【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.3 两角和与差的正切课后知能检测新人教B版选修4-5

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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦课后知能检测新人教B版选修4-5

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦课后知能检测新人教B 版选修4-5一、选择题1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为( ) A ．－32B.32C.22D ．－22【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 【答案】 B2．若α∈(0，π)，且cos(α＋π3)＝45，则cos α等于( )A.4－3310 B.－4－3310 C.4＋3310D.－4＋3310【解析】 ∵α∈(0，π)且cos(α＋π3)＝45，∴sin(α＋π3)＝35.cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝45³12＋35³32＝4＋3310. 【答案】 C3．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于( )A.34 B ．－34C.45D ．－45【解析】由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 A4．设α∈(0，π2)，sin α＝35，则2cos(α＋π4)＝( )A.15 B ．－15C.25D ．－25【解析】 ∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45，∴2cos(α＋π4)＝2(cos αcos π4－sin αsin π4)＝cos α－sin α＝45－35＝15.【答案】 A5．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝(1－32)2＋(12)2，∴cos(α－β)＝32. 【答案】 D 二、填空题6．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°－20° －sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.【答案】37．(2013²成都高一检测)若cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，则cos(θ＋π4)＝________.【解析】 ∵cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，∴sin θ＝－513，∴cos(θ＋π4)＝cos θcos π4－sin θsin π4＝－1213³22－(－513)³22＝－7226.【答案】－72268．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，则α－β的值为________．【解析】 ∵a ⊥b ，∴a ²b ＝0，即cos αcos β＋sin αsin β＝0，从而cos(α－β)＝0. ∵α，β∈(0，π)，∴－π＜α－β＜π， ∴α－β＝π2或－π2.【答案】 ±π2三、解答题9．已知α、β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，求α＋β的值．【解】 ∵α，β为锐角，∴sin α＝310，sin β＝25， ∴cos(α＋β)＝cos α²cos β－sin α²sin β＝110²15－310²25＝－550＝－22. 又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝3π4.10．(2013²广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 【解】 (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝2cos π4＝2³22＝1. (2)因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，cos θ＝35，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝2³⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝cos θ＋sin θ＝35－45＝－15.11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.【解】 (1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． ∵|a －b |＝255，∴ cos α－cos β 2＋ sin α－sin β 2＝255，即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β ＝35³1213－45³(－513)＝5665. 又0<α<π2，∴sin α＝1－cos 2α＝3365.。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学1.2.3导学的四则运算法则课后知能检测新人教b版选修2-2

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2.3 导学的四则运算法则课后知能检测新人教B版选修2-2一、选择题1．(2013·深圳高二检测)函数y＝cos (－x)的导数是( )A．cos x B．－cos xC．－sin x D．sin x【解析】y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x.【答案】 C2．若f(x)＝1－x2sin x，则f(x)的导数是( )A.－2x sin x－－x2xsin2xB.－2x sin x＋－x2xsin2xC.－2x sin x＋－x2sin xD.－2x sin x－－x2sin x【解析】f′(x)＝－x2x－－x2xsin2x＝－2x sin x－－x2cos xsin2x.【答案】 A3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9 D．15【解析】∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，令x＝0，得y＝9.【答案】 C4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y ＝f(t)＝10t，则在时刻t＝40 min的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14 mm/min 【解析】 f ′(t )＝1210t ·10＝510t ， ∴f ′(40)＝5400＝14. 【答案】 D 5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2【解析】设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1＝ln(x 0＋a )．又由＝1x 0＋a＝1，解得x 0＋a ＝1， ∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2.【答案】 B二、填空题6．(2013·广东高考)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.【解析】因为y ′＝2ax －1x，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12. 【答案】 127．已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ， ∴f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 【答案】－ 28．曲线y ＝e－2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积是________．【解析】 ∵y ′＝－2e －2x ，∴y ′|x ＝0＝－2，切线方程为y ＝－2x ＋2.∴所围成的三角形的三个顶点为(0,0)，(1,0)，(23，23)． ∴S ＝12×1×23＝13. 【答案】 13三、解答题9．已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x 1＋x，x ≥0，其中a ＞0，若f ′(1)＝0，求a 的值．【解】 f ′(x )＝[ln(ax ＋1)]′＋(1－x 1＋x)′ ＝a ax ＋1＋－2＋x 2，∴f ′(1)＝aa ＋1－12＝0， ∴a ＝1. 因此实数a 的值为1.10．若函数f (x )＝e x x在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．【解】由于f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e c c，又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x x －x 2，∴f ′(c )＝e c c －c 2.依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e cc －c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12. 11．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解】 (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12， ①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74. ② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x. (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二章统计综合检测新人教b版必修3

综合检测(二)第二章统计(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在一次数学测试中，有考生1 000名，现想了解这1 000名考生的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，总体是指( ) A．1 000名考生B．1 000名考生的数学成绩C．100名考生的数学成绩D．100名考生【解析】总体是1 000名考生的数学成绩，样本是100名考生的数学成绩．【答案】 B2．在下列各图中，两个变量不具有任何关系的是( )A．①②B．①③C．②④D．④【解析】①具有函数关系；②③具有相关关系；④无关系．【答案】 D3．现有60瓶矿泉水，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样法确定所抽的编号分别为( )A．3,13,23,33,43,53B．2,14,26,38,42,56C．5,8,31,36,48,54D．5,10,15,20,25,30【解析】系统抽样也是等距抽样．【答案】 A4．(2013·安徽高考)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【解析】 A ，不是分层抽样，因为抽样比不同． B ，不是系统抽样，因为随机询问，抽样间隔未知．C ，五名男生成绩的平均数是x ＝86＋94＋88＋92＋905＝90，五名女生成绩的平均数是y ＝88＋93＋93＋88＋935＝91，五名男生成绩的方差为s 21＝15(16＋16＋4＋4＋0)＝8，五名女生成绩的方差为s 22＝15(9＋4＋4＋9＋4)＝6，显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差．D ，由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩．【答案】 C5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①.在丙地区有20个特大型销售点，要从中抽7个，调查其销售收入和售后服务情况．记这项调查为②.则完成①②这两项调查应采用的抽样方法依次为( )A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法【解析】调查①中，由于四个地区产品销售情况有较大差别，故应用分层抽样法；调查②中总体与样本容量较小，故可用简单随机抽样法．【答案】 B6．(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )C ．02D ．01【解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.【答案】 D7．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为32、0.25，则n 的值是( )A ．240B ．160C ．128D ．324【解析】由32n＝0.25得n ＝128.【答案】 C8．(2013·重庆高考)如图1是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )图1A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6【解析】由题意知，这10个数据落在区间[22,30)内的有22、22、27、29，共4个，所以其频率为410＝0.4，故选B.【答案】 B9．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队平均每场进球数为 3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，则下列说法中正确的个数为( )①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】由于甲队平均每场进球数远大于乙队，故①正确，但甲队标准差太大，故④正确．而乙队标准差仅为0.3，故②，③正确．从而知四个说法均正确，选D.【答案】 D10．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20 000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图2所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入[3 000,3 500](元)段中抽取了30人，则这20 000人中共抽取的人数为( )图2A ．200B ．100C ．20 000D ．40【解析】由题意得，月收入在[3 000,3 500](元)段中的频率是0.0003×500＝0.15，该收入段的人数是20 000×0.15＝3 000，从中抽取了30人，说明从每100人中抽取1人，故共抽取20 000100＝200(人)．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．天津市2013年家具销售额y 万元与新建住宅面积x ×103m 2呈线性相关，其回归方程为y ^＝1.190 3x ＋185.109 3，若当年新建成的住宅面积为350×103m 2，则当年的家具销售额约为________万元．【解析】当x ＝350时，y ^＝1.190 3×350＋185.109 3≈601.7万元．【答案】 601.712．(2013·广州高一检测)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．【解析】抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12.【答案】 1213．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如图3所示：根据上图，对这两名运动员的成绩进行．比较，下面四个结论中，正确的是________(填序号)①甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 ②甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 ③甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 ④甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【解析】对①，甲运动员得分的极差为29，而乙运动员得分的极差为16，故①正确；对②，甲得分的中位数为30，而乙得分的中位数为26，故③正确；对③，由茎叶图知甲的平均值大于乙的平均值，故②正确；对④，从茎叶图中知乙更稳定，④错误．故选①②③.【答案】 ①②③14．为了了解商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客购鞋的尺寸，将所有数据整理后，画出频率分布直方图，如图4所示，已知从左至右前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，则抽取的顾客人数是________．图4【解析】前三组频率和为1－0.075－0.175＝0.75.又前三组频率之比为1∶2∶3，所以第二组频率为26×0.75＝0.25.又知第二组频数为10，则100.25＝40(人)，即为所抽样本人数．【答案】 40三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2013·课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2．3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1．4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2．7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【解】 (1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制茎叶图如图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．16．(本小题满分12分)从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，8 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比； (4)估计成绩在[70,100)分的学生所占总体的百分比．【解】 (1)频率分布表如下：(2)(3)由频率分布表可知成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比是30%.(4)由频率分布表可估计成绩在[70,100)分的学生所占总体的百分比是0.3＋0.24＋0.16＝0.7＝70%.17．(本小题满分13分)某校为了了解甲、乙两班的英语学习情况，从两班各抽出10名学生进行英语水平测试，成绩如下(单位：分)：甲班：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74 乙班：90 76 86 81 84 87 86 82 85 83 (1)求两个样本的平均数； (2)求两个样本的方差和标准差； (3)试分析比较两个班的学习情况．【解】 (1)x －甲＝110(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2，x －乙＝110(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84.(2)s 2甲＝110[(82－83.2)2＋(84－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝26.36，s 2乙＝110[(90－84)2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝13.2，∴s 甲＝26.36≈5.13，s 乙＝13.2≈3.63.(3)由于x －甲<x －乙，则甲班比乙班平均水平低．由于s 甲>s 乙，则甲班没有乙班稳定． ∴乙班的总体学习情况比甲班好．18．(本小题满分13分)测得10对某国父子身高(单位：英寸)如下：(2)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．40 366.1340 331.76≈1.0.a ^＝y －b ^x ≈67.01－1.0×66.8≈0.21.故所求的回归直线方程为y ^＝x ＋0.21. (2)当x ＝73时，y ^＝1.0×73＋0.21＝73.21.所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为73.21英寸．。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二章解三角形教案北师大版必修5

第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理1．1 正弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过对任意三角形边长和角度的关系探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．2．过程与方法让学生从已有的几何知识出发，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的能力．●重点难点重点：正弦定理的探索的证明及其应用．难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数．(教师用书独具)●教学建议已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数，此类问题有两个、一个、零个的情况，需要进行讨论，可做如下处理：在△ABC中，已知a，b和A时三角形解的情况：A为锐角A为钝角或直角图像关系式 ①a ＝b sin A②a ≥b b sin A<a <b a <b sin Aa >ba ≤b解的个数一解两解无解一解无解●教学流程创设问题情境，提出了2个问题⇒通过引导学生回答所提问题，理解正弦定理及三角形面积公式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用正弦定理解三角形问题⇒通过例2及变式训练，使学生掌握三角形面积公式的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握判断三角形的形状问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第32页)课标解读1.通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，了解其向量证法(难点)．2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).正弦定理【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，试问a sin A ，b sin B ，csin C 的值相等吗？为什么？对于一般的三角形而言，a sin A ，b sin B ，csin C的值是否相等？【提示】在Rt △ABC 中，∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c且C ＝90°， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.对一般的三角形而言，也相等．语言表述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号表示 asin A ＝bsin B ＝csin C比值的含义a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R(其中R 为△ABC 的外接圆半径)变形(1)a ＝2R sin__A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C.作用揭示了三角形边、角之间的数量关系三角形面积公式【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等吗？猜想一下在一般三角形中是否成立？【提示】 ∵C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝12ab sin C ，设边c 上的高为h ，则sin B ＝ha ，sin A ＝h b，∴S △ABC ＝12hc ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，∴在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等．猜想在一般三角形中也成立．三角形ABC 的面积：S ＝12ab sin__C＝12bc sin__A ＝12ac sin__B ．(对应学生用书第32页)利用正弦定理解三角形在△ABC 中，(1)若A ＝45°，B ＝30°，a ＝2，求b ，c 与C ； (2)若B ＝30°，b ＝5，c ＝53，求A 、C 与a .【思路探究】 (1)已知A ，B ，如何求C ？在正弦定理中b ，c 分别怎样表示？ (2)已知B ，b ，c 运用正弦定理可先求出哪个量？【自主解答】 (1)由三角形内角和定理，得：C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 30°sin 45°＝2×1222＝2，sin 105°＝sin(60°＋45°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 45°＝2×6＋2422＝3＋1. (2)∵b ＝5，c ＝53，B ＝30°， ∴c ·si n B <b <c ， ∴△ABC 有两解，由正弦定理得：sin C ＝c sin B b ＝32， ∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，易得a ＝10；当C ＝120°时，A ＝30°，此时a ＝b ＝5.1．已知两角与任一边解三角形，可先利用三角形内角和定理求第三个角，再利用正弦定理求出两未知边．2．已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，判断三角形解的个数，有以下两种方法：法一作图判断．作出已知角A ，边长b ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，与射线AB 的公共点(除去顶点A )的个数即为三角形解的个数．法二根据三角函数的性质来判断．由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ，当b sin A a >1时，无解；当b sin Aa＝1时，有一解；当b sin Aa<1时，如果a ≥b ，即A ≥B ，则B 一定为锐角，有一解；如果a <b ，即A <B ，有两解．本例(2)中，若B ＝60°，b ＝43，a ＝42，如何求解？【解】由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得 sin A ＝a sin Bb ＝42sin 60°43＝22，又a ＜b ，∴A ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°.∴c ＝b sin C sin B ＝43sin 75°sin 60°＝43×2＋6432＝2(2＋6)．三角形的面积问题在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．【思路探究】 (1)先寻找角A 、B 间的关系，再求sin A. (2)先由正弦定理求BC ，再代入三角形的面积公式求解．【自主解答】 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B ，0＜A ＜π4.故cos 2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin Asin BAC ＝32，又C ＝π2＋A ，∴sin C ＝cos A ＝63.所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A＝3 2.1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．2．三角形面积计算公式(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a 、h b 、h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．已知△ABC 中，AB →·AC →<0，S △ABC ＝154，|AB →|＝3，|AC →|＝5，则∠BAC ＝( ) A ．30° B ．120° C ．150° D ．30°或150° 【解析】由S △ABC ＝154，得12×3×5sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又由AB →·AC →<0，得∠BAC >90°， ∴∠BAC ＝150°. 【答案】 C判断三角形的形状已知△ABC 中，b sin B ＝c sin C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．【思路探究】利用正弦定理的变形(如a ＝2R sin A )，将条件中的角化为边，或将边化为角，从而进行判断．【自主解答】法一由b sin B ＝c sin C 得，2R sin 2B ＝2R sin 2C ，即sin 2B ＝sin 2C. ∵0<B <π，0<C <π， ∴sin B >0，sin C >0. ∴sin B ＝sin C ，∴B ＝C.又sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，A ＝π－(B ＋C )＝π－2B ， ∴sin 22B ＝2sin 2B. 即4sin 2B ·cos 2B ＝2sin 2B. ∴cos 2B ＝12.由A ＝π－2B ∈(0，π)知，0<B <π2.∴cos B ＝22，∴B ＝π4，A ＝π2. 故△ABC 是等腰直角三角形．法二由b sin B ＝c sin C 得：b ·2R sin B ＝c ·2R sin C ， ∴b 2＝c 2，b ＝c .由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得，(2R sin A )2＝(2R sin B )2＋(2R sin C )2， ∴a 2＝b 2＋c 2，结合b ＝c 知，△ABC 为等腰直角三角形．1．本题已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定．2．在正弦定理的推广中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 是边化角的主要工具．其他变形还有角化边，如sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，借助正弦定理可以进行三角形形状的判断，三角恒等式的证明．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．【解】由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)，得 4R 2sin 2A sinB cos B ＝4R 2sin 2B sin Acos A ，sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B. ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B. ∴A ＋B ＝π2或A －B ＝0.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(对应学生用书第34页)解三角形时忽视讨论致误在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求△ABC 的面积．【错解】由正弦定理得： sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32， ∴B ＝60°.故C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°，在Rt △ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6，故S △ABC ＝12ab ＝12×23×6＝6 3.【错因分析】上述解答错误之处在于在利用正弦定理求得sin B ＝32后直接得出B ＝60°，未对解的情况作出判断和讨论，从而导致丢解．【防范措施】遇到已知两边及其中一边对角解三角形时一定要讨论．【正解】由正弦定理得， sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32. 由b ＝6，a ＝23知，b >a ，∴B >A ＝30°. ∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B ＝90°. ∴S △ABC ＝12ab ＝12×6×23＝6 3.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝30°. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×23×sin 30°＝3 3.综合以上得△ABC 的面积为63或3 3.1．应用正弦定理可解决两类三角形问题：(1)已知三角形两角及一边；(2)已知两边及其中一边的对角． 2．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．3．正弦定理揭示了三角形中边、角之间的数量关系，可以借助三角形外接圆的半径，用边表示角或用角表示边，从而在解决有关问题时，可利用其“化边为角”或“化角为边”．(对应学生用书第34页)1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b cos A 【解析】由正弦定理得a sin A ＝bsin B，∴a sin B ＝b sin A.【答案】 C2．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．4 3D ．4 5【解析】由三角形内角和定理知B ＝180°－A －C ＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝8·sin 30°sin 45°＝4 2.【答案】 B3．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________．【解析】根据正弦定理，a sin A ＝csin C，由3a ＝2c sin A ，得3sin A ＝2sin C sin A ， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角，∴C ＝π3. 【答案】π34．在△ABC 中，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C. 【证明】由正弦定理得a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ab ＝a b sin 2B ＋basin 2A＝sin A ·sin 2B sin B ＋sin B ·sin 2Asin A＝2(sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ) ＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，故原式成立．(对应学生用书第97页)一、选择题1．在△ABC 中，下列a 与b sin A 的关系正确的是( ) A ．a >b sin A B ．a ≥b sin A C ．a <b sin A D ．a ≤b sin A 【解析】由正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以a ＝b sin Asin B，又因为sin B ∈(0，1]，所以a ≥b sin A. 【答案】 B2．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个【解析】 ∵a sin B ＝102， ∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个．【答案】 B3．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝45°，c ＝6，则△ABC 的面积为( ) A ．9＋3 3 B.9（6－2）2C.9＋332 D.9（6＋2）2【解析】 ∵A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝60°，b ＝c sin Bsin C＝6×2232＝26，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×26×6×6＋24＝9＋3 3.【答案】 A4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【解析】 ∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，故由正弦定理得，sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin(A ＋B )，化简得：cos A (sin B ＋sin C )＝0，又sin B ＋sin C ＞0， ∴cos A ＝0，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．【答案】 D5．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725 D.2425【解析】由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ，所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B＝45.所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 【答案】 A 二、填空题6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________．【解析】由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63.【答案】637．(2013·济南高二检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝180°，且A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝1×sin 60°3＝12，又a <b ，∴A ＝30°.∴C ＝180°－(30°＋60°)＝90°.即sin C ＝1. 【答案】 18．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．【解析】由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形，∴AB ＝2. 【答案】 2 三、解答题9．在△ABC 中，c ＝6，A ＝45°，a ＝2，求b 和B ，C. 【解】 ∵a sin A ＝csin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32. ∵c sin A ＜a ＜c ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1， ∴当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.10．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，判断此三角形的形状．【解】由lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，得sin B ＝22，又B 为锐角， ∴B ＝45°，又a c ＝22，∴sin A sin C ＝22， ∴sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )， ∴sin C ＝sin C ＋cos C ， ∴cos C ＝0，即C ＝90°，故此三角形是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积．【解】设△ABC 中AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . 由tan B ＝3，得B ＝60°， ∴sin B ＝32，cos B ＝12. 又cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，由正弦定理得c ＝b sin Csin B ＝36×22332＝8.又∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝36＋23， ∴三角形面积S △ABC ＝12bc sin A ＝62＋8 3.(教师用书独具)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋12c ＝b ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．【思路探究】 (1)本题可考虑把边化为角，通过寻找三角形角与角之间的关系求解； (2)将周长表示为三角形某内角的函数，通过求函数的值域来求周长的取值范围．【自主解答】 (1)由a cos C ＋12c ＝b 和正弦定理得，sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝23sin B ， c ＝a sin C sin A ＝23sin C ，则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )]＝1＋2(32sin B ＋12cos B )＝1＋2sin(B ＋π6)． ∵A ＝π3，∴B ∈(0，2π3)，∴B ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2，3]．利用正弦定理可以实现边、角互化(1)将边转化为角：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)将角转化为边：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R.已知△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1－c 2a ＝sin （B －C ）sin （B ＋C ），求cosA ＋C2的值．【解】由正弦定理以及sin A ＝sin(B ＋C )，得： 1－sin C 2sin A ＝sin （B －C ）sin A，整理得2sin A －sin C ＝2sin(B －C )， ∴4cos B sin C ＝sin C ，又sin C ≠0， ∴cos B ＝14，∴1－2sin 2B 2＝14，sin B 2＝64， ∴cosA ＋C2＝cos π－B 2＝sin B 2＝64. 趣味材料中国南宋末年数学家秦九韶发现三斜求积公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积．“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积．”若以大斜记为a ，中斜记为b ，小斜记为c ，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：S ＝14[a 2c 2－（a 2＋c 2－b 22）2]，这里a >b >c .1．2 余弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握余弦定理的两种表示形式及余弦定理的向量方法；并会用余弦定理解决基本的解三角形问题．2．过程与方法利用向量数量积推出余弦定理并通过实践演算掌握运用余弦定理解决解三角形问题．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辨证统一．●重点难点重点：余弦定理的发现和证明过程及应用．难点：正、余弦定理与三角函数、三角恒等变换的综合问题．(教师用书独具)●教学建议探究和证明余弦定理的过程既是本节课的重点，也是本节课的难点．学生已具备了勾股定理的知识，即当C＝90°时，有c2＝a2＋b2，作为一般的情况，当C≠90°时，三角形的三边满足什么呢？学生一时很难找到思路．最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试用勾股定理去探究三角形的边角关系．用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合．因此教师在授课时可以适当点拨、启发．鼓励学生大胆的探索．在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加深学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，从而突破本节难重点．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题，结合勾股定理，理解余弦定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握利用余弦定理解三角形问题⇒通过例2及互动探究，使学生掌握、判断三角形形状问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第35页)课标解读1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用(难点)． 2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).余弦定理【问题导思】图2－1－1如图2－1－1，在△ABC 中，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如果C ＝90°，如何求AB 边的长？当C ≠90°，如何用向量的数量积表示AB 边的长？【提示】利用勾股定理求AB 的边长． |c |2＝c·c ＝(a －b )·(a －b )＝a 2－2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C. 余弦定理语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号表示a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C.推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.作用实现三角形边与角的互化.(对应学生用书第35页)利用余弦定理解三角形(1)在△ABC 中，若a ＝1，b ＝1，C ＝120°求c ；(2)已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 各内角的度数．【思路探究】 (1)直接利用余弦定理求解． (2)先根据比值设出各边的长，再利用余弦定理求解．【自主解答】 (1)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋1－2cos 120°＝3， ∴c ＝ 3.(2)∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， ∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋（3＋1）2－426（3＋1）＝22，∴A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋（3＋1）2－62×2×（3＋1）＝12，∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.1．本题(2)关键是根据已知条件设出三边，为使用余弦定理的推论求角创造条件． 2．余弦定理是刻画三角形两边及其夹角的余弦与第三边关系的定理．在余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的任意三个量，便可求得第四个量．(1)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π4，b ＝2，S △ABC＝2，求a .(2)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，求△ABC 中最大角的度数．【解】 (1)因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22c ＝22c ＝2，所以c ＝2 2.根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋8－2×2×22×22＝4，所以a ＝2. (2)∵a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，∴令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝13k (k ＞0)，由b ＜a ＜c ，知C 为△ABC 最大内角，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋3－132×2×3＝－32，又0°＜C ＜180°∴C ＝150°.判断三角形的形状在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．【思路探究】可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．【自主解答】法一由正弦定理得sin C sin B ＝cb ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形．法二因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )，又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B. 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形．1．本题解法一利用了边的关系判断，解法二利用了角的关系判断．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．若将例题中的条件改为“△ABC 中，b ，c 是角B 、C 的对边，且cos 2A 2＝b ＋c 2c”，试判断△ABC 的形状．【解】法一 ∵cos 2A 2＝1＋cos A2且cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝bc. 由正弦定理，得cos A ＝sin B sin C，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二同法一得cos A ＝b c.由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．正、余弦定理的综合应用在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b .【思路探究】先根据正弦定理求出a ，c 的值，再利用余弦定理建立b 的方程求b . 【自主解答】由正弦定理得c a ＝sin C sin A ＝sin 2A sin A ＝2cos A ＝32，又a ＋c ＝10， ∴a ＝4，c ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2－9b ＋20＝0，解得b ＝4或b ＝5. 当b ＝4时， ∵a ＝4，∴A ＝B ，又C ＝2A 且A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝45°与cos A ＝34矛盾，舍去，∴b ＝5.1．本题易忽视检验b ＝4的情况导致出错．2．余弦定理和正弦定理都是解三角形的重要工具，都可以实现三角形中的边角转化．在解决三角形中的综合问题时，要有意识地合理选择，一般情况下，如果条件中含有角的余弦或边的二次式，要考虑余弦定理；若条件中含有角的正弦或边的一次式，则考虑正弦定理．学习时应注意归纳总结正、余弦定理的应用技巧，如公式的正用、逆用以及变形用等，同时牢固掌握内角和定理的运用和三角变换的技巧．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B. 求证：A ＋B ＝120°.【证明】由(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B 可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sinB.由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，∴a 24R 2＋b 24R 2－c 24R 2＝a 2R ·b2R，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°， ∴A ＋B ＝120°.(对应学生用书第37页)转化思想在三角形中的应用(12分)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】可以把角转化为边，也可以把边转化为角来处理．【规范解答】法一由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 得：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C.代入a cos A ＝b cos B ＝c cos C 中，得：2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ＝2R sin C cos C，4分即sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ．10分又∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴A ＝B ＝C. ∴△ABC 是等边三角形.12分法二由余弦定理得a ·2bcb 2＋c 2－a 2＝b ·2ac a 2＋c 2－b 2＝c ·2aba 2＋b 2－c 2，6分∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2. 得a 2＝b 2＝c 2，即a ＝b ＝c .10分∴△ABC 是等边三角形.12分转化也称化归，它是将未知的，陌生的，复杂的问题转为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题解决的数学思想．在解三角形时，若已知条件中含边角共存的关系式时，往往可利用正弦定理或余弦定理实现边角间的互化，从而发现各元素间的关系．1．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具，可解决以下两类问题：(1)已知两边及其夹角，求第三边和其他两角； (2)已知三边求三角．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时，可利用正弦定理或余弦定理转化为边的关系作代数运算，也可转化角的关系，通过三角变换求解．(对应学生用书第37页)1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，C ＝120°，则c 为( ) A.41 B.61 C.41或61 D.21【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝25＋16＋2×5×4×12＝61.∴c ＝61.【答案】 B2．在△ABC 中，若a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则△ABC 的最大角的度数为( ) A ．60° B ．90° C．120° D ．150° 【解析】 ∵c ＞a ＞b ，∴C 是最大角，由余弦定理得：cos C ＝（3＋1）2＋（3－1）2－（10）22×（3＋1）×（3－1）＝8－104＝－12.∴C ＝120°.【答案】 C3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解析】由正弦定理知a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（5k ）2＋（11k ）2－（13k ）22×5k ×11k ＝－23110<0，∴C 为钝角．【答案】 C4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－（b －c ）2bc ＝1时，求A.【解】由a 2－（b －c ）2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(对应学生用书第99页)一、选择题1．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2【解析】在△ABC 中，易知B ＝30°，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4，∴b ＝2. 【答案】 A2．a 、b 、c 是△ABC 的三边，B ＝60°，那么a 2－ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ，所以a 2－ac ＋c 2－b 2＝(a 2＋c 2－ac )－b 2＝b 2－b 2＝0. 【答案】 C3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2【解析】由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， ∴6＝a 2＋2＋2a ，∴a ＝2或－22(舍去)．【答案】 D4．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定【解】由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 24R 2＋b 24R 2＜c 24R2，∴a 2＋b 2＜c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．【答案】 C5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19【解析】由余弦定理的推论cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935，又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝5×7×(－1935)＝－19.【答案】 D 二、填空题6．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )，则A ＝________. 【解析】由(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )得a 2－c 2＝b 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc 与余弦定理b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，比较知cos A ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°7．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________．【解析】 ∵a 是最大边，∴A ＞π3，又a 2＜b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，∴A ＜π2，故π3＜A ＜π2.【答案】 (π3，π2)8．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【解析】在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×(－14)，整理得15b －60＝0.∴b ＝4. 【答案】 4 三、解答题9．已知△ABC 的顶点为A (2，3)，B (3，－2)和C (0，0)，求∠AB C. 【解】 |AB |＝（3－2）2＋（－2－3）2＝26， |BC |＝（0－3）2＋[0－（－2）]2＝13， |CA |＝（2－0）2＋（3－0）2＝13，由余弦定理得cos ∠ABC ＝（13）2＋（26）2－（13）22×13×26＝22，又∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π4.10．a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sinC －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B ·sin C.结合正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0，可化为x 2－9x ＋20＝0，解之得x ＝5或x ＝4. ∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a ＝3.(3)由(1)(2)知，a 2＋c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形．11．(2013·潍坊高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cosA ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【解】 (1)根据正弦定理2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒ 2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理得：7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，代入b ＋c ＝4得bc ＝3，故△ABC 面积为S ＝12bc sin A ＝334.(教师用书独具)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C.【思路探究】本题可考虑把边化为角，通过三角变换寻找等式左、右两边的联系．【自主解答】由余弦定理可知：a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B则a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc ·cos A ＋2ac ·cos B ，整理得：a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c ，又a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C， ∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .【解】法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c2R，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4. 法二由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ， ∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，①由正弦定理，得b c ＝sin Bsin C，又由已知得，sin Bsin C ＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．②由①②得b ＝4.§2三角形中的几何计算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握正、余弦定理解任意三角形的方法，体会正、余弦定理在平面几何计算与推理中的作用．2．过程与方法能过图形的观察、识别、分析、归纳来正确选择正、余弦定理．3．情感、态度与价值观通过本节课的探究，培养学生勇于探索、创新的学习习惯．●重点难点重点：利用正、余弦定理解决三角形中的几何计算．难点：将几何计算转化为解三角形问题．(教师用书独具)●教学建议通过例题的活动探究，要让学生结合图形理解题意，学会分析问题状态，确定合适的求解顺序，明确所用的定理．其次，在教学中还要让学生分析讨论，明确正、余弦定理各自实用的范围．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题理解三角形中的几何计算——长度、角度、面积等⇒通过例1及变式训练，使学生掌握与长度或角度有关的问题的计算⇒通过例2及变式训练，使学生掌握有关面积问题的处理⇒通过例3及变式训练，使学生进一步掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第38页)课标解读1.掌握正、余弦定理解任意三角形的方法(重点)．2．提高分析问题解决问题的能力(难点).三角形中的几何计算【问题导思】图2－2－1如图2－2－1，2011年8月，利比亚战争期间，北约为了准确分析战场形势，由位于相距32a的英法两军事基地C和D，测得卡扎菲的两支精锐部队分别位于A、B两处，且∠ADB＝∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.试问你能根据实例中测量的数据计算卡扎菲这支精锐部队的距离吗？【提示】在△BCD中用正弦定理求出BC，在△ABC中用余弦定理求AB的长．(对应学生用书第38页)与长度或角度有关的问题图2－2－2(2013·中山高二检测)在△ABC 中，已知B ＝30°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，(1)求∠ADC 的大小； (2)求AB 的长．【思路探究】 (1)在△ACD 中已知了AD 、AC 、DC ，可根据余弦定理求∠AD C. (2)在△ABD 中，可用正弦定理求A B.【自主解答】 (1)在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°.(2)由(1)知∠ADB ＝60°，在△ABD 中，AD ＝10，B ＝30°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 30°＝10×3212＝10 3.1．正弦、余弦定理是解三角形常用的两个重要定理，在使用时要根据题设条件，恰当选择定理，使求解更方便、简捷．2．解决此类问题要处理好两个方面：(1)找出已知某边长的三角形，从中筛选出可解三角形；(2)找要求线段所在的三角形，确定所需条件．图2－2－3如图2－2－3所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．【解析】在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝（23）22×2×23＝32，则C ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有ADsin C＝ACsin ∠ADC，∴AD ＝AC ·sin30°sin 45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2. 【答案】 2有关面积问题图2－2－4如图2－2－4所示，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132且AD ＝BD ，求△ABC的面积．【思路探究】先由余弦定理建立方程求CD 的长，再在△ACD 中由正弦定理求sin C ，进而可求△ABC 的面积．【自主解答】设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x . 在△CAD 中，由余弦定理可知 cos ∠CAD ＝（5－x ）2＋42－x 22×4×（5－x ）＝3132，解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知ADsin C＝CDsin ∠CAD，∴sin C ＝AD CD·1－cos 2∠CAD ＝41－（3132）2＝387.∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C＝12×4×5×387＝1547. 即△ABC 的面积为1547.1．本题求三角形面积容易考虑用12×底×高，但高不易求得，应灵活应用三角形面积公式．2．涉及三角形面积问题通常选用S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，这个公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有，所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换，关键是根据题中的条件选择正确的变换方向．图2－2－5如图2－2－5所示，△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，B ＝60°，∠ADC ＝150°，求AC 的长及△ABC 的面积．【解】在△ABC 中，∠BAD ＝150°－60°＝90°， ∴AD ＝BD sin 60°＝2×32＝3，在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ＝(3)2＋12－2×3×1×cos 150°＝7，∴AC ＝7.又∵AB ＝BD cos 60°＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×3×32＝34 3.正、余弦定理的综合应用。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学3.1.4空间向量的直角坐标运算课后知能检测新人教b版选修2

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.4 空间向量的直角坐标运算课后知能检测新人教B 版选修2-1一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( )A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同【解析】因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不对，B 、C 都不对，由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．【答案】 D2．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)、B (2，－5,1)、C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则( )A ．λ＝28B. λ＝－28 C ．λ＝14 D ．λ＝－14【解析】由题意可得AB →＝(－2，－6，－2)， AC →＝(－1,6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝(－2)×(－1)＋(－6)×6＋(－2)(λ－3)＝0.∴λ＝－14.【答案】 D3．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(－4，x ，y )平行，则x ，y 的值分别是( )A ．6和－10B ．－6和10C ．－6和－10D ．6和10 【解析】 ∵a ∥b ，∴2－4＝－3x ＝5y，∴x ＝6，y ＝－10.故选A.【答案】 A4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )则|b －a |的最小值是( ) A.55B.555C.355D.115 【解析】 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝＋t 2＋t －2＋02＝ t －152＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |min ＝355. 【答案】 C5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°(O 为坐标原点)，则λ的值为( )A ．±66B.66 C ．－66 D ．± 6【解析】 ∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ，|OA →＋λOB →|＝1＋2λ2，|OB →|＝ 2. ∴cos 120°＝2λ1＋2λ2·2＝－12， ∴λ＝－66，故选C. 【答案】 C二、填空题6．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．【解析】 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，∴|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴AB →，AC →＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12， ∴AB →，AC →＝60°.【答案】 60°7．(2013·南通高二检测)已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________.【解析】 ∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．又∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29，∴λ＝3或－2.又∵λ＞0，∴λ＝3.【答案】 38．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA →⊥AB →， PA →⊥AC →，则P 点的坐标为______．【解析】 PA →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，由PA →⊥AB →，得x －1＋z ＝0，由PA →⊥AC →，得－2x －z ＝0.解得x ＝－1，z ＝2.【答案】 (－1,0,2)三、解答题9．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标．【解】设a ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．10．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1,3,1)，求：(1)(a －2b )·(2a ＋b )；(2)以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．【解】 (1)a －2b＝(3，－2，－3)－2(－1,3,1)＝(5，－8，－5)，2a ＋b ＝2(3，－2，－3)＋(－1,3,1)＝(5，－1，－5)．∴(a －2b )·(2a ＋b )＝(5，－8，－5)·(5，－1，－5)＝5×5＋(－8)×(－1)＋(－5)×(－5)＝58.(2)∵a ，b ＝a ·b |a ||b |＝－1222×11＝－6211， ∴a ，b ＝1－cos 2a ，b ＝1－72121＝711.∴S ▱＝|a |·|b a ，b ＝22×11×711＝7 2. ∴以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为7 2.11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，问当点N 位于AB 何处时，MN ⊥MC 1?【解】以A 为坐标原点，棱AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a ，则M (0,0，a 2)，C 1(a ，a ，a )，N (x,0,0)． MC 1→＝(a ，a ，a2)，MN →＝(x,0，－a 2)， MN →·MC 1→＝xa －a 24＝0，得x ＝a 4. 所以点N 的坐标为(a4，0,0)，即N 为AB 的四等分点且靠近A 点时，MN ⊥MC 1.。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学1.7相关性课时训练北师大版必修3

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.7 相关性课时训练北师大版必修3一、选择题1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧【解析】瑞雪兆丰年和名师出高徒是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都是相关关系，所以A、B、C三项具有相关关系；结合生活经验知喜鹊、乌鸦发出叫声是它们的生理反映，与人无任何关系，故D项不具有相关关系．【答案】 D2．下列两个变量间的关系，是相关关系的是( )A．任意实数和它的平方B．圆半径和圆的周长C．正多边形的边数和内角度数之和D．天空中的云量和下雨【解析】很明显A、B、C三项都是函数关系，D项中天空中的云量和下雨之间不是确定性关系，而是相关关系．故选D.【答案】 D3．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y线性相关，u与v非线性相关B．变量x与y线性相关，u与v不相关C．变量x与y线性相关，u与v线性相关D．变量x与y不相关，u与v不相关【解析】由这两个散点图可以判断，变量x与y线性相关，u与v线性相关，故选C.【答案】 C4．下列说法正确的是( )A．y＝2x2＋1中的x，y是具有相关关系的两个变量B．正四面体的体积与其棱长具有相关关系C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系D．传染病医院感染甲型H1N1的医务人员数与医院收治的甲型H1N1病人数是具有相关关系的两个变量【解析】y＝2x2＋1中的x，y是函数关系，故A错误；正四面体的体积与其棱长具有函数关系，故B错误；电脑的销售量与电脑的价格之间是一种相关关系，故C错误；感染甲型H1N1的医务人员不仅受医院收治病人数的影响，还受防护措施等其他因素的影响．故选D.【答案】 D5．下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市某类疾病的患者治愈的数据，以及根据这些数据绘制出的散点图．图1－7－1下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系．其中正确的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．以上都不对【解析】由图知所有的点大致集中在一条直线附近，因此，日期与人数具有线性关系，只有①正确．【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)6．下面各组变量之间具有相关关系的是________(填上正确答案的序号)．①高原含氧量与海拔高度；②速度一定时，汽车行驶的路程和所用的时间；③学生的成绩和学生的学号；④父母的身高和子女的身高．【解析】由线性相关的定义可知①④是相关关系．【答案】①④7．如图1－7－2所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．图1－7－2【解析】因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．【答案】D8．下列分别是3对变量的散点图，则具有相关关系的是________．图1－7－3【解析】通过散点图可以看出①③两对变量分别具有线性相关关系．【答案】①③三、解答题9．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下：【解】散点图如下．由散点图可清楚地看到，在一定的范围内，这个男孩的年龄与身高具有明显的正相关关系，即该男孩的身高随着年龄的增大而增大．10．某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：(1)(2)你能从散点图中发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？【解】(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：(2)由散点图中发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势．11．下面是水稻产量与施肥量的一组统计数据：(1)(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施肥量增加而增加吗？(3)若近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．【解】(1)以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如下图所示：(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量具有相关关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大．但水稻产量只是在一定范围内随着施肥量的增加而增加．(3)如(1)图所示．。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二章算法初步综合检测北师大版必修3

第二章算法初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列问题的算法适宜用选择结构表示的是( )A．求点P(－1,3)到直线l：3x－2y＋1＝0的距离B．由直角三角形的两条直角边长求斜边长C．解不等式ax＋b>0(a≠0)D．计算100个数的平均数【解析】适用于选择结构的算法具有判断、讨论，并根据判断结果选择不同的操作，由此可知只有C符合，故选C.【答案】 C2．用二分法求方程x2－10＝0的近似根的算法中要用哪种算法结构( )A．顺序结构B．选择结构C．循环结构 D．以上都用【解析】由求方程x2－10＝0的近似根的算法设计知以上三种结构都用到．【答案】 D3．(2013·天津高考)图1阅读如图1所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )A．7B．6C．5D．4【解析】n＝1，S＝0.第一次：S＝0＋(－1)1×1＝－1，－1＜2，n＝1＋1＝2，第二次：S＝－1＋(－1)2×2＝1,1＜2，n＝2＋1＝3，第三次：S＝1＋(－1)3×3＝－2，－2＜2，n＝3＋1＝4，第四次：S＝－2＋(－1)4×4＝2,2＝2，满足S≥2，跳出循环，输出n＝4.【答案】 D4．下述算法语句的运行结果为( )N＝1S＝0DoS＝S＋NN＝N＋1Loop While S<＝10输出N－1A．5 B．4C．11 D．6【解析】S＝1＋2＋3＋4＋5时停止循环，故选A.【答案】 A5．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为( )图2A．105 B．16C．15 D．1【解析】当i＝1时，s＝1×1＝1；当i＝3时，s＝1×3＝3；当i＝5时，s＝3×5＝15；当i＝7时，i<n不成立，输出s＝15.【答案】 C6．运行以下算法语句时，执行循环体的次数是( )i＝1Doi＝i＋1i＝i*iLoop While i<10输出iA．2 B．10C．11 D．8【解析】第一次执行循环体，i＝1，i＝i＋1＝2，i＝i·i＝4，i＝4<10，成立，第二次执行循环体，i＝i＋1＝5，i＝i·i＝25，i＝25<10，不成立，退出循环，共执行了2次循环体．【答案】 A7．阅读如图4所示的算法框图，运行相应的程序，则循环体执行的次数是( ) A．50 B．49C．100 D．98【解析】当i＝2,4,6，…，98时，执行循环体，共执行了49次．【答案】 B图4 图58．在阳光体育活动中，全校学生积极参加室外跑步．高三(1)班每个学生上个月跑步的路程从大到小排列依次是a 1，a 2，a 3，…，a 50(任意i ＝1,2，…，49，a i ＞a i ＋1)，如图是计算该班上个月跑步路程前10名学生的平均路程的算法框图．则图中判断框①和处理框②内应分别填写( )A ．i ＜10，a ＝s9B ．i ＜11，a ＝s 11C ．i ＜11，a ＝s10D ．i ＜10，a ＝s10【解析】注意到判断框中应是保证恰好是10名学生，再注意到走出判断框的结果将是10个数的和，于是选C.【答案】 C9．如图6，该框图是求函数f (x )＝x 2－3x ＋5，当x ∈{0,3,6,9，…，60}时函数值的一个算法框图，则①处应填( )A ．x ＝x ＋3B ．x ＝3xC ．3x ＝xD ．x ＋3＝x【解析】 0,3,6,9，…，60，后一个数比前一个数大3. 【答案】 A图6 图710．(2013·北京高考)执行如图7所示的程序框图，输出的S 值为( ) A ．1 B.23 C.1321D.610987【解析】当i ＝0，S ＝1时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝23，i ＝i ＋1＝1；当i ＝1，S ＝23时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝1321，i ＝i ＋1＝2.由于此时i ≥2是成立的，因此输出S ＝1321.【答案】 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上) 11．下面为一个求20个数的平均数的算法语句，在横线上应填充的语句为________．S ＝0For i ＝1 To ________ 输入xS ＝S ＋xNexta ＝S /20输出a【解析】 20个数，故应填20. 【答案】 2012．下图是某算法的算法框图，则程序运行后输出的结果是________．图8【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝0，n ＝1；⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，n ＝2；⎩⎪⎨⎪⎧s ＝6，n ＝3；⎩⎪⎨⎪⎧s ＝27，n ＝4.∵n ＝4>3，故输出s ＝27. 【答案】 2713．分析下面的算法语句：输入x ；若输入38，运行上面的语句后，得到的结果是________．【解析】输入38，程序运行过程是：9<38<100，成立，a＝3b＝8x＝10×8＋3＝83输出x＝83.【答案】8314．(2013·湖北高考)阅读如图9所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝________.图9【解析】m＝2，A＝1，B＝1，i＝0.第一次：i＝0＋1＝1，A＝1×2＝2，B＝1×1＝1，A>B；第二次：i＝1＋1＝2，A＝2×2＝4，B＝1×2＝2，A>B；第三次：i＝2＋1＝3，A＝4×2＝8，B＝2×3＝6，A>B；第四次：i＝3＋1＝4，A＝8×2＝16，B＝6×4＝24，A<B.终止循环，输出i＝4.【答案】 415．(2013·湖南高考)执行如图10所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．图10【解析】当a＝1，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为3，当a＝3，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为5，当a＝5，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a ＋b后a的值为7，当a＝7，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为9，由于9>8成立，故输出a的值为9.【答案】9三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)写出解不等式x2－2x－3＜0的一个算法．【解】算法步骤如下：1．求出对应方程x2－2x－3＝0的两根－1,3；2．确定根的大小：－1＜3；3．写出解集{x|－1＜x＜3}．17．(本小题满分12分)(2013·深圳检测)根据下列语句画出相应的算法框图．S＝1n＝1DoS＝S*nn＝n＋1Loop While S<1 000输出n－1【解】算法框图如下：18．(本小题满分12分)设计一个算法，求满足1×2＋2×3＋…＋n×(n＋1)<1 000的最大整数n，画出框图，并用循环语句描述．【解】框图：用语句描述为：19．(本小题满分13分)某次数学考试中，其中一小组的成绩为：55 89 69 73 81 56 90 74 82设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于75的成绩，并画出算法框图．【解】算法：1．将序列中的数m与“75”比较，如果此数m小于75，则输出此数；2．如果序列中还有其他数，重复第1步；3．在序列中一直到没有可比的数为止．算法框图如下：20．(本小题满分13分)用基本语句描述计算102＋202＋302＋…＋1 0002的算法并画出相应的算法框图．【解】法一用For语句：S＝0For i＝10 To 1 000 Setp 10S＝S＋i*iNext输出S算法框图见图(1)．法二用Do Loop语句：S＝0i＝10DoS＝S＋i*ii＝i＋10Loop While i≤1 000输出S算法框图见图(2)．21．(本小题满分13分)高一(3)班共有54名同学参加数学竞赛，现在已有了这54名同学的竞赛分数，请设计算法，要求计算竞赛成绩优秀的同学的平均分数并输出(规定90分以上为优秀)，画出算法框图，并用基本语句描述算法．【解】算法框图如图所示：用基本语句描述算法如下：。

【课堂新坐标】(教师用书)20132014学年高中数学1.3.1利用导学判断函数的单调性课后知能检测新人教b版选修

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3.1 利用导学判断函数的单调性课后知能检测新人教B 版选修2-2一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 【解析】 f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x ＝e x (x －2)，令f ′(x )>0，即e x (x －2)>0得x >2，因此函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．【答案】 D2．设y ＝x －ln x ，则此函数在区间(0,1)内为( )A ．单调递增B ．有增有减C ．单调递减D ．不确定【解析】 y ′＝1－1x，当x ∈(0,1)时，y ′<0，则函数y ＝x －ln x 在区间(0,1)内单调递减．【答案】 C3．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,1]C ．(－∞，1]D ．(0,1) 【解析】 f ′(x )＝3x 2－2ax －1.由题意知，不等式3x 2－2ax －1≤0在x ∈(0,1)内恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′ 0 ≤0，f ′ 1 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤0，2－2a ≤0，∴a ≥1. 当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x －1不恒为0，故实数a 的取值范围是[1，＋∞)．【答案】 A4．已知函数f (x )，g (x )满足当x ∈R 时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，若a >b ，则有( )A ．f (a )·g (a )＝f (b )g (b )B ．f (a )g (a )>f (b )g (b )C ．f (a )g (a )<f (b )g (b )D ．f (a )g (a )与f (b )g (b )的大小关系不定【解析】由题意知[f (x )g (x )]′>0，从而f (x )g (x )在R 上是增函数，又a >b ，∴f (a )g (a )>f (b )g (b )．【答案】 B5．(2013·大连高二检测)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)【解析】构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2.∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数．∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)，∴x >－1.【答案】 B二、填空题6．当x >1时，ln x ＋1x 与1的大小关系为ln x ＋1x________1(填“>”或“<”)．【解析】设f (x )＝ln x ＋1x ，则f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，∵x >1，∴f ′(x )>0. ∴函数f (x )在[1，＋∞)内为增函数，故当x >1时，f (x )>f (1)＝1.从而ln x ＋1x>1. 【答案】 >7．若函数y ＝－43x 3＋bx 在定义域内不单调，则b 的取值范围是________．【解析】若函数y ＝－43x 3＋bx 在定义域内不单调，则其导数y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.【答案】 (0，＋∞)8．(2013·广州高二检测)已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ∵f ′(x )＝2a －1 x ＋2 2且函数f (x )在(－2，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(－2，＋∞)上恒成立．∴a ≤12. 当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去． ∴a <12. 【答案】 a <12三、解答题9．(2013·广东高考改编)设函数f (x )＝(x －1)e x －x 2.求函数f (x )的单调区间．【解】 ∵f (x )＝(x －1)e x －x 2，∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x－2)．由f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝ln 2>0.由f ′(x )>0，得x <0或x >ln 2.由f ′(x )<0，得0<x <ln 2.所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，0)和(ln 2，＋∞)，单调减区间为(0，ln 2)．10．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)是否存在a ，使f (x )的单调减区间是(－1,1)．(2)若f (x )在R 上是增函数，求a 的取值范围．【解】 f ′(x )＝3x 2－a .(1)∵f (x )的单调减区间是(－1,1)，∴－1<x <1是f ′(x )<0的解，∴x ＝±1是方程3x 2－a ＝0的两根，所以a ＝3.(2)∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0对x ∈R 恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．∵y ＝3x 2在R 上的最小值为0.∴a ≤0.11．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)．(1)求f (x )的单调区间．(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．【解】 (1)∵ f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0， ∴f ′(x )＝a 2x－2x ＋a ＝－ x －a 2x ＋a x，由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间(a ，＋∞)．(2)由题意得，f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e，由(1)知f (x )在[1，e]上单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧ f 1 ＝a －1≥e－1，f e ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.2 复数的几何意义课后知能检测新人教A版选修2-2

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.2 复数的几何意义课后知能检测新人教A版选修2-2一、选择题1．在复平面内，复数z＝i＋i2表示的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵z＝i＋i2＝－1＋i，显然点(－1,1)在第二象限．【答案】 B2．复数z1＝1＋3i和z2＝1－3i在复平面内的对应点关于( )对称．A．实轴 B．一、三象限的角平分线C．虚轴 D．二、四象限的角平分线【解析】复数z1＝1＋3i在复平面内的对应点为z1(1，3)．复数z2＝1－3i在复平面内的对应点为z2(1，－3)．点z1与z2关于实轴对称，故选A.【答案】 A3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i【解析】因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，所以A(6,5)，B(－2,3)，又C为线段AB的中点，所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i.【答案】 C4．(2013·徐州高二检测)实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】设z＝5＋b i(b∈R)，则|z|＝25＋b2，又|4－3i|＝42＋－3 2＝5，∴25＋b2＝5，∴b＝0，故选A.【答案】 A5．(2013·石家庄高二检测)复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0【解析】由复数z 的对应点在虚轴上知a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2，故选D.【答案】 D二、填空题6．复数z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点在直线x ＋y －4＝0上，则实数m 的值为________．【解析】由题意知点(m ＋1，m －1)在直线x ＋y －4＝0上，∴(m ＋1)＋(m －1)－4＝0，∴m ＝2.【答案】 27．(2013·开封高二检测)已知△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．【解析】因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.【答案】－1－5i8．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________．【解析】由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋52＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－4 2＋22＝20， ∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|.【答案】 |y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|三、解答题9．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．【解】复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面上对应点的坐标为(2m,4－m 2)．(1)若点(2m,4－m 2)在虚轴上，则有2m ＝0，即m ＝0.(2)若点(2m,4－m 2)在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m <0，4－m 2<0∴m <－2.10．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点之间的距离．【解】因为复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，所以OA →＝(－3，－1)，OB →＝(5,1)，所以OA →＋OB →＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，所以向量OA →＋OB →对应的复数是2，又BA →＝OA →－OB →＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，所以BA →对应的复数是－8－2i ，A ，B 两点之间的距离为|BA →|＝－8 2＋－2 2＝217.11．求复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模．【解】 |z |＝ 1＋cos α 2＋ sin α 2＝2＋2cos α＝2|cosα2|，因为π<α<2π，所以π2<α2<π，所以cos α2<0，所以|z |＝－2cos α2.。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学3.3.2利用导学研究函数的极值课后知能检测新人教b版选修1

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.3.2 利用导学研究函数的极值课后知能检测新人教B版选修1-1一、选择题1．已知函数f(x)，x∈R，有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则( ) A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0【解析】f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.【答案】 C图3－3－52．(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－5所示，则函数f(x)的极小值是( )A．a＋b＋c B．3a＋4b＋cC．3a＋2b D．c【解析】由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.【答案】 D3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x( )A．x＝1时，取得极大值B．x＝1时，取得极小值C．x＝－1时，取得极大值D．无极值点【解析】f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立．∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(x)无极值．【答案】 D4．(2013·郑州高二检测)函数f (x )＝ln x －x 在(0，e)上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－e D ．0【解析】 f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1；令f ′(x )＜0，得1＜x ＜e ，∴f (x )在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－1.【答案】 B5．(2013·吉林高二检测)已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m ＞32C ．m ≤32D ．m ＜32【解析】 f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝3，验证可知x ＝3是函数的最小值点，故f (x )min ＝f (3)＝3m －272，由f (x )＋9≥0恒成立得f (x )≥－9恒成立，即3m －272≥－9，∴m ≥32. 【答案】 A 二、填空题6．函数y ＝x ·e －x，x ∈[0,4]的最小值为________．【解析】 ∵y ′＝e －x －x e －x ＝e －x(1－x )，令y ′＝0，得x ＝1，而f (0)＝0，f (1)＝1e，f (4)＝4e4，∴y min ＝0.【答案】 07．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________．【解析】 y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．令y ′＝0得x 1＝0，x 2＝4. 列表可知y 极大＝f (4)＝32＋m ＝13. ∴m ＝－19. 【答案】－198．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，由题意f ′(x )＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解之得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的极值． (1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2. 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数的定义域为R .f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值；且f (1)＝22－2＝－1.10．已知函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )(常数a ∈R )． (1)求f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,4]上的最大值．【解】 (1)f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4.(2)由f ′(－1)＝0，得3＋2a －4＝0，∴a ＝12.则f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2－x －4＝3(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43.当x ∈[－2，－1)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤43，4时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间是[－2，－1)与⎝ ⎛⎦⎥⎤43，4；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－1，43.又f (－1)＝92，f (4)＝42，f (－2)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－4427.∴f (x )在[－2,4]上的最大值f (x )max ＝f (4)＝42. 11．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )，f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y＝f (x )与x 轴至少有一个交点．因此若y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，应有527＋a ＜0或a －1＞0.所以当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点.。

课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学模块学习评价北师大版必修

模块学习评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x 3－y3＝1的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】设直线斜率k ＝33，∴tan α＝33，∴α＝30°.【答案】 A2．(2013·周口高一检测)如图1所示，空心圆柱体的主视图是( )图1【解析】看不到的部分用虚线表示，主视图应是矩形．【答案】 C3．已知点A (1,2)、B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5【解析】 AB 的中点坐标为(2，32)，k AB ＝－12，∴AB 中垂线的斜率为2，∴中垂线方程为y －32＝2(x －2)即4x －2y ＝5.【答案】B4．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (x ，－1,6)的距离为86，则x 等于( )A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或2【解析】由空间两点距离公式得－3－x2＋4＋12＋0－62＝86，∴x ＝2或－8.【答案】 C5．(2013·成都高一检测)已知m 是平面α的一条斜线，点A ∉α，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )A ．l ∥m ，l ⊥αB ．l ⊥m ，l ⊥αC ．l ⊥m ，l ∥αD ．l ∥m ，l ∥α【解析】如图l 可以垂直m ，且l 平行α.【答案】 C6．(2013·北京丰台高一检测)直线x －y ＋1＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切B ．直线过圆心C ．直线不过圆心但与圆相交D ．相离【解析】(x ＋1)2＋y 2＝1的圆心为(－1,0)，圆心到直线的距离：d ＝|－1＋1|2＝0.∴直线x －y ＋1＝0过圆心．【答案】 B7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．4C ．9D ．3【解析】S圆台侧＝π(r＋3r)l＝84π，又l＝7.∴r＝3.【答案】D8．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面互相平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【解析】根据面面垂直的判定定理，知②正确．由若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一平面，知④正确．【答案】D9．(2013·福州高一检测)圆x2＋y2－8x＋6y＋16＝0与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )A．相交B．相离C．内切D．外切【解析】设圆x2＋y2＝16的圆心为O，则O(0,0)，r1＝4.设圆x2＋y2－8x＋6y＋16＝0的圆心为C，半径为r2，则C(4，－3)，r2＝3.∴|OC|＝4－02＋－3－02＝5，∴|r1－r2|＜|OC|＜r1＋r2，∴两圆相交．【答案】A图210．如图2，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．△ABC 内部【解析】 ∵BC 1⊥AC ，BA ⊥AC ，BC 1∩BA ＝B ， ∴AC ⊥平面BC 1A ，∴平面BAC ⊥平面BC 1A ，∵C 1H ⊥平面ABC 且H 为垂足，平面BAC ∩平面BC 1A ＝AB ， ∴H ∈AB . 【答案】 B11．(2012·课标全国卷)如图3，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )图3A ．6B ．9C ．12D ．18【解析】由题意知，此几何体是三棱锥，其高h ＝3，相应底面面积为S ＝12×6×3＝9，∴V ＝13Sh ＝13×9×3＝9.【答案】 B12．(2013·日照高一检测)若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－x －22有公共点，则k 的取值范围是( )A ．(0，43]B ．[13，43]C ．[0，12]D ．[0,1]【解析】曲线y ＝－1－x －22可化为(x －2)2＋y 2＝1它表示以(2,0)为圆心，1为半径的x 轴下方的半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k ≤1.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(2013·东海高一检测)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋11＝0平行，则实数m 的值是________．【解析】由条件可知，36＝4m ≠－311，解得m ＝8. 【答案】 814．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________．【解析】依题意可设点P (0,0，z )， ∵|PA |＝|PB |， ∴1－02＋－2－02＋1－z2＝2－02＋2－02＋2－z2解得z ＝3，∴P (0,0,3)．【答案】 (0,0,3)15．(2013·长沙高一检测)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．图4【解析】设球的直径为d ，则据题意V 圆柱＝π(d 2)2·d ＝πd 34；V 圆锥＝13π(d 2)2·d ＝πd 312；V 球＝43π(d 2)3＝πd 36.∴V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝3∶1∶2. 【答案】 3∶1∶216．过点A (m,2)总可以作两条直线和圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4相切，则实数m 的取值范围是________．【解析】由题意，点A 在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的外部，故(m ＋1)2＋(2－2)2＞4，即|m ＋1|＞2，解得m ＞1或m ＜－3.【答案】 (－∞，－3)∪(1，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知四棱锥P —ABCD ，其三视图和直观图如图5，求该四棱锥的体积．图5【解】由三视图知底面ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝4，顶点P 在面ABCD 内的射影为BC 中点E ，即棱锥的高为2，则体积V P —ABCD ＝13S ABCD ×PE ＝13×2×4×2＝163.18．(本小题12分)(2013·温州高一检测)已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A (1,3)和点B (5,2)的距离相等，求直线l 的方程．【解】由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －10＝0x ＋y －2＝0得交点为(3，－1)，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)，则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|k 2＋1，解得k ＝－14，所以直线l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0；又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意．故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求．图619．(本小题12分)(2013·济宁高一检测)如图6，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC ＝AD ，DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：(1)AF ∥平面BCE ；(2)平面BCE ⊥平面CDE .【证明】 (1)因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB ∥DE .取CE 的中点G ，连接BG ，GF ，因为F 为CD 的中点，所以GF ∥ED ∥BA ，GF ＝12ED ＝BA ，从而ABGF 是平行四边形，于是AF ∥BG .因为AF 平面BCE ，BG 平面BCE ，所以AF ∥平面BCE .(2)因为AB ⊥平面ACD ，AF 平面ACD ，所以AB ⊥AF ，即ABGF 是矩形，所以AF ⊥GF .又AC ＝AD ，所以AF ⊥CD .而CD ∩GF ＝F ，所以AF ⊥平面GCD ，即AF ⊥平面CDE .因为AF ∥BG ，所以BG ⊥平面CDE .因为BG 平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .20．(本小题12分)若一圆经过直线l ：2x ＋y ＋4＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0有交点．求(1)面积最小的圆的方程；(2)过点(2，－1)的圆的方程．【解】设过圆C 和直线l 的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋λ(2x ＋y ＋4)＝0.(1)[x ＋(1＋λ)]2＋(y ＋λ－42)2＝5λ2－16λ＋164， ∵圆的面积最小，∴只需r 2最小．∵r 2＝5λ2－16λ＋164＝54(λ－85)2＋45≥45， ∴当λ＝85时，r 2有最小值45. ∴所求圆的方程为 x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋85(2x ＋y ＋4)＝0，即5x 2＋5y 2＋26x －12y ＋37＝0.(2)由于圆过点(2，－1)，∴22＋1＋2×2－4×(－1)＋1＋λ(2×2－1＋4)＝0，∴14＋7λ＝0，即λ＝－2，∴所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋1－2(2x ＋y ＋4)＝0，即x 2＋y 2－2x －6y －7＝0.图721．(本小题12分)在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，△ABC 为正三角形，D ，E 分别为BC ，CA 的中点．(1)试在BC上求作一点F，使AD∥平面PEF，并证明你的结论；(2)设AB ＝PA ＝2，对于(1)中的点F ，求三棱锥B —PEF 的体积．【解】 (1)证明：CD 的中点F 即为所求．证明如下：取CD 的中点F ，∵E ，F 分别为CA ，CD 的中点，∴AD ∥EF .又AD平面PEF ，EF 平面PEF ，∴AD ∥平面PEF .(2)∵V B —PEF ＝V P —BEF ，又S △BEF ＝12BF ×EF ＝12×34BC ×12AD ＝338. ∴V B —PEF ＝V P —BEF ＝13S △BEF ×PA ＝34. 22．(本小题12分)(2013·长沙高一检测)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．【解】 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＋32＋y 2 ＝2x －32＋y 2.化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l 是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16.当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，∴|QM |最小＝4.欢迎下载，资料仅供参考!!!。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第1章解三角形章末归纳提升苏教版必修5

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第1章解三角形章末归纳提升苏教版必修5解三角形正弦定理定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 变形类型已知两角和一边，解三角形已知两边和其中一边的对角应用举例测量问题平面几何问题航海问题余弦定理定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 变形类型已知两边及夹角，解三角形已知三边，解三角形求出其它元素，常见类型及方法如下：在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形：(1)b＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.【思路点拨】审清已知条件→判断解题类型→选择正、余弦定理→求解【规范解答】 (1)∵a ＞b ，∴B 为锐角，由正弦定理，sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理c ＝asin A ·sin C ＝833.(2)由正弦定理sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理c ＝asin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝22－263.(3)法一由正弦定理sin B ＝ba·sin A ＝1，∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理c ＝asin A ·sin C ＝433. 法二设第三边长为c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0，∴c ＝433，由正弦定理sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a ＞c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°.(4)由正弦定理sin B ＝b a·sin A ＝3＞1，B 无解，三角形无解．(1)在△ABC 中，C ＝45°，A ＝60°，b ＝2，求B 及a ，c 的值；(2)在△ABC 中，a ＝2，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的三个内角．【解】 (1)∵A ＝60°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(60°＋45°)＝75°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2×326＋24＝32－ 6.∵csin C ＝b sin B ，∴c ＝b sin C sin B ＝2×226＋24＝2(3－1)． (2)∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ 22 2＋ 6＋2 2－222×22× 6＋2＝32， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22＋ 6＋2 2－ 22 22×2× 6＋2＝22，且A ，B 都是△ABC 的内角， ∴A ＝30°，B ＝45°，∴C＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴△ABC 的三个内角分别是30°，45°，105°.用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．在解三角形时常用的结论有：1．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔cos A ＜cos B .2．在△ABC 中，a 2＋b 2＜c 2⇔cos<0⇔π2＜C ＜π，a 2＋b 2＝c 2⇔cos C ＝0⇔C ＝π2，a 2＋b 2＞c 2⇔cos C ＞0⇔0＜C ＜π2.已知△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】若化A ＝180°－(B ＋C )，利用三角变换较为繁琐，因而可考虑利用正、余弦定理化为边的关系，利用代数恒等变形进行求解．【规范解答】由正弦定理和余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋ca ，∴b ＋c ＝a 2＋c 2－b 22c ＋a 2＋b 2－c 22b，∴2c 2－a 2－c 2＋b 22c ＝a 2＋b 2－c 2－2b 22b，∴c 2＋b 2－a 2c ＝a 2－b 2－c 2b，∴(b 2＋c 2－a 2)(1c ＋1b)＝0.∵1c ＋1b≠0，∴b 2＋c 2－a 2＝0，∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 为直角三角形．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，角A 是锐角，则△ABC 的形状是________．【解析】由3b ＝23a sin B ，得b sin B ＝23a 3，根据正弦定理，得b sin B ＝asin A，所以asin A ＝23a 3，即sin A ＝32. 又角A 是锐角，所以A ＝60°.又cos B ＝cos C ，且B ，C 都为三角形的内角，所以B ＝C . 故△ABC 为等边三角形．【答案】等边三角形是近几年高考中一类热点题型. 在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，还要注意三角形内部的隐含条件的应用，注意与方程、向量、不等式等知识的融合渗透，注意函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且8(sinB ＋C2)2－2cos 2A＝7.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求△ABC 的面积．【思路点拨】化简已知等式→解方程求cos A →求角A →利用余弦定理求bc →求面积．【规范解答】 (1)∵8·(sinB ＋C2)2－2cos 2A ＝7，∴8·1－cos B ＋C 2－2(2cos 2A －1)＝7，整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A＝12，即A ＝60°. (2)∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴3＝b 2＋c 2－2bc ·12＝(b ＋c )2－3bc ＝32－3bc ，bc ＝2. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×32＝32.在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，BC ＝53，外接圆半径为5. (1)求角A 的大小；(2)若AB →·AC →＝112，求△ABC 的周长．【解】 (1)由正弦定理得sin A ＝BC 2R ＝32.∵0＜A ＜π， ∴A ＝π3或2π3.(2)∵AB →·AC →＝bc cos A ＝112＞0，∴A ＝π3，bc ＝11.由余弦定理，得12＝b 2＋c 2－a22bc ，即(b ＋c )2＝3bc ＋75＝108. ∴b ＋c ＝6 3.∴△ABC 的周长为11 3.之间的关系用函数表示出来，然后用函数的观点研究问题．方程的思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量之间的关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值．正、余弦定理在一定条件下，都可以看作方程，从而求出所需要的量．在△ABC 中，c ＝2＋6，C ＝30°，试求a ＋b 的取值范围．【思路点拨】本题利用正弦定理结合比例的性质将a ＋b 转化为A 的函数，从而将求a ＋b 的取值范围转化为求函数值域．【规范解答】因为csin C ＝a sin A ＝b sin B ＝a ＋b sin A ＋sin B，又c ＝2＋6，C ＝30°，所以a ＋b sin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°.所以a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)·2sin 75°cos(75°－A )＝2(2＋6)·6＋22cos(75°－A )＝(2＋6)2cos(75°－A )．所以当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋43；又因为A ＋B ＝150°，所以0°＜A ＜150°，－150°＜－A ＜0°. 所以－75°＜75°－A ＜75°，所以cos(75°－A )∈(cos 75°，1]．又(2＋6)2cos 75°＝(2＋6)2·6－24＝2＋6，所以2＋6＜a ＋b ≤8＋4 3.综上所述，a ＋b ∈(2＋6，8＋43]．在△ABC 中，已知内角A ＝π3，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y .(1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域； (2)求y 的最大值．【解】 (1)在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π. 由正弦定理得：AC ＝BCsin A ·sin B ＝23sinπ3sin x ＝4sin x ， AB ＝BCsin A ·sin C ＝4sin(23π－x )，x ＜23π. ∴y ＝AB ＋BC ＋AC＝4sin(23π－x )＋23＋4sin x＝23cos x ＋6sin x ＋2 3 ＝43sin(x ＋π6)＋23，其定义域为{x |0＜x ＜23π}．(2)由(1)得y ＝43sin(x ＋π6)＋23，∵0＜x ＜2π3，∴π6＜x ＋π6＜5π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，y 取得最大值为6 3.综合检测(一) 第1章解三角形(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝45°，a ＝2，则b ＝________. 【解析】由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2×2212＝2 2.【答案】 2 22．(2013·合肥高二检测)在▱ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，则AD ＝________.【解析】 AD ＝BC＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝46 2＋ 43 2－2×46×43×22＝4 3. 【答案】 4 33．(2013·九江高二检测)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.【解析】 ∵b sin B ＝csin C，∴sin B ＝b sin Cc ＝12.∵C ＞π2，∴B ＝π6.∴A ＝B ＝π6，∴a ＝b ＝1.【答案】 14．△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则此三角形是________．【解析】设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，其中t ＞0. 由于a ＜b ＜c ，所以C 是最大角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14＜0，所以C 是钝角．【答案】钝角三角形5．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则sin A 的值是________．【解析】 c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝219.∵a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝4×32219＝5719. 【答案】57196．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.【解析】 ∵S ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，∴a ＝42＋12－2×4×cos 60°＝13， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝1332＝2339.【答案】2339 7．(2013·厦门高二检测)在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为________．【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，∴c ＝3，∴B 为最大角．∴cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－17.【答案】－178．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＝3，则△ABC 的面积为________．【解析】由正弦定理得a sin A ＝bsin B， ∴3sin 60°＝bsin 45°，∴b ＝2，C ＝180°－60°－45°＝75°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×sin 75°＝3＋34.【答案】3＋349．下面四个命题：①若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 必是等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 是直角三角形；③若cos A ·cos B ·cos C ＜0，则△ABC 是钝角三角形；④若cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1，则△ABC 是等边三角形．其中正确的是________．(填序号)【解析】对于①，由sin 2A ＝sin 2B ，得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形，因此①不正确；对于②，假设A ＝120°，B ＝C ＝30°，符合sin A ＝cosB ，但此时三角形不是直角三角形，因此②不正确；对于③，由cos A ·cos B ·cosC ＜0可知cos A ，cos B ，cos C 中必有一个负值，两个正值，因此△ABC 必为钝角三角形，所以③正确；对于④，由cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1可知，只有满足cos(A －B )，cos(B －C )，cos(C －A )都等于1时，才有cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1成立，所以A ＝B ＝C ，故此三角形为等边三角形，所以④正确．综上可知③④正确．【答案】 ③④10．(2013·镇江高二检测)已知△ABC 的三边长满足等式a 2－ b －c 2bc＝1，则A 的值为________．【解析】等式可化为a 2－(b 2＋c 2)＝－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°11．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一个灯塔M 原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是53海里，则灯塔和轮船原来的距离为________．【解析】画出示意图如图． △ABC 中，AB ＝10，BC ＝53， ∠BAC ＝60°.由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°，得AC 2－10AC ＋25＝0，∴AC ＝5. 【答案】 5海里12．(2013·苏州高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )·cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.【解析】由题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， ∴3sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∴cos A ＝33. 【答案】33图113．如图1所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，则BD ＝________.【解析】在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°， ∵AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC sin ∠BCA AB ＝9s in 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， ∴sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，∵AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，∴BD ＝AB sin ∠BAD sin ∠ADB ＝5×91022＝922. 【答案】 92214．有一解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos 2A ＋C2＝(2－1)cos B ，________，求角A .经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整．【解析】将A ＝60°看作已知条件，由2cos 2A ＋C2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°，由a sin A ＝bsin B ，得b ＝ 2. 又C ＝75°，sin C ＝sin(45°＋30°)＝2＋64，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2，且由已知得B ＝45°，则由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°，不合题意；若已知条件为c ＝2＋62，则 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，∴b ＝2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 综上所述，破损处的条件为c ＝2＋62. 【答案】 c ＝2＋62 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，求b 及A .【解】 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)cos 45°＝8，∴b ＝2 2. cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝ 22 2＋ 6＋2 2－ 2322×22× 6＋2 ＝12， ∴A ＝60°.16．(本小题满分14分)(2013·泰州高二检测)在△ABC 中，已知AC ＝3，sin A ＋cos A ＝2，(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝3，求BC 的值．【解】 (1)∵sin A ＋cos A ＝2，∴2sin(A ＋π4)＝ 2 ∴sin(A ＋π4)＝1，A ＝π4，∴sin A ＝22. (2)∵S ＝12AB ·AC sin A ＝12×3×22AB ＝3， ∴AB ＝22，∴BC ＝32＋ 22 2－3×22×2×22＝ 5.图217．(本小题满分14分)如图2所示，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB ＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角∠OAP ＝30°，在B 处测得点P 的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高h .【解】在Rt △AOP 中，AO ＝OP ·cot 30°＝3h .又OP ⊥OB ，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ＝h .在△ABO 中，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos∠AOB ，即202＝3h 2＋h 2－2·3h ·h cos 60°，即4h 2－3h 2＝202，∴h ＝204－3.∴旗杆的高h 为204－3.18．(本小题满分16分)(2013·无锡高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上，(1)求角C ；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 得 a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0＜C ＜π，得C ＝π3. (2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而a ＝b ＝3.所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934. 19．(本小题满分16分)(2013·临沂高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13， (1)求sin 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求bc 的最大值．【解】 (1)∵cos A ＝13，∴sin A ＝223，cos 2A ＝－79， ∴sin2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos B ＋C 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋cos 2A ＝1＋132－79＝－19. (2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴3＝b 2＋c 2－23bc . ∵b 2＋c 2≥2bc ，∴3≥2bc －23bc ，即3≥43bc ，∴bc ≤94(b ＝c ＝32时取等号)，∴bc 的最大值为94.20．(本小题满分16分)(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值．【解】 (1)证明：∵AB →·AC →＝3BA →·BC →，∴AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B .由正弦定理，得 AC sin B ＝BCsin A ，∴sin B ·cos A ＝3sin A ·cos B .又∵0＜A ＋B ＜π，∴cos A ＞0，cos B ＞0.∴sin B cos B ＝3·sin Acos A ，即tan B ＝3tan A .(2)∵cos C ＝55，0＜C ＜π，∴sin C ＝1－ 55 2＝255.∴tan C ＝2.∴tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2.∴tan A ＋tan B1－tan A ·tan B ＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1，tan A ＝－13.∵cos A ＞0，∴tan A ＝1.∴A ＝π4.。

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.1 不等关系教案苏教版必修5

〖【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1 不等关系教案苏教版必修5〗之小船创作3．1不等关系(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；(2)掌握作差比较法判断两实数或代数式大小________．2.过程与方法(1)经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；(2)以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等关系；(3)通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力．3．情感、态度与价值观(1)通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯；(2)通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量．●重点、难点重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．难点：是用不等式(组)正确表示出不等关系．考虑到学生实际应用能力上的欠缺，欲让学生用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，教师要引导学生结合生活、学习实际由简到繁，由易到难，逐步深入，注意发挥学生学习的积极主动性，激发学生的学习兴趣．(教师用书独具)●教学建议本节的主要内容是通过一系列的具体问题情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式(组)产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容．由于本节的教学要着眼于与实际问题的联系，故建议在教学中建立“教师引导、自主探究、合作学习”的教学模式，在引导学生经历观察、思考、探究的过程中，重视让学生从问题中尝试、提炼、总结、运用，从而培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力，而且在鼓励学生主动参与的同时，也不忽视教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推理．●教学流程创设问题情境，使学生感受到实际问题中存在许多不等关系.⇒引导学生思考如何表示实际问题中的这些不等关系，引入不等式.⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第43页)课标解读1.了解现实世界和日常生活中的一些不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．3．了解不等式的一些基本性质，会比较数或式的大小．(重点)不等式与不等式常见的文字语言与数学符号之间的转换文字语言数学符号大于>小于＜大于或等于≥续表文字语言数学符号小于或等于≤至多≤至少≥不少于≥不多于≤比较实数a，b大小的依据a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.(对应学生用书第43页)用不等式表示不等关系糖水是日常生活中很普通的东西，下列关于糖水浓度的问题，同学们能分别提炼出怎样的不等式？(1)如果向一杯糖水里添上点儿糖，“糖水加糖变甜了”；(2)把原来的糖水与加糖后的糖水合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．【思路探究】由生活中的经验、结合化学中浓度的知识可以求解．【自主解答】(1)“糖水加糖变甜了”，这是同学们都知道的生活现象．设糖水有b克，含糖a克，浓度为ab，添入m克糖后的浓度为a＋mb＋m，则提炼出的不等式模型为：若b＞a＞0，m＞0，则ab＜a＋mb＋m.(2)设淡糖水有b1克，含糖a1克，浓度为a1 b1，浓糖水有b2克，含糖a2克，浓度为a2 b2 .则混合后的浓度为a1＋a2b1＋b2，所提炼出的不等式模型为：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且a1b1＜a2b2，则a1b1＜a1＋a2b1＋b2＜a2b2.1．用不等式表示不等关系，要审清题意，恰当选取符号，尤其要注意“>”与“≥”，“＜”与“≤”的区别．2．用不等式表示不等关系，必要时还要设立变量，以便于写出不等式．下列标志各表示什么意思？请用不等式表示其中的不等关系．图3－1－1【解】图中的标志的意思及不等式表示为：①最低限速限制行驶时速v不得低于50公里，即v≥50；②限制质量装载总质量G不得超过10 t，即G≤10；③限制高度装载高度h不得超过3.5米，即h≤3.5；④限制宽度装载宽度a 不得超过3米，即a ≤3； ⑤时间范围 7：30≤t ≤10：00. 用不等式组表示多个不等关系某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t 矿石到冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【思路探究】由题中所给信息，应有如下不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总辆数不能超过驾驶员人数；(2)车队每天至少要运360 t 矿石；(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．用关于x ，y 的不等式表示上述不等关系即可．【自主解答】设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ，y ∈N .1．本题用驾驶员人数限制了车辆数，即甲型卡车和乙型卡车的总辆数不能超过驾驶员人数，这个不等关系易被忽略．2．用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：(1)阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题最基本的一步．(2)对题中关键字、关键句要留心，多加注意．(3)要将所有不等关系都表示为不等式．2012年某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是：语文不低于90分；数学应高于80分；语、数、英三科的成绩之和不少于330分．若小明被录取到该校，设该生的语、数、英的成绩分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 应满足的条件是________．【解析】把题意中的三个条件写成不等式组即可．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥90，y ＞80，x ＋y ＋z ≥330. 比较数(或式)的大小已知x＞1，比较x3＋6x与x2＋6的大小．【思路探究】作差→因式分解变形→判断符号→结论【自主解答】(x3＋6x)－(x26)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x －1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)．∵x＞1，∴(x－1)(x2＋6)＞0，∴x3＋6x＞x2＋6.1．本例中，在比较两式大小时，应注意x＞1这个条件，条件的改变，可能改变不等号的方向．2．比差法是比较两数(或式)大小的最常用方法，比差时最关键的步骤是变形．变形的主要目的是为了判断差式的符号，变形越彻底就越易判断符号．变形的手段主要有：配方、平方差公式、立方差公式、立方和公式、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等．将题目中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3＋6x与x2＋6的大小．【解】(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)．∵x2＋6＞0，∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，即x3＋6x＞x2＋6；当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，即x3＋6x＝x2＋6；当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，即x3＋6x＜x2＋6.(对应学生用书第45页)忽略题目的隐含条件导致错误一报刊亭摊主从报社买进某种报纸的价格是每份0.2元，卖出的价格是每份0.3元，卖不掉的报纸以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有20天每天可卖出400份报纸，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进的份数必须相同．试计算他应该每天从报社买进多少份报纸，才能使一个月所得利润超过600元？试用不等式表示这一问题，不需解答．【错解】设每天从报社买进x份报纸，则每月销量为(20x＋10×250)份，退回报社[10(x－250)]份．卖出的报纸每份可得0.1元，退回的报纸每份损失0.12元．每月获得的利润为0.1×(20x＋10×250)－0.12×10×(x－250)＝0.8x＋550，∴0.8x＋550＞600.【错因分析】本题的解题过程似乎很全面，但是却忽略了题中隐含的自变量x的取值范围是250≤x≤400.【防范措施】利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，一定要注意题目中是否有隐含条件．【正解】设每天从报社买进x份报纸(250≤x≤400)，则每月销量为(20x＋10×250)份，退回报社[10(x－250)]份．卖出的报纸每份可得0.1元，退回的报纸每份损失0.12元．每月获得的利润为0.1×(20x＋10×250)－0.12×10×(x－250)＝0.8x＋550，∴0.8x＋550＞600(250≤x≤400)．1．基础知识：(1)不等关系与不等式；(2)比较实数a，b大小的依据．2．基本技能：(1)会用不等式表示不等关系；(2)会用不等式表示多个不等关系；(3)比较两个数(或式)的大小．3．思想方法：(1)函数思想；(2)转化思想.(对应学生用书第45页)1．人类能听到的声音频率x不低于80 Hz且不高于2 000Hz，用不等式表示为________．【解析】“不低于80 Hz”即“≥80 Hz”；“不高于2 000 Hz”即“≤2 000 Hz”．【答案】80 Hz≤x≤2 000 Hz2．某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为________．【解析】v的最大限速为120 km/h，即v≤120 km/h；d不得小于10 m，即d≥10 m.【答案】v≤120 km/h且d≥10 m3．若x≠2且y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系是________．【解析】M－N＝x2＋y2－4x＋2y－(－5)＝(x－2)2＋(y ＋1)2.∵x≠2且y≠－1，∴x－2≠0且y＋1≠0，∴(x－2)2＋(y＋1)2＞0，∴M＞N.【答案】M＞N4．比较x3与x2－x＋1的大小【解】∵x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)，∴当x＝1时，(x－1)(x2＋1)＝0，∴x3＝x2－x＋1；当x＞1时，(x－1)(x2＋1)＞0，∴x3＞x2－x＋1；当x＜1时，(x－1)(x2＋1)＜0，∴x3＜x2－x＋1.(对应学生用书第92页)一、填空题1．某果汁盒上标明果汁含量P不低于50%，则关于P的一个不等式为__________．【解析】不低于50%，即大于等于50%，又最大百分比为1，故50%≤P≤1.【答案】50%≤P≤12．如图3－1－2所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b(a≠b)的不等式表示出来________．(1) (2)图3－1－2【解析】(1)中面积显然比(2)大，又(1)的面积S1＝1 2a2＋12b2＝12(a2＋b2)，(2)的面积S2＝ab，所以有12(a2＋b2)＞ab.【答案】12(a2＋b2)＞ab3．一根长为30 m的钢筋，要分别截成80 cm和120 cm 两种规格的短钢筋x根和y根，则x，y必须满足的不等式是________．【解析】所截钢筋总长度0.8x＋1.2y不能超过30 m，且x，y均为正整数．【答案】0.8x＋1.2y≤30(x，y∈N*)4．一个工程队原计划在10天内挖土600 m3，在前两天一共挖了120 m3.由于整个工程调整工期，要求至少提前两天完成任务．设以后6天内，平均每天挖土x m3，则可列不等式为________．【解析】8天内共挖土方数6x＋120不能低于600.【答案】6x＋120≥6005．已知实数a、b满足“a＞b”，则下列不等式中正确的是________．(只填序号)①|a|＞|b|；②a2＞b2；③a3＞b3；④ab＞1.【解析】可采取特殊值代入法：令a＝1，b＝－1排除①、②、④，故正确的只有③.【答案】③6．已知m∈R，则2m2＋3m－1与m2＋4m－2的大小关系为________．【解析】(2m2＋3m－1)－(m2＋4m－2)＝m2－m＋1＝(m－12)2＋34＞0，∴2m 2＋3m －1＞m 2＋4m －2.【答案】 2m 2＋3m －1＞m 2＋4m －27．已知x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的大小关系是________．【解析】 2M －2N ＝2x 2＋2y 2＋2－2x －2y －2xy ＝(x －y )2＋(x －1)2＋(y －1)2≥0，∴2M ≥2N ，∴M ≥N . 【答案】 M ≥N8．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b 的大小关系为________．(a 、b ∈R ，a ≠b )【解析】⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b ba－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a bb＝[a ·a －(－b )·b ]－[a ·b －(－a )·b ]＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＞0(a ≠b )，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b ba＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －ab b. 【答案】⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b ba＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a bb二、解答题9．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，用不等式组表示上述不等关系．【解】设1枝玫瑰的价格是x 元，1枝康乃馨的价格为y 元，则⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ＞24，4x ＋5y ＜22，x ＞0，y ＞0.10．比较x 2－2ax 与2a －2a 2－3的大小(a ，x ∈R )．【解】 (x 2－2ax )－(2a －2a 2－3) ＝(x 2－2ax ＋a 2)＋(a 2－2a ＋1)＋2 ＝(x －a )2＋(a －1)2＋2. ∵(x －a )2≥0，(a －1)2≥0， ∴(x －a )2＋(a －1)2＋2＞0， ∴(x 2－2ax )－(2a －2a 2－3)＞0， ∴x 2－2ax ＞2a －2a 2－3.11．16列货车运送一批货物从甲地以V 千米/时的速度匀速到达乙地．已知两地的铁路长400千米，为了安全，每相邻两列货车间的距离为(V20)2千米，如果这批货物全部运到乙地的时间不超过9小时，试列出不等式．(车身长忽略不计)【解】从第一列驶离甲地的货车到最后一列到达乙地的货车，之间有15个间隔．∴t ＝400V ＋15×V202V＝400V ＋15V400，∴400V ＋15V 400≤9.(教师用书独具)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，试确定a ，b ，c 的大小关系；【思路探究】对三个数逐一作差比较．【自主解答】因为c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，所以c ≥b .又因为b ＝12[(b ＋c )－(c －b )]＝12[(6－4a ＋3a 2)－(4－4a ＋a 2)]＝a 2＋1，所以b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34＞0，所以b ＞a ，综上可得c ≥b ＞a .要比较多个数的大小，应分别作差比较．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】首先比较a ，b 的大小，∵3ln 2＝ln 8＜ln 9＝2ln 3，∴a ＜b ，同理可得c ＜a ，∴c ＜a ＜b .【答案】 c ＜a ＜b 拓展不等式的基本性质不等式的基本性质是深入研究不等式的基础，具体如下：性质1 如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.性质2 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.性质3 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.性质4 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c ＜0，那么ac＜bc.性质5 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.性质6 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.性质7 如果a＞b＞0，那么a n＞b n(n∈N，n≥2)．性质8 如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N，n≥2.)。