2019届河南省高考模拟试题精编(十)理科数学(word版)

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河南高考模拟卷-2019高考模拟数学-试卷(理)

数学科试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则=}032{2>--=x x x A }4,3,2{=B B A C R ⋂)(A ．B ．C ．D ．}3,2{}4,3,2{}2{φ2．已知是虚数单位，，则=i iz +=31z z ⋅A ．B ．C ．D ．510101513．执行如图所示的程序框图，若输入的点为，则输出的值为(1,1)P n A ．3B ．4C ．5D ．6（第3题）（第4题）4．如图，是边长为8的正方形，若，且为的中点，则ABCD 13DE EC =F BC EA EF ⋅=A ．10B ．12C ．16D ．205．若实数满足，则的最大值是y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x yx z 82⋅=A ．4B ．8C ．16D ．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为A ． 3228516++B ．32532+C ． 32216+D ．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是A ．B ．C ．D ． 10151103548．设是数列的前项和，且，，则=n S }{n a n 11-=a 11++⋅=n n n S S a 5a A ．B ．C ．D ． 301031-021201-9. 函数()1ln1xfx x-=+的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥的体积为8，若平面,且，则四棱锥ABCD P -⊥PA ABCD 3=PA 的外接球体积最小值是ABCD P -A ．B ．C ．D ． π625π125π6251π2511. 已知抛物线,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB()220y px p =>为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为A ．B ．．．1x =-x =x =x =12. 已知函数（），函数，直线分别与两函数交于x x x f ln )(2-=22≥x 21)(-=x x g t y =两点，则的最小值为B A ,AB A ．B ．C ．D ．211232二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设样本数据，，...，的方差是5，若（），则，1x 2x 2018x 13+=i i x y 2018,...,2,1=i 1y ，...，的方差是________2y 2018y 14. 已知函数（），若，则方程在的实x x x f ωωcos 3sin )(-=0>ω3=ω1)(-=x f ),0(π数根个数是_____15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入的方格内，33⨯使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方2n n n ⨯形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为 (如：在3阶幻方中，n n n N )，则=_______315N =5N16.已知中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且，．ABC ∆a b c 1c =π3C =若，则的面积为sin sin()sin 2C A B B +-=ABC ∆三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分．17.(本小题满分12分)设数列是公差为的等差数列.}{n a d (Ⅰ) 推导数列的通项公式；}{n a (Ⅱ) 设，证明数列不是等比数列.0≠d }1{+n a 18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中的值；a (Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用表示随X 机抽取的2人中男生的人数，求的分布列和数学期望．X 19.(本小题满分12分)在直三棱柱中，，。

河南省2019年高考数学一模试卷(解析版)(理科)

2019年河南省平顶山市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．23．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66πB．51πC．48πD．33π4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（）A ．4B ．3C ．2D ．16．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．a ≥B ．a ＞C ．a ＜D ．a ≤7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A ．B ．C ．D ． 8．若执行如图所示程序框图，则输出的s 值为（）A ．﹣2016B ．2016C ．﹣2017D ．20179．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（）A ．B ．2C ．D ．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有个零点．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．18．（12分）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．20．（12分）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合A、B的范围，取并集即可．【解答】解：集合A={x||x|＜1 }=（﹣1，1），B={x|≥1}=（0，1]，则A∪B=（﹣1，1]，故选：A．【点评】本题考查了集合的并集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数（1+2i）（1+ai）=1﹣2a+（2+a）i是纯虚数，则1﹣2a=0，2+a≠0，解得a=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66πB．51πC．48πD．33π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥，分别求面积，再相加即可．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥．半球表面积为2π×32=18π圆锥的侧面积为π×3×5=15π所以所求的表面积为π+15π=33π故选D．【点评】本题考查由三视图考查由三视图还原几何体直观图，求几何体的表面积，属于基础题．4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”；B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题；C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4；D，a=0时，函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点；【解答】解：对于A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”，故错；对于B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题，故正确；对于C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，故错；对于D ，原命题的逆命题为：若函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，则a=﹣1“，∵a=0时，函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，故错；故选：B【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，，再由⊥，利用向量垂直的条件能求出实数λ．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ， ∴→m =（0，﹣3），=（1+λ，﹣2+λ）， ∵→→⊥n m ，∴=0﹣3（﹣2+λ）=0，解得λ=2．故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．6．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A．a≥B．a＞C．a＜D．a≤【考点】基本不等式．【分析】由x＞0，不等式=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=，令t=x+，则t≥2=2当且仅当x=1时，t取得最小值2．取得最大值，所以对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则a≥，故选：A．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率为=，故选C．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．8．若执行如图所示程序框图，则输出的s值为（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣2017 D．2017【考点】程序框图．【分析】由程序框图求出前几次运行结果，观察规律可知，得到的S 的结果与n的值的关系，由程序框图可得当n=2017时，退出循环，由此能求出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，s=0满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1，n=2满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3=2，n=3满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5=﹣3，n=4满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5+7=4，n=5满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣5，n=6满足条件n＜2017，执行循环体，s=6，n=7…满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣2015，n=2016满足条件n＜2017，执行循环体，s=2016，n=2017不满足条件n＜2017，退出循环，输出s的值为2016．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．9．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（）A．B．2 C．D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题中条件知高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径，即为底面正三角形的内切圆的半径，然后解答即可．【解答】解：由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为rr即为底面正三角形的内切圆半径，∵底面边长为4的r=2故选B．【点评】本题考查棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的大圆沟通条件之间的联系．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0时P到圆心的距离最小，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，•=••=．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数是（0，+∞）上的增函数，比较大小可得0.32＜30.2＜log25，故可得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，∴函数是（0，+∞）上的增函数，∵1＜30.2＜3，0＜0.32＜1，log25＞2，∴0.32＜30.2＜log25，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查学生对指数函数、对数函数性质的运用能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可．【解答】解：由题意可知随机变量ξ～N（2，4），满足正态分布，对称轴为μ=2，P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则：a+2+2a﹣3=4，解得a=．故答案为．【点评】本题考查正态分布的基本性质的应用，考查计算能力．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．【考点】二项式系数的性质．【分析】求出展开式的通项，令r=2求出展开式第3项的二项式系数，列出方程求出n；令二项式中的x=1求出展开式的所有项的系数和．【解答】解：展开式的通项为当r=2时是展开式中第3项的二项式系数为C n2=15解得n=6令二项式中的x=1得展开式中所有项的系数之和为．故答案为：．【点评】本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展开式的系数和问题．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=5．【考点】余弦定理．【分析】由∠B=2∠A，得到sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简将a与b的值代入求出cosA的值，利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosA的值代入即可求出c的值．【解答】解：∵∠B=2∠A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简得：b=2acosA，把a=3，b=2代入得：2=6cosA，即cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=24+c2﹣8c，解得：c=5或c=3，当c=3时，a=c，即∠A=∠C，∠B=2∠A=2∠C，∴∠A+∠C=∠B，即∠B=90°，而32+32≠（2）2，矛盾，舍去；则c=5．故答案为：5【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有3个零点．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=f（f（x））﹣1=0，求出f（x）的值，然后利用分段函数的表达式求解x的值，推出结果．【解答】解：函数y=f（f（x））﹣1，令f（f（x））﹣1=0，当f（x）＞0时，可得log2f（x）=1，解得f（x）=2，则log2x=2，解得x=4，ax+1=2，解得x=（舍去）．当f（x）＜0，可得af（x）+1=1，解得f（x）=0，则log2x=0，解得x=1，ax+1=0，解得x=﹣．所以函数的零点3个．故答案为：3．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•平顶山一模）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由2S n=3a n﹣2可求得a1=2；当n≥2时，a n=3a n﹣1，从而可知数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，继而可得a n和S n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知S n=3n﹣1，从而可得b n=n，b2n=2n，利用等差数列的求和公式即可求得数列{b2n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=3a n﹣2，∴n=1时，2S1=3a1﹣2，解得a1=2；当n≥2时，2S n﹣1=3a n﹣1﹣2，∴2S n﹣2S n﹣1=3a n﹣3a n﹣1，∴2a n=3a n﹣3a n﹣1，∴a n=3a n﹣1，∴数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n=2•3n﹣1，S n==3n﹣1，（Ⅱ）∵a n=2•3n﹣1，S n=3n﹣1，∴b n=log3（S n+1）=log33n=n，∴b2n=2n，∴T n=2+4+6+…+2n==n2+n．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比数列的判定与通项公式、求和公式的应用，突出考查等差数列的求和，属于中档题．18．（12分）（2017•平顶山一模）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用频率分布表，求出前四组学生的视力在4.8以下的人数，然后求解视力在4.8以上的人数．（Ⅱ）求出k 2，即可说明校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．（Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2．求出概率，顶点分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，前四组学生的视力在4.8以下，第一组有0.15×0.2×100=3人，第二组有0.35×0.2×100=7人，第三组1.35×0.2×100=27人，第四组有24人．…（2分）所以视力在4.8以上的人数为人． (Ⅱ)，因此校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．…（8分）（Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2.，，，ξ的分布列为…（10分）ξ的数学期望．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2017•平顶山一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB ⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，证明AF⊥EF，AF⊥PB．推出AF⊥平面BPC，然后证明DE⊥平面BPC，即可证明平面DPC⊥平面BPC．…．（Ⅱ）解法1：连结BE，说明BE⊥CP，推出BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，说明∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．在△PDE中，求解即可．解法2：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PDC和面PBC的法向量，由空间向量的数量积求解二面角C ﹣PD﹣B的余弦值即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：如图，分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，由题意知，四边形ADEF为矩形，∴AF⊥EF．…（2分）又∵△PAB为等边三角形，∴AF⊥PB．又∵EF∩PB=F，∴AF⊥平面BPC．…又DE∥AF．∴DE⊥平面BPC，又DE⊂平面DPC，∴平面DPC⊥平面BPC．…（Ⅱ）解法1：连结BE，则BE⊥CP，由（Ⅰ）知，BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，则∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．…（7分）由题意知，DP=DC=，PC=，∴，∴，∴在△PDE中，．…（10分）又，∴，∴．…（12分）（Ⅱ）解法2：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，A（0，0，0），B（0，2，0），，C（0，2，2），D（0，0，1）．，，．…（8分）设平面PDC和面PBC的法向量分别为，，由，得，令y=﹣1得；由，得，令a=1得．…（10分）∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•平顶山一模）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）设Q（x，y），则PQ的中点，由题意DE⊥DQ，得，代入坐标得答案；（Ⅱ）分别设出Q、Q1、Q2的坐标，结合A，Q，Q1共线，E，Q，Q2共线可把Q1、Q2的坐标用Q的坐标表示，得到线Q1Q2的方程，再由直线系方程可得直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【解答】（Ⅰ）解：设Q（x，y），则PQ的中点，∵E（1，0），∴，．在圆E中，∵DE⊥DQ，∴，则．∴点Q的轨迹方程y2=4x（x≠0）；（Ⅱ）证明：设Q（t2，2t），，，则直线Q1Q2的方程为（t1+t2）y﹣2x﹣2t1t2=0．由A，Q，Q1共线，得，从而（，否则Q1不存在），由E，Q，Q2共线，得，从而（t≠0，否则Q2不存在），∴，，∴直线Q1Q2的方程化为t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，令，得x=﹣1，y=﹣4．∴直线Q1Q2恒过定点（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属中档题．21．（12分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m 的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•平顶山一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2化为普通方程，再转化为参数方程即可．（Ⅱ）设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，令，则，利用三角函数的有界限求解最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的普通方程为，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．（Ⅱ）方法一：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，所以d取最小值时，|MQ|最小．令，则，当时，d最小．∴点M的坐标为．（Ⅱ）方法二：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，∴d取最小值时，|MQ|最小．∴，M是过圆心垂直于l的直线与圆（靠近直线l端）的交点．由，得或（舍去）．∴点M的坐标为．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，直线参数方程的几何意义的运用．属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•平顶山一模）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，求出f（x）的最小值，利用恒成立，转化不等式求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）原不等式可化为：或或…（3分）解得：x＜﹣2或x＞3，所以解集为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．…（Ⅱ）因为|x﹣2|+|x+1|≥|x﹣2﹣（x+1）|=3，…（7分）所以f（x）≥3，当x≤﹣1时等号成立．所以f（x）min=3．又，故．…（10分）【点评】本题考查函数的恒成立，函数的最值的求法，绝对值不等式的几何意义的应用，考查转化思想以及计算能力．。

【高考模拟】2019理科数学试卷(十)及答案解析

2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷理科数学（十）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}22,|,2M x y x y x y =+=为实数,且，(){},|,2N x y x y x y =+=为实数,且，则M N 的元素个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A ．30B ．31C ．32D ．333．已知双曲线方程为2212015x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±4．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线1y x =，1y x=-，y x =，y x =-及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．18C ．π4D ．π85．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233215S S -=，则数列{}n a 的公差为（） A ．3B ．4-C ．5-D ．66．设α与β均为锐角，且1cos 7α=，sin()14αβ+=，则cos β的值为（）A ．7198B ．12C ．7198或12 D ．7198或59987．设函数()()22()2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是（）A ．15B ．25C ．12D ．18．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．43 B ．83C ．2D ．49．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有周长为5且))sin :sin :sin 11A B C =的ABC △，则其面积为（）A B ．C D10．已知数列{}n b 满足11b =，2b =23项的和为（） A ．4194B ．4195C ．2046D ．204711．过点()3,0P -作直线()220ax a b y b +++=（a ，b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（）A ．0,5⎡+⎣B ．5⎡⎤⎣⎦C ．5,5⎡⎣D ．5⎡⎣12．定义：如果函数()f x 的导函数为()f x '，在区间[],a b 上存在1x ，()212x a x x b <<<使得()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称()f x 为区间[],a b 上的"双中值函数"．已知函数()32132mg x x x =-是[]0,2上的"双中值函数"，则实数m 的取值范围是（）A ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),-∞+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019届河南省高考模拟试题精编(三)理科数学(word版)

2019届河南省高考模拟试题精编(三)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝2＋i1－i (i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( )A.32＋32i B.12－32i C.12＋32iD.32－32i 2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或23．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．8－4π3B ．8－πC ．8－2π3D ．8－π34．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为( )A.128127B.44 800127C.700127D.175325．已知点x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0x －2≤0，则z ＝3x ＋y 的最大值与最小值之差为( )A ．5B ．6C ．7D ．86．GZ 新闻台做《一校一特色》访谈节目，分A ，B ，C 三期播出，A 期播出两所学校，B 期，C 期各播出1所学校，现从8所候选学校中选出4所参与这三项任务，不同的选法共有( )A ．140种B ．420种C ．840种D ．1 680种7．执行如图的程序框图，则输出x 的值是()A ．2 018B ．2 019 C.12D ．28．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，且其离心率e ＝32，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 25＝1 B.x 25－y 24＝1 C.y 24－x 25＝1D.y 25－x 24＝1 9．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12B ．－12C.32D ．－3210．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是( )A ．男医生B ．男护士C ．女医生D ．女护士11．如图，在△ABC 中，AD→＝2DB →，BC →＝2BE →，AE 与CD交于点F ，过点F 作直线QP ，分别交AB ，AC 于点Q ，P ，若AQ→＝λAB →，AP →＝μAC →，则λ＋μ的最小值为( ) A.85B.95 C ．2D.11512．已知x ＝－1是函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 的一个极值点，四位同学分别给出下列结论，则一定不成立的结论是( )A ．a ＝0B ．b ＝0C ．c ≠0D ．a ＝c第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2017年高校毕业生就业形势仍然相当严峻，某社会调研机构对即将毕业的大学生就业所期望的月薪(单位：元)进行调查，共调查了3 000名大学生，并根据所得数据绘制了频率分布直方图(如图)，则所期望的月薪在[2 500,3 500)内的大学生有________名．14．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________. 15．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA →＋OB →－3OF →＝0，则弦AB 中点到抛物线C 的准线的距离为________．16．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝8，对所有正整数n 均有a n ＋2＋a n ＝a n ＋1，则∑n ＝12 018a n ＝________.三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c －a ＝2b cos A .(1)求角B 的大小；(2)若b＝23，求a＋c的最大值．18．(本小题满分12分)为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？理科意向文科意向总计男110女50总计(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科意向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.参考临界值：P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82 819．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2BC ，PA ⊥平面ABCD .(1)设E 为线段PA 的中点，求证：BE ∥平面PCD ；(2)若PA ＝AD ＝DC ，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值． 20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3,0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP→＝λRQ →(λ＞1)，求证：NF →＝λFQ →. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax －m (a ，m ∈R)在x ＝e(e 为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x 1，x 2.(1)求实数a 的值，以及实数m 的取值范围； (2)证明：ln x 1＋ln x 2＞2.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系下，圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ≤2π)．(1)求圆O 与直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，函数f (x )＝|2x ＋a |＋2|x －b2|＋1的最小值为2.(1)求a ＋b 的值；(2)求证：a ＋log 3⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ≥3－b .高考理科数学模拟试题精编(三)班级：_________姓名：___________得分：_____________题号123456789101112答案请在答题区域内答题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13._________14._________15.________16.___________三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分12分)18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．高考理科数学模拟试题精编(三)1-5BBDBC 6-10CDAAC 11-12AB13．答案：1 350 14．答案：4sin α 15．答案：9416．答案：1017．解：(1)∵2c －a ＝2b cos A ，∴根据正弦定理，得2sin C －sin A ＝2sin B cos A ，∵A ＋B ＝π－C ，(2分)可得sin C ＝sin(A ＋B )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，∴代入上式，得2sin B cos A ＝2sin B cos A ＋2cos B sin A －sin A ，化简得(2cos B －1)sin A ＝0 (4分)由A 是三角形的内角可得sin A ＞0，∴2cos B －1＝0，解得cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3；(6分)(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得12＝a 2＋c 2－ac .(8分)∴(a ＋c )2－3ac ＝12，由ac ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，－3ac ≥－3×(a ＋c )24，(a ＋c )2－3ac ≥(a＋c )2－34(a ＋c )2，∴12≥14(a ＋c )2，(当且仅当a ＝c ＝23时)，即(a ＋c )2≤48，∴a ＋c ≤43，(11分)∴a ＋c 的最大值为4 3.(12分)18．解：(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科意向文科意向总计男8030110女405090总计12080200 (4分)又K2＝200×(80×50－30×40)2120×80×110×90≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关．(6分)(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科意向”的概率为p＝80200＝25.依题意知ξ～B⎝⎛⎭⎪⎫3，25，(8分)所以P(ξ＝i)＝C i3⎝⎛⎭⎪⎫25i⎝⎛⎭⎪⎫1－253－i(i＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为ξ012 3P2712554125361258125所以期望E(ξ)＝np＝65，方差D(ξ)＝np(1－p)＝1825.(12分)19．解：(1)证明：取PD的中点G，连接EG，GC，则EG綊12AD，又BC綊12AD，所以EG綊BC，四边形BCGE为平行四边形．(4分) 所以BE∥GC，又BE⊄平面PCD，GC⊂平面PCD，所以BE∥平面PCD.(6分)(2)以A为坐标原点，AD→的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设PA ＝2，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，B (2,1,0)，AP→＝(0,0,2)，AB →＝(2,1,0)，PD →＝(0,2，－2)，DC →＝(2,0,0)．(8分) 设n ＝(x ，y ，z )是平面PAB 的法向量，则⎩⎨⎧n ·AP→＝0n ·AB→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝02x ＋y ＝0，令x ＝1，得y ＝－2，则n ＝(1，－2,0)是平面PAB 的一个法向量，同理，m ＝(0，－1，－1)是平面PCD 的一个法向量．(10分)所以cos 〈m ，n 〉＝m·n|m |·|n |＝25×2＝105，所以平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为105.(12分)20．解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，①直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，②(2分) 设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn6(x 2－6)，又mn＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(4分)(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋3x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*)(6分) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP →＝λRQ →，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2，(8分)由(1)得F (2,0)，要证NF →＝λFQ →，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)，只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，(10分)而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6t t 2＋3＝0成立，即NF→＝λFQ →成立．(12分) 21．解：(1)f ′(x )＝1x ·x －(ln x －a )x 2＝a ＋1－ln x x 2，由f ′(x )＝0⇒x ＝e a ＋1，且当0＜x ＜e a ＋1时，f ′(x )＞0，当x ＞e a ＋1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在x ＝e a ＋1时取得极值，所以e a ＋1＝e ⇒a ＝0.所以f (x )＝ln xx －m (x ＞0)，f ′(x )＝1－ln x x 2，函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，f (e)＝1e－m .(3分)又x →0(x ＞0)时，f (x )→－∞；x →＋∞时，f (x )→－m ，f (x )有两个零点x 1，x 2，故⎩⎨⎧1e－m ＞0－m ＜0，解得0＜m ＜1e.(5分)(2)证明：不妨设x 1＜x 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1＝mx 1ln x 2＝mx 2.则ln x 1x 2＝m (x 1＋x 2)，ln x 2x 1＝m (x 2－x 1)⇒m ＝ln x 2x 1x 2－x 1.欲证ln x 1＋ln x 2＞2，只需证ln(x 1·x 2)＞2，只需证m (x 1＋x 2)＞2，即证x 1＋x 2x 2－x 1ln x 2x 1＞2.(7分)即证1＋x 2x 1x 2x 1－1ln x 2x 1＞2，设t ＝x 2x 1＞1，则只需证ln t ＞2(t －1)t ＋1.即证ln t －2(t －1)t ＋1＞0.(9分)记u (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t ＞1)，则u ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2＞0.所以u (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以u (t )＞u (1)＝0，所以原不等式成立，故ln x 1＋ln x 2＞2，得证．(12分)22．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，(2分)直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(5分)(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，(9分)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.(10分) 23．解：(1)因为f (x )＝|2x ＋a |＋|2x －b |＋1≥|2x ＋a －(2x －b )|＋1＝|a ＋b |＋1，当且仅当(2x ＋a )(2x －b )≤0时，等号成立，(2分)又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋1＝2，所以a ＋b ＝1.(5分)(2)证明：由(1)知，a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝1＋4＋b a ＋4ab ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4ab 且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取等号．(7分) 所以log 3⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ≥log 39＝2，所以a ＋b ＋log 3⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ≥1＋2＝3，即a ＋log 3⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ≥3－b .(10分)。

2019届河南省高考模拟试题精编(一)理科数学(word版)

2019届河南省高考模拟试题精编(一)理科数学（word版）(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设全集Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A．3B．4C．7D．82．若复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，其中m是实数，则1z＝()A．i B．－i C．2i D．－2i3．已知等差数列{a n}的公差为5，前n项和为S n，且a1，a2，a5成等比数列，则S6＝()A．80 B．85 C．90 D．954．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是( )A.34B.23C.12D.135．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是( )6．已知p ：a ＝±1，q ：函数f (x )＝ln(x ＋a 2＋x 2)为奇函数，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4x 2＋43展开式的常数项为( ) A ．120 B ．160 C ．200 D ．2408．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为( )A ．3.119B ．3.126C ．3.132D ．3.1519．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6|对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z) 10．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若PF→＝3MF →，则|MN |＝( ) A.212B.323C ．10D ．1111．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.5612．已知函数f (x )＝|2x －m |的图象与函数g (x ) 的图象关于y 轴对称，若函数f (x )与函数g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 B ．[2,4] C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[4，＋∞)D ．[4，＋∞) 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知|a |＝2，|b |＝1，(a －2b )·(2a ＋b )＝9，则|a ＋b |＝________.14．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5≥02x ＋y －4≤0y ＋2≥0，则z ＝x ＋y 的最小值为________．15．已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MF →·NF →＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．16．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy 平面内，若函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，0)cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的图象与x 轴围成一个封闭区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向上移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 相等，则此圆柱的体积为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．18．(本小题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AC 与BD 相交于点E ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)求二面角A -PC -D 的余弦值．19．(本小题满分12分)某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为13.(1)若出现故障的机器台数为X ，求X 的分布列；(2)该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝43，A ⎝⎛⎭⎪⎫3，－132是椭圆上一点． (1)求椭圆C 的标准方程和离心率e 的值；(2)若T 为椭圆C 上异于顶点的任一点，M ，N 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM 与y 轴交于点P ，直线TN 与x 轴交于点Q ，求证：|PN |·|QM |为定值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a 和b 的值； (2)讨论方程f (x )＝0的解的个数，并说明理由．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θy ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|PA |·|PB |的值． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋m |(x ∈R)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若不等式f (x )≤5的解集不是空集，求参数m 的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(一)班级：___________姓名：__________得分：___________请在答题区域内答题18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)20.(本小题满分12分)详解答案高考理科数学模拟试题精编(一)1． D. 2． A. 3． C. 4．D. 5． D. 6． C. 7．B. 8．B. 9． C. 10 B. 11． C. 12． A. 13 答案： 3 14. 答案：－13 15．答案： 2 16．答案：π＋417．解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，(4分)联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(6分)(2)∵sin C ＋sin (B －A)＝2sin 2A ，∴sin (B ＋A)＋sin (B －A)＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ，(8分) ①当cos A ＝0时，A ＝π2；(9分)②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理b ＝2a ，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433， ∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.(12分)18．解：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA. 又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB ＝ 3.(2分)∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，(4分) ∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC.又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC.(6分) (2)建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A(0,0,0)，B(23，0,0)，C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，CD→＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，BD →＝(－23，2,0)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y,1)，则CD →·n ＝0，PD →·n ＝0，∴⎩⎨⎧－23x －4y ＝02y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－433y ＝2，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，2，1.(8分)由(1)知平面PAC 的一个法向量为m ＝BD →＝(－23，2,0)，(10分) ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m |·|n |＝8＋4933×4＝39331，由题意可知二面角A -PC -D 为锐二面角， ∴二面角A -PC -D 的余弦值为39331.(12分)19．解：(1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为A ，则事件A 的概率为13，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为X ，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (X ＝1)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝2)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481，P (X ＝3)＝C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＝881，P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181.即X 的分布列为：(4分)(5分)(2)设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为x ≤n ，即x ＝0，x ＝1，…，x ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则(6分)∵7281≤90%≤8081， ∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%.(8分)(3)设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为：18,13,8 P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝7281， P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝881，P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝181，(10分) 即Y 的分布列为：(11分) 则E (Y )＝18×7281＋13×881＋8×181＝1 40881，故该厂获利的均值为1 40881.(12分) 20．解：(1)解法一：∵|F 1F 2|＝43，∴c ＝23，F 1(－23，0)，F 2(23，0)．(1分)由椭圆的定义可得2a ＝(3＋23)2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1322＋(3－23)2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1322＝1214＋254＝112＋52＝8，解得a ＝4，∴e ＝234＝32，b 2＝16－12＝4，(3分) ∴椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(5分)解法二：∵|F 1F 2|＝43，∴c ＝23，椭圆C 的左焦点为F 1(－23，0)，故a 2－b 2＝12，(2分)又点A (3，－132)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则3b 2＋12＋134b 2＝1，化简得4b 4＋23b 2－156＝0，得b 2＝4，故a 2＝16，∴e ＝234＝32，椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(5分) (2)由(1)知M (4,0)，N (0,2)，设椭圆上任一点T (x 0，y 0)(x 0≠±4且x 0≠0)，则x 2016＋y 204＝1. 直线TM ：y ＝y 0x 0－4(x －4)，令x ＝0，得y P ＝－4y 0x 0－4，(7分)∴|PN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4y 0x 0－4.(8分) 直线TN ：y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0，得x Q ＝－2x 0y 0－2，∴|QM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋2x 0y 0－2.(10分) |PN |·|QM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4y 0x 0－4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋2x 0y 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4y 0－8x 0－4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4y 0－8y 0－2 ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－8x 0－16y 0＋16x 0y 0－2x 0－4y 0＋8，由x 2016＋y 204＝1可得x 20＋4y 20＝16，代入上式得|PN |·|QM |＝16，故|PN |·|QM |为定值．(12分)21．解：(1)因为f ′(x )＝x －ax (x ＞0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，所以f (2)＝2－a ln 2＝2＋b ，f ′(2)＝2－a2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln 2.(2分)(2)当a ＝0时，f (x )在定义域(0，＋∞)内恒大于0，此时方程无解．(4分) 当a ＜0时，f ′(x )＝x －ax ＞0在区间(0，＋∞)内恒成立，所以f (x )在定义域内为增函数．因为f (1)＝12＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1a ＝12e 2a －1＜0，所以方程有唯一解．(6分)当a ＞0时，f ′(x )＝x 2－ax .当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0，a )内为减函数，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(a ，＋∞)内为增函数，所以当x ＝a 时，取得最小值f (a )＝12a (1－ln a )．(8分)当a ∈(0，e)时，f (a )＝12a (1－ln a )＞0，方程无解；(9分)当a ＝e 时，f (a )＝12a (1－ln a )＝0，方程有唯一解；(10分)当a ∈(e ，＋∞)时，f (a )＝12a (1－ln a )＜0，因为f (1)＝12＞0，且a ＞1，所以方程f (x )＝0在区间(0，a )内有唯一解，当x ＞1时，设g (x )＝x －ln x ，g ′(x )＝1－1x ＞0，所以g (x )在区间(1，＋∞)内为增函数，又g (1)＝1，所以x －ln x ＞0，即ln x ＜x ，故f (x )＝12x 2－a ln x ＞12x 2－ax .因为2a ＞a ＞1，所以f (2a )＞12(2a )2－2a 2＝0.所以方程f (x )＝0在区间(a ，＋∞)内有唯一解，所以方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)内有两解，综上所述，当a ∈[0，e)时，方程无解，当a ＜0或a ＝e 时，方程有唯一解，当a ＞e 时，方程有两解．(12分)22．解：(1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θy ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.(2分)当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12ty ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，(3分)得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，332.(5分) (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，(7分)则|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α，(9分) 由已知得tan α＝2，故|PA |·|PB |＝403.(10分)23．解：(1)当m ＝1时，f (x )≥6等价于⎩⎨⎧x ≤－1－(x ＋1)－(x －3)≥6，或⎩⎨⎧－1＜x ＜3(x ＋1)－(x －3)≥6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3(x ＋1)＋(x －3)≥6，(3分)解得x ≤－2或x ≥4，所以不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤－2或x ≥4}．(5分) (2)解法一：化简f (x )得，当－m ≤3时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3－m ，x ≤－mm ＋3，－m ＜x ＜32x ＋m －3，x ≥3，(6分)当－m ＞3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3－m ，x ≤3－3－m ，3＜x ＜－m ，2x ＋m －3，x ≥－m(7分)根据题意得：⎩⎨⎧－m ≤3m ＋3≤5，即－3≤m ≤2，(8分)或⎩⎨⎧－m ＞3－m －3≤5，即－8≤m ＜－3，(9分)。

2019年河南省六市高考数学一模试卷(理科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |y ＝ln （2﹣x ）}，则A ∩B ＝（） A ．[﹣3，2）B ．（2，3]C ．[﹣1，2）D ．（﹣1，2）【解答】解：∵集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}＝[﹣1，3]， B ＝{x |y ＝ln （2﹣x ）}＝{x |2﹣x ＞0}＝{x |x ＜2}＝（﹣∞，2）； ∴A ∩B ＝[﹣1，2）．故选：C ．2．（5分）设复数z ＝1+i ，则5z +z 2＝（）A ．−52+i2B ．−52−i2C ．52+i2D ．52−i2【解答】解：∵z ＝1+i ，∴5z +z 2=51+i +(1+i)2=5(1−i)(1+i)(1−i)+2i=52−52i +2i =52−12i ．故选：D ．3．（5分）cos70°sin50°﹣cos200°sin40°的值为（） A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32【解答】解：cos70°sin50°﹣cos200°sin40° ＝cos70°sin50°+cos20°sin40° ＝cos70°sin50°+sin70°cos50° ＝sin （50°+70°）＝sin120° =√32．故选：D ．4．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A ．1415B ．1315C ．29D ．79【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为C 102＝45（种）， 2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 32＝3（种），由对立事件的概率计算公式得P ＝1−345=1415．故选：A ．5．（5分）已知函数f （x ）＝3ln （x +√x 2+1）+a （7x +7﹣x ），x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f（x ）为奇函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若a ＝0，则f （x ）＝3ln （x +√x 2+1），则f （﹣x ）+f （x ）＝3ln （﹣x +√x 2+1）+3ln （x +√x 2+1）＝3（ln （﹣x +√x 2+1）（x +√x 2+1）＝3ln （x 2+1﹣x 2）＝3ln 1＝0，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即f （x ）是奇函数，即充分性成立，若函数f （x ）是奇函数，则满足f （0）＝0，即f （0）＝0，即f （0）＝3ln 1+a （1+1）＝2a ＝0，则a ＝0，即必要性成立，则“a ＝0”是“函数f （x ）为奇函数”的充要条件，故选：C ．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为（）A ．64﹣2πB ．64+2πC ．80﹣2πD ．80+2π【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个14圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为S ＝2×42+2×4×2+（2×42−12π×22）+14×2π×2×4＝80+2π．故选：D ．7．（5分）若x ∈（e ﹣1，1），a ＝lnx ，b =(12)lnx ，c ＝e lnx ，则（）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c【解答】解：∵x ∈（e ﹣1，1） ∴a ＝lnx ＜ln 1＝0 即a ＜0考察幂函数f （t ）＝t lnx ∵lnx ＜0∴当t ＞0时，f （t ）是减函数 ∵12＜e∴b =(12)lnx ＞c =e lnx ＞0 所以有b ＞c ＞a 故选：A ．8．（5分）若将函数f （x ）＝sin （2x +φ）+√3cos （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点（π2，0）对称，则函数g （x ）＝cos （x +φ）在[−π2，π6]上的最小值是（） A ．−12B ．−√32C ．√22D ．12【解答】解：∵f （x ）＝sin （2x +φ）+√3cos （2x +φ）＝2sin （2x +φ+π3），∴将函数f （x ）图象向左平移π4个单位后，得到函数解析式为：y ＝2sin[2（x +π4）+φ+π3]＝2cos （2x +φ+π3），∵函数的图象关于点（π2，0）对称，∴对称中心在函数图象上，可得：2cos （2×π2+φ+π3）＝2cos （π+φ+π3）＝0，解得：π+φ+π3=k π+π2，k ∈Z ，解得：φ＝k π−5π6，k ∈Z ， ∵0＜φ＜π， ∴解得：φ=π6， ∴g （x ）＝cos （x +π6）， ∵x ∈[−π2，π6]，x +π6∈[−π3，π3]，∴cos （x +π6）∈[12，1]，则函数g （x ）＝cos （x +φ）在[−π2，π6]上的最小值是12．故选：D ．9．（5分）已知变量x 、t 满足约束条件{x +2y ≥22x +y ≤44x −y ≥−1，则目标函数z ＝3x ﹣y 的最大值是（）A ．﹣4B ．−32C ．﹣1D ．6【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z ＝3x ﹣y 得y ＝3x ﹣z ，显然直线过（2，0）时z 最大， z 的最大值是6，故选：D ．10．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a−c b=cosC cosB，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（） A ．4√3B ．2√3C ．2D ．√3【解答】解：∵在△ABC 中2a−c b=cosC cosB，∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ，约掉sin A 可得cos B =12，即B =π3，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S =12ac sin B =√34ac ≤4√3 故选：A ．11．（5分）抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，若x 1+x 2+4=2√33|AB |，则∠AFB 的最大值为（） A ．π3B ．3π4C ．5π6D ．2π3【解答】解：因为x 1+x 2+4=2√33|AB|，|AF |+|BF |＝x 1+x 2+4，所以|AF|+|BF|=2√33|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB =|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=(|AF|+|BF|)2−2|AF|⋅|BF|−|AB|22|AF|⋅|BF|=43|AB|2−|AB|22|AF|⋅|BF|−1=13|AB|22|AF|⋅|BF|−1．又|AF|+|BF|=2√33|AB|≥2√|AF|⋅|BF|⇒|AF|⋅|BF|≤13|AB|2．所以cos∠AFB ≥13|AB|22×13|AB|2−1=−12，∴∠AFB 的最大值为2π3，故选：D ．12．（5分）函数f （x ）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f ′（x ）为其导函数，若f （x ）+（x ﹣1）f ′（x ）＝x 2（x ﹣2），且f （e 2）＝0，则不等式f （e x ）＜0的解集为（） A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．（2，+∞）【解答】解：函数f （x ）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f '（x ）为其导函数，令φ（x ）＝（x ﹣1）f （x ），则φ′（x ）＝（x ﹣1）•f '（x ）+f （x ）＝x 2（x ﹣2）， ∴当x ∈（1，2）时，φ（x ）是单调减函数，x ∈（2，+∞）时，函数是单调增函数， ∵f （e 2）＝0，∴φ（e 2）＝（e 2﹣1）f （e 2）＝0，又φ（1）＝φ（e 0）＝0， ∴不等式f （e x ）＜0的解集就是（e x ﹣1）f （e x ）＜0的解集，即φ（e x ）＜0，∴e 0＜e x ＜e 2，∴0＜x ＜2，故不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量a →=（1，0），|b →|＝2，a →与b →的夹角为60°，若c →=a →+b ，d →=a →−b →，则c →在d →方向上的投影为 −√3 ．【解答】解：|a →|=1，|b →|=2，a →，b →的夹角为60°； ∴a →⋅b →=1；∴d →2=(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=1−2+4=3； ∴|d →|=√3，且c →⋅d →=a →2−b →2=1−4=−3； ∴c →在d →方向上的投影为：|c →|cos ＜c →，d →＞=|c →|⋅c →⋅d→|c →||d →|=−3√3=−√3．故答案为：−√3．14．（5分）在(x −1x −1)4的展开式中，常数项为 ﹣5 ．【解答】解：(x −1x −1)4的展开式中的通项公式：T r +1=∁4r （﹣1）4﹣r (x −1x)r （r ＝0，1，2，3，4）．∵(x −1x )r 的通项公式：T k +1=∁r k x r−k (−1x )k =（﹣1）k ∁r k xr ﹣2k，令r ﹣2k ＝0，即r ＝2k ．r ＝0，k ＝0；r ＝2，k ＝1；r ＝4，k ＝2．∴常数项＝1−∁21×∁42+∁42×1＝﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（b ＞a ＞0），焦距为2c ，直线l 经过点（a ，0）和（0，b ），若（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ，则离心率为 √3 ．【解答】解：直线l 的方程为xa +y b=1，即为bx +ay ﹣ab ＝0，c 2＝a 2+b 2，（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ，可得：√a 2+b 2=2√23c ，即有3ab =√2c 2，即9a 2b 2＝2c 4，即9a 2（c 2﹣a 2）＝2c 4， 9a 2c 2﹣9a 4﹣2c 4＝0，由于e =ca ，则2e 4﹣9e 2+9＝0，解得，e 2＝3或e 2=32．由于0＜a ＜b ，即a 2＜b 2，即有c 2＞2a 2，即有e 2＞2，则e =√3或e =√62舍去．故答案为：√3．16．（5分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上一点（不含端点），将△ACD 沿直线AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得C 1在平面ABD 外，若C 1在平面ABD 上的射影H 恰好在线段AB 上，则AH 的取值范围是（1，√2）．【解答】解：∵在等腰Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上的一点， ∴AC ＝BC =√2，∠ACB ＝90°，将△ACD 沿直AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得点C 1在平面ABD 外，且点C 1在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AH ＝x ， ∴AC 1＝AC =√2，CD ＝C 1D ∈（0，√2），∠AC 1D ＝90°， C 1H ⊥平面ABC ，∴AH ＜AC 1=√2，当CD =√2时，B 与D 重合，AH ＝1，当CD ＜√2时，AH ＞12AB ＝1， ∵D 为直角边BC 上的一点， ∴CD ∈（0，√2），∴AH 的取值范围是（1，√2）．故答案为：（1，√2）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）设数列{a n }前n 项和为S n ，且满足a 1＝r ，S n ＝a n +1−132(n ∈N ∗)．（Ⅰ）试确定r 的值，使{a n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）当n ＝1时，S 1=a 2−132，a 2=a 1+132，当n ≥2时，S n−1=a n −132，与已知式作差得a n ＝a n +1﹣a n ，即a n +1＝2a n （n ≥2），欲使{a n }为等比数列，则a 2＝2a 1＝2r ，又a 2=a 1+132，∴r =132，故数列{a n }是以132为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−6；（Ⅱ）由（I ）知b n ＝n ﹣6，∴|b n |={6−n ，n ＜6n −6，n ≥6，若n ＜6，T n =−b 1−⋯−b n =11n−n 22，若n ≥6，T n =−b 1−⋯−b 5+b 6+⋯+b n =n 2−11n2+30，∴T n ={11n−n 22，n ＜6n 2−11n2+30，n ≥6． 18．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望和方差；（i）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．应从甲部门的员工中抽取：7×3232+48+32=2人，乙部门的员工中抽取：7×4832+48+32=3人，丙部门的员工中抽取：7×3232+48+32=2人．（Ⅱ）（i）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）=C43C73=435，P（X＝1）=C31C42C73=1835，P（X＝2）=C32C41C73=1235，P（X＝3）=C33C73=135，∴随机变量X的分布列为：X0123P43518351235135E（X）=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97，D（X）＝（0−97）2×435+（1−97）2×1835+（2−97）2×1235+（3−97）2×135=198343．（ii）抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．基本事件总数n=C73=35，A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，则事件A包含的基本事件个数m=C73−C33−C43=30，∴事件A 发生的概率P （A ）=m n =3035=67． 19．（12分）已知五边形ABECD 有一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝2CD ，将梯形ABCD 沿着BC 折起，形成如图2所示的几何体，且AB ⊥平面BEC ．（1）求证：平面ABE ⊥平面ADE ；（2）求二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，则GF ∥=12AB ．∵DC =∥12AB ，：．CD ∥GF 且CD ＝GF ，：．四边形CFGD 为平行四边形，：．CF ∥DG ．∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥CF ． ∵CF ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面ABE ， ∵CF ∥DG ， ∴DG ⊥平面ABE ，∵DG ⊂平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE ．以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝4，则A （0，﹣2.4），B （0，﹣2，0），D （0，2，2），E （2√3，0，0）， ∴ED →=（﹣2√3，2，2），EA →=（﹣2√3，﹣2，4），EB →=（﹣2√3，﹣2，0），设平面EAD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则有{n →⋅ED →=0n →⋅EA →=0，即{−√3x +y +z =0−√3x −y +2z =0．取z ＝2，得x =√3，y ＝1，则n →=（√3，1，2），设平面BDE 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅ED →=0m →⋅EB →=0，即{−√3x +y +z =0√3x +y =0，取x ＝1，得y =−√3，z ＝2√3，则m →=（1，−√3，2√3）．cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →||n →|=√64，又由图可知，二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角为锐角，即二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角的余弦值是√64．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的任意一点，且|PF 1|•|PF 2|的最大值为4，椭圆C 的离心率与双曲线x 24−y 212=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P （﹣1，32），过点P 作两条直线l 1，l 2与圆（x +1）2+y 2＝r 2（0＜r ＜32）相切且分别交椭圆于M ，N ，求证：直线MN 的斜率为定值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线x 24−y 212=1的离心率为42=2，可得椭圆C 的离心率为12，设椭圆的半焦距为c ，∴a ＝2c ， ∵|PF 1|•|PF 2|≤（|PF 1|+|PF 2|2）2＝a 2，∴a 2＝4， ∴c ＝1，又b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3 ∴椭圆方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）证明：显然两直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由于直线l 1，l 2与圆（x +1）2+y 2＝r 2（0＜r ＜32）相切，则有k 1＝﹣k 2，直线l 1的方程为y −32=k 1（x +1），联立椭圆方程3x 2+4y 2＝12，消去y ，得x 2（3+4k 12）+k 1（12+8k 1）x +（3+2k 1）2﹣12＝0， ∵P ，M 为直线与椭圆的交点，所以x 1﹣1=−k 1(12+8k 1)3+4k 12，同理，当l 2与椭圆相交时，x 2﹣1=k 1(12−8k 1)3+4k 12，∴x 1﹣x 2=−k 1(12+8k 1)3+4k 12−k 1(12−8k 1)3+4k 12=−24k 13+4k 12，而y 1﹣y 2＝k 1（x 1+x 2）+2k 1=12k 13+4k 12， ∴直线MN 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=−12．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣x −√x ．（Ⅰ）判断f(x)x的单调性；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的零点的个数；（Ⅲ）令g （x ）=2f(x)+√x +lnx ，若函数y ＝g （x ）在（0，1e）内有极值，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设φ（x ）=f(x)x =x 2﹣1x（x ＞0），则φ'（x ）＝2x 12√x 0，∴φ（x ）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）∵φ（1）＝﹣1＜0，φ（2）＝320，且φ（x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴φ（x ）在（1，2）内有零点，又f （x ）＝x 3﹣x −√x =x •φ（x ），显然x ＝0为f （x ）的一个零点， ∴f （x ）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g （x ）=ax 2+ax x 3−x +lnx ＝lnx +ax−1，则g '（x ）=1x −a (x−1)2=x 2−(2+a)x+1x(x−1)2，设h （x ）＝x 2﹣（2+a ）x +1，则h （x ）＝0有两个不同的根x 1，x 2，且有一根在（0，1e）内，不妨设0＜x 1＜1e，由于x 1x 2＝1，即x 2＞e ，由于h （0）＝1，故只需h （1e ）＜0即可，即1e 2−（2+a ）⋅1e +1＜0，解得a ＞e +1e−2，∴实数a 的取值范围是（e +1e−2，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线θ=π6与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点（异于极点O ），定点M （3，0），求△MAB 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，∴曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ﹣ρ2sin 2θ＝2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） ∵曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．∴曲线C 2的普通方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∴x 2+y 2﹣4x ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：点A 的极坐标为（2，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）点B 的极坐标为（2√3，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴|AB |＝|2﹣2√3|＝2√3−2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） M （3，0）点到射线θ=π6（ρ≥0）的距离为d ＝3sin π6=32，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∴△MAB 的面积为：S △MAB =12|AB |d =12×(2√3−2)×32=3√3−32．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +2|﹣5．（Ⅰ）解不等式：f （x ）≥|x ﹣1|；（Ⅱ）当时x ≥﹣1时，函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）|2x +2|﹣5≥|x ﹣1|等价于{x ≤−1−2x −2−5≥1−x 或{−1＜x ≤12x +2−5≥1−x 或{x ＞12x +2−5≥x −1，解得x ≤﹣8或x ∈∅或x ≥2，综上所述，不等式f （x ）≥|x ﹣1|的解集为（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）；（Ⅱ）当m ＝﹣1时，则g （x ）＝|2x +2|﹣5+|x ＝1|＝3|x +1|﹣5＝3x ﹣2＞0，只需g （﹣1）＝﹣3﹣2＞0，不可能！当m ＞﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝|x ﹣m |+2x ﹣3={3x −m −3，x ≥m x +m −3，x ＜m ，要使函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，则g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣1+m ﹣3＞0，可得m ＞4，当m ＜﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝3x ﹣m ﹣3＞0恒成立，只需要g （x ）min ＝﹣3﹣m ﹣3＞0，可得m ＜﹣6，综上所述，实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞）．。

河南省2019年高考理科数学试题及答案

河南省2019年高考理科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则MN =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y += B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A +B ．A =12A +C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年河南省普通高中高考数学模拟试卷含解析(理科)(3月份)-普通用卷

2019年河南省普通高中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2，3}，B={y|y=x2+1，x∈R}，P=A∩B，则P的子集个数为（）A. 4B. 6C. 8D. 162.已知复数z满足（1+i）z=（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图，下列说法正确的是（）A. 该超市208年的12个月中11月份的收益最高B. 该超市2018年的12个月中1月份和3月份的收益最低C. 该超市2018年上半年的总收益高于下半年的总收益D. 该超市2018年下半年的总收益比上半年的总收益增长了约4.下列命题是真命题的是（）A. ∈，B. 若，则C. 已知A，B为的两个内角，若，则D. 函数的图象与函数的图象关于直线对称5.函数y=的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知a=log23•log34，则（ax+）6的展开式中的常数项为（）A. 15B. 60C. 120D. 2407.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，E为正方体内任意一点，则AE的长度大于3的概率等于（）A. B. C. D.8.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3B.C.D. 19. 已知 ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且a 2+b 2-c 2=4 S ，c =1，则 b -a 的最大值为（）A. B. 2 C. 3 D.10. 已知 ABC 的顶点A ，B 在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，顶点C 为该抛物线的焦点，则满足条件的正三角形个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知奇函数f （x ）是定义在R 上的增函数，g （x ）=sin•f （x ），若a =g （-log 26.1），b =g （20.9），c =g （2），则a ，b ，c 的大小关系为（） A. B.C.D.12. 已知函数f （x ）=3sin （ωx +φ），（ω＞0，0＜φ＜），f （-）=0，f （）=f （x ），且函数f （x ）在区间（，）上单调，则ω的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设实数x ，y 满足，则z =x -3y 的最大值为______． 14. 辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公约数的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至汉朝时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m =1995，n =228，则输出的m 的值为______．15. 已知双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，左、右顶点分别为A 1，A 2，坐标原点为O ，若以线段A 1A 2为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，且∠PFO =45°，则双曲线的离心率为______． 16. 已知点P ，A ，B ，C 均在表面积为36π的球面上，其中PA ⊥平面ABC ，∠BAC =30°，AC = AB ，则三棱锥P -ABC的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +1=2S n （n ∈N *）．（1）求数列{S n }的通项公式；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．18.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是AB的中点，将ADP沿DP向上折起到A1DP的位置，使平面A1DP⊥平面BCDP．（1）求证：A1D⊥CP；（2）求二面角B-A1C-P的余弦值．19.第十一届全国少数民族传统体育运动会将于2019年9月8日至16日在郑州市举行，全国少数民族传统体育运动会每四年举办一次，是我国级别最高、影响力最大的民族传统体育赛事，其中以龙舟项目最为刺激、场面最为宏大，其起源可追溯到原始社会末期，已被列入国家级物质文化遗产名录．河南省参加公开组标准龙舟500米直道竞速比赛的队伍从甲、乙两队中选拔产生．甲、乙两队共参加十轮对抗赛成绩统计如表：（1）把甲、乙两队的成绩整理在如图所示的茎叶图中（单位：秒），并根据茎叶图判断两队成绩的方差的大小（不需要计算）．（2）用频率估计总体，甲、乙两队进行三轮比赛，甲队获胜的次数为X，求X的分布列和数学期望．（3）若正式比赛时共分三轮，取最好的一轮成绩作为最终成绩决出冠军．根据往届成绩，150秒以内（含150秒）可获冠军，否则不能获得冠军．用样本频率估计总体，你认为哪个队参加比赛获冠军的概率较大？该队获冠军的概率是多少？20.已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P为椭圆上任意一点（除A1，A2外），PA1，PA2的斜率的乘积等于，且圆O：x2+y2=1经过椭圆的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）如图，若直线l1：y=kx+m与圆O相切，且与椭圆相交于A，B两点，直线l2与11平行且与椭圆相切于点C（点O，C位于直线l1的两侧），记ABC，OAB的面积分别为S1，S2，求的取值范围．21.已知函数f（x）=．（1）若直线l：y=kx+2e与y=f（x）的图象相切，求实数k的值；（2）设a≥2e，求证：对∀k＜0，直线l：y=kx+a与y=f（x）的图象有唯一公共点．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于P，Q两点，求+的值．23.关于x的不等式|x-2|＜m（m∈N*）的解集为A，且∈A，∉A．（1）求m的值；（2）若a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=mabc，求证：a+4b+9c≥36．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={y|y≥1}，A={0，1，2，3}；∴P=A∩B={1，2，3}；∴P的子集个数为：．故选：C．可解出B={y|y≥1}，从而进行交集的运算即可得出P={1，2，3}，从而根据组合知识即可得出集合P的子集个数．考查列举法、描述法的定义，交集的运算，以及集合子集个数的求法．2.【答案】D【解析】解：由（1+i）z===，得z=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，-），所在的象限为第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：①由图知，该超市208年的12个月中7月份的收益最高，故选项A错误，②由图知，该超市2018年的12个月中4月份的收益最低，故选项B错误，③由图知，该超市2018年上半年的总收益为140万元，下半年的总收益为240万元，故选项C错误，④由③知：该超市2018年下半年的总收益比上半年的总收益增长了≈0.714，故选项D正确，综合①②③④得：选项D正确，故选：D．先对图象数据的分析处理，再逐一进行检验即可得解本题考查了对图象数据的分析处理，属中档题4.【答案】C【解析】解：由y=3x和y=log3x的图象关于直线y=x对称，且y=x和y=3x的图象无交点，且y=x在y=3x的下方，可得∀x＞0，3x＞log3x，故A错误；若a＞b，m=0时，am2=bm2，故B错误；A，B为ABC的两个内角，若A＞B，可得a＞b，即2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB，故C正确；令t=1+x，即x=t-1，可得y=f（t）和y=f（2-t）的图象关于t=1即x=0对称，故D错误．故选：C．由指数函数和对数函数的图象关于直线y=x对称，可判断A；由a＞b．m=0，可判断B；由三角形的正弦定理和边角关系，可判断C；由函数的图象对称可判断D．本题考查函数的对称性和不等式的性质、正弦定理和三角形的边角关系，考查判断能力和推理能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：当x→+∞时，y→+∞，排除D，由y=0得=0，得x-1=0，即x=1，即函数只有一个零点，排除A，B，故选：C．求出函数零点的个数，以及当x→+∞时时，函数的极限，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数零点个数以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：已知a=log23•log34=•=log24=2，则（ax+）6=（2x+）6的展开式的通项公式为T r+1=•26-r•x6-3r，令6-3r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为•24=240，故选：D．利用对数的运算，求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查对数的运算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积33=27，满足|AE|≤3的基本事件为A为球心3为半径的求内部在正方体中的部分，其体积为V=×π×33=，故则AE的长度大于3的概率P=1-=1-．故选：A．由题意可得概率为体积之比，分别求正方体的体积和八分之一球的体积可得．本题考查几何概型，涉及正方体和求的体积公式，属基础题．8.【答案】C【解析】解：几何体的直观图如图，是底面为直角梯形的直棱柱，截去一个三棱锥的几何体，所以几何体的体积为：V DCGE-ABHF-V F-BGH==．故选：C．画出几何体的直观图，判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查空间几何体的体积的求法，三视图与直观图的判断，考查空间想象能力以及计算能力．9.【答案】B【解析】解：∵ ABC中，S=absinC，cosC=，且a2+b2-c2=4S，∴2abcosC=4××absinC，解得：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=，∵c=1，∴=2，可得：a=2sinA，b=2sinB=2sin（-A），∴b-a=2sinB-2sinA=2sin（-A）-2sinA=2（cosA+sinA）-2sinA=cosA+sinA=2sin（A+）≤2．可得b-a的最大值为2．故选：B．利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理列出关系式，分别代入已知等式，整理求出tanC的值，即可确定出C的度数，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b-a=2sin（A+），利用正弦函数的性质可求最大值．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由抛物线y2=2px（P＞0）的焦点F（，0），等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称，两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x-），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，故选：B．由题意可知：y2=2px（P＞0）的焦点F（，0），则两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x-），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性，考查数形结合思想，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数且在R上是增函数，则f（0）=0，则有在（0，+∞）上，f（x）＞0，f′（x）＞0，g（x）=sin•f（x），则g（-x）=sin（-）f（-x）=sin•f（x）=g（x），则函数g（x）为偶函数，g′（x）=cos f（x）+sin•f′（x），在（0，π）上，有g′（x）＞0，g（x）在（0，π）上为增函数，a=g（-log26.1）=g（log26.1），且20.9＜21＜2=log24＜log26.1＜π，则有b＜c＜a；故选：D．根据题意，由f（x）的奇偶性以及单调性可得在（0，+∞）上，f（x）＞0，f′（x）＞0；对于g（x），由其解析式可得g（-x）=sin（-）f（-x）=sin•f（x）=g（x），则函数g（x）为偶函数，求出其导数分析可得g（x）在（0，π）上为增函数，又由a=g（-log26.1）=g（log26.1），且20.9＜21＜2=log24＜log26.1＜π，分析可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析g（x）的单调性以及奇偶性，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=3sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜），f（-）=3sin（-+φ）=0，∴-+φ=mπ，（m∈Z）①f（）=f（x），∴f（x）的图象关于直线x=对称．（k∈Z）②由①②得：，（k∈Z）由于：0＜φ＜），故：f（x）=3sin（ωx+），当函数为单调减函数时，，（k∈Z）整理得（k∈Z）由于函数f（x）在区间（）上单调，当k=0时，故；解得：3≤ω≤5（k∈Z），只有C选项在3≤ω≤5的范围内．故选：C．首先根据函数的关系式求出，进一步利用函数的单调区间建立不等式组，最后解不等式组求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.【答案】0【解析】解：由z=x-3y得y=x-z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x-z，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=x-z的截距最小，此时z最大，由，得A（3，1）．代入目标函数z=x-3y，得z=3-3×1=0，故答案为：0．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14.【答案】57【解析】解：由程序语言知：算法的功能是利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入的m=1995，n=228，1995=8×228+171；228=1×171+57，171=3×57+0，可得输出的m=57．故答案为：57程序的运行功能是求m=1995，n=228的最大公约数，根据辗转相除法可得m的值．本题考查了辗转相除法的程序框图，掌握辗转相除法的操作流程是关键，属于基础题．15.【答案】【解析】解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=x，由∠PFO=45°，可得直线PF的方程为y=-（x-c），联立渐近线方程，可得P（，），由|OP|=a，可得（）2+（）2=a2，由a2+b2=c2，可得2a3=b3+a2b，即有（a-b）（2a2+ab+b2）=0，可得a=b，则e===．故答案为：．求出双曲线的右焦点F和一条渐近线方程，由题意可设直线PF的方程，联立渐近线方程求得P的坐标，由|OP|=a，结合离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】3【解析】解：∵点P，A，B，C均在表面积为36π的球面上，∴球的半径为：r==3，∵PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，AC=AB，∴BC==AB．外接圆的半径为：r==AB．三棱锥的高PA=2=．则三棱锥P-ABC的体积：V==×，令AB2=x，则V2=≤×（）3=9．当且仅当x=9-x，即x=6，即AB=时取等号．三棱锥P-ABC的体积取最大值为3．故答案为：3．求出球的半径，三角形ABC的外接圆的半径，求出PA，然后求解棱锥的体积，利用基本不等式求解最值即可．本题考查几何体的体积计算，探索几何体的位置情况，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n，则：S n+1-S n=2S n．整理得：（常数），所以：数列{S n}是以S1=a1=1为首项，3为公比的等比数列．故：．（2）当n≥2时，，故：．则：当n=1时T1=1，当n≥2时，①则：②，①-②得：，整理得：，当n=1时符合上式，故：．【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求数列的和．18.【答案】证明：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是AB的中点，∴DP==，CP==，∴CD2=4=DP2+CP2，∴CP⊥DP，∵平面A1DP⊥平面BCDP，平面A1DP∩平面BCDP=PD，CP⊂平面BCDP，∴CP⊥平面A1DP，∵A1D⊂平面A1DP，∴A1D⊥CP．解：（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A1E⊥DP于点E，则A1E=，P（1，1，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（，，0），A1（，，），从而=（，-，），=（1，0，0），=（1，-1，0），设=（x，y，z）是平面A1BC的法向量，则，取z=3，得=（0，，3），设=（x，y，z）为平面A1CP的法向量，则，取z=，得=（1，1，），∴cos＜，＞===，∴二面角B-A1C-P的余弦值为．【解析】（1）推导出CP⊥DP，从而CP⊥平面A1DP，由此能证明A1D⊥CP．（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A1E⊥DP于点E，利用向量法能求出二面角B-A1C-P的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）把甲、乙两队的成绩整理在茎叶图中，如图所示；根据茎叶图判断甲队成绩的方差小于乙队成绩的方差；（2）在10轮比赛中，甲队获胜4次，用频率估计总体，甲队在每轮比赛中获胜的概率为P==，由题意知，X～B（3，），X=0，1，2，3；计算P（X=0）==，P（X=1）=××=，P（X=2）=××=，P（X=3）==；X数学期望为E（X）=3×=．（3）由于甲队10轮比赛中成绩在150秒以内（含150秒）的有5次，乙队10轮比赛中成绩在150秒以内（含150秒）的有6次，用样本频率估计总体，乙队参加比赛获冠军的概率较大；记“乙队参加比赛获得冠军”为事件B，则P（B）=1-=，所以乙队获冠军的概率是．【解析】（1）根据题意填写茎叶图，利用茎叶图中的数据判断甲队成绩的方差小于乙队成绩的方差；（2）根据题意知甲队在每轮比赛中获胜的概率，得出随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；（3）由甲、乙两队10轮比赛中成绩在150秒以内（含150秒）的次数，判断乙队参赛获冠军的概率较大，再计算乙队获冠军的概率值．本题考查了茎叶图与概率的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．20.【答案】解：（1）设椭圆上任意点P（除A1，A2外）的坐标为（x0，y0），∵A1（-a，0），A2（a，0），PA1，PA2的斜率的乘积等于，∴•=-，即=，∵+=1，∴y02=（a2-x02），∴=，∵圆O：x2+y2=1经过椭圆的焦点，∴c=1，∴a2-b2=1，解得a2=4，b2=3，故椭圆的方程为+=1．（2）直线l1：y=kx+m与圆O相切，则=1，即m2=1+k2，设直线l2的方程为y=kx+n，（n≠0），由，消y可得（3+4k2）x2+8knx+4n2-12=0，∵直线l2与椭圆相切于点C，∴ =64k2n2-4（3+4k2）（4n2-12）=0，∴n2=4k2+3，设C，O到线AB的距离分别为d1，d2，则d2=1，d1=-1，∴==-1=-1=-1，∵1+k2≥1，∴0＜≤1，∴3≤4-＜4，∴-1≤＜1，故的取值范围为[-1，1）【解析】（1）设椭圆上任意点P（除A1，A2外）的坐标为（x0，y0），根据斜率的乘积和点M在椭圆上，即可求出a2=4，b2=3则方程可得，（2）由直线和圆相切可得m2=1+k2，再根据直线l2与11平行且与椭圆相切于点C，可得n2=4k2+3，分别求出设C，O到线AB的距离分别为d1，d2，则面积比即为距离比，根据函数的性质即可求出本题考查了直线与椭圆的位置关系、直线与圆相切、点到直线的距离公式、根的判别式、三角形面积计算公式、不等式的性质、考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）设切点为（x0，），函数的导数f′（x）=，则切线斜率为f′（x0）=，则切线方程为y-=（x-x0），即直线l的方程为y=x+，∵y=kx+2e与y=f（x）的图象相切，∴=2e，即2ln x0-2e x0-1=0，令h（t）=2ln t-2e t-1，则h′（t）=-2e，由h′（t）＞0得-2e＞0，得0＜t＜e，此时为增函数，由h′（t）＜0得-2e＜0，得t＞e，此时为减函数，即当x=e时，h（t）取得极大值，h（e）=2ln e-2e•e-1=3-2-1=0，即h（t）=0有唯一的一个解t=e，即x0=e，则k====-．（2）令g（x）=-kx-a，则g′（x）=-k，g″（x）=，当0＜x＜e时，g″（x）＜0，g′（x）单调递减，当x＞e时，g″（x）＞0，g′（x）单调递增，∴g′（x）≥g′（e）=--k．①当k≤-时，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（e k）=-k•e k-a＜k（e-k-e k）＜0，当x≥1时，≥0，当x≥-时，-kx-a≥0，∴取x1=max{1，-}，则g（x1）≥-k•（-）-a=0，∴g（x）有唯一零点．②当＜k＜0时，注意到k=，a=2时，g（x）=+x-2在（0，+∞）上单调递增，∵g（e）=+-2=0，∴当0＜x≤e时，≤-x-2＜kx+a，故g（x）＜0，∴g（x）在（0，e]上没有零点，当x＞e时，g′（x）在[e，+∞）上单调递增，g′（e）=--k＜0，g′（-）=-k＞-k=0∴存在t∈（e，+∞），当e＜x＜t时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞t时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（e）=-k•e-a≤--k•e=-＜0，g（t）＜g（e）＜0，取x2=max{1，-}，则g（x2）＞0，∴g（x）=0有唯一零点，综上当a≥2e时，对∀k＜0，直线l：y=kx+a与y=f（x）的图象有唯一公共点．【解析】（1）设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系进行求解即可．（2）构造函数g（x）=-kx-a，求函数的导数，研究函数的极值和单调性，结合函数零点存在定理进行证明即可．本题主要考查导数的几何意义以及函数零点存在的判断，求出函数的导数，利用函数和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）由消去参数t得x2=y，即C1的普通方程为x2=y，由ρ=得mρsinθ+ρcosθ=2，将ρsinθ=y，ρcosθ=x代入得x+my-2=0，即C2的直角坐标方程为x +my-2=0．（2）由可得=4t，故4t的几何意义是抛物线x2=y上的点（原点除外）与原点连线的斜率，由题意知当m=0时，C2：x=2，则C1与C2只有一个交点，故m≠0，把代入x+my-2=0得4mt2+t-2=0设此方程的两根分别为t1，t2，则t1+t2=-，t1t2=-，所以+=+===【解析】（1）由消去参数t 得x2=y，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x可得C2的直角坐标方程；（2）联立C1的参数方程与C2的普通方程，利用韦达定理以及参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）∵∈A，∉A，∴|-2|＜m，||≥m，∴＜m≤，∵m∈N*，∴m=1．证明（2）：由（1）及以及条件知++=1，a，b，c均为正实数，∴a+4b+9c=（a+4b+9c）（++）=14++++++≥14+2+2+2=36，当且仅当a=2b=3c时等号成立，故a+4b+9c≥36【解析】（1）根据题意可得|-2|＜m，||≥m，即可求出m的值，（2）由1）及以及条件知++=1，再利用乘1法即可证明本题主要考基本不等式，不等式的解法，体现了转化论的数学思想，属于基础题．。

2019届河南省高考模拟试题精编(六)理科数学

2019届河南省高考模拟试题精编(六)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x∈N|πx＜16}，B＝{x|x2－5x＋4＜0}，则A∩(∁R B)的真子集的个数为()A．1B．3C．4D．72．复数1－3＋2i对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10,110]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[10,35)内的频数为80，则n的值为()A ．700B ．800C ．850D ．9004．cos 70° sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( ) A ．－32B ．－12C.12D.325．2016年9月3日，二十国集团(G20)工商峰会在杭州开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，杭州市决定举办大型歌舞晚会．现从A 、B 、C 、D 、E 5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A 和B 时，A 需排在B 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有( )A ．51种B ．45种C ．42种D ．36种6．某程序框图如图所示，若输入x 的值为4，则输出x 的值是( )A ．13B ．14C ．15D ．167．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥01x ，x ＜0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20＋5πB ．24＋5πC ．20＋(5－1)πD ．24＋(5－1)π9．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)与直线y ＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，则下列区间中是函数f (x )的单调递减区间的是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3 10．设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，若OP→＝λm ＋μn (λ、μ为实数)，则λ－μ的最大值为( ) A ．4B ．3C ．－1D ．－211．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π312．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，若函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26B.⎝⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln26 D.⎝⎛⎭⎪⎫ln 2－16，1－ln 28 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(t,1)，若(a ＋b )∥(a －b )，则实数t ＝________. 14．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线M 交于A ，B 两点，与双曲线M 的两条渐近线交于C ，D 两点．若|AB |＝35|CD |，则双曲线M 的离心率是________．15．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．16．洛萨·科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半(即n2)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即3n ＋1)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：10,5,16,8,4,2,1.如果对正整数n (首项)按照上述规则施行变换后的第7项为2(注：1和2可以多次出现)，则n 的所有可能取值为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．(本小题满分12分)下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设ζ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ζ的分布列与数学期望． 19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S -ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.(1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且与直线y ＝x ＋2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A (2,0)，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若|BA |＝|BP |，求四边形OPAB (O 为坐标原点)面积的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的最值；(2)若k ∈Z ，且k ＜f (x )＋xx －1对于任意的x ＞1恒成立，试求k 的最大值；(3)若方程f (x )＋x 2＝mx 2在区间[1，e 2]内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2ty ＝1＋2t (t 为参数，a ∈R)．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R.(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a ＜2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．高考理科数学模拟试题精编(六)班级：________姓名：________得分：____________请在答题区域内答题19.(本小题满分12分)20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)高考理科数学模拟试题精编(六)1．解析：选B.因为A ＝{x ∈N|πx ＜16}＝{0,1,2}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＜0}＝{x |1＜x ＜4}，故∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，故A ∩(∁R B )＝{0,1}，故A ∩(∁R B )的真子集的个数为3，故选B. 2．解析：选C.∵1－3＋2i ＝－3－2i (－3＋2i )(－3－2i )＝－313－213i ，∴1－3＋2i对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－313，－213，在第三象限，故选C. 3．解析：选B.根据频率分布直方图，知组距为25，所以活动时间在[10,35)内的频率为0.004×25＝0.1.因为活动时间在[10,35)内的频数为80，所以n ＝800.1＝800.4．解析：选D.cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°＝cos 70°sin 50°＋cos 20°sin 40°＝cos 70°sin 50°＋sin 70°cos 50°＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32.5．解析：选A.当这三名歌手中没有A 和B ，共有A 33＝6(种)情况；当A 、B 中只有一人出席演唱活动，则有C 12C 23A 33＝36(种)情况；当A 、B 均出席演唱活动，共有C 13A 33A 22＝9(种)情况．由分类加法计数原理得不同的出场方法有6＋36＋9＝51(种)，故选A.6．解析：选C.程序运行如下：输入x ＝4，判断|4－1.5|＝2.5＜4，执行x ＝4＋2＝6；输入x ＝6，判断|6－1.5|＝4.5＞4，执行x ＝|6＋3|＝9，判断92＝81＜150；执行x ＝|9＋3|＝12，判断122＝144＜150；执行x ＝|12＋3|＝15，判断152＝225＞150；输出x ＝15.故选C.7．解析：选D.g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤01x ，x ＞0，∴g (x )的图象符合选项D中的图象．8．解析：选D.该几何体直观图为边长为2的正方体中挖去一个如图所示的圆锥，∴该几何体的表面积为S ＝6×22＋π×1×12＋22－π＝24＋π(5－1)，故选D.9．解析：选D.由题意得A ＝3，T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3，∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，故当k ＝－1时，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3，故选D.10．解析：选A.设点P 的坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OP→＝λm ＋μn ＝λ(1,1)＋μ(2,1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，∴⎩⎨⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－1，x ＋y ≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ≥0，λ＋μ≥0，μ≥－1，2λ＋3μ≤3，此不等式组对应的平面区域如图中的阴影部分所示．设z ＝λ－μ，则μ＝λ－z ，当z 变化时，它表示一组与μ＝λ平行的直线在μ轴上的截距为－z ，当直线μ＝λ－z 在μ轴上的截距最小时z 最大．由图可知，当直线经过点A (3，－1)时，直线在μ轴上的截距最小，从而z 取得最大值z max ＝3－(－1)＝4，故选A.11．解析：选D.由抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又x 1＋x 2＋4＝233|AB |，得|AF |＋|BF |＝233|AB |，所以|AB |＝32(|AF |＋|BF |)．所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝|AF |2＋|BF |2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32(|AF |＋|BF |)22|AF |·|BF |＝14|AF |2＋14|BF |2－32|AF |·|BF |2|AF |·|BF |18⎝ ⎛⎭⎪⎫|AF ||BF |＋|BF ||AF |－34≥18×2|AF ||BF |·|BF ||AF |－34＝－12，而0＜∠AFB ＜π，所以∠AFB 的最大值为2π3.12．解析：选A.函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx 的图象有7个交点．当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ＜0，此时f (x )单调递减，且f (1)＝0，f (2)＝ln 2－1.由f (2－x )＝f (x )知函数图象关于x ＝1对称，而f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，故f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的函数．易知m ≠0，当－m ＜0时，作出函数y ＝f (x )与y ＝－mx 的图象，如图所示．则要使函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx 的图象有7个交点，需有⎩⎨⎧－8m ＜f (8)－6m ＞f (6)，即⎩⎨⎧－8m ＜ln 2－1－6m ＞ln 2－1，解得1－ln 28＜m ＜1－ln 26.同理，当－m ＞0时，可得ln 2－16＜m ＜ln 2－18.综上所述，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln 2－16，ln 2－18 ∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－ln 28，1－ln 26. 13．解析：因为a ＝(1，－1)，b ＝(t,1)，所以a ＋b ＝(t ＋1,0)，a －b ＝(1－t ，－2)，因为(a ＋b )∥(a －b )，所以－2(t ＋1)＝0，∴t ＝－1.答案：－114．解析：设双曲线的右焦点为F (c,0)，易知，|AB |＝2b 2a .该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，当x ＝c 时，y ＝±bca ，所以|CD |＝2bc a .由|AB |＝35|CD |，得2b 2a ＝35×2bc a ，即b ＝35c ，所以 a ＝c 2－b 2＝45c ，所以e ＝c a ＝54.答案：5415．解析：由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8.答案：816．解析：反过来推：七六五四三二一 2 4 8 16 32 64 128 2 4 8 16 32 64 21 2 4 8 16 5 10 20 2 4 8 16 5 10 3 2 4 1 2 4 8 16 2 4 1 2 4 1 2 答案：2 3 16 20 21 12817．解：(1)∵S n ＝2a n －a 1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－a 1，(1分) ∴a n ＝2a n －2a n －1，化为a n ＝2a n －1.(2分)由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列得，2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，(3分) ∴2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得a 1＝2.(4分)∴数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2.∴a n ＝2n .(6分) (2)∵a n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2，S n ＋1＝2n ＋2－2.(8分)∴b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n ＋1(2n ＋1－2)(2n ＋2－2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1－1.(10分) ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1－1.(12分) 18．解：设A i 表示事件“此人于11月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，12)．依题意知，P (A i )＝112，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．(2分) (1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12，所以P (B )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 7)＋P (A 12)＝512. 即此人到达当日空气重度污染的概率为512.(5分)(2)由题意可知，ζ的所有可能取值为0,1,2,3，(6分) P (ζ＝0)＝P (A 4∪A 8∪A 9)＝P (A 4)＋P (A 8)＋P (A 9)＝312＝14，(7分) P (ζ＝2)＝P (A 2∪A 11)＝P (A 2)＋P (A 11)＝212＝16，(8分) P (ζ＝3)＝P (A 1∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 12)＝212＝16，(9分)P (ζ＝1)＝1－P (ζ＝0)－P (ζ＝2)－P (ζ＝3)＝1－14－16－16＝512，(10分)(或P (ζ＝1)＝P (A 3∪A 5∪A 6∪A 7∪A 10)＝P (A 3)＋P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＋P (A 10)＝512) 所以ζ的分布列为ζ 0 1 2 3 P145121616(11分)故ζ的期望E (ζ)＝0×14＋1×512＋2×16＋3×16＝54.(12分)19.解：(1)以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则D (1,0,0)，A (2,2,0)，B (0,2,0)．(2分)设S (x ，y ，z )，则x ＞0，y ＞0，z ＞0，且AS →＝(x －2，y －2，z )，BS →＝(x ，y －2，z )，DS→＝(x －1，y ，z )．由|AS →|＝|BS →|，得(x －2)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2，解得x ＝1. 由|DS→|＝1，得y 2＋z 2＝1. ① 由|BS→|＝2，得y 2＋z 2－4y ＋1＝0. ②(4分) 由①②，解得y ＝12，z ＝32.∴S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32，AS →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32，32，BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，DS →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，32，∴DS →·AS →＝0，DS →·BS →＝0，∴DS ⊥AS ，DS ⊥BS ，且AS ∩BS ＝S ，∴SD ⊥平面SAB .(6分)(2)设平面SBC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则n ⊥BS →，n ⊥CB →，∴n ·BS →＝0，n ·CB→＝0. 又BS →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，32，CB →＝(0,2,0)，(8分) ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－32y 1＋32z 1＝02y 1＝0，取z 1＝2，得n ＝(－3，0,2)．(10分)∵AB →＝(－2,0,0)，∴cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝－2×(－3)2×7＝217.故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为217.(12分) 20．解：(1)由题意知，离心率e ＝63＝c a ，所以c ＝63a ，b ＝33a ，所以x 2＋3y 2＝a 2，将y ＝x ＋2代入得4x 2＋12x ＋12－a 2＝0，由Δ＝122－4×4×(12－a 2)＝0，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(5分)(2)设线段AP 的中点为D ，因为|BA |＝|BP |，所以BD ⊥AP ，由题意得直线BD 的斜率存在且不为零，设P (x 0，y 0)(0＜x 0＜3y 0≠0)，则点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋22，y 02，直线AP 的斜率k AP ＝y 0x 0－2，所以直线BD 的斜率为－1k AP ＝2－x 0y 0，所以直线BD 的方程为y －y 02＝2－x 0y 0⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －x 0＋22.(8分) 令x ＝0，得y ＝x 20＋y 20－42y 0，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，x 20＋y 20－42y 0，(9分) 由x 203＋y 20＝1，得x 20＝3－3y 20，所以B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 20－12y 0，所以四边形OPAB 的面积为S四边形OPAB ＝S △OPA ＋S △OAB ＝12×2×|y 0|＋12×2×|－2y 20－12y 0|＝|y 0|＋|2y 20＋12y 0|＝2|y 0|＋12|y 0|≥22|y 0|×12|y 0|＝2，当且仅当2|y 0|＝12|y 0|，即y 0＝±12时，等号成立，所以四边形OPAB 面积的最小值为2.(12分)21．解：(1)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ．(1分)令f ′(x )＞0，则x ＞1e ；令f ′(x )＜0，则0＜x ＜1e ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，(3分) ∴函数f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，无极大值．故f (x )的最小值为－1e，无最大值．(4分)(2)令F (x )＝f (x )＋x x －1＝x ＋x ln x x －1，则F ′(x )＝x －2－ln x(x －1)2.(5分)设h (x )＝x －2－ln x ，则h ′(x )＝1－1x ，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵h (3)＝1－ln 3＜0，h (4)＝2－ln 4＞0，∴存在x 0∈(3,4)，使h (x 0)＝0，即x 0－2－ln x 0＝0，∴ln x 0＝x 0－2，当x ∈(1，x 0)时，h (x )＜0，F ′(x )＜0，∴F (x )在(1，x 0)上单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，F ′(x )＞0，∴F (x )在(x 0，＋∞)上单调递增．(7分)∴函数F (x )的最小值为F (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0＋x 0(x 0－2)x 0－1＝x 0.∵x 0∈(3,4)，∴k 的最大值为3.(8分)(3)由题意知x ln x ＋x 2＝mx 2在区间[1，e 2]上有唯一实数解，也即m ＝1＋ln xx 有唯一解．令g (x )＝1＋ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2.(9分)令g ′(x )＞0，则0＜x ＜e ；令g ′(x )＜0，则x ＞e ，∴函数g (x )在[1，e)上单调递增，在(e ，e 2]上单调递减，(10分)g (1)＝1＋ln 11＝1，g (e 2)＝1＋ln e 2e 2＝1＋2e 2，g (e)＝1＋ln e e ＝1＋1e .根据函数的图象可知，m ＝1＋1e 或1≤m ＜1＋2e 2.(12分)22．解：(1)∵曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t y ＝1＋2t，∴其普通方程为x －y －a＋1＝0.(2分)∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(5分)(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xx ＝a ＋2t y ＝1＋2t，得2t 2－22t ＋1－4a ＝0.Δ＝(22)2－4×2(1－4a )＞0，即a ＞0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1－4a2.根据参数方程的几何意义可知|PA |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|，又|PA |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.(7分)∴当t 1＝2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2t 1·t 2＝2t 22＝1－4a2，解得a ＝136＞0，符合题意．(8分)当t 1＝－2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a2，解得a ＝94＞0，符合题意．(9分)综上所述，实数a 的值为136或94.(10分) 23．解：(1)由题f (x )≤2－|x －1|，可得|x －a2|＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知|x －a 2|＋|x －1|≥|a2－1|，(2分)由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，得|a 2－1|≤1，即0≤a ≤4.故实数a 的取值范围是[0,4]．(5分)(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a ＜2，即a 2＜1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜a 2x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤13x －a －1(x ＞1).(7分)所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝3，得a ＝－4＜2(符合题意)，故a ＝－4.(10分)。

〔精品〕2019年河南省普通高中高考数学模拟试卷及解析(理科)(3月份)

2019年河南省普通高中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{y|y ＝x 2+1，x ∈R }，P ＝A ∩B ，则P 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．162．（5分）已知复数z 满足（1+i ）z ＝（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图，下列说法正确的是（）A ．该超市2018年的12个月中11月份的收益最高B ．该超市2018年的12个月中1月份和3月份的收益最低C ．该超市2018年上半年的总收益高于下半年的总收益D ．该超市2018年下半年的总收益比上半年的总收益增长了约71.4%4．（5分）下列命题是真命题的是（）A ．?x 0∈（0，+∞），3＜log 3x 0B ．若a ＞b ，则am 2＞bm2C ．已知A ，B 为△ABC 的两个内角，若A ＞B ，则sinA ＞sinBD ．函数y ＝f （1+x ）的图象与函数y ＝f （1﹣x ）的图象关于直线x ＝1对称5．（5分）函数y ＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）已知a＝log23?log34，则（ax+）6的展开式中的常数项为（）A．15B．60C．120D．2407．（5分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E为正方体内任意一点，则AE的长度大于3的概率等于（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣8．（5分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3B．C．D．19．（5分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且a 2+b2﹣c2＝4S，c＝1，则b﹣a的最大值为（）A．B．2C．3D．10．（5分）已知△ABC的顶点A，B在抛物线y 2＝2px（p＞0）上，顶点C为该抛物线的焦点，则满足条件的正三角形个数为（）A．1B．2C．3D．411．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，g（x）＝sin?f（x），若a＝g（﹣log26.1），b＝g（20.9），c＝g（2），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a12．（5分）已知函数f（x）＝3sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜），f（﹣）＝0，f（）＝f（x），且函数f（x）在区间（）上单调，则ω的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届河南省高考模拟试题精编理科数学

2019届河南省高考模拟试题精编(三)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z＝(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为()＋i－i＋i－i2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为()A．1 B．2 C．3 D．1或23．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．8－B．8－πC．8－D．8－4．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为()800,127)5．已知点x，y满足约束条件错误!，则z＝3x＋y的最大值与最小值之差为()A．5 B．6 C．7 D．86．新闻台做《一校一特色》访谈节目，分A，B，C三期播出，A期播出两所学校，B期，C期各播出1所学校，现从8所候选学校中选出4所参与这三项任务，不同的选法共有()A．140种B．420种C．840种D．1 680种7．执行如图的程序框图，则输出x的值是()A．2 018 B．2 019D．28．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且其离心率e＝，则该双曲线的方程为()－＝1 －＝1－＝1 －＝19．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，⊥平面，且＝＝，则异面直线与所成角的余弦值为()B．－D．－10．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是()A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士11．如图，在△中，＝2，＝2，与交于点F，过点F作直线，分别交，于点Q，P，若＝λ，＝μ，则λ＋μ的最小值为()C．212．已知x＝－1是函数f(x)＝(2＋＋c)的一个极值点，四位同学分别给出下列结论，则一定不成立的结论是()A．a＝0 B．b＝0 C．c≠0 D．a＝c第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2017年高校毕业生就业形势仍然相当严峻，某社会调研机构对即将毕业的大学生就业所期望的月薪(单位：元)进行调查，共调查了3 000名大学生，并根据所得数据绘制了频率分布直方图(如图)，则所期望的月薪在[2 500,3 500)内的大学生有名．14．化简：2α2α2)＝.15．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2＋－3＝0，则弦中点到抛物线C 的准线的距离为．16．在数列{}中，a 1＝2，a 2＝8，对所有正整数n 均有＋2＋＝＋1，则018)n ＝. 三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)△的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c －a ＝2 A .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求a ＋c 的最大值．18．(本小题满分12分)为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？理科意向文科意向总计男110女50总计(2)1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科意向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.参考临界值：P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82 819．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-的底面是直角梯形，∥，∠＝90°，＝2，⊥平面.(1)设E为线段的中点，求证：∥平面；(2)若＝＝，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中取两个定点A1(－，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且＝2.(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作⊥x轴且与轨迹C 交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若＝λ(λ＞1)，求证：＝λ.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x－)－m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x1，x2.(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；(2)证明：x1＋x2＞2.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系下，圆O：ρ＝θ＋θ和直线l：ρ＝(ρ≥0,0≤θ≤2π)．(1)求圆O与直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知a＞0，b＞0，函数f(x)＝|2x＋＋2－|＋1的最小值为2.(1)求a＋b的值；(2)求证：a＋3≥3－b.高考理科数学模拟试题精编(三) 班级：姓名：得分：请在答题区域内答题高考理科数学模拟试题精编(三)1-5 6-10 11-1213．答案：1 35014．答案：4 α15．答案：16．答案：1017．解：(1)∵2c－a＝2 A，∴根据正弦定理，得2 C－A＝2 A，∵A＋B＝π－C，(2分)可得C＝(A＋B)＝A＋A，∴代入上式，得2 A＝2 A＋2 A－A，化简得(2 B－1) A＝0 (4分)由A是三角形的内角可得A＞0，∴2 B－1＝0，解得B＝，∵B∈(0，π)，∴B＝；(6分)(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2 B，得12＝a2＋c2－.(8分)∴(a＋c)2－3＝12，由≤2，－3≥－3×，(a＋c)2－3≥(a＋c)2－(a＋c)2，∴12≥(a＋c)2，(当且仅当a＝c＝2时)，即(a＋c)2≤48，∴a＋c≤4，(11分) ∴a＋c的最大值为4.(12分)18．解：(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为向向男8030110女405090总计12080200(4分)又K2＝≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关．(6分)(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科意向”的概率为p ＝＝.依题意知ξ～，(8分)所以P(ξ＝i)＝33－i(i＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为ξ012 3P所以期望E(ξ)＝＝，方差D(ξ)＝(1－p)＝.(12分)19．解：(1)证明：取的中点G，连接，，则綊，又綊，所以綊，四边形为平行四边形．(4分)所以∥，又⊄平面，⊂平面，所以∥平面.(6分)(2)以A为坐标原点，的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设＝2，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，B(2,1,0)，＝(0,0,2)，＝(2,1,0)，＝(0,2，－2)，＝(2,0,0)．(8分)设n＝(x，y，z)是平面的法向量，则错误!，即错误!，令x＝1，得y＝－2，则n＝(1，－2,0)是平面的一个法向量，同理，m＝(0，－1，－1)是平面的一个法向量．(10分)所以〈m，n〉＝＝＝，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.(12分)20．解：(1)依题意知，直线A1N1的方程为y＝(x＋)，①直线A2N2的方程为y＝－(x－)，②(2分)设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，①×②得y2＝－(x2－6)，又＝2，整理得＋＝1.故点M的轨迹C的方程为＋＝1.(4分)(2)证明：设过点R的直线l：x＝＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(x1，－y1)，由错误!，消去x，得(t2＋3)y2＋6＋3＝0，(*)(6分)所以y1＋y2＝－，y1y2＝.由＝λ，得(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)，故x1－3＝λ(x2－3)，y1＝λy2，(8分) 由(1)得F(2,0)，要证＝λ，即证(2－x1，y1)＝λ(x2－2，y2)，只需证2－x1＝λ(x2－2)，只需＝－，即证2x1x2－5(x1＋x2)＋12＝0，又x1x2＝(1＋3)(2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9，x1＋x2＝1＋3＋2＋3＝t(y1＋y2)＋6，所以2t2y1y2＋6t(y1＋y2)＋18－5t(y1＋y2)－30＋12＝0，即2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝0，(10分)而2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝2t2·－t·＝0成立，即＝λ成立．(12分)21．解：(1)f′(x)＝x－a 2)＝2)，由f′(x)＝0⇒x＝＋1，且当0＜x＜＋1时，f′(x)＞0，当x＞＋1时，f′(x)＜0，所以f(x)在x＝＋1时取得极值，所以＋1＝e⇒a＝0.所以f(x)＝)－m(x＞0)，f′(x)＝2)，函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，f(e)＝－m.(3分)又x→0(x＞0)时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→－m，f(x)有两个零点x1，x2，故错误!，解得0＜m＜错误!.(5分)(2)证明：不妨设x1＜x2，由题意知错误!.则x1x2＝m(x1＋x2)，＝m(x2－x1)⇒m＝.欲证x1＋x2＞2，只需证(x1·x2)＞2，只需证m(x1＋x2)＞2，即证＞2.(7分)即证＞2，设t＝＞1，则只需证t＞.即证t－＞0.(9分)记u(t)＝t－(t＞1)，则u′(t)＝－＝＞0.所以u(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以u(t)＞u(1)＝0，所以原不等式成立，故x1＋x2＞2，得证．(12分)22．解：(1)圆O：ρ＝θ＋θ，即ρ2＝ρθ＋ρθ，故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，(2分)直线l：ρ＝，即ρθ－ρθ＝1，则直线的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.(5分)(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得错误!，解得错误!即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，(9分)转化为极坐标为.(10分)23．解：(1)因为f(x)＝|2x＋＋|2x－＋1≥|2x＋a－(2x－b)|＋1＝＋＋1，当且仅当(2x＋a)(2x－b)≤0时，等号成立，(2分)又a＞0，b＞0，所以＋＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋1＝2，所以a ＋b＝1.(5分)(2)证明：由(1)知，a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝，b＝时取等号．(7分)所以3≥39＝2，所以a＋b＋3≥1＋2＝3，即a＋3≥3－b.(10分)。

2019届河南省天一大联考高三考前模拟密卷(十)数学(理)试卷

2019届河南省天一大联考高三考前模拟密卷（十）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选：B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2.设集合，．若，则 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，故选C3.函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除A，B，通过特殊点的函数值排除C，即可推出答案．【详解】令y＝=2|x|sin2x，则，所以函数为奇函数，故排除选项A和B；当x＝时，函数值y=0，故排除选项C．故选：D．【点睛】本题考查函数图像的判断和基本性质的应用，对于选择题，可以采用排除法，属于基础题．4. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为，选B.【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.5.已知向量，且，则A. B. C.6 D. 8【答案】D【解析】【分析】根据条件先求出，然后再根据向量垂直的充要条件得到，即可得到结果．【详解】∵，∴．∵，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查向量的坐标运算，解题时根据向量垂直的充要条件得到数量积为零，进而得到关于的方程是解题的关键，属于基础题．6.已知双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的焦点坐标可得根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，结合性质解得，，从而可得结果.【详解】椭圆的焦点坐标，则双曲线的焦点坐标为，可得，双曲线的一条渐近线方程为，可得，即，可得，解得，，所求的双曲线方程为：，故选B．【点睛】本题考查椭圆与双曲线的方程，以及简单性质的应用，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线、离心率等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.7.在中，，BC边上的高等于,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设,故选C.考点：解三角形.【此处有视频，请去附件查看】8.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由得：，即平移后的图象的对称轴方程为，故选：B．【点睛】本题考查函数的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．9.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A. 36种B. 18种C. 24种D. 12种【答案】A【解析】【分析】根据题意，分2步进行：先将4项工作分成3组，再将分好的三组全排列，即可得答案．【详解】根据题意，先将4项工作分成3组，有C42=6种分组方法，将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33=6种情况，则有6×6=36种不同的安排方式；故选：A．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法和排列方法的区别，属于基础题．10.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，实现该算法的程序框图如图所示，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（）A. 7B. 17C. 12D. 34【答案】B【解析】【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】∵输入的x＝2，n＝2，当输入的a为2时，S＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S＝6，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S＝17，k＝3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：B．【点睛】本题考查了循环结构程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．11.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过补体的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则∠BC1D即为异面直线与所成的角．在中，分别求出，，的长，得+BD2＝，∠BC1D即可得出．【详解】如图所示，把直三棱柱补成直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，由，得∠BC1D即为异面直线与所成的角；在，BC1＝，因为，所以，所以BD＝，C1D＝=，∴+BD2＝，∴∠DBC1＝90°，∴cos∠BC1D＝．故选：C．【点睛】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的问题，利用了补体的思想，属于中档题．12.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|＝b，再求出|OP|＝a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O，代值化简整理可得a＝c，问题得以解决．【详解】双曲线C：1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y x，∴点F2到渐近线的距离d b，即|PF2|＝b，∴|OP|a，cos∠PF2O，∵|PF1||OP|，∴|PF1|a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），即3a2＝c2，即a＝c，∴e，故选：C．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式及余弦定理的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设x，y满足约束条件，则的最小值为________________．【答案】【解析】分析：根据所给不等式组，画出可行域，将目标函数化成，可知z的最小值即为截距的最大值。