量的内积和余弦定义，可以得到：A ·C = |A| |C| cos(B)A ·B = |A| |B| cos(C)代入上述等式，可以得到：b^2 - 2A ·B + a^2 = c^2 - 2A ·C + a^2 + 2|A| |B| cos(C) - 2|A| |C| cos(B)化简上式，可以得到：b^2 = c^2 + a^2 - 2|A| |C| cos(B)这就是余弦定理的向量形式。
通过向量的计算和几何解释，我们得到了三角形边长和夹角之间的关系。
需要注意的是，在证明过程中，我们使用了向量的内积、长度定义和减法等基本性质。
这个证明过程基于向量的运算，展示了余弦定理的一个推导。
余弦定理的证明方法
余弦定理的证明方法篇一：余弦定理的六种证法余弦定理的六种证法法一(平面几何)：在△ABC中，已知AC?b,BC?a,及?C，求c。
过A作AD?BC于D，是AD＝ACsinC?BCsinC，CD?ACcos?bcosc,C在Rt?ABD中，AB2?AD2?BD2?(bsinc)2?(a?bcosc)2?a2?b2?2abcosc，法二（平面向量）：2????????????2????2??????? ABAB(ACBC)(ACBC)AC2ACBCBCAC2|AC||BC| 2 22222cos(180?B)?BC?b?2abcosB?a，即：c?a?b?2abcosc?法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．法四（利用正弦定理）：先证明如下等式：sin证明：sin22A?sin22B?sinC?2sinAsinBcosC ⑴2A?sin2B?sinC?1?cos2A212?1?cos2B2?1?cos2C222???coo2sA?cos2B??1?cos2CsA?B?co?sA?B??cosC??co??cosC?co?sA?B??co?sA?B?? ?2sinAsinBcosC故⑴式成立，再由正弦定理变形，得?a?2RsinA??b?2RsinB?c?2RsinC?(2)结合⑴、(2)有a?b?c?4R2222?sinA?sinB?sinC?222?4R?2sinAsinBcosC?2abcosC.2即 c?a?b?2abcosC.同理可证 a?b?c?2bccosA；b?c?a?2cacosB.222222222法五（用相交弦定理证明余弦定理）:如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c。
三角形余弦定理公式及证明_方法是什么
三角形余弦定理公式及证明_方法是什么什么是三角形余弦定理三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
三角形余弦定理的公式对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a2=b2+c2-bc·cosAb2=a2+c2-ac·cosBc2=a2+b2-ab·cosC也可表示为：cosC=(a2+b2-c2)/abcosB=(a2+c2-b2)/accosA=(c2+b2-a2)/bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。
要小心余弦定理的这种歧义情况。
三角形余弦定理的证明平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cos θ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)(以上粗体字符表示向量)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC即cosC=(a2+b2-c2)/2__a__b同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
平面几何证法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB__c，AD=sinB__c，DC=BC-BD=a-cosB__c根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2b2=(sinB__c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2b2=c2+a2-2accosBcosB=(c2+a2-b2)/2ac高中必背的数学公式(一)两角和公式1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA2、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB3、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)4、ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)(二)倍角公式1、cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A2、tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgA(三)半角公式1、sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))4、ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))(四)和差化积1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2、2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)3、sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)4、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB5、ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB(五)几何体表面积和体积公式1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高)3、正方体：表面积：S=6a2,体积：V=a3(a-边长)4、长方体：表面积：S=2(ab+ac+bc)体积：V=abc(a-长，b-宽，c-高)5、棱柱：体积：V=Sh(S-底面积，h-高)6、棱锥：体积：V=Sh/3(S-底面积，h-高)7、棱台：V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积，S2下底面积，h-高)8、拟柱体：V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高)9、圆柱：S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h(r-底半径，h-高，C—底面周长，S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积)10、空心圆柱：V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径，r-内圆半径，h-高)11、直圆锥：V=πr^2h/3(r-底半径，h-高)12、圆台：V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径，R-下底半径，h-高)13、球：V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径，d-直径)14、球缺：V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径)15、球台：V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径，r2-球台下底半径，h-高)16、圆环体：V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径)提高数学成绩高效方法课后一分钟回忆及时复习数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。
余弦定理的证明方法四种
余弦定理的证明方法四种方法一：向量法文章一朋友们，今天咱们来聊聊余弦定理的证明，咱们先说用向量法怎么证明。
咱们先画个三角形 ABC，顶点分别是 A、B、C。
然后咱们设向量AB 是 c，向量 BC 是 a，向量 CA 是 b。
那向量 AB 和向量 AC 的数量积就等于 AB 的模长乘以 AC 的模长再乘以它们夹角的余弦值。
也就是c·b = |c|×|b|×cos(π A) ，因为夹角是π A 嘛。
然后展开这个数量积，c·b = |c|×|b|×(cosA) 。
又因为c·b = |c|×|b|×(cosA) = cx×bx + cy× ，这里的x、y 是向量的坐标。
把 |c| = |b a| 代入，然后两边平方，一顿操作之后，就能得到a² = b² + c² 2bc×cosA 。
同样的道理，咱们能证明出b² = a² + c² 2ac×cosB ，c² = a² + b² 2ab×cosC 。
咋样，向量法证明余弦定理是不是还挺简单易懂的？文章二嗨，大家好！今天咱们来搞明白用向量法证明余弦定理。
想象一下有个三角形 ABC，三个顶点在那呆着呢。
咱们弄出向量来，AB 叫 c，BC 叫 a，CA 叫 b 。
向量这东西相乘有讲究，AB 和 AC 相乘，就是 c 和 b 相乘，等于它们长度乘上夹角的余弦。
但注意哦，这个夹角是π A ，所以c·b = |c|×|b|×cos(π A) ，这就等于|c|×|b|×cosA 。
再仔细看看，c·b 还能写成坐标形式，就是 c 的横坐标乘 b 的横坐标加上纵坐标乘纵坐标。
而且 |c| 其实就是 |b a| ，把这个带进去平方一下，算一算，嘿，就出来a² = b² + c² 2bc×cosA 啦！用同样的思路，其他两个式子b² = a² + c² 2ac×cosB 和c² = a² + b² 2ab×cosC 也能得出来。
三面角余弦定理证明
三面角余弦定理证明一、三面角余弦定理的陈述。
设三面角O - ABC，∠ AOB=α，∠ BOC = β，∠ COA=γ，二面角A - OC - B为θ，则有cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosθ。
二、向量法证明。
（一）建立向量关系。
1. 设→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c，且|→a| = 1，|→b| = 1，|→c| = 1（单位向量不影响角度关系的计算）。
2. 根据向量点积的定义，→a·→b=|→a||→b|cosα=cosα，同理→b·→c=cosβ，→c·→a=cosγ。
（二）计算向量关系。
1. 我们知道→b在平面OAC上的投影向量为→b'。
- 根据向量投影的性质，→b' = (→b·→c)→c+(→b·→a)→a。
2. 计算cosα=→a·→b- 由于→b与→b'的夹角为θ（二面角A - OC - B）。
- 根据向量点积的分配律→a·→b=→a·→b'。
- 将→b' = (→b·→c)→c+(→b·→a)→a代入→a·→b'得：-→a·→b'=→a·[(→b·→c)→c+(→b·→a)→a]=(→b·→c)(→a·→c)+(→b·→a)(→a·→a)。
- 因为|→a| = 1，→a·→a=1，→a·→c=cosγ，→b·→c=cosβ，→b·→a=cosα。
- 所以cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosθ（这里sinβsinγ是通过向量运算关系化简得出，由于→b和→c为单位向量，sinβ=√(1 - cos^2)β，sinγ=√(1-cos^2)γ，在向量运算过程中最终得到上述等式关系）。