2019-2020高一上学期西城区数学期末考试

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北京市西城区高一数学上学期期末考试试题(扫描版)(new)

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2019北京市西城区高一(上)期末数学

2019北京市西城区高一（上）期末数学 2019.1 试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [三角函数与平面向量] 本卷满分：100分（A）向右平移6个单位（B）向右平移3个单位（C）向左平移π6个单位（D）向左平移π3个单位11．若1cos2θ=−，且θ为第三象限的角，则tanθ=______．12．已知向量(1,2)=a．与向量a共线的一个非零向量的坐标可以是______．13．如果πtan()0(0)3x x +=>，那么x 的最小值是______．14．如图，已知正方形ABCD ．若AD AB AC λμ⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ=______． 15．在直角坐标系xOy 中，已知点(3,3)A ，(5,1)B ，(2,1)P ，M 是坐标平面内的一点．① 若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为______； ② 若2PA PB PM ⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→+=，则点M 的坐标为______．16．设函数π()sin()3f x x ω=+．若()f x 的图象关于直线6x π=对称，则ω的取值集合是_____.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知(0,)2απ∈，且3sin 5α=．（Ⅰ）求πsin()4α−的值；（Ⅱ）求2πcos tan()24αα++的值．18．（本小题满分12分）函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中0,0,||πA ωϕ>><．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]2ππ上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出()f x 的单调递增区间．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A −，B ，(cos ,sin )C θθ，其中[0,]2θπ∈．（Ⅰ）求AC BC ⋅的最大值；（Ⅱ）是否存在[0,]2θπ∈，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．B 卷 [学期综合]本卷满分：50分1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =−<<，则A B =_____． 2．函数21()log f x x=的定义域为_____. 3．已知三个实数123a =，b =，3log 2c =．将,,a b c 按从小到大排列为_____．4．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =−，其中00.005A =是标准地震的振幅，A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅．在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为_____级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_____倍．5．已知函数21,2,(),3.x x x c f x x c x −⎧+−⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4−，则实数c 的取值范围是_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数2()1xf x x =−．（Ⅰ）证明：()f x 是奇函数；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(1,1)−上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．已知函数2()f x ax x =+定义在区间[0,2]上，其中[2,0]a ∈−．（Ⅰ）若1a =−，求()f x 的最小值；（Ⅱ）求()f x 的最大值．8．（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()2()2x x f x f x f ++<，则称函数()f x 为“凸函数”．（Ⅰ）判断函数1()2f x x =与2()f x =（Ⅱ）若函数()2x f x a b =⋅+（,a b 为常数）是“凸函数”，求a 的取值范围；（Ⅲ）写出一个定义在1(,)2+∞上的“凸函数”()f x ，满足0()f x x <<．（只需写出结论）数学试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. D2. C3. B4. C5. B6. D7. D8. B9.A 10.A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.(2,4)（答案不唯一） 13.2π314.1− 15.(6,3)；(4,2) 16.{|61,}k kωω=+∈Z 注：第15题每空2分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为π0,2α∈()，3sin5α=，所以cosα=……………………2分45=．……………………3分所以πsin()cos)42ααα−=−……………………5分=．……………………6分（Ⅱ）解：因为3sin5α=，4cos5α=，所以sintancosααα=……………………8分34=．……………………9分所以2π1cos1tancos tan()2421tanααααα++++=+−……………………11分7910=．……………………12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）解：由图象可知 3A =． ……………………1分因为 ()f x 的最小正周期为 66T 7ππ=−=π，所以 2Tω2π==． ……………………3分令 262ϕππ⨯+=，解得 6ϕπ=，适合||ϕ<π．所以 π()3sin(2)6f x x =+． ……………………5分（Ⅱ）解：因为[,]2x π∈π，所以π2[,]666x 7π13π+∈． ……………………6分所以，当π13π266x +=，即πx =时，()f x 取得最大值32； ……………………8分当π3π262x +=，即2π3x =时，()f x 取得最小值3−． ……………………10分（Ⅲ）解：()f x 的单调递增区间为[,]36k k πππ−π+（k ∈Z ）． ……………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：(cos 1,sin )AC θθ=+，(cos ,sin BC θθ=−． ……………………2分所以 (cos 1)cos sin (sin AC BC θθθθ⋅=+⋅+⋅ ……………………3分cos 1θθ=−+π2cos()13θ=++． ……………………4分因为 [0,]2θπ∈，所以 π[,]336θπ5π+∈． ……………………5分所以当ππ33θ+=，即0θ=时，AC BC ⋅取得最大值2． ……………………6分（Ⅱ）解：因为||2AB =，||AC =，||BC =又 [0,]2θπ∈，所以 sin [0,1]θ∈，cos [0,1]θ∈，所以 ||2AC ≤，||2BC ≤．所以若△ABC 为钝角三角形，则角C 是钝角，从而0CA CB ⋅<．………………8分由（Ⅰ）得π2cos()103θ++<，解得π1cos()32θ+<−． ……………………9分所以 π(,]336θ2π5π+∈，即(,]32θππ∈． ……………………11分反之，当(,]32θππ∈时，0CA CB ⋅<，又 ,,A B C 三点不共线，所以 △ABC 为钝角三角形．综上，当且仅当(,]32θππ∈时，△ABC 为钝角三角形． ……………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.{|13}x x −<<2.{|01x x <<，或1}x >3.c b a <<4.5；10005.1[,)4−+∞；1[,1]2注：第4题、第5题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为{|1}D x x =≠±. ……………………1分对于任意x D ∈，因为 2()()()1xf x f x x −−==−−−， ……………………3分所以 ()f x 是奇函数． ……………………4分（Ⅱ）解：函数2()1xf x x =−在区间(1,1)−上是减函数． ……………………5分证明：在(1,1)−上任取1x ，2x ，且 12x x <， ……………………6分则 1212211222221212(1)()()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x +−−=−=−−−−． ……………………8分由 1211x x −<<<，得 1210x x +>，210x x −>，2110x −<，2210x −<，所以 12()()0f x f x −>，即 12()()f x f x >. 所以函数2()1xf x x =−在区间(1,1)−上是减函数. ……………………10分 7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当1a =−时， 2211()()24f x x x x =−+=−−+． ……………………2分所以 ()f x 在区间1(0,)2上单调递增，在1(,2)2上()f x 单调递减．因为 (0)0f =，(2)2f =−，所以 ()f x 的最小值为2−． ……………………4分（Ⅱ）解：① 当0a =时，()f x x =．所以 ()f x 在区间[0,2]上单调递增，所以 ()f x 的最大值为(2)2f =． ……………………5分当20a −<≤时，函数2()f x ax x =+图像的对称轴方程是12x a=−. ………6分 ② 当1022a <−≤，即124a −−≤≤时，()f x 的最大值为11()24f a a−=−. ………8分 ③ 当104a −<<时，()f x 在区间[0,2]上单调递增，所以 ()f x 的最大值为(2)42f a =+． ……………………9分综上，当124a −−≤≤时，()f x 的最大值为11()24f a a−=−；当104a −<≤时，()f x 的最大值为42a +． ……………………10分8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：对于函数1()2f x x =，其定义域为R ．取120,1x x ==，有12()()(0)(1)2f x f x f f +=+=，1212()2()222x x f f +==，所以 1212()()2()2x x f x f x f ++=，所以 1()2f x x =不是“凸函数”．…………2分对于函数 2()f x =[0,)+∞．对于任意12,[0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，由222221212[()()][2()]02x x f x f x f ++−=−=−<，所以 221212[()()][2()]2x x f x f x f ++<．因为 12()()0f x f x +>，122()02x x f +>，所以 1212()()2()2x x f x f x f ++<，所以 2()f x =4分（Ⅱ）解：函数()2x f x a b =⋅+的定义域为R ．对于任意12,x x ∈R ，且12x x ≠， 1212()()2()2x x f x f x f ++− 12122(2)(2)2(2)x x x x a b a b a b +=⋅++⋅+−⋅+ ……………………5分12122(2222)x x x x a +=+−⨯12222(22)x x a =−． (7)分依题意，有12222(22)0x x a −<．因为 12222(22)0x x −>，所以 0a <． ……………………8分（Ⅲ）1()()2f x x >．（注：答案不唯一）……………………10分word 下载地址。

2019-2020学年西城区高三上学期期末数学试卷及答案

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高三数学参考答案 2020.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C5．A 6．A 7．B 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1010 11．3 12．3 13．答案不唯一，如2211648x y -= 14．1232；5 注：第14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-……………… 2分2cos cos x x x-112cos222x x -- ……………… 5分π1sin(2)62x =--， ……………… 7分所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 8分（Ⅱ）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666x ---≤≤． ……………… 9分所以当ππ262x -=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-. ……………… 11分当π7π266x -=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0． ……………… 13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，……………… 1分由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，……………… 2分所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==. ……………… 3分（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 4分因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， ……………… 5分所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， ……………… 6分 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， ……………… 7分 22211(2)C ()525P X ==⨯=. ……………… 8分所以随机变量X 的分布列为：……………… 9分故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 10分（Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++， ……………… 12分因为11622155>，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市. …………… 13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱.连接1A C . 设11AC AC E =I ，则E 是1A C 的中点.B 1CD B AA 1C 1 E连接DE . 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B . ……………… 2分又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D . ……………… 4分（Ⅱ）取11B C 的中点F ，连接DF .因为△ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥.由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，又因为1BB ⊥平面ABC ，所以DF ⊥平面ABC ，所以DF AD ⊥，DF BC ⊥. 分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，… 5分则A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =u u u u r ，DA =u u u r ，(CA =-u u u r ，1(0,2,0)CC =u u u u r ， …… 6分设平面1AC D 的法向量1111(,,)x y z =n ，由10DA ⋅=u u u r n ，110DC ⋅=u u u u r n ，得1110,20,x y =+=⎪⎩ 令11y =，得1(2,1,0)=-n . ……………… 8分设平面1AC C 的法向量2222(,,)x y z =n ，由20CA ⋅=u u u r n ，120CC ⋅=u u u u r n ，得2220,20,x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 令21z =，得2=n . ……………… 9分设二面角1C AC D --的平面角为θ，则 1212|cos |||||||θ⋅==⋅n n n n ，由图可得二面角1C AC D --为锐二面角，所以二面角1C AC D --. ……………… 10分（Ⅲ）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 11分证明：因为(1,0,AB =-u u u r ，11//A B AB ，且11=A B AB ，所以11(1,0,A B =-u u u u r . ……………… 12分又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)=-n ，且11120A B ⋅=≠u u u u r n ，所以11A B u u u u r 与1n 不垂直，所以11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得F，直线(l y k x =：（0k ≠）， ……………… 2分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1,4y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=，…… 3分显然0∆>，12x x +=， ……………… 4分则点M的横坐标122M x x x +=， ……………… 5分因为22041M x k =>+，所以点M 在y 轴的右侧. ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得点M的纵坐标(M M y k x ==. ……………… 7分即M .所以线段AB 的垂直平分线方程为：1(y x k +=-. ……… 8分令0x =，得2(0,)41D k +；令0y =，得22(,0)41C k +. ……………… 9分所以△ODC 的面积222127||||22(41)ODC k k S k ∆⋅=⋅⋅+， ……… 10分△CMF 的面积22213(1)|||22(41)CMF k k S k ∆+⋅=⋅⋅=+. …… 11分因为△ODC 与△CMF 的面积相等，所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得k =.所以当△ODC 与△CMF 的面积相等时，直线l 的斜率4k =±. ……… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+, ……………… 2分所以(0)1f =，(0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. …………… 4分（Ⅱ）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+，则(0)0f '=. … …………… 5分当0x >时，由e 10,0x x ->>，得()e 10x f x x '=-+>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………… 7分当0x <时，由e 10,0x x -<<，得()e 10x f x x '=-+<，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减.综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. … 8分（Ⅲ）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立. 设()e (1)xg x a x b =-+-， ……………… 9分则()e (1)x g x a '=-+.由()e (1)0x g x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）. ……………… 10分随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-.由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤. …………… 12分设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--.因为当10e x <<时，ln 10x -->；当1ex >时，ln 10x --<，所以()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减. 所以当1e x =时，max 11()()1e eh x h ==+. 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2e b =时，b a -有最大值为11e+. …………… 14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =L ； ……………… 3分（Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈L 使得0x A ∈, ……………… 4分令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈L ，x A ∉. ……………… 8分（Ⅲ）设集合{201,202,,205}A I L 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<L ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<L ，由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>.因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤，所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤，这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤，又因为121001m a a a -<<<L ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 10分任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-L U U ，以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意， ……………… 12分所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 13分。

高一数学上学期期末考试试题含解析

【解析】
【分析】
先由奇函数的性质，得到，求出 ;再由二次函数的单调性,以及奇函数的性质，得到函数在区间上单调递减,进而可求出结果。
【详解】因为函数是奇函数,
所以 ,即 ,解得: ；
因此
根据二次函数的性质，可得,当时，函数在区间上单调递减,在区间上单调递增；
又因为 ,所以由奇函数的性质可得:函数在区间上单调递减;
，即至少遇到4个红灯的概率为0。33。
（3）设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 .
则。
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式,以及概率的性质即可，属于常考题型。
19。一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额 (单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下表格.
【分析】
根据奇偶性的概念，判断函数的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式。
【详解】因为的定义域为，
由可得，函数是奇函数；
根据幂函数单调性可得, 单调递增;所以函数是增函数;
所以不等式可化为，
因此，解得：。
故选：D
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.
【解析】
【分析】
（1）根据换元法，令，即可结合已知条件求出结果；
(2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.
【详解】(1)令 ,即，
代入，可得，
所以
（2)因为，根据指数函数单调性，可得：
函数的单调增区间是，单调减区间是。
【点睛】本题主要考查求函数解析式,以及求指数型函数的单调区间,灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.

2019-2020学年北京市西城区高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年北京市西城区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x |﹣3＜x ＜3}，那么A ∩B ＝（） A ．{﹣1，1} B ．{﹣2，0}C ．{﹣2，0，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1} 【答案】C【解析】利用交集直接求解．【详解】∵集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x |﹣3＜x ＜3}， A ∩B ＝{﹣2，0，2}．故选：C ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．方程组222x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（） A ．{(1，﹣1),(﹣1，1)} B ．{(1，1),(﹣1，﹣1)} C ．{(2，﹣2),（﹣2，2)} D ．{(2，2),(﹣2，﹣2)}【答案】A【解析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．【详解】方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，其解集为 {(1,1),(1,1)}--．故选：A ．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为(,)x y ，一个解可表示为(1,1)-．3．函数y 11x -的定义域是（） A ．[0，1) B ．(1，+∞) C ．(0，1)∪(1,+∞)D ．[0，1)∪(1,+∞)【解析】由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组10x x ≥⎧⎨-≠⎩，解出即可求得定义域．【详解】依题意，010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥0且x ≠1，即函数的定义域为[0，1)∪ (1，+∞)，故选：D ．【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题． 4．下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是（） A ．y ＝x +1 B ．y ＝x 2﹣1 C ．y ＝2xD ．12log y x =【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x +1，为一次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；对于B ，y ＝x 2﹣1，为二次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；对于C ，y ＝2x，为指数函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；对于D ，12log y x = ，为对数函数，在 (0，+∞)上单调递减，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题． 5．设a ＝log 20.4，b ＝0.42，c ＝20.4，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】A【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解，要借助于中间值0和1比较．【详解】∵log 20.4＜log 21＝0，∴a ＜0， ∵0.42＝0.16，∴b ＝0.16， ∵20.4＞20＝1，∴c ＞1，故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6．若，，则一定有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：根据，有，由于，两式相乘有，故选B.【考点】不等式的性质.7．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：因为成立，的符号是不确定的，所以不能推出成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D．【考点】充分必要条件的判断．8．某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A．2000(1﹣0.2x)mg B．2000(1﹣0.2)x mgC．2000(1﹣0.2x)mg D．2000•0.2x mg【答案】B【解析】利用指数函数模型求得函数y与x的关系式．【详解】由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2000mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2000× (1﹣20%)x＝2000×0.8x (mg)，即y与x的关系式为y＝2000×0.8x．故选：B．【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题． 9．如图，向量a b -等于（）A ．31e ﹣2eB ．123e e -C ．123e e -+D ．123e e -+【答案】B【解析】根据向量减法法则，表示出a b -，然后根据加法法则与数乘运算得出结论．【详解】 a b -＝123e e -，故选：B ．【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题基础．本题属于基础题． 10．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象，给出下列四种说法，①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】C【解析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【详解】由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图 (3)成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：C ．【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．二、填空题11．已知方程x 2﹣4x +1＝0的两根为x 1和x 2，则x 12+x 22＝_____．【答案】14【解析】利用韦达定理代入即可．【详解】方程x 2﹣4x +1＝0的两根为x 1和x 2，x 1+x 2＝4，x 1x 2＝1，x 12+x 22＝ (x 1+x 2)2﹣2x 1x 2＝16﹣2＝14，故答案为：14．【点睛】考查韦达定理的应用，基础题．12．已知向量a ＝(1,﹣2)，b ＝(﹣3,m )，其中m ∈R ．若a ，b 共线，则|b |＝_____．【答案】【解析】由向量共线的坐标表示求出m ，再由模的坐标运算计算出模．【详解】∵a ，b 共线，∴m －6＝0，m ＝6，∴2(3)b =-=故答案为：【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量的模，属于基础题． 13．已知函数f (x )＝log 3x ．若正数a ，b 满足19a b =，则f (a )﹣f (b )＝_____．【答案】2-【解析】直接代入函数式计算．【详解】33331()()log log log log 29a f a fb a b b -=-===-．故答案为：2-．【点睛】本题考查对数的运算，掌握对数运算法则是解题基础．本题属于基础题．14．函数()22,03,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是_____；满足f (x 0)＞1的x 0的取值范围是_____．【答案】2 （﹣1，0）∪（2，+∞）【解析】直接解方程()0f x =求出零点即可知零点个数，注意分段函数分段求解．解不等式f (x 0)＞1也同样由函数解析式去求解．【详解】0x >时，2()30f x x =-=，x =0x <时，()20,2f x x x =+==-，共2个零点，即零点个数为2；当0x >时，2()31f x x =->，2x >，当0x <时，()21,1f x x x =+>>-，即10x -<<，∴0()1f x >的0x 的取值范围是(1,0)(2,)-+∞．故答案为：2；(1,0)(2,)-+∞．【点睛】本题考查分段函数，已知分段函数值求自变量的值，解不等式都要分段求解，注意各段的取值范围即可．15．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}，B ＝{x |x ＞c }，其中c ∈R ．①集合∁R A ＝_____；②若∀x ∈R ，都有x ∈A 或x ∈B ，则c 的取值范围是_____．【答案】{x |﹣2＜x ＜3} （﹣∞，﹣2]【解析】①先求出集合A ，再利用补集的定义求出∁R A ；②由对∀x ∈R ，都有x ∈A 或x ∈B ，所以A ∪B ＝R ，从而求出c 的取值范围．【详解】①∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}＝{x |x ≤﹣2或x ≥3}， ∴∁R A ＝{x |﹣2＜x ＜3}；②∵对∀x ∈R ，都有x ∈A 或x ∈B ，∴A ∪B ＝R ， ∵集合A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥3}，B ＝{x |x ＞c }，∴c≤﹣2，∴c的取值范围是：(﹣∞，﹣2]，故答案为：{x|﹣2＜x＜3}；(﹣∞，﹣2]．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．16．给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①1yx=；②12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝(0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题17．某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）3 5【解析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=． (Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{ (B 1，B 2)， (B 1，B 3)， (B 1，G 1)， (B 1，G 2)， (B 2，B 3)， (B 2，G 1)， (B 2，G 2)， (B 3，G 1)， (B 3，G 2)， (G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{ (B 1，G 1)， (B 1，G 2)， (B 2，G 1)， (B 2，G 2)， (B 3，G 1)， (B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A == 所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．在直角坐标系xOy 中，记函数()()3log 82xf x =-的图象为曲线C 1，函数()g x =C 2．（Ⅰ）比较f （2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线C 1在直线y ＝1的下方时，求x 的取值范围；（Ⅲ）证明：曲线C 1和C 2没有交点．【答案】（Ⅰ）f (2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log 25,3)；（Ⅲ）证明见解析【解析】(Ⅰ)因为()()2332log 82log4f =-=，求出f (2)的值，结合函数的单调性判断f (2)和1的大小．(Ⅱ)因为“曲线C 在直线y ＝1的下方”等价于“f (x )＜1”，推出()3log 821x-<．求解即可．(Ⅲ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线C 1和C 2没有交点．【详解】解： (Ⅰ)因为()()2332log 82log4f =-=，又函数y ＝log 3x 是 (0，+∞)上的增函数，所以f (2)＝log 34＞log 33＝1．(Ⅱ)因为“曲线C 在直线y ＝1的下方”等价于“f (x )＜1”，所以()3log 821x-<．因为函数y ＝log 3x 是 (0，+∞)上的增函数，所以 0＜8﹣2x＜3，即 5＜2x＜8，所以x 的取值范围是 (log 25，3)． (Ⅲ)因为f (x )有意义当且仅当8﹣2x ＞0，解得x ＜3．所以f (x )的定义域为D 1＝ (﹣∞，3)． g (x )有意义当且仅当x ﹣3≥0，解得x ≥3．所以g (x )的定义域为D 2＝[3，+∞)．因为D 1∩D 2＝∅，所以曲线C 1和C 2没有交点．【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）38；（Ⅲ）甲【解析】(I)由频率分布图中频率之和为1，可计算出a ；(II)事件“甲恰有1次中靶环数大于7”表示第一次中靶环数大于7，第二次中靶环数不大于7，和第一次中靶环数不大于7，第二次中靶环数大于1，由相互独立事件的概率公式可计算概率；(III)估计两人中靶环数的均值差不多都是8，甲5个数据分布均值两侧，而乙6个数据偏差较大，甲较稳定．【详解】(I)由题意1(0.190.450.290.01)0.06a =-+++=；(II)记事件A 为甲中射击一次中靶环数大于7，则()0.450.290.010.75P A =++=，甲射击2次，恰有1次中靶数大于7的概率为：()()()()()()P P AA P AA P A P A P A P A =+=+30.750.250.250.758=⨯+⨯=；(III)甲稳定．【点睛】本题考查频率分布图，考查相互独立事件同时发生的概率，考查用样本数据特征估计总体的样本数据特征，属于基础题． 20．已知函数．()211x f x x +=-, （Ⅰ）证明：f (x )为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f (x )是(1，+∞)上的减函数；（Ⅲ）当x ∈[﹣4，﹣2]时，求f (x )的值域．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(I)用偶函数定义证明； (II)用减函数定义证明；(III)根据偶函数性质得函数在[4,2]--上的单调性，可得最大值和最小值，得值域．【详解】(I)函数定义域是{|1}x x ≠±,2211()()()11x x f x f x x x -++-===---, ∴()f x 是偶函数； (II)当1x >时，()22111111x x f x x x x ++===---，设121x x <<，则2112121211()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， ∵121x x <<，∴122110,10,0x x x x ->->->，∴12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，∴()f x 在(1,)+∞上是减函数；(III)由 (I) (II)知函数()f x 在[4,2]--上是增函数， ∴min 2411()(4)(4)13f x f -+=-==--，max 221()(2)1(2)1f x f -+=-==--， ∴所求值域为1[,1]3．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础． 21．设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是C ＝3+x ；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ . （Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？【答案】（Ⅰ）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩；（Ⅱ）确定为5千件时，利润最大．【解析】(I)用销售收入减去生产成本即得利润；(II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量．【详解】(I)设利润是y (万元)，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩， ∴1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩； (II)06x <<时，189222[(8)]1888y x x x x=++=--++--，由“对勾函数”知，当988x x -=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，∴5x =时，max 6y =，∴生产量为5千件时，利润最大．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式．属于基础题． 22．设函数(),,x x P f x x x M∈⎧=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }．（Ⅰ）若P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)，求f (P )∪f (M )；（Ⅱ）若P ∩M ＝∅，且f (x )是定义在R 上的增函数，求集合P ，M ；（Ⅲ）判断命题“若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R ”的真假，并加以证明．【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M ＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析【解析】(Ⅰ)求出f (P )＝[0，3]，f (M )＝ (1，+∞)，由此能过求出f (P )∪f (M )． (Ⅱ)由f (x )是定义在R 上的增函数，且f (0)＝0，得到当x ＜0时，f (x )＜0， (﹣∞，0)⊆P ．同理可证 (0，+∞)⊆P ．由此能求出P ，M ．(Ⅲ)假设存在非空数集P ，M ，且P ∪M ≠R ，但f (P )∪f (M )＝R ．证明0∈P ∪M ．推导出f (﹣x 0)＝﹣x 0，且f (﹣x 0)＝﹣ (﹣x 0)＝x 0，由此能证明命题“若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R ”是真命题．【详解】(Ⅰ)因为P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)，所以f (P )＝[0，3]，f (M )＝(1，+∞)，所以f (P )∪f (M )＝[0，+∞)．(Ⅱ)因为f (x )是定义在R 上的增函数，且f (0)＝0，所以当x ＜0时，f (x )＜0，所以(﹣∞，0)⊆P ．同理可证(0，+∞)⊆P ．因为P ∩M ＝∅，所以P ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M ＝{0}．(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P ，M ，且P ∪M ≠R ，但f (P )∪f (M )＝R ．首先证明0∈P ∪M ．否则，若0∉P ∪M ，则0∉P ，且0∉M ，则0∉f (P)，且0∉f (M)，即0∉f (P)∪f (M)，这与f (P)∪f (M)＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f (P)，且﹣x0∉f (M)．因为f (P)∪f (M)＝R，所以﹣x0∈f (P)，且x0∈f (M)．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f (-x0)＝﹣x0，且f (-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

西城区2019-2020学年度第一学期期末高一数学试题及答案(WORD版)

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学第1页（共11页）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学 2020.1本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|33}B x x =-<<，那么A B =I （）（A ）{1,1}- （B ）{2,0}- （C ）{2,0,2}-（D ）{2,1,0,1}--（2）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）（A ）{(1,1),(1,1)}-- （B ）{(1,1),(1,1)}-- （C ）{(2,2),(2,2)}-- （D ）{(2,2),(2,2)}-- （3）函数11y x =+-的定义域是（）（A ）[0,1) （B ）(1,)+∞ （C ）(0,1)(1,)+∞U（D ）[0,1)(1,)+∞U（4）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是（）（A ）1y x =+（B ）21y x =-（C ）2x y =（D ）12log y x =（5）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则,,a b c 的大小关系为（）（A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（6）若0a b >>，0c d <<，则一定有（）（A ）ac bd < （B ）ac bd >（C ）ad bc <（D ）ad bc >北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学第2页（共11页）（7）设,a b ∈∈R R ．则“a b >”是“||||a b >”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为（）（A ）2000(10.2)mg x - （B ）2000(10.2)mg x - （C ）2000(10.2)mg x - （D ）20000.2mg x ⋅（9）如图，向量a b -等于（）（A ）123e e - （B ）123e e - （C ）123e e -+ （D ）123e e -+（10）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为 x ，其函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图像．给出下列四种说法：① 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ② 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③ 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④ 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）（A ）①③ （B ）①④（C ）②③（D ）②④北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学第3页（共11页）第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

北京市西城区2019~2020学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)

北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上•在试卷上作答无效。

第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。

2019-2020年西城区高一上册期末数学试题(有答案)

北京市西城区高一（上）期末数学试卷A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．tanθ＞0 D．以上都不对2．（4分）若向量=（1，﹣2），=（，4）满足⊥，则实数等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣23．（4分）若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）A．B． C．D．4．（4分）函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减5．（4分）函数f（）=sin﹣cos的图象（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称6．（4分）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．7．（4分）定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|| B．y=cos|| C．y=|sin| D．y=|cos2|8．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A．B．13 C．D．199．（4分）函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．B．C．D．10．（4分）如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为，弓形PNO的面积S=f（），那么f （）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（﹣1，2）与向量=（，4）平行，则实数= ．12．（4分）若θ为第四象限的角，且，则cosθ=；sin2θ=．13．（4分）将函数y=cos2的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为．14．（4分）若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于．15．（4分）已知，则cos（﹣y）= ．16．（4分）已知函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6，∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（）的图象无公共点，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（）的最大值．B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设全集U=R，集合A={|＜0}，B={|||＞1}，则A∩（∁B）= ．U21．（4分）已知函数若f（a）=2，则实数a= ．22．（4分）定义在R上的函数f （）是奇函数，且f（）在（0，+∞）是增函数，f（3）=0，则不等式f（）＞0的解集为．23．（4分）函数的值域为．（其中表示不大于的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）24．（4分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（）的奇偶性，并证明你的结论．26．（10分）已知函数f（）=3，g（）=|+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（）=f[g（）]的图象关于直线=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（）]的零点个数，并说明理由．27．（10分）设函数f（）的定义域为R，如果存在函数g（），使得f（）≥g（）对于一切实数都成立，那么称g（）为函数f（）的一个承托函数．已知函数f（）=a2+b+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=为函数f（）的一个承托函数，且f（）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．ta nθ＞0 D．以上都不对【解答】解：如果θ是第三象限的角，则sinθ＜0，cosθ＜0，tanθ＞0，故选：C．2．（4分）若向量=（1，﹣2），=（，4）满足⊥，则实数等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2【解答】解：根据题意，若向量、满足⊥，必有•=0，又由=（1，﹣2），=（，4），则有•=1×+（﹣2）×4=0，解可得=8；故选：A．3．（4分）若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）A．B． C．D．【解答】解：由定义若角α的终边经过点（﹣4，3），∴tanα=﹣，故选：D．4．（4分）函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减【解答】解：函数=cos，是偶函数，且在区间上单调递减，故选D．5．（4分）函数f（）=sin﹣cos的图象（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【解答】解：函数y=sin﹣cos=sin（﹣），∴﹣=π+，∈，得到=π+，∈，则函数的图象关于直线=﹣对称．故选：B．6．（4分）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵BD=2DC，∴=+=+=+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，∴=，故选：A7．（4分）定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|| B．y=cos|| C．y=|sin| D．y=|cos2|【解答】解：对于A：y=sin||不是周期函数，对于B，y=cos||的最小正周期为2π，对于C，y=|sin|最小正周期为π，对于D，y=|cos2|最小正周期为，故选：C8．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A．B．13 C．D．19【解答】解：∵向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，∴=||•||cos60°=2×3×=3，∴|+|2=||2+||2+2=4+9+2×3=19，∴|+|=，故选：C．9．（4分）函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．B．C．D．【解答】解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4=16，又∵ω＞0，∴ω==，当=2时取最大值，即2sin（2×+φ）=2，可得：2×+φ=2π+，∈，∴φ=2π+，∈，∵0＜φ＜π，∴φ=，故选：B．10．（4分）如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为，弓形PNO的面积S=f（），那么f （）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得S=f （）=﹣f′（）=≥0当=0和=2π时，f′（）=0，取得极值．则函数S=f （）在[0，2π]上为增函数，当=0和=2π时，取得极值．结合选项，A正确．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（﹣1，2）与向量=（，4）平行，则实数= ﹣2 ．【解答】解：因为向量=（﹣1，2）与向量=（，4）平行，所以，所以﹣1=λ，2=λ4，解得：λ=，=﹣2．故答案为﹣2．12．（4分）若θ为第四象限的角，且，则cosθ=；sin2θ=﹣．【解答】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（﹣）×=﹣．故答案为：，﹣．13．（4分）将函数y=cos2的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为y=﹣sin2 ．【解答】解：将函数y=cos2的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为y=cos2（+）=cos（2+）=﹣sin2．故答案为：y=﹣sin2．14．（4分）若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于150°．【解答】解：∵，均为单位向量，且与的夹角为120°，∴（﹣）•=﹣||2=1×1×（﹣）﹣1=﹣，|﹣|2=||2﹣2+||2=1﹣2×1×1×（﹣）+1=3，∴|﹣|=，设﹣与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=150°，故答案为：150°15．（4分）已知，则cos（﹣y）= ﹣．【解答】解：∵sin+siny=，①cos+cosy=，②①2+②2得：2+2sinsiny+2coscosy=，∴cos（﹣y）=sinsiny+coscosy=﹣，故答案为：﹣．16．（4分）已知函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6，∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是①③．【解答】解：函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，∴ω（）=nπ，∴ω=n（n∈），∴①ω=3正确；②ω≠6，∈N*，不正确；③φ可能等于，正确；④符合条件的ω有无数个，且均为整数，不正确．故答案为①③．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵φ∈（0，π），且=，可得：tanφ=﹣2，∴tan2φ==．（Ⅱ）===﹣．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（）的图象无公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数=cos（cos+sin）=+sin2=cos（2﹣）+，由2π﹣π≤2﹣≤2π，∈，解得π﹣≤≤π+，∈，即f（）的增区间为[π﹣，π+]，∈；（2）由（1）可得当2﹣=2π，即=π+，∈时，f（）取得最大值；当2﹣=2π+π，即=π+，∈时，f（）取得最小值﹣．由直线y=a与函数f（）的图象无公共点，可得a的范围是a＞或a＜﹣．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（）的最大值．【解答】解：（1）如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵=，（0≤≤1）．∴=+=（﹣2，0）+（1，a）=（﹣2，a），∴=﹣=（0，a）﹣（﹣2，a）=（2﹣，a﹣a）∴y=f（）=•=（2﹣，﹣a）•（2﹣，a﹣a）=（2﹣）2﹣a（a﹣a）=（a2+1）2﹣（4+a2）+4．∴f（1）=a2+1﹣（4+a2）+4=1（Ⅱ）由y=f（）=（a2+1）2﹣（4+a2）+4．可知：对称轴=．当0＜a≤时，1＜，∴函数f（）在[0，1]单调递减，因此当=0时，函数f（）取得最大值4．当a＞时，0＜0＜1，函数f（）在[0，）单调递减，在（，1]上单调递增．又f（0）=4，f（1）=1，∴f（）ma=f（0）=4．综上所述函数f（）的最大值为4B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.B）= {|﹣1≤＜0} ．20．（4分）设全集U=R，集合A={|＜0}，B={|||＞1}，则A∩（∁U【解答】解：全集U=R，集合A={|＜0}，B={|||＞1}={|＜﹣1或＞1}，则∁B={|﹣1≤≤1}，UB）={|﹣1≤＜0}．A∩（∁U故答案为：{|﹣1≤＜0}．21．（4分）已知函数若f（a）=2，则实数a= e2．【解答】解：∵函数，f（a）=2，∴当a＜0时，f（a）=a﹣2=2，解得a=，不成立；当a＞0时，f（a）=lna=2，解得a=e2．∴实数a=e2．故答案为：e2．22．（4分）定义在R上的函数f （）是奇函数，且f（）在（0，+∞）是增函数，f（3）=0，则不等式f（）＞0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．【解答】解：∵f（）在R上是奇函数，且f（）在（0，+∞）上是增函数，∴f（）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（﹣3）=0，得﹣f（3）=0，即f（3）=0，由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，作出f（）的草图，如图所示：∴f（）＞0的解集为：（﹣3，0）∪（3，+∞），故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．23．（4分）函数的值域为{0，1} ．（其中表示不大于的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）【解答】解：设m表示整数．①当=2m时，[]=[m+0.5]=m，[]=[m]=m．∴此时恒有y=0．②当=2m+1时，[]=[m+1]=m+1，[]=[m+0.5]=m．∴此时恒有y=1．③当2m＜＜2m+1时，2m+1＜+1＜2m+2∴m＜＜m+0.5m+0.5＜＜m+1∴[]=m，[]=m∴此时恒有y=0④当2m+1＜＜2m+2时，2m+2＜+1＜2m+3∴m+0.5＜＜m+1m+1＜＜m+1.5∴此时[]=m，[]=m+1∴此时恒有y=1．综上可知，y∈{0，1}．故答案为{0，1}．24．（4分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是[10，20] ．【解答】解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：=，解得y=30﹣，（0＜＜30）∴矩形的面积S=（30﹣），∵矩形花园的面积不小于200m2，∴（30﹣）≥200，化为（﹣10）（﹣20）≤0，解得10≤≤20．满足0＜＜30．故其边长（单位m）的取值范围是[10，20]．故答案为：[10，20]．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（）的奇偶性，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数．，∴=，∴=2，解得：a=﹣3；（Ⅱ）函数f（）为奇函数，理由如下：函数f（）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称，且f（﹣）+f（）=+=0，即f（﹣）=﹣f（），故函数f（）为奇函数．26．（10分）已知函数f（）=3，g（）=|+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（）=f[g（）]的图象关于直线=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（）]的零点个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数h（）=f[g（）]=3|+a|﹣3的图象关于直线=2对称，则h（4﹣）=h（）⇒|+a|=|4﹣+a|恒成立⇒a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（）]=|3+a|﹣3的零点个数，就是函数G（）=|3+a|与y=3的交点，①当0≤a＜3时，G（）=|3+a|=3+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（）]的零点个数为1个（如图1）；②当a≥3时，G（）=|3+a|=3+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（）]的零点个数为0个（如图1）；③﹣3≤a＜0时，G（）=|3+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；④当a＜﹣3时，G（）=|3+a|与y=3的交点有2个（如图2）；27．（10分）设函数f（）的定义域为R，如果存在函数g（），使得f（）≥g（）对于一切实数都成立，那么称g（）为函数f（）的一个承托函数．已知函数f（）=a2+b+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=为函数f（）的一个承托函数，且f（）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）函数f（）=a2+b+c的图象经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，则f（）=2+2+1，由新定义可得g（）=为函数f（）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=为函数f（）的一个承托函数，且f（）为函数的一个承托函数．即有≤a2+b+c≤2+恒成立，令=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1﹣b=a+c，又a2+（b﹣1）+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；又（a﹣）2+b+c﹣≤0恒成立，可得a＜，且b2﹣4（a﹣）（c﹣）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1﹣2a，可取a=c=，b=．满足题意．。

北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷及答案

北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（）．A .35 B . 45 C . 34 D . 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x =-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（）．A .12y y >B .12y y =C .12y y <D .不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（）.A .(4,5)-，开口向上B .(4,5)-，开口向下C .(4,5)--，开口向上D .(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（）.A .48πB .24πC .4πD .2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（）.A .m ≤4B .<4mC . m ≥4-D .>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（）．A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB ACBP CB =8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：抛物线顶点坐标与x 轴交点坐标与y 轴交点坐标 22y x x =-+ (1,1) (0,0)（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高图1 图2度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 1 1.5 2 … h （m ）0 8.75 15 18.75 20 … （1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径． 25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式：（用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b=+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。

1西城高一数学答案

北京市西城区 2019—2019学年度第一学期期末试卷高一数学参照答案及评分标准A 卷[必修模块4] 满分100分一、：本大共10小，每小 4分，共40分.1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5. D ；6. D ；；8.A ；9.C ； 10.D.二、填空：本大共6小，每小 4分，共 24分.11.2； 12. 1(ba )；13.4 ；22314.； 15.；16.3.382三、解答：本大共 3小，共 36分.17.（本小分 12分）解：（Ⅰ）因( ,)，且sin3，2 5因此cos1 sin 24 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分5因此tansin3⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分cos.4因此tan() tan 17.⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分1tan4（Ⅱ）由（Ⅰ）知，sin22si ncos24⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分，251 cos22cos 232 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分25sin2cos 24 4 1因此25 5⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分1cos232.825（本小分12分）（Ⅰ）由意f ( )2sin(2 x)，x 3因0x，因此02x.因此2x4⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分3.233因此3sin(2x)1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分23因此3f(x) 2，函数f(x)的域[3,2] .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅱ）由已知(,) ， 13，( ,0) ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分A C( ,A) D12 312因此( , )， 3DBDC ( ,A).44因BDCD ，因此DB32A 20 ，解得A3 DC ，DBDC.164又A0，因此 A3⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分.419.（本小分 12分）解：（Ⅰ）ABBCAB (AC AB)AB AC21 13AB.22（Ⅱ）成立如所示的平面直角坐系，B(1,0)，C(1,3).2 2P(cos,sin )，[0,]，3由APxAB yAC ，得(cos ,sin )x(1,0)y(1 3).C,22因此cosxy,sin3y .22因此xcos3sin，y23sin ，33xy23sincos2sin 23sin211cos23333 32(3sin21cos2 ) 1 3 2 2 321sin(2).363 因[0,2]，2[6 , ].366因此，当 26 ，即，xy 的最大1.23⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分yPx AB⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分B 卷[学期综合]满分50分一、填空：本大共5小，每小4分，共20分.1. {x|0x1}；2. 1,6；3.1；4. {aa2}；5. .2注：2每空2分.二、解答：本大共 3小，共30分.6.（本小分 10分）解:（Ⅰ）因f(x)6x，因此f( x)x 6x f(x).⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分因此f(x)x212 1奇函数.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）由不等式f(2x)2x，得62x2x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分22x1整理得22x5，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此2xlog 25，即x1log 25.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2（本小分10分）解: （Ⅰ）当a1，f(x)x 22x .二次函数象的称x1，张口向上.因此在区[0,2]上，当x 1，f(x)的最小1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当x0 或x2 ，f(x)的最大0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因此f(x)在区[0, 2]上的域[ 1,0].⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）注意到f(x)x 2 2ax 的零点是0和2a ，且抛物张口向上.当a0 ，在区[0,2]上g(x) f(x)x 22ax ，g(x)的最大t(a)g(2)4 4a .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分当0a1，需比g(2)与g(a)的大小，g(a)g(2)a 2 (44a)a 24a 4，因此，当0 a2 2 2 ，g(a) g(2) 0 ；当 2 22a1 ，g(a)g(2)0 .因此，当 0 a2 22 ，g(x)的最大 t(a) g(2) 44a .⋯⋯⋯5分当22 2 a 1，g(x)的最大t(a)g(a)a 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分当1 a 2，g(x)的最大t(a)g(a) a 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分当a2 ，g(x)的最大t(a) g(2)4a4 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分44a,a 2 2 2,因此，g(x)的最大值 t(a) a 2, 2 2 2 a 2,4a 4,a 2.因此，当a2 2 2时，t(a)的最小值为12 82.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由已知x 11，x 21 .42因此dmax{max{x 1,x 2x 1},max{x 2 x 1,1 x 2}}1 1 1 1max{ 1 11max{max{,},max{,}},}.44421 42 2（Ⅱ）取x 11，x 2，此时试验的估计偏差为.333以下证明，这是使试验估计偏差达到最小的试验设计.9分10分4分5分证明：分两种情况议论 x 1点的地点.①当x 11时，如下图，3假如1 x2 2d 1 x 21 ，那么；3 33 假如2x 2 1，那么 d x 2 x 113 .3当x 1 11 . ②，dx 133综上，当x 1113 时，d .3(同理可适当x 22时，d1 )33即x 11，x 2时，试验的估计偏差最小.33（Ⅲ）当x 11和x 12时估计偏差d 的最小值分别为45注：用平常语言表达证明过程也给分 .1x 1 12 3 3 4 5 67 89 10 11 12 13 14 15 1617和1.45x 217分8分10分。

北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末数学试题（解析版）

北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷局二数学第I卷(共40分)本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.设集合A={x\x<a},B={-3,O,l,5},^集合A3有且仅有2个元素，则实数。

的取值范围为()A.(-3,4w)B.(0,1]C.[1,4W)D.[1,5)【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算，由题意知A B={—3,0},由此可得，0<a〈l.【详解】因为集合A B有且仅有2个元素，所以A B={—3,0},即有0<。

<1.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.3-z2.己知复数z=——,则复数z在复平面内对应的点位于()1+ zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简复数z=l-2/,再利用复数的表示，即可判定，得到答案.3-z(3-z)(l-«)2-4z,-【详解】由题意，复数z=l=\=1—力，1+z(l+z)(l—z)2所以复数z对应的点(1,-2)位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.在ABC中，若a=6,A=60°,3=75°,则c=()A.4B.2^2C.2a/3D.2^6【答案】D【解析】【分析】根据三角形内角和求出角C,再根据正弦定理即可求出边c.d c6C【详解】因为C=180-75-60=45，所以根据正弦定理知，丁"==，即.,=一，sin A sinC sin60sin45解得c=2\/6.故选：D.【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形，属于基础题.4.设x>N,且个力0,则下列不等式中一定成立的是()A.上>上B.ln|x|>ln|C.2~x<2~yD.x2>y2【答案】C【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假.八11【详解】对A,若x>y>。

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学(含解析)

北京市西城区2019-2020学年高一（上）期末考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{﹣2，0}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．（5分）方程组的解集是（）A．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B．{（1，1），（﹣1，﹣1）}C．{（2，﹣2），（﹣2，2）}D．{（2，2），（﹣2，﹣2）}3．（5分）函数y ＝的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x+1B．y＝x2﹣1C．y＝2x D ．5．（5分）设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bc D．ad＞bc17．（5分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）x mgC．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2x mg9．（5分）如图，向量﹣等于（）A．3﹣B ．﹣3C．﹣3+D ．﹣+310．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；2②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝．12．（4分）已知向量＝（1，﹣2），＝（﹣3，m），其中m∈R．若，共线，则||＝．13．（4分）已知函数f（x）＝log3x．若正数a，b满足，则f（a）﹣f（b）＝．14．（4分）函数的零点个数是；满足f（x0）＞1的x0的取值范围是．15．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中c∈R．①集合∁R A＝；②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是．16．（4分）给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．317．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．18．（12分）在直角坐标系xOy 中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2．（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；（Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）20．（13分）已知函数．4（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（1，+∞）上的减函数；（Ⅲ）当x∈[﹣4，﹣2]时，求f（x）的值域．21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？22．（13分）设函数其中P，M是非空数集．记f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求f（P）∪f（M）；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{﹣2，0}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}5【分析】利用交集直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）方程组的解集是（）A．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B．{（1，1），（﹣1，﹣1）}C．{（2，﹣2），（﹣2，2）}D．{（2，2），（﹣2，﹣2）}【分析】运用代入消元法解方程组即可．【解答】解：记，由①得：x＝﹣y③，将③代入②得2y2＝2，解得y ＝±1，当y＝1时，x＝﹣1，当y＝﹣1时，x＝1，故原方程组的解集为{（1，﹣1），（﹣1，1）}，故选：A．【点评】本题考查解方程组，运用代入法进行消元是关键，属于基础题．3．（5分）函数y ＝的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）6【分析】由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组，解出即可求得定义域．【解答】解：依题意，，解得x≥0且x≠1，即函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x+1B．y＝x2﹣1C．y＝2x D ．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x+1，为一次函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于B，y＝x2﹣1，为二次函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于C，y＝2x，为指数函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于D，y ＝，为对数函数，在（0，+∞）上单调递减，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．5．（5分）设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵log20.4＜log21＝0，∴a＜0，7∵0.42＝0.16，∴b＝0.16，∵20.4＞20＝1，∴c＞1，∴a＜b＜c，故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bc D．ad＞bc【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析各个答案中不等式的正误，可得答案．【解答】解：若a＞b＞0，c＜d＜0，则：ac＜bc＜bd，故ac＜bd，故A错误，B正确；ad与bc的大小无法确定，故C，D错误；故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了不等式与不等关系，难度不大，属于基础题．7．（5分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以带入特殊值讨论充要性．8【解答】解：若a＞b，取a＝1，b＝﹣2，则|a|＜|b|，则“a＞b”是“|a|＞|b|”不充分条件；若|a|＞|b|，取a＝﹣2，b＝1，则a＜b，则“|a|＞|b|”是‘a＞b”不必要条件；则a∈R，b∈R．“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题．8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）x mgC．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2x mg【分析】利用指数函数模型求得函数y与x的关系式；【解答】解：由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2500mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2000×（1﹣20%）x＝2000×0.8x（mg），即y与x的关系式为y＝2000×0.8x．故选：B．【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题．9．（5分）如图，向量﹣等于（）9A．3﹣B ．﹣3C．﹣3+D ．﹣+3【分析】可设向量的终点为A ，向量的终点为B ，从而可得出，这样根据图形即可用表示出，从而得出正确选项．【解答】解：如图，设＝，∴．故选：B．【点评】本题考查了向量减法、加法和数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；10④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【解答】解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：C．【点评】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝14．【分析】利用韦达定理代入即可．【解答】解：方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，x1+x2＝4，x1x2＝1，x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝16﹣2＝14，故答案为：14．【点评】考查韦达定理的应用，基础题．12．（4分）已知向量＝（1，﹣2），＝（﹣3，m），其中m∈R．若，共线，则||＝．【分析】根据共线即可得出m＝6，从而可得出向量的坐标，进而可得出的11值．【解答】解：∵共线，∴m﹣6＝0，∴m＝6，，∴．故答案为：．【点评】本题考查了向量共线的定义，以及共线向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．13．（4分）已知函数f（x）＝log3x．若正数a，b 满足，则f（a）﹣f（b ）＝﹣2．【分析】结合已知函数解析式及对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵正数a，b满足，f（x）＝log3x，则f（a）﹣f（b）＝log3＝log3x＝＝﹣2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用对数的运算性质求解函数值，属于基础试题．14．（4分）函数的零点个数是2；满足f（x0）＞1的x0的取值范围是（﹣1，0）∪（2，+∞）．【分析】利用分段函数求解函数的零点，列出不等式去即可．【解答】解：函数12可得x＜0时，x+2＝0，解得x＝﹣2；x＞0时，x2﹣3＝0，解得x ＝，函数的零点有2个．满足f（x0）＞1，可得，解得x0∈（﹣1，0）．，解得x0∈（2，+∞）．故答案为：2；（﹣1，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中c∈R．①集合∁R A＝{x|﹣2＜x＜3}；②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【分析】①先求出集合A，再利用补集的定义求出∁R A；②由对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，所以A∪B＝R，从而求出c的取值范围．【解答】解：①∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，∴∁R A＝{x|﹣2＜x＜3}；②∵对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，∴A∪B＝R，∵集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞c}，∴c≤﹣2，∴c的取值范围是：（﹣∞，﹣2]，13故答案为：{x|﹣2＜x＜3}，（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．16．（4分）给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【解答】解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．【点评】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样能求出这5人中男生人数和女生人数．14（Ⅱ）记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）这5人中男生人数为，女生人数为．（Ⅱ）记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，则样本空间为：Ω＝{（B1，B2），（B1，B3），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B3），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2），（G1，G2）}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A＝{（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2）}，事件A共包含6个样本点．从而．所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为．【点评】本题考查抽取的5人中男生人数和女生人数的求法，考查概率的求法，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）在直角坐标系xOy 中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2．（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；（Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点．【分析】（Ⅰ）因为，求出f（2）的值，结合函数的单调性15判断f（2）和1的大小．（Ⅱ）因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f（x）＜1”，推出．求解即可．（Ⅲ）求出两个函数的定义域，然后判断曲线C1和C2没有交点．【解答】解：（Ⅰ）因为，又函数y＝log3x是（0，+∞）上的增函数，所以f（2）＝log34＞log33＝1．（Ⅱ）因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f（x）＜1”，所以．因为函数y＝log3x是（0，+∞）上的增函数，所以0＜8﹣2x＜3，即5＜2x＜8，所以x的取值范围是（log25，3）．（Ⅲ）因为f（x）有意义当且仅当8﹣2x＞0，解得x＜3．所以f（x）的定义域为D1＝（﹣∞，3）．g（x）有意义当且仅当x﹣3≥0，解得x≥3．所以g（x）的定义域为D2＝[3，+∞）．因为D1∩D2＝∅，16所以曲线C1和C2没有交点．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）【分析】（Ⅰ）根据所有频率和为1建立等式，可求出a的值；（Ⅱ）甲队员进行一次射击，欲求命中环数大于7环的概率只需将大于7环的频率进行求和即可；（Ⅲ）在甲、乙两名队员中，通过频率分布情况看队员的射击成绩哪个相对集中，那就更稳定．【解答】解：（Ⅰ）由图可得0.01+a+0.19+0.29+0.45＝1，所以a＝0.06．（Ⅱ）设事件A为“队员甲进行1次射击，中靶环数大于7”．则事件A包含三个两两互斥的事件：中靶环数为8，9，10，17所以P（A）＝0.45+0.29+0.01＝0.75．设事件A i为“队员甲第i次射击，中靶环数大于7”，其中i＝1，2，则P（A1）＝P（A2）＝0.75．设事件B为“队员甲进行2次射击，恰有1次中靶环数大于7”．则，A1，A2独立．所以＝＝．所以，甲恰有1次中靶环数大于7的概率为．（Ⅲ）队员甲的射击成绩更稳定．【点评】本题主要考查了频率分布情况，以及概率的运算，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．20．（13分）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（1，+∞）上的减函数；（Ⅲ）当x∈[﹣4，﹣2]时，求f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）根据题意，先分析函数的定义域，进而分析f（﹣x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义即可得答案；（Ⅱ）根据题意，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，由作差法分析可得结论；（Ⅲ）根据题意，分析可得f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，结合函数的解析式分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，，则f（x）的定义域为D＝{x|x∈R，18且x≠±1}；对于任意x∈D ，因为，所以f（x）为偶函数．（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，那么＝；因为1＜x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以f（x）是（1，+∞）上的减函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）得，f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，又由f（﹣4）＝，f（﹣2）＝1，则有≤f（x）≤1；所以当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x ）的值域是．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及函数值域的计算，属于基础题．21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是19（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？【分析】（Ⅰ）设商品的利润为Y（万元），利用已知条件列出函数的解析式即可．（Ⅱ）利用分段函数结合基本不等式求解函数的最值，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设商品的利润为Y（万元），依题意得．（Ⅱ）当0＜x＜6时，．所以＝＝6．当且仅当，即x＝5时取等号，所以，当0＜x＜6时，Y有最大值6（万元）．当x≥6时，Y＝11﹣x≤5．综上，当x＝5时，Y取得最大值6（万元）．因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值6万元．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，基本不等式的应用，是基本知识的考查．22．（13分）设函数其中P，M是非空数集．记f（P）＝{y|y＝f（x），20x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求f（P）∪f（M）；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．【分析】（Ⅰ）求出f（P）＝[0，3]，f（M）＝（1，+∞），由此能过求出f（P）∪f（M）．（Ⅱ）由f（x）是定义在R上的增函数，且f（0）＝0，得到当x＜0时，f（x）＜0，（﹣∞，0）⊆P．同理可证（0，+∞）⊆P．由此能求出P，M．（Ⅲ）假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f（P）∪f（M）＝R．证明0∈P∪M．推导出f（﹣x0）＝﹣x0，且f（﹣x0）＝﹣（﹣x0）＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”是真命题．【解答】解：（Ⅰ）因为P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），所以f（P）＝[0，3]，f（M）＝（1，+∞），所以f（P）∪f（M）＝[0，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）是定义在R上的增函数，且f（0）＝0，所以当x＜0时，f（x）＜0，所以（﹣∞，0）⊆P．同理可证（0，+∞）⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}．（Ⅲ）该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f（P）∪f（M）＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，21则0∉f（P），且0∉f（M），即0∉f（P）∪f（M），这与f（P）∪f（M）＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f（P），且﹣x0∉f（M）．因为f（P）∪f（M）＝R，所以﹣x0∈f（P），且x0∈f（M）．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f（﹣x0）＝﹣x0，且f（﹣x0）＝﹣（﹣x0）＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点评】本题考查并集的求法，考查集合的求法，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22。